2018高考一轮复习 统计概率专题
2018年高考数学(理)一轮复习专题专题测试八 概率与统计、算法
专题测试八 概率与统计、算法(时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高不到160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]cm 内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：选B.由对立事件的概率计算公式可得，该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.2．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选B.本题考查古典概型.3卷文集随机排列，共有6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是26＝13.3．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|P A |＜1的概率为( ) A.π4 B.12 C.14D.2π解析：选A.由题意知，所求概率为S 扇形S 正方形＝π41＝π4.4．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.38解析：选C.本题考查古典概型．所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，其中，所组成的两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率是36＝12.5．某单位男职工进行健康体验时的体重情况的频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为24，则该单位男职工的总人数为( )A ．150B ．120C ．48D ．96解析：选D.设该单位男职工的总人数为n ，第1小组的频率为p ，则由题意可知，第2小组的频率为2p ，第3小组的频率为3p ，则p ＋2p ＋3p ＋(0.037＋0.013)×5＝1，解得p ＝0.125，故第2小组的频率为0.25，由24n ＝0.25，解得n ＝96，故该单位男职工的总人数为96.6．在演讲比赛的决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示，其中在☆处的数据丢失了．按照规则，甲、乙需各去掉一个最高分和一个最低分，用x 和y 分别表示甲、乙两位选手获得的平均分，则( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ＝yD ．x 和y 之间的大小关系无法确定解析：选 B.本题考查茎叶图及平均数的计算．设题图中甲、乙丢失的数据分别为a ，b ，则x ＝80＋a ＋165，y ＝80＋265，因为0≤a ≤9，所以x ＝80＋a ＋165≤80＋255＜y ，即x ＜y .7．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点，但除了样本中心点，回归直线上还可能有其他点，故B 正确．8.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a .P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析：选D.由题意知⎩⎨⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1.⇒⎩⎨⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43.⇒54<a ≤43.9．按如图所示的程序框图运算，若输出的b 的值为3，则输入的a 的取值范围是()A ．(6，＋∞)B ．(6,19]C ．[19，＋∞)D ．[6,19)解析：选 B.第一次循环：a ＝3a ＋1，b ＝2；第二次循环：a ＝3(3a ＋1)＋1，b ＝3.∵输出的b 的值为3，∴3a ＋1≤58且3(3a ＋1)＋1＞58，解得6＜a ≤19. 10．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止．设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382 D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析：选D.“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫58211．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是126，则条件①可为( )A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?解析：选B.本题主要考查程序框图的识别与应用． 由程序框图知：S ＝2＋22＋…＋2n ，当n ＝6时，S ＝2＋22＋…＋26＝2(1－26)1－2＝27－2＝126，n ＝6＋1＝7，应输出S ，故条件①可为n ≤6？或n ＜7？.12．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( ) A ．1 B ．n C.n ＋12D.n －12解析：选C.已知每一位学生打开柜门的概率为1n ，∴打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×1n ＋2×1n ＋…＋n ×1n ＝n ＋12，故选C. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．) 13．已知随机变量ξ服从正态分布N (m ，σ2)，若P (x ≤－3)＝P (x ≥4)，则m ＝________.解析：由正态分布的性质可知，m ＝－3＋42＝12.答案：1214．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析：随机变量X 的可能取值为0,1,2,4，P (X ＝0)＝34，P (X ＝1)＝19，P (X ＝2)＝19，P (X ＝4)＝136，因此E (X )＝49. 答案：4915．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，在已知它们点数不同的条件下，至少有一枚是6点的概率是________．解析：设事件A ＝“至少有一枚是6点”，事件B ＝“两枚骰子点数不同”，先后投掷两枚骰子共有36种不同情况，且是等可能的，则事件B 共有6×5＝30种不同情况，事件AB 共有10种不同情况，即P (B )＝3036＝56，P (AB )＝1036＝518，由条件概率得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝51856＝13.答案：1316．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析：法一(通法)：将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解． f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.法二(赋值法)：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2， 再令x ＝－1得60＝6a 3，即a 3＝10. 答案：10三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)x ＝109，∑i ＝15(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^，则 b^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝3081 570≈0.196 2，a^＝y －b ^x ＝23.2－109×0.196 2≈1.814 2. 故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(3)根据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2≈31.2(万元)．18．(本小题满分10分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的2×2与班级有关”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：(1)列联表如下：K 2＝210×(20×60－110×100×60×150≈12.2＞6.635，所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与班级有关．(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，27，且P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫27k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫573－k(k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为125343＋1×150343＋2×60343＋3×8343＝67.E(ξ)＝0×。
(完整版)2018年高考统计与概率专题
2018年高考统计与概率专题（全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位:kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2,…,x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…,x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B（全国卷1理）2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4【考点】:几何概型【思路】：几何概型的面积问题，=P 基本事件所包含的面积总面积.【解析】：()21212=82r S P S r ππ==，故而选B 。
(全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种（全国卷2文）6。
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90πB 。
63πC 。
42π D.36π【答案】B【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B 。
（天津卷)文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(A）45(B)35(C）25（D）15（全国卷2文）11.从分别写有1，2，3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C。
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
2018届高考数学一轮复习专题六概率与统计课件文
【标准解答】 (1)当 x≤19 时，y＝3 800； 当 x>19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以 y 与 x 的函数解析式为
y＝350800x0－，5
70ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
x≤19， x>19
(x∈N)．(4 分)
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同 时购买的易损零件数．
