奥数：7-9概率

知识框架图“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象,兼有应用性和趣味性，其内容及延伸贯穿于初等数学到高等数学，因此成为小学数学中新增内容． 1.能准确判断事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性问题． 2.运用排列组合知识和枚举等计数方法求解概率问题． 3.理解和运用概率性质进行概率的运算．一、概率的古典定义如果一个试验满足两条： ⑴试验只有有限个基本结果；⑵试验的每个基本结果出现的可能性是一样的． 这样的试验，称为古典试验．对于古典试验中的事件A ，它的概率定义为：()mP A n=，n 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，m 表示事件A 包含的试验基本结果数．小学奥数中所涉及的概率都属于古典概率．其中的m 和n 需要我们用枚举、加乘原理、排列组合等方法求出．二、对立事件对立事件的含义：两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么这两个事件叫作对立事件如果事件A 和B 为对立事件（互斥事件），那么A 或B 中之一发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，为1，即：()()1P A P B +=．三、相互独立事件事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．如果事件A 和B 为独立事件，那么A 和B 都发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积， 即：()()()P A B P A P B ⋅=⋅．教学目标例题精讲知识要点概率模块一、概率的意义【例 1】（2007年希望杯决赛）气象台预报“本市明天降雨概率是80%”．对此信息，下列说法中正确的是________．①本市明天将有80%的地区降水．②本市明天将有80%的时间降水．③明天肯定下雨．④明天降水的可能性比较大．【解析】降水概率指的是可能性的大小，并不是降水覆盖的地区或者降水的时间．80%的概率也不是指肯定下雨，100%的概率才是肯定下雨．80%的概率是说明有比较大的可能性下雨．【例 2】在某个池塘中随机捕捞100条鱼，并给鱼作上标记后放回池塘中，过一段时间后又再次随机捕捞200尾，发现其中有25条鱼是被作过标记的，如果两次捕捞之间鱼的数量没有增加或减少，那么请你估计这个池塘中一共有鱼多少尾？【解析】200尾鱼中有25条鱼被标记过，没所以池塘中鱼被标记的概率的实验得出值为252000.125÷=，所以池塘中的鱼被标记的概率可以看作是0.125，池塘中鱼的数量约为1000.125800÷=尾．【例 3】一个小方木块的六个面上分别写有数字2、3、5、6、7、9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分．当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人扔100次，______得分高的可能性比较大．【解析】因为2、3、5、6、7、9中奇数有4个，偶数只有2个，所以木块向上一面写着奇数的可能性较大，即小亮得分高的可能性较大．【例 4】一个骰子六个面上的数字分别为0，1，2，3，4，5，现在来掷这个骰子，把每次掷出的点数依次求和，当总点数超过12时就停止不再掷了，这种掷法最有可能出现的总点数是＿＿＿＿.【解析】掷的总点数在8至12之间时，再掷一次，总点数才有可能超过12（至多是17）．当总点数是8时，再掷一次，总点数是13的可能性比总点数超过13的可能性大．当总点数在9至12之间时，再掷一次，总点数是13的可能性不比总点数是14，15，16，17的可能性小．例如，总点数是11时，再掷一次，出现05的可能性相同，所以总点数是1116的可能性相同，即总数是13的可能性不比总数点数分别是14，15，16的可能性小，综上所述，总点数是13的可能性最大．【例 5】从小红家门口的车站到学校，有1路、9路两种公共汽车可乘，它们都是每隔10分中开来一辆．小红到车站后，只要看见1路或9路，马上就上车，据有人观察发现：总有1路车过去以后3分钟就来9路车，而9路车过去以后7分钟才来1路车．小红乘坐______路车的可能性较大．【解析】首先某一时刻开来路车，从此时起，分析乘坐汽车如下表所示：显然由上表可知每10分钟乘坐1路车的几率均为10，乘坐9路车的几率均为10，因此小红乘坐1路车的可能性较大．模块二、计数求概率【例 6】如图所示，将球放在顶部，让它们从顶部沿轨道落下，球落到底部的从左至右的概率依次是_______．