证明2

北师大数学（九年级上册）
第一章证明（二）
一、教学目标
1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生的推理论证能力。

2．进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义。

3．了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质及判定的定理。

4．结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并了解其真假关系。

5．能够利用尺规作线段垂直平分线和角平分线，已知底边及底边上的高，能作出等腰三角形。

二、设计思路
本章是八年级下册中第六章证明（一）的继续，首先给出作为继续进行证明的基础的四条公理，并与证明（一）中给出的两条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明。

在前几册中，学生们已经在对图形性质及其相互之间的关系进行探索的过程中同时经历了推理的过程，一方面，初步地树立了推理的意识，也进行了简单的推理训练，具备了一定的推理能力，虽然没有要求学生进行严格的证明，但却为严格的推理证明打下了基础。

从上一册的证明（一）开始，教材从几个有关图形性质的基本事实（公理）出发，展开了对平行线等图形性质的严格证明。

本章将继续对其他一些图形的性质进行证明。

与证明（一）类似，本章中所涉及的很多命题（如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理、线段的垂直平分线等等）在前几册中已由学生们通过一些直观的方法进行了探索，所以学生们对这些结论已经有所了解。

对于这些命题，教材力争将证明的思路展现出来。

教材中首先利用提问题的方式使学生们联想回忆这些结论，并回忆原来用来探索结论的方法和过程，因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发，然后再利用公理和已有的定理去证明。

如在证明等腰三角形的两个底角相等时，教材先给出了证明的思路，即由当时利用折纸来探索此结论的方法，而想到通过连接底边的中线构造全等三角形，从而证明两个角相等。

本章中还涉及到一些以前没有探索过的命题，这些命题的获得有些是直接通过证明得到的，而对于有些命题，教材则尽可能地创设一些问题的情景，为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用。

如对于命题“直角三角形中，30。

所对的边等于斜边的一半”，教材引导学生拼摆三角板，去发现其边之间的关系，同时探索的过程也为证明时辅助线的添加提供了思路，为证明奠定了基础。

教材的设计还考虑了对学生学习方法和思维能力、水平的指导和培养。

一方面为学生设臵了可将结论进行推广和一般化的空间，将探索发现和证明有机的结合起来。

另一方面教材还注意引导学生探索证明不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与
同伴交流”。

此外，教材还注意渗透数学的思想方法，如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化的思想方法等。

如在证明等腰梯形的两个底角相等时，教材在分析证明思路时指出将等腰梯形的两个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等。

本章虽然以逻辑证明为主，但在素材和背景的选取上还希望尽可能地与实际联系，增强论证的趣味性，从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明在实际中的意义和作用。

三、课时安排建议
1．你能证明它们吗 3课时
2．直角三角形 2课时
3．线段的垂直平分线 2课时
4．角平分线 2课时
回顾与思考 2课时
四、教学建议
1．使学生经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性。

从上一册的证明（一）开始，逐渐的证明已探索过的图形的性质，同时也证明一些新的结论。

在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这将有利于学生全面地理解证明。

在具体教学时，一方面，教师可引导学生回忆探索的过程及其得出的结论，并强调证明的必要性。

另一方面，学生经过探索，还会得到以往没有探索过的新的结论，然后再去证明，教师应充分利用这样的机会，启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与论证推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。

2．注重对证明思路的启发，提倡证明方法的多样性。

学生在掌握了基本的证明步骤和要求的基础上，探索证明的思路与方法是学习本部分内容的重点和难点，教师在教学中应注意在证明思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析辅助线的添加、辅助图形的构作，在这个过程中，原来在进行图形的折叠、拼摆等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的，教师应注意引导启发。

很多图形性质及结论的证明的方法和途径是不唯一的，辅助线的添加方法也是多样的，因此，教师在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高逻辑思维水平。

例如，在证明等腰三角形的两个底角相等时，辅助线的添加可以有三种不同的方法，从而导致三种证明的方法，教师应鼓励学生通过交流探索发现这几种不同的证明方法。

3．要求学生掌握证明的基本要求和方法。

在本章中，结合图形的性质进行推理证明是学习的重点，因此教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求，如明确前提和结论，能够用数学的符号语言正确表达；明确每
一步推理的依据并能准确地表达推理的过程。

教师在教学时应引导学生着重分析证明的思路和方法，通过一定数量的推理证明的训练，逐步使学生掌握证明方法和思路。

与图形性质的探索一样，在命题的证明的教学中，教师也要注意为学生对证明思路和方法的思考留有充分空间，同时还要注意学生的个体差异，对学习证明有困难的学生给予帮助和指导。

对反证法的学习，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子使学生体会反证法的思想，但对于利用反证法进行证明的格式不对学生作要求。

4．注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发。

在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法，如由特殊到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法、反证法的思想方法等，教学中应注重这些思想方法的强化和渗透，有意识的引导学生去领会这些思想方法并运用在问题的解决过程中。

