10-5对坐标曲面积分
10.5_第二类(对坐标)的曲面积分
求和 流过有向曲面Σ (从负侧流向正侧)的总 流量Φ的近似值为 n n Φ ΔΦ v ( M i ) n( M i ) ΔSi .
i 1 i 1
取极限 当各小块ΔSi的最大直径 0时, 取极限得到流量Φ的精确值为 n lim v ( M i ) n( M i ) ΔSi . 0 i 1 除了流量以外, 电流强度 E ( M ) 通过有向曲面 的电通量Φ也可表示同一类型的极限 n lim E ( M i ) n( M i ) ΔSi .
第一类曲面积分 两类曲面积分的转化公式
14
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
四、第二类曲面积分的计算法
若光滑有向曲面Σ 由方程 z = z(x, y)给出, Σ在xOy面上的投影区 域为Dxy , 函数 z(x, y)在 Dxy上具有一阶连续偏 导数, 则由
x
z
n
dS
z z( x , y )
如曲面Σ为封闭曲面: F ndS .
12
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
2.性质
(1) 线性性质 (k1F1 k2 F2 ) ndS
(k1, k2为常数)
k1 F1 ndS k2 F2 ndS ,
(2) 可加性 若Σ由Σ1和Σ2组成, 则 F ndS F ndS F ndS ,
1
2
(3) 有向性 F ndS F ndS .
13
10.5 第二类(对坐标)的曲面积分
三、两类曲面积分之间的联系
设 F ( x, y, z ) { P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )}, n( x , y , z ) {cos , cos , cos },
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分 ㈠本课的基本要求了解对坐标的曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握对坐标的曲面积分的计算方法㈡本课的重点、难点对面积的曲面积分的概念为重点，其计算方法为难点 ㈢教学内容一．对坐标的曲面积分的概念与性质 这里假定曲面是光滑的。
通常我们遇到的曲面都是双侧的。
例如由方程),(y x z z =表示的曲面，有上侧与下侧之分（假定z 轴铅直向上）；又例如，一张包围某一空间区域的闭曲面，有外侧与内侧之分。
以后我们总假定所考虑的曲面是双侧的。
在讨论对坐标的曲面积分时，需要指定曲面的侧。
我们可以通过曲面上法向量的指向来定出曲面的侧。
例如，对于曲面),(y x z z =，如果取它的法向量n 的指向朝上，我们就认为取定曲面的上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量的指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧。
这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就你为有向曲面。
设∑是有向曲面。
在∑上取一小块曲面s ∆，把s ∆投影到xoy 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为xy )(σ∆。
假定s ∆上各点处的法向量与z 轴的夹角γ的余弦γcos 有相同的符号（即γcos 都是正的或都是负的）。
我们规定s ∆在xoy 面上的投影xy s )(∆为⎪⎩⎪⎨⎧≡<∆->∆=∆0cos ,00cos ,)(0cos ,)()(γγσγσxy xy xys 其中0cos ≡γ也就是0)(=∆xy σ的情形。
s ∆在xoy 面上的投影xy s )(∆实际就是s ∆在xoy 面上的投影区域的面积附以一定的正负号。
类似地可以定义s ∆在yoz 面及zox 面的投影yz s )(∆及zx s )(∆。
1．引例：流向曲面一侧的流量问题 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由k z y x R j z y x Q i z y x P z y x v ),,(),,(),,(),,(++=给出，∑是速度场中一片有向曲面，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 都在∑上连续，求在单位时间内流向∑指定侧的流体的质量，即流量Φ。
对坐标的曲面积分
1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20
第五节 对坐标的曲面积分
3π 3π 3π ydzdx = 0 + + = 4 4 2
例3 计算
∫∫ xzdxdy + xydydz + yzdzdx Σ
Σ
其中Σ 是
所围成的
平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 空间区域的整个边界曲面的外侧 解
z
Σ
分成四个部分 左侧 下侧 后侧
z
例 1 计 ∫∫ xyzdxdy 算
Σ
+
Σ2
中Σ 其 Σ 球 中 是 面
x2 + y2 + z2 = 1外侧
在x ≥ 0, y ≥ 0的 分 部 .
