九年级数学下册 26.1.2 反比例函数的图象和性质(第2课时)教案 (新版)新人教版
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2
人教版九年级数学下册：26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案2一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是人教版九年级数学下册第26章第1节的内容。
本节课主要介绍了反比例函数的图象和性质，是学生在学习了正比例函数和一次函数的基础上进行学习的。
通过本节课的学习，使学生能理解反比例函数的概念，会绘制反比例函数的图象，掌握反比例函数的性质，并能应用于实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了正比例函数和一次函数的相关知识，对函数的概念、图象和性质有一定的了解。
但反比例函数的概念和性质与前两者存在较大差异，需要学生在已有的知识基础上进行迁移和拓展。
同时，学生需要理解反比例函数图象的特点，如双曲线、渐近线等，这对学生的空间想象能力有一定要求。
三. 教学目标1.了解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.学会绘制反比例函数的图象，并能分析反比例函数图象的特点。
3.能将反比例函数应用于实际问题中，提高解决问题的能力。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念和性质。
2.反比例函数图象的绘制和分析。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。
通过设置问题引导学生思考，分析案例使学生理解反比例函数的应用，小组合作讨论促进学生交流和拓展思维。
六. 教学准备1.准备反比例函数的相关案例和问题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备反比例函数图象的素材，如图片、图表等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如购物时商品的单价和数量的关系，引出反比例函数的概念。
让学生思考并讨论这些问题，引导学生发现其中的规律。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察和分析。
同时，教师给出反比例函数的定义，并解释反比例函数的性质。
操练（10分钟）教师提出一些有关反比例函数的问题，让学生独立解答。
教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，引导学生掌握反比例函数的性质。
26.1.2 反比例函数的图象和性质 教案 人教版九年级数学下册
环节2：对比思考（对比一次函数的图象性质增减性的学习，结合反比例函数的图象，初步描述反比例函数图象的增减性）
【解说词】我们在学习一次函数的时候就知道，系数k不仅会影响函数图象的分布，还会影响到图象的上升和下降，也就是增减性。对于反比例函数而言，情况又会如何呢？请大家暂停视频片刻，结合反比例函数图象，独立思考后组织语言尝试描述，反比例函数图象的增减性。
【解说词】其实啊，两位同学的描述都抓住了反比例函数图象增减性的特点，不过还不够全面和准确，在这之前我们需要给出一个重要的前提：在同一象限内。所以最准确的反比例函数增减性的描述应该是：当k＞0时，在每一象限内，y的值随x的值增大而减小，图象“下降”；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x的值增大而增大，图象“上升”。请同学们注意：“在每一象限内”这个前提条件必不可少。你明白了吗？
承接上一环节，学生有很多参差不齐的答案，教师在预设学生错误表达时，选取了两种具有代表性的错误描述语，供学生思考和分辨。学生通过思考、辨别、试举反例等思维活动，去判断学生代表的描述是否有误。这一过程中可能会有学生认同学生代表的说法，也有可能会发现其问题所在，不论结果如何，都需要让学生在此环节中充分的思考和判断。
通过对比学习，不仅回顾了一次函数的图象性质，同时可以参照一次函数的图像性质描述语，初步组织语言进行描述。学生的描述用语可能不规范、不正确，但通过该环节，能够引导学生进行思考、仿读、初步总结。结合图象也能够培养学生数形结合的数学思想。
环节3：交流讨论
微课中通过老师转述两名学生具有代表性的图象增减性描述语，引发学生的对比思考，模拟课堂中师生、生生互动的场景。
本环节是教师需要意识到的关键环节，面对学生的认知不一，需要教师在学生不准确的结论中提出反例或质疑，让学生重新回到起点进行思考：如何改进、更正才能使结论描述更加完善和准确？这其实也是给学生一个自我反思的机会，梳理疑惑，寻找更为准确的描述语。
人教版九年级下册第二十六章：26.1.2反比例函数的图象和性质 教学设计
26.1.2《反比例函数的图像和性质》教材分析众所周知，函数知识是中学代数的核心内容，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数之一，反比例函数这部分的体系和安排，基本上与一次函数部分相同，教学中要注意和一次函数，尤其是正比例函数对比，引导学生从函数的意义，自变量的取值范围，图象的形状等方面辨明相应的区别。
《反比例函数的图像和性质》在反比例函数这部分的第二小节，是在学生学习了反比例函数的意义和掌握了用描点法画函数图象的基础上进行教学的。
反比例函数图像与一次函数图像不同，研究方法更具有一般性和代表性。
《反比例函数的图像和性质》分两课时完成：第一课时，主要内容反比例函数的图像和性质；第二课时;反比例函数与一次函数的图像和性质对比，确定反比例函数的表达式，本课为第一课时主要内容为探究反比例函数的图像和性质。
学情分析此时学生已经学习了函数及其图像的初步知识，及系统的研究了一次函数和二次函数的概念，图像，性质以及简单应用。
学生研究函数的基本方法有一些初步的了解。
但是反比例函数图像分两支，与一次函数、二次函数图像有很大的差别，学生很容易走进误区。
教学目标分析知识与技能（1）进一步熟悉作函数图像的主要步骤和注意事项；（2）会用描点法画反比例函数图像；（3）理解反比例函数的图像与性质。
过程与方法(1)学生通过自己动手，列表，描点，连线，提高学生的作图能力；(2)通过观察反比例函数图像,分析、探究反比例函数的性质，培养学生探究、归纳及概括的能力。
体会数形结合思想和分类讨论思想。
情感与态度通过对本节课的学习，让学生感受双曲线对称美，有限和无限思想，激发他们对数学学习的兴趣；教学重、难点分析基于本节课的教学内容和教学目标，结合学生学情。
确定本节课的重难点如下：重点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。
难点：用描点法画反比例函数图像，理解反比例函数的性质。
教法学法分析学法：学生已经研究了一次函数、二次函数，对研究函数的图像和性质的思想方法有所了解，学生可以通过类比的方法学习，实现知识的迁移。
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图象与性质优秀教学案例
在学生掌握了反比例函数的基本性质后，我会组织小组讨论。每个小组选取一个或几个反比例函数，通过绘制图象、分析性质，探讨反比例函数在实际问题中的应用。我会鼓励学生尝试用反比例函数解决一些简单的几何问题，如求两个反比例函数交点的问题。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请几个小组代表展示他们的讨论成果，让学生通过对比和讨论，总结出反比例函数的普遍性质和图象特征。我会引导学生从数形结合的角度，理解反比例函数的本质，并强调反比例函数在实际问题中的应用价值。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的一般形式，并能准确表述。
2.学会绘制反比例函数的图象，分析图象特征，总结反比例函数的性质。
3.能够运用反比例函数的性质解决实际问题，提高数学应用能力。
4.掌握反比例函数与一次函数、二次函数等其他类型函数之间的关系，拓展函数知识体系。
（五）实施多元化评价
本案例采用多元化的评价方式，包括自评、互评、师评等，全面评价学生的学习过程和结果。这种评价方式有助于激发学生的学习动力，促使学生反思自己的学习，不断提高。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向法，引导学生发现问题、提出问题、解决问题。首先，通过提出问题“反比例函数的图象有什么特点？”让学生进行独立思考。然后，组织学生进行小组讨论，共同探讨反比例函数的性质。在学生掌握性质后，再提出问题：“反比例函数在实际生活中有哪些应用？”引导学生将所学知识运用到实际问题中。
（五）作业小结
为了巩固本节课的学习内容，我会布置以下作业：
1.绘制并分析至少三个不同反比例函数的图象，总结它们的性质。
2.结合实际情境，编写至少两个反比例函数的应用问题，并解答。
26.1.2 反比例函数的图象和性质 教案