【解析】 每到一个岔口，球落入两边的机会是均等的，因此，故从左至右落到底部的概率依次为116、14、38、14、116．【例 7】 一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌是由2、3、5、7、9五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了，警察在调查过程中，如果在电脑上输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是______． 【解析】 警察在调查过程中，在电脑上输入第一个数字可能是2、3、5、7、9中的任何一个，有5种可能，第二位数字有4种可能，……，第五位数字有1种可能，所以一共有54321120⨯⨯⨯⨯=种可能，则输入正确车牌号的可能性是1120．【例 8】 分别先后掷2次骰子，点数之和为6的概率为多少?点数之积为6的概率为多少? 【解析】 根据乘法原理，先后两次掷骰子出现的两个点数一共有6636⨯=．将点数为6的情况全部枚举出来有：()1,5()2,4()3,3()4,2()5,1点数之积为6的情况为：()()()()1,62,33,26,1两个数相加和为6的有5组，一共是36组，所以点数之和为6的概率是536； 点数之积为6的概率为41369=．【例 9】 甲、乙两个学生各从09这10个数字中随机挑选了两个数字（可能相同），求：⑴这两个数字的差不超过2的概率，⑵两个数字的差不超过6的概率．【解析】 ⑴两个数相同（差为0）的情况有10种，两个数差为1有2918⨯=种，两个数的差为2的情况有2816⨯=种，所以两个数的差不超过2的概率有10181611101025++=⨯． ⑵两个数的差为7的情况有23⨯种． 两个数的差为8的情况有224⨯=种． 两个数的差为9的情况有2种．所以两个数字的差超过6的概率有6423101025++=⨯. 两个数字的差不超过6的概率有32212525-=.【例 10】 工厂质量检测部门对某一批次的10件产品进行抽样检测，如果这10件产品中有两件产品是次品，那么质检人员随机抽取2件产品，这两件产品恰好都是次品的概率为多少？这两件产品中有一件是次品的概率为多少？这两件产品中没有次品的概率为多少？【解析】 从10件产品中选择2件一共有21045C =种情况.所以这两件产品恰好都是次品的概率为145．两件产品中有一件次品的情况有112816C C ⨯=种情况，所以两件产品中有一件次品的概率为1645. 两件产品中都不是次品的概率有2828C =种情况，所以两件产品都不是次品的概率为2845.【例 11】 一个班有女生25人,男生27人,任意抽选两名同学,恰好都是女生的概率是几分之几?【解析】 从25名女生中任意抽出两个人有25243002⨯=种不同的方法．从全体学生中任意抽出两个人有525113262⨯=种不同的方法．计算概率：300501326221=．【例 12】 从6名学生中选4人参加知识竞赛，其中甲被选中的概率为多少？【解析】 法一：从6名学生中选4人的不同组合有6543154321⨯⨯⨯=⨯⨯⨯种．其中，4人中包括甲的不同组合相当于在5名学生中选3人所以一共有54310321⨯⨯=⨯⨯种．所以甲被选择上的概率为102153=．法二：显然这6个人入选的概率是均等的．即每个人作为一号选手入选的概率为16，作为二号入选的概率为16，作为三号入选的概率为16，作为四号入选的概率为16，对于单个人“甲”来说，他以头号、二号、三号、四号入选的情况是互斥事件，所以他被入选的概率为1111266663+++=．【例 13】 （2008年奥数网杯）一块电子手表，显示时与分，使用12小时计时制，例如中午12点和半夜12点都显示为12:00．如果在一天（24小时）中的随机一个时刻看手表，至少看到一个数字“1”的概率是______．【解析】 一天当中，手表上显示的时刻一共有1260720⨯=种．其中冒号之前不出现1的情况有2、3、4、5、6、7、8、9八种， 冒号之后不出现1的情况有()()6110145-⨯-=种，所以不出现1的情况有458360⨯=种．所以至少看到一个数字“1”的情况有720360360-=种，所以至少看到一个数字“1”的概率为36017202=种．【例 14】 从立方体的八个顶点中选3个顶点，你能算出：⑴它们能构成多少个三角形？⑵这些三角形中有多少个直角三角形？⑶随机取三个顶点，这三个点构成直角三角形的可能性有多少？【解析】 从8个顶点中任取3个顶点都能构成三角形，所以应该有()87632156⨯⨯÷⨯⨯=个．如果三角形的三个顶点中任两个都不在正方体的一条棱上，则该三角形不是直角三角形，共有8个不是直角三角形．所以直角三角形共有56848-=个．构成直角三角形的可能性有486567=．