2013-2018年上海高考试题汇编-数列

数列
（2018秋6）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = 答案：14
（2018春5）已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________．
答案：1
（2017秋15）已知数列*2,N n c bn an x n ∈++=，使得100200300,,k k k x x x +++成等差数列的必要
条件是 （ ）
A. 0≥a
B. 0≤b
C. 0=c
D. 02=+-c b a 答案：
A
（2013年文22）已知函数，无穷数列满足，．
（1）若，求；
（2）若，且成等比数列，求的值；
（3）是否存在，使得12,,,,
n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不
存在，说明理由．
解：（1）22a =，30a =，42a =．
（2）2
1122a a a =-=-，321
222a a a =-=--．
① 当102a <≤时，()31122a a a =--=，所以()22112a a =-，得11a =．
② 当12a >时，()311224a a a =--=-，所以()()
2
11142a a a -=-，
得1
2a =去）或1
2
a =
综合①②得11a =或1
2a =．
（3）假设这样的等差数列存在，那么21
2a a =-，3122a a =--．
由2132a a a =+得111222a a a -+-=（*）． 以下分情况讨论：
()2f x x =-{}n a 1()n n a f a +=*n N ∈10a =234,,a a a 1
0a >123,,a a a 1a 1a
① 当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾； ② 当102a <≤时，由（*）得11a =，从而1n a = ()1,2,n =，
所以
{}n a 是一个等差数列；
③ 当10a ≤时，则公差()2111220d
a a a a =-=+-=>，因此存在2m ≥使得
()1212m a a m =+->．此时120m m m m d a a a a +=-=--<，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当11a =时，123
,,a a a 构成等差数列．
（2013理23）给定常数，定义函数．数列123,,,
a a a 满
足，．
（1）若，求及；
（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使得12,,,,
n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不
存在，说明理由．
解：（1）232,10a a c ==+．
（2）()8,33+8,8,x c f x x c x c ++⎧⎪
=+⎨⎪---⎩
,
4,4.x c c x c x c ≥---≤<-<--
当n a c ≥-时，18n n a a c c +-=+>； 当4n c a c --≤<-时，()12382438n n n a a a c c c c +-=++≥--++=；
当4n a c <--时，()128248n n
n a a a c c c c +-=---≥-----=．
0c >()24f x x c x c
=++-+1
()n n a f a +=*n N ∈1
2a c =--2a 3a *
n N ∈1n n a a c +-≥1a 1a
所以，对任意n N *∈，1n n a a c +-≥．
方法二： 要证：24x c x c x c ++-+-≥ 24x c x c x c ++≥+++
当0x c +<时，等式右边为0，不等式显然成立 当0x c +≥时，等式化为()()242x c x c ++≥+显然 （3）由（2），结合0c >得1n n a a +>，即{}n a 为无穷递增数列．
又
{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，n
a
c ≥-，
从而，1()8n n n a f a a c +==++．
由于
{}n a 为等差数列，因此其公差8d c =+．
① 若14a c <--，则211()8a f a a c ==---，
又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--，从而20a =． 当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20n
a
a c ≥=>-，
所以，1
()8n n n a f a a c +==++，而2
18a
a c =++，
故当18a c =--时，
{}n a 为无穷等差数列，符合要求；
② 若14c a c --≤<-，则2
11()338a f a a c ==++，又2
118a
a d a c =+=++，
所以，113388a c a c ++=++，得1a c =-，舍去； ③ 若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，
从而
{}n a 为无穷等差数列，符合要求．
综上，1a 的取值集合为
[){},8c c -+∞--．
（2015理17）记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数．当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A ．方程①有实根，且②有实根
B ．方程①有实根，且②无实根
C ．方程①无实根，且②有实根
D ．方程①无实根，且②无实根 答案：B
（2011理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1
,i
i a a
+的矩形面积
（1,2,
i =），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）
A {}n a 是等比数列
B 1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列
C 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列
D 1321,,,,
n a a a -和242,,
,,
n a a a 均是等比数列，且公比相同
答案：D
（2016文22）对于无穷数列
{}
n a 与
{}
n b ，记
*{|,}n A x x a n N ==∈，
*{|,}n B x x b n N ==∈，若同时满足条件：① {}n a ，{}n b 均单调递增；② A B =∅且
*A
B N =，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列．
（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若2n n
a =且{}n a 与{}n
b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；
（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项
公式．
【解】（1）因为4,4A B ∉∉，所以4A B ∉，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列．
（2）因为416a =，所以416420b =+=．
数
列
{}
n b 的前16项的和为：
2345120
(1220)(2222)20(22)1802
++++-+++=
⨯--=． （3）设{}n a 的公差为,d d N *∈，则1611536a a d =+=．由136151a d =-≥，得1
d =或2． 若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；
若2d =，则16a =，24n a n =+，,5
25,5
n n n b n n ≤⎧=⎨
->⎩．
综上，24n
a n =+，,
5
25,5
n n n b n n ≤⎧=⎨
->⎩．
（2014年理23）已知数列满足1133n n n a a a +≤≤，*n N ∈，11a =．