26.1.2 反比例函数的图象和性质 教案教学目标1．了解反比例函数图象绘制的一般步骤，并学会绘制简单的反比例函数图象．2．根据反比例函数的图象探索反比例函数的性质．3．能利用反比例函数的性质分析并解决一些基本问题，抓住函数的变化规律是由k 决定的这一性质．教学重难点重点：能准确画出反比例函数的图象，根据图象探索并掌握反比例函数的性质． 难点：理解反比例函数的性质，并能灵活应用．教学过程导入我们共同学习了反比例函数的意义，知道了反比例函数在现实生活中处处存在，例如：1．某村的耕地面积为300公顷，该村人口数量为n 人，人均耕地面积为m 公顷/人，则m ，n 之间存在反比例函数的关系，其解析式为m ＝300n. 2．我们班陈胜男同学将10元全部用来购买铅笔，购买铅笔的支数为x ，每支铅笔的价格为y 元/支，则x ，y 之间存在反比例函数的关系，其解析式为y ＝10x. 这些函数与一次函数一样，也有自己独特的函数图象，但它们的函数图象是怎样的？通过本节的学习，我们可以了解反比例函数的图象．探究新知探究点一 反比例函数图象的画法【例1】画出反比例函数y ＝4x的图象． 【解析】根据函数图象的画法，进行列表、描点、连线即可．【解】列表：描点、连线：【方法总结】画函数图象的一般步骤： ①列表；②描点；③连线．探究点二 反比例函数的性质类型一 根据解析式判定反比例函数的性质【例2】已知反比例函数y ＝－2x，下列结论错误的是 ( ) A ．图象必经过点(－1，2)B ．y 随x 的增大而增大C ．图象分布在第二、四象限D ．若x ＞1，则－2＜y ＜0【解析】A.因为－1×2=－2，所以图象必经过点(－1，2)，结论正确，不符合题意；B.根据反比例函数的性质可知，该函数图象分别在第二、四象限内y 随x 的增大而增大，B 项忽略了x 的取值范围，结论错误，符合题意；C.由k ＝－2可知，该函数图象在第二、四象限内，结论正确，不符合题意；D.根据y ＝－2x的图象可知，在第四象限内，当x >1时，－2<y <0，结论正确，不符合题意．【答案】B类型二 根据反比例函数的性质确定系数的取值范围【例3】在反比例函数y ＝1－k x的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的值可以是 ( )A ．－1B ．3C ．1D ．2【解析】∵在反比例函数y ＝1－k x的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，∴1－k ＞0，解得k ＜1.【答案】A【方法总结】对于函数y ＝k x，当k ＞0时，其图象位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，其图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．熟记这些性质在解题时能事半功倍． 课堂训练：1．长方形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图象大致可表示为 ( )A ．直线B ．双曲线在第三象限的一支C ．双曲线D ．双曲线在第一象限的一支2．已知反比例函数y ＝(m －2)52-mx . (1)求m 的值；(2)它的图象位于哪些象限？(3)当12≤x ≤2时，求函数值y 的取值范围． 答案1．D2．解：(1)依题意可得m 2－5＝－1且m －2≠0，解得m ＝－2，∴当m ＝－2时，函数y ＝(m －2)52-m x 是反比例函数．(2)当m ＝－2时，代入函数解析式可得y ＝－4x. ∵k ＝－4<0，∴它的图象位于第二、四象限．(3) ∵该反比例函数的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大，且12≤x ≤2， ∴－8≤y ≤－2板书设计：反比例函数的图象和性质1．画图步骤(1)列表；(2)描点、连线．要求：(1)取点要均衡；(2)曲线要“平滑”；(3)不能与x 轴、y 轴相交．2．性质(1)图象是双曲线；(2)当k >0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小；(3)当k <0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大；(4)双曲线两支向两边无限延伸，与坐标轴没有交点，双曲线两支关于坐标原点成中心对称． 课堂小结本节课学生能够用描点法画反比例函数的图象，并掌握反比例函数的性质．教学反思函数是刻画变量之间关系的数学模型．本节课是学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数的概念之后，对反比例函数的图象和性质进一步的掌握．教学中，应从函数的角度加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值．。
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图像与性质教学设计
6.预习下一节课的内容，为课堂学习做好准备。
2.利用多媒体辅助教学，形象直观地展示反比例函数的图像特点，帮助学生理解和记忆。同时，结合实际案例，让学生感受反比例函数在实际生活中的应用，提高学生的学习兴趣。
3.教学过程中，注重分层教学，针对不同学生的学习需求，设计不同难度的例题和练习题。对于基础薄弱的学生，重点辅导他们掌握反比例函数的基本概念和性质；对于学有余力的学生，则引导他们运用反比例函数知识解决更复杂的问题。
3.掌握反比例函数的性质，如：当k>0时，图像位于第一、第三象限；当k<0时，图像位于第二、第四象限；图像在x轴和y轴的渐近线分别为y=0和x=0；在每一个象限内，y随x的增大而减小（或增大）等。
4.能够运用反比例函数的性质解决一些实际问题，如：根据实际情境确定反比例函数的参数k，解决与反比例函数相关的问题。
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图像与性质教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解反比例函数的概念，知道反比例函数的一般形式为y = k/x（k≠0），并能够根据给定的信息判断函数是否为反比例函数。
2.学会绘制反比例函数的图像，了解图像在坐标平面内的分布特点，如：图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：反比例函数的概念、图像和性质的理解与应用。
2.难点：
（1）反比例函数图像的绘制及其在坐标平面内的分布特点。
（2）反比例函数性质的理解，尤其是参数k的符号对图像的影响。
26.1.2反比例函数的图像和性质(二)学案人教版九年级数学下册
九年级数学下分层优化堂堂清 第26章 反比例函数26.1.2 反比例函数的图像和性质（二）学习目标：1 通过图象探索反比例函数的主要性质.2 逐步提高从函数图象获取信息的能力，会运用数形结合的思想方法解决涉及反比例函数的有关问题．老师对你说：知识点一 、反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x k y =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线x k y =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.知识点二 、反比例函数几何意义的应用【考点1】 反比例函数的几何意义【例11】已知反比例函数y ＝图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．k ＞0B ．若图象上点的坐标分别是 M （﹣2，y 1 ），N （﹣1，y 2 ），则 y 1＞y 2C ．y 随x 的增大而减小D ．若矩形OABC 面积为2，则k ＝﹣2【例12】若图中反比例函数的表达式均为y ＝，则阴影面积为1.5的是（ ）A ．B ．C ．D ．【例13】如图，等边三角形OAB ，点B 在x 轴正半轴上，S △OAB ＝4，若反比例函数y ＝（k ≠0）图象的一支经过点A ，则k 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【例14】反比例函数的图象如图所示，则△ABC 的面积为（ ） A ． B ． C ．3 D ．6【例21】如图，点A 在双曲线2y x =上，点B 在双曲线6y x =上，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 是矩形，则它的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【例22】如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数1y ＝1k x（x ＞0）及2y ＝2k x （x ＞0）的图象分别交于点A 、B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．32B ．3C ．6D ．9【例23】如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数6y x =-和8y x=的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接,AC BC ，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．14能力强化提升训练1 .如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在y ＝（k 1＜0）上，顶点C 在y ＝（k 2＞0）上，则平行四边形OABC 的面积是（ ）A ．