y
x
Σ1
解
把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
Σ 1 : z1 = 1 x y ;
2 2
Σ 2 : z2 = 1 x y ,
2 2
∫∫ xyzdxdy = ∫∫ xyzdxdy + ∫∫ xyzdxdy
曲面法向量的指向决定曲面的侧 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 向量的指向决定曲面的 有向曲面. 决定了侧的曲面称为有向曲面 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题: 有 曲 Σ 取 小 曲面的投影问题: 在 向 面 上 一 块
曲面 S S在xoy面 , 上的投影(S)xy为
(σ )xy (S)xy = (σ )xy 0 当cosγ > 0 时 当cosγ < 0 时. 当cosγ = 0 时
v
流量
θ
A
n0
Φ = Av cosθ = v n0 A
设稳定流动的不可压缩流体( (2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
对坐标的曲面积分的几何意义
对坐标的曲面积分的几何意义
坐标的曲面积分是一个重要的数学工具，用于计算曲面上某个向量场的通量，它的几何意义可以从以下几个方面来解释：
1. 曲面积分可以用来计算曲面上某个向量场的通量。
通量是指向量场通过曲面的流量，它的值等于向量场在曲面上的投影与曲面面积的乘积。
因此，曲面积分可以用来计算向量场在曲面上的流量，这对于研究流体力学、电磁学等领域具有重要意义。
2. 曲面积分可以用来计算曲面的面积。
曲面积分的积分元素是面积微元，因此对曲面积分进行求和可以得到曲面的面积。
这对于计算复杂曲面的面积具有重要意义。
3. 曲面积分可以用来计算曲面上某个标量场的平均值。
标量场是指在空间中每一点都有一个标量值的场，例如温度场、密度场等。
曲面积分的积分元素是面积微元，因此对标量场在曲面上进行积分可以得到标量场在曲面上的平均值。
4. 曲面积分还可以用来计算曲面上某个向量场的旋度。
旋度是指向量场在某一点处的旋转强度，它的值等于向量场在该点处的环流密度。
曲面积分可以用来计算向量场在曲面上的环流，从而得到向量场在曲面上的旋度。
总之，坐标的曲面积分在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，它的几何意义包括计算向量场的通量、曲面的面积、标量场的平均值和向量场的旋度等。
高等数学对坐标的曲面积分教案
n
大值 0 时
lim
0
i1
R(i
,i,
i
)(Si
讲练结合
教 学过 程
教法运用及 板书要点
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程 zz(x y) 表示
的曲面分为上侧与下侧 设 n(cos cos cos)为曲面上的法向量 在曲面
的上侧 cos0 在曲面的下侧 cos0 闭曲面有内侧与外侧之分
类似地 如果曲面的方程为 yy(z x)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的
把曲面 分成 n 小块 S1 S2 Sn(Si 同时也代表第 i 小块曲面的 面积) 在 是光滑的和 v 是连续的前提下 只要Si 的直径很小 我们就可以 用Si 上任一点(i, i, i )处的流速
viv(i, i, i )P(i, i, i )iQ(i, i, i )jR(i, i, i )k 代替Si 上其它各点处的流速 以该点(i, i, i )处曲面 的单位法向量
nicosi icosi j cosi k 代替Si 上其它各点处的单位法向量 从而得到通过Si 流向指定侧的流量的近 似值为 viniS i (i1, 2, ,n) 于是 通过 流向指定侧的流量
n
vi niSi
i1
n
[P(i,i,i)cosi Q(i,i,i)cosi R(i,i,i)cos i]Si
时间
---------月---------日 星期-----------------
教学课件第五节对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)
进阶习题2
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在第
一卦限的部分。
综合习题
综合习题1
求对坐标的曲面积分∫∫(x^2 + y^2)dydz z^2dxdz，其中Σ为曲面z = x^2 + y^2在 第一卦限的部分，并给出其几何意义。
03
第二类曲面积分的几何意义
几何意义的解释
1 2
3
曲面积分
第二类曲面积分是针对曲面侧的正向或负向的积分，其几何 意义表现为对曲面侧的“净流量”或“净通量”的度量。
净流量
当积分号前的函数表示某种物理量（如力、速度、密度等） 时，第二类曲面积分的几何意义可以解释为通过被积分的曲 面侧的净流量，即流入与流出的差值。
第二类曲面积分的计算方法概述
计算步骤
计算第二类曲面积分需要确定定向曲面、选择适当的坐标系、计算面积分范围、 选择合适的方向场，并利用微元法或高斯公式等工具进行计算。
注意事项
在计算过程中，需要注意坐标系的选取要便于计算和简化问题，同时要准确理 解和应用方向场的定义和性质。
02
第二类曲面积分的计算公式
净通量
在某些物理或工程问题中，第二类曲面积分的几何意义可以 解释为通过被积分的曲面侧的净通量，即流入与流出的通量 之差。
几何意义的应用场景
流体动力学
