2019-2020年高中数学 《2.1.1函数(二)》教案 新人教B版必修1

2019-2020年高中数学 《2.1.1函数（二）》教案 新人教B 版必修1
教学目标：理解映射的概念；
用映射的观点建立函数的概念. 教学重点：用映射的观点建立函数的概念. 教学过程：
1．通过对教材上例4、例5、例6的研究，引入映射的概念.
注：1，补充例子：投掷飞标时，每一支飞标射到盘上时，是射到盘上的唯一点上。

于是，如果我们把A 看作是飞标组成的集合，B 看作是盘上的点组成的集合，那么，刚才的投飞标相当于集合A 到集合B 的对应，且A 中的元素对应B 中唯一的元素，是特殊的对应.
同样，如果我们把A 看作是实数组成的集合，B 看作是数轴上的点组成的集合，或把A 看作是坐标平面内的点组成的集合，B 看作是有序实数对组成的集合，那么，这两个对应也都是集合A 到集合B 的对应，并且和上述投飞标一样，也都是A 中元素对应B 中唯一元素的特殊对应.
一般地，设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f)叫做集合A 到集合B 的映射，记作f:A →B.其中与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象.
2，强调象、原象、定义域、值域、一一对应和一一映射等概念 3．映射观点下的函数概念 如果A ，B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （CB ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f(x).
这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义. 注：新定义更抽象更一般
如：（狄利克雷函数）是无理数）（
是有理数）
⎩⎨
⎧=x 0x (1)x (f
4．补充例子：
例1，已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由：
⑴ A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；
⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； ⑶A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；
⑷A={|00900
}，B={x|0x1}，对应法则：“取正弦”. 例2,
1，（x ，y ）在影射f 下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在f 下的原象是_________
2,已知：f ：xy=x 2
是从集合A=R 到B=[0,+]的一个映射，则B 中的元素1在A 中的原象是_________
3，已知：A={a,b},B={c,d},则从A 到B 的映射有几个
课堂练习：教材第39页 练习A 、B
小结：学习用映射观点理解函数，了解映射的性质。

课后作业：第56页 习题2-1A 第1、2题
2019-2020年高中数学 《2.1.1函数（二）》评估训练 新人教B 版必修1
1．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是
( )．
解析 按映射的定义判断知，D 项符合． 答案 D
2．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是
( )．
A ．(3,1) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12
D ．(1,3)
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝2
x －y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝32，y ＝1
2，
故选B.
答案 B
3．下列对应法则f 为A 到B 的映射的是 ( )．
A ．A ＝R ，
B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x | B ．A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2
C ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x
D ．A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0
解析 A 、B 选项中当x ＝0时，B 无元素与它对应，故A 、B 错，又C 中当x ＜0时，x 无意义，故C 错．
答案 D
4．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个． 解析 a →c ，b →c ；a →d ；b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个． 答案 4
5．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到
C 的映射是y →
1
2y ＋1
，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的象为________． 解析 1在B 中的象为2×1－1＝1，在C 中的象为12×1＋1＝1
3.
答案 13
6．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2
－2x －1，求A 中元素1＋2的象和B 中元素－1的原象．
解 当x ＝1＋2时，x 2
－2x －1＝(1＋2)2
－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的象是0.
当x 2
－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的原象是2.
综合提高
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7．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是
( )．
A ．f ：x →y ＝1
2x
B ．f ：x →y ＝13x
C ．f ：x →y ＝2
3
x
D ．f ：x →y ＝x
解析 C 中，y ＝23x ，当x ＝4时，y ＝8
3＞2，即在Q 中不存在元素与之对应．
答案 C
8．设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{a ，b ，c }，那么从集合A 到集合B 的一一映射的个数为
( )．
A ．3
B ．6
C ．9
D ．18
解析 A 中有3个元素，B 中也有3个元素，按定义一一列举可知有6个． 答案 B
9．已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )，则(3,4)的象为________；(1，－6)的原象为________．
解析 根据条件可知x ＝3，y ＝4，则x ＋y ＝3＋4＝7，xy ＝3×4＝12，所以(3,4)的象为(7,12)；
设(1，－6)的原象为(x ，y )，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝1
xy ＝－6，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2
y ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
y ＝－2，所以
(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．
答案(7,12)，(－2,3)或(3，－2)
10．根据下列所给的对应关系
①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
②A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；
③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
④A＝R，B＝R，f：x→y＝1
x＋|x|
，x∈A，y∈B.
上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．
解析①能构成映射，又A、B均为数集，因而能构成函数；②当x＝1时，y＝0∉B，故不能构成映射，从而不能构成函数；③能构成映射，但不是数集，故不能构成函数；④当x≤0
时，x＋|x|＝0，从而1
x＋|x|
无意义，因而故不能构成映射．
答案①③①
11．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,4，m2}，x∈A，y∈B，映射f：A→B使A中元素x 和B中元素y＝2x对应，求实数m的值．
解由对应关系f可知，集合A中元素0,2分别和集合B中的元素0,4对应，所以集合A中的元素4和集合B中的元素m2对应．于是m2＝2×4，解得m＝±2 2.
12．(创新拓展)已知A、B∈R，f：A→B对应法则为：
f：x→y＝x2－2x，对于实数m∈B在A中没有原象，求m的取值范围．
解∵m∈B，
∴m＝x2－2x，
又∵在A中没有原象，
即x2－2x－m＝0方程无实根，
∴Δ＝4＋4m＜0，∴m＜－1.。