3高考模拟卷(三) 文科
2022年黑龙江省牡丹江第三高级中学高考数学三模试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年黑龙江省牡丹江第三高级中学高考数学三模试卷（文科）1. 设集合，，则( )A. B.C. D.2. 设复数，满足，，则( )A.B. C. D. 43. 下列说法正确的是( ) A. “”的否定为“”B. “”是“”的必要条件C.若，则的逆命题为真命题D. 若“”是“”的充分条件，则4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则( )A. B. C. D. 15. 若x ，y 满足约束条件则的最小值为( )A. 18B. 10C. 6D. 46. 等于( )A. B. C. D.7. 在区间上任取一个实数k ，则使得直线与圆有公共点的概率是( )A. B.C.D.8. 设，，若，则的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 已知函数，定义域为R 的函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则等于( )A. 0B. 6C. 12D. 2410. 已知正方体的体积为，点P在面上，且，C到P的距离分别为2，，则直线CP与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.11. 已知，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为( )A. B. C. D.12. 已知设函数若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为( )A. B. C. D.13. 已知球O的直径为2，则球的体积为______.14. 在中，已知，，，则等于______.15.若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且的面积为，则a等于______.16. 在长方体中，，，，则异面直线AC和所成角的余弦值是______.17. 2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并开展知识竞赛.为了解学生学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩单位：分，绘制成如图所示的茎叶图：通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；不要求计算，分析并给出结论根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：测试成绩单位：分等级合格中等良好优秀现已从高一、高二两个年级成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出5位同学参加座谈会，要再从这5位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同年级的概率.18. 设数列满足：，且，求的通项公式；求数列的前n项和．19. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，E是DP中点．证明：平面ACE；若，，求三棱锥的体积．20. 已知函数，为的导数．求；证明：在区间上存在唯一零点．21. 已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为若，求l的方程；若，求22. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数，求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；设曲线与曲线的交点为A，B，当时，求的值．23. 已知函数当时，解不等式；若，求a的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．根据交集的定义直接求交集即可．【解答】解：，，，故选：2.【答案】A【解析】解：设，，，，即，则，故故选：根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：“”的否定为“，“，因此不正确；B.取，，满足，但是；由，可取，，而，因此“”与“”相互推不出，因此不正确：C.若，则的逆命题为：若，则，是真命题，因此正确；D.由“”是“”的充分条件，则，因此不正确．故选：A.利用命题的否定即可判断出正误；B.举反例即可判断出正误；C.若，则的逆命题为：若，则，进而判断出正误；D.，进而判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．推导出，从而，进而，由此能求出结果．【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，，解得，，，，故选：5.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】D【解析】解：故选：由题意利用诱导公式，二倍角的余弦公式即可求解．本题考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：圆的圆心为，半径为要使直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得：在区间中随机取一个实数k，则事件“直线与圆有公共点”发生的概率为：故选：利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：因为，，，则，当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值故选：利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：因为定义域为R的函数满足，所以函数的图象关于点对称，同时函数也关于点对称，则函数与图象的交点关于对称，不妨设关于点对称的点的坐标为，，则，，则，，同理可得，，，，，所以故选：先判断出的奇偶性，再根据其对称性计算即可得到答案．本题考查了函数与方程的综合应用，主要考查了函数图象对称性的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设正方体的边长为a，则，故，即，，连接，，，则点P在上且为中点，连接AC与BD交于O，连接OP，可知平面，则为直线CP与平面所成角，在直角三角形CPO中，故选：根据勾股定理计算，结合得出P为的中点，再构造直角三角形计算线面角即可．本题考查了空间距离与线面角的计算，判断P点位置是关键，属于中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题．设出，，由双曲线的定义可得，再通过，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．【解答】解：，为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，，设，，由双曲线的定义可得，即，所以，，因为，，所以，整理得，所以故选：12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数恒成立问题，属中档题．不等式在R上恒成立，分成两段函数分别恒成立，分离参数a，再构造函数求最值可得．【解答】解：当时，恒成立；当时，，恒成立，令，当且仅当时取等号，，当时，恒成立，令，则，当时，，递增，当时，，递减，时，取得最小值，，综上a的取值范围是故选：13.【答案】【解析】解：由球O的直径为2，可得球O的半径为1，所以球的体积为故答案为：直接代入球的体积公式求解即可．本题考查了球的体积公式，是基础题．14.【答案】6【解析】解：，，则，是以点A为直角顶点的直角三角形，又，，则，故答案为：分析可知，且，再将转化为的线性关系即可求解．本题考查平面向量的线性运算以及数量积的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：，，且的面积为，，可得，，，故答案为：根据面积求得c，再结合余弦定理即可得到解论．本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：在长方体中，，，，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，设异面直线AC和所成角为，则异面直线AC和所成角的余弦值为：故答案为：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC和所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：由图可知，高二年级学生的成绩的平均分高于高一年级学生成绩的平均分，高二年级的学生成绩比较集中，而高一年级的学生成绩比较分散，所以高二年级的学生学习效果更好．由图可知，高一、高二两个年级数学成绩为良好的人数分别为4，6，若用分层抽样法抽出5人，则应从高一、高二两个年级各抽出2人、3人，设“5位同学中任意选出2人发言，这2人是来自不同年级的学生”为事件A，将高一选出的2人记为：a，b；高二选出的3人记为：1，2，3，所有可能情况为：，，，，，，，，，，共10种情况，事件A包含，，，，，，共6种，【解析】根据茎叶图，观察两个年级的成绩的平均值，以及成绩的集中程度，即可得到结论．由图可知，高一、高二两个年级数学成绩为良好的人数分别为4，6，利用分层抽样求出高一、高二两个年级所抽的人数，再利用古典概型的概率公式求解．本题主要考查了茎叶图，考查了古典概型的概率公式，是基础题．18.【答案】解：依题意，由可知数列是等差数列．设等差数列的公差为d，则，解得，由知，，设数列的前n 项和为，则………【解析】本题第题先根据等差中项判别法可得数列是等差数列．然后设数列的公差为d ，然后根据等差数列的通项公式可列出关于首项的方程，解出的值，即可得到数列的通项公式；第题可根据第题的结果求出数列的通项公式，然后运用裂项相消法求出前n 项和本题主要考查等差数列的性质应用，以及运用裂项相消法求数列的前n 项和．考查了方程思想，转化思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．19.【答案】证明：连接BD 交AC 于F ，连接EF ，四边形ABCD 为菱形，为BD 的中点，又是DP 的中点，，又平面ACE ，平面ACE ，平面ACE ；解：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，四边形ABCD 为菱形，且，为正三角形，得，，，，，，，，即，又，平面ABCD ，是PD 的中点，【解析】连接BD交AC于F，连接EF，由中位线定理可得，故而平面ACE；取AB的中点O，连接PO，CO，根据勾股定理逆定理可得平面ABCD，于是，进一步求解得答案．本题考查了线面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了棱锥的体积的求法，属于中档题．20.【答案】解：，；证明：，，当时，，当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减；①又，，，②当时，，即在区间上无零点；由①②得在区间上有唯一零点，综上所述，在区间上存在唯一零点．【解析】将代入可得答案；求得，，对x分与两类讨论，可得的单调情况及取值情况，从而证得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查不等式的证明，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：设直线，，，由题意，可得，故，因为，所以，联立，整理得，可知：，由韦达定理可知，，从而，解得，所以直线l的方程为设直线，，，由，可得，联立，整理得，可知：，由韦达定理可知，，又，解得，代入抛物线C方程得，，即，，故【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．根据题意，利用抛物线的性质进行求解即可；由，可得，由根与系数的关系可得，从而解出A、B两点坐标，进行计算即可．22.【答案】解：由得，该曲线为椭圆．将代入得，由直线参数方程的几何意义，设，，，，所以，从而，由于，所以【解析】利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法可得结论；将代入得，由直线参数方程的几何意义，结合，求的值．本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．23.【答案】解：函数，当时，，时，不等式化为，解得；时，不等式化为，解得，此时无解；时，不等式化为，解得；综上，不等式的解集为或；由，，，由，设，，，当且仅当或时等号成立；的最小值为【解析】利用分段讨论法去掉绝对值，解时对应的不等式即可；由得，利用绝对值不等式求出的最大值即可．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题．。
2021年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(文科)(解析版)
2021年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2＞1}，则∁R A＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．﹣10B．﹣8C．16D．204．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率．根据如图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是（）A．2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌B．2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低5．已知圆C：x2+y2﹣ax+2y﹣4＝0关于直线l：x+y﹣1＝0对称，圆C交x轴于A，B两点，则|AB|＝（）A．4B．2C．2D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x）．则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，点F为边CD的中点，若＝0，则＝（）A．4B．3C．2D．18．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a9．已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n﹣1+4a n﹣2（n≥3），则a9+a10＝（）A．47B．48C．49D．41010．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，且满足f（2）＝0．则f（x）的最小正周期为（）A．B．16C．D．11．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的表面积等于（）A．B．C．D．12．已知点F为抛物线E：y2＝6x的焦点，点A在E上，线段OA的垂直平分线交x轴于点B，则|OB|﹣|AF|＝（）A．1B．C．2D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝5a5，则a15＝．14．若函数f（x）＝x2e x﹣mlnx在点（1，f（1））处的切线过点（0，0），则实数m＝．15．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）与抛物线C：y2＝2px（p＞0）有共同的一焦点，过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一渐近线平行，则E的离心率为．16．已知三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，△ABC是边长为4的正三角形，点E，F分别是SC，BC的中点，D是AC上的一点，且EF⊥SD，若FD＝3，则DE＝．三、解答题：共70分。
高考文科数学(3卷)：答案详细解析(最新,word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（III 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（集合）已知集合{}1235711=，，，，，A ，{}315|=<<B x x ，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵{5,7,11}=A B ，∴A ∩B 中元素的个数为3. 【答案】B2．（复数）若)(11+=-z i i ，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i【解析】∵)(11+=-z i i ，∴1212--===-+i iz i i ，∴=z i . 【答案】D3．（概率统计）设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为 A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10【解析】原数据的方差20.01=s ，由方差的性质可知，新数据的方差为21001000.011=⨯=s .【答案】C4．（函数）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1--=+t I K t e ，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95=I t K时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【解析】**0.23(53)()0.951--==+t K I t K e，化简得*0.23(53)19-=te ，两边取对数得，*0.23(53)In19-=t ，解得*In1935353660.230.23=+=+≈t . 【答案】C5．（三角函数）已知πsin sin 13θθ++=（），则πsin =6θ+（） A ．12B ．33C ．23D ．22【解析】∵π13sin sin cos 322θθθ+=+（）， ∴π3331sin sin sin 3cos 1322θθθθθθ⎫++==+=+=⎪⎪⎭（）， 31πcos sin 26θθθ+=+（）， π316θ+=（），故π3sin 63θ+==（）.【答案】B6．（解析几何）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1⋅=AC BC ，则点C 的轨迹为 A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线【解析】以AB 所在直线为x 轴，中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,0)-A a ，(,0)B a ，(,)C x y ，则(,)=+AC x a y ，(,)=-BC x a y ，2221⋅=-+=AC BC x a y ，即2221+=+x y a ，故点C 的轨迹为圆.【答案】A7．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：()220=>y px p 交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)【解析】解法一：如图A7所示，由题意可知，(2,2)D p ，(2,2)-E p ，(2,2)=OD p ，(2,2)=-OE p ，⊥OD ⊥OE ，⊥⊥OD OE ， 即22220⨯-=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2. 解法二：4=DE p 44==+OD OE p⊥OD ⊥OE ，⊥222+=OD OE DE ，即2(44)16+=p p ，解得1=p ，⊥C 的焦点坐标为1(,0)2.图A7【答案】B8．（解析几何）点(0)1-，到直线()1=+y k x 距离的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】解法一：点(0)1-，到直线()1=+y k x 的距离211+=+k d k ，则有222222(1)122=12111+++==+≤+++k k k kd k k k ，故2≤d . 解法二：已知点()01-，A ，直线()1=+yk x 过定点()10-，B ，由几何性质可知，当直线()1=+y k x 垂直直线AB 时，点()01-，A 到直线()1=+y k x 距离最大，最大值为线段AB 的长度，即max 2=d 【答案】B9．（立体几何）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．642+B ．442+C ．623+D ．423+【解析】由三视图可知，该几何体为一个四面体，如图A8所示. 其表面积(2332226234=⨯+⨯=+S图A9【答案】C10．（函数）设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则 A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】∵233332log 3=log 93==c ，33log 2log 8==a a <c .∵233552log 5log 253===c 355log 3log 27==b c <b .故a <c <b.【答案】A11．（三角函数）在ABC ∆中，2cos 3C =，4=AC ，3=BC ，则tan B = A 5B ．25C ．45D ．85【解析】解法一：由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ， ∵(0,π)∈B ，∴245sin 1cos =-=B B ，sin tan 45cos ==BB B. 解法二：3=AB ，所以△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形.过B 作BD ⊥AC ，易得tan 25=B 22tan2tan 451tan 2==-BB B . 【答案】C12．（三角函数）已知函数1()sin sin f x x x=+，则 A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线π=x 对称D ．f (x )的图像关于直线π2=x 对称 【解析】A ：1sin 1(sin 0)-≤≤≠x x ，当1sin 0-≤<x ，()0<f x ，故A 错误.B ：1()sin ()sin -=--=-f x x f x x，f (x )为奇函数，故B 错误. C ：1(2π)sin ()()sin -=--=-≠f x x f x f x x，故C 错误.D ：11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin -=-+=+=-f x x x f x x x，故D 正确.【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天一大联考2020年高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题