（1）若2
342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；
（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++．
若1
1
33
n n n S S S +≤≤，*n N ∈，
求q 的取值范围； （3）若12,,
,k a a a 成等差数列，且121000k a a a ++
+=，求正整数k 的最大值，
以及k 取最大值时相应数列12,,
,k a a a 的公差．
解：（1）由条件得
263x ≤≤且933
x
x ≤≤，
解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）由133n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >，所以11
3
n n S S +≤．又1133n n n a a a +≤≤，
所以1
33
q ≤≤．
当1q =时，n
S n =，1
1n S
n +=+，由13n n +≤得13n n S S +≤成立．
当1q ≠时，13n n S S +≤．即111311n n
q q q q
+--≤⋅--． {}n a
① 若13q <≤，则(3)2n q q -≥．由n
q q ≥，n N *∈，得(3)2q q -≥，所以12q <≤． ② 若
1
13
q ≤<，则(3)2n q q -≤．由n q q ≤，n N *∈，得(3)2q q -≤，所以113
q ≤<．
综上，q 的取值范围为1,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． （3）设12,,k a a a 的公差为d ．由
11
33
n n n a a a +≤≤，且11a =，
得
1
[1(1)]13[1(1)]3
n d nd n d +-≤+≤+-，1,2,,1n k =-．即(21)(23)2,
n
d n
d +≥-⎧⎨
-≥-⎩
1,2,
,1n k =-．
当1n =时，2
23
d -≤≤； 当2,
,1n k =-时，由222123n n -->+-，得221d n -≥+，所以22
213
d k -≥≥--．
所以()()111210002221
k k k k ka d k k ---=+
≥+⋅-，即2200010000k k -+≤，得1999k ≤． 所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,k a a a 的公差为1
1999
-
．
（2014文23）已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n N a *+≤≤∈=．
（1）若1
342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；
（2）设{}n a 是等比数列，且1
1000
m a =，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比； （3）若12100,,
,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围．
解：（1）由条件得263x ≤≤且933
x
x ≤≤，
解得36x ≤≤．所以x 的取值范围是[3,6]x ∈． （2）设{}n a 的公比为q ．由1
33
n n a a ≤，且110n n a a q -=≠，得0n a >．
因为1133n n n a a a +≤≤，所以133q ≤≤．从而111111()10003
m m m a q q ---==≥，131000m -≥，解
得8m ≥．
8m =时，1[,3]3
q =．所以，m 的最小值为8，8m =时，{}n a
（3）设数列12100
,,a a a 的公差为d ．由133
n n n a a d a ≤+≤，223
n n a d a -≤≤，
1,2,,99n =．
① 当0d >时，999821a a a a >>>>，所以102d a <≤，即02d <≤．
② 当0d =时，999821a a a a ====，符合条件．
③
当
d <时，
99
9
8
a a
a
a <<<<，所
以
99
9
9
2
23
a d a -
≤≤，2
(198)2(198)3
d d d -+≤≤+， 又0d <，所以2
0199
d -≤<．
综上，12100,,a a a 的公差的取值范围为2
[,2]199
-
．
（2012文14）已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ．
答案：
解：由，，得， 由，得，，，
，，依次类推，得全体偶数项相等， 所以 （2017春21）已知函数()21log 1x
f x x
+=- （1）解方程
()1f x =；
（2）设()()1
,1,1,,x a ∈-∈+∞ 证明：()11,1ax a x -∈--，且()11ax f f x f a x a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
；
1
()1f x x
=
+{}n a 11a =2()n n a f a +=20102012a a =2011a a +26
5
133+11a =2()n n a f a +=312a =
579112358,,,35813
a a a a ====2()n n a f a +=2
11n n a a +=
-20102012a a =2010
2012
2010
1111a a a =
-=
-201012a -=
200820102010
1
1
a a a =
-=
22010a a =2011813a a +=
=
（3）在数列{}n x 中，()11,1x ∈-，()
1
131
13n n n n
x x x ++-=--，n N *∈，求1x 的取值范围，
使得3
n x x ≥对任意n N *∈成立
答案：（1）13x =； （3）11,3⎛⎤
- ⎥⎝⎦
；
（2016理11）无穷数列{}
n
a由k个不同的数组成，
n
S为{}n a的前n项和.若对任意*
∈N
n，
{}3,2∈n S ，则k 的最大值为______________.
答案：4
（2018春15）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“{}n a 是递增数列”是“n S 为递增数列”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件
（D ）既非充分也非必要条件
答案：D
（2015理22文23）已知数列{a n }与{b n }满足a n +1﹣a n =2（b n +1﹣b n ），n ∈N *
． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }的第0n 项是最大项，即0
n n a a ≥（n ∈N *），求证：数列{b n }的第0n 项是最大项；
（3）设a 1=λ＜0，b n =λn
（n ∈N *
），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且
()2,2M
m
∈-． 答案：（1）65n - ；（3）1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
（2016年理23）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}
n a 具有性质P .
（1）若{}n a 具有性质P ，且1
2451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；
（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，1
51b c ==，
5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；
（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1
sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性
质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.
