复习三角形特征

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2014年中考专题复习三角形的初步知识

20114年中考专题复习三角形的初步知识彩虹教育杨义茂一、考点知识与应用考点一三角形的性质：1、三角形的内角和是，三角形的任意一个外角和它不相邻两个内角的和，三角形的一个外角任意一个和它不相邻的内角2、三角形任意两边之和第三边，任意两边之差第三边3、三角形具有性.应用：1、已知三角形的三边长分别是3、x 、9，则化简513x x -+-= ；2、有4根木条,长度分别为6cm ,8cm ,12cm ,20cm ,选其中三根作为边组成三角形,请问:共有多少种组合方法?其中能构成三角形的有几种?3、如图所示，P 为△ＡＢＣ内任意一点，∠１＝∠２，求证：∠ＡＣＢ与∠ＢＰＣ互补。

4、如图，在ΔABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC，AF 平分外角∠BAD，BE 与FA 交与点E 。

求∠E 的度数。

考点二定义与命题:1、定义:_______________________________________________________________2、命题:_____________________________________________________________应用：1、下列语句：①明天下雨吗? ②中国加油！四川加油！③锐角都相等．④过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．其中是命题的有（）Ａ、１个Ｂ、２个Ｃ、３个Ｄ、４个 2、下列语句中，属于定义的是（）A 、对顶角相等B 、三角形的内角和等于1800C 、连接A 、B 两点并延长至点CD 、连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

3、下列命题中，是假命题的为（） A 、邻补角的平分线互相垂直；B 、平行于同一直线的两条直线互相平行；C 、如果一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角一定相等；D 、平行线的一组内错角的平分线互相平行。

4、有如下命题：①无理数就是开方开不尽的数；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③无理数包括正无理数，0，负无理数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0。

中考数学考点专题复习三角形与全等三角形

剖析
先看一个事实，如图，将等腰△ABC 的底边 BC 延长线上的任一点和顶点 A 相连，所得的△DAB 和△DAC 无疑是不全等的，由此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”)不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上当哟．
正解证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4.又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝ ∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中， ∵EB＝EC，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)， ∴∠BAE＝∠CAE
的长可能是下列哪个值( B )
A．11
B．5 C．2 D．1
(2)(2015·巴中)若 a，b，c 为三角形的三边，且 a，b 满足 a2－9＋(b－
2)2＝0，则第三边 c 的取值范围是 1＜c＜5
．
【点评】三角形三边关系性质的实质是“两点之间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范围|a－b|＜c＜a＋b.
[对应训练] 1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是( )B A．5 B．10 C．11 D．12
(2)(2014·淮安)若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为___4_．(只需填一个整数)
【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么 ∠AFE＝( ) D
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．(2015·柳州)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB 的是( D )

人教版数学八上第十一章三角形复习课件共34张PPT

2
。
（3，3，1；2，2，3）
1、如图，求△ABC各内角的度数。 A
解：3x + 2x + x = 180
35xx
6x=180
X=30
23xx
B
xx C
∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°
2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5，求解这：三设个三内个角内的角度分数别。为x，3x，5x
B A
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能
直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至
D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，
使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，
这个长度就等于A，B两点的距离。请你说
明理由。
解： AC=DC
∠ACB=∠DCE
A
B
BC=EC
C
△ACB≌△DCE(SAS)
E
D
AB=DE
则x + 3x + 5x = 180 x=20
∴三角形三个内角分别为：20°，60°，100°
题型考查
1.符合条件∠A+∠B=62°的三角形是( C )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
2.在下列长度的四根木棒中，能与4㎝，9㎝两根木棒围成三角形的是( C )
A、4㎝ B、5㎝ C、9㎝ D、14㎝ 3.如图，在△ABC中，∠A=70° A
点，∠1=∠2，AE=DE，
试求AB=DC。
AD
12
BEC
简解：∵E是BC的中点， ∴BE=EC。又∴ ∠1=∠2，AE=DE， △ABE≌△DCE(SAS)，∴AB=DC 。
3.如图，已知BE⊥AD， CF⊥AD，且BE=CF，请你判断AD是△ABC的中线还是

三角形单元复习与巩固

三角形单元复习与巩固知识点一：三角形的有关的概念（一）三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的，相邻两边上的公共点叫做三角形的，相邻两边所组成的角叫做三角形的，简称三角形的 .注意：通过三角形的定义可知，三角形的特征有：（1）三条线段；（2）不在直线上；（3）首尾顺次连接. 这是判定是否是三角形的标准.（二）三角形的表示方法：“三角形”用符号“”表示，顶点是A，B，C的三角形，记作“”，读作“三角形ABC”.（三）三角形的分类不等边三角形（1）按边分类：底边和腰不相等的等腰三角形（2）按角分类：三角形三角形三角形三角形等腰三角形（四）三角形的三边关系（1）三边关系：三角形的任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，三角形的三边关系反应了任意三角形边的限制关系.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形. 当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围.注意：（1）这里的“两边”指的是任意的两边. 对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值；（2）三角形的三边关系是“”的具体应用.知识点二：三角形的高、中线、角平分线（一）三角形的高：从三角形的一个向它的对边所在的直线作，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 注意：（1）三角形的高线是一条；（2）锐角三角形的三条高都在三角形，三条高的交点也在三角形部；钝角三角形有两条高落在三角形的部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条在三角形的内部，它们的交点是直角的 .（3）三角形的三条高交于一点，这一点叫做三角形的 .（二）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的的线段叫做三角形的中线.注意：（1）三角形的中线是一条；（2）三角形的每一条中线将三角形分成两个面积的三角形；（3）三角形三条中线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的 .（三）三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：（1）三角形的角平分线是一条；（2）三角形的三条角平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的.知识点三：三角形的内角与外角（一）三角形的内角：（1）定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的角.（2）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于.（3）三角形内角和定理的作用：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数；③求一个三角形中各角之间的关系.（二）三角形的外角（1）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 . 三角形的外角和为°.（2）特点：①外角的顶点在三角形的一个顶点上；②外角的一条边是三角形的一边；③外角的另一条边是三角形某条边的 .（3）性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个的和.②三角形的一个外角（大于，等于或小于）与它不相邻的任何一个内角.知识点四：多边形（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做 .注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.（二）多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从n边形的一个顶点出发，可以画条对角线，n边形一共有条对角线.（三）多边形的内角和公式：n边形的内角和为 .内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.（四）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 .外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点五：镶嵌（一）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）. （二）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个时，就能拼成一个平面图形.类型一：数学思想方法的应用（一）分类思想例1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）．A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°举一反三：☆【变式1】已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为 .【变式2】有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选出三条组成三角形，正确的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种（二）转化思想例2．（1）如图1是一个五角星ABCDE，请算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的大小.（2）如图2，3，4，5的变式图形中，上面的结论成立吗？为什么思路点拨：本题是一题多变题，先求出图1中各角之和，其他图形是否有相同的结论同理可证.21EDCBA21EDCBA21EDCBA图1图2图321ECBAC21EDBA图4图5解析：举一反三：【变式1】如下图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝。

