浙江省温州市高一数学下册期中考试题

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浙江省温州市高一下学期期中数学试卷

浙江省温州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，则（）A .B . 或C .D .2. （2分）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b= mq－np，下面说法错误的是（）A . 若a与b共线，则a⊙b =0B . a⊙b =b⊙aC . 对任意的R，有（a）⊙b =（a⊙b）D . （a⊙b）2+（a·b）2= |a|2|b|23. （2分）(2013·陕西理) 设，为向量，则| • |=| || |是“ ∥ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知向量 =（1，t）， =（﹣2，1），若∥ ，则t=（）A . ﹣2B .C . 2D .5. （2分） (2019高一下·镇江期末) 在边长为1的正方形中，等于（）A . 1B .C .D . 26. （2分）若角的终边上有一点，则a的值是（）A .B .C .D .7. （2分）已知，则角x= （）A .B .C .D .8. （2分）函数y=cos22x﹣sin22x是（）A . 最小正周期为π的奇函数B . 最小正周期为π的偶函数C . 最小正周期为的奇函数D . 最小正周期为的偶函数9. （2分） P是△ABC所在平面上一点，满足++=2，若S△ABC=12，则△PAB的面积为（）A . 4B . 6C . 8D . 1610. （2分）函数f（x）=tan（x+ ），g（x）= ，h（x）=cot（﹣x）其中为相同函数的是（）A . f（x）与g（x）B . g（x）与h（x）C . h（x）与f（x）D . f（x）与g（x）及h（x）11. （2分）(2017·宿州模拟) 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移4个单位，得到函数g（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数g（x）的图象（）A . 关于点（﹣2，0）对称B . 关于点（0，﹣2）对称C . 关于直线x=﹣2对称D . 关于直线x=0对称12. （2分） (2017高三下·鸡西开学考) 在△ABC中，若| + |=| ﹣ |，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则• =（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·上海期中) 若向量、满足| |=2，且与的夹角为，则在方向上的投影为________．14. （1分）(2018·江西模拟) 设，向量，，，且，，则 ________．15. （1分） (2017高一下·肇庆期末) 当函数f（x）=sinx+ cos（π+x）（0≤x＜2π）取得最小值时，x=________．16. （1分） (2016高一上·吉安期中) 下列说法正确的是________（只填正确说法序号）①若集合A={y|y=x﹣1}，B={y|y=x2﹣1}，则A∩B={（0，﹣1），（1，0）}；② 是函数解析式；③ 是非奇非偶函数；④设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=c．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·龙岩期末) 已知两个非零向量 .（Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直；（Ⅱ）若，，，求证：三点共线.18. （10分） (2019高一下·上海月考) 已知都是锐角，，求的值.19. （10分） (2016高一下·包头期中) 已知函数，x∈R，且（1）求A的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．20. （10分） (2019高一上·田阳月考) 如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．21. （10分）(2020·辽宁模拟) 在直角坐标系中，参数方程为（其中为参数）的曲线经过伸缩变换：得到曲线 .以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（Ⅰ）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设、分别为曲线和曲线上的动点，求的最小值.22. （10分） (2016高一下·河南期末) 设函数的极值点．（1）若函数f（x）在x=2的切线平行于3x﹣4y+4=0，求函数f（x）的解析式；（2）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17、答案：略18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22、答案：略。

2022-2023学年浙江省温州市十校联合体高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省温州市十校联合体高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a 2+c 2+ac ，则角B ＝（） A ．π6B ．π3C ．3π4D ．2π32．复数5i−2的共轭复数是（）A ．i +2B ．﹣2﹣iC ．i ﹣2D ．2﹣i3．如图，△A 'B 'C '是斜二测画法画出的水平放置的△ABC 的直观图，D '是B 'C '的中点，且A 'D '∥y 轴，B 'C '∥x '轴，A 'D '＝2，B 'C '＝2，那么（）A ．AD ＞ACB ．S △ABC ＝4C ．S △A 'B 'C ′＝2D ．∠ABC =π44．已知两个非零向量a →，b →的夹角为60°，且a →⊥(a →−2b →)，则|a →+2b →||a →−b →|=（）A ．3B ．√7C ．2D ．√55．羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为8cm ，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶璃所围成圆的直径是6cm ，底部所围成圆的直径是2cm ，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为（）A ．2π3B ．3π4C ．π2D ．π36．将顶点在原点，始边为x 轴非负半轴的锐角α的终边绕原点逆时针转过π3后，交单位圆于点P （−35，y ），则sin(α+π2)的值为（） A ．4√3−310B ．4√3+310C ．4+3√310D ．3√3−4107．已知向量a →，b →均为单位向量，且a →⊥b →，向量c →满足|c →|=√2，则(c →−a →)⋅(c →−b →)的最大值为（） A ．3√2−12B ．3√22 C ．32D ．48．已知a =sin 12，b =12cos 12，c =716，则（） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分。

浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题一、单选题1．已知i 2i z ⋅=+，则复数z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．2iD ．2i - 2．若向量a r =(1，2)，b r =(2，3)，则与a r +b r共线的向量可以是（） A ．(2，1) B ．(6，10) C ．(－1，2)D ．(－6，10)3．若ABC V 的外接圆的半径R =45A =︒，则=a （）A ．1B C ．2 D ．4．已知单位向量a r ，b r 满足1a b -=r r ，则b r与a b -r r 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35．设α是给定的平面，M 、N 是不在α内的任意两点，则下列命题中正确的是（） A ．在α内一定存在直线与直线MN 相交 B ．在α内一定存在直线与直线MN 异面 C ．一定存在过直线MN 的平面与α平行 D ．存在无数过直线MN 的平面与α垂直6．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，1AA 则异面直线1AC 与BC 所成角的余弦值为（）A B ．C D ．7．如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 到达B 处，在B 处测得C 对于山坡的斜度为45︒.若50m CD =，山坡与地平面的夹角为θ，则cos θ等于（）A ．2B C 1 D 18．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，120ABC ∠=︒，ABC V 则三棱锥-P ABC 的外接球表面积的最小值为（） A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π二、多选题9．下列说法正确的是（） A ．2024i 1=B ．若12z z >，则12z z >C ．2z z z ⋅=D ．若23i +是关于x 的方程()20,R x px q p q ++=∈的根，则4p =-10．对于任意的两个平面向量a r 、b r，下列关系式恒成立的是（）A ．a b a b -≤+r r r rB ．a b a b ⋅≤r r r rC ．a b a b +≥-r r r rD ．22a b a b +≥⋅r r r r11．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD BC ∥，112AD AB BC ===，将ABD △沿直线BD 翻折成A BD 'V ，则（）A ．翻折过程中存在某个位置，使得A C BD '⊥B ．当二面角A BDC '--为150︒时，点C 到平面A BD '的距离为12C ．直线A B '与CD 所成角的取值范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．当三棱锥A BCD -'的体积最大时，以A C '为直径的球被平面A BD '所截的截面面积为π4三、填空题12．若向量()4,3a =r ，则与a r垂直的一个单位向量b =r .13．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4.14．已知平面向量a r ，b r ，c r 满足1a =r ，2b =r ，π,3a b =r r 且()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则b c ⋅r r 的最大值为.四、解答题15．已知复数()()21232i z m m m =--++，m ∈R ，2z 满足：()22162i z z +=+，且2z 的实部为正.(1)若1z 在复平面内对应的点在第二象限，求m 的取值范围；(2)当2m =时，1z 、2z 对应复平面内的点分别为A 、B ，O 为复平面原点，求证：OB AB ⊥. 16．如图，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且2EA DC =，F 是BE 的中点.(1)求证：DF ∥平面ABC ；(2)若ABC V 是正三角形，且2EA AB ==，求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值. 17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足_______.从条件①、条件②这两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知， (1)求角A ；(2)若ABC V 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.条件①：()()sin sin sin 3sin b c B C a A b C ++=+；条件②：22cos c b a B -=.18．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，BC 的中点，记AB a u u u r r =，AD b =u u ur r ，且1DM =，2DN =，60MDN ∠=︒.(1)试用向量a r ，b r 表示DM u u u u r ，DN u u u r；(2)①求a r ，b r 的值；②设O 为ADM △的内心，若(),AO xa yb x y =+∈R u u u r r r ，求y x的值.19．在三棱锥-P ABC 中，1PC BC ==，2AC =，AP =90ACB ∠=︒，PB 的中点为M ，点D 在线段AB 上，且满足DB DP =.(1)求证：PB CD ⊥；(2)当平面PDC ⊥平面ABC 时， ①求点P 到平面ABC 的距离；②若N 为AB 的中点，求平面PAC 与平面MNC 夹角的余弦值.。

2022-2023学年浙江省温州高一下册期中联考数学模拟试题(含解析)

2022-2023学年浙江省温州高一下册期中联考数学模拟试题（含解析）A．()2,2B．(2．已知,αβ是两个不同的平面，直线A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件条件3．已知不共线平面向量a ，A ．15π22+B ．15π27．下面能得出ABC 为锐角三角形的条件是（A ．1sin cos 5A A +=C ．tan tan tan 0A B C ++>A ．13二、多项选择题（本小题共个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得2分）16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形.若AF AB AD x y =+，则x y +=__________.四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量(3,1),(1,2),()a b m a kb k =-=-=+∈R．(1)若向量m与2a b - 垂直，求实数k 的值；(2)若向量(1,1)c =- ，且m与向量kb c + 平行，求实数k 的值．18．如图，四边形ABCD 中，已知120A =︒，AB BC ⊥，3AD =，5AB =，45C =︒．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在22．如图所示，等腰梯形ABCD 中，上的动点（E ，F 可与线段的端点重合）(1)求AE DF ⋅关于x ，y 的关系式并确定.12．BD【分析】由正弦定理即可判断A;cos ,cos ,cos A B C ,继而求得sin A 【详解】由正弦定理可知sin :sin A 错误；由::2:3:4a b c =，设2,a k b ==3OA OB ==，则扇形弧长3L p =，设圆锥底面圆周长为r ，则23r ππ=，得则在Rt OAD △中，高22333()2h =-=在BCD △中，因为135BDC ∠=在BCD △中，由正弦定理得sin故43 2 +17．(1)53k=(2)13 k=-【分析】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；则()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()2PM PM MA MB MA MB =+⋅++⋅= 由OP =2，OM =1，则[]1,3PM ∈，则平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，132,22DF xAB AD x ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，AE AB yBC =+ 则132242242y y AE DF x y xy x ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 由E ，F 分别为线段AB ，BC 上动点，故[0,1x ∈ y。

浙江省温州市高一下学期数学期中联考试卷

浙江省温州市高一下学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 已知sinθ•tanθ＜0，那么角θ是（）A . 第一或第二象限角B . 第二或第三象限角C . 第三或第四象限角D . 第一或第四象限角2. （2分）设a ，b∈R.“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2017高一下·宜昌期中) 在△ABC中，如果有性质acosA=bcosB，这个三角形的形状是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 等腰三角形或直角三角形D . 等腰直角三角形4. （2分）已知函数，x∈R，则是（）A . 最小正周期为的偶函数B . 最小正周期为的奇函数C . 最小正周期为的偶函数D . 最小正周期为的奇函数二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2019高一下·上海月考) 与角终边重合的角中最小正角是________.6. （1分） (2017高一上·江苏月考) 若在第________象限．7. （1分） (2019高一下·上海月考) 若角的终边上有一点，则实数的值________8. （1分） (2019高一下·凌源月考) 已知，则 ________.9. （1分）若sin（）= ，则cos（）=________．10. （1分）(2016·上海理) 方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为________．11. （1分） (2018高三上·吉林月考) 设为第二象限角,若 ,则 ________12. （1分）已知sinx+2cosx=0，则sin2x+1=________．13. （1分）已知角α的正弦值与余弦值均为负值，且cos（75°+α）= ，则cos（105°﹣α）+sin（α﹣105°）=________．14. （1分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知，tanα=2，则 =________．15. （1分）(2014·上海理) 函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是________．16. （1分） (2018高二下·双鸭山月考) 已知点在椭圆上，则的最大值是________。

浙江省温州市高一数学下学期期中试题

数学试卷（本卷不准使用计算器。

满分120分，考试时间100分钟。

）一．选择题(本大题共10小题，每题4分，共40分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（）（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）352、设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则=24a S （）（A ）217 （B ）215（C ） 4（D ）23、在锐角．．△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足(2)cos cos a c B b C -=，则角B 等于（）（A ）030 （B ）045 （C ）060 （D ）0754、在数列{}n a 中，233,1411+==+n n a a a ，则使02<+n n a a 成立的n 值是（）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）245、在△ABC 中，sin 2A ≤ sin 2B+ sin 2C-sinBsinC,则A 的取值范围是（）（A ）(0,]6π（B ）(0,]3π (C) [,)6ππ （D ）[,)3ππ6、函数x x f sin )(=在区间[]b a ,上是增函数，且,1)(,1)(=-=b f a f 则cos2ba +的值为（）（A ）－1 （B ） 0 （C ）22（D ） 1 7、若1(,),sin 2,4216ππθθ∈=则cos sin θθ-的值是 ( ) （A ）1615 （B ） 415 （C ）415- （D ） 415± 8、函数1()tan ,{|00}tan 22f x x x x x x x ππ=+∈-<<<<或的图像为（）9、已知数列{}n a 的通项公式是n n a n λ+-=2（其中*∈N n ）是一个单调递减数列，则常数λ的取值范围（）（A ）（-∞，1）（B ）（-∞，2）（C ）（-∞，0）（D ）（-∞，3） 10、如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0， -1）处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标 5，点（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，则标签22013的格点的坐标为 ( ) （A ）(1007,1006) （B ）(1006.1005) （C ）(2013,2012) （D ）(2012,2011)二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卡的横线上） 11、下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 ▲12、在等比数列{}n a 中，若112a =，44a =-，则 12||||||n a a a +++=_▲ __ .13、函数)3sin(cos 2π+=x x y 的最小值是 ▲ .14、如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于 ▲ . 15、已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积__▲ __16、曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线在21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 321,,P P P ,则||42P P 等于 ▲ .17、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数。

