计算方法 基本概念和Newton-Cotes公式ch04a r
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
newton-cotes公式
newton-cotes公式
Newton-Cotes 公式是一种数值积分方法，用于近似计算函数的
定积分。
在这个公式中，我们将定积分的区间划分成若干小区间，然
后在每个小区间上使用一个插值多项式来代替原函数。
这样，我们可
以通过求解这些插值多项式的定积分来近似计算原函数的定积分。
Newton-Cotes 公式可以用来计算不同阶数的插值多项式的定积分。
其中最简单的形式是梯形法则，通过将定积分区间划分成两个小
区间，然后在每个小区间上使用线性插值来计算定积分。
更高阶的 Newton-Cotes 公式包括 Simpson 法则和龙贝格-柯朗
尼法则。
这些公式使用更高次的插值多项式来近似计算定积分，从而
提高精度。
然而，Newton-Cotes 公式也有其限制。
随着小区间数量的增加，插值多项式的阶数也会增加，从而使得计算定积分所需的计算量增加。
此外，当函数在某些小区间上变化较大时，使用插值多项式可能会导
致较大的误差。
总之，Newton-Cotes 公式是一种常用的数值积分方法，适用于
近似计算函数的定积分。
通过选择合适的插值多项式阶数和定积分区
间划分方式，我们可以根据需要在精度和计算效率之间进行权衡。
newton-cotes 公式
newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。
不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。
牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
数值分析6.2牛顿-柯特斯公式
选择适合数值计算的编程语言，如Python、C或Matlab等。
算法实现
根据牛顿-柯特斯公式，编写相应的算法代码，包括迭代过程和 计算步骤。
测试和验证
对算法进行测试和验证，确保其正确性和稳定性。
牛顿-柯特斯公式的数值稳定性分析
数值稳定性定义
01
数值稳定性是指算法在计算过程中对微小误差的抵抗
04
对于非连续的非线性方程，该方法可能失效，因为泰勒级数展开的前 提假设被破坏。
对牛顿-柯特斯公式的未来展望和研究方向
未来展望
随着计算机技术的不断发展，牛顿-柯特 斯公式在数值计算领域的应用将更加广 泛。未来可以研究如何改进算法的稳定 性和收敛性，提高求解非线性方程的精 度和效率。
VS
研究方向
针对牛顿-柯特斯公式的应用领域，可以 进一步研究其在科学计算、工程技术和金 融等领域的应用，以及与其他数值计算方 法的结合与优化。同时，可以探索该方法 在并行计算和云计算环境下的实现和应用 。
详细描述
非线性方程的求解是一个常见的问题，而牛顿-柯特斯公式提 供了一种有效的迭代方法。通过不断迭代和修正方程的解， 该方法能够快速收敛到方程的真实解，尤其在处理复杂或高 维非线性方程时表现出色。
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程中的应用
总结词
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程时能够提供高精度的解，尤其适用于初值问题和边界问题。
详细描述
在数值积分中，牛顿-柯特斯公式能够通过迭代的方式，逐步逼近积分的真实值。相比于其他数值积分方法，如 梯形法则和辛普森法则，牛顿-柯特斯公式在处理复杂函数或高维积分时具有更高的精度和效率。
牛顿-柯特斯公式在求解非线性方程中的应用
总结词
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是一种用于数值积分的方法，是通过将积分区间分割成若干个子区间，在每个子区间上用一个多项式来逼近被积函数，然后通过对这些多项式进行求和来得到整个积分的近似值的方法。