《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3．在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332．【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

三角形知识总复习

折叠纸盒
折叠纸盒的构造中，常常可以看到三角形的应用，它们能够承受一定的压力，保持纸盒的形状。
三角形在数学与其他学科中的应用
几何学
三角形是几何学中基础图形之一，研究三角形的性质、面积和周长
等基础知识是几何学的重要内容。
工程学
在工程设计中，三角形的应用非常广泛，如结构设计、机械零件设计等。
详细描述
根据三角形的角度和边长，可以将三角形分为不同的类型。例如，等边三角形三边相等，三个角都是60度；等腰三角形两边相等，两个角相等；直角三角形有一个90度的角等。这些分类有助于理解三角形的特性和性质。
02 三角形的面积与周长
CHAPTER
三角形的面积计算
01
02
03
公式法
使用三角形面积公式（面积 = (底 × 高) ÷ 2）计算面积。
三角形知识总复习
目录
CONTENTS
• 三角形的基本性质 • 三角形的面积与周长 • 三角形的角度与勾股定理 • 三角形的全等与相似 • 三角函数与解三角形 • 三角形的实际应用
01 三角形的基本性质
CHAPTER
三角形的基本定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成的闭合二维图形。
详细描述
三角形的基本定义包括其构成的要素，即三条边和三个角。这三条边在平面几何中首尾相连，形成一个封闭的二维图形，而三个角则定义了三角形的角度大小。
等边三角形
等边三角形的三条边长度相等，面积计算公式为（面积 = (√3/4) × a^2），其中a是等边三角形的边长。周长计算公式为（周长 = 3a）。
等腰三角形
等腰三角形有两边长度相等，面积计算公式为（面积 = (底 × 高) ÷ 2），周长计算公式为（周长 = a + b + c），其中a、b和c分别是三角形的底、相等的两边和另一条边。

三角形的初步认识复习教案

三角形的初步认识复习教案一、教学目标：1. 让学生复习并巩固对三角形的定义、特征和分类的认识。

2. 培养学生运用三角形知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对几何图形的审美观念，培养空间想象力。

二、教学内容：1. 三角形的定义及特征2. 三角形的分类3. 三角形的性质4. 三角形的判定5. 三角形在实际中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形的基本概念、性质和应用。

2. 教学难点：三角形分类的判断及应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角形的性质。

2. 利用多媒体辅助教学，直观展示三角形的特点。

3. 结合实际例子，让学生感受三角形在生活中的应用。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作意识。

五、教学过程：1. 导入：通过复习平面图形的分类，引导学生回顾三角形的概念。

2. 新课导入：讲解三角形的基本特征，如三角形的边长、角度等。

3. 案例分析：分析不同类型的三角形，让学生掌握三角形的分类方法。

4. 性质讲解：讲解三角形的基本性质，如三角形的内角和、外角性质等。

5. 课堂练习：设计有关三角形性质的练习题，巩固所学知识。

6. 生活应用：结合实际例子，让学生探讨三角形在生活中的应用。

8. 课后作业：布置有关三角形练习题，提高学生的应用能力。

9. 教学反思：针对本节课的教学效果，进行自我反思，找出需要改进的地方。

10. 课后拓展：引导学生深入研究三角形，探索更多的性质和应用。

六、教学评价：1. 采用课堂问答、练习题和小组讨论等方式，评价学生对三角形基本概念、性质和应用的掌握程度。

2. 关注学生在解决问题时的思维过程，评价其空间想象能力和创新能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，全面评价学生的学习效果。

七、教学资源：1. 教学课件：通过多媒体课件，展示三角形的特点和性质。

2. 练习题库：为学生提供丰富的练习题，巩固所学知识。

3. 实际案例：收集生活中的三角形实例，让学生感受三角形的应用。

复习资料(三角形)百分必备

三角形单元复习
【百分必备】
一、三角形的意义
三条线段围城的图形叫做三角形。

二、特性：稳定性
三、三角形任意两边之和大于第三边
【例题】下列每组数是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（学生每回答一题后就利用电脑动画进行演示：三条线段是否能组成三角形）（1）6，7，8；（2）5，4，9；（3）3，6，10；
解析：（1）能。

（2）不能，5+4=9。

（3）不能，3+6＜10
我们不需要把三条线段中的每两条线段都相加后才能作出判断，也有快捷的方法。

用较小的两条线段的和与第三条线段的大小关系来检验。

四、三角形的分类
1、按角分类
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形．
注：三角形中至少要有两个锐角，所以判断三角形的类型，应看它最大的内角．2、按边分的情况：
我们把两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫腰，另外一条边叫底。

