2010级高二上期末复习

2010级高二上期末复习卷(二)班级_______________姓名_______________1．命题“∃x 0∈R ，x 02－1＜0”的否定为____． ∀x 0∈R ，x 02－1≥0 2．设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则z 2＋ 2—z＝____． 1＋3i3．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i (a ∈R )是纯虚数，则｜z ｜＝______． 2 4．(1)函数y ＝x 3－3x 的单调增区间为____； (－∞，－1]和[1，＋∞) (2)函数y ＝x ln x 的单调减区间为____； (0，1e] 5．已知f (x )＝x sin x ，则f (x )的图象在x ＝π2 处的切线方程为___． x －y ＝0(理)已知f (x )＝ln(5x + 1)，则f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为___． 5x －y ＝0 6．已知函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内可导，其图象如右图所示，记函数y ＝f (x )的导函数y ＝f’(x )， 则不等式xf’(x )≤0的解集为_． (－32，－12]∪[0，1](理)⎛⎠ 1-2(12x + 1)d x ＝____________． 947．(1)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是__；[13，＋∞)(2)若函数f (x )＝3x ＋ln x 在区间[m ，m ＋2]上单调递减，则实数m 的取值范围为_； (0，1](3)已知f (x )＝x 3＋kx 2是区间[0，2]上的单调减函数，则实数k 的取值范围为_．(－∞，－3] 8．函数y ＝e x －x －1的极小值为______． 09．函数y ＝12x －cos x 在区间[－π2，π2]的最大值为__，最小值为__． π4，－π12－3210．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，在x ＝1与x ＝－2时，都取得极值，则a ＋b ＝__． －9211．已知f (5) = 5，f '(5) = 3，g (5) = 4，g'(5) = 1，设h (x ) =f (x ) + 2g (x )，则h'(5)＝__． 51612．已知函数f (x )＝ax －x 4，x ∈[12，1]，A ，B 是其图象上不同的两点．若直线AB 的斜率k总满足12≤k ≤4，则实数a 的值为____． 9213．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，1ABCD1A 1B 1C 1D E＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为____． 1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 214．(理)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1D 1的中点， 则DE 与CB 1所成的角的余弦为_____．10515．设复数z 满足：①在复平面内对应的点位于第二象限；②z ·－z ＋2i z ＝8＋a i ．求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i ，其中x ＜0，y ＞0．由题意，z ·－z ＋2i z ＝x 2＋y 2＋2x i －2y ＝(x 2＋y 2－2y )＋2x i＝8＋a i ．即⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a ，所以a 24＝－y 2＋2y ＋8＝－(y －1)2＋9，又因为y ＞0，所以a 24≤9，又a ＝2x ＜0，故a 的取值范围为[－6，0)．16．设函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx ，已知g (x )＝f (x )－f’(x )是奇函数．求：(1)实数m ，n 的值；(2)函数g (x )的单调区间及在区间[－2，3]上的最值． 解 (1)f ’(x )＝3x 2＋2mx ＋n ．所以g (x )＝f (x )－f ’(x )＝x 3＋(m －3)x 2＋(n －2m )x －n 为奇函数， 故m －3＝0，且－n ＝0，解得m ＝3，n ＝0． (2) g (x )＝x 3－6x ．令g ’(x )＝3x 2－6≤0，解得－2≤x ≤2；同理令g ’(x )≥0，解得x ≤－2，或x ≥2． 即g (x )的单调增区间为(－∞，－2]和[2，＋∞)，单调减区间为[－2，2]．又 x (－2，－2) － 2 (－2，2) 2 (2，3) g ’(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗g (－2)＝4，g (3)＝9，g (－2)＝42，g (2)＝－42． 故g (x )min ＝g (2)＝－42，g (x )max ＝g (3)＝9．17．点P (1，0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线，设h (x )＝f (x )－g (x )．(1)求a ，b ，c 的值；(2)若h (x )在(t ，t ＋1)上单调递减，求t 的取值范围．解 (1)因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(1，0)，所以f (1)＝0， 即1＋a ＝0，所以a ＝－1．g (1)＝0，即b ＋c ＝0，所以c ＝－b ．又因为f (x )，g (x )在点(1，0)处有相同的切线，所以f '(1)＝g '(1)，而f '(x )＝3x 2＋a ，g '(x )＝2bx ，所以3＋a ＝2b ．所以b ＝1． 因此c ＝－b ＝－1．故a ＝－1，b ＝1，c ＝－1；(2) h (x )＝f (x )－g (x )＝x 3－x －x 2－1，h '(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)． 由h '(x )＜0，解得－13＜x ＜1， 所以h (x )的单调递减区间为(－13，1)．h (x )＝f (x )－g (x ) 在(t ，t ＋1)上单调递减，所以(t ，t ＋1)⊆(－13，1)，所以t 的取值范围为[－13，0]．18．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记CD ＝2x ，梯形面积为S ．求：(1)面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)面积S 的最大值．解 (1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O -xy ，则点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，解得y ＝2r 2－x 2(0＜x ＜r )．S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r ) ·r 2－x 2，定义域为(0，r )． (2)记f (x )＝S 2＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)，0＜x ＜r ，则f’(x )＝8(x ＋r )2(r －2x )． 令f’(x )＝0，得x ＝12r ．因为当0＜x ＜r 2时，f’(x )＞0，当r 2＜x ＜r 时，f’(x )＜0，所以当x ＝r2时，f (x )取最大值．故当x ＝r 2时，S 也取得最大值，即梯形面积S 的最大值为332r 2．19．已知函数f (x )＝ax 3－2ax 2＋b (a ≠0)，是否存在实数a ，b 使得f (x )在区间[－2，1]上的最大值为5，最小值为－11．若存在，请求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 解 假设满足条件的a ，b 存在． 