牛顿-柯特斯公式的基本思想是将被积函数在每个子区间上进行插值近似。
首先，我们将积分区间[a, b]等分成n个相等的子区间，即h=(b-a)/n，其中n为等分的个数。
对于每个子区间，我们使用一个多项式来逼近被积函数。
对于每个子区间[xi, xi+1]，我们可以通过使用牛顿插值公式将被积函数在这个子区间上用一个多项式f(xi,x)=f(xi)+f[xi,xi-1]·(x-xi)+f[xi,xi-1,xi-2]·(x-xi)·(x-xi-1)+...来近似。
其中f(xi)代表被积函数在xi处的函数值，f[...]代表被积函数在对应节点处的高阶差商。
然后，我们将这个多项式进行积分。
根据牛顿插值多项式的性质，多项式的积分可以用其在区间上的若干个节点处的函数值和差商来表示。
因此，我们可以对多项式进行积分，得到在每个子区间上的近似积分值。
最后，我们将这些近似积分值求和，得到整个积分的近似值。
具体而言，牛顿-柯特斯公式的一种常见形式是梯形公式。
梯形公式的基本思想是将积分区间[a, b]等分成n个子区间，并在每个子区间上使用一个线性函数来近似被积函数。
这个线性函数由被积函数在两个节点上的函数值和斜率确定，因此得名“梯形”。
对于一个子区间[xi, xi+1]，梯形公式的积分近似值可以通过积分公式∫(xi,xi+1) f(x) dx ≈ (f(xi) + f(xi+1))·h/2来计算。
其中，f(xi)和f(xi+1)分别为被积函数在两个节点处的函数值，h=xi+1-xi为子区间的宽度。
最后，将所有子区间上的积分近似值求和，我们可以得到整个区间[a, b]上的积分值的近似值。
牛顿-柯特斯公式不仅仅包括梯形公式，还包括其他形式的多项式插值，如Simpson公式和Boole公式等。
科特斯公式
17
Newton-Cotes 公式
n = 1:
C
(1) 0
1 = , 2
C
(1) 1
1 = 2
∫
b a
b−a [ f ( a ) + f ( b )] ≡ T f ( x )dx ≈ 2
梯形公式 代数精度 = 1
1 2 1 ( 2) ( 2) n = 2: C = , C1 = , C 2 = 6 3 6 b b−a 抛物线公式 a+b ∫ a f ( x )dx ≈ 6 [ f (a) + 4 f ( 2 ) + f (b)] ≡ S Simpson公式
a b
b
但是在许多实际计算问题中
(1) F(x) 表达式较复杂时，计算较困难。如 f ( x ) = (2) F(x) 难求！甚至有时不能用初等函数表示。 如 f ( x ) = 1 sin x , e − x
x
2
1 1 + x6
(3) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表
4
几个简单公式
一般地，用 f(x) 在 [a, b] 上的一些离散点 上的函数值的加权平均作为 f (ξ) 的近似值，可得
a ≤ x0 < x1 < ··· < xn ≤ b
n
∫
b a
f ( x )dx ≈ ∑ Ai f ( xi )
i =0
机械求积公式
求积系数
求积节点
将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算 无需求原函数 易于计算机实现
∑ f ( x )∫
b
n
b
l ( x ) dx ≡ ∑ Ai f ( xi )
第五讲 Newton-Cotes公式与数值微分
1 2 1 1 1 2 3 1 I(x )=∫ x dx = ,I1 (x 3 )= × - × + × = ; 0 4 3 4 3 2 3 4 4
3 1 3
3
3
3
1 2 1 1 1 2 3 4 I(x )=∫ x dx = ≠ I1 (x )= × - × + × ; 0 5 3 4 3 2 3 4 所以求积公式具有3次代数精度.