把三条边都相等的三角形叫等边三角形。

五、三角形的内角和
三角形的内角和是180°。

六、图形的拼组
要明确：
（1）不是任意两个三角形就能拼成四边形
（2）两个完全一样的三角形能拼成四边形
（3）两个相同的直角三角形能拼成长方形
（4）两个相同的锐角或钝角三角形能拼成平行四边形（5）用三个相同的三角形拼成了梯形。

人教版四年级数学下册第五单元《认识三角形和三角形分类》复习课件

知识点 1 两点之间的距离
1．明明从家去学校走(中间)的路最近(填“上面”“中间 ”或“下面”)，因为两点之间，( 线段 )最短。
知识点 2 三角形三边的关系
2．选择。(将正确答案的字母填在括号里)
(1)三角形任意两边的和( A )第三边。
A．大于
B．小于
C．等于
(2)下面三组长度的线段，( C )不能围成三角形。
提升点 1 根据三角形三边的关系摆三角形
5．任取下面长度的三根小棒，能摆出几种不同的三角形？写一写。 3 cm，4 cm，4 cm，4 cm，7 cm，8 cm，8 cm
(4cm，4cm，4cm) (4cm，4cm，7cm) (3cm，7cm，8cm) (4cm，7cm，8cm) (3cm，8cm，8cm) (4cm，8cm，8cm) (7cm，8cm，8cm) 能摆出8种不同的三角形。
知识点认识三角形
1．看图填一填。
(1)在括号里标出各部分名称。 (2)三角形有( 3 )条边，( 3 )个角，( 3 )个顶点。 (3)为了表达方便，上面的三角形可以表示为
( 三角形ABC )。
(4)从三角形的一个( 顶点 )到它的对边作一条( 垂线 )， ( 顶点 )和( 垂足 )之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的( 底 )，三角形有( 三 )条高。
知识点三角形的稳定性
1．选择。(将正确答案的字母填在括号里)
(1)用同样长的3根小棒可以围成( A )三角形，用4根同样
长的小棒可以围成( C )不同的四边形。
A．1个
B．3个
C．无数个
(2)下列图形中，( C )最稳固。
(3)篮球架上的篮板支架(如图)，是根据三角形具有( B ) 的特性设计的。 A．美观性 B．稳定性 C．不稳定性