高考全真模拟卷（三）数学（文科）注意事项1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3、请将选择题答案填在答题表中，非选择题用黑色签字笔答题.4、解答题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，第22题~23题为选考题，考生任选一道选考题作答.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22|2450A x x y x y =+-++=，{}|20B x x x =+->，则集合A B =（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．()0,12．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ） A ．24i +B ．22i -C ．25D ．223．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ）A ．4B ．2±C ．2D ．2-5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，1x ，2x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，14a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，直线m α⊂，直线n β⊂，l αβ=，m l ⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．216+C ．20D ．206+8．如图，已知圆的半径为1，直线l 被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）A ．1142π- B ．1132π- C ．113π- D ．114π-9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．43x π=是()f x 的一条对称轴B ．5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()f x 的图象向左平移3π个单位后，所得函数为奇函数 D ．()f x 在[],ππ-上为增函数10．已知实数a ，b 满足,R a b +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．19411．如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（ ）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b - D ．241515a b + 12.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动——掰玉米，现将这20名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重（单位：千克），得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x = ；乙组的中位数为 .14．某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到A ，B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己分配地的是 .15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x 轴的距离为3，则抛物线C 的方程为 . 16．已知函数()21sin 2f x x x ax =++，[)0,x ∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．如图，ABC △为等边三角形，边长为3,D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（Ⅰ）求sin ADB ∠的值； （Ⅱ）求DE 的长.18．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，AE CD ∥，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求点F 到平面ABD 的距离.19．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点3P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的3（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF △面积的最大值. 20．甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（Ⅰ）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （Ⅱ）若第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p . 21．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l 与C 交于D ，E 两点（异于原点），求OD OE +的最大值. 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足0a >，0b >且1a b +=. （Ⅰ）证明：()()2222119a b a b --≥；≤答案全透析高考全真模拟卷（三）答案速查思路点拨 对于集合A ：配方得()()22120x y -++=，1x ∴=，2y =-，从而{}1A =.对于集合B ：)120>，0x ≥，20>，10>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B =+∞.奇思妙解 对于集合B ；取特殊值2x =，成立，从而AB 中一定有2，故选B.2．C 考查目标 本题考查复数的运算及共轭复数，考查运算能力.思路点拨 由题意可知3223iz i i+==-，从而23z i =+，∴24z i i +=+，∴z i +== C.命题陷阱 z i +易被看成绝对值，从而导致错选.另外，易疏忽共轭复数的运算.3．A 考查目标 本题考查通过折线图计算平均数，考查数据处理能力.思路点拨 由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=，故选A.4．C 考查目标 本题考查等比数列性质，考查运用知识解决问题的能力. 思路点拨 ∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ，∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==， ∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =，故选C.命题陷阱 考虑不周全，未在原数列中研究4a ，6a ，8a 之间的关系，易选错. 5．D 考查目标 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力.思路点拨 ∵函数()1f x +是偶函数，∴函数()1f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称.由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而173142t t +>>>，∴17342f t f f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选D. 追本溯源 本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．B 考查目标 本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件、必要条件的判断，考查空间想象能力.思路点拨 当n l ∥时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为m α⊂，l αβ=，m l ⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件，故选B.7．D 考查目标 本题考查切割体的三视图，考查空间想象能力以及运算求解能力.思路点拨 由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E '-，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=△.在AED '△中，AE ED '===AD '=，可计算AD '，∴12AED S '=⨯=△从而可得该几何体的表面积为3323420+++⨯=+ D.追本溯源 本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．A 考查目标 本题考查几何概型，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-，故选A.9．D 考查目标 本题考查三角函数的图象，由部分图象求解析式，从而研究三角函数的相关性质，考查运算能力和数形结合思想.思路点拨 由题意得72233T πππ=-=，所以4T π=，从而212T πω==.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,03π⎛⎫⎪⎝⎭关于43x π=对称，故43x π=是()f x 的一条对称轴，A 正确.从而2sin 3A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2πϕ<得6πϕ=-，所以()1sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.又()302f =-，代入上式得3sin 62A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而3A =，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将53x π=-代入得0y =，故B 正确.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后，得到函数图象的解析式为13sin2y x =，为奇函数，故C 正确，易验证D 错误，故选D. 规律总结 三角函数由部分图象求解析式，需关注零点、顶点、图象与y 轴交点，通过周期性求出ω，通过代入对称轴求出ϕ，然后通过与y 轴交点可求出A .10．C 考查目标 本题考查基本不等式，考查转化与化归思想.思路点拨 因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，所以()()()192824a b a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++()()()(9191281116101024324333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+++⨯=++⨯≥⨯+= ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即58a =，18b =时取等号，故选C.规律总结 应用不等式性质中的基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．A 考查目标 本题考查向量的线性运算，考查转化能力.思路点拨 连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-，故选A. 追本溯源 本题主要考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握.12．C 考查目标 本题考查抛物线的几何性质（焦半径），考查运算求解能力.思路点拨 思路1：由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=，∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =， ∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B p x x p p k+==+，∴23k =，k =60°.思路2：设直线l 的倾斜解为θ，则1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+，由抛物线定义可得2A p x AF =-，2B p x BF =-，∵9A B x x =，∴922A p p x AF BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴91cos 21cos 2p p p p θθ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，消去p 得1cos 2θ=，∴60θ=︒，故选C.规律总结 抛物线性质中，常考查一些常见结论的应用，解决此类问题，要思考常见结论，另外，可用代入选项的方法进行检验.13．2， 考查目标 本题考查统计中数字特征：平均数、中位数，考查学生的运算能力.思路点拨 由题意，先计算甲组平均数101211232120353041472510x +++++++++==甲.因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 命题陷阱 学生在计算中位数时，易忘记对数据排序，导致错误. 14．乙、丁 考查目标 本题考查逻辑推理能力.思路点拨 四人知道的情况是：组织分配的名额、自己看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A 地，一个在B 地；又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙、丁.追本溯源 本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.15．22y x =或26y x = 考查目标 本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力.思路点拨 过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y == ，从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.奇思妙解由题意知1,2p p ⎛+⎝或2p p ⎛- ⎝代入抛物线方程得3212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得1p =或3p =，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.16．[)1,-+∞ 考查目标 本题考查三角函数与导数的综合问题，考查灵活应用导数处理恒成立问题的能力.思路点拨 由题意可知()cos f x x x a '=++，设()cos h x x x a =++，则()1sin 0h x x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()01h a =+.（Ⅰ）当10a +≥，即1a ≥-时，()()00h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立；（Ⅱ）当10a +<，即1a <-时，令2x a =-，则()()22cos 20h a a -=+->.又()010h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=不合题意.综上，a 的取值范围为{}|1a a ≥-.规律总结 近年来，考查恒成立问题处理的常见方法有两种：（1）导数零点分类法；（2）参变量分离法，均需利用导数求最值.17．考查目标 本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力.思路点拨 在ABD △中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值，从而在CDE △中，应用正弦定理，求出DE .参考答案 （Ⅰ）由题意可知60A =︒，3AB =，2AD =，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，从而BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AB BD A θ=，即3sin 2θ=，得sin 14θ=.（Ⅱ）由题意知θ为锐角，所以cos 14θ==，而()1sin sin 30cos 2214E θθθ=+︒=+=. 在CDE △中，由正弦原理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 30sin CD DE E ⨯⋅︒===. 规律总结 解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正、余弦定理；（3）三角形有关公式. 18．考查目标 本题考查常见的线面平行，以及点到平面的距离，考查逻辑思维能力和数形结合思想. 思路点拨 （Ⅰ）取AB 中点，借助中位线，实现平行，构造四边形.证明：四边形为平行四边形，从而说明线线平行，证明线面平行.（Ⅱ）应用F ABD D ABF V V --=等体积转化，从而求点到面的距离. 参考答案 （Ⅰ）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点， ∴FG 为ABE △的中位线， ∴12FG AE ∥，而12CD AE ∥，∴FGCD 为平行四边形， ∴DF GC ∥，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵ABC △为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AEAB A =，∴GC ⊥平面ABE .由（Ⅰ）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=△，∴1ABF S =△. 在Rt BCD △中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =△，而DF CG ==F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅△△，即2d =，∴点F 到平面ABD的距离是2. 规律总结 线面平行的证明：（1）构建线线平行；（2）借助面面平行.构建平行的方法：中位线、平行四边形.点到平面的距离常用等体积转化法.19．考查目标 本题考查椭圆的几何性质，以及直线与椭圆相交的问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.思路点拨 （Ⅰ）通过已知条件建立a ，b ，c 之间的关系，求椭圆的方程.（Ⅱ）将2ABF △分割成两个同底的三角形，2ABF S △即可转化为1y 与2y 表示的式子，把直线与椭圆方程联立，构建二次方程，把2ABF △面积化为参数k 的表达式，应用二次函数可求得最值.参考答案（Ⅰ）由题意得22222131,4,a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=，∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140k y k +--=，∴12214y y k +=+，212214k y y k =-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=△==， 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t t k -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF △2=. 规律总结 椭圆问题在高考中，以考查运算为主，运算量较大，在运算过程中，掌握运算技巧. 20．考查目标 本题考查递推数列在概率统计中的应用，考查学生逻辑思维能力.思路点拨 （Ⅰ）搞清两种状况，分别计算概率.（Ⅱ）由第n 次与第1n +次的关系，建立递推公式，构造特殊数列，求n p .参考答案 由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有：()1,6，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （Ⅰ）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=. ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为：55717511212121728⨯⨯⨯=，∴甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=. （Ⅱ）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ；②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， ∴1111262n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵111110222p -=-=≠，∴1112162n n p p +-=-， ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列， ∴1111226n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭. 规律总结 递推数列在概率统计中的应用，一般考查基本递推求通项，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些.21．考查目标 本题考查利用导致求解函数的单调区间，以及处理恒成立条件下的求范围问题；考查掌握综合知识的能力与技巧.思路点拨 （Ⅰ）1a =代入，求导，分解因式，从而求出单调区间.（Ⅱ）构造函数，求导，再求导.通过二阶导数值，指导一阶导数值，分类讨论最值符号，确定一阶导数的零点，近而指导原函数的取值，求参数的范围.参考答案 （Ⅰ）1a =时()()2112x f x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e '=+-+=+-，若()0f x '≥，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x '<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-.（Ⅱ）由题意得()2202x af x e -++≥恒成立，即()()222202x a x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222x a h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e '=+.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->， ∴在()0,+∞上，存在0x 使得()00g x =， 从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10a a F a ae a a e =-=->， ∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数，此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-.规律总结 高考对于导数问题的要求是会应用导数，解决函数的单调性问题，含有参数的问题，主要考查抓住参数分类讨论的关键，提高运算求解能力.22．考查目标 本题考查三种方程间的转化以及极坐标方程的应用，考查转化与化归思想.思路点拨 （Ⅰ）展开曲线C 的方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，从而得曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 参考答案 （Ⅰ）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=.设()1,D ρθ，2,2E πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则124cos 4cos 24OD OE ππρρθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为.规律总结 三种方程间的相互转化是该类问题的考查对象，应用极坐标方程求最值问题也是常见方法，应要求学生必须掌握.考查目标 本题考查不等式的证明，考查转化与化归思想.思路点拨 应用a ，b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行做差比较.另外，可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明. 参考答案 （Ⅰ）方法1：()()2222911a b a b ---222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++--()3224851a a a a =-+- ()()22121a a a =--.∵10b a =->，∴1a <，∴01a <<， ∴()()221210a a a --≤， 从而可得()()2222119a b a b --≥. 方法2：∵0a >，0b >，∴220a b >，∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵1a b +=且0a >，0b >，∴221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a=++5≥ 9=.当且仅当12a b ==时取等号，得证.（Ⅱ）设t =()()211t a b =++++，∵1a b +=，∴23t =+0a >，0b >，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴2336t =++=，∴t ≤12a b ==时等号成立，得证. 规律总结 不等式证明问题多与基本不等式有关，应用基本不等式证明应思考等号成立的条件.。