∫
当n=1,
1
1
0.5
x dx
答案: 答案 f ( x ) = x , a = 0.5, b = 1
0.5 ( ∫0.5 2 1 0.5 当n=2, ∫ ( x dx ≈ 0.5 6 1 0.5 当n=3, ∫ x dx ≈ ( 0.5 8 1 0.5 (7 当n=4, ∫0.5 xdx ≈ 90 ≈ 0.430964 x dx ≈
j≠i
ci( n )
牛顿－ 牛顿－柯特 斯求积公式 柯特斯求 积系数
∫
b
a
f ( x )dx ≈ (b − a )∑ f ( xi ) ci( n )
i =0
n
c
(n) i
( −1)n − i n n = ∫0 ∏ (t − j )dt i ! ( n − i )! j =0
j≠i
柯特斯求积系数表： 柯特斯求积系数表：
练习 判断下列求积公式的代数精度： 判断下列求积公式的代数精度：
∫
1
0
2 1 1 1 2 3 f ( x )dx ≈ f - f + f 3 4 3 2 3 4
1
答案: 答案
记 I(f )= ∫ f ( x )d x , I 1 (f ) =
newton-cotes求积公式
f ( (a ~t h))
1
t(t 1)dt
f ()
0
0
6
其中 (a ~t h) (a,b) 。
因此，梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
的截断误差为
R1
(b a)3 12
f (),
(a,b)
1 x2
1
ex
f
( x)
(
2 x3
1 x4
1
)e x
max f (x) f (1) 8.1548
1 x2
截断误差估计为
R1
(2 1)3 12
max
1 x2
f (x)
0.6796
用Simpson公式计算，得
2 1
e x dx
2
1 (e
1
4e1.5
b
f (x)dx (b a)
a
n
C (n) k
f
( xk
)
④
k 0
这就是一般的牛顿—科茨公式，
其中 C (n) k
称为科茨系数。
从科茨系数公式③可以看出，科茨系数
C (n) k
的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了
积分区间的等分数n，就能算出 C0(n) , C1(n) , , Cn(n)
在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。
梯形公式
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
辛普森公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
数值分析 -牛顿-科特斯公式
n
[
k 1
f
( k
)
h]
h2 b f ( x)dx h2 [ f (b) f (a)]
12 a
12
上例中若要求 | I Tn ，| 则106
|
Rn[
f
]|
h2 12
|
f
(1)
f
(0) |
h2 6
106
h 0.00244949 即：取 n = 409
阶
~ ~ ~ Tn O(h2 ) , Sn O(h4 ) , Cn O(h6 )
1
例：计算
dx 4
0 1 x2
解：
T8
1 16
f
(0)
7
2
k 1
f
( xk
)
f
(1)
其中
k xk 8
运算量基 本相同
= 3.138988494
S4
1 24
f
(0)
)
f ( xi1)]
i0
b f (x) dx
a
h 6
f
(a)
4
n1 i0
n1
f
(
xi
1 2
)
2
i1
f (xi)
f (b)
Sn
xk
余项：
xk
1 2
x k 1
4
4
4
4
4
I[ f ]
Sn
n1
h5 2880
f (4)(i )
牛顿科特斯求积公式的系数之和
牛顿-科特斯求积公式是数学中的一种用于数值积分的方法。
在使用牛顿-科特斯求积公式进行数值积分时，需要首先确定所需的阶数，然后计算对应的系数。
在这篇文章中，我们将讨论牛顿-科特斯求积公式的系数之和，以及与其相关的一些重要概念和应用。
一、牛顿-科特斯求积公式的概念和原理牛顿-科特斯求积公式是一种数值积分方法，通常用于对定积分进行数值近似计算。
其原理是在给定的区间上，将被积函数进行插值，然后计算插值函数的积分，从而近似原函数的定积分值。
具体来说，对于给定的区间[a, b]和积分函数f(x)，牛顿-科特斯求积公式可以表示为：∫f(x)dx ≈ h/2 * [f(x0) + 2∑(i=1 to n-1) f(x_i) + f(x_n)]其中，h = (b-a)/n，n为插值节点的数量，x0 = a，x_i = a + i*h，x_n = b。
二、牛顿-科特斯求积公式的系数之和我们现在来讨论牛顿-科特斯求积公式中系数之和的计算。
我们知道，在牛顿-科特斯求积公式中，系数h/2是一个常数项，而f(x0)和f(x_n)分别是被积函数在区间端点的函数值，其系数也为1。
