高中数学第二章函数2.3函数的应用Ⅰ课堂导学案

2.3 函数的应用（Ⅰ）课堂导学三点剖析一、求函数的解析式【例1】设计一水槽，其横截面为等腰梯形，要求AB+BC+CD=3，∠ABC=120°.(1)写出横截面面积S 用腰长x 表示的函数关系式，并求出定义域.(2)问当腰长为多少时，横截面面积最大？最大值是多少？思路分析：这是几何图形方面的应用题，运用几何图形的性质求出与面积有关的量(用x 表示)，据面积公式列出关系式，注意实际问题中的定义域.解:(1)设AB=CD=x,则BC=3-2x.又作BE⊥AD 于点E,∵∠ABC=120°,∴∠BAE=60°. ∴BE=23x,AE=2x ,AD=BC+2AE=3-2x+x=3-x. ∴S=21(AD+BC)∙BE =21(3-x+3-2x)∙23x =.2334332x x +- ∵AB>0,BC>0,∴⎩⎨⎧>>0.2x -30,x ∴0<x<23,即定义域为(0,23). (2)S=433-(x-1)2+433. ∴当x=1时，S max =433. 二、求实际问题的最值【例2】某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 思路分析：(2)根据所给数据关系，列出公司月收益函数关系从而求出最大值. 解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为5030003600-=12, ∴租出了100-12=88辆.(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租凭公司的月收益为 f(x)=(100503000--x )(x-150)503000--x ×50 =502x -+162x-21 000 =501-(x-4 050)2+307 050. 当x=4 050时，f(x)最大，其最大值为307 050元.温馨提示根据题意设出未知量，列出正确的函数关系式是解决应用题的基本方法之一. 利用二次函数求实际问题的最值时要配方并且由对称轴与定义域区间的相对位置求之.三、从不同的方案中选优问题【例3】某私营企业老板对企业有突出贡献的某员工加薪，有两种加薪方案供员工选择：方案一：每年年末加薪1 000元；方案二：每半年加薪300元.〔注：每年年末加薪a 元，即是原薪金为m 元，则加薪第一年总薪金应为m+a 元，第二年薪金应为(m+a)+a 元，第三年薪金应为(m+a)+a+a 元〕(1)设该员工在此私企再工作2年，试问该员工根据自己需继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由；(2)设该员工在此私企继续工作x 年，试问该员工根据自己需继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由.〔注：m+(m+a)+(m+2a)+(m+3a)+…+［m+(x-1)a ］=mx+2)1(-x x a 〕 解析：(1)选择方案一，第1年加薪=1000，第2年加薪=2000，2年加薪总额=3000；选择方案二，第1年加薪=900，第2年加薪=2100，2年加薪总额=3000，因此，该员工选择哪个加薪方案都一样.(2)选择方案一的加薪总额为1000x+10002)1(∙-x x =500x 2+500x. 选择方案二的加薪总额为3002)12(22300∙-+∙x x x =600x 2+300x. ∵(500x 2+500x)-(600x 2+300x)=-100(x 2-2x),∴0<x<2,即x=1(工作1年)时，选择方案一；x=2(工作2年)时，两种方案一样；x>2(工作3年以上)时，选择方案二.温馨提示若一个题目中含有2个或多个数学模型时，要想判断哪个模型更好，可以利用比较大小的方法，进行作差、判断符号，也可利用图象法，分别作出函数图象，由图象直接观察. 各个击破类题演练1某商人购货,进价已按原价30元/件扣去25%,他希望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后,仍可获得售价25%的纯利,那么此商人经营这种货物时,按新价让利总额y 与货物数x 之间的函数关系是________.解析：设每件货物的新价为a 元,则销售价为a(1-20%)=a×80%(元/件),而进价为30(1-25%)=30×75%(元/件),因此,销售每件货物的利润为a×80%-30×75%,由题意,知a×80%-30×75%=a×80%×25%,所以a=275,故y=a×20%x=215x, 即y 与x 之间的函数关系是y=215x(x∈N ). 答案：y=215x(x∈N ) 变式提升1某人开汽车以60 km/h 速度从A 地到150 km 远处的B 地,在B 地停留1 h 后,再以50 km/h 的速度返回A 地.把汽车离开A 地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A 地出发时开始)的函数,并画出函数的图象.解析：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是x=⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈∈]5.6,5.3(),5.3(50150],5.3,5.2(,150],5.2,0[,60t t t t t 它的图象如图所示.类题演练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数 R(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤400.x 000, 80400,x 0 ,x 21 -400x 2 其中x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x).(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润) 解析：(1)设月产量为x 台，则总成本为20 000+100x ，从而 f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-.400,10060000,4000,20000300212x x x x x(2)当0≤x≤400时，f(x)=21-(x-300)2+25 000; 当x=300时，f(x)max =25 000;当x>400时，f(x)=60 000-100x 是减函数,f(x)<60 000-100×400<25 000.∴当x=300时，利润最大为25 000元.变式提升2某厂生产一种机器的固定成本(即因定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x 22x -(万元)(0≤x≤5),其中x 是产品售出的数量(单位:百台). (1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?解析：(1)当x≤5时,产品能售出x 百台;当x>5时,只能售出5百台,故利润函数为L(x)=R(x)-C(x) =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--5),25.05.0()2555(50),25.05.0()25(22x x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--.5,25.012,50,5.0275.42x x x x x (2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x 22x --0.5,当x=4.75时得L(x)max =10.781 25万元. 当x>5时,L(x)<12-1.25=10.75(万元).∴生产475台时利润最大.类题演练3商店出售茶壶与茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶送一个茶杯,②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个).设购买茶杯数x 个,付款为y(元),试分别建立两种优惠办法中,y 与x 的函数关系式,并指出如果该顾客需要购买茶杯40个,应选择哪种优惠办法?解析：由优惠办法(1)得函数关系式为y 1=20×4+5(x -4)=5x+60(x≥4,x∈N *).由优惠办法(2)得函数关系式为y 2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N *).当该顾客购买茶杯40个时,采用优惠办法(1)应付款y 1=5×40+60=260元;采用优惠办法(2)应付款y 2=4.6×40+73.6=257.6元,由于y 2<y 1,因此应选择优惠办法(2).变式提升3经过调查发现,某种新产品在投放市场的100天中,前40天其价格直线上升,而后60天其价格则呈直线下降趋势,现抽取其中4天的价格如下表所示:(2)若销售量g(x)与时间x 的函数关系是g(x)=31-x+3109(1≤x≤100,x∈N ),问该产品投放市场第几天时日销售额最高,最高值为多少千元?解析：(1)用待定系数法不难得到f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧N ∈≤≤+-N ∈≤≤+,,10040,5221,,401,2241x x x x x x (2)设日销售额为S,当1≤x<40时,S=(41x+22)(31-x+3109) =121-(x 2-21x-9 592), ∴x=10或11时,S max =129702=808.5(千元). 当40≤x≤100时, S=(21-x+52)(31-x+3109) =61(x 2-213x+11 336), ∴x=40时,S max =736(千元).综上分析,日销售额最高是在第10及第11两天,最高销售额为808.5千元.。