【例 15】一个标准的五角星（如图）由10个点连接而成，从这10个点随机选取3个点，则这三个点在同一条直线上的概率为多少，这三个点能构成三角形的概率为多少？如果选取4个点，则这四个点恰好构成平行四边形的概率为多少？【解析】10个点中任意取3个的情况为1098120321⨯⨯=⨯⨯种，其中涉及到5条直线，每条直线上各有4个点，其中任意3点都共线，所以取这3点不能够成三角形，这样的概率是34511206C⨯=,所以3点构成三角形的概率为15166-=．10个点中取4个点的情形为41010987210 4321C⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种，10个点中平行四边形有10个，所以构成平行四边形的概率为101 21021=．【例 16】如图9个点分布成边长为2厘米的方阵（相邻点与点之间的距离为1厘米），在这9个点中任取3个点，则这三个点构成三角形的概率为多少？这三个点构成面积为12平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为1平方厘米的三角形的概率为多少？构成面积为32平方厘米的概率为多少？构成面积为2平方厘米的三角形的概率为多少？【解析】从9个点中任取3个点一共有3998784 321C⨯⨯==⨯⨯种情况．三个点共线一共有3328++=种情况．所以三个点能够成三角形的概率为81918421 -=．9个点中能构成面积为12的三角形一共有444432⨯+⨯=种情况．所以三个点能够成面积为12平方厘米的三角形的概率为3288421=．9个点中能够成面积为1平方厘米的三角形的情况有46832⨯+=种情况．所以三个点能够成面积为1平方厘米的三角形的概率为328 8421=．9个点中能够成面积为32平方厘米的三角形的情况有4种情况．所以三个点能够成面积为32平方厘米的三角形的概率为418421=．9个点中能够成面积为2平方厘米的三角形的情况有8种情况．所以三个点能够成面积为2平方厘米的三角形的概率为82 8421=．【例 17】 甲、乙、丙、丁四人互相传球，由甲开始第一次传球，每个人接到球后，都随机从其他人中选择一个人将球传出，那么第四次传球恰好传回甲手里的概率是多少？ 【解析】 对每一个接到球的人来说，下一次传球的方向有3种可能，所以四次传球的总路线有4381=种可能，每一种之间都是互斥的等概率事件. 而恰好传回到甲的情况，以第一步为→甲乙为例有如下7种情况： ⎧→→⎧⎪⎪→→→⎨⎪⎪⎪→→⎩⎪⎪→⎨→→⎧⎪→⎨⎪→→⎩⎪⎪→→⎧→⎨⎪→→⎩⎩乙甲甲丙甲丁甲甲乙乙甲丙丁甲乙甲丁丙甲所以第4次传回甲的概率为3778127⨯=．模块三、对立事件与相互独立事件【例 18】 一张圆桌旁有四个座位，A 、B 、C 、D 四人随机坐到四个座位上，求A 与B 不相邻而坐的概率． 【解析】 四人入座的不同情况有432124⨯⨯⨯=种．A 、B 相邻的不同情况，首先固定A 的座位，有4种，安排B 的座位有2种，安排C 、D 的座位有2种，一共有42216⨯⨯=种，所以A 、B 相邻而座的概率为216243÷=，那么A 、B 不相邻而座的概率为21133-=．【例 19】 某小学六年级有6个班，每个班各有40名学生，现要在六年级的6个班中随机抽取2个班，参加电视台的现场娱乐活动，活动中有1次抽奖活动，将抽取4名幸运观众，那么六年级学生小宝成为幸运观众的概率为多少？【解析】 小宝所在班级被抽中参加娱乐活动的概率为152651153C C ==，如果小宝参加了娱乐活动，那么小宝成为幸运观众的概率为4140220=⨯，所以小宝成为幸运观众的概率为11132060⨯=.【例 20】 从装有3个白球，2个黑球的口袋中任意摸出两球，全是白球的概率．【解析】 法一：5个球任意取出两个有25541021C ⨯==⨯种情况，互相之间都是互斥事件，且出现概率均等，而两个球都是白球有2332321C ⨯==⨯种情况，全是白球的概率为310．法二：将摸出两个球视作两次行为，摸出第一个球是白球的概率为35，再摸出一个白球的概率为311512-=-，所以两次摸出两个白球的概率为3135210⨯=．（建议讲完独立事件再讲这一方法）【例 21】 A 、B 、C 、D 、E 、F 六人抽签推选代表，公证人一共制作了六枚外表一模一样的签，其中只有一枚刻着“中”，六人按照字母顺序先后抽取签，抽完不放回，谁抽到“中”字，即被推选为代表，那么这六人被抽中的概率分别为多少？【解析】 A 抽中的概率为16，没抽到的概率为56，如果A 没抽中，那么B 有15的概率抽中，如果A 抽中，那么B 抽中的概率为0，所以B 抽中的概率为511656⨯=.同理，C 抽中的概率为54116546⨯⨯=，D 抽中的概率为5431165436⨯⨯⨯=，E 抽中的概率为543211654326⨯⨯⨯⨯=，F 抽中的概率为5432111654326⨯⨯⨯⨯⨯=.