你能证明它们吗- —— 初中数学第五册教案_九年级数学教案

你能证明它们吗- ——初中数学第五册教案_九年级数学教案
1．1你能证明它们吗
教学目标：
知识技能：
①等腰三角形的判定及特殊直角三角形的特点
②运用其解决一些实际问题
数学思考：
经历观察，思考得出等边三角形判定
解决问题：
通过本节学习知道特殊等腰三角形转变为等边三角形，并且能利用特殊三角形解决直角三角形三边关系。

情感和态度：
通过利用实物渗透得出结论，要注意观察周围事物，并领会特殊与一般的关系。

重点和难点：
重点：
等腰三角形的判定与有一个锐角为30°的直角三角形角边的关系
难点：
两定理的应用
课前准备：
一对30°的三角板，小黑板
教学设计
教师活动
创设情景，导入新课，教师提出问题。

层层紧扣，探究新知，教师抛出疑问，让学生成为主体，探究本课新知
教师拿出三角板引导学生从中找出它的特点，并加以证明，并鼓励学生提出不同的证明思路，然后交流使全体学生受益，再把新知，拓展与应用
教师由定理得出一例题P12
例12
教师引导学生运用反证法证明结论，这里只要学生了解就可以，讲述反证法步骤
小结与反思
指导学生总结本节课的收获，并记在成长记录卡上
布置作业
教师布置作业
P9 .2.3.
学生活动
学生思考，并积极参与进入情境
学生发言，说出自己的想法，并给出证明过程
学生思考，各抒己见
学生发言讲解
学生抒发个人意见
总结本节课的收获及收获的启示，反思在学习中存在的问题
学生独立完成作业
设计意图
激发学生的思想，激活学生的想象
使学生求知欲得到满足，并且使学生进入角色成为本节课的主角，意在激发学生的学习热情，更主动地接受新知识
通过一个问题，引出不同方法，使学生了解到证明的方法不同，了解不同方法证明过程的异同，及优与弊选取最佳方法,通过定理进入实练，让学生领悟到学以至用意在了解反证法含义及基本步骤，了解反证法也是一种证明结论的方法.培养学生总结及反思的好习惯.巩固知识，运用所学知识探索未知领域
教学案例
师：上节课我们学习了等腰三角形的部分性质，今天我们将继续学习，大家请观赏
（教师播放几幅建筑物图片，学生观察）
生：等腰三角形的建筑体现了对称性、美观性……
（多媒体播放在等腰三角形中作高、角平分线、中线）
师：我们能否发现一些相等的线段，你能不能证明
生：两底角平分线相等
生：观察得出的
生：方法非常好，说明也对，但是运用两种方法能说明你的结论是正确的吗？若存在误差呢？我们选出一种情况说明
（多媒体出示P5 例1）
生：我觉得若用定理证明出来，才是最可信的
师：这位同学说的非常好，那么怎样证明呢？
（思考后回答）
生：以知：在△ABC中，AB=AC
BD、CE是△ABC的角平分线
求证：BD=CE
证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB
∵∠1= ∠ABC
∠2= ∠ACB
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中
∵∠ACB=∠ABC BC=CB
∠1=∠2
∴△BDC≌△CEB
∴BD=CE
（多媒体显示证明过程）
师：大家往屏幕上看，注意在证明书写时一切要规范，注意详略得当。

1．1你能证明它们吗
教学目标：
知识技能：
①等腰三角形的判定及特殊直角三角形的特点
②运用其解决一些实际问题
数学思考：
经历观察，思考得出等边三角形判定
解决问题：
通过本节学习知道特殊等腰三角形转变为等边三角形，并且能利用特殊三角形解决直角三角形三边关系。

情感和态度：
通过利用实物渗透得出结论，要注意观察周围事物，并领会特殊与一般的关系。

重点和难点：
重点：
等腰三角形的判定与有一个锐角为30°的直角三角形角边的关系
难点：
两定理的应用
课前准备：
一对30°的三角板，小黑板
教学设计
教师活动
创设情景，导入新课，教师提出问题。