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题(含解析)
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（ ）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（ ）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（ ）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（ ）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。
2023年高考押题预测卷03卷-文科数学(全国乙卷)(原卷及解析版)
绝密★启用前2023年高考押题预测卷03（全国乙卷）文科数学（考试时间：150分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
评卷人 得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，2{|60}A x x x =--<，{|ln(1)}B x y x ==-，则()UA B =（ ）A ．[)1,3B ．(]1,3C ．()1,3D ．(]2,1-2．设复数z 的共轭复数为z ，且满足11iz z i+-=-，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-3．已知函数2()log 164x f x x =-()f x 的定义域为（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(0,4]4．“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长．某同学为了测量澜飞湖两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点12,P P ，且12PP a =，已经测得两个角1221,PP D P PD αβ∠=∠=，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的有（ ）组①1DPC ∠和1DCP ∠；②12PP C ∠和12PCP ∠；③1PDC ∠和1DCP ∠ A ．0B ．1C ．2D ．35．设向量(0,2),(2,2)a b ==，则（ ） A ．||||a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3πD ．()a b a -⊥ 6．已知双曲线22144x y a a -=+-(a >4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．97．在等比数列{}n a 中，若25234535,44a a a a a a =-+++=，则23451111a a a a +++= A ．1B ．34-C ．53-D ．43-8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥表面上的点M ､N ､P ､Q 在三视图上对应的点分别为A ､B ､C ､D ，且A ､B ､C ､D 均在网格线上，图中网格上的小正方形的边长为1，则几何体MNPQ 的体积为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．239．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．-110．2021年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案3》和《你好，李焕英》是今年春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是2月12日（大年初一）首映，根据猫眼票房数据得到如下统计图，该图统计了从2月12日到2月18日共计7天的累计票房（单位：亿元），则下列说法中错误的是（ ）A ．这7天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过2.5亿元B ．这7天两部电影的累计票房的差的绝对值先逐步扩大后逐步缩小C ．这7天电影《你好，李焕英》的当日票房占比逐渐增大D ．这7天中有4天电影《唐人街探案3》的当日票房占比超过50%11．已知函数()()sin 02f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图象，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图象的连续相邻的三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（ ） A ．3,⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．2,⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D ．3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为12R ，3AB AC ==，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）A ．48πB ．16πC ．64πD ．36π评卷人 得分二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知1e ，2e 均为单位向量，若123e e -=，则1e 与2e 的夹角为______．14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>2,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,当AB 的中点为()1,1M 时,直线l 的方程为___________.15．已知锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC 的面积是__________．16．在四面体ABCD 中，ABC 与ACD △都是边长为3G 为AC 的中点，且2BGD π∠=，则该四面体ABCD 外接球的表面积为___________. 评卷人 得分三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）已知一个由正数组成的数阵，如下图各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，1214332,4,12a a a ===. 第一行111213141,,,n a a a a a 第二行212223242,,,n a a a a a第三行313233343,,,n a a a a a……第n 行1234,,,n n n n nn a a a a a (1)求数列{}2n a 的通项公式； (2)设()()()12122,1,2,3,11n n n n b n a a -+==-⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100.得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计这200名学生成绩的中位数；(2)若先用分层抽样的方法从得分在[)40,50和[)50,60的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率. 19．（12分）如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB BC ⊥，//CD AB ，面ABE ⊥面ABCD ，且224AB AE BE BC CD =====，点M 在棱AE 上．（1）若直线//CE 平面BDM ，求:EM AM 的值． （2）当AE ⊥平面MBC 时，求点C 到平面BDM 的距离． 20.（12分）已知椭圆方程为221259y x +=，若抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的切线，两条切线交于P 点，则PAB △的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数()1e xf x ax -=-，(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 在()0,2上有两个不相等的零点12,x x ，求证：121x x a>. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(其中t 为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 40m ρρθ--=（其中m 0>）. (1)若点M 的直角坐标为()3,3，且点M 在曲线C 内，求实数m 的取值范围； (2)若3m =,当α变化时，求直线l 被曲线C 截得的弦长的取值范围. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()241f x x x =++-.(1)求不等式()6f x >的解集；(2)设函数()f x 的最小值为m ，正实数a ，b 满足229a b m +=，求证：326a b ab +≥.2023年高考押题预测卷03（全国乙卷）文科数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBACDDBDDDAD1．D解：∵{}12A x x =<<，{}12B x x =≤≤， ∵{}12A B x x ⋂=<<， 故选：D ． 2．B因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+， 所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-， 故选：B 3．A 当14a >，0x >时，由基本不等式可知21a ax x a x x +≥⋅=， 故“14a >”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的充分条件； 当14a =时，114a a x x x x +≥⋅=成立，14a >不成立， 故“14a >”是“对任意的正数x ，均有1ax x+≥”的不必要条件. 故选：A 4．C解：因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数， 所以()()f x f x =-， 又因为()()11f x f x +=-， 所以()()2f x f x -=，则()()2f x f x -=-，即()()2f x f x +=， 所以周期为2T =，因为112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33121222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C 5．D对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332332b b a b b b ---≥⨯+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D. 6．D函数的定义域为{x |x ≠0}，11()ln ||cos(3)ln ||cos3()22f x x x x x f x -=--==，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当06x π<<时，f (x )<0，排除A ，D 符合要求.故选：D. 7．B设AF x =，则3DF x =，BD AF x ==，4AD x =，120ADB ∠=， 在ABD △中，根据余弦定理得，22222212cos 1624212AB AD BD AD BD ABD x x x x x ∠⎛⎫=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，∵221393sin60(3)24EFDS DF DE x =⋅⋅⋅==， 2213213sin602124ABCSAB BC x =⋅⋅⋅==， ∵73ABC EFDSS=，∵图中阴影部分与空白部分面积之比为34.故选：B. 8．D设2,x a y b =+=，则2,a x b y =-=，故28x y +=，其中2,0x y >>，()2212214226288x y x y a b x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 由4242x yy x+≥ 当且仅当(422422x yy x x y x=⇒=⇒=，()821y =时等号成立，此时2x >，0y >满足， 故222a b ++的最小值为(13264284+= 故选：D. 9．D当受血者为B 型血时，供血者可以为B 型或O 型，所以一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为41%+24%=65%=0.65. 故选：D 10．D∵等差数列{an }中，a 1，a 6为函数2()914f x x x =-+的两个零点， ∵a 1＝2，a 6＝7，或a 1＝7，a 6＝2， 当a 1＝2，a 6＝7时，61161a a d -==-，a 3＝4，a 4＝5，所以a 3a 4＝20． 当a 1＝7，a 6＝2时，61161a a d -==--，a 3＝5，a 4＝4，所以a 3a 4＝20． 故选：D ． 11．A双曲线22271x y -=，273c =+=， 所以(3,0)F ，3,2122pp ==，所以抛物线2:12C y x =. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为()(3)0y k x k =->.联立2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，化简整理得()222261290k x k x k -++=.设()()1122,,,A x y B x y ，则122126x x k +=+，129x x =. ∵||3||AF BF =，()12333x x +=+，∵1236x x -= ∵122126x x k +=+，∵1296x k =+，223x k=，又129x x =，∵23k =， ∵0k >，∵3k =因此直线l 3330x y --=. 故选：A 12．D由0ln 2lne 1x <=<=，10lg 2102y <=<可得2211log e,log 10x y ==，故()22211log e log 10log 10e 1x y +=+=>，即x y xy +>，2221110log 10log e log 1e y x ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，即x y xy ->，又(0,)2x π∈时，tan x x >，3022x y π<+<<，故()tan x y x y +>+，综上()tan x y x y x y xy +>+>->. 故选：D. 13．23π因为1e ，2e 均为单位向量，且123e e -=， 所以22212112223e e e e e e -=-⋅+=，即121cos ,2e e =-，因为[]12,0,e e π∈， 所以122,3e e π=， 故答案为：23π 14．230x y +-=由题可知直线AB 的斜率存在；设()()1122,,,A x y B x y ,由于点,A B 都在椭圆上，所以2211221x y a b+=①, 2222221(0)x y a b a b +=>>②,-①②，化简得2221222212y y b a x x --=-；22221b a -所以2212b a =，即()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+； 又线段AB 的中点为()1,1M ，所以()()()()()()()()121212121212121212121222y y y y y y y y y y x x x x x x x x x x +--+-===-+-+--， 所以直线AB 的斜率为12-，故所求直线l 的方程为()1112y x =--+，即230x y +-=．故答案为：230x y +-=. 1523因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，所以由正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，由0,0B C ππ<<<<，则1sin 2A =，而三角形ABC为锐角三角形，所以3cos 6A A π=⇒=. 由余弦定理，222383cos 223b c a A bc bc bc +-==11123sin 2223ABCSbc A ===. 2316．28π过点D 作DE ∵BG ，易得DE ∵平面ABC ， 记ABC 的中心为O 1，几何体的球心为O ， 连接OO 1，过点O 作OF //O 1E 交DE 于点F ，如图所示，由题可得BG =DG =3，∵DGB =23π， 333,2EG DE ==，111,2,O G O A == 设1OO x =，外接球的半径为R ，所以2221222R O A x R DF OF ⎧=+⎨=+⎩，即2222222335()2R xR x ⎧=+⎪⎨⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得73R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以该四面体外接球的表面积为28π. 17．(1)解：由题意，设第一行的公差为1d ，第三列的公比为q ， 则由122a =，144a =，可得1141222d a a =-=， ∵11d =，∵133a =，又3312a =，∵331324a a q ==，∵2q ，∵11212222n n nn a a q --=⋅=⨯=；(2)解：∵()()()()()()()()()11111212121212222121212111n nn n n n n n n n n b a a +--+++⎡⎤---⎣⎦===------111122121n n +⎡⎤=-⎢⎥--⎣⎦. ∵121223111111112212121212121n n n n S b b b +⎡⎤=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥------⎣⎦1121111122121222n n ++⎡⎤=-=-⎢⎥---⎣⎦. 18．(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a +⨯+++⨯=，解得0.006a =；由频率分布的直方图可得设中位数为m ，故可得()()0.004 0.006 0.023210 700.0280.5m ++⨯+-⨯=，解得76m =，所以这200名学生成绩中位数的估计值为76； (2)由频率分布直方图可知：得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06， 采用分层抽样知，抽取的5人，在[40,50)内的人数为2人，在[50,60)内的人数为3人. 设分数在[ 40，50 )内的2人为12,a a ，分数在[ 50，60 )内的3人为123,,b b b ，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况，其中分数在同一组的2人有()12,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，有4种情况， 所以概率为42105P ==. 19． （1）连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，//AB CD ，24AB CD ==，CND ANB ∴△∽△，12CD CN AB AN ∴==， 又//CE 平面BDM ，CE ⊂平面ACE ，且平面ACE 平面BDM MN =//CE MN ∴12EM CN MA AN ∴==．（2）AE 平面MBC ，BM ⊂平面MBC ，AE BM ∴⊥，AB AE BE ==，M ∴是AE 的中点，面ABE ⊥面ABCD ，∴点E 到面ABCD 的距离为3423d ==∴点M 到面ABCD 的距离为32dh ==11123223332C BDM M BCD BCD V V S h --∴==⋅=⋅⋅⋅△ BDM 中，22BD =，22DM =23BM =1235152BDM S ⋅∴==△∴点C 到平面BDM 的距离满足123153h =，所以距离25h =20． (1)由椭圆221259y x +=，知222594c a b --．又抛物线22(0)x py p =>的焦点是椭圆的一个焦点． 所以42p=，则8p =． 所以抛物线的方程为216x y =． (2)由抛物线方程216x y =知，焦点(0,4)F ．易知直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为4y kx =+．由2416y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理，得216640x kx --=．22(16)4(64)2562560k k ∆=---=+>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1216x x k +=，1264x x =-．对216x y =求导，得8x y '=，∵直线AP 的斜率18AP x k =， 则直线AP 的方程为111()8x y y x x -=-，即211816x x y x =-．同理得直线BP 的方程为222816x x y x =-．设点00(,)P x y ，联立直线AP 与BP 的方程，()012120182416x x x k x x y ⎧=+=⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩即(8,4)P k -． 2222121212||11()41AB k x k x x x x k +-=++-+22(16)256161()k k +=+，点P到直线AB 的距离22288811k d k k +==++所以PAB △的面积32222116(1)164(1)642S k k k =⨯+⨯+=+，当且仅当0k =时等号成立．所以PAB △面积的最小值为64，此时直线l 的方程为4y =． 21．(1)()1e x f x a -='-，x ∈R .①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 单调递增；②当0a >时，由()0f x '>得，()1ln ,x a ∈++∞，()f x 单调递增， 由()0f x '<得，(),1ln x a ∈-∞+，()f x 单调递减.综上：当0a ≤时，()f x 单调递增；当0a >时，()f x 在()1ln ,x a ∈++∞上单调递增，在(),1ln x a ∈-∞+上单调递减.