浙江省温州市高一数学下册期中检测题【精选】.doc

温州市八校联考高一数学试题命题：温州中学张良兵、赵大藏审题：瑞安中学陈绍淡、潘贤冲本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在答题卷的相应位置上. 1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==3,23,22,21,4tanN x x M π，则=N M I （） A ．MB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧22C ．∅D ．{}02．已知函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数，则ϕ的取值可以为（） A ．2π-B ．πC ．3πD ．03．设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 且B ac c a b cos 2222++=，则=∠B （） A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π 4．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,点D 为BC 边的中点，则=⋅（） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，可以将函数x y 2sin 2=的图像（）A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向左平移8π个单位 6．已知ABC ∆，角A ,B ,C 所对应的边分别为c b a ,,，且sin sin cos cos A B A B +=+，则ABC ∆是（） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形7．已知,是单位向量，0=⋅b a ，若向量c 1=+-b a c ，则b c -的取值范围是（） A ．[]12,12+- B ．[]12,1+C ．[]2,0D ．[]15,15+-8．已知函数)(x f 在R 上满足0)()(=+-x f x f ，且0>x 时,)sin 2sin (21)(αα+++=x x x f )232(sin 23παπα≤≤-+对任意的R x ∈，都有)()33(x f x f ≤-恒成立，则实数α的取值范围为（）A ．[]π,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-67,6ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,3ππ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置上.9．函数)10)(32(log )(≠>-=a a x x f a 且的定义域为，图像过的定点为．10．已知向量)cos ,(sin x x a =ρ，)3,1(=b ρ，若b a // 且,方向相同，则=a ；若函数x f ⋅=)(的图像关于直线)0(πϕϕ<<=x 对称，则=ϕ ． 11．若,10sin 3cos -=+αα则αtan = ,α2sin = ． 12．已知)2sin(3)2cos(3)(x x x f ++-=ππ，则)(x f 的最小正周期为，)(x f 的最大值为． 13．已知函数⎩⎨⎧≥--<+=)0(1)0(1)(x x x x x f ，则不等式1)()1(≤++x f x x 的解集是．14．已知△ABC 中， 4,3,90===∠BC AC C ο,一直线分△ABC 为面积相等的两个部分，且夹在AB 、BC 之间的线段为MN ，则MN 长度的最小值为．15．已知2)2(log )(2222-+++=a x a x x f 有唯一零点，则实数a 的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为54cos ,4,,,=π=B A c b a ．（Ⅰ）求C cos 的值；（Ⅱ）若5,22==b a ，求ABC ∆的面积．17．（本题满分15分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,设向量)2,cos 2(b cC -=,)1,2(a n =,且⊥.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若2=a ,求ABC ∆的周长l 的取值范围.18．（本题满分15分）已知函数1)6cos(sin 4sin 4)(2-π++=x x x x f ．（Ⅰ）当π≤≤x 0时，求方程1)(=x f 的解；（Ⅱ）若函数)()3(21)12(21)(R x x f x f x g ∈+++=ππ，试判断函数)(x g 的奇偶性，并求)(x g 的的值域．19．（本题满分15分）对于函数)(x f ，若存在给定的实数对),(b a ，对定义域中的任意实数x ，都有b x a f x a f =-⋅+)()(成立，则称函数)(x f 为“Ψ函数”．（Ⅰ）函数xe xf =)(是“Ψ函数”，求出所有实数对()b a ,满足的关系式，并写出两个实数对；（Ⅱ）判断函数x x f sin )(=是否为“Ψ函数”，并说明理由．20．（本题满分15分）已知函数xx a xx x f -+⋅++-=1111)(（R ∈a ）.（Ⅰ）当1-=a 时,判断()f x 在区间)1,1(-上的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若0>a 时，对于区间]21,21[-上任意取的三个实数m ,n ,p ，都存在以)(m f ,)(n f ,)(p f 为边长的三角形，试求实数a 的取值范围．温州市2015学年第二学期八校联考高一数学参考答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分9.),23(+∞ （或⎭⎬⎫⎩⎨⎧>23x x 或23>x ）；)0,2( 10.)23,21( ；6πϕ= 11.3 ；5312.π2 ；32 13.[)+∞-,3 14. 2 15. 1三.解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（Ⅰ）53sin ,054cos =∴>=B B …………………………2分)4cos()]4(cos[cos B B C +-=+-=πππ …………………………4分10254225322)sin 4sincos 4(cos-=⋅-⋅=--=B B ππ……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知道1027sin =C …………………………10分 5,22==b a557102752221sin 21=⋅⋅⋅==∴∆C ab S ABC …………………………14分 17.（Ⅰ）0=⋅⇒⊥02cos 22=-+⋅b cC a …………………………2分由正弦定理得：0sin sin 21cos sin =-+B C C AC A C A C A C A B sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π代入上式………5分21cos sin 21sin cos =∴=A C C A 3π=∴A …………………………7分（Ⅱ）由正弦定理：AaC c B b sin sin sin == 得：)3sin(34)](sin[34sin 34,sin 34ππ+=+-===B B AC c B b …11分)3sin(34sin 342π+++=++=∴B B c b a l)6sin(42)cos 21sin 23(42)cos 23sin 21(sin 342π++=++=+++=B B B B B B …………13分320π<<B Θ 6566πππ<+<∴B 1)6sin(21≤+<∴πB (]6,4∈∴l ……………………………………………………15分 18.（Ⅰ）1)sin 21cos 23(sin 4sin 41)6cos(sin 4sin 4)(22--+=-++=x x x x x x x x f π……………………………………………………2分)62sin(22cos 2sin 31sin 2cos sin 32sin 422π-=-=--+=x x x x x x x21)62sin(1)62sin(2=-∴=-∴ππx x …………………………4分)(6526262Z k k k x ∈++=-∴πππππ或 …………………………6分 π≤≤x 0Θ 26ππ==∴x x 或 ……………………………………………8分（Ⅱ）x x x f x f x g 2cos 2sin )3(21)12(21)(+=+++=ππ )(2cos 2sin )(2cos )(2sin )(x g x x x x x g =+=-+-=-)(x g ∴为偶函数 …………………………………………………11分 x x x x x x g 4sin 12cos 2sin 212cos 2sin )(+=+=+=)(x g ∴的值域为[]2,1……………………………………………………………15分 19.（Ⅰ）函数xe xf =)(是一个“Ψ函数” 由b x a f x a f =-⋅+)()(得：b e e x a xa =-+b ea=∴2 （或b a ln 21=）…………………………………………………4分如：),1(),1,0(2e 等………………………………………………………6分（Ⅱ）x xf sin )(=不是“Ψ函数” …………………………………………………7分若函数x x f sin )(=是 “Ψ函数”则b x a x a =-+)sin()sin( 恒成立………………………………………………8分由b x a x a x a x a =-+)sin cos cos )(sin sin cos cos (sin 恒成立得b x a x a =-2222sin cos cos sin ………………………10分 b x a x a =--)cos 1(cos cos sin 2222b a x =-22cos cos 即b a x +=22cos cos ∵R ∈x 则]1,0[cos 2∈x而b a +2cos 为常数，这不可能∴函数x x f sin )(=不是 “Ψ函数” …………………………………………15分另法：（其它方法酌情给分）即)sin (cos sin cos cos sin 222222x x b x a x a +=- 0sin )(cos cos )(sin 2222=+--∴x b a x b a 恒成立⎪⎩⎪⎨⎧-==∴ba b a 22cos sin若0=b ，则0cos sin ==a a ，不可能若0≠b ，则1tan 2-=a ，不可能 ∴函数x x f sin )(=不是 “Ψ函数” 20.（Ⅰ）1-=a 时，xx xx x f -+-+-=1111)(为偶函数……………………………1分只讨论10<≤x 时的单调情况令xx t +-=11 )10(≤<t ， 11211-+=+-=x x x t 在[)1,0∈x 上单调递减 tt y 1-=在(]1,0∈t 上单调递增∴函数)(x f 在[)1,0上单调递减……………………………………………3分∵函数)(x f 为偶函数 ∴)(x f 在(]0,1-上单调递增……………4分（Ⅱ）令xx t +-=11，由2121≤≤-x 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=1,31112x t )131(≤≤+=∴t t a t y 由题意得：在区间]1,31[上，恒有max min 2y y >. …………………………6分 ①当910≤<a 时，t at y +=在]1,31[上单调递增， 313,1min max +=+=a y a y 由max min 2y y >,得151>a ，从而91151≤<a . …………………………………………………………………8分 ②当3191≤<a 时，t at y +=在],31[a 上单调递减，在]1,[a 上单调递增， 1}1,313max{,2max min +=++==∴a a a y a y ，由max min 2y y >得347347+<<-a ，从而3191≤<a ；………………10分 ③当131<<a 时，t at y +=在],31[a 上单调递减，在]1,[a 上单调递增， 313}1,313max{,2max min +=++==∴a a a y a y ，由max min 2y y >得93479347+<<-a ，从而131<<a ； …………………12分 ④当1≥a 时，t a t y +=在]1,31[上单调递减， 313,1max min +=+=a y a y由max min 2y y >得35<a ，从而351<≤a ；……………………………………………14分综上，35151<<a . …………………………………………………………………15分。

浙江省温州中学高一数学下学期期中试题(文创班)

温州中学2013学年第二学期期中试卷高一文创班数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分） 1.—= （）A.B.C.D. 22.在ABC ∆中，C b a cos 2=，则ABC ∆一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形3.等差数列}{n a 中，43=++963πa a a ，则=++)4(cos 102πa a ( )A. 1-B.22-C. 0D. 224.已知平面向量)1,1(),1,1(-==，则向量=-b a 2321（） A ．(21)--，B ．(21)-，C. (1)，-2 D ．(1)-，2 5．等比数列}{n a 中，若，则等比数列}{n a 的前100项的和为( )A B D 6.在ABC ∆中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则C cos 的值（）Ａ.41 Ｂ.41- Ｃ.21-Ｄ.217．已知{}n a 是公差为2-的等差数列，若8299963-=++++a a a a Λ，则97741a a a a ++++Λ 等于（）A ．50B ． 150C ． 50-D ． 82- 8．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1810=S ，2420=S ，则40S 等于 ( )A. 380B. 376C. 379D. 3829.已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,3,2AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB+u u u r u u u r 的最小值为（）A ．3B ．6C ．9D ．1210.已知ABC ∆的三边c b a ,,，面积S 满足22)(b a c S --=,且2a b +=，则S 的最大值为（）A ．817B ．617C ．517D ．417二、填空题(每小题4分，共20分)11.已知数列{}n a 的前n 项和nn Sn92-=，第k 项满足85<<k a ，则=k .12．已知{an}是递增数列，且对任意n ∈N*都有an ＝n2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是_______________．13．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，若{}n a 的前n 项和为5，则n 为________．14．已知ABC ∆中，︒=∠30A ，AB ，BC 分别是中项，则ABC ∆的面积等于15.在ABC ∆中，已知C B A 、、成等差数列，且边2=AC ，则⋅的最大值 .三、解答题（本大题共4题，共40分） 16．已知数列{}n a 是一个等差数列，且72=a ，15=a 。

2023-2024学年浙江省温州市高一下册期中联考数学试题(含解析)