我们只需要关注∑(i=1 to n-1) f(x_i)部分的系数之和。
定义∑(i=1 to n-1) f(x_i)的系数之和为Cn，即：Cn = 2∑(i=1 to n-1) 1其中，1为每个f(x_i)前的系数，而2为相邻节点之间的权重，其作用是对函数进行等距离的插值。
通过对Cn进行计算和分析，我们可以得到牛顿-科特斯求积公式中系数之和的具体表达式，从而帮助我们更好地理解和应用该数值积分方法。
三、牛顿-科特斯求积公式系数之和的计算为了计算牛顿-科特斯求积公式中系数之和的表达式，我们首先将∑(i=1 to n-1) 1进行展开，得到：∑(i=1 to n-1) 1 = 1 + 1 + ... + 1 (共计n-1项)根据等差数列的求和公式，上式可以进一步化简为：∑(i=1 to n-1) 1 = (n-1)牛顿-科特斯求积公式中系数之和的表达式可以写为：Cn = 2*(n-1)这就是牛顿-科特斯求积公式中系数之和的具体表达式。
newton-cotes计算积分近似值
newton-cotes计算积分近似值
Newton-Cotes求积公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
其基本思想是将积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为代表点，用该点的函数值乘以子区间的宽度，再将所有代表点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，最后将求和结果作为积分值的近似值。
具体来说，Newton-Cotes求积公式可以分为以下几种形式：
梯形公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的中点处取值并乘以相应的宽度h/2，将所有中点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
辛普森公式：将积分区间分成n个等长的子区间，每个子区间的宽度为h，然后在每个子区间的左端点和右端点处取值并乘以相应的宽度h/3，将所有端点的函数值乘以相应子区间的宽度求和，即可得到积分值的近似值。
复合梯形公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用梯形公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
复合辛普森公式：将整个积分区间分成若干个子区间，然后在每个子区间上采用辛普森公式进行计算，最后将所有子区间的近似值相加即可得到积分值的近似值。
需要注意的是，Newton-Cotes求积公式的收敛性和误差估计取决于子区间的数目和选择的位置，因此在实际应用中需要选择适当的子区间数目和位置以提高近似值的精度。
此外，Newton-Cotes求积公式适用于被积函数在积分区间上连续的情况，如果被积函数在积分区间上不连续或者存在奇点，则可能需要采用其他数值积分方法进行处理。
数值分析Newton-Cotes公式
常用复化求积公式 1. 复化梯形公式 2. 复化辛普生公式
3. 复化柯特斯公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
2222
第四章 数值积分与数值微分
1.复化梯形公式
在每个小区间 [ xk 1 , xk ]上应用梯形公式得：
1111
第四章 数值积分与数值微分 a b
3. n=4时的Cotes求积公式
x0 x1 x2 x3 x4
按Newton-Cotes系数公式可以计算出
C
(4) 0
7 16 ( 4 ) 2 16 ( 4 ) 7 (4) (4) , C1 , C2 , C3 , C4 , 90 45 15 45 90
上述公式称为Simpson求积公式。 容易验证Simpson求积公式具有３次的代数精确度． 余项公式为：
(b a) ( 4 ) R2[ f ] f ( ) [ ( a, b)] 2880
5
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
Cotes系数性质
(1) C
n
( n) k
C
( n) n k
(对称性)
( 2)
( n) C k 1 k 0
几种常用的Newton-Cotes求积公式
梯形公式，辛普生公式，Cotes公式
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
k 0
求积系数
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Newton-Cotes公式
4.1-4.2Newton-Cotes求积公式
b
a
n
Ak f ( x k )
(1 )
k 0
(1)为数值求积公式. Ak为求积系数, 且仅与求积节(结)点xk有关.