(2)∵()f x 在()0,2上有两个不相等的零点1x ，2x ，不妨设12x x <， ∵1e x a x-=在()0,2上有两个不相等的实根，令()1e x g x x -=，()0,2x ∈，∵()()12e 1x x g x x --'=，由()0g x '<得，()0,1x ∈，()g x 单调递减，由()0g x '>得，()1,2x ∈，()g x 单调递增，()11g =，()e22g =，0x →，()g x ∞→+， ∵e 1,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭要证121x x a>，即证121ax x >，又∵()()12g x g x a ==，只要证211e1x x ->，即证211e x x ->，∵121x x ，即证()()211e xg x g -<即证()()212ex g x g -<，即证12221e 112e e ex x x x ----<，即证212e ln 10x x -+->令()1eln 1xh x x -=+-，()1,2x ∈，∵()11e x h x x-'=-+，令()e e x x x ϕ=-，()1,2x ∈，则()e e x x ϕ'=-，当()1,2x ∈时，()e e>0xx ϕ'=-恒成立，所以()e e x x x ϕ=-在()1,2x ∈上单调递增，又()()10x ϕϕ>=，∵e e x x >，∵11e xx-<，∵()0h x '> ∵()h x 在()1,2上递增，∵()()10h x h >>，∵1e ln 10x x -+-> ∵121x x a>. 22． 试题解析：(1)由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 对应的直⻆角坐标⽅方程为:()2224x m y m -+=+由点M 在曲线C 的内部，()22394m m ∴-+<+, 求得实数m 的取值范围为7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)直线l 的极坐标⽅方程为θα=，代入曲线C 的极坐标⽅方程整理理得26cos 40ρρα--=，设直线l 与曲线C 的两个交点对应的极径分别为1212126cos 4ρρρραρρ+==-，，，， 则直线l 截得曲线C 的弦长为：()22121212436cos 164,213ρρρρρρα⎡⎤-=+-+⎣⎦. 即直线l 与曲线C 截得的弦长的取值范围是4,213⎡⎣.23． (1)由条件可知原不等式可化为①12416x x x ≥⎧⎨++->⎩，②()212416x x x -<<⎧⎨+-->⎩，③()()22416x x x ≤-⎧⎨-+-->⎩，解①得1x >；解②得x ∈∅；解③得3x <-， 所以原不等式的解集为()(),31,-∞-⋃+∞. (2)因()33,12415,2133,2x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，所以当2x =-时，函数()f x 的最小值为3m =，于是2293a b +=，∵a >0，b >0而2239236a b a b ab=+≥⨯=，于是1 02ab<≤.∵313326 a bab b a ab≥+=+≥∵326a b ab+≥，原不等式得证。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2022年青海省西宁市大通县高考数学三模试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年青海省西宁市大通县高考数学三模试卷（文科）1. 若全集，集合，，则( )A. B. C. D.2. 在复平面内，复数，对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A. B. C. D.3. 2021年东京奥运会某国家游泳队有男运动员48人，女运动员36人，世界反兴奋剂机构采用分层抽样的方法，从该国游泳运动员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中女运动员应抽的人数为( )A. 12B. 14C. 16D. 184. 已知为等差数列的前n项和，若，则( )A. 6B. 9C. 18D. 275. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的虚轴长为( )A. 2B. 4C. 8D. 166. 已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为( )A. ，B. ，C. ，D. ，7. 若函数满足，且当时，，则( )A. B. 10 C. 4 D. 28. 已知，，则( )A. B. C. 1 D. 2或69. 已知点M，N分别在圆C：和直线l：上运动，若的最小值为7，则t的值为( )A. 36B. 37C.D. 或3610. 一个三棱锥的正视图如图①所示，则下列图形中可以是相应几何体的侧视图和俯视图的组合为( )A. ③④B. ③⑤C. ②④D. ②⑤11. 已知，，，则正数m，n，p的大小关系为( )A. B. C. D.12. 记为数列的前n项和；已知和为常数均为等比数列，则k 的值可能为( )A. B. C. D.13. 已知向量，，若，则______.14. 若，，，则的最小值为______.15. 已知点F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为的直线l与C交于点A，B，则为坐标原点的面积为______.16. 四棱锥的顶点都在球心为O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD 为矩形，E，F分别为PB，BC的中点，，，则下列说法正确的是______填序号①平面平面PCD；②四棱锥的外接球的半径为；③平面AEF截球O所得截面的面积为17. 如今大家对运动越来越重视，讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运动”和“无氧运动”，有氧运动主要的作用是健身，而无氧运动主要的作用是塑形，一般的健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体的目的．某健身机构对其60位会员的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有42人，30岁以下无氧运动为主的有12人，占30岁以下调查人数的根据以上数据完成如下列联表；有氧运动为主无氧运动为主总计30岁以下1230岁及以上总计4260能否有的把握认为运动方式与年龄有关？附：k参考公式：，其中18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角B的大小；若，且的面积为，求的周长．19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，，点M是BC的中点．求证：；求点B到平面PAM的距离．20. 已知椭圆C：的右焦点为，且C过点求C的方程；若点M是C上的一点，过M作直线l与C相切，直线l与y轴的正半轴交于点A，过M 与PF平行的直线交x轴于点B，且，求直线l的方程．21. 已知函数讨论函数在上的单调性；已知，是函数的两个不同的极值点，且，若不等式恒成立，求正数的范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；若点，曲线与曲线的交点为A，B两点，求的值．23. 已知函数当时，解不等式；若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：全集，集合，，，所以故选：先根据条件求得B的补集，再结合并集的定义求解即可．本题考查集合的混合运算，注意集合交并补的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：复数对应的点为，复数对应的点为利用中点坐标公式得线段AB的中点，故点C对应的复数为，故选：复数对应的点为，复数对应的点为利用中点坐标公式得线段AB 的中点C，进而得出．本题考查了复数的几何意义、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：因为每个个体被抽到的概率等于，根据分层抽样方法的原理可得样本中女运动员的人数为故选：根据分层抽样的定义建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：因为等差数列中，，则故选：由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由，得，又，，解得：，双曲线的虚轴长为故选：由双曲线方程求得a，再由离心率结合隐含条件求解b，则答案可求．本题考查双曲线的标准方程与几何性质，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由图象知，，，，，过点，，，且，，令，，即，，的单调递增区间为，故选：由图象可得函数周期，利用周期公式可求，由于过点，可求的值，可求函数解析式，进而由正弦函数的图象与性质即可求得单调递增区间．本题主要考查由部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：函数满足，由，得，函数是周期函数，且4是它的一个周期．又当时，，故选：推导出，从而函数是周期函数，且4是它的一个周期，当时，，由此能求出本题考查函数值的求法，考查函数的周期性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：因为，所以，解得，又，所以故选：先利用两角和的正切公式对化简运算，求出的值，再根据，并由两角差的正切公式，运算得解．本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差的正切公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：依题意，圆心到l的距离为，则，解得或故选：先求得圆心到直线的距离，从而建立关于t的方程，求解即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式等知识，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意及正视图可知，三棱锥只能在如图所示的三棱柱中，且三棱锥的靠后的一个顶点必然被前面的面遮住，最下面的顶点一定在AD上，右边的顶点在上，左边靠前的顶点在上，故侧视图不可能为②④⑤．故侧视图为③，三棱锥只可以为如图所示的三棱锥，此时俯视图为④．故选：根据三视图的定义和性质，逐个判断即可．本题考查三视图，考查学生的空间想象能力及推理能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：，，，，，，，故选：推导出，，由作商法得到再由，，能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，考查指数与对数的互化、作商法比较大小、对数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：时，不成立．时，由题意可得：，经过验证：只有时，化为：有解．因此k的值可能为故选：时，不成立．时，由题意可得：，经过验证即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：向量，，，，则，故答案为：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】【解析】解：又，当且仅当，即，时取等号．的最小值为故答案为：利用对数运算法则找到a和b之间的关系，再利用基本不等式求值即可．本题主要考察对数运算法则，以及基本不等式中1的代换．属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意知，l的方程为，代入C的方程得，所以，设，，则，，所以故答案为：先写出直线l方程，联立椭圆求得，，再由计算面积即可．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．16.【答案】②③【解析】解：对于①，因为F为BC的中点，，所以直线AF与直线DC必相交，所以平面AEF与平面PCD必有交点，所以平面AEF与平面PCD不平行，故①不正确；对于②，因为平面ABCD，所以，，，因为，，所以平面PAB，所以，因为，，所以平面PAD，所以，取PC的中点O，在直角三角形PAC中，有，在直角三角形PBC中，有，在直角三角形PCD中，有，所以O为四棱锥的外接球的球心，因为，，所以，所以，所以，即四棱锥的外接球的半径为，故②正确；对于③，设球心O到平面AEF的距离为d，截面圆的半径为r，因为E，F分别为PB，BC的中点，所以，因为平面AEF，平面AEF，所以平面AEF，又O在PC上，所以点O到平面AEF的距离等于点C到平面AEF的距离，等于点B到平面AEF 的距离，因为，所以，所以，所以，，点E到平面ABF的距离为，由得，得，得，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为，故③正确，故答案为：②③．根据直线AF与直线DC必相交，可判断①；取PC的中点O，证明O为四棱锥的外接球的球心，再计算半径可判断②；利用等体积法求出球心到截面的距离，再根据勾股定理求出截面圆的半径可判断③．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．17.【答案】解：列联表如下表所示：有氧运动为主无氧运动为主总计30岁以下18123030岁及以上24630总计421860由题意，，所以没有的把握认为运动方式与年龄有关．【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．18.【答案】解：因为，由正弦定理得又，，所以，又，所以因为，所以，又，所以，由余弦定理可得，所以所以的周长【解析】根据正弦定理进行化简求解即可．根据余弦定理以及三角形的面积公式进行化简求解．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】证明：依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直．以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，如图，建立空间直角坐标系．则可得所以，所以；由得到，因此可得设平面PAM的一个法向量为，则由得令，解得又，所以点B到平面PAM的距离【解析】以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，轴建立空间直角坐标系，求出，利用数量积即可证明．求出平面PAM的法向量，在求出，再利用公式求距离即可．本题考查利用向量解决空间向量的问题，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由题意知解得，，所以C的方程为由题可知，直线PF的方程为，即显然直线l的斜率存在且不为0，设点，设直线l的方程为，即，由消去y，得因为过M作直线l与C相切，所以，整理得，即，所以直线l的方程为令，得，所以因为，所以，所以直线MB的方程是，即令，解得，所以因为，所以，即，所以，又因为，所以，解得，因为，所以，所以，所以直线l的方程是，即【解析】根据题干中的已知条件，结合椭圆的定义即可求解．由题可知直线PF的方程，设M点坐标，可设直线l的方程，与椭圆方程联立，由直线l与椭圆相切得，可解得A点的坐标；利用，得直线MB的方程，求解B点坐标，进而求解直线AB的方程，利用即可求得M点坐标，进而得出直线l的方程．本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．21.【答案】解：，所以，令，故当时，在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增；当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，即在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．等价于，由题意可知，分别是方程的两个根，即的两个根，即，，原式等价于因为，，所以原式等价于，又，，作差得，，即，所以原式等价于，因为，所以恒成立．令，，则不等式在上恒成立，令，又因为，当时，可得时，，所以在上单调递增，又因为，在上恒成立，符合题意；当时，可得时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只需满足，又，所以，即实数的取值范围为【解析】根据题意得，令，再求导，分和两种情况讨论即可；等价于，又，，所以，整理得，令，，则不等式在上恒成立，令，再求导分析即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．22.【答案】解：由，消去参数得，所以曲线的普通方程为因为，所以所以曲线的直角坐标方程为由可知曲线的参数方程为为参数，代入曲线的普通方程，得设A，B所对应的参数分别为，，则所以【解析】根据同角的三角函数关系式把曲线化成普通方程，根据直角坐标方程与极坐标方程互化公式求出曲线的直角坐标方程即可；根据参数的几何意义进行求解即可．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，不等式，即，所以或，即得或，解得或所以不等式的解集是；因为对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即，即，故只要且对任意的恒成立即可，因为，当且仅当时，即时等号成立，所以令，易得在上单调递减，所以，所以，即实数a的取值范围是【解析】将代入，分情况去掉绝对值符号，解不等式组即可；依题意，且对任意的恒成立，再利用基本不等式及函数的性质即可求得a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想及转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．。
【冲锋号考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷 03卷(文科)(全国卷专用)(解析版)
【冲锋号·考场模拟】赢战2023年高考数学模拟仿真卷03卷（文科）（全国卷专用） （解析版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4A xx =<-∣或1}x >，{}2,1,1,2B =--，则C R A ∩B =( ) A ．{}1,1- B ．{}2,1-- C ．{}2,1,1-- D ．{}2,1,1,2--【答案】C 【分析】计算{}41A x x =-≤≤R∣，再计算交集得到答案.【详解】{4A xx =<-∣或1}x >，{}41A x x =-≤≤R∣，(){}R 2,1,1A B ⋂=--．故选：C2．设2(z ＋z )＋3(z －z )＝4＋6i ，则z ＝( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．1＋iD ．1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入2(z ＋z )＋3(z －z )＝4＋6i ，得4a ＋6b i ＝4＋6i ，所以a ＝1，b ＝1，故z ＝1＋i. 答案：C3．若数据1a ，2a ，3a ，…，10a 的方差为7，则数据11a +，21a +，31a +，…，101a +的方差为（ ） A ．7B ．49C ．8D ．64【答案】A【分析】波动程度没有发生变化.【详解】数据1a ，2a ，3a ，…，10a 到11a +，21a +，31a +，…，101a +，波动性并没有发生变化，所以方差还是7. 故选：A4．已知某品牌手机电池充满时的电量为4000（单位：毫安时），且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A ：电量呈线性衰减，每小时耗电400（单位：毫安时）；模式B ：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的12t倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A 模式，并在x 小时后，切换为B 模式，若使且在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x 的可能取值为（ ） A ．4.6 B ．5.8 C ．7.6 D ．9.915．已知3cos sin 44θθ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 21θ=+（ ）A ．54B ．32C ．74D ．2()1,1a =，6a b ⋅=，2b =，则向量a ，b 的夹角为（A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【分析】先利用a 得到2a =，然后利用数量积的定义可求出3cos ,2a b =，即可得到答【详解】因为向量()1,1a =，所以2211a =+，由6a b ⋅=，2b =可得cos ,22cos ,6a b a b a b ⋅==， 所以3cos ,2a b =， 因为0,πa b ≤≤，所以,6a b π=，故选：A7．点(0,1)A -到直线0kx y k -+=距离的最大值为（ ） A ．1 BCD ．28．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角3θ=的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB 的面积AOB S =△AB 的中点M 到y 轴的距离是（ ） A ．8 B ．5 C ．3 D ．2弦长和AOB 的面积，求出未知系数，由中点坐标公式得【详解】解法一 由于题意得直线联立，得2233y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩222330pyp ，2p =-. )221211244229p y y p -=⋅⋅+6p .的方程是33x =6p.的中点M到y6p.A．13B．23C．12D．43【答案】B1112⎛⎫A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<．在ABC 中，角角，若33c a =+，则A =（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A2sin b A -又在ABC 中，B 为锐角，∴333c a b =+所以由正弦定理得：又C π=-即3cos 220,A ⎛∈ ⎝故可得3π故选：A12．已知函数f x m x x =-+有且仅有一个极值点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(]1,0e ⎧⎫⋃-∞⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】将问题转化为()g x 与()h x 的图象在()0,∞+上只有一个交点，且交点左右()()()f x g x h x ='-的符号不同，分类讨论0m =，0m >与0m <三种情况，结合图像即可求得结果.【详解】由题可得，函数()f x 的定义域为()0,∞+，()e ln 1xf x m x '=--，若函数()f x 有且仅有一个极值点，则()f x '在()0,∞+上有且仅有一个变号零点， 令()e xg x m =，()ln 1h x x =+，则问题转化为函数()g x 与()h x 的图象在()0,∞+上只有一个交点，且交点左右()()()f x g x h x ='-的符号不同， ①当0m =时，()ln 1f x x '=--，0f x，得0<所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1x =是()f x【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：13．若x ，y 满足约束条件321,321,x y x y ⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩则z ＝y －3x 的最大值为___________.