直角三角形复习教案

直角三角形复习教案教案标题：直角三角形复习教案教案目标：1. 复习直角三角形的基本概念和性质。

2. 强化学生对直角三角形中的角度、边长和面积的理解。

3. 提供实际问题和练习，以应用直角三角形的知识解决问题。

教学资源：1. 教材：包含直角三角形相关知识的教科书。

2. 白板、黑板或投影仪等教学工具。

3. 直角三角形的示意图和实际问题的练习题。

教学步骤：引入阶段：1. 引起学生对直角三角形的兴趣，例如展示一些实际生活中应用直角三角形的例子，如建筑、地理测量等。

2. 提问学生对直角三角形的认识，引导他们回顾直角三角形的定义和性质。

核心教学阶段：3. 复习直角三角形的定义：直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

4. 回顾直角三角形的特性：a. 直角三角形的两条边相互垂直。

b. 直角三角形的两条边相互垂直。

c. 直角三角形的斜边是其他两条边的最长边。

5. 引导学生通过示意图或实际物体找出直角三角形的特性，并解释其原因。

练习与应用阶段：6. 给学生提供一些直角三角形的实际问题，要求他们使用所学知识解决问题。

例如，计算建筑物的高度、计算斜坡的倾斜度等。

7. 分组让学生互相出题，进行小组竞赛，以增加学生对直角三角形的理解和应用能力。

总结与评估阶段：8. 总结直角三角形的定义和性质，并与学生一起归纳出直角三角形的重要特点。

9. 给学生一些练习题，以检验他们对直角三角形的理解和应用能力。

10. 对学生的表现进行评估，提供反馈和指导。

拓展活动：11. 鼓励学生进一步探索直角三角形的性质，如勾股定理等。

12. 提供一些挑战性的问题，激发学生的思维和解决问题的能力。

教案注意事项：1. 在教学过程中，要注重学生的参与和互动，鼓励他们提问和讨论。

2. 根据学生的不同水平，适当调整教学内容和难度，以满足不同学生的需求。

3. 在教学中使用图示和实例，帮助学生更好地理解直角三角形的概念和性质。

4. 鼓励学生进行实际应用和解决问题的练习，以加深他们对直角三角形的理解和记忆。

八年级数学——三角形复习

第十一章三角形一.知识要点1. 三角形的分类（1）按边分类：（2）按角分类：2. 三角形的边的关系三角形任意两边的和第三边；三角形任意两边的差第三边.3. 三角形的三种重要线段三角形的高线、中线、角平分线.5. 三角形的内、外角性质内角性质：三角形三个内角的和为°.外角性质：（1）三角形的一个外角等于（2）三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角；（3）三角形的外角和等于360°.6. 三角形的稳定性：三角形的三边长度确定后，三角形的大小、形状7. 多边形及其内角和（1）n边形的内角和：°（2）多边形的外角和等于°（3）多边形的对角线：①从n边形的一个顶点作对角线有：条；②n边形共有：条对角线.（4）正多边形：多边形叫做正多边形.二、基本图形三、基本练习1. 已知三角形的三边分别为14，4x 和3x ，则x 的取值范围是______________．2. 在△ABC 中，若︒=∠-∠︒=∠-∠60,15B C A B ，则=∠C ___________．3. 直角三角形两个锐角的平分线所形成的角为 __________ 度．4. 等腰三角形一边等于5，另一边等于2，则周长是．5. 在△ABC 中，若∠C +∠A = 2∠B ， ∠C -∠A = 80︒，则∠B= ___________， ∠A 的邻补角为 _________．6. 已知：如图，在△ABC 中， ACB ABC ∠=∠，BD ⊥AC 于D ， ∠A = 80︒，则∠DBC = _______．7. 如果一个多边形的所有对角线的条数是它边数的5倍，此多边形的边数为___． 8. 一个三角形的两边长分别是2cm 和9cm ，第三边的长为奇数，则第三边的长为________．9. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是_____． 10. 已知：在△ABC 中，AB =AC ，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 把△ABC 分成周长差为2cm 的两个三角形，则边AB 、BC 的长分别为． 11. 如右图，AC ⊥BC 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，DE ⊥BC 于E 点，下列说法中不．正确的是（） A ．AC 是△ABE 的高 B ．DE 是△BCD 的高 C ．DE 是△ABE 的高 D ．AD 是△ACD 的高 12. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A ．1cm ， 2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ． 2cm ，3cm ，6cmDEDABCD D CBAAC ABCBABCD第6题图第11题图13. 如图，五边形ABCDE 中，AE //CD ，︒=∠135A ，︒=∠155C ，则=∠B （）A ． ︒60B ．︒70C ．︒80D ．︒9014. 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论正确的个数是（）：（1）∠1＝∠2 ；（2）∠3＝∠4；（3）∠2+∠4＝90°；（4）∠4+∠5＝180°． A ．1 B ．2 C ．3 D ．415. 多边形的边数由22边增加到23边，它的内角和增加多少度（） A ．90° B ．270° C ．180° D ．360° 16. 如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两个外角平分线的交点，如果2:3:=∠∠CNB CMB ，则∠CAB 的度数为（）A ．36°B ．42°C ．54°D ．60°17. 一个三角形三边之比为 3 : 4 : 5，则这个三角形三边上的高之比为（） A ．3 : 4 : 5 B ．5 : 4 : 3 C ．20 : 15 : 12 D ．10 : 8 : 218. 一幅美丽的图案，在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则另一个为（） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形19. 已知△ABC 中，∠ABC 的n 等分线与∠ACB 的n 等分线分别相交于G 1, G 2, G 3, … , G n -1，试猜想：∠BG n -1C 与∠A 的关系．(其中n 是不小于2 的整数) 首先得到：当n = 2时，如图3，∠BG 1C = ______________，当n = 3时，如图4，∠BG 2C = _____________，第14题图第13题图第16题图……如图5，猜想 ∠BG n -1C = ___________________ ．20.已知一个三角形的三条边的长分别为n +2，n +6，3n ． (1)n +2______n +6；(填“>”，“=”或“<”) (2)若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；(3)若这个三角形的三条边都不相等，且n 为正整数，直接写出n 的最大值．21. 如图，△ABC 中，点D 在AB 上，AD =31AB ．点E 在BC 上， BE =41BC ．点F 在AC 上，CF =51CA ．已知阴影部分（即△DEF ）的面积是25cm 2．求△ABC 的面积．(写出简要推理)ABC G 1图3ABC G 1G 2 图4 ……ABCG 1G 2G n -1…图5ABCDEF22. 阅读下面材料：2019年4月底，“百年器象--清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”(图①)，它见证了中国人民解放军海军的发展历程．六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律．观测者手持六分仪(图②)按照一定的观测步骤(图③显示的是其中第6步)读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标．请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论(两次反射原理)．已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线FBC自动与0°刻度线AE保持平行(即BC//AE)，并与A处的镜面所在直线NA交于点C，SA所在直线与水平线MB交于点D六分仪上刻度线AC与0°刻度线的夹角∠EAC=ω，观测角为∠SDM．(请注意小贴士中的信息)求证：∠SDM=2ω．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程(后续证明无需标注理由)．证明：∵BC//AE，补全证明过程：∴∠C=∠EAC(______).∵∠EAC=ω，∴∠C=ω(______).∵∠SAN=∠CAD(______)，又∵∠BAC=∠SAN=α(小贴士已知)，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2α．∵∠FBA是△______的外角，∴∠FBA=∠BAC+∠C(______).即β=α+ω．23. 如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线．(1) ∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE的度数；(2) 若B-∠有怎样的数量关系？说明理由．C∠∠，则∠DAE与BC∠>(3) 若点A在AD上移动到点F，FE⊥BC于E，其它条件不变，那么∠EFD与∠C、∠B是否还有(2)中的结论？试说明理由．(如图2)图1 图2BA1BDC24. 已知△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1 .(1) 如图1，写出∠A1与∠A之间的数量关系.(2) ∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与∠A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、……、A n，请写出∠A n与∠A的数量关系.(3) 如图(2)，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A A1 的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并加以证明.图1 图225.已知△ABC，过点B作DE⊥BC于点B，过点C作FH//DE．(1)BC与FH的位置关系是______；(2)如图1，点M在直线DE和FH之间，连接BM，CM.若∠ABM=14∠ABD，∠ACM=14∠ACF，∠BAC=72°，求∠BMC的度数；(3)若∠ABE和∠ACH的平分线交于点N，在图2中补全图形，用等式表示∠BNC与∠BAC的数量关系，并证明．26. 在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，点E在射线DC上，EF⊥BC于点F，EM平分∠AEF交直线AB于点M．(1)如图1，点E在线段DC上，若∠A=90°，∠M=α．①∠AEF=______；(用含α的式子表示)②求证：BD//ME；(2)如图2，点E在DC的延长线上，EM交BD的延长线于点N，用等式表示∠BNE与∠BAC的数量关系，并证明．图1 图227．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°．（1）如图1，点M 在线段CB 上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B 作BD ⊥AM ，交AM 延长线于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交AB 于点E ，交AMA 于点F ．判断∠ENB 与∠NAC 有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；（2）如图2，点M 在线段CB 的延长线上，在线段BC 的延长线上取一点N ，使得∠NAC=∠MAC . 过点B 作BD ⊥AM 于点D ，过点N 作NE ∥BD ，交BA 延长线于点E ，交MAA 延长线于点F ．①依题意补全图形；②若∠CABA=45°，求证：∠NEA =∠NAE ．图1 图2N28. 已知：△ABC，点M是平面上一点，射线BM与直线AC交于点D，射线CM 与直线AB交于点E.过点A作AF//CE，AF与BC所在的直线交于点F．(1)如图1，当BD⊥AC，CE⊥AB时，写出∠BAD的一个余角，并证明：∠ABD=∠CAF；(2)若∠BAC=80°，∠BMC=120°．①如图2，当点M在△ABC内部时，用等式表示∠ABD与∠CAF之间的数量关系，并加以证明；②如图3，当点M在△ABC外部时，依题意补全图形，并直接写出用等式表示的∠ABD与∠CAF之间的数量关系．第 11页共 11页。