R[ f ] I [ f ] 称为求积余项。
n
Ak f ( x k )
(2 )
k 0
I [ f ] b f ( x )dx I R [ f ] n a n I n Ak f ( x k ) k 0 插值型求积公式 b Ak a lk ( x ) d x b 1 ( n 1 ) R[ f ] f ( ) n 1 ( x ) d x a ( n 1) !
i 1 i 0
(2)
A0
1 2
h, A1 A2 An 1 h, An
1 2
h
数值积分的一般形式
数值积分的一般形式是：
其中，
b
a
f ( x )dx Ai f i Rn
i 0
n
(3)
fi ----是函数f(x)在节点 xi 上的函数值，它可能以列表 形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函 数值； Ai ----称为节点 xi 上的权系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积 分的不同方法。
数值积分的基本思想
数值积分----是计算定积分的具有一定精度的近 似值的各种计算方法。
从几何上看，就是计算曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许多小矩形之和近似曲边梯形 的面积，如图4-0所示，这就是----矩形公式：
b
a
f ( x )dx f ( xi )h Ai f i
1
0
牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式
教案一 牛顿－科特斯（Newton-Cotes ）求积公式基本内容提要1 数值积分的基本思想2 代数精度的概念3 牛顿－科特斯求积公式及其余项4 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学目的和要求1 理解机械型求积公式的意义及代数精度的概念2 掌握插值型求积公式基本思想及基本的牛顿－科特斯求积公式: 梯形求积公式、辛普森(Simpson)求积公式或抛物线求积公式、牛顿求积公式、柯特斯求积公式及其余项公式3 了解牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性教学重点1 插值型求积公式的基本思想2 牛顿－科特斯求积公式的构造过程3 分析牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性4 低阶牛顿－科特斯求积公式及其积分余项公式教学难点1 数值积分公式代数精度概念的理解和应用2 牛顿－科特斯求积公式的稳定性和收敛性的证明课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入我们可以构造一个多项式近似代替某个未知函数或复杂函数。
据此，可以推导用来近似计算该未知函数或复杂函数的定积分或导数的公式。
这就是数值积分与数值微分的基本内容.推导积分和导数的数值计算公式的重要性是显而易见的。
以定积分的计算为例，要计算定积分∫b a dx x f )( 理论上可以用Newton-Leibniz 公式： ()()()ba f x dx Fb F a =−∫其中)(x F 是被积函数的某个原函数。
但对很多实际问题，上述公式却无能为力。
这是因为：1） 被积函数)(x f 的原函数理论上存在，但无法知道它可用于计算的表达式,如2x e sin ,x x等初等函数。
2） 被积函数)(x f 本身没有可用于计算的表达式，而仅仅是一种数表函数，即只知道该函数在部分特殊点的函数值。
因此，借助于插值理论是解决数值计算定积分的有效途径之一。
§3.1 牛顿-柯特斯求积公式3.1.1 数值积分的基本思想首先利用积分中值定理：()()(),[,]ba f x dx fb a a b ξξ=−∈∫导出矩形求积公式、梯形求积公式。
牛顿-柯特斯公式
牛顿-柯特斯公式牛顿-柯特斯公式是数值分析中重要的求积公式之一，它可以用于近似计算定积分的值。
牛顿-柯特斯公式是利用插值多项式的积分公式，在积分节点选取相同的情况下，通过不同的插值多项式形式，可以达到不同的精度要求。
牛顿-柯特斯公式的一般形式可以表示为：∫[a,b]f(x)dx = w_0f(x_0)+w_1f(x_1)+...+w_nf(x_n)+R_n其中，x_0, x_1,...,x_n 是n+1个等距节点，a = x_0 < x_1< ... < x_n = b，f(x)是要求积分的函数，w_i是相应的权重系数，R_n是余项，用于表示估计误差。
牛顿-柯特斯公式的权重系数w_i和余项R_n与插值多项式的形式有关。
下面将介绍牛顿-柯特斯公式的一些常见形式。
1. 矩形公式当n = 0时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)f(a)这个公式称为矩形公式或矩形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