【答案】－1【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域（如图），联立3713212x y x x y y +≥=⎧⎧⇒⎨⎨-≥-=⎩⎩，故(1,2)A ，当直线=3y x z +经过点(1,2)A 时，z 最大，此时1z =- ， 故选：C14．若双曲线222:1(0)16x y C b b-=>的一条渐近线与直线420x y -+=垂直，则C 的离心率为_______．15．函数3ln y x x=-+的单调递增区间为________．16．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD为矩形，4,PB AD ==当AB PD ⋅最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.因为222AB PD AB PD +⋅，所以12AB PD ⋅，当且仅当23AB PD ==时，等号成立，此(2224AP AD PD ++=，所以π三、解答题：本大题共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第据要求作答．17．已知n a 是以1为首项的等差数列，n b 是以2为首项的正项等比数列，且满足621032a b a b -=-=.(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .2q（负根舍去）,2n n b n ==(11n n a a n +=11112n n n =-+++-+人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，能化教育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年一2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用x 表示年份代码(2017年用1表示，2018年用2表示，依次类推），用y 表示市场规模（单位：百万元）．(1)已知y 与x(2)该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：完成22⨯附1：线性回归方程：ˆˆˆybx a =+，其中()()()11222111ˆn niii ii i nnii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-； 附2：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20)k0.15220090306020 6.061 5.0241109015050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯由，所以有97.5%的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，OA ＝2，∠AOP ＝120°，三棱锥1A APB -．(1)求圆柱1OO 的表面积；(2)求异面直线1A B 与OP 所成角的余弦值． 由题意，在AOP 中，120，∴易知在BOP 中，60OB OP =，∴2BP =， ∵三棱锥1A APB -的体积为∴由111···3232A APB V AP BP -=⨯⨯故圆柱1OO 的表面积为：2）取AA20．已知函数()e cos x f x ax b x =-+，a ∈R ，b ∈R .(1)若()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-=，求,a b 的值；(2)当1b =时，若函数()()()g x f x f x '=-在(0,π)上有两个极值点，求实数a 的取值范围.由图象可知，21a -<<-. 21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点⎭，长轴的长为4. (1)求椭圆的方程；(2)过左焦点F ，作互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆交于,P Q 两点，直线2l 与圆22:(2)4E x y -+=交于,M N 两点，R 为,M N 的中点，求PQR 面积的最大值.所以PQR 面积的最大值为（二）选考题：共所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知曲线1C 的参数方程为：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为6πθ=.(1)求曲线1C 的普通方程；(2)若曲线1C 和曲线2C 与直线l 分别交于非坐标原点的A ，B 两点，求||AB 的值. 【答案】(1)22(1)1y x +-= (2)323．设()|32|3|1|f x x x =+--． (1)解不等式()1f x x <+；(2)设()f x 的最大值为t ，如果正实数m ，n 满足4m n t +=，求14m n+的最小值． (4,)⎫+∞⎪⎭）零点分段讨论解含绝对值的不等式的最大值，利用基本不等式求(4,)⎫+∞⎪⎭．332(3x +-0,0n >，。
高三数学高考模拟题(文科)(三)
高三数学高考模拟题(文科)(三)考生注意：满分150分，时刻120分钟.不准使用运算器.一、选择题（每小题5分，共50分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.） 1．已知=>==<==B A x y y B x x y y A x则},1,)21(|{},1,log |{2 Ａ．φ B ．（0,∞-）C ．)21,0(D ．（21,∞-） 2.下列命题既是全称命题，又是真命题的个数是（1）对数函数差不多上单调函数；（2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；.(3)关于任意的无理数x ，2x 是无理数；（4）存在一整数x ，使得0log 2>x ．A ．1B ．2C ．3D ．4 3.函数)10(|2|<<-=a a y x的大致图象是A B C D 4. 已知函数)1(2)(2f x x x f '+=, 则)1(-f 与)1(f 的大小关系是A ．)1()1(f f =-B ．)1()1(f f >-C ．)1()1(f f <-D ．不能确定 5. 设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++=与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直 6. 已知f (x )的定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则()2T f -的值为A ．0B ．2T C ．T D ．－2T7．已知△ABC 中，若AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 8．如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，假如直角三角形的直角边长为1，那么那个几何体的体积为A ．1B ．21C ．61D ．31正视图 侧视图 俯视图9．设1F 、2F 为曲线1C ：12622=+y x 的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与1C 的一个交点，则||||21PF ⋅的值为A ．62B ．32C ．4D ．310．在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是A ．BC //平面PDFB ．DF ⊥平面PA EC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面 ABC答 题 卷班级 姓名 得分一、选择题（每小题5分，共50分.请把正确选择支号填在答题表内.）二、填空题（请按要求答题，每小题5分，共２０分.请把答案填在题中的横线上.） 11．复数25+i i的虚部为 1２．读下面程序框图，则循环体执行的次数是 ，程序输出结果是 . 13．球面上有A 、B 、C 三点，AB=AC=2，BC=22，球心到平面ABC 的距离为1，则球的表面积为______. 考生可从下面第14、15两道题中任选一道做答， 若两道题全做答，则只按前一题运算得分．14．在平面直角坐标系xoy 中，圆心在M （1，0）点且过原点O 的圆M 的参数方程可写为__________；若以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的直线l 的极坐标方程为：2sin cos =+θρθρ，则直线l 与圆M 位置关系为_________.15．如图．⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点,PQ 切⊙1O 于点P ，交⊙2O 于点Q 、M,交AB 的延长线于点N ．若MN=1，MQ=3， 则NP 等于_________三、解答题（共80分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16． 已知 )sin ,2(cos αα=a ，)1sin 2,1(-=αb ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，且52=⋅b a ，求)4cos(πα+的值．17．数学测验成绩评定差不多上正整数，甲、乙两人某次数学测验成绩差不多上两位正整数，且十位数差不多上8，求甲、乙两人此次数学成绩的差的绝对值不超过2分的概率． 18．（本小题满分14分）如图，已知棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，且⊥1AA 面ABCD ，60=∠DAB ，1AA AD ==１，F 为棱1AA 的中点，M 为线段1BD 的中点，（Ⅰ）求证：//MF 面ABCD ；（Ⅱ）试判定直线ＭＦ与平面11B BDD 的位置关系，并证明你的结论； （Ⅲ）求三棱锥BDF D -1的体积.ABDA 1B 1D 1FM19．（本小题满分14分）已知定点A （0，1）、B （0，1-）、C （1，0），动点P 满足22PC =⋅．⑴求动点P 点的轨迹D 方程；⑵从轨迹D 外一点M 点向轨迹D 引一条切线，切点为N ，且有MA MN =，求MN 的最小值．20．（本小题满分14分）为了解某校高三学生的视力情形，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情形，得到频率分布直方图如图；由于不慎将部分数据丢失，但明白前4组的频数从左到右依次是等比数列{}n a 的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列{}n b 的前六项． ⑴求等比数列{}n a 的通项公式，等差数列{}n b 的通项公式； ⑵求最大频率； ⑶设12211+=+++n nn b a c a c a c )(*∈N n ，求数列{}n c 前2007项和2007S ． 21．（本小题满分14分）关于函数D x x f y ∈=),(，若同时满足以下条件： ①)(x f 在D 上单调递增或单调递减．②存在区间D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f y =是闭函数．(1)求闭函数3)(x x f =符合条件②的区间],[b a ； (2)当12,0==b a 时判定函数xx y 42+=是不是闭函数？并说明理由； (3)若函数k x y ++=2是闭函数，求实数k 的取值范畴．高三数学高考模拟题（文科）（三）参考答案一、AAABC ABCDC二、11．2 12．49； 2450 13．π12=球S 14．⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x )(为参数θ；相交 15．2三、16．解：由52=⋅b a 得52sin sin 22cos 2=-+ααα，…………………3分52sin 1=-⇒α 因此53sin =α， …………………6分因为⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα,2，因此54cos -=α， ……………………………………9分因此4sin sin 4cos cos 4cos παπαπα-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+210722532254-=⋅-⋅-=． …………………………12分17．解：设甲的成绩x 、乙的成绩为yx 、y {}89,,82,81,80 ∈则（x,y ）对应如图所示正方形ABCD 及其内部的整数点共有1001010=⨯ （5分） 其中满足x 、y x (2的≤-y )对应的点为如图阴影部分（含边界）的整数点，共有4487100=⨯- （11分）故所求概率为251110044=（12分） 解法2：）（，y 、、x ）（、、、y x ）（、、y x 分种共有种选法各有分种共可取时分种共可取时8155,8483827483828180,8163828180,80=== 故 =x 80、81、82、83、84时，y 共有22种选法 （9分）同理 =x 85、86、87、88、89时，y 共有22种选法 （11分）故所求概率25111002222=+ （12分）ABCDA 1B 1C 1D 1 FMO18.解：（Ⅰ）（方法一）证明：连结AC 、BD 交于点O ，再连结MO ……………………1分A A OM 121//∴且A A OM 121=， 又A A AF 121= ， AF OM //∴且AF OM =∴四边形MOAF 是平行四边形， OA MF //∴…………… 3分 又⊂OA 面ABCD//MF ∴面ABCD ……………………………… 5分 （方法二）如图：延长ＤＡ至Ｅ，使ＡＥ＝ＡＤ，连结ＢＥ，证ＭＦ‖ＢＥ即可. （Ⅱ）⊥AC 平面11B BDD ………… 6分证明： 底面是菱形， BD AC ⊥∴ 又⊥B B 1 面ABCD ，⊂AC 面ABCDB B AC 1⊥∴，⊥∴AC 平面11B BDD …………………………………8分AC MF // ⊥∴MF 平面11A ADD (10)分（Ⅲ）过点Ｂ作又ＢＨ⊥ＡＤ于Ｈ⊥A A 1 平面ABCD ，⊂BH 平面ABCDA A BH 1⊥∴，⊥∴BH 平面11B BDD …………………………………11分 在Ｒt ΔABHk 中，60=∠DAB ，ＡＢ＝１，∴ＢＨ＝23………………………12分 1232311213131111=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--BH S V V F DD F DD B BDF D 三棱锥三棱锥……………14分19．解：⑴设动点P ),(y x ………………………………………………………………1分A （0，1）、B （0，1-）、C （1，0），动点P 满足22PC=⋅1)1,()1,(22-+=+⋅-=⋅∴y x y x y x ，………………………………3分PC 22=22)(2)1(2y x -+-=……………………………………………5分因此化简整理得动点P 点的轨迹方程为：03422=+-+x y x ………………7分⑵由⑴知P 点的轨迹方程是一个圆：1)2(22=+-y x 由于切线DN MN ⊥，122-=∴MD MN……………………………………8分MA MN =，122-=∴MD MA ……………………………………9分设),(y x M ，则1)2()1(2222-+-=-+y x y x ………………………10分 化简得：12-=x y ，即点M 在直线12-=x y 上，……………………12分MN ∴的最小值即为MA 的最小值555210=+-=d ………………14分 20．解：（1）由题意知：11001.01.01=⋅⋅=a31001.03.02=⋅⋅=a因此数列{}n a 是一个首项11=a ，公比为3的等比数列，13-=n n a …………3分2741==a b又)(100321621a a a b b b ++-=+++87)931(100=++-=d b 25661⋅+=，5-=d ， 因此数列{}n b 是一个首项271=b ，公差为5-的等差数列，n b n 532-=……6分⑵最大频率为：27.010027=…………………………………………………………8分 ⑶ 12211+=+++n nn b a c a c a c )(*∈N n∴n n n b a c a c a c =+++--112211 )2,(≥∈*n N n ∴51-=-=+n n nnb b ac )2,(≥∈*n N n ∴1355-⋅-=-=n n n a c )2,(≥∈*n N n ………………………………………12分又22211==b a c ，221=c ，……………………………………………………13分 因此数列{}n c 是一个从第二项开始的公比为3的等比数列，2007S 272)31(52007+-=…………………………………………………………14分21．解 (Ⅰ)由y =x -3在[a ，b ]上为减函数，得 33,,.b a a b a b ⎧=-⎪=-⎨⎪<⎩可得a = –1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[–1，1]． (4)分(Ⅱ)取x 1 = 1 ， x 2 = 10，可得f (x )不是减函数；取x 1 =21,10x =1100，可得f (x )在(0 ， +∞)不是增函数，因此f (x )不是闭函数． …………7分(Ⅲ)设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则a k b k =+=+⎧⎪⎨⎪⎩故a ， b 是方程x=k +的两个实根，命题等价于22(21)20,2,x k x k x x k ⎧-++-=⎪≥-⎨⎪≥⎩有两个不等实根． ………… 10分 当k 2≤-时，2222212,2(21)4(2)0,22(21)20.k k k k k +⎧>-⎪⎪⎪+-->⎨⎪+++-≥⎪⎪⎩解得：94k >-，∴ 9(,2]4k ∈--；当2k >-时，222221,2(21)4(2)0,(21)20.k k k k k k k k +⎧>⎪⎪⎪+-->⎨⎪-++-≥⎪⎪⎩这时k 无解．因此 k 的取值范畴是9(,2]4--． ………… 14分。
高中数学 2022年黑龙江省佳木斯一中高考数学三模试卷(文科)
2022年黑龙江省佳木斯一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每个5分，满分60分，每个小题4个选项中仅有一个选项符合题意）A ．∅B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |x ≤1或x >2}D ．R1．（5分）设集合A ={x |y =lg （x -1）}，B ={x |y =2−x }，则A ∪B =（ ）√A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）“m =3”是“1，m ,9成等比数列”的（ ）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°3．（5分）已知a =(2，0)，b =(12，32)，则a −b 与12a +b 的夹角等于（ ）→→√→→→→A ．甲同学的体温的极差为0.5℃B ．甲同学的体温的众数为36.3℃C ．乙同学的体温的中位数与平均数不相等D ．乙同学的体温比甲同学的体温稳定4．（5分）新冠肺炎疫情防控中，测量体温是最简便、最快捷，也是筛查成本比较低、性价比很高的筛查方式，是更适用于大众的普通筛查手段．某班级体温检测员对某一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A ．112B ．110C ．19D ．185．（5分）黑龙江省从2021年秋季入学高一新生开始进入“3+1+2”的新高考模式，2024年起高考不分文理．新高考“3+1+2”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目：“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式下考生选择政治历史地理三个科目的概率是（ ）A ．①③B ．①②C ．②④D ．③④6．（5分）下列说法正确的序号是（ ） ①在回归直线方程̂y =0.8x −12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量̂y 平均增加0.8个单位；②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得n i =1(y i −bx i −a )2最小的原理； ③已知X ，Y 是两个分类变量，若它们的随机变量K 2的观测值k 越大，则“X 与Y 有关系”的把握程度越小；④在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i）（i =1，2，……，n ）都在直线y =−12x +1上，则这组样本数据的线性相关系数为−12．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，满分共计20分，将答案填在答题卡相应的位置）A ．34B ．33C ．32D ．10207．（5分）如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，AB 为圆锥底面圆的直径，C 是AB 的中点，D 是母线SA的中点，则异面直线SC 与BD 所成角的余弦值为（ ）⌢√√√√A ．（-∞，1）B ．（-∞，1]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）8．（5分）函数f （x ）=x 2-ax -xlnx ,a ∈R ，若f （x ）在[1，+∞）单调递增，a 的取值范围是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．（5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(13，23)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0，13]，[23，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于45，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）A ．在区间[π3，4π3]上有一个零点B ．关于（π12，0）对称C ．在区间[π12，5π12]上单调递增D ．在区间[π12，π4]上的最大值为210．（5分）已知函数f （x ）=sin （2x +φ）+1（|φ|<π2）图象向左平移π3个单位后关于直线x =0对称，则下列关于函数f （x ）说法正确的是（ ）A ．x 2=yB ．x 2=2yC ．x 2=4yD ．x 2=8y11．（5分）已知抛物线x 2=2py （p >0）的焦点为F ，准线为l ,过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），M N ⊥l ,垂足为N ，直线NF 交x 轴于点D ，若|MD |=23，则抛物线的方程是（ ）√A ．0B ．1C ．2D ．312．（5分）函数f （x ）=e x -e -x +2-5esin （x -1），则函数f （x ）的所有零点的和是（ ）13．（5分）若实数x ,y 满足V Y W Y X x −y ≤02x +y −3≤0，5x +y +6≥0则z =2x -y 的最大值为 ．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步乑。
2023年湘豫名校联考高三5月高考三模文科数学试卷含答案
湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x =≥，{}216x B x =<，则A B = （）A.()2,4 B.[)2,4 C.[)2,+∞ D.{}2,42.已知复数322i i iz -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a ，b 满足()6,10a b -=- ，()238,15a b +=- ，则a b ⋅=（）A.29- B.29C.13- D.134.已知x ，y 满足约束条件30,10,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则34z x y =+的最大值为（）A.4B.9C.11D.125.某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（）A.平均数B.中位数C.方差D.众数6.若双曲线1C 与双曲线222:17xC y -=有相同的焦距，且1C 过点()3,1，则双曲线1C 的标准方程为（）A.22162x y -=B.221-=C.22162x y -=221= D.22162x y -=或2213x y -=7.函数()3221x f x x x=-+的部分图象大致为（）A.B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，m 分别为1，1，4，则输出的M =（）A.4B.5C.18D.2729.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列不等式不正确的是（）A .14ab ≤B.2212a b +≥C.1121a b +>+ D.1≤10.已知等差数列{}n a 中，18522a a a +=-，31126a a +=，则数列{}cos πn a n ⋅的前2022项的和为（）A.1010B.1011C.2021D.202211.已知非钝角ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点.若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PAQ △周长的最小值为1+-P ABC 外接球的体积为（）A.B.6πC. D.8π12.已知函数()()33f x bx b x =-+在[]1,1-上的最小值为3-，则实数b 的取值范围是（）A.(],4-∞- B.[)9,+∞ C.[]4,9- D.9,92⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若数列{}n a 是公比为2的等比数列，763a a <，写出一个满足题意的通项公式n a =______.14.已知点P 为圆()22:44C x y +-=上的动点，则点P 到直线:3450l x y +-=的距离的最大值为______.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()220f x f x --+=，又当[)2,0x ∈-时，()22xf x =+，则121log 84f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______.16.将函数()sin2f x x =的图像先向右平移π8个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的()20ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()g x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，22223cos sin 22B B a c ac ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求证：a ，b ，c 成等比数列；（2）若222sin 3sin sin 4B AC =+，求cos B 的值.18.随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数y （单位：人）与该初级私人健身教练价格x （单位：元/小时）的情况，如下表所示.月份12345初级私人健身教练价格x （元/小时）210200190170150初级私人健身教练课程的月报名人数y （人）587911（1）求(),i i x y （1i =，2，3，4，5）的相关系数r ，并判断月报名人数y 与价格x 是否有很强的线性相关性?（当[]0.75,1r ∈时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）（2）请建立y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.001）（3）当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）参考公式：对于一组数据(),i i x y （1i =，2，3，⋯，n ），相关系数()()niix x y y r --=∑归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()niix x y y b --=∑$，ˆˆay bx =-.5.385≈.19.如图，直三棱柱111ABC AB C -中，2AC =，3BC =，AB =D 为1CC 上一点，且1:4:9CD C D =.（1）证明：平面1AB D ⊥平面11ABB A ；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的表面积为7713132+，求五面体1ABCDB 的体积.20.已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，离心率为23，过点1F 作直线l （与y轴不重合）交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF 的周长为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 是椭圆C 的上顶点，设直线l ，AM ，AN 的斜率分别为k ，1k ，2k ，当0k ≠时，求证：12111k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为定值.21.已知函数()()()e 1cos xf x a x a =+-∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程；（2）若()0,πx ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为33,212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π2sin 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为π6⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB +的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()42f x x x a =++-.（1）当2a =时，求不等式()13f x ≤的解集；（2）当0a >时，若()25f x a a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】A【12题答案】【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】2n （答案不唯一）【答案】1【14题答案】【答案】215【15题答案】【答案】14964【16题答案】【答案】150,1,44⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）16【18题答案】【答案】（1）0.929r ≈-，y 与x 有很强的线性相关性（2）0.08623.824ˆyx =-+（3）4人【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）172【20题答案】【答案】（1）22195y x +=（2）证明见解析【21题答案】【答案】（1）()ππe e 1π0x y -+-=（2）π2e ,∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程【22题答案】【答案】（1）0x -=，220x y x +-=（2）32选修4-5：不等式选讲【23题答案】【答案】（1）1313,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）(]0,1。
2022年黑龙江省哈尔滨九中高考数学三模试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年黑龙江省哈尔滨九中高考数学三模试卷（文科）1. 已知，，则的子集个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52. 若，则( )A. 1 B. 2 C. D.3. 双曲线的渐近线方程为( )A. B.C.D.4. 已知，且，则( )A.B. C. D.5. 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t 为时间单位：，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一杯开水由降低到需要，则k 的值约为( )结果精确到，参考数据：，A. B. C. D.6. 已知x ，y 都是正数，且，则下列选项不恒成立的是( )A.B.C. D.7. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第17项为( )A. 139B. 160C. 174D. 1888. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D.9. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则以下命题一定正确的序号是( )①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，，那么A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ③④10. 甲，乙，丙，丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学各自的五次点数统计结果如下：甲：平均数为3，中位数为2；乙：中位数为3，众数为2；丙：中位数为3，极差为4；丁：平均数为2，方差为通过以上数据可以判断一定没出现6点的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11. 已知函数的部分图象如图所示，且将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图像．若，，，则的最大值为( )A. B. C. D.12. 已知圆C：，MN为圆C的动弦，且满足，G为弦MN的中点．两动点P，Q在直线l：上，且，MN运动时，始终为锐角，则线段PQ 中点的横坐标取值范围是( )A. B.C. D.13. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则______.14. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有2个完全相同的“冰墩墩”与甲、乙两位运动员随机站成一排拍照留念，则2个“冰墩墩”连在一起的概率为______.15. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为______.16. 设函数，，则数列的前n项和______.17. 某经销商采购了一批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐每筐，得分数据如下：17，23，27，31，36，40，45，50，51，51，58，63，65，68，71，78，79，80，85，根据以往的大数据认定：得分在区间内的分别对应四级、三级、二级、一级．试求这20筐水果得分的平均数．用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售；方案2：分等级出售．不同等级水果的售价如下表所示：等级一级二级三级四级售价万元/吨2请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由．18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．求证：；求三棱锥的体积．19. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知求角A的大小；设，N是所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若，，求四边形ABNC面积的最大值．20. 已知直线l：，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，垂足为N，且为坐标原点求动点M的轨迹E的方程；已知点，直线与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E 的另一交点分别是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值．21. 已知函数若函数在处的切线过点，求a的值；设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围．22. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，如图所示，曲线的图形是过极点且关于极轴对称的两条射线OA，OB，其中请写出曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；已知点P在曲线上，，延长AO、BO分别与曲线交于点M、N，求的面积．23. 已知a，b，c为正实数且求的最小值；当时，求的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，故的子集个数为，故选：先求，从而写出子集个数．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：，，故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．由双曲线的渐近线方程为，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，可得双曲线的渐近线方程为故选4.【答案】C【解析】解：因为，又，所以，则故选：利用二倍角的正弦公式化简已知等式可得，结合范围，可得，进而利用平方差公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．本题考查了二倍角的正弦公式，平方差公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意可知，，，，则有，所以，所以故选：根据题意及所给数据，代入公式计算，即可得解．本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．6.【答案】D【解析】解：由基本不等式及其等号成立的条件知，，，恒成立；当，时，，故选：由基本不等式及其等号成立的条件依次判断即可．本题考查了基本不等式及其等号成立的条件，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设该数列为，数列的前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则数列满足，，所以，所以故选：根据高阶等差数列的知识，结合累加法求出数列的通项公式，再求出该数列的第17项．本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据程序运行的结果是计算并输出的值，程序中首先给变量S，n赋值，，判断条件满足，执行，；判断条件满足，执行，；判断条件满足，执行，；…，由此看出，当执行…时，执行，在判断时判断框中的条件应不满足，所以判断框中的条件应是故选：根据程序框图是计算的值，模拟程序的运行过程，得出执行完的值后n值为23，根据程序运行时n满足的条件，由此得出正确的答案．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，对于①，如果，，，那么由面面垂直的判定定理得，故①正确；对于②，如果，，那么由面面平行的性质得，故②正确；对于③，如果，，那么m与l相交、平行或异面，故③错误；对于④，如果，，，那么与相交或平行，故④错误．故选：根据空间中线线、线面间的位置关系直接判断．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：对于甲，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6；对于乙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6；对于丙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，3，6时，满足中位数为3，极差为4，可以出现点数6；对于丁，若平均数为2，且出现6点，则方差，所以平均数为2，方差为时，一定没有出现点数故选：根据题意利用举例法说明命题是否成立，即可得出正确的选项．本题考查了命题真假的判断问题，也考查了平均数、中位数、众数、方差等基础知识，是基础题．11.【答案】C【解析】解：设的最小正周期为T，则由图可知，得，则，所以，又由题图可知图象的一个对称中心为点，故，，故，，因为，所以，所以，又因为，故，所以将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再向上平移一个单位长度，得到的图象，因为，所以，同时令取得最大值3，由，可得，，又，，要求的最大值，故令，得，令，得，所以的最大值为，故选：根据函数图象求得，再根据图象变换可得的解析式，结合，，，求得，的值，可得答案．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由题意，圆C：，可得圆心坐标为，半径为，因为，G为弦MN的中点，可得，又由两动点P，Q在直线l：上，且，设PQ的中点当M，N在圆C上运动时，且恒为锐角，可得以C为圆心，以2为半径的圆与以M为圆心，以2为半径的圆相外离，则，即，解得或，所以线段PQ中点的横坐标取值范围是故选：由，得到，设PQ的中点，根据恒为锐角，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与以M为圆心，以2为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．13.【答案】2【解析】解：建立如图所示的坐标系，则，，，所以故答案为：通过建系，求出相关向量，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的运算，是基础题．14.【答案】【解析】解：甲、乙两位运动员与2个“冰墩墩”的所有排法有种，其中2个“冰墩墩”连在一起的排法有种，个“冰墩墩”连在一起的概率为故答案为：先求出甲、乙两位运动员与2个“冰墩墩”的所有排法，再求2个“冰墩墩”连在一起的排法，根据古典概型能求出结果．本题考查概率的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；如图所示：故：，，，所以，，，，故故答案为：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：函数，，解得，，…，相加可得：，解得，则数列的前n项和…故答案为：函数，由，解得由于，进而得出，利用求和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、函数的性质、倒序相加法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：这20筐水果得分的平均数为方案1：由于得分的平均数所以可以估计这批水果的销售单价为万元/吨．方案2：设这批水果售价的平均值为万元/吨，由已知数据得，得分在内的有17，23，共2个，所以估计四级水果所占比例为，得分在内的有27，31，36，40，45，50，共6个，所以估计三级水果所占比例为，得分在内的有51，51，58，63，65，68，71，共7个，所以估计二级水果所占比例为，得分在内的有78，79，80，85，95，共5个，所以估计一级水果所占比例为，则万元/吨所以从经销商的角度考虑，采用方案1的售价较高，所以采用方案1较好．【解析】利用平均数公式求解即可；先求个等级的占比，再结合平均数运算公式求解即可．本题考查了平均数的求法，重点考查了运算能力，属基础题．18.【答案】证明：，，，平面，平面，，，，，，平面，平面，又平面，解：平面ABC，平面ABC，，又，，平面，【解析】证明出平面，即可证得；根据锥体体积公式，由此可求三棱锥的体积．本题主要考查空间中的垂直关系，锥体体积的计算等知识，属于基础题．19.【答案】解由正弦定理得，，，即，即，，即在中，由余弦定理得，，，，由和，得是等腰直角三角形，于是，四边形ABCD的面积，当时，S取最大值，即四边形ABCD的面积的最大值是【解析】由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化解即可求解A；由已知结合余弦定理先表示出BC，然后结合三角形面积公式进行化简，再由正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．20.【答案】解：设，则，，，，则E的方程为；证明：设，，，，联立，得，则，，，直线PA的方程为，联立，得，由韦达定理得为，所以，同理可得：，则，则，直线CD的斜率为定值．【解析】设则，由已知条件，利用向量数量积的坐标表示列方程即可得轨迹方程；设A ，B ，C ，D 坐标，联立已知直线与曲线E ，由判别式求t 的范围，并根据韦达定理得到坐标的表达式，写出直线PA 、PB 方程，联立曲线E ，应用韦达定理得到C ，D 关于A ，B 坐标的关系，最后利用两点式可得，化简即可证结论．本题考查了动点的轨迹方程和直线斜率为定值的证明，属于中档题．21.【答案】解：由函数，对函数求导得，，又，所以切线方程为，因为切线过点，所以，故由函数，则，再对函数的求导得，设，则，，，解得，在上单调递增，，对a 分类讨论：①当，即时，，在上单调递增，则，，故②当，即时，，，，即或，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，则，，由，令函数，且，，在上单调递增，，，综上可得，实数a 的取值范围是，即【解析】根据导数的几何意义列方程求a 的值；化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可．本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的运算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，根据，可得的普通方程为曲线是由过极点且关于极轴对称的两条射线，其中则，故曲线的极坐标方程为和直线AO的方程为代入的普通方程，可得和，即，同理可得点，由，且P在曲线上得P点横坐标为3，所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；根据条件求出M，N的坐标，再结合三角形的面积公式求解即可．本题考查的知识要点，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：由柯西不等式得，，故；当且仅当，即，，时，等号成立；故的最小值为；由基本不等式可得，，，，故，故，当且仅当，且，即，，时，等号成立，又，，即，，，【解析】由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；由基本不等式可得，结合条件得，从而求a、b、c的值，即可得的值．本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．。
天一大联考高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题(2020年整理).pdf
f
( x1 ) − f ( x2 )
x2 − x1
0 ，a
=
f
1 4
，b
=
f
3 2
，c
=
f
t
+
1 t
，t
0 ，则 a ，b ，c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D．b a c
6．已知 m ，n ，l 是不同的直线， ， 是不同的平面，直线 m ，直线 n ， = l ，m ⊥ l ，
（Ⅰ）求 sin ADB 的值； （Ⅱ）求 DE 的长. 18．如图，多面体 ABCDE 中，CD ⊥ 平面 ABC ，AE∥CD ，F 为 BE 的中点，AB = BC = CA = AE = 2 ， CD = 1.
（Ⅰ）求证： DF∥ 平面 ABC ； （Ⅱ）求点 F 到平面 ABD 的距离.