(1)若 n＝19，求 y 与 x 的函数解析式； (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5， 求 n 的最小值； (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件， 或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零 件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时 应购买 19 个还是 20 个易损零件？
• 三、听英语课要注重实践
• 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
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编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。
• 一、听理科课重在理解基本概念和规律
• 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解， 同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。
2018全国高考数学统计与概率专题(附答案解析)
2018全国高考真题数学统计与概率专题（附答案解析）1.（全国卷I，文数、理数第3题．5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A2.（全国卷I，文数19题．12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案解析】解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 3.（全国卷I ，理数20题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，=+．X Y=⨯+，即402520225X Y所以(4025)4025490=+=+=．EX E Y EY（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX>，故应该对余下的产品作检验．4.（全国卷Ⅱ，文数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D5.（全国卷Ⅱ，文数、理数18题．12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案解析】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．6.（全国卷Ⅱ，理数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】A7.（全国卷Ⅲ，文数5题．5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B8.（全国卷Ⅲ，文数、理数18题．12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．【答案解析】解：（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．学科%网以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知7981802m +==． 列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．9.（北京卷，文数17题，13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科*网（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50， 故所求概率为500.0252000=. （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为37210.8142000-=. 方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得16280.8142)00(0P B ==. （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 10.（北京卷，理数17题，12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【答案解析】解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50． 故所求概率为500.0252000=． （Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为P （AB AB +）=P （AB ）+P （AB ）=P （A ）（1–P （B ））+（1–P （A ））P （B ）． 由题意知：P （A ）估计为0.25，P （B ）估计为0.2． 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ）1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ． 11.（天津卷，文数，15题，13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．【答案解析】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． 12.（天津卷，理数，16题，13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案解析】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．学.科网（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望11218412 ()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．13.（江苏卷，3题，5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.【答案解析】答案：90解析：8989909191905++++=14.（浙江卷，7题，4分）设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P12p-122p 则当p在（0，1）内增大时，A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小【答案】D第11 页共11 页。
2018年大一轮数学(理)高考复习(人教)专题测试八概率与统计、算法Word版含答案
专题测试八 概率与统计、算法 (时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高不到160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在cm 内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7D ．0.8解析：选B.由对立事件的概率计算公式可得，该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.2．一部3卷文集随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：选B.本题考查古典概型.3卷文集随机排列，共有6种结果，卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1,2,3的概率是26＝13.3．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离|PA |＜1的概率为( ) A.π4 B.12 C.14D.2π解析：选A.由题意知，所求概率为S 扇形S 正方形＝π41＝π4.4．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.38解析：选C.本题考查古典概型．所组成的两位数有12,13,20,21,30,31，共6个，其中，所组成的两位数为奇数的有13,21,31，共3个，故所组成的两位数为奇数的概率是36＝12.5．某单位男职工进行健康体验时的体重情况的频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为24，则该单位男职工的总人数为( )A ．150B ．120C ．48D ．96解析：选D.设该单位男职工的总人数为n ，第1小组的频率为p ，则由题意可知，第2小组的频率为2p ，第3小组的频率为3p ，则p ＋2p ＋3p ＋(0.037＋0.013)×5＝1，解得p ＝0.125，故第2小组的频率为0.25，由24n＝0.25，解得n ＝96，故该单位男职工的总人数为96.6．在演讲比赛的决赛中，七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示，其中在☆处的数据丢失了．按照规则，甲、乙需各去掉一个最高分和一个最低分，用x 和y 分别表示甲、乙两位选手获得的平均分，则( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ＝yD ．x 和y 之间的大小关系无法确定解析：选B.本题考查茎叶图及平均数的计算．设题图中甲、乙丢失的数据分别为a ，b ，则x ＝80＋a ＋165，y ＝80＋265，因为0≤a ≤9，所以x ＝80＋a ＋165≤80＋255＜y ，即x ＜y . 7．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点，但除了样本中心点，回归直线上还可能有其他点，故B 正确．8.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a .P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 解析：选D.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A ，0<P B，P A ＋PB⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43.⇒54<a ≤43. 9．按如图所示的程序框图运算，若输出的b 的值为3，则输入的a 的取值范围是( )A ．(6，＋∞)B ．(6,19]C ．[19，＋∞)D ．[6,19)解析：选B.第一次循环：a ＝3a ＋1，b ＝2；第二次循环：a ＝3(3a ＋1)＋1，b ＝3.∵输出的b 的值为3，∴3a ＋1≤58且3(3a ＋1)＋1＞58，解得6＜a ≤19.10．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止．设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 912⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析：选D.“X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫58211．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是126，则条件①可为( )A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?解析：选B.本题主要考查程序框图的识别与应用． 由程序框图知：S ＝2＋22＋ (2)， 当n ＝6时，S ＝2＋22＋…＋26＝－261－2＝27－2＝126，n ＝6＋1＝7，应输出S ，故条件①可为n ≤6？或n ＜7？.12．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( ) A ．1 B ．n C.n ＋12D.n －12解析：选C.