2023-2024学年浙江省温州市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知集合{A xy ==∣，集合{}sin B y y x ==∣，则A B = （）A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[)1,-+∞D ．[)0,∞+【正确答案】B【分析】根据幂函数定义域和正弦函数值域即可得到集合,A B ，再根据交集含义即可得到答案.【详解】根据幂函数定义域可知[)0,A =+∞，根据正弦函数的值域可知[]1,1B =-，故[0,1]A B = ，故选：B.2．已知向量()()2,3,1,a b x == ，且a b ⊥ ，则向量23a b +=rr （）A ．()7,4B ．()7,4-C ．()3,4D ．()3,4-【正确答案】A【分析】根据平面向量互相垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为a b ⊥ ，所以2021303a b x x ⋅=⇒⨯+=⇒=- ，因为()22,3,1,3a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()()()24,6,33,2237,4a b a b ==-⇒+=r rr r ，故选：A3．已知tan ,tan αβ是方程2530x x --=的两个实数根，则()tan αβ+=（）A ．52-B ．52C ．54-D ．54【正确答案】D【分析】利用两角和的正切公式即可得到结果.【详解】因为tan ,tan αβ是方程2530x x --=的两个实数根，所以tan tan 5,tan tan 3αβαβ+=⋅=-，则()tan tan 5tan 1tan tan 4αβαβαβ++==-⋅，故选：D.4．已知偶函数()f x 定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 单调递减，()()()12,sin 1a f b f -==-，()1c f =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c a b<<【正确答案】B【分析】根据题意得到()sin1b f =，结合函数的单调性和12sin11-<<，即可求解.【详解】因为函数()f x 为偶函数，可得()()()()sin 1sin1sin1b f f f =-=-=，又因为当[)0,x ∈+∞时，()f x 单调递减，且12sin11-<<，所以()()()12sin11f f f ->>，即()()()12sin(1)1f f f ->->，所以c b a <<.故选：B.5．已知函数()πln sin 23f x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的值域为（）A ．(]0,1B ．(],1-∞C ．(],0-∞D ．[)1,+∞【正确答案】C【分析】根据对数函数的定义域以及三函数的值域得出真数的取值范围，根据对数函数的单调性求得结果即可.【详解】已知函数()πln sin 23f x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π0<sin 213x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以πln sin 203x ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的值域为(],0-∞.故选：C.6．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为a ，从2022年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是（）A ．500.9xy a-=⋅B ．5010.05xy a⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭C ．500.95xy a =⋅D ．()5010.05xy a -=-⋅【正确答案】C【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系.【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的P 倍，则5015%0.95P =-=，1500.95P ∴=，所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为a ，从2022年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是500.95xy a =⋅，故选：C.7．在ABC 中，2,1,120AB AC BAC ==∠= ，直线BC 上异于,B C 两点的点D 满足λ=BD DC ，且2AD =，则λ的值为（）A ．103-B ．73-C ．73D ．103【正确答案】A【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为λ=BD DC ，所以11BC BD DC BC BD BD BD BC λλλ=+⇒=+⇒=+，而()11111AB BD BC B AD AB AB B A A A C AC λλλλλλλ=+=+=++=+++++，于是有22222112cos1201111A C D A A B C B A λλλλλλ︒⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ，即221114422111112λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得103λ=-，0λ=舍去，故选：A关键点睛：利用平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理是解题的关键.8．已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的单调函数，且对任意[)1,x ∞∈+，均有()()2log 1f f x x -=.若关于x 的方程()()4210f x f x a -⋅+=有解，则a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)2,+∞D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】利用换元法，结合函数单调性的性质、对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】令()()22log log f x x t f x x t -=⇒=+，则有()1f t =，由()()22log log f x x t f t t t =+⇒=+，因为函数()f t 是定义在[)1,+∞上的单调函数，且()11f =，所以1t =，于是有()2log 1f x x =+，且()()11f x f ≥=，令()2f x m =，所以[2,)m ∈+∞，()()2421010f x f x a m am -⋅+=⇒-+=，1a m m⇒=+，因为关于x 的方程()()4210f x f x a -⋅+=有解，所以方程1a m m=+有解，函数()1f m m m =+在[2,)m ∈+∞时，单调递增，故()()min 152222f m f ==+=，所以想要关于x 的方程()()4210f x f x a -⋅+=有解，只需52a ≥，故选：D关键点睛：根据单调性的性质，结合对钩函数的单调性进行求解是解题的关键.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件B ．在ABC 中，“A B >”是“cos cos A B <”的充要条件C ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的必要不充分条件D ．“2230x x -->”是“1x >”的充分不必要条件【正确答案】BD【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的定义，结合正弦定理、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法逐一判断即可.【详解】当,0a b c >=时，显然22ac bc >不成立，故A 不正确；若π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由cos cos A B A B >⇒<，若π,π2A ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，因为A B >，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0,cos 0A B <>，因此cos cos A B <成立，若π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由cos cos A B A B <⇒>，若,A B 中有一个在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，因为cos cos A B <，所以cos 0,cos 0A B ≤>，所以π,π2A ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此A B >，故B 正确；在三角形中sin sin A B a b A B >⇒>⇒>，故C 不正确；22303x x x -->⇒>或1x <-，11x x >⇒>或1x <-，则{3x >或1}x <-⫋{1x >或1}x <-，所以“2230x x -->”是“1x >”的充分不必要条件，故D 正确，故选：BD.10．已知函数()f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．当π6x =时()f x 取得最大值B ．()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的一个对称中心为5π,06⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】CD【分析】先应用辅助角公式化简,再应用正弦函数性质分别求解最值,单调性和对称中心分别判断选项即可.【详解】由题可得()π6f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,对A ，当π6x =,ππ63x +=,()π3f x ==≠±A 选项错误;对BC ，ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,πππ,,662x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()f x 单调递增,B 选项错误;C 选项正确;对D ，5π5π66ππ06f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,D 选项正确.故选：CD.11．质点A 和B 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的O 上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.A 的角速度大小为1rad /s ，起点为O 与x 轴正半轴的交点；B 的角速度为4rad /s ，起点为射线()0y x x =≥与O 的交点.则当B 与A 重合时，B 的坐标可以为（）A ．1111cos π,sin π1818⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1313cos π,sin π1818⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．ππcos ,sin 1818⎛⎫- ⎝⎭D ．ππcos ,sin 1818⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】当B 与A 重合时,两个点的终边相差的角度为2π,Z k k ∈，结合已知列出方程，对k 赋值逐一判断各选项即可.【详解】设当B 与A 重合时，所用时间为t ，B 与A 的坐标均为()cos ,sin t t .由题意可知π42π,6t t k k +-=∈Z ，即π2π,183k t k =-+∈Z ，当3,k m m =∈Z 时，π2π18=-+t m ，则B 的坐标ππcos ,sin 1818⎛⎫- ⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误；当31,k m m =+∈Z 时，π2π11π2π2π18318=-++=t m m ，则B 的坐标1111cos π,sin π1818⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 正确；当32,k m m =+∈Z 时，π4π23π2π2π18318=-++=+t m m ，则B 的坐标2323cos π,sin π1818⎛⎫ ⎪⎝⎭，即1313cos π,sin π1818⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 错误；故选：AC.12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，以1A 为圆心，1A A 为半径作圆弧1,AB E 为圆弧1AB 的三等分点（靠近点A ），则下列命题正确的是（）A ．12C E =B ．四棱锥1111E A B CD -的表面积为37244++C ．三棱锥111C A B E -73D ．若F 为1A A 上的动点，则1D F EF +3【正确答案】ABD【分析】过E 作11EF A B ⊥，连接111111A E D E C E B E C F C E 、、、、、，根据条件求出1FC 、FE ，进而可以判断A 正确；分别求出四棱锥1111E A B C D -五个面的面积即可判断B 正确；根据条件找到球心，根据几何关系求出球的半径，即可判断C 错误；如图所示将平面11D DAA 沿着1AA 展开，即可判断D 正确.【详解】如图所示，过E 作11EF A B ⊥，连接111111A E D E C E B E C F C E 、、、、、，因为E 为圆弧1AB 的三等分点（靠近点A ），所以1160EA B ︒∠=，则11111EA A B EB ===，1112FA FB ==，由题意可得EF ⊥平面111A B C ，在1EFC △中，22111152FC FB B C =+=，13sin 602FE A E ︒=⋅=，则22112EC FE FC =+=A 正确；由题意可得111A D A E ⊥，111B C B E ⊥，则111111122A D E S A D A E =⋅⋅= ，111111122B C E S B C B E =⋅⋅= ,1111124A B E S A B FE =⋅⋅=,111111111A B C D SA B B C =⋅=，在11D C E 中，因为1D E ==1C E =111C D =，111124D C ES =⨯ ，四棱锥1111E A B C D -的表面积为2；故B 正确；取11A C 中点1O ，11EA B 的重心2O ，因为111A B C △为等腰直角三角形，所以其外接圆圆心为1O ，因为11A B E △为等边三角形，所以其外接圆圆心为2O ，过1O 作平面111A B C 的垂线1OO ，过2O 作平面11A B E 的垂线1OO ，1OO 、1OO 交于点O ，则O 为三棱锥111C A B E -的外接球的球心，则1213OO FO EF ===112O C =，所以16OC ==，即外接球的半径6R =，三棱锥111C A B E -的外接球的体积为34π3V R ==，故C 错误；如图所示将平面11D DAA 沿着1AA 展开，连接1D E ，交1AA 于点F ，13,2D F EF ==则根据两点之间距离最短可知此时1D F EF +最小，最小值为1D E ==故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．若3i12iz -=+，则z =___________.【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为()()()()3i 12i 3i36i i 217i 12i 12i 12i 555z ------====-++-，所以17i 55z +==，14．在ABC 中，ππ,,162B C BC ===，向量e是与AB 同向的单位向量，则AC 在AB 上的投影向量为___________.【分析】根据锐角三角函数定义，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为ππ,,162B C BC ===，所以π3A =，πtan1633AC AC BC =⇒==，所以AC 在AB 上的投影向量为1cos 236A AC e e e ⋅⋅=⨯⋅= ，故6e15．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，若()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω取最大值时，方程()lg 0f x x -=的解的个数为___________个.【正确答案】9【分析】根据正弦函数的单调性求出ω的最大值，方程()lg 0f x x -=的解的个数，即函数(),lg y f x y x ==图象交点的个数，作出函数(),lg y f x y x ==的图象，结合函数图象即可得解.【详解】由ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得ππ,126x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，所以ππ122ππ62ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得03ω<≤，所以ω的最大值为3，当ω取最大值时，()sin3f x x =，方程()lg 0f x x -=的解的个数，即函数(),lg y f x y x ==图象交点的个数，如图作出函数(),lg y f x y x ==的图象，由图可知函数(),lg y f x y x ==图象交点的有9个，所以方程()lg 0f x x -=的解的个数为9个.故答案为.916．已知对任意x ∈R ，均有不等式20ax bx c ++≥成立，其中0b <.若存在R t ∈使得()()11230t a t b c -+++=成立，则t 的最小值为___________.【正确答案】14/0.25【分析】由一元二次不等式恒成立得204b c a≥>、0a >，将问题化为求32a b c t a b ++=-的最小值，令0b m a=<则2341182m m t m +≥+⋅-，应用基本不等式求最值，注意取值条件.【详解】由题设20Δ40a b ac >⎧⎨=-≤⎩，有24b ac ≤，又0b <，则204b c a ≥>，又()()11233(2)t a t b c a b c b a t -+++=+++-，则20b a -<，故存在R t ∈使3(2)0a b c b a t +++-=成立，则32a b ct a b++=-，所以(1)3()4113221b b b c a a t b a b a ++=+≥+⋅--，令0b m a =<，故2341182m m t m +≥+⋅-，所以2119()5()331922411[()5]118824()22m m t m m m -+-+≥+⋅=+⋅-+---，且102m ->，而31933[()5]5]182844()2m m ⋅-+-≥⋅-=--，仅当1322m -=，即1m =-等号成立，所以14t ≥，仅当a b =-且244b ac a ==时等号成立，故t 的最小值为14.故14关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求32a b ct a b++=-的最小值，结合换元法、基本不等式求最值.四、解答题17．已知函数()1sin 22f x x x =+.(1)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(2)当x ∈R 时，求函数()f x 的单调递减区间.【正确答案】(1)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)π7π2π,2π,Z66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，再根据x 的取值范围求出ππ5336π,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的值域计算可得；（2）根据正弦函数的单调区间计算可得.【详解】（1）()1πsin sin 23f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5336π,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π1sin ,1,32x f x ⎛⎫⎡⎤∴+∈∴ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由ππ3π2π2π,Z 232k x k k +≤+≤+∈，得π7π2ππ662k x k +≤≤+，()f x \的单调递减区间为π7π2π,2π,Z66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦18．已知向量cos ,sin ,cos ,sin 2222x x x x m n ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .(1)若m n∥，求x 的值；(2)已知()()(),π,0πf x m n f f αβαβ=⋅==<<<<，求αβ+的值.【正确答案】(1)π,Z x k k =∈(2)5π4αβ+=【分析】（1）根据向量平行的结论即可求出结果；（2）根据向量的数量积运算结合平方关系、两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）m n∥ cos sin sin cos 02222x x x x ⎛⎫∴⋅--⋅= ⎪⎝⎭即sin 0,π,Zx x k k =∴=∈（2）()22cos sincos 22x x f x m n x =⋅=-=()cos f αα=∴=0π,sin αα<<∴=2απ<<π①()cos 55f βα==0π,sin 5ββ<<∴=，且02βπ<<②()sin sin cos cos sin 1053102521051052αβαβαβ∴+=+⎛⎫=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭由①②知π3π5π,224αβαβ<+<∴+=.19．已知正三棱锥S ABC -的高为4，底面边长为43.(1)求该正三棱锥的表面积；(2)用平行底面ABC 的平面去截该三棱锥，所得截面三角形111A B C 的边长为33，已知点111,,,,,A B C A B C 都在同一球面上，求该球的体积.【正确答案】(1)1215123+(2)500π3【分析】（1）分别求出各边的长，进而求出其表面积；（2）根据条件可得球心在直线SO 上，利用关系建立勾股定理求出球的半径，进而求出结果.【详解】（1）记高为SO ，垂足为O ，则O 为ABC 的中心且90SOB ∠=3,4,2AB AC BC BO SB ===∴==∴正三棱锥侧面的斜高h=12SAB SAC SBC S S S ∴===⨯= ∴正三棱锥S ABC -的表面积S 313sin602SAB ABCS S =⨯+=⨯⨯=所以该正三棱锥的表面积为（2）因为111A B C ABC -为正三棱台，所以球心在直线SO 上，设球心为M ，设,MO x MO y='=记OS 与111A B C △的交点为O '，则O '为111A B C △的中心1114,,1,3,A B AB OS OO O B ==='='∴= 则222243x y +=+，且1x y -=或1x y +=，则3,4x y ==，即3,4MO MO '==，∴外接球的半径5R =，∴球的体积34π500π33R V ==.20．位于某港口A 的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A 北偏东30︒且与该港口相距30海里的B 处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与海轮相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？(2)若经过2小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？(3)假设小艇的最高航行速度只能达到/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.【正确答案】(1)/时(2)海里/时(3)当小艇的航行方向为北偏西15︒，航速为/时，小艇能以最短时间)312-小时和海轮相遇【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；（2）由两小时可确定边BD ，再利用余弦定理可得AD 及速度；（3）设02CAD π∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，可得AD =，15BD θ=+，再根据时间相等可确定速度，再利用三角函数性质可得θ的最值及时间的最值.【详解】（1）如图所示，30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，30AB =，AC BD ⊥时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为cos30AC AB =︒=海轮航行的距离为15BC =海里，故航行时间为153204=小时，所以小艇的航行速度4v ==海里/时；（2）如图所示，设小艇与海轮在点D 处相遇，经过2小时后海轮航行的里程为20240⨯=海里，即40BD =，则在ABD △中，由余弦定理得222222cos 304023040cos601300AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯︒=，所以小艇航行的里程s AD ==海里，故小艇的航速2sv ==/时；（3）如图所示，因为AC BC >，且小艇的最高航速为/时，=32044BC =<，故小艇与海轮不可能于B ，C 及之间的任意位置相遇，设在D 点相遇，02CAD π∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则AD =15BD θ=+，=整理得2sin 6v πθ=≤⎛⎫+⎪⎝⎭从而sin 62πθ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以ππ3π464θ≤+≤，,122ππθ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，故12πθ=时，即1coscos cos cos sin sin 12343434222πππππππ⎛⎫=-=+=⨯⨯ ⎪⎝⎭短，为)312t =小时，综上当小艇的航行方向为北偏西π1801512π⨯=︒，航速为/时，小艇能以最短时间)312小时和海轮相遇.21．已知函数())2023ln20232xx f x x -=+-+.(1)若函数()()2g x f x =-，判断()g x 的奇偶性并证明；(2)对x ∀∈R ，不等式()()21214f x f a x ++-≥恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)函数()g x 的为奇函数，证明见解析(2)a ≥【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质进行判断证明即可；（2）根据函数的奇偶性、单调性，结合常变量分离法分类讨论进行求解即可.【详解】（1）()g x 为奇函数，理由如下：()())22023ln 2023x xg x f x x -=-=++-，定义域为R ，()()))2023ln 20232023ln2023x x x xg x g x x x ---+=+-++-))lnlnln10x x =-++==，()()g x g x ∴-=-，∴函数()g x 的为奇函数.（2）20232023x x y -=- 为增函数，又t x = 在()0,∞+单调递增，)lny x ∴=+在()0,∞+单调递增，())2023ln20232x x f x x -∴=+-+在()0,∞+单调递增，()2y f x =- 在R 上为连续的奇函数，())22023ln2023x xf x x -∴-=++-在R 上单调递增，()f x \在R 上单调递增，()()21214f x f a x ∴++-≥等价于()()212212f x f a x ⎡⎤+-≥---⎣⎦，即()()212212f x f a x +-≥---，即2121x a x +≥--，①当12x =时，式等价于1104+≥，成立；②当12x ≠时，式等价于2121x a x +-≤-，则只要2min121x a x ⎡⎤+-≤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，令()22211,12122111,122x x x x x x x x xϕ⎧+>⎪+⎪-==⎨-+⎪<⎪-⎩，当12x >时，()212151121442122x x x x +-=++≥+--等号当且仅当12x =时成立；当12x <时，()211251112441222x x x x +-=+-≥---，等号当且仅当x 时成立；综上：()min 1[x ]2ϕ=，12a -∴-≤，即12a -≥.关键点睛：由函数的奇偶性和单调性得到2121x a x +≥--，然后根据常变量分离法分类讨论求解是解题的关键.22．已知函数()2(ln ),f x a x a a =--∈R .(1)当1a =-时，判断函数()f x 的单调性，并写出单调区间（无需证明）；(2)若存在[]01,2x ∈，使()01f x >成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()f x 的单调增区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，(2)1ln22a -+<【分析】（1）根据绝对值的性质，结合对数的运算性质、对数函数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性的性质，结合函数单调性的性质、函数的最值分类讨论进行求解即可.【详解】（1）1a =-，则()2221(ln 2),e (ln 11)1ln ,0e x x f x x x x ⎧+≥⎪⎪=++=⎨⎪<<⎪⎩当()10,,e x f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，当()1,,e x f x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭单调递增，()f x \的单调增区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）存在[]01,2x ∈在，()01f x >，则只要当[]1,2x ∈时，()max 1f x >即可.-()22(ln 2),e ln ,0eaax a x f x x x ⎧-≥=⎨<<⎩①当a<0时，()f x 在()0,e a x ∈单调递减，在()e ,ax ∈+∞单调递增，此时[]()1,2e ,a ∞⊆+()2max ()2(ln22)1f x f a ==->，得1ln 22a -+<②当0a =时，()2ln f x x =，此时()()()()22max 2ln2lne 1f x f ==<=，不合题意-③当0a >时，()f x 在()0,1单调递减，()1,e a 单调递增，()2e ,e a a单调递减，()2e ,a ∞+单调递增I ）当e 2a ≥，即ln2a ≥时，()22max ()2(ln2)(lne)1f x f ==<=，不合题意II ）1e 2a <<，即0ln 2a <<时，设{}max ,a b 表示,a b 中最大的数，()(){}{}222max 2ln2(ln22),03()max e ,2max ,(ln22)ln2,ln23a a a f x f f a a a a ⎧-<≤⎪⎪==-=⎨⎪<<⎪⎩由max ()1f x >得2ln2ln231a a ⎧<<⎪⎨⎪>⎩或2ln203(ln22)1a a ⎧<≤⎪⎨⎪->⎩，无解综上，1ln22a -+<.关键点睛：根据函数单调性的性质，利用分类讨论法进行求解是解题的关键.。