19．已知椭圆
满足 xA = 9xB ，则直线 l 的倾斜角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取 20 名学生参加秋收
劳动——掰玉米，现将这 20 名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行
x2 a2
+
y2 b2
=
A． 2 + 4i
B． 2 − 2i
C． 2 5
2020年整理天一大联考高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题.doc
高考全真模拟卷（三）数学（文科）注意事项1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3、请将选择题答案填在答题表中，非选择题用黑色签字笔答题.4、解答题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，第22题~23题为选考题，考生任选一道选考题作答.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22|2450A x x y x y =+-++=，{}|20B x x =>，则集合A B =（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．()0,12．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.84．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．4B ．2±C ．2D ．2-5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，1x ，2x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，14a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，直线m α⊂，直线n β⊂，l αβ=，m l ⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．21C ．20D ．208．如图，已知圆的半径为1，直线l ，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）A ．1142π- B ．1132π- C ．113π- D ．114π-9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A ．43x π=是()f x 的一条对称轴 B ．5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()f x 的图象向左平移3π个单位后，所得函数为奇函数 D ．()f x 在[],ππ-上为增函数10．已知实数a ，b 满足,R a b +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．19411．如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（ ）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b - D ．241515a b + 12.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动——掰玉米，现将这20名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重（单位：千克），得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x = ；乙组的中位数为 .14．某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到A ，B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己分配地的是 .15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x 轴，则抛物线C 的方程为 . 16．已知函数()21sin 2f x x x ax =++，[)0,x ∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．如图，ABC △为等边三角形，边长为3,D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（Ⅰ）求sin ADB ∠的值； （Ⅱ）求DE 的长.18．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，AE CD ∥，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求点F 到平面ABD 的距离.19．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的离心（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF △面积的最大值. 20．甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（Ⅰ）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （Ⅱ）若第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p . 21．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l 与C 交于D ，E 两点（异于原点），求OD OE +的最大值. 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足0a >，0b >且1a b +=. （Ⅰ）证明：()()2222119a b a b --≥；≤答案全透析高考全真模拟卷（三）答案速查思路点拨对于集合A：配方得()()22120x y-++=，1x∴=，2y=-，从而{}1A=.对于集合B：)120>，0x≥，20>，10>，解得1x>，()1,B∴=+∞，从而[)1,A B=+∞.奇思妙解对于集合B；取特殊值2x=，成立，从而A B中一定有2，故选B.2．C 考查目标本题考查复数的运算及共轭复数，考查运算能力.思路点拨由题意可知3223iz ii+==-，从而23z i=+，∴24z i i+=+，∴z i+== C.命题陷阱z i+易被看成绝对值，从而导致错选.另外，易疏忽共轭复数的运算.3．A 考查目标本题考查通过折线图计算平均数，考查数据处理能力.思路点拨由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=，故选A. 4．C 考查目标本题考查等比数列性质，考查运用知识解决问题的能力.思路点拨∵方程2840x x-+=的两根分别为4a，8a，∴484880,40,a aa a+=>⎧⎨=>⎩∴480,0.aa>⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a==，∴62a=±.又264a a q=>，∴62a=，故选C.命题陷阱考虑不周全，未在原数列中研究4a，6a，8a之间的关系，易选错.5．D 考查目标本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力.思路点拨∵函数()1f x+是偶函数，∴函数()1f x+的图象关于直线0x=对称，从而函数()f x的图象关于直线1x=对称.由()()1221f x f xx x-<-得()f x在()1,+∞上为增函数，1744a f f⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t>得12t t +≥，从而173142t t +>>>，∴17342f t f f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选D. 追本溯源 本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．B 考查目标 本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件、必要条件的判断，考查空间想象能力.思路点拨 当n l ∥时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为m α⊂，l αβ=，m l ⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件，故选B.7．D 考查目标 本题考查切割体的三视图，考查空间想象能力以及运算求解能力.思路点拨 由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E '-，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=△.在AED '△中，AE ED '===AD '=可计算AD '∴12AED S '=⨯=△从而可得该几何体的表面积为3323420++⨯= D.追本溯源 本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．A 考查目标 本题考查几何概型，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-，故选A. 9．D 考查目标 本题考查三角函数的图象，由部分图象求解析式，从而研究三角函数的相关性质，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意得72233T πππ=-=，所以4T π=，从而212T πω==.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭关于43x π=对称，故43x π=是()f x 的一条对称轴，A 正确.从而2sin 3A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2πϕ<得6πϕ=-，所以()1sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又()302f =-，代入上式得3sin 62A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而3A =，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将53x π=-代入得0y =，故B 正确.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后，得到函数图象的解析式为13sin2y x =，为奇函数，故C 正确，易验证D 错误，故选D. 规律总结 三角函数由部分图象求解析式，需关注零点、顶点、图象与y 轴交点，通过周期性求出ω，通过代入对称轴求出ϕ，然后通过与y 轴交点可求出A .10．C 考查目标 本题考查基本不等式，考查转化与化归思想.思路点拨 因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，所以()()()192824a b a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++()()()(9191281116101024324333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+++⨯=++⨯≥⨯+= ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即58a =，18b =时取等号，故选C.规律总结 应用不等式性质中的基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．A 考查目标 本题考查向量的线性运算，考查转化能力.思路点拨 连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-，故选A. 追本溯源 本题主要考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握.12．C 考查目标 本题考查抛物线的几何性质（焦半径），考查运算求解能力.思路点拨 思路1：由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=，∴22A B p x x p k+=+，24A B p x x =.又9A B x x =， ∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B p x x p p k+==+，∴23k =，k =60°. 思路2：设直线l 的倾斜解为θ，则1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，由抛物线定义可得2A px AF =-，2B p x BF =-，∵9A B x x =，∴922A p p x AF BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴91cos 21cos 2p p p p θθ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，消去p 得1cos 2θ=，∴60θ=︒，故选C. 规律总结 抛物线性质中，常考查一些常见结论的应用，解决此类问题，要思考常见结论，另外，可用代入选项的方法进行检验.13．2，22.5 考查目标 本题考查统计中数字特征：平均数、中位数，考查学生的运算能力. 思路点拨 由题意，先计算甲组平均数101211232120353041472510x +++++++++==甲.因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 命题陷阱 学生在计算中位数时，易忘记对数据排序，导致错误. 14．乙、丁 考查目标 本题考查逻辑推理能力.思路点拨 四人知道的情况是：组织分配的名额、自己看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A 地，一个在B 地；又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙、丁.追本溯源 本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力. 15．22y x =或26y x = 考查目标 本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力.思路点拨 过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y == ，从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 奇思妙解由题意知1,2p p ⎛+⎝或2p p ⎛- ⎝代入抛物线方程得3212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得1p =或3p =，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.16．[)1,-+∞ 考查目标 本题考查三角函数与导数的综合问题，考查灵活应用导数处理恒成立问题的能力. 思路点拨 由题意可知()cos f x x x a '=++，设()cos h x x x a =++，则()1sin 0h x x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()01h a =+.（Ⅰ）当10a +≥，即1a ≥-时，()()00h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立；（Ⅱ）当10a +<，即1a <-时，令2x a =-，则()()22cos 20h a a -=+->.又()010h a =+<， 所以()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=不合题意.综上，a 的取值范围为{}|1a a ≥-.规律总结 近年来，考查恒成立问题处理的常见方法有两种：（1）导数零点分类法；（2）参变量分离法，均需利用导数求最值.17．考查目标 本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力.思路点拨 在ABD △中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值，从而在CDE △中，应用正弦定理，求出DE .参考答案 （Ⅰ）由题意可知60A =︒，3AB =，2AD =，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，从而BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理， 得sin sin AB BD A θ=，即3sin θ=，得sin 14θ=. （Ⅱ）由题意知θ为锐角，所以cos θ==， 而()1sin sin 30cos 2E θθθ=+︒=+=. 在CDE △中，由正弦原理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 30sin 5CD DE E ⨯⋅︒===. 规律总结 解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正、余弦定理；（3）三角形有关公式. 18．考查目标 本题考查常见的线面平行，以及点到平面的距离，考查逻辑思维能力和数形结合思想.思路点拨 （Ⅰ）取AB 中点，借助中位线，实现平行，构造四边形.证明：四边形为平行四边形，从而说明线线平行，证明线面平行.（Ⅱ）应用F ABD D ABF V V --=等体积转化，从而求点到面的距离. 参考答案 （Ⅰ）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点， ∴FG 为ABE △的中位线， ∴12FG AE ∥，而12CD AE ∥，∴FGCD 为平行四边形， ∴DF GC ∥，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵ABC △为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AEAB A =，∴GC ⊥平面ABE .由（Ⅰ）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=△，∴1ABF S =△. 在Rt BCD △中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =△，而DF CG ==，由F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅△△，即d = ∴点F 到平面ABD的距离是2. 规律总结 线面平行的证明：（1）构建线线平行；（2）借助面面平行.构建平行的方法：中位线、平行四边形.点到平面的距离常用等体积转化法.19．考查目标 本题考查椭圆的几何性质，以及直线与椭圆相交的问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.思路点拨 （Ⅰ）通过已知条件建立a ，b ，c 之间的关系，求椭圆的方程.（Ⅱ）将2ABF △分割成两个同底的三角形，2ABF S △即可转化为1y 与2y 表示的式子，把直线与椭圆方程联立，构建二次方程，把2ABF △面积化为参数k 的表达式，应用二次函数可求得最值.参考答案（Ⅰ）由题意得22222131,42,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=， ∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140k y k +--=，∴12214y y k +=+，212214k y y k=-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=△==， 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t tk -+-++-==+， 令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF △2=. 规律总结 椭圆问题在高考中，以考查运算为主，运算量较大，在运算过程中，掌握运算技巧. 20．考查目标 本题考查递推数列在概率统计中的应用，考查学生逻辑思维能力.思路点拨 （Ⅰ）搞清两种状况，分别计算概率.（Ⅱ）由第n 次与第1n +次的关系，建立递推公式，构造特殊数列，求n p .参考答案 由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有：()1,6，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （Ⅰ）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=. ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为：55717511212121728⨯⨯⨯=，∴甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=. （Ⅱ）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ； ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， ∴1111262n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵111110222p -=-=≠，∴1112162n n p p +-=-， ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列， ∴1111226n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭. 规律总结 递推数列在概率统计中的应用，一般考查基本递推求通项，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些.21．考查目标 本题考查利用导致求解函数的单调区间，以及处理恒成立条件下的求范围问题；考查掌握综合知识的能力与技巧.思路点拨 （Ⅰ）1a =代入，求导，分解因式，从而求出单调区间.（Ⅱ）构造函数，求导，再求导.通过二阶导数值，指导一阶导数值，分类讨论最值符号，确定一阶导数的零点，近而指导原函数的取值，求参数的范围.参考答案 （Ⅰ）1a =时()()2112xf x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e '=+-+=+-，若()0f x '≥，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x '<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-.（Ⅱ）由题意得()2202xaf x e -++≥恒成立，即()()222202xa x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222xa h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+， 则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e '=+.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->， ∴在()0,+∞上，存在0x 使得()00g x =， 从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10a a F a ae a a e =-=->， ∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数， 此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-. 规律总结 高考对于导数问题的要求是会应用导数，解决函数的单调性问题，含有参数的问题，主要考查抓住参数分类讨论的关键，提高运算求解能力.22．考查目标 本题考查三种方程间的转化以及极坐标方程的应用，考查转化与化归思想.思路点拨 （Ⅰ）展开曲线C 的方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，从而得曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 参考答案 （Ⅰ）曲线C 可化为2240x x y -+=，即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=.设()1,D ρθ，2,2E πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则124cos 4cos 24OD OE ππρρθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为规律总结 三种方程间的相互转化是该类问题的考查对象，应用极坐标方程求最值问题也是常见方法，应要求学生必须掌握.考查目标 本题考查不等式的证明，考查转化与化归思想.思路点拨 应用a ，b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行做差比较.另外，可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明. 参考答案 （Ⅰ）方法1：()()2222911a b a b --- 222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++-- ()3224851a a a a =-+-()()22121a a a =--.∵10b a =->，∴1a <，∴01a <<， ∴()()221210a a a --≤， 从而可得()()2222119a b a b --≥. 方法2：∵0a >，0b >，∴220a b >， ∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵1a b +=且0a >，0b >， ∴221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a =++5≥ 9=.当且仅当12a b ==时取等号，得证.（Ⅱ）设t =()()211t a b =++++，∵1a b +=，∴23t =+0a >，0b >，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴2336t =++=，∴t ≤12a b ==时等号成立，得证. 规律总结 不等式证明问题多与基本不等式有关，应用基本不等式证明应思考等号成立的条件.。
2020年新疆乌鲁木齐市高考数学三模试卷(文科)(问卷) (解析版)