三角形复习教案

三角形复习教案在这个教案中，我们将复习三角形的相关知识。

三角形是几何学中的基本概念之一，了解三角形的性质和定理对于解决几何问题非常重要。

本教案将按照以下顺序进行复习：三角形的定义、分类、性质和定理。

一、三角形的定义三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。

三角形中的每个顶点都由两条边相交形成。

三角形的边和顶点之间有特定的关系，我们将在下面的内容中一一介绍。

二、三角形的分类根据三角形的边长和角度，我们可以将三角形分为以下几类：1. 等边三角形：三条边的长度都相等的三角形。

等边三角形的三个内角也相等，都为60度。

2. 等腰三角形：两条边的长度相等的三角形。

等腰三角形的两个底角也相等。

3. 直角三角形：其中一个角是一个直角（90度）。

直角三角形的两个较短的边相互垂直。

4. 钝角三角形：其中一个角大于90度的三角形。

5. 锐角三角形：所有角都小于90度的三角形。

三、三角形的性质三角形有许多有趣的性质，我们来一一介绍：1. 内角和定理：三角形的三个内角之和为180度。

2. 外角和定理：三角形的外角和等于360度。

3. 底角定理：等腰三角形的底角相等。

4. 等角定理：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

5. 高度和定理：三角形的高度是从一个顶点到对应边的垂直距离。

四、三角形的定理除了上述的性质外，还有一些重要的定理与三角形相关：1. 余弦定理：用于计算一个三角形的边长。

它可以通过余弦函数表示为：c² = a² + b² - 2ab * cos(C)，其中c代表三角形的第三边，a和b分别代表三角形的两个边，C代表对应的角度。

2. 正弦定理：用于计算一个三角形的角度或边长。

它可以通过正弦函数表示为：sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c，其中A、B、C分别代表三角形的角度，a、b、c分别代表三角形的边长。

3. 角平分线定理：一个角的平分线将该角分成两个相等的角度。

中考复习三角形的基本概念与性质

中考复习三角形的基本概念与性质三角形是初中数学中的重要概念，它涉及到边、角、面积等基本要素。

掌握三角形的基本概念与性质对于中考数学的学习至关重要。

本文将从三角形的定义、分类以及常用的性质等方面进行讲解，帮助同学们在中考复习中更好地理解和掌握三角形。

一、三角形的定义与分类1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的多边形，它的特点是有三个顶点和三条边。

三角形的三个顶点可以不在同一条直线上，但是三条边必须相互连接才能构成三角形。

2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，三角形可分为以下几类：(1) 等边三角形：三条边的长度相等；(2) 等腰三角形：两条边的长度相等；(3) 直角三角形：有一个角为直角（90度）；(4) 钝角三角形：有一个角大于90度；(5) 锐角三角形：三个角都小于90度。

二、三角形的性质1. 三角形内角和性质对于任意一个三角形，其内角和恒为180度。

即三个角的度数之和等于180度。

2. 三边关系性质(1) 三角形两边之和大于第三边：若三边长分别为a、b、c，则满足a +b > c、b +c > a、a + c > b。

只有满足这个条件，这三条边才能构成一个三角形。

(2) 两边之差小于第三边：若三边长分别为a、b、c，则满足|a - b| <c、|a - c| < b、|b - c| < a。

3. 等腰三角形的性质(1) 等腰三角形的底角（两边相等的角）相等；(2) 等腰三角形的高线（从底边的中点垂直于顶点的线段）相等。

4. 直角三角形的性质(1) 直角三角形的斜边是最长的边；(2) 直角三角形的两个锐角互余，也就是说，两个锐角之和等于90度。

5. 等边三角形的性质(1) 等边三角形的三个内角都等于60度；(2) 等边三角形的高线、中线、角平分线以及垂心、重心、外心、内心都重合于一个点。

6. 三角形的面积公式三角形的面积公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2。

第11章《三角形》重难点复习

【例2-1】如图,CD为△ABC的AB边上的中线,△BCD的周长比 △ACD的周长大3cm,BC=8cm,求边AC的长.
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3，
D
∴BC-AC=3，
∵BC=8，∴AC=5．
解:(1)由∠C=54º知∠A+∠B=180º-54º=126º①, 又∠A-∠B=16º②,由①②解得∠A=71º,∠B=55º;
(2)设∠A=2x,∠B=3x,∠C=4x, 则2x+3x+4x=180º,解得x=20º, ∴∠A=40º,∠B=60º,∠C=80º.
10.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180º,求这个多边形的边数．
②当x+2x=15,BC+x=12,解得x=5,BC=7，此时△ABC的三边长为AB=AC=10,BC=7．
无图时，注意分类讨论
【例2-3】如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE是∠BAC的平分线.(1) 求∠DAE=1（∠C-∠B）; (2)指出AD是哪几个三角形的高.
2
解:(1)略
(2)AD是△ABE、△ABD 、△ABC、△AED、△AEC、 △ADC的高.
B
A C
【例2-2】如图,D是△ABC的边BC上任意一点,E、F分别是线段 AD、CE的中点,且△ABC的面积为24,求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=0.5S△ABD，S△ACE=0.5S△ADC， ∴S△ABE+S△ACE=0.5S△ABC=0.5×24=12， ∴S△BCE=0.5S△ABC=0.5×24=12，