﹣2k 1B ．2k 2C ．k 1+k 2D ．k 2﹣k 1 2 .如图，在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，有点P 1、P 2、P 3、P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1、S 2、S 3，则S 1+S 2+S 3＝（ ）A ．1 C ．2 D ．无法确定3 .如图，两个反比例函数3y x =和1y x =在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形P AOB 的面积为_______．4 .如图，点,2A a 在反比例函数4y x =的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数k y x=于点B ，已知2AC BC =．（1）求直线OA 的解析式； （2）求反比例函数k y x=的解析式； （3）点D 为反比例函数k y x =上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积． 堂堂清一、选择题（每小题4分，共32分）1 .若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（ ）A ．B ．C ．D ．4 .如图，点A 是反比例函数y ＝x的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为4，则k 的值是( )A . 4B . ﹣4C . 8D . ﹣8上，若□ABCD 面积为6，则k 的值是（ ）A ．1B ．3C ．6D ．6 7 .如图，点A 、B 在反比函数12y x =的图象上，A 、B 的纵坐标分别是3和6，连接OA 、OB ，则OAB 的面积是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6MN ⊥x 轴于点N ，则⊥MON 的面积可能是（ ）A ．0.5．B ．1．C ．2．D ．3.5．二、填空题（每小题4分，共20分）10 .如图，A ，B 两点在双曲线 y ＝x上，分别经过 A ，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为 1，则空白两小矩形面积的和 S 1+S 2＝______．11 .如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA x ⊥轴于点A ，反比例函数(0)k y x x=>的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，若OAB ∆的面积为3，则k 的值为__________．12 .点A ，B 分别是双曲线(0)k y k x=>上的点，AC y ⊥轴正半轴于点C ，BD y ⊥轴于点D ，联结AD ，BC ，若四边形ACBD 是面积为12的平行四边形，则k =________．13 .如图，点P 是双曲线()4:0C y x x =>上的一点，过点P 作x 轴的垂线交直线1:22AB y x =-于点Q ，连结,OP OQ 当点P 在曲线C 上运动，且点P 在Q 的上方时，POQ △面积的最大值是________．三、解答题（共6小题，48分）14 （6分）双曲线C 1：y ＝和C 2：y ＝如图所示，点A 是C 1上一点，分别过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B 、点C ，AB ，AC 与C 2分别交于点D 、点E ，若四边形ADOE 的面积为4，求k 1﹣k 2的值15 .（9分）如图，点,2A a 在反比例函数4y x=的图象上，//AB x 轴，且交y 轴于点C ，交反比例函数k y x=于点B ，已知2AC BC =． （1）求直线OA 的解析式；（2）求反比例函数k y x=的解析式； （3）点D 为反比例函数k y x =上一动点，连接AD 交y 轴于点E ，当E 为AD 中点时，求OAD △的面积． 16 .（8分）反比例函数，（n ＜0）的图象如图所示，点P 为x 轴上不与原点重合的一动点，过点P 作AB ∥y 轴，分别与y 1、y 2交于A 、B 两点．（1）当n ＝﹣10时，求S △OAB ；（2）延长BA 到点D ，使得DA ＝AB ，求在点P 整个运动过程中，点D 所形成的函数图象的表达式．（用含有n 的代数式表示）．17 .（8分）如图，A 、B 两点在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，其中k ＞0，AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且AC ＝1（1）若k ＝2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 1 ；（2）若点B 的横坐标为k ，且k ＞1，当AO ＝AB 时，求k 的值．18 .（8分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点D （1，4）是BC 中点，反比例函数y ＝的图象经过点D ，并交AB 于点E ．（1）求k 的值；（2）求五边形OAEDC 的面积S ．19 .（9分）平面直角坐标系中，点A 在函数y 1＝（x ＞0）的图象上，点B 在y 2＝﹣（x ＜0）的图象上，设A 的横坐标为a ，B 的纵坐标为b ．（1）当|a |＝|b |＝5时，求△OAB 的面积；（2）当AB ∥x 轴时，求△OAB 的面积．拓展培优*冲刺满分1 .反比例函数y＝在一象限上有两点A、B．（1）如图1，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，求证：△AMO的面积与△BNO面积相等；（2）如图2，若点A（2，m），B（n，2）且△AOB的面积为16，求k值．。
26.1.2 反比例函数的图象和性质人教版教案设计
《反比例函数的图象与性质》教学设计教学环节（二）师生活动类比探究1.例2 画出反比例函数6yx与12yx的图象。
（我们用什么方法画反比例函数的图象呢？有哪些步骤？）分析：所要画的图象是反比例函数的图象，自变量的取值范围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？x…-12-6-4-3-2-11236yx…-1.5-26212yx…-1-2-4-6124观察反比例函数6yx与的图象，回答下列问题：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化?你能由他们的解析式说明理由吗？(3)对于反比例函数(0)ky kx,考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？2.画一画：回顾我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(0)ky kx的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(0)ky kx的图象和性质吗？请你借鉴画反比例函数6yx的图象的经验，在同一平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并说一说该函数图象的特征。
3.想一想：反比例函数6yx与6yx的图象有什么共同特点？有什么不同点？不同点由什么决定？他们有什么联系？12yx6yx教学环节（四）师生活动基础闯关1.反比例函数5yx的图象大致是（）2.已知反比例函数4kyx若函数的图象位于第一三象限，则k_____________;若在每一象限内，y随x增大而增大,请写出一个符合条件的k的值：4.画出函数4yx的图象：(1)列表(填空)：(2)描点连线：(3)由图象可知，函数4yx也由条曲线组成，分别位于第象限，试猜想：3yx的图象位于第象限.x…-8 -5 -4 -2 -1 1 2 4 5 8 …y……设计意图检验学生对本课知识的掌握及应用情况。
通过练习，既培养学生思维的敏捷性，又激发学生的参与和竞争意识.在回答过程中，教师给予适当评讲，并积极调动学生的参与热情，让整个课堂充满活跃的气氛.教学环节（五）师生活动中考链接1.已知k<0,则函数12,ky kx yx在同一坐标系中的图象大致是( )思考：把条件“k<0”改为“k≠0”结果还是一样吗？2.已知反比例函数)0≠(kxky－=的图象在第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.函数kyx与)0≠(2kkkxy－=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）4.(2017江西)如图，直线)0≠(11kxky=与双曲线2(0)ky xx相交于点P(2,4).已知点A(4,0),B(0,3)，连接AB，将AOBRt△沿OP 方向平移，使点O移动到点P，得到''PBA△ .过点A'作'A C y轴交双曲线于点C。
九年级数学下册26.1.2反比例函数图象和性质(第2课时)教案(新版)新人教版