已知每一位学生打开柜门的概率为1n，∴打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×1n ＋2×1n ＋…＋n ×1n ＝n ＋12，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．)13．已知随机变量ξ服从正态分布N (m ，σ2)，若P (x ≤－3)＝P (x ≥4)，则m ＝________. 解析：由正态分布的性质可知，m ＝－3＋42＝12.答案：1214．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．解析：随机变量X 的可能取值为0,1,2,4，P (X ＝0)＝34，P (X ＝1)＝19，P (X ＝2)＝19，P (X ＝4)＝136，因此E (X )＝49. 答案：4915．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，在已知它们点数不同的条件下，至少有一枚是6点的概率是________．解析：设事件A ＝“至少有一枚是6点”，事件B ＝“两枚骰子点数不同”，先后投掷两枚骰子共有36种不同情况，且是等可能的，则事件B 共有6×5＝30种不同情况，事件AB 共有10种不同情况，即P (B )＝3036＝56，P (AB )＝1036＝518，由条件概率得P (A |B )＝P ABP B ＝51856＝13.答案：1316．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.解析：法一(通法)：将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解．f (x )＝x 5＝(1＋x －1) 5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r·(－1)r，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.法二(赋值法)：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2， 再令x ＝－1得60＝6a 3，即a 3＝10. 答案：10三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)数据对应的散点图如图所示：(2)x ＝109，∑i ＝15(x i －x )2＝1 570，y ＝23.2，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝15x i －xy i －y∑i ＝15x i －x2＝3081 570≈0.196 2， a ^＝y －b ^x ＝23.2－109×0.196 2≈1.814 2.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2.(3)根据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2≈31.2(万元)．18．(本小题满分10分)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为27.(1)请完成上面的2×2 (2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． 附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d解：(1)列联表如下：K 2＝－110×100×60×150≈12.2＞6.635，所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与班级有关．(2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，27，且P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫27k·⎝ ⎛⎭⎪⎫573－k (k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为E (ξ)＝0×125343＋1×150343＋2×343＋3×343＝7.。
2018全国高考数学统计与概率专题(附答案解析)
2018全国高考真题数学统计与概率专题（附答案解析）1.（全国卷I，文数、理数第3题．5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A2.（全国卷I，文数19题．12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案解析】解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 3.（全国卷I ，理数20题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，=+．X Y=⨯+，即402520225X Y所以(4025)4025490=+=+=．EX E Y EY（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX>，故应该对余下的产品作检验．4.（全国卷Ⅱ，文数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D5.（全国卷Ⅱ，文数、理数18题．12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案解析】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为。
2018版高考数学大一轮复习专题11概率与统计课件
考点60 随机事件及其概率
考法2 求互斥事件、对立事件的概率
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 0 1 2 3 4 等候人数 5人及5人以上 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 概率 求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率． 【题眼】 根据互斥事件，第(1)问可转化为等候的人数为0人、1人和2人的概率和； 第(2)问可转化为等候的人数为3人、4人和5人及5人以上的概率和，或转化为 其对立事件“至多2人排队等候”．
考点60 随机事件及其概率
考法2 求互斥事件、对立事件的概率
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下： 0 1 2 3 4 等候人数 5人及5人以上 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 概率 求：(1)至多2人排队等候的概率； (2)至少3人排队等候的概率． 【解】记“0人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队 等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5 人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 方法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G， 所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
将所求事件分解为彼此互斥的事件的和 利用公式分别计算这些事件的概率 运用互斥事件的概率求和公式计算概率
判断是否适合用间接法 计算对立事件的概率 运用公式P(A)＝1－P(A)求解
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十一章统计与概率11.3含解析
1．两个变量的线性相关(1）正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3）线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线．2．回归方程（1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2）回归方程方程错误!＝错误!x＋错误!是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1，y1)，(x2，y2),…,(x n，y n）的回归方程,其中a，^，错误!是待定参数．错误!3．回归分析（1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2）样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1)，(x2，y2)，…,（x n，y n),其中（错误!，错误!)称为样本点的中心．（3）相关系数当r>0时，表明两个变量正相关；当r〈0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常｜r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．4．独立性检验（1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛x1,x2｝和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表）为2×2列联表构造一个随机变量K2＝错误!，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．（3）独立性检验利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系"的方法称为独立性检验．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×")(1）相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．（×)(2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．( √)（3）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √）(4）某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃)之间的关系,得回归方程错误!＝－2。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十一章统计与概率11.1含解析