2. 梯形公式当n = 1时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+f(b))/2]这个公式称为梯形公式或梯形法则。
它的准确度为一阶，即误差为O((b-a)^2)。
3. 辛普森公式当n = 2时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))/6]这个公式称为辛普森公式或辛普森法则。
它的准确度为二阶，即误差为O((b-a)^3)。
4. 三点闭合公式当n = 3时，牛顿-柯特斯公式的形式为：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a)[(f(a)+3f(a+h)+3f(b-h)+f(b))/8]其中，h = (b-a)/3。
这个公式的准确度为三阶，即误差为O((b-a)^4)。
通过不断增加插值节点的数量n，可以得到更高阶的牛顿-柯特斯公式。
牛顿-柯斯特求积相关原理及概念
牛顿-柯斯特求积法是一种数值分析方法，用于计算函数的数值积分。
它是由艾萨克·牛顿和罗贝尔·柯斯特分别独立发现的，因此得名为牛顿-柯斯特求积法。
该方法通过构造一个多项式来逼近被积函数的积分值，从而实现数值积分的目的。
在使用牛顿-柯斯特求积法进行数值积分时，首先需要将被积函数分解为多个小段，然后在每个小段上构造一个适当的多项式来逼近被积函数。
通过对这些小段上多项式的积分求和，就可以得到整个函数的数值积分近似值。
这种方法的优势在于可以通过增加小段的数量来提高积分的精度，从而得到更加准确的积分近似值。
为了更好地理解牛顿-柯斯特求积法的原理和概念，我们可以通过以下几个方面进行深入探讨：1. 多项式逼近在牛顿-柯斯特求积法中，我们需要构造一个多项式来逼近被积函数。
这个多项式通常是通过拉格朗日插值多项式或者牛顿插值多项式来实现的。
其中拉格朗日插值多项式是一种经典的逼近方法，它通过已知数据点来构造一个多项式，使得这个多项式在给定点上的取值与原函数的取值尽可能接近。
而牛顿插值多项式则是另一种常用的逼近方法，它通过使用差商来构造插值多项式，具有更好的数值稳定性和计算效率。
2. 积分近似一旦构造出了多项式逼近，我们就可以利用这些多项式的积分来近似原函数的积分值。
在牛顿-柯斯特求积法中，通常会选取一些特定的插值节点和插值权重，然后利用这些节点和权重进行数值积分计算。
通过对每个小段上多项式的积分求和，就可以得到整个函数的数值积分近似值。
3. 积分误差由于牛顿-柯斯特求积法是一种数值方法，因此在实际计算中会存在一定的误差。
这些误差通常可以通过分析插值多项式的阶数、插值节点的选择以及积分权重的确定等方面来进行估计和控制。
通过合理地选择相关参数和策略，可以最大程度地减小积分误差，从而提高数值积分的精度。
牛顿-柯斯特求积法是一种非常实用的数值积分方法，它在科学计算、工程技术和数学研究等领域都有着广泛的应用。
通过深入理解其原理和概念，我们可以更好地掌握这一方法的使用技巧和优化策略，从而更加准确地完成各种数值积分计算任务。
牛顿科兹公式
牛顿科兹公式牛顿-科兹公式是数值分析中用于数值积分的重要公式。
咱先来说说这个公式到底是啥。
简单来讲，它就像是一把神奇的尺子，能帮我们更准确地测量那些不太规则的图形的面积。
比如说，一个弯弯曲曲的曲线围成的区域，要想知道它的大小，牛顿-科兹公式就派上用场啦。
记得我曾经给学生们讲这个公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这公式能算出我心里想的那个怪形状的面积不？”我笑着回答他：“只要你能描述清楚，它就能！”这让全班同学都哈哈大笑起来。
要说这个公式的具体形式，那可有点复杂。
但别怕，咱们一点点来。
它涉及到一些节点和对应的权重，通过巧妙的组合来逼近真实的积分值。
这就好像是在拼凑一幅拼图，每个小块都有它特定的位置和作用。
在实际应用中，牛顿-科兹公式的优势可不少。
它能够在一定程度上减少计算的误差，让我们得到更接近真实值的结果。
想象一下，如果我们要计算一个物体在变速运动中经过的路程，直接积分可能会很麻烦，而且容易出错。
但有了牛顿-科兹公式，就像是有了一个得力的助手，能帮我们把问题变得简单一些。
曾经有一次，我带着学生们做一个物理实验，要计算一个小球在非匀加速运动中的位移。
大家一开始都觉得无从下手，我就引导他们运用牛顿-科兹公式。
经过一番努力，当最终算出那个准确的位移值时，孩子们脸上那种恍然大悟和兴奋的表情，让我觉得特别有成就感。
学习牛顿-科兹公式可不是一件轻松的事儿，需要耐心和细心。
但一旦掌握了它，就像是拥有了一把打开数学世界新大门的钥匙。
对于那些对数学充满热情的同学来说，深入研究牛顿-科兹公式，能够让他们在解决问题时更加得心应手。
而对于那些觉得数学有点头疼的同学，也别灰心，只要多练习、多思考，也能慢慢体会到其中的乐趣。