2019-2020学年浙江省温州市高一下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年浙江省温州市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则sinA+sinC的最大值为()A. 2B. √3C. 12D. √322.在△ABC中，已知AB=√3，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是()A. √32B. 2√3 C. √32或√34D. √3或2√33.递增的等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1⋅a2⋅a3=27，则前5项的和S5等于()A. 11B. 121C. 242D. 2434.已知y=f(x)的图象和y=sin(x+π4)的图象关于点P(π4,0)对称，现将f(x)的图象向左平移π4单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)的表达式为()A. y=−sin14x B. y=−cos14xC. y=−sin(4x−π4) D. y=−cos(4x−π4)5.已知α∈(0,π)，且3cos2α−8cosα=5，则sinα=()A. √53B. 23C. 13D. √596.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，面积为3π的扇形，则该圆锥的底面半径为()A. 4B. 3C. 2D. 17.对于数列{a n}，若存在常数M，使得对任意n∈N∗，a n与a n+1中至少有一个不小于M，则记作{a n}>M，那么下列命题正确的是()A. 若{a n}>M，则数列{a n}各项均大于或等于MB. 若{a n}>M，{b n}>M，则{a n+b n}>2MC. 若{a n}>M，则{a n2}>M2D. 若{a n}>M，则{2a n+1}>2M+18.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3=1，S6=3，则S12=()A. 15B. 10C. 8D. 69.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 已知向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)，则∠APB =( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°二、单空题（本大题共3小题，共12.0分） 11. 函数的图象为C ，如下结论中正确的是__________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线对称； ②图象C 关于点对称；③函数在区间内是增函数；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =3n −2，则通项公式a n = ______ ．13. 已知锐角△ABC 外接圆的半径为1，∠B =45°，则B −A ⃗ ⋅B −C ⃗ 的取值范围是______ 三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）14. 点C 在线段AB 上，且=，则= ，= ．15. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，如表给出了的部分数据：n1 2 3 4……S nt1019652则数列的公比q = ，首项a 1= ．16. 已知角α的终边经过点(4a,3a)(a <0)，则cosα= (1) ，tan(π−2α)= (2) ．四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17. 已知点A(0,1)，B(2,−1)，C(−1,3)，向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)， (1)求点D 坐标；(2)若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ，μ．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cosC(acosB +bcosA)=c ．(1)求角C ；(2)若c =2√7，△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(B −C)=1−cosA ，且b ，a ，c 成等比数列．求： (1) sinB ·sinC 的值； (2) A 的值；(3) tanB +tanC 的值．20.已知数列{a n}，{b n}是正项数列，{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，且a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3−2．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)求数列{a n+1b n【答案与解析】1.答案：B解析：解：由题意可得2B =A +C ，又A +B +C =π 故B =π3，故A +C =2π3，故sinA +sinC =sinA +sin(2π3−A)=sinA +sin 2π3cosA −cos 2π3sinA =sinA +√32cosA +12sinA =32sinA +√32cosA =√3(√32sinA +12cosA)=√3sin(A +π6)，又A ∈(0,2π3)，所以A +π6∈(π6,5π6)，故sin(A +π6)∈(12,1]，√3sin(A +π6)∈(√32,√3]，故sinA +sinC 的最大值为√3，故选B由题意可得A +C =2π3，原式=sinA +sin(2π3−A)，由三角函数的运算公式可得原式=√3sin(A +π6)，由A ∈(0,2π3)，可得式子的取值范围，可得最大值．本题考查三角函数的最值的求解，涉及等差数列的性质，属中档题．2.答案：C解析：解：在△ABC 中，∵AB =c =√3，AC =b =1，∠B =30°， ∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即1=a 2+3−3a ，解得：a =1或a =2，当a =1时，a =b ，即∠A =∠B =30°，此时∠C =120°，△ABC 的面积S =12acsinB =√34；当a =2时，满足a 2=c 2+b 2，即△ABC 为直角三角形，△ABC 的面积S =12bc =√32．则△ABC 面积是√34，或√32．故选：C ．利用余弦定理列出关系式，把c ，b ，以及cos B 的值代入求出a 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．3.答案：B解析：本题考查等比数列通项公式以及前n 项和公式，属于基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．由等比数列的通项公式列出方程组，求出首项a 1，公比q ，由此能求出前5项的和S 5．解：递增的等比数列{a n }中，设公比为q ， ∵a 1+a 2+a 3=13，a 1⋅a 2⋅a 3=27，∴{1+a 1q +a 1q 2=13a 1⋅a 1q ⋅a 1q 2=27q >0, 解得a 1=1，q =3， ∴前5项的和S 5=1×(1−35)1−3=121．故选：B ．4.答案：B解析：本题考查三角函数图像的变换，考查了函数的对称性，若函数y =f(x)的图象和y =g(x)的图象关于点P(a,b)对称，满足f(x)+g(2a −x)=2b ，f(x)=2b −g(2a −x)，属于基础题．根据对称知识求出函数f(x)，然后利用平移和伸缩变换求出函数y =g(x)的表达式即可．解：若函数y =f(x)的图象和y =sin(x +π4)的图象关于点P(π4,0)对称，则f(x)=0−sin(π2−x +π4)=−cos(x −π4)，将f(x)的图象向左平移π4个单位后，得到函数y=−cosx的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)=−cos14x的图象，所以y=g(x)的表达式为：y=−cos14x，故选B．5.答案：A解析：本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，考查了推理能力与计算能力，属基础题．依题意，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可．解：∵3cos 2α−8cos α=5，∴3(2cos2α−1)−8cos α=5，即3cos2α−4cos α−4=0，(3cos α+2)(cos α−2)=0，α∈(0,π)，即cos α=−23，又α∈(0,π)，sin α>0，∴sin α=√1−cos2α=√53，故选A．6.答案：D解析：解：设圆锥底面半径为r，母线长为R．由圆锥底面周长为2πr=2π3R，解得：R=3r，又根据已知：3π=12⋅2π3R2，解得R=3，所以解得：r=1．故选：D．设圆锥底面半径为r，母线长为R，利用扇形的面积公式，弧长公式即可计算得解．本题考查扇形的面积公式，弧长公式的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为1.5，列{a n}各项均大于或等于M不成立，故A不正确；B中，数列{a n}为1，2，1，2，1，2…，{b n}为2，1，2，1，2…，M可以为1.6，而{a n+b n}各项均为3，则{a n+b n}>2M不成立，故B不正确；C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为−3，此时{a n2}>M2不正确，C错误；D中，若{a n}>M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故{2a n+1}> 2M+1正确．故选：D．举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若{a n}>M，则{2a n+1}中，2a n+1与2a n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故可得D正确．本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a n}>M．8.答案：B解析：解：在等差数列{a n}中，由S3=1，S6=3，得S9−S6=2(S6−S3)−S3，∴S9=6，再由(S12−S9)+(S6−S3)=2(S9−S6)，可得(S12−6)+(3−1)=2(6−3)，∴S12=10．故选：B．由已知利用等差数列的性质求得S9，进一步利用等差数列的性质求解．本题考查等差数列想性质，是基础的计算题．9.答案：C解析：由正弦定理，得a 2+b 2<c 2，∴cosC =<0，则C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．10.答案：D解析：解：向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3)，可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3×1−1×√3=−2√3， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+3=2，可得cos∠APB =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−2√32×2=−√32，由0°≤∠APB ≤180°，可得∠APB =150°，故选：D ．运用向量的坐标表示和向量的夹角公式，计算可得所求角．本题考查向量数量积的坐标表示和夹角公式，考查运算能力，属于基础题．11.答案：①②③解析：本题考查了正弦函数的图象与性质，，故①正确，，故②正确，由，∴f(x)的增区间为)，令k =0得增区间为，故③正确，由y =3sin2x 的图象向右平移个单位长度可以得到图象C ，故④错误，故答案为①②③．12.答案：{n,n =12⋅3n−1,n ≥2解析：解：∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且有S n =3n −2， ∴a 1=3−2=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n −2)−(3n−1−2)=2⋅3n−1， n =1时，2⋅3n−1=2≠a 1， ∴a n ={n,n =12⋅3n−1,n ≥2．故答案为：{n,n =12⋅3n−1,n ≥2．利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解．本题考查数列的前n 项和的求法，是基础题，解题时要注意公式公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．13.答案：(2,1+√2]解析：解：由正弦定理可得，asinA =csinC =2 ∴a =2sinA ，c =2sinC ， ∵∠B =45°，∴ac =4sinAsinC =4sinAsin(135°−A)=4sinA ×√22(sinA +cosA) =2√2(sin 2A +sinAcosA)=2√2(1−cos2A 2+12sin2A) =√2(sin2A −cos2A)+√2=2sin(2A −π4)+√2∵锐角△ABC ，∠B =45° ∴0<A <12π，0<3π4−A <12π，解可得，π4<A <π2， ∴π4<2A −π4<3π4，∴√22<sin(2A −π4)≤1，∴2√2<ac ≤2+√2 B −A ⃗ ⋅B −C⃗ =√22ac ∈(2,1+√2] 故答案为：(2,1+√2)由正弦定理可得a =2sinA ，c =2sinC ，结合三角形的内角定理及和差角公式，辅助角公式对ac =4sinAsinC 进行化简可求ac 的范围，然后由向量数量积的定义即可求解本题考查平面向量的数量积运算，涉及正弦定理在解三角形中的应用，属中档题．14.答案：35−25解析：解析：因为C 在线段AB 上，且=，所以与方向相同，与方向相反，且=，=，所以=，=−．15.答案：324解析：解：由表格可得：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S 2=10，S 3=19， ∴公比q ≠1，可得a 1(1−q 2)1−q=10，a 1(1−q 3)1−q=19，联立解得：a 1=4，q =32．故答案为：32，4．由表格可得：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S 2=10，S 3=16，利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：−45−247解析：解：∵角α的终边经过点(4a,3a)(a <0)，则r =2+9a 2=−5a ，cosα=4a −5a =−45， tanα=3a4a =34，tan(π−2α)=−tan2α=−2tanα1−tan 2α=−321−916=−247，故答案为：−45；−247．由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的正切公式，求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的正切公式，属于基础题． 17.答案：解：(1)∵点A(0,1)，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)+(0,1)=(−4,3)，即点D 坐标为(−4,3)；(2)∵点A(0,1)，B(2,−1)，C(−1,3)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(−4,2)=(2λ,−2λ)+(−μ,2μ)，即{2λ−μ=−4−2λ+2μ=2解得：λ=−3，μ=−2．解析：(1)向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合已知中点A(0,1)，向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，可得点D 坐标； (2)由已知可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，构造关于λ，μ的方程组，解得答案．本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，平面向量的数量积运算，方程思想，难度中档．18.答案：解：(1)由已知2cosC(acosB +bcosA)=c ．正弦定理得：2cosC(sinAcosB +cosAsinB)=sinC 即2cosC ⋅sinC =sinC ∵0<C <π，sinC ≠0 ∴cosC =12，∴C =π3．(2)由，△ABC 的面积为6√3，即12absin π3=6√3，∴ab =36由余弦定理得：c2=b2+a2−2abcosC，∴4×7=b2+a2−ab即(a+b)2=28+3ab．∴a+b=2√34.△ABC的周长a+b+c=2√34+2√7．解析：(1)利用正弦定理和和与差公式即可角C(2)根据余弦定理，△ABC的面积，求解a+b的值即可，本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．19.答案：解：(1)∵cos(B−C)=1−cosA，可得：cos(B−C)−cos(B+C)=1，∴解得：cosBcosC+sinBsinC−cosBcosC+sinBsinC=1，∴2sinBsinC=1，解得：sinB⋅sinC=12．(2)∵cos(B−C)≤1，1−cosA≤1，∴cosA≥0，A不是钝角．∵b，a，c成等比数列．即：a2=bc，由正弦定理得：sin2A=sinBsinC=12．∴由A为三角形内角，sinA>0，sinA=√22，∴A=π4，(3)∵cos(B−C)=1−cosA=1−cosπ4=1−√22，∴cosBcosC+sinBsinC=1−√22，∴cosBcosC=1−√22−sinBsinC=1−√22−12=1−√22，∴tanB+tanC=sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=sin(B+C)cosBcosC=sinAcosBcosC=√221−√22=−2−√2．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理，等比数列的性质，正弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由三角形内角和定理化简已知可得：cos(B−C)−cos(B+C)=1，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sinBsinC=1，即可解得sinB⋅sinC=12．(2)由cos(B−C)≤1，1−cosA≤1，可得cosA≥0，A不是钝角，利用等比数列的性质可得a2=bc，由正弦定理得：sin2A=sinBsinC=12，可求sinA=√22，即可解得A的值．(3)利用三角函数恒等变换的应用可求cosBcosC=1−√22，由两角和的正弦函数公式化简所求后代入即可得解．20.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a1=b1=1，a2=b2+1，a3=b3−2．∴1+d=q+1，1+2d=q2−2.q>0，联立解得：d=q=3．∴a n=1+3(n−1)=3n−2，b n=3n−1．(2)a n+1b n =3n−2+(13)n−1．∴数列{a n+1b n }的前n项和T n=n(1+3n−2)2+1−(13)n1−13=3n2−n2+32−32×(13)n．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2+1，a3= b3−2.可得1+d=q+1，1+2d=q2−2.q>0，联立解出即可得出；(2)a n+1b n =3n−2+(13)n−1.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

