第十七讲 等腰三角形、等边三角形、直角三角形

考点 1.等腰、等边三角形的判定和性质（2007～2012 年考） 1． （2013 广安） 等腰三角形的一条边长为 6， 另一边长为 13， 则它的周长为 （ C ） A．25 B．25 或 32 C．32 D．19
思路点拨：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
2.已知两个全等的直角三角形纸片 ABC、DEF，如图（1）放置，点 B、D 重合，点 F 在 BC 上，AB 与 EF 交于点 G ．∠C=∠EFB=90º，∠E=∠ABC=30º，AB=DE=4．求 证：△EGB 是等腰三角形．
5．如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，D 是 BC 上一点，且 BC=3BD，△ABD 绕点 A 旋转后 得到△ACE，则 CE 的长度为 2 ．
6.下列说法正确的有（ D ） ①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC 是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2 ：3，则三角 形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为 4、4、6，那么这个三角形不是直角三角 形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
7．已知 △ ABC 的三边长分别为 5，13，12，则 △ ABC 的面积为（ A ） A．30 B．60 C．78 D．不能确定 8．（2013 东营）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m，底面周长为 1m，在容器内壁离容 器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与 蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m（容器厚度忽略不计）．
⊙命题趋势⊙ 2010～2013 年广东省中考题型及分值统计
年份 2010 2011 2012 2013 填空题、 解答题渗透 勾股定理、直角三角形 4分+3分 试题类型 解答题 解答题 知识点 等边三角形的性质、等腰三角形的判定、 勾股定理 等腰直角三角形、勾股定理 分值 16分 9分
1.从近几年的广东省考试内容来看， 本讲内容命题 难度较大，考查学生的综合能力，是中考命题的热点， 考查的重点是勾股定理、等腰三角形、等边三角形性质 的综合运用. 2．题型以解答题为主． 3.2014 年考查重点可能是等腰三角形、等边三角 形、直角三角形的性质，与勾股定理、解直角三角形、 圆、轴对称、平移和旋转结合起来考查也应重视.
考点 2.直角三角形的判定及性质、勾股定理（2007～2009、2011、2013 年考） 5.如图所示，△ ABC 中，CD⊥ AB，垂足为 D．下列条件中，能证明△ ABC 是直角 三角形的有 ①②④ ． ①∠A+ ∠B=90° ；②AB2=AC2+BC2；③ ④CD2=AD-BD.
思路点拨：本题考查了直角三角形的性质和勾股定理的知识的应用，运用直角三角形 的这些特性加以判断即可．根据①三角形内角和是 180° 、②勾股定理、③余弦函数、 ④相似角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意． 52° 6.如图， AB、 CD 相交于点 O， AC⊥ CD 于点 C， 若∠ BOD=38°， 则∠ A= ．
1．等腰三角形 (1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形． (2)性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；即“等边对等角”； ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”． ④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的 垂直平分线 ．
(3)判定： ①有两条边相等的三角形是等腰三角形； ②有两个角相等的三角形是等腰三角形， 即“等角对等边”． 2．等边三角形 (1)定义：三边相等的三角形是等边三角形； (2)性质：①等边三角形的三边相等，三角相等，都等于 60 ; ②“三线合一”； ③等边三角形是轴对称图形，有
思路点拨：利用对顶角相等得到∠AOB 的度数，然后利用直角 三角形两锐角互余求得角 A 即可．
7． （2013 佛山） 如图， 若∠A=60°， AC=20m， 则 BC 大约是 （结果精确到 0.1m） （ B ）
A．34.64m
B．34.6m
C．28.3m
D．17.3m
思路点拨： 首先计算出∠B 的度数，再根据直角三角形的性质可得 AB=40m，再利用勾 股定理计算出 BC 长即可．
(2)判定： ①有一个角是 直角 的三角形是直角三角形； ②有一边上的中线是这边的 一半 的三角形是直角三角形． (3)勾股定理及逆定理 ①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； ②勾股定理的逆定理： 若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方， 则这 个三角形是直角三角形．
★课堂精讲★
4.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E 是 AD 延长线上的一点，且 CE=CD． 求证：∠B=∠E．
4.证明： ∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴∠B+∠ADC=180°， ∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠B=∠CDE， ∵CE=CD，∴△CDE 是等腰三角形， ∴∠CDE=∠E，∴∠B=∠E．
思路点拨： 根据题意，即可发现∠EBG=∠E=30° ，根据 30° 的直角三角形的性质从而证明结论．
2.证明：在 RtΔ EFB 中，∠E= 30 ，∴∠EBF= 60 又∵∠ABC= 30
0
0
0
，∴∠EBG=∠E= 30
0
∴EG=BG∴Δ EGB 是等腰三角形.
3．（2013 淄博）如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC．求证：AB=AD．
思路点拨：由 AB1 为边长为 2 等边三角形 ABC 的高，利用三线 合一得到 B1 为 BC 的中点，求出 BB1 的长，利用勾股定理求出 AB1 的长，进而求出第一个等边三角形 AB1C1 的面积，同理求出 第二个等边三角形 AB2C2 的面积，依此类推，得到第 n 个等边 三角形 ABnCn 的面积．
9.等腰三角形的底边长为 6，底边上的中线长为 4，它的腰长为（ C ） A． 7 B． 6 C． 5 D． 4
★随堂检测★
1．（2013 白银）等腰三角形的周长为 16，其一边长为 6，则另两边为 6,4或5,5 ． 2．（2013 荆门）若等腰三角形的一个角为 50°，则它的顶角为 ．
3.已知：如图，锐角△ ABC 的两条高 BE、CD 相交于点 O，且 OB=OC，求证：△ ABC 是等腰三角形；
3.证明：∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB ∵BE、CD 是两条高 ∴∠BDC=∠CEB=90° 又∵BC=CB ∴△BDC≌△CEB（AAS） ∴∠DBC=∠ECB ∴AB=AC ∴△ABC 是等腰三角形．
第二部分 空间与代数
第四章 三角形
第17讲 等腰三角形、等边三角形、直角三
角形
高分突破在手
中考高分无忧
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⊙考纲要求⊙
1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等 腰三角形的条件. 2.了解等边三角形的概念及其性质. 3.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三 角形的条件. 4.会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判断直角三角形.
0
三
条对称轴 ．
(3)判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形． 3．直角三角形 (1)性质： ①直角三角形的两锐角互余； ②直角三角形 30 角所对的直角边等于斜边的
0
一半
；
③直角三角形中，斜边上的 中线 长等于斜边的长的一半．
3 3 cm 4.边长为 6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.
5．（2013 滨州）在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边 AC 的长为 6.如图所示，在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，∠ACD=40°，则∠EBC= 140 ． 度．
★考点梳理★
★课前预习★
1.（2013 新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ B ） A．12 B．15 C．12 或 15 D．18
2.（2013 成都）如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AB=5，则 AC 的长为（ D ）
A．2
B ．3
C．4
D ．5
3．（2013 黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B 、C、D、E 在同一直线上，且 15 CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
思路点拨：根据 AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用 BD 平分∠ABC 和等 量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论．
3. 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB= ∠DBC， ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD= ∠DBC， ∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．
4．（2013 黑龙江）已知等边三角形 ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等 边三角形，得到第一个等边三角形 AB1C1，再以等边三角形 AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形，得到第二个等边三角形 AB2C2，再以等边三角形 AB2C2 的边 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边 AB3C3；„，如此下去，这样得到 的第 n 个等边三角形 ABnCn 的面积为 .