总之，牛顿-科兹公式虽然看起来有点复杂，但它却是我们探索数学世界、解决实际问题的有力工具。
希望同学们都能和它成为好朋友，在数学的海洋里畅游！。
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11
插值型求积公式
设求积节点为：a x0 < x1 < · · ·< xn b
若 f (xi) 已知，则可做 n 次多项式插值： Ln ( x )
l ( x) f ( x )
i 0 i i
n
b
a
f ( x )dx Ln ( x ) dx f ( xi ) li ( x ) dx Ai f ( xi )
i 0
n
解：将 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 代入求积公式，使其精确成立，得
1 2 (b a 2 ) 2 1 2 2 A0 x0 A1 x12 An xn (b 3 a 3 ) 3 … … A0 x0 A1 x1 An xn
n 0 n 1 1 n n
C
( n) i
b 1 h n n tk ( n) li ( x ) dx dt a 0 ba b a k 0 i k
ki
x a th
Cotes 系数
1 ( 1) ni n n ( t k ) dt 0 n i ! n i ! k 0
n
Ax
i 0 i
k i
b
a
bk 1 ak 1 x dx k 1
k
Ax
i 0 i
n
m 1 i
x
a
b
m 1
bm2 am2 dx m2
7
( k = 0, 1, … , m )
举例
例：试确定 Ai ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
ab f ( x )dx ( b a) f 2
a
b
a
梯形公式
b a
1 f ( x )dx ( b a ) f ( a ) f ( b ) 2
b a
抛物线公式
1 ab f ( x )dx (b a) f (a) 4 f f ( b ) 6 2 5
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
n
证明：自学
13
求积公式余项
性质：若求积公式的代数精度为 m，则余项为
R[ f ]
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi ) K f ( m1) ( )
i 0
n
其中 K 为待定系数，但与 f (x) 无关 如何确定 K 的值？
6
代数精度
定义：如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式 n
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi )
i 0
精确成立，但对某个次数为 m +1 的多项式不精确成立，则称 该求积公式具有 m 次代数精度
代数精度的验证方法
将 f (x) = 1, x, x2, … , xm 依次代入，公式精确成立; 但对 f (x) = xm+1 不精确成立。即：
n h0
b
a
f ( x )dx Ai f ( xi ) 满足
i 0 b a
lim Ai f ( xi ) f ( x ) dx
i 0
h max xi
1 i n
则称该求积公式是 收敛的。
17
稳定性
定义：对 > 0，若存在 > 0，使得当
( i = 0, 1, … , n) 时，有
解得 A0 =1/3, A1 =4/3, A2 =1/3。所以求积公式为
1
1
f ( x )dx [ f ( 1) 4 f (0) f (1) ] 3
易验证该公式对 f (x)＝x3 也精确成立，但对 f (x)＝x4 不精 确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。
9
举例
例：(教材100页) 试确定下面求积公式中的系数，使其具
计算方法
第四章 数值积分与数值微分
—— 基本概念 Newton-Cotes 公式
1
本章内容
数值积分
基本概念 Newton-Cotes 求积公式 复合求积公式 Romberg 求积公式 Gauss 求积公式 多重积分
数值微分
2
本讲内容
数值积分基本概念
数值积分的必要性 代数精度 插值型求积公式 收敛性与稳定性
A0 A1 An b1 A0 x A x An x ( b n1 a n1 ) n1
所以求积公式为：
b
a
f ( x )dx A f ( xi )
i 0 i
n
具有至少 n 阶代数精度
b b a i 0 a i 0
b a
n
n
其中 Ai li ( x ) dx
b b
插值型求积公式
误差： R[ f ] f ( x ) Ln ( x ) dx Rn ( x ) dx a a
( n1) f ( ) 其中 Rn ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) ( n 1)!