1．简单随机抽样(1)定义：一般地,设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．（2)最常用的简单随机抽样方法有两种--抽签法和随机数法．2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．（1）先将总体的N个个体编号；（2)确定分段间隔k,对编号进行分段．当错误!（n是样本容量)是整数时，取k＝错误!；（3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．3．分层抽样(1）定义：一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．（2)分层抽样的应用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样的方法．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）(1）简单随机抽样是一种不放回抽样．（√)(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关．( ×)（3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．（×）(4）系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √)（5）要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平．（×)(6）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．（×）1．(教材改编）某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为（）A．33，34,33 B．25,56,19C．20,40，30 D．30，50，20答案B解析因为125∶280∶95＝25∶56∶19，所以抽取人数分别为25，56，19.2．(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是( )A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法答案C解析根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．3．(1)某学校为了了解2016年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名,从中抽取120名考生作为样本．（2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法Ⅱ。
(完整版)2018高考一轮复习统计概率专题
2017高考一轮复习统计概率专题一．解答题（共16小题）1．（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．2．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．3．（2016•河北区三模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．4．（2016•唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数 3 2 1 0实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？5．（2016•武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，年级名次1～50 951～1000是否近视近视41 32不近视9 18能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879．6．（2016•海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）A配方的频数分布表B配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[75，80）频数10 30 40 20频数5 10 15 40 30（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=（其中＜t ＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？7．（2016•兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．8．（2016•海口模拟）汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2B型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数14 20 20 16 15 10 5（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．9．（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．10．（2016•泰安二模）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60 ______ ______女______ ______ 110合计______ ______ ______（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.82811．（2016•辽宁校级模拟）语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．（附公式及表）若x～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．12．（2016•潮南区模拟）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]芯片甲8 12 40 32 8芯片乙7 18 40 29 6（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．13．（2016•石嘴山校级一模）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如表所示：学生 A B C D E数学（x分）89 91 93 95 97物理（y分）87 89 89 92 93（1）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程：（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．（附：回归方程中，，）14．（2016•重庆模拟）某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：x 2 5 8 9 11y 12 10 8 8 7（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．15．（2016春•抚州校级月考）西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为．（1）乙、丙两人各自能被录用的概率；（2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．16．（2016•东城区模拟）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．2017高考一轮复习统计概率专题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X 0 1 2 3 4 6P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．2．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P（A）．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=1．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意古典概型的灵活运用．3．（2016•河北区三模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：X 0 100 200P∴EX=0×+100×+200×=．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．4．（2016•唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数 3 2 1 0实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【分析】（Ⅰ）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率．（Ⅱ）分别求出方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算．【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．P（X=160）=，P（X=224）==，P（X=256）==，P（X=320）==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240，∴第二种方案比较划算．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．5．（2016•武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，年级名次1～50 951～1000是否近视近视41 32不近视9 18能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879．【分析】（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数．（2）求出K2，由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…（1分）因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…（2分）所以视力在5.0以下的频率为：=0.82，故全年级视力在5.0以下的人数约为…（3分）（2）因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（6分）（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，…（7分），，，，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P…（11分）X 的数学期望…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型机随机变量概率分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用．6．（2016•海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）A配方的频数分布表B配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[75，80）频数10 30 40 20频数5 10 15 40 30（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=（其中＜t ＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【分析】（1）先求出P（抽中二级品）=，由此能求出事件C的概率P（C）．（2）分别求出A的分布列，E（A）和B的分布列E（B），由此能求出从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大．【解答】解：（1）P（抽中二级品）=，P（没抽中二级品）=，P（C）=1﹣（）3=．（3）A的分布列为：y t 5t2P 0.6 0.4∴E（A）=0.6t+2t2B的分布列为：y t 5t2t2P 0.7 0.25 0.05∴E（B）=0.7t+1.3t2∵＜t＜，∴E（A）﹣E（B）=t（t﹣）＞0，∴E（A）较大，投资A．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．7．（2016•兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．【分析】（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．利用互斥事件概率加法公式，可得：甲取到白球的概率．