浙江省温州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

浙江省温州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,,αβγ是三个不同平面，且l αγ=I ，m βγ=I ，则“//l m ”是“//αβ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．棣莫弗公式(cos i sin )cos()i sin()n x x nx nx +⋅=+⋅（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数2ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，在ABC V 中，设,,2,4AB a AC b BD DC AE ED ====u u u r u u u r u u u r u u u r r r u u u r u u u r ，则BE =u u u r（）A ．1181515a b -r rB ．28315a b -r rC ．1181515a b -+r rD ．28315a b -+rr 4．在ABC V 中，若sin cos a B b A c +=，则B =（） A ．2π3 B ．π3C ．π4D ．π65．如图，四棱锥A BCDE -是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，则下列结论错误的是（）A ．点,,,ABC F 共面 B ．平面ABE P 平面CDFC ．FG CD ⊥ D ．FG ⊥平面ACD6．已知1a =r ，2b =r ，3c =r 且58a b ⋅=r r ，则a b c ++r r r 的最大值为（）A ．5.5B ．5C ．6.5D ．67．在ABC V 中，点E 是边AB 上的点，且2AE CE ==，3BE =，2π3ACB ∠=，则ABC V 的面积为（）A B C D 8．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 是正三角形，,,E F G 分别是侧棱111,,AA BB CC 上的点，且AE CG BF >>，设直线,CA CB 与平面EFG 所成的角分别为,αβ，平面EFG 与底面ABC 所成的锐二面角为θ，则（）A ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+≤+B ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+<+C ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ<+>+D ．sin sin sin ,cos cos cos θαβθαβ≥+≥+二、多选题9．已知复数12,z z ，则下列命题一定成立的有（） A ．若120z z +=，则12z z =-B ．若12=z z ，则2212z z =C ．1212··z z z z = D ．()()221212z z z z +=+10．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则下列说法正确的是（）A ．弧AD 长度为3π2B ．曲池的体积为10π3C ．曲池的表面积为2014π+D ．三棱锥1A CC D -的体积为511．已知a r ，b r ，c r 是互不相等的非零向量，其中a r ，b r是互相垂直的单位向量，(),R c xa yb x y =+∈r r r ，记OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u ur r ，则下列说法正确的是（）A ．若()()0a c b c -⋅-=r r r r，则O ，A ，B ，C 四点在同一个圆上B ．若()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r的最大值为2C ．若1c =r ，则()()a cbc -⋅-r r r r1D ．若1c =r，则x y +的最小值为三、填空题12．若复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则i z ⋅的虚部为．13．如图，正三棱锥-P ABC 中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直且相等，2,PA M =为PC 的中点，N 为平面ABC 内一动点，则NM NP +的最小值为.14．已知ABC V 满足)32AB AC AB ACAB AC AB AC++=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，点D 为线段AB 上一动点，若DA DC ⋅u u u r u u u r 最小值为3-，则ABC V的面积S =.四、解答题15．已知()1,0a =r ，()2,1b =r.(1)若2AB a b =-u u u r r r ，BC a mb =+u u u r r r ，且A 、B 、C 三点共线，求m 的值.(2)当实数k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r 垂直?16．已知z 是复数，2i z +与2iz-均为实数. (1)求复数z ；(2)复数()2i z a +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1145A AB A AC ∠=∠=︒，平行于1AA 和1BC 的平面分别与1111,,,A C A A A B B C 交于,,,D E F G 四点．(1)试判断四边形DEFG 的形状，并说明理由；(2)若13,AA D =是AB 的中点，求直线DF 与平面ABC 所成角的正弦值．18．如图，在ABC V 中，已知41060AB AC BAC ==∠=︒，，，BC 边上的中点为M ，AC 边上的中点为N ，AM ，BN 相交于点P ．(1)求BC ；(2)求MPN ∠的余弦值；(3)过点P 作直线交边AB ，BC 于点E ，F ，求该直线将ABC V 分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围．19．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.(1)如图一所示，在一个半径为3的半球体中，挖去一个半径为32的球体，求剩余部分的体积.(2)如图二，由抛物线213y x =()33x -≤≤跟线段3y =()33x -≤≤围成一个几何形，将该几何形绕y 轴旋转得到一个抛物线旋转体，请运用祖暅原理求该旋转体的体积.(3)将两个底面半径为1，高为3圆柱体按如图三所示正交拼接在一起，构成一个十字型几何体.求这个十字型的体积，等价于求两个圆柱公共部分几何体的体积，请运用祖暅原理求出该公共部分几何体的体积.。

浙江省温州市十校联合体高一下学期期中考试(数学).doc

浙江省温州市十校联合体高一下学期期中考试（数学）（满分1考试时间：100分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1．sin 210︒=（）A ．12B ．12-C．D．2．已知正方形ABCD 的边长为1，,AB a BC b ==，则a b +=（）A ．2BCD3．终边与坐标轴重合的角α的集合是( ) A ．{α|α=k·360°，k ∈Z}B ．{α|α=k·180°+90°，k ∈Z}C ．{α|α=k·180°，k ∈Z}D ．{α|α=k·90°，k ∈Z}4．下列命题中，错误的是（） A ．若2a b =，则2a b= B ．若a b ⊥，则0a b =C ．若0,a a b a c ≠=，则b c =D ．若a b =，则//a b5得（）A ．sin3cos3+B ．sin3cos3-C ．cos3sin3-D ．(sin3cos3)±-6．要得到sin(2)4y x π=+的图象，只要把x y 2sin =的图象（） A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位7．若cos 2sin 1,αα+=则tan α= ( )A ．43-或0 B ．34-或0 C ．43- D ．34-8．已知(1,2),(2,4)A B --，点P 在线段AB 上，且2AP PB=，则点P 的坐标为（）A ．(1,2)-B ．(0,0)C ．1(,1)2-D ．(5,10)-9．函数2cos y x x =的部分图象是（）10．设两个不共线的向量,a b 满足:1,2,a b == a 与b 的夹角为600，则当a tb-取得最小值时，t 的值是（）A ．1B ．2C ．41D ．21二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

浙江省温州市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套(含答案)