x
2
1 1 x6
(3) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表
4
几个简单公式
基本思想： f ( x )dx (b a) f ( )
a b
(a, b)
矩形公式
b
a b
f ( x )dx (b a) f (a) f ( x )dx (b a) f (b)
1
1 1 1 1 0 0 3! 4 3 72
所以该公式的余项为
1 ( 3) R[ f ] f ( ) 72
(0,1)
16
收敛性
设求积节点为：a x0 < x1 < · · ·< xn b ，令 xi = xi –xi-1
n
定义：如果求积公式
Newton-Cotes 公式
公式介绍 代数精度
余项表达式
3
数值积分
I ( f ) f ( x ) dx
a
微积分基本公式： f ( x )dx F ( b) F ( a)
a b
b
但是在许多实际计算问题中
(1) F(x) 表达式较复杂时，计算较困难。如 f ( x ) (2) F(x) 难求！甚至有时不能用初等函数表示。 如 f ( x ) 1 sin x , e x
将 f (x) = xm+1 代入可得
(a, b)
b
a
x
m 1
dx Ai xim1 K ( m 1)!
i 0
n
b m2 a m2 n 1 m 1 K Ai xi ( m 1)! m 2 i 0
14
举例
例：试确定梯形公式的余项表达式
12
插值型求积公式
当 f (x)＝ 1, x, x2, … , xn 时，有 Rn ( x ) 0 即公式精确成立
R[ f ] 0
性质：插值型求积公式具有至少 n 次代数精度
b
a
f ( x )dx Ln ( x ) dx
a
b
定理：下面的求积公式具有至少 n 次代数精度的 充要条件是该公式是插值型的
解： 梯形公式
ba ba a f ( x )dx 2 f (a) 2 f (b) 代数精度为 1，故
b
b m2 a m2 n 1 m 1 K Ai xi ( m 1)! m 2 i 0
3 1 1 b3 a3 b a 2 b a 2 a b b a 12 2! 3 2 2
有尽可能高的代数精度。
1
0
f ( x )dx A0 f (0) A1 f (1) B0 f '(0)
A0 A1 1 A1 B0 0.5 A 1/ 3 1
解：将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立，可得
解得 A0 =2/3, A1 = 1/3, B0 =1/6。所以求积公式为 1 2 1 1 f ( x )d x f (0) f (1) f '(0) 0 3 3 6
20
Cotes 系数与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 无关 Cotes 系数可通过查表获得
Cotes 系数表
21
N-C 公式
Cotes 系数具有以下特点：
( n) C (1) i 1 i 0 n
( n) (2) Ci( n) Cn i
ki
19
Newton-Cotes 公式
n = 1: C
( 1) 0
1 1 ( 1) , C1 2 2
b a
ba f ( x )dx [ f ( a ) f ( b)] T 2
梯形公式 代数精度 = 1
1 2 1 ( 2) ( 2) n = 2: C , C1 , C 2 6 3 6 b ba 抛物线公式 ab a f ( x )dx 6 [ f (a) 4 f ( 2 ) f ( b)] S Simpson公式
( 2) 0
代数精度 = 3
n = 4: 科特斯 (Cotes) 公式 代数精度 = 5
b a