【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：=，即=，即x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（x=1）==，P（x=2）==，P（x=3）==，P（x=4）==，P（x=5）==，…（5分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）随机变量X的概率分布列为：X 1 2 3 4 5P所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（6分）（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（9分）（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分．）所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…（10分）【点评】本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，难度中档．8．（2016•海口模拟）汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2B型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数14 20 20 16 15 10 5（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：A型车1天B型车3天；A型车B型车都2天；A型车3天B型车1天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）从数学期望和方差分析即可得出结论．【解答】解：（I）∵出租天数为3天的汽车A型车有30辆，B型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率约为=0.6．（II）设“事件A i表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件B j表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2， (7)则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==．该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为．（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为X 1 2 3 4 5 6 7P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为Y 1 2 3 4 5 6 7P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差大于B型车出租天数的方差，综合分析，选择A类型的出租车更加合理．【点评】上来掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件和独立事件的概率计算公式、数学期望和方差的计算公式和意义是解题的关键．9．（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．∴甲获得比赛胜利的概率：p=++C（）2（）2×=．（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，P（X=3）==，P（X=4）=+×=，P（X=5）=C（）2（）2×+C（）2（）2×=，∴随机变量X的分布列为：X 3 4 5P数学期望EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．10．（2016•泰安二模）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60 3090女9020110合计15050200（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.10 0.05 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828【分析】（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出K2=，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为9人，在达标学生中抽取人数为3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数为：200×[（0.02+0.005）×10]=50，则不达标人数为150，∴列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男60 30 90女90 20 110合计150 50 200∴K2==，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为：12×=9人，在达标学生中抽取人数为：12×=3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，。
最新-2018届高三数学一轮复习 第十章统计与概率10-8课件 精品
• 为随机变量X的分布列(或概率分布)．
• X的分布列也可简记为：
• P(X＝xi)＝pi，i＝1、2、…、n. • (2)离散型随机变量的分布列的性质：
• ①pi≥0，i＝1,2，…n； • ②p1＋p2＋p3＋…pn＝1. • 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个
(2)由于随机变量ξ表示取得合格品前已取出的次品 数，所以ξ可能的取值为0、1、2；
∵P(ξ＝0)＝56，P(ξ＝1)＝353， P(ξ＝2)＝122·111·1100＝616. ∴ξ的分布列为
ξ0 1
2
P
5 6
5 33
1 66
• 点评：要注意超几何分布的特点，是总数为N件的A、 B两类物品，其中含M件A类物品，从中任取n件(n≤N) 时恰含有A类物品m件，要严格按其特点作出判断．
(1)P(A)＝1050＝0.05.
(2)解法1：第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产
品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品
的概率为949.
解法2：根据条件概率的定义计算，需要先求出事件
AB的概率：
P(AB)＝CC105202＝4195，
1 所以有P(B|A)＝PPAAB＝4955＝949. 答案：(1)0.05
• 重点难点
• 重点：随机变量分布列的意义，两点分布、二项分布、 条件概率、独立重复试验等概念的理解及有关公式运 用．
• 难点：各种概率分布的判断及应用．
• 知识归纳
• 1．随机变量
• (1)如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且 X随试验结果的不同而变化，那么变量X叫做随机变 量．
2018届高考数学一轮复习专题六概率与统计课时作业含解析文
概率与统计1．(2017·晋中模拟)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E 的学生有8人．(1)求该班学生中“立定跳远”科目的成绩为A 的人数；(2)已知该班学生中恰有2人的两科成绩等级均为A ，在至少有一科成绩等级为A 的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A 的概率．解：(1)因为“铅球”科目的成绩等级为E 的学生有8人，所以该班有8÷0.2＝40人，所以该班学生中“立定跳远”科目的成绩等级为A 的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.(2)由题意可知，至少有一科成绩等级为A 的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A ，另2人只有一个科目成绩等级为A .设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A 的同学，则在至少有一科成绩等级为A 的学生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，一共有6个基本事件．设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A ”为事件M ，所以事件M 中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P (M )＝16.2．(2017·贵州七校联考)从某校高三年级学生中抽取40名学生，将他们高中学业水平考试的数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．(1)若该校高三年级有640人，试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于60分的人数及相应的平均分(平均分保留到百分位)；(2)若从[40,50)与[90,100]这两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03.根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于高三年级共有学生640人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数为640×0.85＝544.可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为＋0.3×75＋0.25×85＋544≈77.94.(2)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有15种，如果2名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法为7种，所以所求概率P＝715.3．(2017·广东七校联考)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；(3)①若甲、乙两人的成绩的平均数与方差；②若现要从中选派一人参加数学竞赛，根据你的计算结果，你认为选派哪位学生参加合适？解：(1)作出茎叶图如下：(2)记甲被抽到的成绩为x ，乙被抽到的成绩为y ，用数对(x ，y )表示基本事件： (82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)， (82,85)，(82,95)，(82,75)，(82,80)， (82,90)，(82,85)，(79,95)，(79,75)， (79,80)，(79,90)，(79,85)，(95,95)， (95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)， (87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)， (87,85)，基本事件总数n ＝25.记“甲的成绩比乙高”为事件A ，事件A 包含基本事件：(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)，事件A 包含的基本事件数m ＝12，所以P (A )＝m n ＝1225，所以甲的成绩比乙高的概率为1225.(3)①x 甲＝15(70×1＋80×3＋90×1＋9＋2＋2＋7＋5)＝85，x 乙＝15(70×1＋80×2＋90×2＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，s 2甲＝15[(79－85)2＋(82－85)2＋(82－85)2＋(87－85)2＋(95－85)2]＝31.6，s 2乙＝15[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2]＝50，②因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．4．