第五章 频率响应法

求解 线性微分方程 观察
时间响应
性能指标
傅 氏 变 换
拉氏变换 传递函数 S=jω 频率特性 计算
拉氏反变换 估算
估算
频率响应
常用于描述频率特性的几种曲线
幅相频率特性曲线：对于一个确定的频率，必有一个频率特性的幅值 和一个频率特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向 量。当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。 这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。又称奈奎斯特曲线 或极坐标图
解：G( j0 ) 180o
G( j) 0 90 求交点：
o
5(s 2)(s 3) 例题5.1绘制 G(s) s 2 (s 1) 的幅相曲线。 (0)
( ) 180o 180o 0 o 90o 0 o 90o o o 0 90 _________________ 180o 90o
0 v 0
•
（3）自w1点起，渐进线斜率发生变化，斜率变化的数值取决与w1对应的典型 环节的种类。同样，在后面的各交接频率处，渐进线斜率都相应地改变。每两 个相邻交接频率间，渐进线为一直线。
绘制L(ω)例题
L(ω)dB
40(0.5s 1) 绘制 G(s)H(s) s(2s 1)(s / 30 1)
对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频 特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。
5.2 典型环节和开环频率特性
5.1 5.4
5.3 5.5
5.2.3
5.2.1 幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制 5.2.2 m m 1 b s b s bm 1 s bm 0 1 典型环节 G( S ) H ( s ) n n 1 a s a s a n 1 s a n 0 1 比例环节：K 惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0 一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0 积分环节：1/s 微分环节：s 振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]; 式中ωn>0，0<ζ<1 二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1; 式中ωn>0，0<ζ<1
极点—零点图(a) 和幅相曲线(b)
20dB/dec
( ) -arctg T
一阶微分环节 G(s)=Ts+1
L( ) 20lg 1 2T 2
1
10 ω
-20
(o) 90 0 0.1 -90 1
-20dB/dec
ω<<1/T, L(ω)≈20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈20lgωT =20(lgω-lg1/T)
G( s ) K (T2 s 1) n
2 2
s(T1 s 1)(T3 s 1) 2 ( s 2 2 n s n )
图5.4 比例环节的 对数 频率特性曲线
比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是： L(ω)=20lg| G(jω)|=20lgK 和φ(ω)=0 相应曲线如上右图。
积分环节
G( s ) 1 1 1 , G( j ) s j 2
j 0 ω 图5.5 积分环节的幅相曲线
5[(6 2 ) j5] 2 2 , 5 ( 6 ) 0 , 令 Im[ G ( j )] 0 , 即 1, 1 G( j) 2 (1 j) 5(5 j5) G( j1) 25与负实轴相交于 25处。 (1 j)
[-20]
的L(ω)曲线
40 20 0dB -20 -40 [-40] [-20] 10 20 ω 100
0.1 0.2
1
2
[-40]
40 低频段： 0.1 时为52db 0.5 时为38db S 转折频率：0.5 2 30 斜率： -20 +20 -20
•例5.1 已知系统开环传递函数为
第五章 频率响应法
5.1 频 率 特 性 5.2 典型环节和开环频率特性 5.3 奈奎斯特判据 5.4 稳 定 裕 度
5.5 闭环频率特性
本章作业
End
5.1 频率特性
基本概念（物理意义）
5.2
5.3
5.4
5.5
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。
数学本质
U c ( s) 1 1 G( s ) U r ( s ) R1C1 s 1 Ts 1
