2019年高考试题(北京卷)-数学(理)

2019年高考试题（北京卷）-数学（理）

注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！

无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

2018年普通高等学校招生全国统一考试〔北京卷〕

数学〔理科〕

第一部分〔选择题共40分〕

【一】选择题共8小题。每题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。

1.集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，那么A∩B=()

A.{0}

B.{－1，0}

C.{0，1}

D.{－1,0,1}

2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.执行如下图的程序框图，输出的S值为

A.1

B.2

3

C.

13

21

D.

610

987

5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e x关于y轴对称，那么f(x)=

A.1e x +

B.1e x -

C.1e x -+

D.1e x --

6.假设双曲线22

221x y a b

-=

A.y =±2x

B.y

= C.12y x =±

D.y x = 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，那么l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43B.2C.83

D.3 8.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩

表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，

求得m 的取值范围是 A.4,3⎛

⎫-∞- ⎪⎝⎭B.1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭

第二部分〔非选择题共110分〕

【二】填空题共6题，每题5分，共30分.

9.在极坐标系中，点(2，6

π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.假设等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，那么公比q =；前n 项和S n =

.

11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，

916

PD DB =，那么PD=，

AB=.

12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是.

13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如下图，假设c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，那么λμ

=

14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为

.

【三】解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演2018年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程

15.(本小题共13分)

在△ABC 中，a =3，b

，∠B =2∠A .

(I)求cos A 的值，

(II)求c 的值

16.(本小题共13分)

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天

〔Ⅰ〕求此人到达当日空气重度污染的概率

〔Ⅱ〕设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望。

〔Ⅲ〕由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？〔结论不要求证明〕

17.(本小题共14分)

如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.

〔Ⅰ〕求证：AA 1⊥平面ABC ；

〔Ⅱ〕求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；

〔Ⅲ〕证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1

BD BC 的值.

18.(本小题共13分)

设l 为曲线C ：ln x y x

=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方

19.(本小题共14分)

A 、

B 、

C 是椭圆W ：2

214

x y +=上的三个点，O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积.

(II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.

20.(本小题共13分)

{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n

(I)假设{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *

，4n n a a +=)，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；

(II)设d 为非负整数，证明：d n =－d (n =1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列；

(III)证明：假设a 1=2，d n =1(n =1,2,3…)，那么{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1