层层紧扣，探究新知，教师抛出疑问，让学生成为主体，探究本课新知
教师拿出三角板引导学生从中找出它的特点，并加以证明，并鼓励学生提出不同的证明思路，然后交流使全体学生受益，再把新知，拓展与应用
教师由定理得出一例题P12
例12
教师引导学生运用反证法证明结论，这里只要学生了解就可以，讲述反证法步骤
小结与反思
指导学生总结本节课的收获，并记在成长记录卡上
布置作业
教师布置作业
P9 .2.3.
学生活动
学生思考，并积极参与进入情境
学生发言，说出自己的想法，并给出证明过程
学生思考，各抒己见
学生发言讲解
学生抒发个人意见
总结本节课的收获及收获的启示，反思在学习中存在的问题
学生独立完成作业
设计意图
激发学生的思想，激活学生的想象
使学生求知欲得到满足，并且使学生进入角色成为本节课的主角，意在激发学生的学习热情，更主动地接受新知识
通过一个问题，引出不同方法，使学生了解到证明的方法不同，了解不同方法证明过程的异同，及优与弊选取最佳方法,通过定理进入实练，让学生领悟到学以至用意在了解反证法含义及基本步骤，了解反证法也是一种证明结论的方法.培养学生总结及反思的好习惯.巩固知识，运用所学知识探索未知领域
教学案例
师：上节课我们学习了等腰三角形的部分性质，今天我们将继续学习，大家请观赏
（教师播放几幅建筑物图片，学生观察）
生：等腰三角形的建筑体现了对称性、美观性……
（多媒体播放在等腰三角形中作高、角平分线、中线）
师：我们能否发现一些相等的线段，你能不能证明
生：两底角平分线相等
生：观察得出的
生：方法非常好，说明也对，但是运用两种方法能说明你的结论是正确的吗？若存在误差呢？我们选出一种情况说明
（多媒体出示P5 例1）
生：我觉得若用定理证明出来，才是最可信的
师：这位同学说的非常好，那么怎样证明呢？
（思考后回答）
生：以知：在△ABC中，AB=AC
BD、CE是△ABC的角平分线
求证：BD=CE
证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB
∵∠1= ∠ABC
∠2= ∠ACB
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中
∵∠ACB=∠ABC BC=CB
∠1=∠2
∴△BDC≌△CEB
∴BD=CE
（多媒体显示证明过程）
师：大家往屏幕上看，注意在证明书写时一切要规范，注意详略得当。

一、教学目标1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；
2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；
3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。

教学重点和难点：
二、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：根与系数的关系及其推导。

2．教学难点：正确理解根与系数的关系。

3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。

4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤
（一）教学过程（）
1．复习提问
（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。

（2）解方程①，②。

观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？
2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴
∴
以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。

由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。

（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）
结论1．如果的两个根是，那么。

如果把方程变形为。

我们就可把它写成。

的形式，其中。

从而得出：
结论2．如果方程的两个根是，那么。

结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。

练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。

3．一元二次方程根与系数关系的应用。

（1）验根。

（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①；②；③；
④；⑤。

验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意中的负号。

（2）已知方程一根，求另一根。

例：已知方程的根是2，求它的另一根及k的值。

解法1：设方程的另一根为，那么。

∴
又∵。

答：方程的另一根是，k的值是－7。

此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较。

方法（二）∵2是方程的根，
∴
∴原方程可变为
解此方程。

方法（三）∵2是方程的根，
∴
答：方程的另一根是，k的值是－7。

学生进行比较，方法（二）不如方法（一）和（三）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值。

练习：教材P32中2。

学习笔答、板书，评价，体会。

（二）总结、扩展
（12）一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。

它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。

2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。

四、布置作业
教材P32中1 P33中A1。

五、板书设计
课题二次函数y=ax2的图象（一）
一、教学目的
1．使学生初步理解二次函数的概念。

2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

二、教学重点、难点
重点：对二次函数概念的初步理解。

难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

三、教学过程
复习提问
1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。

2．什么是一无二次方程？
3．怎样用找点法画函数的图象？
新课
1．由具体问题引出二次函数的定义。

（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
解：（1）函数解析式是S=πR2；
（2）函数析式是S=30L—L2；
（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即
y=50x2+100x+50。