反比率函数的图象和性质第二课时一、教课目的1．核心修养经过学习反比率函数的图象和性质，充足表达几何直观，浸透模型思想．2．学习目标1〕进一步理解和掌握反比率函数的图象和性质．2〕灵巧运用反比率函数的图象和性质解决问题．3〕领悟反比率函数的分析式与图象之间的联系，表达数形联合及转变的思想方法．3．学习要点灵巧运用反比率函数的图象和性质解决问题．4．学习难点与反比率函数有关的面积的计算，以及自变量和函数值大小的比较．二、教课方案〔一〕课前设计1．预习任务任务1阅读教材P7－P8，思虑：如何用待定系数法求反比率函数的分析式？任务2如何判断一个点能否在反比率函数的图象上？任务3思虑1：过反比率函数图象上随意一点作坐标轴的垂线，与坐标轴形成的矩形面积与k有什么关系？思虑2：过反比率函数图象上随意一点作某一个坐标轴的垂线，并将这个点与原点相连，形成的三角形的面积积与k有什么关系？2．预习自测1．一个反比率函数的图象经过点〔，-3〕，那么这个函数的图象位于第〔〕象限．A．一、三B．二、四C．一、四D．二、三答案：B3上的任一点，过点A作AB⊥x轴于点B，那么SAOB等于〔〕2．如图，点A为反比率函数yxyBO x AA．3B．3C．1D．没法确立2答案：B3．假定点〔，2〕在反比率函数y k，在图象的每一支上，的图象上，那么k=xy随x的增大而．答案：3，减小〔二〕讲堂设计1．知识回想〔1〕反比率函数的图象是双曲线．〔2〕当k>0时，它的两个分支位于一、三象限；在每一个象限内，y随x的增大而减小．〔3〕当k<0时，它的两个分支位于二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大．〔4〕反比率函数的图象既对于x轴对称，还对于y轴对称，也对于原点对称．5〕同学们预习本课，知道过双曲线上一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|．2．问题研究问题研究一感觉“数〞与“形〞联合的必需性●活动一回想旧知，加深理解2；②y 1103问题1以下反比率函数：①y；③7y；④y．x3x x100x〔1〕图象位于第一、三象限的是；〔2〕图象位于第二、四象限的是．（教师提出以下问题，学生独立思虑并写出答案．1〕上述四个答案中，k的值分别是多少？2〕当k0时，反比率函数的图象分别位于第几象限？2〔3〕当k0时，反比率函数的图象分别位于第几象限？问题2在反比率函数：①y 21103；②y；③7y；④y的图象上，x3x x100x(x1,y1)、(x2,y2)分别是图象上同一象限内的点：〔1〕假定x1x2，那么y1y2的函数是．〔2〕假定x1x2，那么y1y2的函数是．教师提出以下问题，学生独立思虑并回复，而后独立写出答案，再沟通反响．（1〕反比率函数2〕反比率函数y2y随x的变化趋向是什么？的图象位于哪几个象限？x7y10y随x的变化趋向是什么？的图象位于哪几个象限？x问题研究二研究反比率函数图象的性质●活动一研究矩形面积与k值要点知识★例1如图，点A为y 2A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点上的随意一点，过点xB和点C，求矩形ABOC的面积．yC A2y=xO B x【知识点：反比率函数的性质，矩形的面积；数学思想：数形联合】详解：设点A的坐标为(a，b)，那么矩形的面积为ab∵y 2过点A〔a，b〕x∴ab=2，即矩形的面积恰好等于反比率的k值2．●活动二假定将反比率函数的分析式改为k，请模拟上述解答过程得出正确答案．yx3yAC ky=xO B x详解：设点A的坐标为(a，b)，那么矩形的面积为ab∵y k过点A〔a，b〕x∴ab=k，即矩形的面积恰好等于反比率的k值．●活动三研究三角形面积与k值要点知识★k上的随意一点，过点A分别作x轴的垂线，垂足为点B，求三角例2如图，点A为yx形ABO的面积．yky=xBO xA【知识点：反比率函数的性质，三角形的面积；数学思想：数形联合】详解：设点A的坐标为(a，b)，那么三角形ABO的面积为1ab2∵y k过点A〔a，b〕x∴k ab，即k ab∴S ABO 1k，即△ABO的面积恰好等于k的绝对值的一半．2问题研究二反比率函数图象离原点的距离与k值的关系在同一坐标系中，作y 123、y4能够发现，、y、yx的图象，如图．x x x4当k>0时，跟着k的增大，反比率函数y k的图象的地点相对于原点愈来愈远．xy4y=x3y=x2y=x1y=xO x在同一坐标系中，作出一系列k<0反比率函数y k能够发现，当k<0时，随的图象．x着k的增大，反比率函数y k的图象的地点相对于原点愈来愈近．x综上所述，在同一坐标系中，作多个反比率函数y k能够发现，当|k|越大的图象．x时，反比率函数y k的图象的地点相对于原点愈来愈远．x问题研究三反比率函数性质的应用．要点、难点知识★▲●活动一面积与k的关系的应用例3如图，正比率函数y x与反比率函数y 1A、B两点，BC⊥x轴于的图象订交于x点C，那么△ABC的面积为〔〕yAC xOBA．1B．2C．3D．522【知识点：反比率函数的性质；数学思想：数形联合】详解：设点B的坐标为(m，n)5∵反比率函数y1x过点B(m ，n)∴mn=1∴SBOC1 (m )(n )1 mn 1222由反比率函数的对称性知：点 A 与点B 对于原点O 对称，即AO=BO∴SAOB2S BOC =1方法2：由反比率函数的性质知： S BOC∴由对称性知 OA=OB ，S AOB2S BOC =1．1 12k2●活动二 反比率函数图象与性质的关系例4 反比率函数的图象经过点 A 〔2，6〕．〔1〕反比率函数的图象在第几象限？ y 随x 的增大而如何变化？〔2〕点B 〔3，4〕，C 〔-21，44〕，D 〔2，5〕能否在这个反比率函数的图象上？25【知识点：反比率函数的性质；数学思想：数形联合】师生共同剖析，教师指引并提出以下问题： 1〕点A 〔2，6〕在图象上的含义是什么？2〕图象的地点由哪两个量来确立？我们如何救出这个量？ 〔3〕反比率函数 y 随x 的变化状况与哪个量有关？ y 随x 的变化状况有没有限制条件？4〕某点不在函数图象上的含义是什么？学生解答，在小组里议论，相互检查，小组代表展现解答过程．k详解：〔1〕设反比率函数的分析式为yx∵它过点〔2，6〕 ∴k xy 2 612，它的图象过一、三象限；在每一个象限内， y 随x 的增大而减小．2〕∵y 12x ∴x 3时，y 46x=-21时，y24442552时，y6∴点B和点C在此反比率函数上，而点D〔2，5〕不在这个反比率函数的图象上．●活动三拓展提升活学活用例5过反比率函数y10)的图象上的随意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别〔xx为C、D，连结OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2，那么它们的大小关系为〔〕yAE BxO C DA．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．不可以确立【知识点：反比率函数的性质；数学思想：数形联合】详解：∵S S kAOC BOD2∴S AOC SCOE S BOD S COE，即S1=S2，故先C．3．讲堂总结【知识梳理】(1)判断反比率函数的图象的两个分支在哪些象限，只要判断k的正负即可．当k为正时，它的两个分支分别在一、三象限；当k为负时，它的两个分支分别在二、四象限．判断一个点能否在函数图象上，只要将它的横〔纵〕坐标代入求出纵〔横〕坐标，假如恰好相等，那么表示这个点在在此函数图象上；假定求出的值与见告的坐标不相等，那么说明这个点不在函数的图象上．(3)过反比率函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于|k|．过反比率函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线，那么这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于k的绝对值的一半．【重难点打破】(1)过反比率函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于k的绝对7值．利用与坐标轴围成矩形面积求 k 时特别要注意，主假如图象过二、四象限时简单出现符号错误．(2) 过反比率函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线， 那么这个点与垂足和原点围成的三角 形面积等于k 的绝对值的一半．利用三角形面积求 k 时特别要注意，主假如图象过二、四象限时简单出现符号错误．判断一个点能否在反比率函数图象上时，只要要将它的一个坐标代入，假定另一个坐标刚 好也相等，那么函数必过这一点；否那么函数可是这个点． 4．随堂检测1．如图，点 P 是反比率函数y2PD ⊥x 轴于点D ，那么△POD 的面积为图象上的一点，假定x〔〕．yPOxDA ．1B ．2C ．4D ．12答案：A分析：2．如图，点 P 是反比率函数ymOEPF 的面积为3，那么图象上第二象限内的一点，且矩形m 的值为〔x〕．yPFEOxA ．3B ．6C ．-3D ．答案：C分析：3．如图，点 P 是反比率函数ym⊥x 轴于点图象上的一点，假定，△ 的面积为，xPD D POD 2那么m 的值为〔〕8九年级数学下册26.1.2反比率函数图象和性质(第2课时)教课方案(新版)新人教版yPxD OA ．-2B ．-4C ．-1D ．4答案：B分析：4．反比率函数ya A ，AB ∥x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积为 1，那么反的图象上有一点x比率函数的分析式为〔〕yABOxA ．y1 B ．y1 C ．y2 D12xxx．y4x答案：C分析：5．如图，A 、B 两点在双曲线y4 上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，S 暗影1，x AB那么S 1S 2〔 〕y AS 1BS 2O xA ．3B ．4C ．5D ．6 答案：D 分析：9。