为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：的概率；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？(参考数据：∑i ＝13xi y i＝977，∑i ＝13x 2i ＝434)解：(1)m ，n 的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10.设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)．所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310.(2)由数据，求得x ＝13(11＋13＋12)＝12，y ＝13(25＋30＋26)＝27,3x y ＝972.∑i ＝13x i y i ＝11×25＋13×30＋12×26＝977，∑i ＝13x 2i ＝112＋132＋122＝434,3x 2＝432. 由公式，求得b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝977－972434－432＝52， a ^＝y －b ^x ＝27－52×12＝－3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(3)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；同样，当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．1．(2017·长沙模拟)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：(1))；(2)在本次训练中，从两班中分别任选1名同学，比较2人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率．解：(1)两个班数据的平均值都为7， 甲班的方差s 21＝－2＋－25＋－2＋－2＋－25＝2，乙班的方差s 22＝－2＋－25＋－2＋－2＋－25＝145， 因为s 21<s 22，甲班的方差较小，所以甲班的成绩更稳定．(2)甲班1到5号记作a ，b ，c ，d ，e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选1名同学，得到的基本样本空间为Ω＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，d 1，d 2，d 3，d 4，d 5，e 1，e 2，e 3，e 4，e 5}，Ω由25个基本事件组成，将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件A ，则A ＝{a 1，b 1，c 1，d 1，d 2，d 4，d 5，e 1，e 4，e 5}，A 由10个基本事件组成，所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为P (A )＝1025＝25.2．(2017·洛阳统考)有2 000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费(消费金额不超过1 000元)，其中有女士1 100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2 000名网购者中抽取200名进行分析，如下表．(消费金额单位：元)女士消费情况：男士消费情况：随机选出2名发放网购红包，求选出的2名网购者都是男士的概率；(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”附：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)依题意，女士应抽取110名，男士应抽取90名，故x ＝10，y ＝15.消费金额在[800,1 000](单位：元)的网购者共有15名，从中选出2名共有105种选法，若2名网购者都是男士，共有10种选法，所以选出的2名网购者都是男士的概率为10105＝221.(2)列联表如下：K 2＝110×90×60×140≈4.714.又4.714>3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．。
2018版高考数学(人教A版理科)大一轮复习配套讲义专题探究课六高考中概率与统计问题的热点题型Word版含解
高考导航 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；3.离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.热点一常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是探究提高 (1)本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i，这是本题求解的关键. (2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【训练1】 (2017·石家庄调研)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124； (2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差(规范解答)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】 (满分12分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望). 满分解答 解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.2分(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)· P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.5分 (2)X 的可能取值为2，3，4，5.6分P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，7分 P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， 8分P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝1081，9分P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881.10分故X的分布列为11分E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.12分❶得步骤分：这是得分点的步骤，有则给分，无则没分，步步为“赢”，求得满分.如第(1)问，引进字母表示事件，用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，计算概率值正确，得1分.第(2)问求出X的四个值的概率，每对一个得1分；列出随机变量X的分布列得1分.❷得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问，写出事件“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”分解为“甲在第1，2局连胜”“甲在第1局输，第2，3局连胜”“甲在第1局胜，第2局输，第3，4局连胜”，正确得2分.第(2)问，求四个概率时，结果错误，即使计算过程有步骤也不得分.❸得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证.如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分.求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【训练2】(2017·郑州调研)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2.②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】(2017·济南模拟)2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12.第4组的人数为5×0.04×40＝8.第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11.②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.探究提高本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【训练3】(2015·全国Ⅱ卷)某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散. (2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥， C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48. 热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b^＝l xy l xx＝2480＝0.3，a^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关. (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元). 探究提高 (1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a ^的公式进行准确的计算. 【训练4】 (2017·郑州模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E (X )和方差D (X ). 解 (1)完成2×2列联表如下：K 2＝100×（4060×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25. 由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3). X 的分布列为均值E(X)＝np＝3×25＝65，方差D(X)＝np(1－p)＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.(建议用时：80分钟)1.(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解(1)设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.20＋0.20＋0.10＋0.05＝0.55. (2)设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.10＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P（AB）P（A）＝P（B）P（A）＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为E(X)＝0.85a＋2a×0.05＝1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.2.(2016·贵州模拟)为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：(1)试判断能否有90% 附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）(2)随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和数学期望. 解 (1)因为K 2＝120×（15×40－35×30）250×70×45×75≈2.057，且2.057<2.706.