K (1 2 s ) 1 1 例 : G ( s) K (1 2 s ) s(1 0.1s ) s 1 0.1s
比例环节 比例环节的频率特性是G(jω)=K,幅相曲线如下左图。
(dB) j 20lgK 0
1
10
ω
(o )
0
k
·
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
10
ω
图5.3 比例环节K的幅相曲线
微分环节 G(s)=s和G(jω)= jω= ω∠π/2 L(ω)=20lgω,而相频特性是φ(ω)=90o。
j ω 0 ω=0
图5.7 微分环节幅相曲线
惯性环节 G(s)=1/(Ts+1),
1 1 频率特性 G( j ) e jarctgT 1 jT 1 2T 2
G( s ) K
(1
i 1 n j 1
m
i
s)
s (1 T j s )
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
K
0
limG( j ) lim lim 0 ( j ) 0 2
(dB) 20 0 1/jω 20dB/dec jω 10 ω 1 1/jω -20dB/dec
∠jω 0.1 1 ∠1/jω 10 ω
0.1 -20 jω (o) 90 0 -90
图5.6 1/jω和jω的对数坐标图
积分环节的对数幅频特性是 L(ω)=-20lgω,
而相频特性是 φ(ω)=-90o。
p
2 2
j
j ω=∞ 0 ω=0 K
L( ) 20lg 1 T
ω<<1/T, L(ω)≈-20lg1=0 ω>>1/T, L(ω)≈-20lgωT =-20(lgω-lg1/T)
jω+1/T θ -1/T
0 (a)
-45o ω=1/T (b)
(dB) 20 0 0.1 1/T
图5.8 惯性环节
i1(t) R1 C1
Aω 设 ur ASint ,则 Ur(s) 2 s ω2 1 A U o ( s) Ts 1 s 2 2
u0 (t ) AT t / T A e Sin(t arctgT ) 2 2 2 2 1 T 1 T
稳态分量
x
• （4)根据上述确定的特征点，结合开环频率特性的变化趋势图。
• 起点：若系统不含有积分环节，曲线起始于正实轴上某点，该点 距原点的距离值为开环增益 k 值；若系统含有积分环节，曲线起 始于无穷远处，相角为 (-90 。×v) ， v 为积分环节的个数。 • 终点：一般，系统开环传递函数分母的阶次总是大于或等于分子 的阶次，n>m 时，终点在原点，且以角度（n-m)× (-90 。） 进 入原点； n=m 时，曲线终止于正实轴上某点，该点距原点的距 离与各环节的时间常数等参数有关。 • 若开环传递函数中含有在右半平面的极点或零点，幅相曲线的起 点和终点不具有以上规律。对于这样的系统，尤其应注意系统的 相频特性。 •
2 2 2 5 0 ,4 6 0 . 令 Re[ G ( j )] 0,6
无实数解，与虚轴无交点 曲线如图所示：
-25
1
Im[G(jω)]

0
Re[G(jω)]
开环幅相曲线的绘制
开环对数幅频渐近特性的绘制
• 根据对数运算特点，将组成开环系统的各典型环节的对数频率特性叠加，即获 得系统的开环对数频率特性。 • 绘制对数幅频渐近特性的一般步骤： （1）开环传递函数按典型环节进行分解，并将交换频率按从小到大顺序排列为w1， w2。。。。。。 wl，并标注在w轴上。 （2）绘制w1左边的低频渐近线。低频渐近线为一直线，其斜率为 －20×vdB/dec, 取决于系统微分环节或积分环节的个数。根据三种方法确定渐近线上的一点。 • a）任选w0值，则渐进线（w0<w1)或其延长线过点 (w , 20lg k ) w L (1) 20lg k • b)渐进线或其延长线在w=1处的值 • c）渐进线或其延长线与零分贝线的交点为 w k 1/ v
-0.5
-1
-1.5 -0.5
0
0.5
1
1.5
图5.11 振荡环节的幅相曲线
L( ) 20 lg (1 2 / n ) 2 4 2 ( / n ) 2
2
• ω<<ωn时L(ω)≈0
• ω>>ωn时L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lg ω-lg ωn) 2 / n ( ) arctg 1 ( / n ) 2
(dB) 40 20 0 0.1 -20 (o ) 180 0 -180 图5.12 振荡环节的对数坐标图 0.1 1 10 ω/ωn 1
40dB/dec
10 ω/ωn -40dB/dec
(a)
(b)
5.2.2 开环幅相曲线的绘制
• 频率响应法是一种图解方法，因而如何简洁而准确地作出满足工 程分析和设计需要的系统开环频率特性曲线是非常重要的。 • 幅相曲线主要用于判定闭环系统的稳定性，故只需概略绘制即可； • 对数频率特性曲线，工程上采用简便作图法，即利用对数运算的 特点和典型环节的频率特性绘制系统开环对数幅频渐近特性