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质(教案)
2.注重数形结合，通过图象和实际案例，帮助学生更好地理解反比例函数。
3.增加课堂互动，鼓励学生提问和发表观点，提高他们的课堂参与度。
4.加强小组合作，培养学生团队协作和交流表达能力。
5.着重培养学生的数据分析能力，使他们能够运用所学知识解决实际问题。
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力，通过反比例函数的学习，让学生掌握从具体到抽象的认知过程。
2.培养学生的数形结合思想，通过观察反比例函数图象，理解其性质，提高学生的直观想象和逻辑推理能力。
3.培养学生的数据分析观念，让学生在研究反比例函数性质的过程中，学会从数据中提取信息，培养数据分析素养。
2.反比例函数的图象特点：图象为双曲线，且分为两个分支，分别位于第一、三象限或第二、四象限。
3.反比例函数的性质：
-在每个象限内，随着\( x \)的增大（或减小），\( y \)值随之减小（或增大）。
-反比例函数图象与坐标轴无交点。
-反比例函数图象关于原点对称。
4.反比例函数的增减性及其应用。
二、核心素养目标
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过随着一个量的增加，另一个量反而减少的情况？”（如：一个人匀速跑步，跑得越久，剩余路程越少）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
26.1.2反比例函数的图像与性质
通过练习认识反比例函数的图象与性质
设计意图：
在总结中认识反比例函数的图象与性质
设计意图：
通过检测认识反馈自己存在的问题，并及时纠正。
板
书
设
计
26.1.2反比例函数的图象与性质
一、画图
二、性质
三、应用
教
学
反
思
四、归纳总结，引领提高
比较正比例函数和反比例函数的区别
函数
正比例函数
反比例函数
解析式
图象形状
K>0
K<0
1.反比例函数的图像是双曲线;
2.图像性质：
五、当堂检测，寻找不足
1.函数y= 4／x的图象在第________象限,
在每一象限内，Y随x的增大而_________.
2.函数y= -4／x的图象在第________象限,
函数y=∏／x ,当x>0时,图象在第____象限,y随x的增大而_________.
3、关于x,y的函数k+1／x图象位于第一、三象限，则k的取值范围是
4.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，
把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（）
函数图象画法
描点法列表描点连线
请大家仔细观察反比例函数
y=6／x和y=-6／x的函数图象，找找看，他们有什么共同的特征？
再让我们仔细看看，这两个函数图象在位置上有什么关系？
操作二：比一比：
同桌两人分别画出函数y=8／x或y=-8／x
的图象，看谁画得又快又好．
反比例函数的图象和性质
形状
由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;
人教版数学九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教学设计
人教版数学九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》是反比例函数部分的重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例函数的知识基础上进行学习的，通过本节课的学习，使学生理解反比例函数的概念，会画反比例函数的图象，了解反比例函数的性质，并能运用反比例函数解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于比例函数有一定的了解，但反比例函数作为一种新的函数形式，对学生来说还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探究反比例函数的图象和性质，提高学生的动手操作能力和思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解反比例函数的概念，会画反比例函数的图象，了解反比例函数的性质。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主探究的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习函数的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念及其图象的画法。
2.反比例函数的性质及其运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作反比例函数的图象和性质的课件，用于辅助教学。
2.学生活动材料：反比例函数图象和性质的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学设备：投影仪、计算机等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾比例函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示反比例函数的图象和性质，引导学生观察、分析，并总结反比例函数的特点。
3.操练（10分钟）教师布置练习题，学生独立完成，巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行讲解和点评。
4.巩固（5分钟）教师通过提问方式检查学生对反比例函数图象和性质的掌握情况，并对学生的回答进行指导和纠正。
九年级数学下册 26.1.2 反比例函数的图象和性质(第2课时)教案
26.1。
2 反比例函数的图象和性质第二课时一、教学目标1．核心素养通过学习反比例函数的图象和性质，充分体现几何直观，渗透模型思想．2．学习目标(1）进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质．（2)灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．（3）领会反比例函数的解析式与图象之间的联系,体现数形结合及转化的思想方法．3．学习重点灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．4．学习难点与反比例函数相关的面积的计算，以及自变量和函数值大小的比较．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P7－P8，思考：怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？任务2怎样判定一个点是否在反比例函数的图象上？任务3思考1：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，与坐标轴形成的矩形面积与k 有什么关系?思考2：过反比例函数图象上任意一点作某一个坐标轴的垂线，并将这个点与原点相连，形成的三角形的面积积与k 有什么关系？ 2．预习自测1．一个反比例函数的图象经过点(2。
5，-3），则这个函数的图象位于第（ ）象限．A ．一、三B ．二、四C ．一、四D ．二、三 答案：B2．如图，点A 为反比例函数3y x=上的任一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B,则AOB S ∆等于（ ）A ．3B ．32C ．1D ．无法确定答案：B3．若点（1。