浙江省温州市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知向量()2,6a = ，()1,b λ= ，若//a b r r，则λ等于（）A ．2B ．3-C ．3D ．2-【正确答案】C【分析】由向量平行的坐标表示计算．【详解】由题意260λ-=，3λ=．故选：C ．2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =45A =︒，60B =︒，则=a （）A ．1B．C ．2D【正确答案】D【分析】利用正弦定理可得答案.【详解】由正弦定理得sin sin a bA B=，sin sin 2b Aa B∴=故选：D.3．设a ，b是两个非零向量，则“a b ∥”是“a b a b +=+ ”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据向量数量积的意义，向量的夹角公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由2222222cos ,a b a a b b a a b a b b +=+⋅+=+⋅+ ，又()2222a ba ab b +=+⋅+ ，所以当且仅当,0a b =时，a b a b +=+ 成立．充分性：由a b ∥，得,0a b =或,πa b = ，则a b a b +=+ 不一定成立，所以充分性不成立；必要性：由a b a b +=+ ，得,0a b =，则a b ∥，所以必要性成立．所以“a b∥”是“a b a b +=+ ”成立的必要不充分条件．故选：B ．4．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A ．平面α内的所有直线都与直线a 异面B ．平面α内不存在与直线a 平行的直线C ．平面α内的直线都与直线a 相交D ．直线a 与平面α有公共点【正确答案】D【分析】直线a 不平行于平面α，可得a α⊂或a 与平α交．据此可判断出结论．【详解】解：直线a 不平行于平面α，可得a α⊂或a 与平α交．对于A ：直线a 与平面α内的直线相交、平行或为异面直线，故A 错误；对于B ：当a α⊂时，平面α内存在与直线a 平行的直线，故B 错误；对于C ：当a α⊂时，α的直线可能与a 平行，故C 错误；对于D ：直线a 与平面α有公共点，故D 正确．故选：D ．5．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),ED x AB y AD x y =+∈R ，则x y -等于（）A ．1B ．1-C ．12D ．12-【正确答案】B【分析】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.【详解】由题意知1113()4444ED EA AD AC AD AB AD AD AB AD =+=-+=-++=-+，因为(),ED x AB y AD x y =+∈R ，所以14x =-，34y =，1x y -=-.故选：B.6．在ABC 中，23A π=，2AB AC ==，以AB 所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A ．72πB ．3πC ．2πD ．π【正确答案】C【分析】根据题意，作出几何体，再根据圆锥的体积公式求解即可.【详解】解：因为在ABC 中，23A π=，2AB AC ==过C 作BA 的垂线，垂足为O ，则OC =，1OA =，213OB AB OA =+=+=以AB 所在的直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体特征为圆锥OB 中挖去圆锥OA ，所以，该几何体的体积为113331233πππ⨯⨯-⨯⨯=.故选：C7．已知ABC 中，D 是BC 的中点，且||||AB AC AB AC +=- ，||||AD AB = ，则向量BA 在BC上的投影向量为（）A ．14BCB BC C ．14BC-D ．【正确答案】A【分析】首先根据已知条件可知AB AC ⊥，从而推得ABD △为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.【详解】因为||||AB AC AB AC +=-，则()()22AB ACAB AC+=- ，所以0AB AC ⋅= ，则AB AC ⊥，因为D 是BC 的中点，所以AD BD CD == ，又因为||||AD AB =，所以ABD △为等边三角形，故点A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，则E 为BD 中点，所以向量BA在向量BC 上的投影向量为14BE BC = ．故选：A.8．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，12AD AA ==，3AB =，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（）A ．B C D ．1【正确答案】C【分析】取BC 的中点G ，连接1,AG AD .证明出面1//AD G 面BEF ，得到点P 的轨迹为线段AG .求出AG 的长度，即可得到答案.【详解】如图所示：取BC 的中点G ，连接1,AG AD .在长方体1111ABCD A B C D -，E F 、分别是棱1AA 、11A D 的中点，所以1//EF AD .因为11//BC A D 且11BC A D =,F G 、分别是中点，所以1//BG FD 且1BG FD =,所以四边形1BGD F 为平行四边形，所以1//BF GD .因为1//EF AD ，EF ⊂面BEF ，1AD ⊄面BEF ，所以1//AD 面BEF .同理可证：1//D G 面BEF .因为1//AD 面BEF ，1//D G 面BEF ，1D G ⊂面1AD G ,1D G ⊂面1AD G ,111AD D D ⋂=,所以面1//AD G 面BEF .因为点P 为底面四边形ABCD 内（包括边界）的一动点，且直线1D P 与平面BEF 无公共点，1//D P 面BEF .所以点P 的轨迹为线段AG .已知长方体1111ABCD A B C D -，12AD AA ==，3AB =，G 为BC 的中点,所以1BG =，所以AG ===.故选：C 二、多选题9．下列命题是真命题的是（）A ．平行于同一直线的两条直线平行B ．平行于同一平面的两条直线平行C ．平行于同一直线的两个平面平行D ．平行于同一平面的两个平面平行【正确答案】AD【分析】根据平行的性质结合空间中线面关系逐项分析判断.【详解】对于A ：根据平行线的传递性可知平行于同一直线的两条直线平行，故A 为真命题；对于B ：平行于同一平面的两条直线的位置关系有：平行、相交或异面，故B 为假命题；对于C ：平行于同一直线的两个平面的位置关系有：平行或相交，故C 为假命题；对于D ：根据空间中面面的位置关系可知平行于同一平面的两个平面平行，故D 为真命题；故选：AD.10．在平面直角坐标系中，已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(3,1)B ，则（）A ．||AB =B ．AOB 是直角三角形C ．以OA ，OB 为邻边的平行四边形的顶点D 的坐标为(4,4)D ．与OA垂直的单位向量的坐标为⎝⎭或⎛ ⎝⎭【正确答案】ABD【分析】根据向量模的坐标表示求出||AB 可判断A ；求出向量OA ，OB 以及AB的模，根据勾股定理逆定理可判断B ；根据向量加法的平行四边形法则可判断C ；根据向量垂直的坐标表示求出与OA垂直的单位向量可判断D.【详解】对于A ，由依题意得()2,1AB =- ，所以AB = A 正确；对于B ，由题意得(1,2)OA =，(3,1)OB = ，则OA ==OB == 所以结合A 选项得222OA AB OB += ，所以OA AB ⊥，即AOB 为直角三角形，故B 正确；对于C ，结合B 选项得(1,2)(3,1)(4,3)OD OA OB =+=+=，则顶点D 的坐标为(4,3)，故C 错误；对于D ，结合B 选项得(1,2)OA = ，设与OA垂直的单位向量为(,)y m x = ，则22201x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得55x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故与OA垂直的单位向量的坐标为55⎛- ⎝⎭或55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：ABD ．11．如图，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是边AB ，BC 的中点，,G H 分别在线段,DC DA 上，且满足DG DC λ=，DH DA μ=，(),0,1λμ∈，则下列说法正确的是（）A ．当12λμ==时，四边形EFGH 是矩形B ．当23λμ==时，四边形EFGH 是梯形C ．当λμ≠时，四边形EFGH 是空间四边形D ．当λμ≠时，直线,,EH FG BD 相交于一点【正确答案】BC【分析】利用三角形的中位线和相似比结合平行四边形和梯形的判定判断AB ，利用异面直线的概念判断C ，假设直线,,EH FG BD 相交于一点，利用线面平行的性质定理判断D.【详解】选项A ：在ABC 中，因为,E F 分别是边AB ，BC 的中点，所以EF AC ∥且12EF AC =，当12λμ==时，,H G 分别为,DA DC 中点，所以在DAC △中可得HG AC ∥且12HG AC =，所以EF HG ∥且EF HG =，所以四边形EFGH 是平行四边形，又,E H 分别为,AB AD 中点，所以//EH BD ，又//EF AC ，当BD AC ⊥时有EH EF ⊥，平行四边形EFGH 为矩形，所以四边形EFGH 不一定是矩形，A 错误；选项B ：当23λμ==时，23DG DH DC DA ==，所以23HG AC =，且HG AC ∥，则由A 可知EF HG ∥且EF HG ≠，所以四边形EFGH 是梯形，B 正确；选项C ：当λμ≠时，EF 不平行于HG ，又因为HG ⊂平面ADC ，EF ⊄平面ADC ，所以,HG EF 是异面直线，四边形EFGH 是空间四边形，C 正确；选项D ：不妨设直线,,EH FG BD 相交于一点O ，因为EF AC ∥，AC ⊂平面ADC ，EF ⊄平面ADC ，所以EF 平面ADC ，又因为直线,EH FG 相交于点O ，所以EF ⊂平面EHGF ，因为平面EHGF 平面ADC HG =，所以EF HG AC ∥∥，所以可得λμ=，矛盾，D 错误；故选：BC12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos cos a A c C+=，则下列结论正确的有（）A ．2A C =B ．222a c bc -=C ．112sin tan tan A C A-+的最小值为D ．ac的取值范围为(0,2)【正确答案】AC【分析】对于A ：利用正弦定理结合三角恒等变换化简整理即可；对于B ：利用余弦定理结合三角恒等变换化简整理即可；对于C ：根据题意利用三角恒等变换整理得1112sin 2sin tan tan sin A A C A A-+=+，结合基本不等式分析运算；对于D ：根据题意利用正弦定理整理可得2cos aC c=，分析运算即可.【详解】对于A ：∵1cos cos a Ac C +=，由正弦定理可得sin 1cos sin cos A A C C+=，即sin cos sin sin cos A C C C A =+，则()sin sin cos sin cos sin C A C C A A C =-=-，注意到1cos 0cos a Ac C+=>，则cos 0C >，可得()π0,,0,π2C A ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，则π,π2A C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以C A C =-或()πC A C A +-==（舍去），即2A C =，故A 正确；对于B ：由选项A 可得sin cos sin sin cos A C C C A =+，则()2sin cos sin sin cos sin cos sin sin sin sin A C C C A A C C A C C B =++=++=+，由正弦定理可得2cos a C c b =+，由余弦定理可得22222a b c a c b ab +-⨯=+，整理得22a c bc -=，故B 错误；对于D ：∵2A C =，则π0202π0π3πC C C ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪<-<⎪⎩，解得π03C <<，可得2π03A <<，由正弦定理可得：sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin a A C C CC c C C C====，∵π03C <<，则1cos ,12C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()2cos 1,2a C c =∈，故D 错误；对于C ：∵2A C =，则2111111tan 2sin 2sin 2sin tan tan tan tan 2tan 2tan CA A A C A C C C C--+=-+=-+22222sin 11tan cos sin cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2tan 2sin cos cos CC C C C A A A C C C C C+++=+=+=+112sin 2sin sin 2sin A A C A=+=+，即1112sin 2sin tan tan sin A A C A A -+=+≥=当且仅当12sin sin A A =，即πsin 4A A ==时等号成立，故C 正确；故选：AC方法定睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．三、填空题13．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了：已知三角形三边a 、b 、c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.S =即有ABC 满足2a =，3b =，c =ABC 的面积ABC S = __________.【分析】将a 、b 、c代入公式ABCS = .【详解】因为2a =，3b =，cABC S =△.故答案为14．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，则该球的表面积是__________.【正确答案】14π【分析】先通过长方体的体对角线求出外接球的半径，再用球的表面积公式求解即可.【详解】由已知可得长方体的外接球半径为22=，则该球的表面积是24π14π⨯=⎝⎭.故答案为.14π15．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD 的高度为20m ，地面上一人在A 点观察该信号塔顶部，仰角为45︒，沿直线步行1min 后在B 点观察塔顶，仰角为30︒，若150ADB ∠=︒，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为__________m /s .【分析】根据题意可得20AD =，BD =，在ABD △中，利用余弦定理求AB ，即可得结果.【详解】在Rt ACD 中，45,20CAD CD ∠=︒=，则20AD =；在Rt BCD △中，30,20CBD CD ∠=︒=，则BD =在ABD △中，由余弦定理(2222222022028002AB AD BD AD BD ADB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得)m AB =，所以步行速度为为=m /s 60s 3.故答案为16．在锐角ABC 中，π3B =，||1AB AC -= ，则AB AC ⋅uu u r uuu r 的取值范围为________.【正确答案】(0,3)【分析】以B 为原点，建立平面直角坐标系，根据题意得到1(22C ，设(,0)A x ，由ππ62A <<，求得122x <<，且212AB AC x x ⋅=- ，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】解：以B 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为π3B =，且||1AB AC -= ，即1BC = ，即1BC =，可得13(,)22C ，设(,0)A x ，因为ABC 为锐角三角形，所以2π3A C +=，所以ππ62A <<，过点C 作CD x ⊥，且若π6A =，可得2AB =，即()1,0,2,02D E ⎛⎫⎪⎝⎭，即点A 在线段DE 上（不包含端点），即122x <<，又由13(,0),(,)22AB x AC x =-=- ，所以22111()(0,3)2416AB AC x x x ⋅=-=--∈ ，即AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围为(0,3).故答案为.(0,3)四、解答题17．已知向量||2a = ，||1b =，12a b ⋅= .(1)求(2)()a b a b +⋅-的值；(2)求2a b + 与a b -的夹角的余弦值.【正确答案】(1)132131976【分析】（1）利用数量积的运算展开计算即可；（2）先通过()222a b a b ++ ()2a b a b-=- 2a b +r r ，a b -，然后代入(2)(c )2os 2,a b a a b b a b a b b a +⋅-++--=计算即可.【详解】（1）||2a = ，||1b =，12a b ⋅= ，222113(2)()222122a b a b a a b b ∴+⋅-=-⋅-=⨯--= ；（2）2a b +=2a b -==，132cos 2,((2))2a b a b a b a a b a bb +-==+⋅-=+-18．已知ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b，c ，向量()m a =，()sin ,cos n B A = ，且m n ⊥ .(1)求角A；(2)若a =2b =，求ABC 的面积.【正确答案】(1)2π3【分析】（1）通过条件得到0m n ⋅=，再通过向量的坐标运算计算，然后利用正弦定理边化角整理可得答案；（2）先利用余弦定理求出c ，再利用三角形的面积公式求面积.【详解】（1）m n ⊥，()m a = ，()sin ,cos n B A= ，sin cos 0a B A ∴=，∴由正弦定理得sin sin cos 0A B B A =，又sin 0B ≠，sin cos 0A A ∴=，tan A ∴=()0,πA ∈，2π3A ∴=；（2）由余弦定理2222471cos 242b c a c A bc c +-+-===-，解得1c =，负值舍去，112πsin 21sin 223ABC S bc A ∴==⨯⨯⨯=.19．如图，在三棱柱BCF ADE -中，若G ，H 分别是线段AC ，DF 的中点.(1)求证：GH BF；(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GHP 平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)证明见详解(2)存在，P是线段CD的中点，【分析】（1）根据三角形中位线分析证明；（2）根据题意结合线面、面面平行的判定定理分析证明.【详解】（1）连接BD，∵ABCD为平行四边形，由题意可得：G是线段BD的中点，则G，H分别是线段BD，DF的中点，故GH BF.（2）存在，P是线段CD的中点，理由如下：由（1）可知：GH BF，GHÌ平面GHP，BF⊄平面GHP，∴BF 平面GHP，PG PH，连接,∵P、H分别是线段CD、DF的中点，则HP CF，HP⊂平面GHP，CF⊄平面GHP，∴CF 平面GHP，BF CF⊂面BCF，BF CF F⋂=，,故平面GHP 平面BCF.20．如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ，AB CB ⊥，4AB =，2CD =，π3DAB ∠=.且12AM AD = ，14AN AB =.(1)若G 是MN 的中点，证明：A ，G ，C 三点共线；(2)若P 为CB 边上的动点（包括端点），求()PM PN PB +⋅的最小值.【正确答案】(1)证明见详解(2)38-【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合向量共线的判定定理分析证明；（2）建系，根据平面向量的坐标运算整理得2()23PM PN PB a a +⋅=uuu r uuu r uu r，再结合二次函数求最值.【详解】（1）以{},AB AD 为基底向量，则12AC AD DC AD AB =+=+ ，∵G 是MN 的中点，则11112248AG AM AN AD AB =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r，可得4AC AG =uuu r uuu r，故A ，G ，C 三点共线.（2）过D 作⊥DO AB ，垂足为O ，则BCDO 为矩形，由题意可得3,2DE BC AO OB ====，如图，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()(2,0,1,0,3B N M --，设()()2,0,3P a a ⎡∈⎣，可得()()()3,3,,0,PM a PN a PB a =-=--=-uuu r uuu r uu r，则()2PM PN a +=--uuu r uuu r，可得)2()22PM PN PB a a a +⋅=-=uuu r uuu r uu r ，∵()22f a a =开口向上，对称轴4a =，注意到0,a ⎡∈⎣，∴当a =()f a 取到最小值348f ⎫=-⎪⎪⎝⎭，故()PM PN PB +⋅ 的最小值38-.21．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别是棱1DD ，AB 的中点.(1)若M 为棱1CC 上靠近C 点的四等分点，求证：BM 平面PQC ；(2)若平面PQC 与直线1AA 交于R 点，求平面PRQC 将正方体分割成的上、下两部分的体积之比.（不必说明画法与理由）.【正确答案】(1)证明见详解(2)7:41【分析】（1）根据题意结合线面平行的判定定理分析证明；（2）根据面面平行的性质定理可得R 满足13A R RA =，再结合台体体积公式运算求解.【详解】（1）取PD 的中点N ，连接MN ，设MN PC G =I ，连接GQ ，由题意可得：PN MC ，且PN MC =，则G 为PC 的中点，可得GN DC ，且12GN DC =，即GM DC ，且12GM DC =，∵Q 是棱AB 的中点，则QB DC ，且12QB DC =，可得QB GM ，且QB GM =，∴BMGQ 为平行四边形，则GQ BM ，GQ ⊂平面PQC ，BM ⊄平面PQC ，故BM 平面PQC .（2）取1AA 的中点F ，连接,BF PF ，∵P ，F 分别是棱1DD ，1AA 的中点，则PF AD ，且PF AD =，又∵AD BC ，且AD BC =，则PF BC ，且PF BC =，即BCPF 为平行四边形，则PC BF ，∵平面11ABB A 平面11DCC D ，且平面PCQ 平面11ABB A QR =，平面PCQ 平面11DCC D PC =，则PC QR ，故QR BF ，又∵Q 是棱AB 的中点，则R 为AF 的中点，即13A R RA =，由题意可知：ARQ DPC -为台体，可得11111,1212242△△AEQ DPC S S =⨯⨯==⨯⨯=，则台体ARQ DPC -的体积为11721346ARQ DPC V -⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭，正方体1111ABCD A B C D -的体积11112228ABCD A B C D V -=⨯⨯=，故平面PRQC 将正方体分割成的上、下两部分的体积之比77:87:4166⎛⎫-= ⎪⎝⎭.22cos sin 0C a C +=，②22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，③AB AC ⋅ ，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）在锐角ABC 中，ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且选条件：________.(1)求角A 的大小；(2)作AB BD ⊥（A ，D 位于直线BC 异侧），使得四边形ABDC 满足4BCD π∠=，2BD =，求AC 的最大值.【正确答案】(1)π3A =(2)2363+【分析】（1）选①可根据正弦定理边化角和三角形中的诱导公式化简计算；选②可根据正弦定理角化边和余弦定理化简计算；选③根据向量乘积展开式和正弦定理的面积公式进行化简计算；（2）设ABC θ∠=，将所有未知角用θ表示，再用正弦定理将AC 表示出来进行化简，最后根据θ的范围求出AC 的最大值.【详解】（1）选①根据正弦定理可知：3sin cos sin sin 3sin 0A C A CB +-=()3sin cos sin sin 3sin 0AC A C A C +-+=，展开化简得sin 3cos A A =，故tan 3A =，即π3A =；选②根据正弦定理可得：22222()b c a bc b c a bc -=-⇒+-=，根据余弦定理可得：2221cos 22b c a A bc +-==，即π3A =；选③根据向量点乘运算可得：231cos sin tan 332c b A bc A A ⋅=⨯⨯⨯⇒=，即π3A =.