5．依据《义务教育数学课程标准》和教材的基本要求，把握好证明的难易程度。

对证明的基本方法掌握和过程的体验，需要对一定数量的命题的证明来实现，但是教学中要注意避免一味的追求所证命题的数量、证明的技巧，应依据教材中的基本要求，控制好所证命题的难度。

1．你能证明它们吗
教学目标：
1．了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的相关的性质定理和判定定理。

3．结合实例体会反证法的含义。

重点：经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，证明等腰三角形的有关性质。

难点：数学证明要求及步骤，体会证明的思想。

教学素材：
1、三月三，放风筝，如图所示小明制作的风筝，他根据DE＝DF ，EH＝FH，
不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH，请你用所学的知识给予证明。

２、为美化环境，计划在东湖中学用３０平方米的草坪铺设一块边长为１０
米的等腰三角形绿地，请你求出这个三角形绿地的另两边长。

2．直角三角形
教学目标：
1．进一步掌握推理证明的方法，发展推理论证的能力。

2．了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等的条件。

3．结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

重点：勾股定理以及逆定理的证明方法，直角三角形全等的判定。

难点：应用直角三角形一些性质和定理解决实际问题。

本节对勾股定理处理的说明：
（1）前面我们已经利用图形割补的方法验证了勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行。

虽然证明的方法有几种，但对于学生来说，这些证明都有一定难度，因此教材在正文中将此略去，将其中的一种放在本节的“读一读”中，以供有兴趣的学生阅读，而不作为对所有学生的要求。

（2）勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的，因此，只要学生能接受证明的方法和过程即可，不必作更多要求。

教学素材：
１、生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离为梯子长度的1
3
，则梯子比
较稳定，现有一长度为６米的梯子，当梯子摆放稳定时，它的顶端能否到达５．６米高的墙头？
3．线段的垂直平分线
教学目标：
1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明的意识和能力。

2．能够证明线段垂直平分线的性质和判定定理及其相关结论。

3．能够利用尺规作线段垂直平分线；已知底边及底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形。

重点：线段垂直平分线的性质定理，判定定理的掌握。

难点：线段垂直平分线的性质定理，判定定理的证明与应用。

教学素材：
1、如图所示，在正三角形ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，
△PBC，△PAC都是等腰三角形，你能找出几个这样的点？画图
描出它们的位臵。

2、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一个动点。

则DN+MN的最小值为。

4．角平分线
教学目标：
1．发展学生的推理证明的意识和能力。

2．能够证明角平分线的性质和判定定理及其相关结论。

2．能够利用尺规作角平分线。

重点：角平分线的性质定理和判定定理及角平分线的作法与应用。

难点：角平分线的性质定理和判定定理及对知识的综合应用。

对于角平分线上定理的处理建议：
（1）学生已经探索过了角平分线上的点的性质，此处可先让学生回顾其性质和探索过程，并尝试证明它。

（2）在前面的学习中，学生已经了解了如何构造一个
命题的逆命题。

学习线段垂直平分线时，也经历
了构造其逆命题的过程，因此，学生会类比着来
构造角平分线性质定理的逆命题。

在叙述其逆命
题时，可不加什么条件，但验证其真假时，教师
应引导学生注意到角平分线是在角的内部的射
线，所以，就要附加“在角的内部”这个条件了。

教学素材：
1、如图，已知方格纸中每个小方格都是相同的正方形，∠AOB画在方格纸上，请在小方格的顶点标出点P，使点P落在∠AOB的平分线上。

（要求标出至少两个满足条件的点）。

2、在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB 的平分线交于点O，BO、CO的垂直平分线与BC 分别交于E、F。

求证：BE=EF=FC
回顾与思考
本“回顾与思考”中设立了几个问题，希望学生通过对这几个问题的思考，梳理本章的知识内容，总结相关的数学思想方法。

教学时，应鼓励学生带着这些问题，回顾所学内容。

在对问题进行回答时，教师应关注学生对问题的理解，并能开展小组交流和讨论，使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系。

教师可将本章的内容总结如下：
与等腰、等边三角形有关的结论
通过探索、猜测、计算和证明获得结论（新定理）与直角三角形有关的结论
与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假
线段的垂平分线
尺规作图
角的平分线
本“回顾与思考”教师可以安排2个课时。

在第一课时中，教师可与学生一起回顾一下本章的主要内容，包括对与特殊三角形和一般三角形的性质等结论的探索和证明；证明的思路和方法；利用尺规作线段的垂直平分线和角的平分线等的方法、步骤和理由；如何写出一个命题的逆命题，了解互逆命题的真假关系。

第二课时，教师可安排一些相关的题目供学生对所学知识进行复习巩固。

回顾与思考也为学生的自评提供了机会。

课后，教师可以要求学生独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章内容，并回顾学习本章的收获、存在的问题和需要改进的地方，教师也可以据此了解每一个学生的学习状况，并适时调整教学。