5,2）在反比例函数xky=的图象上,则k = ，在图象的每一支上，y 随x 的增大而 ． 答案：3，减小 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）反比例函数的图象是双曲线．（2）当k 〉0时,它的两个分支位于一、三象限；在每一个象限内,y 随x 的增大而减小．（3）当k <0时，它的两个分支位于二 、四象限;在每一个象限内，y随x 的增大而增大．(4）反比例函数的图象既关于x 轴对称，还关于y 轴对称，也关于原点对称．（5）同学们预习本课，知道过双曲线上一点作坐标轴的垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于｜k ｜． 2．问题探究问题探究一 感受“数”与“形"结合的必要性 ●活动一 回顾旧知，加深理解 问题1 下列反比例函数：①2y x=-;②1y 3x =；③107y x =-；④3y 100x=． （1）图象位于第一、三象限的是 ; (2)图象位于第二、四象限的是 ． 教师提出如下问题，学生独立思考并写出答案． （1）上述四个答案中，k 的值分别是多少？(2）当k 0>时，反比例函数的图象分别位于第几象限? （3）当k 0<时，反比例函数的图象分别位于第几象限？问题2 在反比例函数：①2y x =-；②1y 3x =；③107y x =-；④3y 100x=的图象上,11(x ,y )、22(x ,y )分别是图象上同一象限内的点：(1）若12xx <，则12y y <的函数是． （2）若12xx <,则12y y >的函数是．教师提出如下问题，学生独立思考并回答，然后独立写出答案，再交流反馈．（1）反比例函数2y x=-的图象位于哪几个象限？y 随x 的变化趋势是什么？（2）反比例函数107y x=-的图象位于哪几个象限？y 随x 的变化趋势是什么？问题探究二 探究反比例函数图象的性质●活动一 探究矩形面积与k 值例1 如图，点A 为2y x=上的任意一点，过点A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点B 和点C,求矩形ABOC 的面积．【知识点:反比例函数的性质,矩形的面积;数学思想：数形结合】 详解：设点A 的坐标为(a,b ），则矩形的面积为ab ∵x2y=过点A （a,b ）∴ab=2，即矩形的面积刚好等于反比例的k 值2． ●活动二 若将反比例函数的解析式改为xk y =,请模仿上述解答过程得出准确答案．详解:设点A 的坐标为(a ，b)，则矩形的面积为ab ∵xk y=过点A(a ，b ）∴ab=k ,即矩形的面积刚好等于反比例的k 值． ●活动三 探究三角形面积与k 值 例2 如图，点A 为xk y=上的任意一点，过点A 分别作x 轴的垂线，垂足为点B,求三角形ABO的面积．【知识点：反比例函数的性质，三角形的面积；数学思想：数形结合】详解：设点A 的坐标为（a,b ）,则三角形ABO 的面积为ab 21∵xk y =过点A （a ，b)∴ab k =,即ab k =∴k 21SΔABO=,即△ABO 的面积刚好等于k 的绝对值的一半．问题探究二 反比例函数图象离原点的距离与k 值的关系 在同一坐标系中，作x1y=、x2y=、x3y=、x4y=的图象,如图． 可以发现，当k 〉0时，随着k 的增大,反比例函数xk y =的图象的位置相对于原点越来越远．1x = 2x在同一坐标系中，作出一系列k 〈0反比例函数xk y =的图象． 可以发现,当k <0时，随着k 的增大,反比例函数xk y =的图象的位置相对于原点越来越近．综上所述,在同一坐标系中，作多个反比例函数xk y =的图象． 可以发现，当|k ｜越大时,反比例函数xky =的图象的位置相对于原点越来越远．问题探究三 反比例函数性质的应用． ●活动一 面积与k 的关系的应用 例3 如图，正比例函数xy=与反比例函数xy 1=的图象相交于A 、B两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( ）A ．1B ．2C ．23 D ．25【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】 详解：设点B 的坐标为(m ，n ） ∵反比例函数xy 1=过点B （m,n ）∴ mn=1 ∴2121)()(21==-•-•=∆mn n m SBOC由反比例函数的对称性知：点A 与点B 关于原点O 对称，即AO=BO ∴BOC AOBS S ∆∆=2=1方法2:由反比例函数的性质知:21k 21S ΔBOC=⨯=∴由对称性知OA=OB ，BOC AOBS S ∆∆=2=1．●活动二 反比例函数图象与性质的关系例4 已知反比例函数的图象经过点A （2，6）．（1）反比例函数的图象在第几象限？y 随x 的增大而如何变化？ （2）点B （3,4）,C （—212，544-）,D(2，5)是否在这个反比例函数的图象上？【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】 师生共同分析，教师引导并提出下列问题:（1）点A （2,6）在图象上的含义是什么？(2）图象的位置由哪两个量来确定？我们如何救出这个量？（3）反比例函数y 随x 的变化情况与哪个量有关?y 随x 的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在函数图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论,互相检查，小组代表展示解答过程． 详解：（1）设反比例函数的解析式为xk y = ∵它过点（2,6）∴k xy 2612==⨯=，它的图象过一、三象限；在每一个象限内,y 随x 的增大而减小． （2）∵12y x=∴x 3=时，y 4=x =—122时，244y 455=-=- x 2=时，y 6=∴点B 和点C 在此反比例函数上,而点D （2,5）不在这个反比例函数的图象上．●活动三 拓展提高 活学活用例5 过反比例函数)01>=x xy （的图象上的任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、 S 2,则它们的大小关系为（ )A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1=S 2D ．不能确定 【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】 详解：∵2k S S ΔBOD ΔAOC== ∴COE COE S S ∆∆-=-ΔBO D ΔAO CS S，即S 1=S 2,故先C ．3．课堂总结 【知识梳理】（1）判断反比例函数的图象的两个分支在哪些象限,只需判断k 的正负即可． 当k 为正时，它的两个分支分别在一、三象限；当k 为负时,它的两个分支分别在二、四象限．（2)判断一个点是否在函数图象上，只需将它的横（纵)坐标代入求出纵(横）坐标，如果刚好相等，则表示这个点在在此函数图象上；若求出的值与告知的坐标不相等，则说明这个点不在函数的图象上． (3）过反比例函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于｜k |．（4)过反比例函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线，则这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于k 的绝对值的一半． 【重难点突破】（1） 过反比例函数的图象上任一点作坐标轴的垂线,它们与坐标轴围成的面积等于k 的绝对值．利用与坐标轴围成矩形面积求k 时特别要注意，主要是图象过二、四象限时容易出现符号错误．（2） 过反比例函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线,则这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于k 的绝对值的一半．利用三角形面积求k 时特别要注意，主要是图象过二、四象限时容易出现符号错误．(3）判断一个点是否在反比例函数图象上时，只需要将它的一个坐标代入，若另一个坐标刚好也相等，则函数必过这一点；否则函数不过这个点． 4．随堂检测1．如图，点P 是反比例函数2y x=-图象上的一点，若PD ⊥x 轴于点D,则△POD 的面积为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．12答案：A 解析:2．如图，点P 是反比例函数xm y =图象上第二象限内的一点，且矩形OEPF 的面积为3，则m 的值为( ）．A ．3B ．6C ．-3D ．—1.5答案：C解析：3．如图，点P 是反比例函数xm y =图象上的一点，若PD ⊥x 轴于点D ，△POD 的面积为2，则m 的值为（ ）A ．—2B ．—4C ．-1D ．4 答案：B解析：4． 反比例函数xa y =的图象上有一点A,AB ∥x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积为1，则反比例函数的解析式为（ )A ．2x 1y -= B ．x 1y -= C ．x 2y -= D ．4x1y -= 答案：C解析：5．如图，A 、B 两点在双曲线xy 4=上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知1阴影=S ，则12S S +=（ ）A．3 B．4 C．5 D．6答案:D解析:。
九年级数学下册 26.1.2 反比例函数的图象和性质(第2课时)教案 (新版)新人教版
反比例函数的图象和性质的应用活动一：创设情境、学生自学1.你能判断点A （3,2），B(-3，-2),C(2，3)和D(-2，-3)是否在同一个反比例函数的图象上吗？你能求出这个反比例函数的解析式吗？它的图象位于第 、第 象限，每个象限内y 随x 的增大而 .设计意图：第一个问题是对反比例函数图象和性质的复习，也复习了数与形的对应关系，为本节课继续研究反比例函数的性质起到了承上启下的作用。