三角形的相关证明期末复习

角与角的关系
内角和定理
三角形的内角和等于180度。
外角定理
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
边与边的关系
三角形的两边之和大于第三边
在三角形中，任意两边之和大于第三边。
三角形的两边之差小于第三边
在三角形中，任意两边之差小于第三边。
等腰三角形的性质与
02
证明
形的全等的证明
04
SSS全等条件
定义
如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明方法
利用边边边定理，通过比较三边长度来确定三角形是否全等。
适用场景
当已知三角形的三边长度时，可以使用此条件进行全等证明。
SAS全等条件
定义
如果两个三角形有一边和两角分别相等，则这两个三角形全等。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应边长之间存在一定的比例关系。
面积比恒定
相似三角形的面积之比等于其对应边长比的平方。
三角形相似的判定
角角判定
如果两个三角形的两组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
边边判定
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
角边判定
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，并且这两个三角形中相对的一组对应边成比例，则这两个三角形相似。
如果一个三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。
如果一个三角形中，两条边的比值为1:2或2:1，则这个三角形是直角三角形。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，即$c^2 = a^2 + b^2$。

2020-2021学年苏教新版数学四年级下册期末学业考复习：三角形的特征(解析版)

2020年苏教新版四年级下册重难点题型训练第七章《三角形、平行四边形和梯形》第一课时：三角形的特征参考答案与试题解析一．选择题1．（2020模拟秋•扬州期末）李红有两根小棒，长度分别是4厘米和9厘米，他准备再用一根小棒和它们围一个三角形．第三根小棒的长可能是厘米．()A ．4 B ．7 C ．13 D ．15【解答】解：（厘米）945-=（厘米）4913+=第三根小棒的范围是：5厘米第三边厘米，<13<选项中符合的只有7厘米．故选：．B 2．（2020模拟春•大田县期末）用三根长度为整厘米数的小棒围成一个三角形，如果其中两根小棒分别长、，那么第三根小棒最短是．8cm 10cm ()cm A ．2 B ．3 C ．9 D ．17【解答】解：第三边108-<108<+所以：第三边，2<18<即第三边的取值在厘米（不包括2厘米和18厘米），2~18所以最短为：（厘米）；213+=故选：．B 3．（2020模拟秋•桑植县期末）下面4组木条，根据木条的长度判断，组不能围成三角形．()A ． B ． C ． D ．5cm 5cm 5cm 8cm 6cm 12cm 1cm 2cm 3cm 3m 3m 5m 【解答】解：、因为，两边之和大于第三条边，所以三边能围成三角形；A 555+>、因为，所以三边能围成三角形；B 6812+>、因为，所以三边不能围成三角形；C 123+=、因为，所以三边能围成三角形；D 335+>故选：．C 4．（2020模拟秋•新泰市校级期中）一个三角形的两条边分别是6厘米和7厘米，那么第三条边的长度可能是 ()A ．1 厘米 B ．0.5 厘米 C ．3 厘米 D ．13 厘米【解答】解：第三边，76-<76<+所以：第三边，即另一条边的长应在厘米之间（不包括1厘米和13厘米）；1<13<1~13可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12厘米；故选：．C 5．（2020模拟秋•上海期中）下列图形中，最具有稳定性、不易变形的特性的是 ()A ．三角形 B ．平行四边形 C ．正方形 D ．长方形【解答】解：三角形具有不易变形的特性，平行四边形具有易变性，正方形、长方形都可以拉成平行四边形，所以也具有易变性；故选：．A 6．（2020模拟春•电白区期中）下列图形中，具有稳定性的图形是 ()A ．梯形 B ．长方形 C ．三角形【解答】解：三角形具有稳定性；故选：．C 7．（2020模拟秋•靖州县期末）下列几组长度能拼成三角形的是 ()A ．、、 B ．、、 C ．、、4cm 5cm 9cm 3cm 6cm 10cm 4cm 6cm 5cm 【解答】解：、，所以不能围成三角形；A 459+=、，所以不能围成三角形；B 36910+=<、，所以能围成三角形；C 4596+=>故选：．C8．（2020模拟秋•新泰市期中）一个三角形的两条边分别是6厘米和8厘米，那么第三条边的长度可能是 ()A ．1厘米 B ．2厘米 C ．3厘米 D ．14厘米【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于，而小于，862-=8614+=第三边，结合选项可知：可以是3厘米；2<14<故选：．C 二．填空题9．（2020模拟春•沛县月考）如果一个三角形的两条边分别为5厘米、9厘米，那么第三条边最长是　13厘米　，最短是厘米．（填整厘米数）【解答】解：第三边95-<95<+所以：第三边4<14<即第三边的取值在厘米（不包括4厘米和14厘米），4~14因为三条边都是整厘米数，所以第三边最长为：厘米），最短为：（厘米）；14113-=415+=故答案为：13厘米，5．10．（2020模拟春•肇州县校级期末）两根小棒长分别是4厘米、8厘米，要围成一个三角形，第三根小棒应该比　4　厘米长，比厘米短．【解答】解：8412cm +=844cm -=所以第三根小木棒的长度应该介于和之间．4cm 12cm 故答案为：4，12．11．（2020模拟春•郾城区期末）自行车利用了三角形的　稳定性　，伸缩门是利用了平行四边形的．【解答】解：自行车利用了三角形的稳定性，自动伸缩门是利用了平行四边形的易变性；故答案为：稳定性，易变性．12．（2020模拟春•武侯区期末）用三根长度分别是、和小棒围三角形，　不能　围10cm 5.7cm 3.2cm 成．