2020年新疆乌鲁木齐市高考（文科）数学三模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）＝（）A．﹣2+2i B．2+2i C．2i D．﹣2i2．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}3．命题P：∀x∈R，x2+1≥1，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+1＜1B．∀x∈R，x2+1≥1C．D．4．已知等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，则a2+a4+a6＝（）A．20B．24C．26D．285．若角α的终边过点P（3，﹣4），则sin2α的值为（）A．B．C．D．6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（）A．85B．85.5C．86D．86.57．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°8．在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，则＝（）A．B．C．1D．29．直线y＝x﹣2与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则p的值为（）A．B．1C．D．210．在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π11．M是双曲线C：上位于第二象限的一点，F1，F2分别是左、右焦点，MF1⊥F1F2．x轴上的一点N使得∠NMF2＝90°，A，B两点满足，，且A，B，F2三点共线，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数y＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，且对任意实数x∈[2k ﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，若g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝．15．若f（x）＝2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω＝．16．在正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，则数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C所对的边，a＝，c＝1，sin A+cos A＝0．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）若D为BC边上一点，且AD⊥AB，求△ACD的面积．18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查．知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如图的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828 K2＝．19．如图，将直角边长为的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角B ﹣AD﹣C的大小为，翻折后BC的中点为M．（Ⅰ）证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离．20．已知椭圆C：右焦点为F（2，0），P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP与直线x＝a交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分∠PFB．21．已知f（x）＝e x﹣alnx+2a（a＞0）．（Ⅰ）当a＝e时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x0是f（x）的极小值点，求f（x0）的最大值．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设C1与C2交点为A，B，求△AOB的面积．23．设a，b均为正数，且a2+b2＝2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一.项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）＝（）A．﹣2+2i B．2+2i C．2i D．﹣2i【分析】根复数的基本运算进行求解即可．解：2i（1+i）＝2i+2i2＝﹣2+2i，故选：A．2．已知集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|（x﹣2）（x+2）≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：D．3．命题P：∀x∈R，x2+1≥1，则￢P是（）A．∀x∈R，x2+1＜1B．∀x∈R，x2+1≥1C．D．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其特称命题可得答案．解：命题的否定是：∃x0∈R，+1＜1，故选：C．4．已知等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，则a2+a4+a6＝（）A．20B．24C．26D．28【分析】由题意利用等差数列的性质，求出公差d的值，可得要求式子的值．解：∵等差数列{a n}满足a1+a3+a5＝18，a3+a5+a7＝30，设公差为d，相减可得6d＝30﹣18＝12，∴d＝2．则a2+a4+a6＝a1+a3+a5+3d＝24，故选：B．5．若角α的终边过点P（3，﹣4），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的定义和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：角α的终边过点P（3，﹣4），所以，．所以＝﹣．故选：D．6．某校有甲、乙两个数学建模兴趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是（）A．85B．85.5C．86D．86.5【分析】直接根据平均值的求解公式即可求解．解：由题意可知，两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩＝85．故选：A．7．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．解：取A′A的中点为E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE 成的角，由题意得B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°，故选：D．8．在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，则＝（）A．B．C．1D．2【分析】画出图形，建立坐标系，求出相关的向量，然后求解数量积．解：在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，点D满足，可知：D是BC的一个3等分点，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），C（0，1），D（，），可得＝（1，0）•（，）＝．故选：A．9．直线y＝x﹣2与抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB，则p的值为（）A．B．1C．D．2【分析】直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由OA⊥OB可得数量积＝0，求出p的值．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组⇒y2＝2p（y+2），可得y2﹣2py﹣4p＝0，∴y1y2＝﹣4p，y1+y2＝2p，∵OA⊥OB，所以数量积＝0，∴x1x2+y1y2＝0，所以＝4，4+（﹣4p）＝0，⇒p＝1．故选：B．10．在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】根据线段长度得到△ABC与△ABD均为直角三角形，得到球心以及半径，即可求出四面体ABCD的外接球的表面积．解：设AB的中点为O，连接OD，OC，如图，∵在四面体ABCD中，AB＝，DA＝DB＝CA＝CB＝1，∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，即△ABC与△ABD均为直角三角形，故OA＝OB＝OC＝OD，即O为外接球球心，OA＝R＝；∴四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝2π．故选：B．11．M是双曲线C：上位于第二象限的一点，F1，F2分别是左、右焦点，MF1⊥F1F2．x轴上的一点N使得∠NMF2＝90°，A，B两点满足，，且A，B，F2三点共线，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的方程可得其左右焦点的坐标，再由MF1⊥F1F2可得M的坐标，设N 的坐标，由题意＝0，可得N的坐标，由，，可得A，B的坐标，再由A，B，F2三点共线可得对应边成比例，求出a，c的关系，进而求出离心率的值．解：由双曲线的方程可得左右焦点坐标F1（﹣c，0），F2（c，0），因为M在第二象限，且MF1⊥F1F2，可得M（﹣c，），设N（m，0），由∠NMF2＝90°可得＝0，即（m+c，﹣）•（2c，﹣）＝0，整理可得2c（m+c）+＝0，解得m＝﹣，即N（﹣，0），由，，所以A（﹣﹣，），B（﹣c，），由A，B，F2三点共线，可得＝，即＝＝，整理可得c4﹣6a2c2+a4＝0，即e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3，因为双曲线的离心率e＞1，所以e＝+1，故选：A．12．定义在R上的函数y＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，且对任意实数x∈[2k ﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，若g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】作出y＝f（x）的函数图象，根据y＝f（x）和y＝log a x的图象有5个交点列不等式组得出a的范围．解：当x∈[0，2]时，f（x）＝42﹣|x﹣1|﹣4，故f（x）在[0，2]上的函数图象关于直线x＝1对称，又任意实数x∈[2k﹣2，2k+1﹣2]（k∈N，k≥2），都有，作出y＝f（x）的函数图象如图所示：∵g（x）＝f（x）﹣log a x有且仅有5个零点，∴y＝log a x的图象与y＝f（x）的图象有5个交点，显然a＞1∴，解得＜a＜．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有＝6种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故本数学书相邻的概率P＝．故答案为：．14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝﹣2．【分析】直接利用奇函数的定义即可得到答案．解：因为定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＜0时，f（x）＝log3（1﹣x），则f（8）＝﹣f（﹣8）＝﹣log3[1﹣（﹣8）]＝﹣log39＝﹣2；故答案为：﹣2．15．若f（x）＝2sinωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值是，则ω＝．【分析】根据已知区间，确定ωx的范围，求出它的最大值，结合0＜ω＜1，求出ω的值．解：，故答案为：16．在正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，则数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为2﹣20．【分析】直接利用关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出数列的积，最后利用二次函数性质的应用求出结果．解：正项等比数列{a n}中，a4+a6＝，2a1，，a2成等差数列，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得．所以：，则：，所以，所以＝＝，当n＝5时，数列{a n•a n+1}的前n项之积的最小值为．故答案为：2﹣20三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C所对的边，a＝，c＝1，sin A+cos A＝0．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）若D为BC边上一点，且AD⊥AB，求△ACD的面积．【分析】（Ⅰ）根据已知条件和特殊角的三角函数值求得角A的度数，然后由余弦定理求得b的值；（Ⅱ）欲求△ACD的面积的面积，只需通过解直角三角形求得高AD的长度即可．解：（Ⅰ）由，得，∴A＝150°．又∵，c＝1，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴，∴．18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查．知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如图的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”．P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828K2＝．【分析】（Ⅰ）由等高条形图得到学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数，由古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）由题意填写2×2列联表，求出K2，结合临界值表得结论．解：（Ⅰ）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数为10人，∴其概率为；（Ⅱ）依题意，得2×2列联表≤120分＞120分合计数学成绩在线学习时长≤1小时151025＞1小时51520合计202545∵，∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”．19．如图，将直角边长为的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角B ﹣AD﹣C的大小为，翻折后BC的中点为M．（Ⅰ）证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离．【分析】（Ⅰ）证明DM⊥BC，AM⊥BC，然后证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）设点D到平面ABC的距离为d，通过V A﹣BCD＝V D﹣ABC，求解点D到平面ABC的距离．【解答】（Ⅰ）证明：∵折叠前AB＝AC，AD是斜边上的高，∴D是BC的中点，∴BD＝CD，又因为折叠后M是BC的中点，∴DM⊥BC，折叠后AB＝AC，∴AM⊥BC，AM∩DM＝M，∴BC⊥平面ADM；（Ⅱ）解：设点D到平面ABC的距离为d，由题意得V A﹣BCD＝V D﹣ABC，∵，∴，∴．20．已知椭圆C：右焦点为F（2，0），P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP与直线x＝a交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分∠PFB．【分析】（Ⅰ）由题意得，，解出a2和b2的值即可；（Ⅱ）设直线AP的方程为x＝my﹣3，将其与椭圆的方程联立，消去x，可求出点P的坐标，易得点Q和M的坐标，设∠MFB＝α，则tan，再结合正切的二倍角公式与直线的斜率与倾斜角的关系证得∠PFB＝2α＝2∠MFB即可．解：（Ⅰ）由题意得，，解得a2＝9，b2＝5，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设直线AP的方程为x＝my﹣3，代入，得（5m2+9）y2﹣30my ＝0，解得y＝0或，∴，∴，易知直线AP与x＝3的交点，而B（3，0），∴线段BQ的中点，设∠MFB＝α，则，∴，，∴tan2α＝tan∠PFB，又∵2α∈（0，π），∠PFB∈（0，π），∴∠PFB＝2α＝2∠MFB，即直线FM平分∠PFB．21．已知f（x）＝e x﹣alnx+2a（a＞0）．（Ⅰ）当a＝e时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x0是f（x）的极小值点，求f（x0）的最大值．【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，表示出f（x）的最大值，根据函数的单调性求出函数的最大值即可．解：（Ⅰ）当a＝e时，f（x）＝e x﹣elnx+2e，，显然f'（1）＝0，∵，∴f'（x）在（0，+∞）上是增函数，0＜x＜1时，f'（x）＜f'（1）＝0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；（Ⅱ）由，且，∴f'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在极小值点x0满足f'（x0）＝0，即，∴＝，令g（x）＝e x（1﹣xlnx+2x），则g'（x）＝e x（1﹣xlnx+2x+1﹣2lnx﹣1）＝（x+2）ln x （﹣x），由x＞0，∴由g'（x）＝0得x＝e2，∴．故f（x0）的最大值是g（e2）＝．选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）设C1与C2交点为A，B，求△AOB的面积．【分析】（Ⅰ）由题意曲线C1的参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程．（Ⅱ）联立方程，求出A、B坐标，然后求解三角形的面积解：（Ⅰ）由题意曲线C1的参数方程为（t为参数），得（x﹣2）2+（y ﹣3）2＝5，即x2+y2﹣4x﹣6y+8＝0曲线C1的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+8＝0；（Ⅱ）联立方程，解得，，∴A（0，2），B（1，1），∴．23．设a，b均为正数，且a2+b2＝2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由分析法证明，只要证明a4+b4+ab3+ba3≥（a2+b2）2，由完全平方公式展开，整理即为ab（a﹣b）2≥0，即可得证；（Ⅱ）运用基本不等式推得+≤，结合不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）∵a2+b2＝2，要证（a+b）（a3+b3）≥4，只需要证明a4+b4+ab3+ba3≥（a2+b2）2，也就是要证明a4+b4+ab3+ba3﹣a4﹣b4﹣2a2b2≥0，即证ab（a﹣b）2≥0，∵a，b均为正数，∴ab（a﹣b）2≥0，∴（a+b）（a3+b3）≥4；（Ⅱ）∵a，b均为正数，∴，∴，∴，又∵a2+b2＝2，∴．。
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2012年新课程数学高考模拟试卷（文三）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（15）题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4、保持卷面清洁，不折叠，不破损．
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差： 锥体体积公式：13
V Sh =
s =
其中S 为底面面积，h 为高 其中x 为样本平均数 球的表面积，体积公式：
柱体体积公式：V Sh = 2
4S R π= 343
V R π=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是（ ）
A ．P Q =
B ．Q P Þ
C ．P Q Þ
D ．P Q =∅
2．已知函数()y f x =的图象与ln y x =的图象关于直线y x =对称，则()2f =( ) A ．1 B ．e C ．2
e D ．()ln 1e -
3．抛物线24y x =的焦点坐标是（ ）
A ．()4,0
B ．()2,0
C ．()1,0
D ．1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
4．已知向量(1,)a m =- ，2
(,)b m m = ，则向量a b + 所在的直线可能为（ ）
A ．x 轴
B ．第一、三象限的角平分线
C ．y 轴
D ．第二、四象限的角平分线
5. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，
侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为( )
A ．24
B ．80
C ．64
D ．240
6. 角α终边过点(1,2)P -，则sin α=( )
A
B
C
． D
． 7．已知x 、y 满足约束条件20
10220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
，则z x y =-的取值范围为( )
A ．[]2,1--
B ．[]2,1-
C ．[]1,2-
D ．[]1,2 8．以下有关命题的说法错误的是（ ）
A ．命题“若2
320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2
320x x -+≠” B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题
D ．对于命题:p x R ∃∈，使得2
10x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则2
10x x ++≥
9．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右顶点为A ，P 为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A 引
双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP 分别交于,Q R 两点，其中O 为坐标原点，则2||OP 与
||||OQ OR ⋅的大小关系为（ ）
A ．2||||||OP OQ OR <⋅
B ．2||||||OP OQ OR >⋅
C ．2||||||OP OQ OR =⋅
D ．不确定
10．如图，正方形ABCD
的顶点(0,
2A
，(
B ， 顶点
C
D 、位于第一象限，直线:(0l x t t =≤≤将 正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分 的面积为()f t ，则函数()s f t =的图象大致是
A B C
D
第10题图
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分．
11．函数339y x x =-+的极小值是 ．
12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=，则9S = . 13．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4
cos 5
B =． 则sin A 的值为 ．
14. 设有算法如右图：如果输入A =144, B =39,则输出的结果
是 .
15．在平面几何里，有：“若ABC ∆的三边长分别为,,,c b a 内切圆半径为r ，则三角形面积为
r c b a S ABC )(2
1
++=
∆”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体BCD A -的四个面的面积分别为,,,,4321S S S S 内切球的半径为r ，则四面体的体积为 ”
三、解答题：本大题共75分．其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 16．（本小题满分12分）
已知函数()2sin 2cos 2f x x x x ==++∈，R ，求： （Ⅰ）函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间．
17．（本小题满分12分）
已知关于x 的一元二次函数()2
1f x ax bx =-+，设集合{}1,2,3P = {}1,1,2,3,4Q =-，分别从集
合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到数对(),a b ．
（Ⅰ）列举出所有的数对(),a b 并求函数()y f x =有零点的概率；
甲
D
C
B
A
F E
乙
D
B
A
（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率.
18．（本小题满分12分）
如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠= 105ADC ∠= ,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （Ⅰ）求证：DC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积．
19．（本小题满分12分）
已知函数()2
12
x
x f x e ax =---，（其中a R ∈. 2.71828e = 无理数） （Ⅰ）若1
2a =-时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）当1
2
x ≥时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，试求a 的最大值.
20. （本小题满分13分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的准线为l ，焦点为F ，M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，
过原点O 作倾斜角为
3
π
的直线n ，交l 于点A ，交M 于另一点B ，且AO=OB=2. （1）求M 和抛物线C 的方程；
（2）过l 上的动点Q 向M 作切线，切点为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标.
21．（本小题满分14分）
设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点(,)n n P a S +(,1)n N n ∈≥在直线22y x =-上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记1
2(1)n n
b a =-
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使2011n T >的n 的最小值； (Ⅲ)设正数数列{}n c 满足121log ()n n n a c ++=，求数列{}n c 中的最大项.。