答案：（1）316a =；（2）由于15a a =，但26a a ≠，故{}n a 不具有性质P ；
（3）证明：必要性：若对于任意1a ，{}n a 都具有性质P ，则211sin a b a =+，设函数
()()1,sin ,f x x b g x
x =-= 由()(),f x g x 图像可得，对于任意的1b ，二者图像必有一个交点，所以一定能找到1a ，使得111sin a b a -=，所以2111sin a b a a =+=，所以1n n a a +=，故1211sin sin n n n n n n b a a a a b ++++=-=-=，故{}n b 是常数列
（2013理1）计算：20
lim 313
n n n →∞+=+ ．
答案：
13
（2018秋10）设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n N ∈），前n 项和为n S ，若
1
1
lim
2n n n S a →∞+=，则q =
答案：3
（2017年春 8）已知数列{}n a 的通项公式为3n
n a =，则12lim n
n n
a a a a →∞
++
+=______
答案：
32
（2015理18文18）设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 解：当时，直线趋近于，与圆在第一象限的交点无限靠近，而
可看成点与连线的斜率，其值会无限接近圆在点处的切线的斜率，其斜率为，
∴ （2013文18）记椭圆
22
1441
x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω=，当点(,)
x y 分别在12,,
ΩΩ上时，x y +的最大值分别是12,,
M M ，则lim n n M →∞
=（ ）
A ． 0
B ．
1
4
C ． 2
D ． ()
,n n n P x y ()2N 1
n
x y n n *-=∈+222x y +=1
lim
1
n n n y x →∞
-=-1-1
2
-
12n →∞21
n x y n -=
+21x y -=22
1x y +=()1,11
1
n n y x --(),n n n P x y ()1,1222x y +=()1,11-1
lim
11
n n n y x →∞
-=--
答案：D
（2016理17）已知无穷等比数列}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S
n
n =∞
→lim .下列条件
中，使得()*
∈<N n S S n
2恒成立的是（ ）
（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a
答案：B
思考：1,a q 需要满足____________
答案：110,0,22a q ⎛⎫⎛⎫
<∈- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ （2014理8文10）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，
若()1
34
l i m n
n a a a a →∞
=
+++
，
则q =___
知识点13：数列与函数的性质结合
（2009文13）已知函数．项数为27的等差数列满足
,且公差． 若，则当= ．时,．
答案：14 （2015理13）已知函数
()sin f x x =．若存在12,,,m x x x 满足1206m x x x π≤<<
<≤，
且()()()()()()()12231122,m m f x f x f x f x f x f x m m N *--+-++-=≥∈，则m
的最小值为 ． 答案：8
（2012文18）若（），则在中，正数的个数是（ ）
A ．16
B ．72
C ．86
D ．100 答案；C
x x tan sin +{}n a ⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈22ππ，n a 0≠d 0)()()(2721=+⋯++a f a f a f k
0)(=k a f 2sin sin
...sin 7
77
n n S π
ππ=+++n N *
∈12100,,...,S S S
（2012理18）设，，在中，正数的个数是（ ）
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100 答案：D
（2013理17）在数列{}n a 中，21n n
a =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素
,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,
,7i =；1,2,
,12j =）
，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
A ．18
B ． 28
C ． 48
D ． 63 答案：A
（2018秋21）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有||1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”. （1）设{}n a 是首项为1，公比为1
2
的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；
（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ；
（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，⋅⋅⋅，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围.
解析：（1）1
112n n n
b a -=-
≤，所以{}n b 与{}n a “接近”； （2）[]10,2b ∈，[]21,3b ∈，[]33,5b ∈，[]47,9b ∈，
{}|,1,2,3,4i M x x b i ===元素个数34m =或；（3）2d =-时，10,1,2,,200k k b b k +-≤=，即
21b b -，32b b -，…，201200b b -中没有正数；当2d >-时，存在12201,,
,b b b 使得210b b ->，
320b b -<，430b b ->，540b b -<…，2001990b b ->，2012000b b -<，即有100个正数，故2d >-． （2018春21）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，存在*m N ∈，使得
25
sin 1πn n a n =n n a a a S +++= 2110021,,,S S S
1
0m n
m n a c a c +-≤-，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”．
（1）设2n c n =，1n a n =+，证明：数列{}n a 是{}n c 的“分隔数列”；
（2）设4n
c n =-，n S 是{}n c 的前n 项和，31n n
d c -=，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的
分隔数列，并说明理由； （3）设1n n
c aq -=，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a q 、的
取值范围．
答案：（2）不是，反例：4n =时，m 无解；（3）0
2a q >⎧⎨≥⎩
（2017秋19）共享单车问题：每月供应量⎩⎨⎧+∞∈+-∈+=)
,4[47010]
3,1[1554n n n n a n ，*N n ∈，每
月损失量()*
5N n n b n
∈+=，保有量Q 为n
a
的累计量减去n b 的累计和；
（1）求第4月的保有量；
（2）2(46)8800n S n =--+，记n S 为自行车停放点容纳车辆，当Q 取最大值时，停放点是否能容纳？。