在流体动力学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述流体通过某一曲面的流量或通量。
电磁学
在电磁学中，第二类曲面积分的几何意义可以用来描述电场或磁场通过某一曲面的通量或流量。
公式推导与理解
公式推导
通过引入向量场、定向曲面等概念，利用散度定理和微积分基本定理推导得出第 二类曲面积分的计算公式。
对坐标的曲面积分的计算方法(一)
对坐标的曲面积分的计算方法(一)对坐标的曲面积分的计算方法1. 引言曲面积分是微积分中的一种重要计算方法，用来求解三维空间中曲面上的某种量的总量。
其中，对坐标的曲面积分是其中一种常见的计算方法。
本文将详细介绍对坐标的曲面积分的计算方法。
2. 曲面积分的定义对坐标的曲面积分是指将一个函数在曲面上的每一点上的值乘以一个微小面积后进行累加得到的总量。
数学上，对坐标的曲面积分的公式如下：[曲面积分公式](其中，[f(x, y, z)]( 是定义在曲面上的函数，[dS]( 表示微小面积。
3. 计算方法对坐标的曲面积分的计算方法可以分为以下几种：3.1 参数化曲面法参数化曲面法是最常用的计算方法之一。
它将曲面上的点表示为二维参数域上的点，然后通过将参数域上的点映射到三维空间，从而得到曲面上的点坐标。
根据参数化曲面的定义，可以将对坐标的曲面积分转化为对参数域上的曲面积分的计算。
3.2 曲面积分的直接计算法对于某些特定的曲面，可以直接计算对坐标的曲面积分。
例如，球面、平面等特殊曲面具有简单的几何形状，可以直接进行计算。
3.3 曲面积分的换元计算法曲面积分的换元计算法是通过选择适当的变量替换来简化计算。
例如，对于某些问题，可以通过使用球坐标、柱坐标或其他坐标系来简化计算。
3.4 曲面积分的参数消去法对于某些特殊的曲面，可以通过参数消去法来简化计算。
参数消去法通过选择适当的参数变换，将曲面的方程转化为简化形式，从而简化对坐标的曲面积分的计算。
4. 结论对坐标的曲面积分的计算方法有很多种，可以根据具体的曲面和问题选择合适的方法。
参数化曲面法、直接计算法、换元计算法和参数消去法都是常用的计算方法。
在实际应用中，需要根据具体情况灵活选择合适的方法来求解对坐标的曲面积分。
以上是对坐标的曲面积分的计算方法的一些简要介绍，希望对读者有所帮助。
（以上内容仅供参考，具体计算方法以教材和相关资料为准。
）5. 参数化曲面法详解参数化曲面法是计算对坐标的曲面积分最常用的方法之一，下面将详细介绍该方法的步骤：5.1 确定参数域首先，需要确定参数域，即一个二维参数空间。
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= a∫∫ d x d y
Dx y
+ ∫∫ (z + x) d x d y] ∑2 a ∫∫ ( + x) d x dy ] Dxy 2
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z
∫∫ ( x + a ( y ≤ a , z ≤ a ) 取前侧 2 2 2 ∑ 的后部 ∑4 : x = a ( y ≤ a , z ≤ a ) 取后侧 2 2 2
令dS = (dydz, dzdx, dxdy)
A= (P(x, y, z), Q(x, y, z) , R(x, y, z) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
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∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = ∫∫ A d S Σ
3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则
i=1
∑[
+ Q(ξi ,ηi ,ζ i )(Si )zx
n
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二类曲面积分. 记作
∫∫Σ Pdy d z + Qd z d x + Rdxdy
积分曲面. 积分曲面 P, Q, R 叫做被积函数 ∑ 叫做积分曲面 被积函数; 被积函数
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∫∫∑ Pdy d z + Qdz d x + Rdxd y n = lim ∑[ P(ξi ,ηi ,ζ i )(Si ) yz + Q(ξi ,ηi ,ζ i )(Si )zx λ→0
i=1
+ R(ξi ,ηi ,ζ i )(Si )xy ]
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
= lim ∑
λ→0
i=1
∫∫Σ A d S
∫∫∑i A d S
(2) 用Σ 表示 Σ 的反向曲面, 则
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 定理 设光滑曲面 是 ∑ 上的连续函数, 则
xy
取上侧,
∫∫Σ R(x, y, z) d xd y = ∫∫D R(x, y, z(x, y)) d xd y n 证: ∫∫ R(x, y, z) d x d y = lim ∑ Σ λ→0
+ ∫∫ ( y + z)d z dx]
∑6
z
y
= a∫∫ d z d x
Dzx
a ∫∫ ( + z)d z dx ] Dzx 2
x
3
所 原 所 ， 式 = 3a
例2. 计算曲面积分 ∫∫ xyz d x d y, 其中 ∑ 为球面 x2 +
∑
+ y2 + z2 =1 外侧在第一和第五卦限部分.