令f ’(x )＝3ax 2－4ax ＝0，因为a ≠0，解得x ＝0或x ＝43(舍)．当a ＞0时， x (－2，0) 0 (0，1) f ’(x ) ＋ 0 － f (x ) ↗ 极大值 ↘ f (0)＝b ，f (－2)＝b －16a ，f (1)＝b －a ＞f (－2)，故⎩⎨⎧y max ＝b ＝5，y min ＝b －16a ＝－11，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝5．A1当a ＜0时， x (－2，0) 0 (0，1) f ’(x ) － 0 ＋ f (x ) ↘ 极小值 ↗ f (0)＝b ，f (－2)＝b －16a ，f (1)＝b －a ＜f (－2)，故⎩⎨⎧y max ＝b －16a ＝5，y min ＝b ＝－11，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－11． 综上所述，⎩⎨⎧a ＝1，b ＝5，或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－11．(理)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，O 为AC 的中点，A 1O ⊥平面ABC ，A 1O ＝3．以O 为坐标原点，OC ，OA 1所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求证：AC 1⊥平面A 1BC ；(2)求AB 与平面A 1BC 所成角的正弦值； (3)求二面角A －A 1B －C 余弦值的大小． 解 (1)由题意，A (0，－1，0)，A 1(0，0，3)， B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，2，3)．所以→AC 1＝(0，3，3)，→BC ＝(－2，0，0)，→A 1C ＝(0，1，－3)．设平面A 1BC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥→BC ，n ⊥→A 1C ， 即⎩⎪⎨⎪⎧n ·→BC ＝－2x ＝0，n ·→A 1C ＝y －3z ＝0， 令z ＝1，得n ＝(0，3，1)．所以→AC 1∥n ，即AC 1⊥平面A 1BC ．(2) →AB ＝(2，2，0)．设AB 与平面A 1BC 所成的角为θ．cos<→AB ，n >＝→AB ·n ｜AB ｜｜n ｜＝23 22×2 ＝64．故sin θ＝｜cos<→AB ，n >｜＝64．(3) 设平面AA 1B 的法向量m ＝(x ，y ，z )，→AA 1＝(0，1，3)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥→AB ，m ⊥→AA 1， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AB ＝2x ＋2y ＝0，m ·→AA 1＝y ＋3z ＝0， 令z ＝1，得m ＝(3，－3，1)．cos<m ，n >＝m ·n ｜m ｜｜n ｜＝－3＋12×7＝－77．故二面角A －A 1B －C 余弦值为77．20．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2图象上一点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝－3x ＋2ln2＋2．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间[1e，e]的极值；(3)若方程f (x )＋m ＝0在[1e，e]内有两个不等实根，求m 的取值范围．解 (1)由题意，f ’(x )＝ax －2bx ，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝a ln2－4b ＝2ln2－4，f '(2)＝a 2－4b ＝－3， 解得a ＝2，b ＝1．(2)f (x )＝2ln x －x 2，x ＞0．令f ’(x )＝2x －2x ＝0，解得x ＝1．x (1e ，1) 1 (1，e)f ’(x ) ＋ 0 － f (x ) ↗ 极大值 ↘所以f (x )极大值＝f (1)＝2ln1－12＝－1．(3)f (1e )＝2ln 1e －(1e )2＝－2－1e2 ，f (e)＝2lne －e 2＝2－e 2．所以f (x )∈[2－e 2，－1]．由题意，－m ＝f (x )有两个不等的实根，即－2－1e 2≤－m ＜－1，即m 的取值范围为(1，2＋1e2]．(理)已知(x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋ a 2(x －1)2＋ a 3(x －1)3＋… ＋ a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值； (2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n ．试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)( n －1)3．解 (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋ a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋ a 5(x －1)5． 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243． (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，当n ＝2时，(x ＋1)2＝a 0＋a 1(x －1)＋ a 2(x －1)2．令x ＝0得a 0－a 1＋a 2＝1，令x ＝1得a 0＝4，令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＝9， 解得a 0＝4，a 1＝4，a 2＝1；当n ＝3时，(x ＋1)3＝(x ＋1)2(x ＋1)＝[4＋4(x －1)＋(x －1)2][(x －1)＋2]，解得a 0＝8，a 1＝12，a 2＝6；当n ＝4时，(x ＋1)4＝(x ＋1)3(x ＋1)＝[8＋12(x －1)＋6(x －1)2＋…][(x －1)＋2]，解得a 0＝16，a 1＝32，a 2＝24．猜想a 0＝2n ，a 1＝n 2n －1，a 2＝n (n －1)2n －3．当n ＝1时，显然成立；假设n ＝k 时，a 0＝2k ，a 1＝k 2k －1，a 2＝k (k －1)2k －3，即(x ＋1)k ＝2k ＋k 2k －1 (x －1)＋k (k －1)2k －3(x －1)2＋…； 当n ＝k ＋1时，(x ＋1) k ＋1＝(x ＋1)k (x ＋1)＝[2k ＋k 2k －1(x －1)＋k (k －1)2k －3(x －1)2＋…][(x －1)＋2]， 解得a 0＝2k ＋1，a 1＝2k 2k －1＋2k ，a 2＝k 2k －1＋2k (k －1)2k －3＝k 2k －2(2＋k －1) ＝k (k ＋1)2(k +1)－2．综上所述，a 2＝n (n －1)2n －3，所以b n ＝a 22n －3＝n (n －1)，n ≥2．当n ＝2时，左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)( 2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立；假设当n ＝k 时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)( k －1)3；当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)( k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)( k －1)3＋(k ＋1)k＝k (k ＋1)( k ＋2)3＝(k ＋1)[( k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边，等式成立． 综上所述，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)( n －1)3．。