（填“能”与“不能”)【解答】解：，所以不能围成三角形；5.7 3.210+<故答案为：不能．13．（2020模拟春•高密市期末）小红用一根长的铁丝围成了一个三边长都为整厘米数的三角形，它的14cm 边长可能是、　3　、．6cm cm cm 【解答】解：，35614++=，符合构成三角形的条件，所以，它的三边长可能是，，．356+>6cm 3cm 5cm 故答案为：3，5．（答案不唯一）14．（2020模拟春•新华区期末）升降机可以上下活动是利用了平行四边形的　易变性　；篮球架中的三角形，是利用了三角形的．【解答】解：升降机可以上下活动是利用了平行四边形的易变性；篮球架中的三角形，是利用了三角形的稳定性．故答案为：易变性，稳定性．三．判断题15．（2020模拟秋•龙州县期末）用3厘米、4厘米和5厘米长的三根小棒可以围成一个三角形．．（判断对错）√【解答】解：根据三角形的三边关系，知，所以能围成三角形，345+>所以上面的说法是正确的．故答案为：．√16．（2020模拟秋•永州期末）自行车的框架是三角形，它是运用三角形的稳定性设计的．（判断对√错）．【解答】解：因为三角形具有稳定性，自行车的三角架是利用三角形不易变形（稳定性）的特性；原题说法正确．故答案为：．√17．（2020模拟春•榆树市校级期末）用、、长的三根绳子不能围成三角形，（判断对4cm 7cm 10m ⨯错）【解答】解：因为：，所以能围成一个三角形；4710+>原题说法错误．故答案为：．⨯18．（2020模拟春•永年区期末）用三条分别长为4厘米、5厘米、6厘米的线段可以围成一个三角形． √（判断对错）【解答】解：，所以能够组成三角形，故原题说法正确；456+>故答案为：．√19．（2020模拟春•市南区校级期末）用三根长度分别是7厘米、5厘米、14厘米的小棒可以围成一个等腰三角形．（判断对错）⨯【解答】解：7厘米、5厘米、14厘米的小棒，各不相等，所以用三根长度分别是7厘米、5厘米、14厘米的小棒不可以围成一个等腰三角形，故原题说法错误；故答案为：．⨯20．（2020模拟春•邹城市期末）用三根分别长、和的小棒能拼成一个三角形．（判断12cm 4cm 8cm ⨯对错）【解答】解：因为4812+=所以这三根小棒不能组成三角形．原题说法错误．故答案为：．⨯四．计算题21．如图，一个三角形的三条边都是整厘米数，第一条边长是，第二条边长，第三条边最长是几4cm 6cm 厘米？最短又是几厘米呢？【解答】解：第三边，64-<46<+所以：第三边，2<10<即第三边的取值在厘米（不包括2厘米和10厘米），2~10因为三条边都是整厘米数，所以第三条边最长为：（厘米），最短为：（厘米）；1019-=213+=答：第三条边最长是9厘米，最短是3厘米．22．将一条长10厘米的绳子剪成整厘米长的三段，拼成一个三角形，它的最长边最长是几厘米？【解答】根据三角形两边之和大于第三边，所以：1021÷-51=-（厘米）4=答：它的最长边最长是4厘米．五．应用题23．木匠王伯伯要用3根木条钉一个三角形框架．他的材料中有以下4根木条，请你帮王伯伯选一选．你能想出几种选法？分别写一写．【解答】解：、，、选择其中三根组成一个三角形的有：7cm 8cm 15cm 13cm ①、、7cm 8cm 13cm ②、、7cm 15cm 13cm ③、、8cm 15cm 13cm 答：一共有3种选法，分别是：①、、，②、、，③、、．7cm 8cm 13cm 7cm 15cm 13cm 8cm 15cm 13cm 24．用一根长18厘米的铁丝围成一个等腰三角形，且三条边的长都是整厘米数，有多少种围法？【解答】解：等腰三角形的周长腰底=2⨯+即：，，一共有2种方法．66618++=55818++=答：一共有2种不同围法．25．我想用木条做一个三角形，选了两根长和的木条，还要选一根整数分米长的木条．5dm 8dm 请你帮他想一想，要使第三根最短，应选多少分米最合适？【解答】解：第三边，85-<58<+第三边，所以第三根木条最短需要．3<13<4dm 答：要使第三根最短，应选4分米最合适．六．解答题26．（2020模拟春•沛县月考）一个等腰三角形两条边的长度分别是5厘米和11厘米，这样的三角形有几个？周长是多少厘米？【解答】解：根据分析，这样的三角形共有两个；以腰为11厘米，底为5厘米时，周长为：（厘米）；1111527++=以腰为5厘米，底为11厘米时，周长为：（厘米）．551121++=答：有两个这样的三角形，周长分别为27厘米和21厘米．27．（2020模拟春•明光市期末）一个三角形的两边长分别是6厘米和9厘米，第三条边的长度一定大于　3　厘米，同时小于厘米．【解答】解：第三边，96-<96<+即第三边．3<15<故答案为：3；15．28．（2020模拟春•厦门期末）王老师给同学们准备了一些小棒，数量如图．选用其中的部分小棒搭成一个长方体．（1）长方体一共有　12　条棱，每组相对的棱有条，因此，不可能选用的小棒．cm （2）这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是、和．cm cm cm （3）计算这个长方体的表面积．【解答】解：（1）长方体一共有 12条棱，每组相对的棱有 4条，因此，不可能选用的小棒．8cm （2）这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度分别是、和．5cm 4cm 4cm （3）(545444)2⨯+⨯+⨯⨯(202016)2=++⨯562=⨯（平方厘米）112=答：这个长方体的表面积是112平方厘米．故答案为：12，4，8；5，4，4．29．（2020模拟春•射阳县月考）一个三角形两边分别是6厘米和9厘米，第三条边的长度一定大于多少厘米？同时小于多少厘米？【解答】解：第三边，96-<96<+即3厘米第三边厘米．<15<答：第三条边的长度一定大于3厘米，同时小于15厘米．30．（2020模拟•云岩区）有五根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？请列举出来．【解答】解：根据分析知，共有以下情况，①2厘米，3厘米，4厘米；②3厘米，4厘米，5厘米；③2厘米，4厘米，5厘米；答：一共可以拼成3个不同的三角形，分别为2厘米，3厘米，4厘米；3厘米，4厘米，5厘米；2厘米，4厘米，5厘米．31．（2020春•纳雍县月考）一根27厘米长的铁丝，可以围成边长是几厘米的等边三角形？【解答】解：（厘米）；2739÷=答：这个三角形的边长是9厘米的等边三角形．。