解
→
2
2
2
y
x
→
n = ±( 2x, 2 y , 2z )
→ →
取 n = ( x, y , z ) = n°
n
∴ I = ∫∫ ( xy z)cosγ d S
Σ
= ∫∫ x y z 2 d S
Σ
0 ≤θ ≤ π 2 球面上的面积元素 dS = 12 sin ddθ Σ 0 ≤ ≤ π π
I =∫
的曲面积分; 对 ∫∫Σ Pd y d z 称为P 在有向曲面∑上对 y, z 的曲面积分 称为Q 在有向曲面∑上对 z, x 的曲面积分 的曲面积分; 对 引例中, 流过有向曲面 ∑ 的流体的流量为
Σ
的曲面积分. 对 ∫∫Σ Rd xd y 称为R 在有向曲面∑上对 x, y 的曲面积分
Φ = ∫∫ Pdy d z + Qd z d x + Rdx dy
n
v
θ
S
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对一般的有向曲面∑ , 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 进行分析可得 Φ = lim ∑ vi ni Si λ→0
n i=1
ni vi
设ni = (cosαi , cos βi , cosγ i ), 则
n
Σ
Φ = lim ∑[ P(ξi ,ηi ,ζi ) cosαi + Q(ξi ,ηi ,ζi ) cos βi
解: 把 ∑ 分为上下两部分
z
o Dx y
∑2
∑1 : z = 1 x2 y2 ∑2 : z = 1 x y x2 + y2 ≤1 (x, y) ∈Dxy : x ≥ 0, y ≥ 0
2 2
x
1y ∑1
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∴
∫∫∑ xyz d xd y = ∫∫∑ xyz d xd y + ∫∫∑ xyz d xd y = ∫∫ xy ( 1 x2 y2 )d x d y D + ∫∫ xy 1 x2 y2 d x d y D
曲面分上侧和 下侧
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指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦 侧的规定
cosα
cos β
cos γ
封闭曲面 外侧 内侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
设 Σ 为有向曲面, 其上一块S 在 xoy 面上的投影记为 (S)xy , 则规定 的面积为
2 dθ 0 0
∫
π
(sin cosθ )(sin sinθ )(cos ) sin d
2
π
I =∫
2 sin θ 0
cosθ dθ
π
2 0
∫0 sin
5
π
3
cos d
3
2
1 2 = sin θ 2
cos cos 3 5
π
0
1 4 2 = = 2 15 15
#
例6. I =
(右正左负)
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例1. 计算 ∫∫ (x + y) d y d z + ( y + z) d z d x + (z + x) d x d y 其中 ∑ 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧. 解:
∑
z
y
∫∫ (z + x)d x d y
∑
x
∑1 : z = a ( x ≤ a , y ≤ a ) 取上侧 ∑ 的顶部 2 2 2
(S)xy
(σ ) xy , 当 γ > 0时 cos = (σ )xy , 当 γ < 0时 cos
类似可规定
0,
当 γ ≡ 0时 cos
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(S) yz , (S)zx
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二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 ∑ 的流量Φ . 分析: 分析 若 ∑ 是面积为S 的平面, 法向量: 流速为常向量: 则流量
∵Σ 取上侧, ∴(Si )xy = (σi )xy
i=1
ζi = z(ξi , ηi )
n i=1
= lim
= ∫∫
∑ R(ξi ,ηi , λ→0
Dxy
) (σi )xy
R(x, y, z(x,y)) d x d y
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说明: 说明 如果积分曲面 Σ 取下侧, 则
( P =? Q =?
R =? )
y
→
x 2 + y 2 dS = = x 2 + y 2 Σ
∫∫
Σ
x2 + y2 d S
x
n
Σ 是柱面 x + y =1被平面z = 0 及 z = 3 所截得
2
2
的 在第 一卦限 内的部 的 分 前侧.
x = cosθ Σ y = sin θ z = z
∫∫Σ R(x, y, z) d xd y = ∫∫Dxy R(x, y, z(x, y))d xd y
若 则有
∫∫Σ P(x, y, z) d ydz = ±∫∫Dyz P(x( y, z) , y, z) d yd z
若 则有
(前正后负)
∫∫ΣQ(x, y, z) d z d x= ±∫∫Dzx Q(x, y(z, x), z )d zd x
x
+ ∫∫ ( x + y)d y dz]
∑4
= a∫∫ d y d z
Dyz
a ∫∫ ( + y)d y dz ] Dyz 2
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∫∫ ( y + z)d z d x
∑
∑ 的右部 ∑5 : y = a ( x ≤ a , z ≤ a ) 取右侧 2 2 2 ∑ 的左部 ∑6 : y = a ( x ≤ a , z ≤ a ) 取左侧 2 2 2
S
z
S 是 z = x + y (0 ≤ z ≤1) 的下侧.
2
2
r n
S
解. 化成第一类曲线积分计 , 算
S: z = x + y ,
→
2
2
x
y
n = ( 2x, 2 y , 1 ) ,