所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关. (2)用分层抽样的方法抽取时抽取比例是645＝215， 则抽取女生30×215＝4人，抽取男生15×215＝2人. 依题意，X 可能的取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 24C 26＝615＝25；P (X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815；P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.X 的分布列为：X 的数学期望E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝23.3.(2017·武汉调研)某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择.若投资甲项目一年后可获得的利润ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：且ξ1的期望E (ξ1)＝120ξ2(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p (0<p <1)和1－p .若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与ξ2的关系如下表所示：(1)求m ，n 的值； (2)求ξ2的分布列；(3)若E (ξ1)<E (ξ2)，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围. 解 (1)由题意得⎩⎨⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2)ξ2的可能取值为41.2，117.6，204， P (ξ2＝41.2)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (ξ2＝117.6)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (ξ2＝204)＝p (1－p )， 所以ξ2的分布列为(3)由(2)可得E (ξ2)＝41.2p (1－p )＋117.6[p 2＋(1－p )2]＋204p (1－p )＝－10p 2＋10p ＋117.6，由E (ξ1)<E (ξ2)，得120<－10p 2＋10p ＋117.6， 解得0.4<p <0.6，即当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6).4.(2017·长沙测试)某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分.规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立. (1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列和数学期望；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率.解 (1)根据题意知X 的可能取值为0，2，3，4，5，7， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝16，P (X ＝2)＝C 12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝13，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝112，P (X ＝4)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝16，P (X ＝5)＝C 12×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13＝16，P (X ＝7)＝12×13×12＝112， ∴教师甲投篮得分X 的分布列为E (X )＝0×16＋2×13＋3×112＋4×16＋5×16＋7×112＝3.(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形.这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋13＋112＋16＋112×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112＝1948.5.(2017·广州调研)如图，李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.解 (1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A ，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况，所以P (A )＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意，X 的可能取值为0，1，2. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920. 所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，则随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以E (Y )＝3×12＝32， 所以E (X )<E (Y )， 所以应选择L 2路线上班.6.(2017·成都诊断)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X 的分布列及数学期望. 解 设Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y 的分布列如下：(1)A A 对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以P (A )＝P (Y ＝1)P (Y ＝3)＋P (Y ＝3)·P (Y ＝1)＋P (Y ＝2)·P (Y ＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)法一 X 所有可能的取值为0，1，2.X ＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P (X ＝0)＝P (Y ＞2)＝0.5；X ＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟， 所以P (X ＝1)＝P (Y ＝1)P (Y ＞1)＋P (Y ＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49； X ＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟， 所以P (X ＝2)＝P (Y ＝1)P (Y ＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2法二X所有可能的取值为0，1，2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝0.49；所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2。
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2017高考一轮复习统计概率专题一．解答题（共16小题）1．（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．2．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．3．（2016•河北区三模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．4．（2016•唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？5．（2016•武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，年级名次1～50951～1000是否近视近视4132不近视918能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879．6．（2016•海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）A配方的频数分布表 B配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[75，80）频数10304020频数510154030（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=（其中＜t ＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？7．（2016•兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．8．（2016•海口模拟）汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．9．（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．10．（2016•泰安二模）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男60____________女____________110合计__________________（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001k0 2.706 3.841 6.6357.87910.82811．（2016•辽宁校级模拟）语文成绩服从正态分布N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀．（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．（附公式及表）若x～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．12．（2016•潮南区模拟）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]芯片甲81240328芯片乙71840296（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．13．（2016•石嘴山校级一模）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如表所示：学生A B C D E数学（x分）8991939597物理（y分）8789899293（1）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程：（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．（附：回归方程中，，）14．（2016•重庆模拟）某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：x258911y1210887（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．15．（2016春•抚州校级月考）西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为．（1）乙、丙两人各自能被录用的概率；（2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．