2.复习巩固：（1）反比例函数 (k 0)的图象是 .（2）当k>0时，图象位于 ，每个象限内y 随x 的增大而 ；当k<0时，图象位于 ，每个象限内y 随x 的增大而 .思考：在解答第1个问题时，你还有什么新发现吗？小结：1.反比例函数 (k 0)的图象关于原点成中心对称；2.判断一格点是否在反比例函数的图象上，只需计算这个点的横坐标与纵坐标之积是否等于常数k ；3.若反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标符号相同，则k>0,图象位于第一、第三象限，若点的横坐标与纵坐标异号，则k<0,图象位于第二、第四象限.活动二：问题探究例1.（教材第7页例3）已知反比例函数的图象经过点A(2，6).（1）这个函数图象位于哪些象限？ y 随x 的增大而如何变化？（2）点B(3，4),C(- ,- ),D(2,5)是否在这个函数图象上？分析：（1）问直接可以用小结3的结论可以解决，（2）问首先要用待定系数法由点A 的坐标求得常数K 的值，再应用小结2的结论进行判断.学生根据分析自己完成解答过程.例2.（教材第7页例4）学生自己完成解答过程设计意图：例1和例2进一步揭示了反比例函数图象和性质的本质，渗透数形结合思想，反应了“数”与“点”之间，解析式与图象之间相互转化和对应的关系，培养学生研究函数的思想方法.例3.(补充)如图1,点P(x,y)是反比例函数 (k 0) 图象上一点,PA ⊥x 轴于A ，PB ⊥y 轴于B.矩形PAOB 的面积为3,求这个反比例函数的解析式.提问1:四边形是什么图形?如何求面积?提问2:求函数解析式需要知道什么条件?提问3:点p 在第几象限，点P 的坐标与四边形的长和宽有何关系？根据分析学生写出解答过程并互相交流，总结规律. 变式练习：如图2,点P 是反比例函数 则S △PAO 为_____. y=k x ≠y=k x ≠52245y x y 2- y=k x ≠小结：点P 是反比例函数 （k ≠0）图象上任意一点,PA ⊥x 轴于A ，PB ⊥y 轴于B.则矩形PAOB(如图1)的面积为_______，S △PAO （如图2）为_____. 设计意图：例3进一步运用反比例函数图象及性质解决问题，培养学生分析图象，善于从图象中获取信息的能力，理解反比例函数解析式中常数k 的几何意义，挖掘反比例函数图象及性质的内涵.活动三：达标训练教材第8页练习1，2.补充：1.正比例函数y=x 与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标是2，求x=-3时y 的值. 2. 已知点P 是反比例函数图象上的一点, PA ⊥x 轴于A ，连接PO,若S △PAO=8,则这个反比例函数的关系式是________ .3.如图：一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于M(2，m)、N(-1，-4)两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x 为何值时，反比例函数的函数值大于一次函数的函数值？活动四：课堂小结与作业布置课堂小结：反比例函数 （k ≠0）的图象及性质的运用： (1)k 的符号决定图象的 . (2)y 随x 的变化趋势是由 决定，当 时，在每一个象限内，y 随x 的增大而 ；当 时，在每一个象限内，y 随x 的增大而 .(注意“在每一个象限内”的含义).(3)常数k 的几何意义是 .(4)从反比例函数 的图象上任意一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成三角形的面积等于 . 作业布置：教材第9页第5,9题.补充：已知点A(-2,y 1),B(-1,y 2),C(4,y 3)都在反比例函数 的图象上,则y 1 、y 2 、y 3 的大小关系(从大到小)为 板书设计:问题: (x)y k =xy k =xy -1 0 2 N （-1，-4）M （2，m ） b ax y +=x k y =xy k =xy k =)0(>=k xk y复习回顾：……小结：……例1. ……例2. ……例3. ……课堂小结:……教学后记：反比例函数的图象和性质的应用导学案。
【数学】九年级数学下册2612反比例函数的图象和性质2教案新版新人教版
【关键字】数学反比例函数图象和性质课标依据能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y =xk(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。
教学目标知识与技能进一步了解反比例函数的图象和性质，会根据问题中的条件确定反比例函数的解析式。
过程与方法经历用反比例函数的图象和性质解决数学问题的过程,进一步体会分类讨论思想特别是数形结合思想的运用．情感态度与价值观积极参与数学活动,在参与数学活动的过程中，体会探索、创新的乐趣，养成乐于探索的习惯．教学重点难点教学重点通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。
教学难点用待定系数法确定反比例函数的解析式。
知识点学习目标媒体类型媒体内容要点教学作用使用方式所得结论占用时间媒体来源介绍知识目标图片 a g 拓展知识2分钟自制讲解过程与方法图片 a e 建立表象5分钟下载观看过程与方法图片 a e 帮助理解5分钟下载理解情感态度与价值观图片 a I 升华感情2分钟下载①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.其它。
②媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概括；D.讲解—播放—举例；E.播放—提问—讲解；F.播放—讨论—总结；G.边播放、边讲解；H.设疑_播放_概括.I讨论_交流_总结J其他教学师生活动设计意图过程设计一、创设问题情境，引入新课1.作反比例函数图象的基本步骤是什么？2．反比例函数y=kx的图象是由_______组成的，通常称为_______，当k>0•时______位于________；当k<0时，_________位于________．3．反比例函数y=kx的图象，当k>0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而________;当k<0时，在每一个象限内，y的值随x 的增大而________．由学生回答，教师引导学生进一步归纳总结．二、讲授新课1、问题：【例3】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），C（-212，-445）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？2、小组讨论1：已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的的性质?以及所给的点是否在该图象上?学生独立思考，自己解答．教师巡视解答过程并给予引导．3、针对练习（见课件）问题：【例4】如下图是反比例函数y=5mx的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？回忆节上节课研究过的反比例函数的图象和性质，进一步让学生体会数形结合的思想．根据已知条件确定反比例函数的解析式，并根据函数解析式判断点是否在函数图象上．熟练运用反比例函数的图象和性质解答数学问题，特别强调让学生注意数形结合思想的应用．进一步熟悉由数得到形的特点，由形得到数的特点，渗透数形结合的思想．（2）如上图的图象上任取点A（a，b）和点B（a′，b′）如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？4、小组讨论2：根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?5、针对练习（见课件）让学生先观察图象，然后结合反比例函数的性质完成此题．三、巩固提高练习：课本P8页练习1、2题。
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26.1.2 反比例函数的图象和性质第二课时一、教学目标1．核心素养通过学习反比例函数的图象和性质，充分体现几何直观，渗透模型思想．2．学习目标（1）进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质．（2）灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．（3）领会反比例函数的解析式与图象之间的联系，体现数形结合及转化的思想方法．3．学习重点灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．4．学习难点与反比例函数相关的面积的计算，以及自变量和函数值大小的比较．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P7－P8，思考：怎样用待定系数法求反比例函数的解析式？任务2怎样判定一个点是否在反比例函数的图象上？任务3思考1：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，与坐标轴形成的矩形面积与k有什么关系？思考2：过反比例函数图象上任意一点作某一个坐标轴的垂线，并将这个点与原点相连，形成的三角形的面积积与k有什么关系？2．预习自测1．一个反比例函数的图象经过点（2.5，-3），则这个函数的图象位于第（）象限．A．一、三B．二、四C．一、四D．二、三答案：B2．如图，点A为反比例函数3yx=上的任一点，过点A作AB⊥x轴于点B，则AOBS∆等于（）A ．3B ．32C ．1D ．无法确定 答案：B3．若点（1.5，2）在反比例函数xk y =的图象上，则k = ，在图象的每一支上，y 随x 的增大而 ．答案：3，减小（二）课堂设计1．知识回顾（1）反比例函数的图象是双曲线．