由以上三例启发学生归纳出：
（1）函数解析式均为整式；
（2）处变量的最高次数是2。

我们说三个式子都表示的是二次函数。

一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

2．画二次函数y=x2的图象。

按照描点法分三步画图：
（1）列表∵x可取任意实数，∴以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；
（2）描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；
（3）边线用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。

注意两点：
（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。

而图象在x>3或x（2）所画的图象是近似的。

3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们–1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。

按课本P118内容讲解。

4．引入抛物线的概念。

关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。

小结
1．二次函数的定义。

（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

2．二次函数y=x2的图象。

（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题
下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？
（1）y=2-3x2；（2）y=x (x-4)；
（3）y=1/2x2-3x-1；（4）y=1/4x2+3x-8；
（5）y=7x（1-x）+4x2；（6）y=（x-6）（6+x）。

作业：P122中A组1，2，3。

四、教学注意问题
1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

2．注意培养学生观察分析问题的能力。

比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：
（1）y=x2的图象的图象有什么特点。

（答：具有对称性。

）
（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。

）
课题二次函数y=ax2的图象（一）
一、教学目的
1．使学生初步理解二次函数的概念。

2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

二、教学重点、难点
重点：对二次函数概念的初步理解。

难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

三、教学过程
复习提问
1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。

2．什么是一无二次方程？
3．怎样用找点法画函数的图象？
新课
1．由具体问题引出二次函数的定义。

（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
解：（1）函数解析式是S=πR2；
（2）函数析式是S=30L—L2；
（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即
y=50x2+100x+50。

由以上三例启发学生归纳出：
（1）函数解析式均为整式；
（2）处变量的最高次数是2。

我们说三个式子都表示的是二次函数。

一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

2．画二次函数y=x2的图象。

按照描点法分三步画图：
（1）列表∵x可取任意实数，∴以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；
（2）描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；
（3）边线用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。

注意两点：
（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。

而图象在x>3或x（2）
所画的图象是近似的。

3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们–1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。

按课本P118内容讲解。

4．引入抛物线的概念。

关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。

小结
1．二次函数的定义。

（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

2．二次函数y=x2的图象。

（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题
下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？
（1）y=2-3x2；（2）y=x (x-4)；
（3）y=1/2x2-3x-1；（4）y=1/4x2+3x-8；
（5）y=7x（1-x）+4x2；（6）y=（x-6）（6+x）。

作业：P122中A组1，2，3。

四、教学注意问题
1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

2．注意培养学生观察分析问题的能力。

比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：
（1）y=x2的图象的图象有什么特点。

（答：具有对称性。

）
（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。

）
第1教时
教学内容：12.1 用公式解一元二次方程（一）
教学目标：
知识与技能目标：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．
过程与方法目标：1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．
情感与态度目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．。

教学重、难点与关键：
重点：一元二次方程的意义及一般形式．
难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。

教辅工具：
教学程序设计：
程序
教师活动
学生活动
备注
创设
问题
情景
1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．
2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？
教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．
板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．
学生看投影并思考问题
通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．
探
究
新
知
1
1．复习提问
（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？
（3）什么叫做分式方程？
2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的
方程x2＋70x＋825＝0加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．
一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．
3．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；
（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
（3）
（4）6x2＝x；
（5）2x2＝5y；
（6）-x2＝0
4．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．ax2称二次项，bx称一次项，c称常数项，a称二次项系数，b称一次项系数．
一般式中的“a≠0”为什么？如果a＝0，则ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．
5．例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？
教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．讨论后回答
学生设未知数列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x ＋825＝0加以观察、比较，
独立完成
加深理解
学生试解
问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫
反馈
训练
应用
提高
练习1：教材P．5中1，2．
练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：．
（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx．
教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．
小结
提高
（四）总结、扩展
引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？
1．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．
2．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．
3．一元二次方程的意义与一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的区别和联系．强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义．
学生讨论回答
布置
作业
1．教材P．6 练习2．
2．思考题：
1）能不能说“关于x的整式方程中，含有x2项的方程叫做一元二次方程？”
2）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）．
反
思。