16．（2016•东城区模拟）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．2017高考一轮复习统计概率专题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X 的分布列和数学期望．【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X 012 3 4 6P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．2．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P（A）．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；共有+=15种，∴事件A发生概率：P==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．P（X=0）==P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X012P∴EX=0×+1×+2×=1．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意古典概型的灵活运用．3．（2016•河北区三模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．【解答】解：（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．依题意，集成电路E需要维修有两种情形：①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）=++×=．所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．X的分布列为：X0100200P∴EX=0×+100×+200×=．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．4．（2016•唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？【分析】（Ⅰ）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率．（Ⅱ）分别求出方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算．【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．P（X=160）=，P（X=224）==，P（X=256）==，P（X=320）==，则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．∵270＞240，∴第二种方案比较划算．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．5．（2016•武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，年级名次1～50951～1000是否近视近视4132不近视918能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879．【分析】（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数．（2）求出K2，由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（1）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…（1分）因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18…（2分）所以视力在5.0以下的频率为：=0.82，故全年级视力在5.0以下的人数约为…（3分）（2）因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（6分）（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，…（7分），，，，∴X的分布列为：X0123P…（11分）X 的数学期望…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型机随机变量概率分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用．6．（2016•海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）A配方的频数分布表 B配方的频数分布表指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）指标值分组[75，80）[80，85）[85，90）[90，95）[75，80）频数10304020频数510154030（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：y=（其中＜t ＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【分析】（1）先求出P（抽中二级品）=，由此能求出事件C的概率P（C）．（2）分别求出A的分布列，E（A）和B的分布列E（B），由此能求出从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大．【解答】解：（1）P（抽中二级品）=，P（没抽中二级品）=，P（C）=1﹣（）3=．（3）A的分布列为：y t5t2P0.60.4∴E（A）=0.6t+2t2B的分布列为：y t5t2t2P0.70.250.05∴E（B）=0.7t+1.3t2∵＜t＜，∴E（A）﹣E（B）=t（t﹣）＞0，∴E（A）较大，投资A．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．7．（2016•兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）求甲取到白球的概率．【分析】（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．利用互斥事件概率加法公式，可得：甲取到白球的概率．【解答】解：设袋中白球共有x个，则依题意知：=，即=，即 x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（x=1）==，P（x=2）==，P（x=3）==，P（x=4）==，P（x=5）==，…（5分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）随机变量X的概率分布列为：X12345P所以E（X）=1×+2×+3×+4×+5×=2．…（6分）（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．依题意知：P（A1）==，P（A2）==，P（A3）==，…（9分）（注：此段（3分）的分配是每错1个扣（1分），错到3个即不得分．）所以，甲取到白球的概率为P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=…（10分）【点评】本题考查的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式，难度中档．8．（2016•海口模拟）汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105（ I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：A型车1天B型车3天；A型车B型车都2天；A型车3天B型车1天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）从数学期望和方差分析即可得出结论．【解答】解：（ I）∵出租天数为3天的汽车A型车有30辆，B型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率约为=0.6．（ II）设“事件A i表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件B j表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2， (7)则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==．该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为．（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为X1234567P0.050.100.300.350.150.030.02设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为Y1234567P0.140.200.200.160.150.100.05E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差大于B型车出租天数的方差，综合分析，选择A类型的出租车更加合理．【点评】上来掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件和独立事件的概率计算公式、数学期望和方差的计算公式和意义是解题的关键．9．（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．由此能求出甲获得比赛胜利的概率．（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）甲获得比赛胜利包含三种情况：①甲连胜三局；②前三局甲两胜一负，第四局甲胜；③前四局甲两胜两负，第五局甲胜．∴甲获得比赛胜利的概率：p=++C（）2（）2×=．（2）由已知得X的可能取值为3，4，5，P（X=3）==，P（X=4）=+×=，P（X=5）=C（）2（）2×+C（）2（）2×=，∴随机变量X的分布列为：X 3 4 5P数学期望EX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．10．（2016•泰安二模）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？课外体育不达标课外体育达标合计男6030 90女90 20 110合计150 50 200（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．附参考公式与数据：K2=P（K2≥k0）0.100.050.0100.0050.001k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）由题意得“课外体育达标”人数为50，则不达标人数为150，由此列联表，求出K2=，从而得到在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为9人，在达标学生中抽取人数为3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数为：200×[（0.02+0.005）×10]=50，则不达标人数为150，∴列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200∴K2==，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由认为“课外体育达标”与性别有关．（2）由题意得在不达标学生中抽取的人数为：12×=9人，在达标学生中抽取人数为：12×=3人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，。