由此可见六人抽中的概率相等，与抽签的先后顺序无关.【巩固】如果例题中每个人抽完都放回，任意一个人如果抽中，则后边的人不再抽取，那么每个人抽中的概率为多少？【解析】 抽中的概率依次为：16、5166⨯、511666⨯⨯、51116666⨯⨯⨯、5111166666⨯⨯⨯⨯、511111666666⨯⨯⨯⨯⨯，在这种情况下先抽者，抽中的概率大．【例 22】 在某次的考试中，甲、乙、丙三人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，0.2，考试结束后，最容易出现几个人优秀？ 【解析】 注意他们的优秀率是互不影响的． 三人都优秀的概率是0.50.40.20.04⨯⨯=，只有甲乙两人优秀的概率为()0.50.410.20.16⨯⨯-=，（或0.50.40.040.16⨯-=）． 只有甲丙二人优秀的概率()0.510.40.20.06⨯-⨯=， 只有乙丙二人优秀的概率()10.50.40.20.04-⨯⨯=， 所以有两人优秀的概率为0.160.060.040.26++=， 甲一人优秀的概率()()0.510.410.20.24⨯-⨯-=， 乙一人优秀的概率()()10.50.410.20.16-⨯⨯-=， 丙一人优秀的概率()()10.510.40.20.06-⨯-⨯=， 所以只有一人优秀的概率为0.240.160.060.46++= 全都不优秀的概率为()()()10.510.410.20.24---=， 最容易出现只有一人优秀的情况．【巩固】在某次的考试中，甲、乙两人优秀（互不影响）的概率为0.5，0.4，考试结束后，只有乙优秀的概率为多少？ 【解析】 只有乙优秀的概率为()0.410.50.2⨯-=．【例 23】 某射手在百步之外射箭恰好射到靶心的概率为40%，如果该射手在百步之外连射三箭，三箭全部射中靶心的概率为多少？有一箭射中靶心的概率为多少？有两箭射中靶心的概率为多少?【解析】 ⑴全部射中靶心的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=．⑵第一箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=． 第二箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=． 第三箭射中，其他两箭射空的概率为()()0.410.410.40.144⨯-⨯-=．有一箭射中的概率为0.1440.1440.1440.432++=.⑶第一箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=． 第二箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．第三箭射空，其他两箭射中的概率为()10.40.40.40.096-⨯⨯=．有两箭射空的概率为0.960.960.960.288++=.【例 24】设每门高射炮击中敌机的概率为0.6,今欲以99%的把握击中敌机,则至少应配备几门高射炮同时射击？【解析】如果只配一门高射炮，那么未击中的概率为0.4，配备两门高射炮那么未击中的概率为0.40.40.16⨯=，如果配备三门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.064⨯⨯=，如果配备四门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.0256⨯⨯⨯=，如果配备五门高射炮，那么未击中的概率为0.40.40.40.40.40.01024⨯⨯⨯⨯=，如果配备六门高射炮，那么未击中的概率为60.40.004096=．所以至少配备6门高射炮，同时射击．【例 25】某地天气变化的概率是：如果今天晴天，那么明天晴天的概率是34．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是13．今天是星期三，天气温暖晴好．小明一家想在星期六去泡温泉，那么星期六晴天的概率是多少？【解析】根据题意，每天的天气应该只有晴、雨两种可能，不需要考虑阴天等情况，否则是把问题复杂化，而且这道题也没法做了．如果今天晴天，那么明天晴天的概率是3/4．如果今天下雨，那么明天晴天的概率是1/3．也就是说：晴——晴概率为34；晴——雨概率为14；雨——晴概率为13；雨——雨概率为23；可以画一个树状图把星期六是晴天的各种情况都列出来：星期六晴晴晴晴星期五晴雨雨晴星期四雨晴晴星期三然后再分别计算四种情况的概率：3332744464⨯⨯=；311144316⨯⨯=；113143416⨯⨯=；121143318⨯⨯=；所以星期六晴天的概率是2711134764161618576+++=。