（2）如图，设ABC θ∠=，则π2CBD θ∠=-，π4CDB θ∠=+在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BDBCD BCD=∠∠可得，πsinπ42sinπsin4sin4BD BCDBCBCDθθ⎛⎫+⎪∠⎛⎫⎝⎭===+⎪∠⎝⎭，在ABC中，由正弦定理得：sin sinAC BCAθ=可得，π2sin sinsinπ4sinπsin4sin3BCACAθθθθθ⎛⎫+⎪⋅⎛⎫⎝⎭==+⎪⎝⎭sin22θθθ⎛⎫+⎪⎪⎭2cosθθθ⎫⎪⎪⎭2θθ⎫⎪⎪⎝⎭π24θ⎛⎫-⎪⎝⎭因为ABC是锐角三角形，所以π0ππ22ππ6232θθθ⎧<<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-<⎪⎩所以ππ3π21244θ<-<当ππ242θ-=时，可得AC的最大值是3.浙江省温州市2023-2024学年高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知复数z满足43iz=+，则z=（）AB．1C．5D【正确答案】C【分析】根据复数的模长运算直接求解即可.【详解】由于43iz=+，所以5z==.故选：C.2．设{}12,e e是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能．．作为基底的是（）A ．12e e + 和12e e -B ．1e 和12e e +C ．123e e + 和213e e +D ．1232e e - 和2146e e - 【正确答案】D【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于{}12,e e 是平面内的一个基底，故21,e e不共线，根据向量的加减法法则可知12e e + 和12e e - 不共线，1e 和12e e +不共线，2112133()3e e e e +=+ 和123e e +不共线，故A ，B ，C 中向量能．作为平面的基底，211224)6(32e e e e --=-，故1232e e - 和2146e e - 共线，不能．．作为平面的基底，D 错误，故选：D3．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是．．（）A ．正三棱锥B ．正四棱锥C ．正五棱锥D ．正六棱锥【正确答案】D【分析】对于选项A ，考虑正四面体.对于B ，C ，D 选项，画出满足部分条件的几何体，通过证明来说明是否存在满足题意的图形.【详解】对于选项A ，正四面体为满足条件的正三棱锥，故排除A ；对于选项B ，考虑如图所示的正四棱锥.满足AB BC CD DA EA EB =====，O 为底面正方形中心，EO ⊥平面ABCD .因底面为正方形，故OA OB OC OD ===，则EOA △，EOB ，EOC △，EOD △两两全等，得EA EB EC ED ===.故存在满足条件的正四棱锥，排除B ；对于选项C ，考虑如图所示的五棱锥.满足AB BC CD DE EA FA FB ======，O 为底面正五边形中心，FO ⊥平面ABCDE .因底面为正五边形，故OA OB OC OD OE ====，则FOA ，FOB △，FOC ，FOD ，FOE V 两两全等.得FA FB FC FD FE ====.故存在满足条件的正五棱锥，排除C ；对于选项D ，考虑如图所示的正六棱锥.满足AB BC CD DE EF FA GA GB =======，O 为底面正六边形中心.GO ⊥平面ABCDEF .但注意到OA =AB ，GO AO ⊥，则有GA AO AB >=.这与所设满足的条件矛盾，故不存在满足条件的正六棱锥，故D 正确.故选：D4．已知向量()1,2a =r ，()4,3b = ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为（）A ．86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．⎝⎭C ．55⎛ ⎝⎭D ．(【正确答案】A【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】由题意可得：142310,5a b b ⋅=⨯+⨯==r r r，故向量a 在向量b方向上的投影向量为()210286cos ,,25555b a b b a b a a ba b b b b a b b b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎛⎫⎪=⨯==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⋅ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r r r r r r r .故选：A.5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A ，B 两个观测点，并在A ，B 两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且cos 4CAB ∠=，则此建筑物的高度为（）A ．45mB ．60mC．m D．m【正确答案】B【分析】由题意分析可得AC =，2BC CO =，在ABC 中利用余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：60AB =，在Rt OAC 中，由45CAO ∠=︒可得AC =；在Rt OBC △中，由30CBO ∠=︒可得2BC CO =；在ABC 中，由余弦定理2222cos BC AC AB AC AB CAB =+-⋅⋅∠，即2224260260CO CO ⎛=+-⨯⨯ ⎝⎭，整理得23018000CO CO --=,解得60CO =或30CO =-（舍去），所以此建筑物的高度为60m.故选：B.6．已知ABC 斜二侧画法下的直观图是边长为2的正三角形A B C '''（如图所示），则AC =（）AB C ．D ．4【正确答案】A【分析】过C '作//C N x '''轴，与y '轴交于点N '，由正弦定理可求出A N ''和C N ''的值，再在平面直角坐标系中得出AN 与CN ，利用勾股定理可得AC .【详解】如图所示，过C '作//C N x '''轴，与y '轴交于点N '，则604515C A N '''∠=︒-︒=︒，120A C N '''∠=︒，45A N C '''∠=︒，由正弦定理得sin sin sin C N A N A C C A N C A N A N C ''''''=='''''''''∠∠∠，即2sin15sin120sin 45C N A N ''''==︒︒︒，则1C N ''=，A N ''=将三角形还原到直角坐标系中，如图所示，1CN C N ''=-，2AN A N ''==，所以AC =，故选：A.7．已知平面向量a ，b，c 均为单位向量，且243a b c += ，则a c ⋅= （）A ．14-B ．14C ．12D ．12-【正确答案】A【分析】根据平面向量的数量积运算法则和性质求解即可.【详解】平面向量a ，b ，c均为单位向量，所以1a b c === ，又243a b c+= 所以234a c b -= ，平方得222491216a c a c b +-⋅=，则22249164916112124a cb ac +-+-⋅===- .故选：A.8．已知ABC 中，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，直线AE ，CD 交于点P ，且满足1162BP BA BC =+，则BPD BPES S △△的值为（）A ．43B ．52C ．53D ．109【正确答案】C【分析】令EP EA μ= ，BE BC λ= ，令DP tDC = ，BD k BA =，利用平面向量基本定理确定点,,P E D的位置即可求解作答.【详解】如图，令EP EA μ= ，BE BC λ=，于是()(1)(1)BP BE EP BE EA BE BA BE BE BA BC BA μμμμλμμ=+=+=+-=-+=-+ ，而1162BP BA BC =+ ，并且,BA BC 不共线，因此11,(1)62μλμ=-=，解得35λ=，令DP tDC = ，BD k BA = ，则()(1)(1)BP BD DP BD tDC BD t BC BD t BD tBC k t BA tBC =+=+=+-=-+=-+ ，从而11,(1)26t k t =-=，解得11,32k t ==，因此点P 是线段CD 的中点，所以3355BPE BPC BPD S S S == ，所以53BPD BPE S S = .故选：C思路点睛：用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．二、多选题9．下列结论中正确．．的是（）A ．正四面体一定是正三棱锥B ．正四棱柱一定是长方体C ．棱柱的侧面一定是平行四边形D ．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面【正确答案】ABC【分析】根据各几何体的定义直接判断.【详解】A 选项：正三棱锥是底面为正三角形，各侧棱长均相等的几何体，正四面体四个面均为正三角形且所有棱长均相等，所以A 选项正确；B 选项：正四棱柱为底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱即为长方体，所以B 选项正确；C 选项：棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，所以C 选项正确；D 选项：正四棱柱的侧面两两平行，所以D 选项错误；故选：ABC.10．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为π2θθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，若12c xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量c 的斜坐标，若()11,a x y =，()22,b x y = ，则（）A ．()1212,a b x x y y -=-- B ．a = C ．()11,a x y λλλ=D ．1212a b x x y y ⋅=+【正确答案】AC【分析】根据向量线性运算、向量模的定义、数量积的定义判断．【详解】由已知1112a x e y e =+ ，2122b x e y e =+，因此121122()()a b x x e y y e -=-+- ，所以a b -的斜坐标为1122(,)x y x y --，A 正确；1112a x e y e λλλ=+ ，因此a λ的斜坐标是11(,)x y λλ，C 正确；a == 1212122112()ab x x y y x y x y e e ⋅=+++⋅，在1e 与2e 不垂直时，BD 错；故选：AC ．三、单选题11．下列命题中正确．．的命题是（）A ．若复数z 满足z z +∈R ，则z ∈RB ．若复数z 满足22z z =，则z ∈RC ．若复数1z ，2z 满足1221z z z z =，则12=z z D ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z ⋅=⋅，则12=z z 【正确答案】C【分析】设复数i,,z a b a b =+∈R ，根据复数的运算，验证,a b 即可判断A,B ；设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，根据已知等式结合复数运算，即可判断C,D.【详解】对于A ，设复数i,,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，所以2z z a +=∈R 恒成立，则C z ∈，故A 不正确；对于B ，设复数i,,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，若2z z =，则()()22i i a b a b +=-，所以2i 2i ab ab =-，则0ab =，故0a =或0b =，则复数z 是纯虚数或实数，故B 不正确；对于C ，设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，若1221z z z z =，即1122z z z z ⋅=⋅，所以()()()()i i i i a b a b c d c d +-=+-，整理得2222+=+a b c d ，所以12=z z ，故C 正确；对于D ，设复数12i,i,,,,z a b z c d a b c d =+=+∈R ，若1212z z z z ⋅=⋅，则()()()()i i i i a b c d c d a b +-=+-，整理得ad bc =，而12=z z 可得2222+=+a b c d ，所以D 不正确.故选：C.四、多选题12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列说法中正确．．的是（）A ．若60B =︒，2b ac =，则ABC 一定是等边三角形B ．若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC 一定是钝角三角形C ．若()cos cos a b c B A -=-，则ABC 一定是等腰三角形D ．若tan tan a ba b A B+=+，则ABC 一定是直角三角形【正确答案】ABD【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合三角恒等变换逐项计算、判断作答.【详解】对于A ，ABC 中，60B =︒，2b ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：222cos 60ac a c ac =+- ，即2()0a c -=，因此a c =，ABC 一定是等边三角形，A 正确；对于B ，由222cos cos cos 1A B C +->得：2221sin 1sin (1sin )1A B C -+--->，即222sin sin sin 0C A B -->，由正弦定理得2220c a b -->，由余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，因此角C 是钝角，ABC 一定是钝角三角形，B 正确；对于C ，ABC 中，由(cos cos )a b c B A -=-及余弦定理得：22222222a c b b c a a b a b+-+--=-，整理得223322a b ab a b bc ac -=-+-，即222()()()()ab a b a b a ab b c a b -=-++--，因此a b =或222+=a b c ，ABC 是等腰三角形或直角三角形，C 错误；对于D ，ABC 中，由tan tan a ba b A B+=+及正弦定理得：sin sin sin sin sin sin cos cos A BA B A B A B+=+，因此sin sin cos cos A B A B +=+，即sin(sin()cos(cos()22222222A B A B A B A B A B A B A B A B+-+-+-+-++-=++-，整理得：2sin cos 2cos cos 2222A B A B A B A B+-+-=，显然ππA B -<-<，ππ222A B --<<，即cos02A B->，因此tan 12A B +=，而π022A B +<<，于是π24A B +=，所以π2A B +=，ABC 一定是直角三角形，D 正确.故选：ABD结论点睛：ABC 的三边分别为a ，b ，c （a≥b≥c ），若222b c a +>，则ABC 是锐角三角形；若222b c a +=，则ABC 是直角三角形；若222b c a +<，则ABC 是钝角三角形.五、填空题13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，一蚂蚁沿着正方体的表面从点A 爬到点1C 的最短距离是__________．【分析】做出正方体的侧面展开图，在平面图形内计算最短距离.【详解】如图所示，将正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 与11BB C C 展开，则最短距离为1AC =，故答案为14．已知复数ω，且1ω=，则2i ω-（i 是虚数单位）的最大值是______．【正确答案】3【分析】利用复数的几何意义求解.【详解】因为1ω=，复数ω表示圆心在原点的单位圆，如图所示：2i ω-表示单位圆上的点到点()0,2的距离，由图知：当i ω=-时，2i ω-取得最大值3，故315．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，边长1AB =，则AC AD ⋅=__________．2【分析】连接AC ，AD ，根据正八边形可知()2OB OA OC =+，()2OD OC OA =- ，以OA ，OC 为基底表示AC ，AD，在AOB中，由余弦定理可得222OA = ，求数量积即可.【详解】如图所示，连接AC ，AD ，由ABCDEFGH 为正八边形可知4AOB BOC π∠=∠=，且//OD AC ，则2AOC π∠=，所以OA OC +==，即()2OB OA OC =+，AC OC OA=-且)OD AC OC OA - ，所以1AD OD OA OA ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，则()122C A OC OA A O OA C D ⎤⎛⎫=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⋅⎦2211222OC OA OC OA ⎛⎫⎫-⋅-+⋅++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)21OA=+，在AOB中，由余弦定理2222221cos222OA OB AB OAAOBOA OB OA+--∠==，解得222OA=，所以)212AC AD OA⋅=++，故答案为216．已知ABC中，3Aπ∠=，D，E是线段BC上的两点，满足BD DC=，BAE CAE∠=∠，2AD=，AE=BC=__________．【分析】根据角分线的向量性质及中线的向量性质化简得解.【详解】由已知AB ACAB AC+BAE CAE∠=∠，则AB ACAEAB ACλ⎛⎫⎪=+⎪⎝⎭，所以AB ACAEAB ACλ=+==uu u r uuu ruu u ruu u r uuu r65λ=，所以666555AB ACAE ACc bAB AC⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，即()()666615555AB AE AC AE AEc c c b⎛⎫-+-=--⎪⎝⎭，即666615555EB EC AEc c c b⎛⎫+=--⎪⎝⎭，又点E在BC上，所以661055c b--=，所以()65b c bc+=，即()222363672250b c bc bc++-=，又BD DC=，则1122AD AB AC=+，11222AD AB AC=+，即2219c b bc++=，联立()2222236367225019b c bc bc b c bc ⎧++-=⎪⎨++=⎪⎩，得()225366840bc bc --=，解得6bc =，或11425bc =-（舍），所以BC AC AB =- ，则222222222cos 1927BC AC AB AB AC b c bc A b c bc bc =+-⋅=+-=+-=-= ，所以BC =故答案为六、解答题17．已知复数()i 0,0z x y x y =+>>满足2z =，且1z -为纯虚数．(1)求i1z-；(2)若20z b z c +⋅+=，(),R b c ∈，求实数b ，c 的值．【正确答案】(1)11i 22+(2)2b =-，4c =【分析】（1）根据纯虚数的概念可得x ，再由模长可得y ，即可确定z 与i1z-；（2）法一：代入，根据复数相等解方程即可；法二：根据复数方程的解列方程即可.【详解】（1）11i z x y -=-+ 为纯虚数，1x ∴=，2z = 且0y >，y ∴=，1z =+，()()()()11i 111i 1i 1i 1i 1i 22z ⨯++∴===+---⨯+；（2）法一：把1z =+代入：20z b z c +⋅+=，()()2110b c +⋅+=，化简得：2i 0b c +-++=，即200b c +-=⎧⎪+=，解得：2b =-，4c =.法二：20z b z c +⋅+=的一根为1z =，则另一根为：1z =，则24z z b z z c +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2b =-，4c =.18．已知平面直角坐标系内存在三点：()1,5A ，()7,8B ，()5,2C ．(1)求cos BAC ∠的值；(2)若平面上一点P 满足：AP CB ，CP AB ⊥，求点P 的坐标．【正确答案】(2)()2,8P 【分析】（1）根据题意结合向量的夹角公式运算求解；（2）根据题意结论向量平行、垂直关系运算求解.【详解】（1）由题意可得：()6,3AB = ，()4,3AC =- ，则15AB AC ⋅=，AB ==uu u r5AC ==uuu r ，故cos AB AC BAC AB AC ⋅∠=⋅uu u r uuu r uu u r uuu r （2）由题意可得：()2,6CB = ，∵AP CB ，设()()2,6AP tCB t t t ==∈R uu u r uu r ，∴()24,63CP AP AC t t =-=-+uu r uu u r uuu r ，又∵CP AB ⊥，则()()6243630CP AB t t ⋅=-++= ，解得12t =，∴()3,6CP =- ，设(),P x y ，则()5,2CP x y =--uu r ，可得5326x y -=-⎧⎨-=⎩，解得28x y =⎧⎨=⎩，即()2,8P .19．如图所示，以线段AB 为直径的半圆上有一点C ，满足：1BC =，AC =直线AB 旋转180°得到一个几何体．(1)求阴影部分形成的几何体的体积；(2)求阴影部分形成的几何体的表面积．【正确答案】(1)5π1215334+【分析】（1）过点C 作1CO AB ⊥，垂足为点1O ，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．分别求出两个半圆锥的体积12,V V ，即可得出答案；（2）分别求出两个半圆锥的表面积12,S S ，ACB 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为3S ，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分4S ，求出3S ，4S ，则阴影部分形成的几何体的表面积为1234S S S S +++，求解即可.【详解】（1）过点C 作1CO AB ⊥，垂足为点1O ，旋转180°所得几何体为半个球挖掉两个半圆锥．3AC =1BC =，2AB =，132CO =，1Rt AO C △以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为211111π23V CO AO =⨯⨯⨯，1Rt BO C 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，体积为221111π23V CO BO =⨯⨯⨯，2221211111111πππ666V V CO AO CO BO CO BA +=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯13ππ2644=⨯⨯=，半圆面以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球体，体积为33142π1π233V =⨯⨯=，3122π5ππ3412V V V V =--=-=几何体.（2）1Rt AO C △以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为113ππ224S =⨯⨯=，1Rt BO C 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半圆锥，侧面积为21π12S =⨯=，ACB 以直线AB 为轴，旋转一周得到一个半球面，表面积为2314π12π2S =⨯⨯=，正面为一个圆减掉两个三角形，即图中阴影部分：241π121π2S =⨯-⨯⨯=-，1234315ππ2πππ444S S S S S +=+++=+++=几何体.20．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且2cos 2a B c +=，2a =．(1)若c =，求ABC 的面积；(2)求ABC 周长的最大值．【正确答案】(2)2+【分析】（1）法一：由正弦定理得出A ，再由余弦定理得出b ，进而求出面积；法二：由余弦定理求出A ，b ，进而求出面积；（2）法一：由正弦定理的边化角公式结合三角函数的性质得出ABC 周长的最大值；法二：由余弦定理结合基本不等式得出ABC 周长的最大值.【详解】（1）法一：∵2cos 2a B c +=，由正弦定理得，2sin cos 2sin A B B C=∴()2sin cos 2sin A B B A B +=+，∴2cos sin A B B =，∵()0,πB ∈，∴sin 0B ≠，∴cos 2A =，∵()0,πA ∈，∴π6A =．由余弦定理得：241222b b =+-⨯，2680b b -+=，()()420b b --=，∴2b =或4，。