（2）当k >0时，它的两个分支位于一、三象限；在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．（3）当k <0时，它的两个分支位于二 、四象限；在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．（4）反比例函数的图象既关于x 轴对称，还关于y 轴对称，也关于原点对称．（5）同学们预习本课，知道过双曲线上一点作坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k |．2．问题探究问题探究一 感受“数”与“形”结合的必要性●活动一 回顾旧知，加深理解问题1 下列反比例函数：①2y x =-；②1y 3x =；③107y x =-；④3y 100x=． （1）图象位于第一、三象限的是 ；（2）图象位于第二、四象限的是 ．教师提出如下问题，学生独立思考并写出答案．（1）上述四个答案中，k 的值分别是多少？（2）当k 0>时，反比例函数的图象分别位于第几象限？（3）当k 0<时，反比例函数的图象分别位于第几象限？问题 2 在反比例函数：①2y x =-；②1y 3x =；③107y x =-；④3y 100x=的图象上，11(x ,y )、22(x ,y )分别是图象上同一象限内的点：（1）若12x x <，则12y y <的函数是 ．（2）若12x x <，则12y y >的函数是 ．教师提出如下问题，学生独立思考并回答，然后独立写出答案，再交流反馈．（1）反比例函数2y x=-的图象位于哪几个象限？y 随x 的变化趋势是什么？ （2）反比例函数107y x =-的图象位于哪几个象限？y 随x 的变化趋势是什么？ 问题探究二 探究反比例函数图象的性质●活动一 探究矩形面积与k 值例1 如图，点A 为2y x=上的任意一点，过点A 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点B 和点C ，求矩形ABOC 的面积．【知识点：反比例函数的性质，矩形的面积；数学思想：数形结合】详解：设点A 的坐标为(a ，b)，则矩形的面积为ab∵x2y =过点A （a ，b ） ∴ab=2，即矩形的面积刚好等于反比例的k 值2．●活动二 若将反比例函数的解析式改为xk y =，请模仿上述解答过程得出准确答案．详解：设点A 的坐标为(a ，b)，则矩形的面积为ab∵xk y =过点A （a ，b ） ∴ab=k ，即矩形的面积刚好等于反比例的k 值．●活动三 探究三角形面积与k 值例2 如图，点A 为x k y =上的任意一点，过点A 分别作x 轴的垂线，垂足为点B ，求三角形ABO 的面积．【知识点：反比例函数的性质，三角形的面积；数学思想：数形结合】详解：设点A 的坐标为(a ，b)，则三角形ABO 的面积为ab 21 ∵xk y =过点A （a ，b ） ∴ab k =，即ab k = ∴k 21S ΔABO =，即△ABO 的面积刚好等于k 的绝对值的一半． 问题探究二 反比例函数图象离原点的距离与k 值的关系在同一坐标系中，作x 1y =、x 2y =、x 3y =、x 4y =的图象，如图． 可以发现，当k>0时，随着k 的增大，反比例函数xk y =的图象的位置相对于原点越来越远．1x =2x在同一坐标系中，作出一系列k <0反比例函数xk y =的图象． 可以发现，当k <0时，随着k 的增大，反比例函数xk y =的图象的位置相对于原点越来越近． 综上所述，在同一坐标系中，作多个反比例函数x k y =的图象． 可以发现，当|k |越大时，反比例函数xk y =的图象的位置相对于原点越来越远．问题探究三 反比例函数性质的应用．●活动一 面积与k 的关系的应用例3 如图，正比例函数x y =与反比例函数xy 1=的图象相交于A 、B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．23D ．25 【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】详解：设点B 的坐标为(m ，n)∵反比例函数x y 1=过点B(m ，n) ∴ mn=1 ∴2121)()(21==-•-•=∆mn n m S BOC 由反比例函数的对称性知：点A 与点B 关于原点O 对称，即AO=BO∴BOC AOB S S ∆∆=2=1方法2：由反比例函数的性质知：21k 21S ΔBOC =⨯= ∴由对称性知OA=OB ，BOC AOB S S ∆∆=2=1．●活动二 反比例函数图象与性质的关系例4 已知反比例函数的图象经过点A （2，6）．（1）反比例函数的图象在第几象限？y 随x 的增大而如何变化？（2）点B （3，4），C （-212，544-），D （2，5）是否在这个反比例函数的图象上？ 【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】师生共同分析，教师引导并提出下列问题：（1）点A （2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪两个量来确定？我们如何救出这个量？（3）反比例函数y 随x 的变化情况与哪个量有关？y 随x 的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在函数图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．详解：（1）设反比例函数的解析式为x k y =∵它过点（2，6）∴k xy 2612==⨯=，它的图象过一、三象限；在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．（2）∵12y x= ∴x 3=时，y 4=x =-122时，244y 455=-=- x 2=时，y 6=∴点B 和点C 在此反比例函数上，而点D （2，5）不在这个反比例函数的图象上． ●活动三 拓展提高 活学活用例5 过反比例函数)01>=x xy （的图象上的任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、 S 2，则它们的大小关系为（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1=S 2D ．不能确定 【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】详解：∵2k S S ΔBOD ΔAOC == ∴COE COE S S ∆∆-=-ΔBOD ΔAOC S S ，即S 1=S 2，故先C ．3．课堂总结【知识梳理】(1)判断反比例函数的图象的两个分支在哪些象限，只需判断k 的正负即可． 当k 为正时，它的两个分支分别在一、三象限；当k 为负时，它的两个分支分别在二、四象限．(2)判断一个点是否在函数图象上，只需将它的横（纵）坐标代入求出纵（横）坐标，如果刚好相等，则表示这个点在在此函数图象上；若求出的值与告知的坐标不相等，则说明这个点不在函数的图象上．(3)过反比例函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于|k |．(4)过反比例函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线，则这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于k 的绝对值的一半．【重难点突破】(1) 过反比例函数的图象上任一点作坐标轴的垂线，它们与坐标轴围成的面积等于k 的绝对值．利用与坐标轴围成矩形面积求k 时特别要注意，主要是图象过二、四象限时容易出现符号错误．(2) 过反比例函数的图象上任一点作某一坐标轴的垂线，则这个点与垂足和原点围成的三角形面积等于k 的绝对值的一半．利用三角形面积求k 时特别要注意，主要是图象过二、四象限时容易出现符号错误．(3)判断一个点是否在反比例函数图象上时，只需要将它的一个坐标代入，若另一个坐标刚好也相等，则函数必过这一点；否则函数不过这个点．4．随堂检测1．如图，点P 是反比例函数2y x=-图象上的一点，若PD ⊥x 轴于点D ，则△POD 的面积为（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．12 答案：A解析：2．如图，点P 是反比例函数xm y =图象上第二象限内的一点，且矩形OEPF 的面积为3，则m 的值为（ ）．A ．3B ．6C ．-3D ．-1.5 答案：C解析：3．如图，点P 是反比例函数xm y =图象上的一点，若PD ⊥x 轴于点D ，△POD 的面积为2，则m 的值为（ ）A ．-2B ．-4C ．-1D ．4答案：B解析： 4． 反比例函数xa y =的图象上有一点A ，AB ∥x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积为1，则反比例函数的解析式为（ ）A ．2x 1y -=B ．x 1y -=C ．x2y -= D ．4x 1y -= 答案：C解析： 5．如图，A 、B 两点在双曲线xy 4=上，分别经过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知1阴影=S ，则12S S +=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：D解析：。