三角形知识点复习(经典归纳)

三角形知识点复习(经典归纳)初二上册知识点：三角形复习1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，2、三角形的表示三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.三个顶点用大写字母A,B,C 来表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义．3、三角形的分类： (1)按边分类：（2）按角分类三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形（）（）等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形大于0度钝角三角形_C _B _A21DC B AD C B A4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：（1）AD 是△ABC 的BC 上的中线.（2）BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：（1）AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.（2）∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内A 部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法①AD 是△ABC 的BC 上的高线②AD ⊥BC 于D ③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）5、三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是∆ABC 的角平分线；② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC . (2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC =21BC . (3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：① A M 是∆ABC 的高；② A M 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ；④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB =∠AMC =90︒.⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.(2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.ABC D E 图图2如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.6、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．图3图4图5图6 图77、三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.8、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。

复习三角形(小结)完整版课件

多
边
多边形的
形
内外角和
正多边形
考点讲练
考点一：三角形的三边关系
归纳三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.
针对训练
C
归纳等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意三边是否构成三角形.
要点梳理
1. 三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
2. 三角形的分类
三边都不相等的三角形
按边分
腰和底不等的等腰三角形
等腰三角形等边三角形
锐角三角形
按角分直角三角形
钝角三角形
3. 三角形的高、中线与角平分线高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图. 中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点（重心），如图. 角平分线：三条角平分线相交于一点，如图 .
三角形的周长是
．
【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
化归思想
A
C O
B
D
A
BG
E F
C
D
课堂小结
与三角形有关的线段
三角形
与三角形有关的角
三角形的边：三边关系定理高线中线：把三角形面积平分角平分线
内角与外角关系
三角形的分类
定义
对角线
多边形转化为三角形和四边形的重要辅助线
针对训练
5
考点二：三角形中的重要线段
无图时，注意分类讨论
归纳
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.

教学内容认识三角形的定义和特征

教学内容:认识三角形的定义和特征教学目标: 1.使学生认识三角形，理解三角形的定义和特征。

2.让学生能够按照三角形的内角的不同对三角形进行分类，同时培养学生的实际操作能力、观察能力以及形象思维能力等。

课前准备：多媒体课件制作；三角形、长方形的模型；每个同学准备六个不同的三角形。

教学过程：一、复习１、指出下列图形中哪些是线段？（屏幕显示）２、说出下列各角是什么角？（屏幕显示）以(2)为例，说出角各部分的名称。

（屏幕显示）二、新授１、我们已经认识了角和线段，今天我们将一起来学习一种由线段和角组成的图形，叫做三角形。

（板书：三角形）２、在一年级时，我们就初步认识了三角形，谁能说说看日常生活中，那些物体的面是三角形的？（学生举例，电脑显示各种实物）３、虽然它们的大小、颜色、材料各不相同，但从它们的外形来看，它们外形都是三角形的。

（实物隐去，显示三角形）４、这些图形都叫做三角形。

今天我们进一步来认识和研究三角形。

（板书课题：三角形的认识）５、对照图形，谁能用自己的语言来说说看，什么样的图形叫做三角形呢？根据学生回答的可能性，逐个显示（屏幕显示）提问：这样的图形是三角形吗？那么三条线段要怎样放才能得到一个三角形呢？（动态显示）引导学生得出：由三条线段围成的图形叫做三角形（板书）６、教学三角形的特征。

（板书：特征）(1) 这三条线段叫做三角形的边。

（显示）三角形有几条边？(2) 每两条线段相交于一个点（闪烁），这个点叫做三角形的顶点（显示）三角形有几个顶点？(3) 三角形除了有三条边，三个顶点，还有三个什么？（三个角显示）７、练习下面就请同学们根据三角形的特征来判断一下。

Ｐ.147 练习三十一的第一题。

（同屏显示）下面图形中，哪个是三角形？哪个不是三角形？为什么？（屏幕显示）８、教学三角形的稳定性(1) 出示一个三角形、一个长方形的模型，提问：各由几条线段围成的。

(2) 请两位同学上前来拉拉看，看一看这两个模型的形状会发生什么变化？（长方形容易变形，三角形不易变形）(3) 指出，这是三角形的特性，具有稳定性。