浙江省温州市高一下学期数学期中联考试卷

浙江省温州市高一下学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知a>b，则下列不等关系正确的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·西湖期中) 若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A . a+c≥b﹣cB . ac＞bcC . ＞0D . （a﹣b）c2≥03. （2分） (2019高一下·雅安期末) 等比数列中，那么为（）A .B .C .D .4. （2分）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A . -B .C . -D . -5. （2分）(2017·郴州模拟) 算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯．A . 14B . 12C . 8D . 106. （2分）不等式的解集为，则不等式的解集为（）A . （2，3）B . （）C . (-3,-2)D . （）7. （2分）在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，则等于（）A .B .C . -1D . 18. （2分）设Sn为数列{an}的前n项和且Sn=，则=（）A .B .C .D . 309. （2分） (2019高二上·兰州期中) 设且恒成立，则的最大值是（）A .B . 2C .D . 410. （2分）已知ax≤xlnx﹣x+1对任意x∈[ ，2]，恒成立，则a的最大值为（）A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分） (2017高二下·高青开学考) 在△ABC中，已知A=30°，a=8，b= ，则△ABC的面积为（）A .B . 16C . 或16D . 或12. （2分）已知．我们把使乘积为整数的数n叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为（）A . 1024B . 2003C . 2026D . 2048二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·无锡期中) 已知x，y 满足，若z=3x+y 的最大值为M，最小值为m，且M+m=0，则实数a 的值为________．14. （1分） (2017高二上·浦东期中) 等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=60，则q=________．15. （1分） (2017高三上·盐城期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A= ，a=4 ，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3 ，则S△ABC=________．16. （1分） (2016高一下·攀枝花期中) 已知数列{an}是等差数列，且a2=3，并且d=2，则 + +…+=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·南充期中) 已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．（1）求k的值；（2）设g(x)＝log4 ，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．18. （5分） (2016高二上·船营期中) 在△ABC中， cos2A=cos2A﹣cosA．（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC．19. （10分）(2020·淮北模拟) 已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是和的等差中项.（1）求和的通项公式；（2）令，的前项和记为，若对一切成立，求实数的最大值.20. （10分）(2018·南充模拟) 已知函数 .（1）若，求的单调区间；（2）设函数，求证： .21. （10分）(2018·山东模拟) 在中，角所对的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.22. （15分）如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是A1D1的中点,点N是CD的中点,用反证法证明直线BM 与直线A1N是两条异面直线.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

浙江省温州中学高一数学下学期期中试卷理(含解析)新人教A版

2012-2013学年浙江省温州中学高一（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的），则不等式22，，所以n19258=可求=16=646．（4分）设a＞0，b＞0，若是3a和3b的等比中项，则的最小值为（）则乘以用基本不等式可求是．7．（4分）在△ABC中，若，AB=3AC，则sinB的值为（）∴cosA==b∴cosB==∴sinB==8．（4分）设等差数列{a n}前n项和为S n，若a1=﹣9，a3+a5=﹣6，则当S n取最小值时，n等9．（4分）在△ABC中，a，b是它的两边长，S是△ABC的面积，若，则由条件可得ab•sinC，可得sinC=的面积，= sinC=二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．＞∴不等式12．（4分）已知△ABC中，bcosA=asinB，则A= ．．故答案为：13．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，则a2013= 1 ．14．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C=60°，且3ab=25﹣c2，则△ABC的面积最大值为．a=b=时，由此结合正弦定理的面积公式，即可算出△ABCS=absinC=ab ab≤a=b=，此时△ABC的面积的最大值为故答案为：15．（4分）（2012•河南模拟）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n=2011，则n=1028 ．行共有个行共有三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设关于x的不等式x2﹣（2m﹣4）x+m2﹣4m＜0的解集为M，且[0，3]⊆M，求实数m的取值范围．，解得17．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．∴cosB==∴cosB=≥=，]，18．（2012•广州一模）数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）设数列的前n项之和为T n，求T n．．都乘以T]c==0+）T+2×②①﹣②得19．已知数列{a n}满足：a1=2t﹣3（t∈R且t≠±1），（n∈N*）．（1）当t=2时，求证：是等差数列；（2）若t＞0，试比较a n+1与a n的大小；（3）在（2）的条件下，已知函数f（x）=（x＞0），是否存在正整数t，使得对一切n∈N*不等式f（a n+1）＜f（a n）恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，请说明理由．）利用数列递推式，化简，可得﹣，从而是以=﹣是以为公差的等差数列；====[n[﹣=。

浙江省温州市高一下学期期中数学试卷

浙江省温州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2017高一上·江苏月考) 函数的定义域为________．2. （1分） (2016高一上·南京期末) 已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=________．3. （1分） (2019高一下·上海月考) 化简: ________.4. （1分） (2019高一下·上海月考) 把函数的图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的，所得函数的解析式为________.5. （1分） (2017高一下·怀远期中) 等差数列{an}中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7 ， S7＞S8 ，则：①此数列的公差d＜0②S9一定小于S6③a7是各项中最大的一项④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是________（填入你认为正确的所有序号）6. （1分） (2016高一下·高淳期末) 已知，，则tan（β﹣2α）等于________．7. （1分）(2017·南通模拟) 在△ 中，已知，，则的最大值是________．8. （1分）(2020·南京模拟) 已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和，则的值为________．9. （1分）(2018·榆社模拟) 在中，点在边上，平分，是边上的中点，，，，则 ________.10. （1分）若复数z=（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣）的值为________．11. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，、、分别为角、、的对边，且，则角的取值范围是________.12. （1分）已知函数f（x）=cos2x+asinx在区间（0，nπ）（n∈N*）内恰有9个零点，则实数a的值为________．13. （1分） (2018高三上·吉林期中) 关于函数，有如下命题：（1）是图象的一条对称轴；（2）是图象的一个对称中心；（3）将的图象向左平移，可得到一个奇函数的图象。

浙江省温州市高一数学下册期中考试题

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浙江省温州中学高一数学下学期期中试卷 理(含解析)新人教A版

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