北京四中七年级上册数学平行线的判定(基础)知识讲解
七年级平行相交知识点
七年级平行相交知识点平行相交线是初中数学的基础知识，也是很多高中数学知识的重要基础，本文将对七年级平行相交线的知识点进行全面解析，帮助学生快速掌握。
1. 平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内，永远不相交的两条直线。
平行线有以下性质：（1）平行线的斜率相等。
（2）平行线所在的平面是平面内任意一点与平行线之间的垂线所在的平面。
（3）平行线间的距离是定值，等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
2. 平行线的判定方法（1）欧氏几何法。
如果两条直线与第三条直线分别交于两组同侧内角相等的角，则这两条直线平行。
即如果$\angle A=\angleD$，$\angle B=\angle E$，则$AB\parallel DE$。
（2）向量法。
如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。
即如果$y_1=kx_1+b_1$，$y_2=kx_2+b_2$，$k_1=k_2$，则$y_1\parallel y_2$。
3. 平行线的应用（1）角的平分线定理。
平行线将两个交角相等的角平分。
（2）相交线段定理。
相交线段之比等于交点到其中一个端点所在直线的线段与交点到另一个端点所在直线的线段之比。
（3）同位角和内错角定理。
同位角和内错角是平行线交的两条直线上的对应角，它们相等。
即$\angle A=\angle E$，$\angleB=\angle F$。
（4）平行四边形的性质。
平行四边形的对角线互相平分，且对角线所在的直线互相平行。
4. 练习题（1）在下图中，若$AB\parallel CD$，$\angle A=\angle B$，求证：$\angle C=\angle D$。
[图片]解析：因为$AB\parallel CD$，所以$\angle A=\angle C$，又因为$\angle A=\angle B$，所以$\angle B=\angle C$，即$\angleC=\angle D$。
（2）平行线$AB$，$CD$与直线$EF$相交，如下图所示。
初一数学知识点：平行线的性质与判定知识点
初一数学知识点：平行线的性质与判定知识点人一辈子的道路专门长，但关键的却往往只有几步，而初中确实是这关键几步中的第一步，查字典数学网为大伙儿预备了平行线的性质与判定知识点，欢迎阅读与选择!【判定方法】(1) 同角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.【性质】(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
【相同点】课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。
平行线的判定和性质研究的差不多上两直线被第三条直线所截的图形，能够说那个图形是它们共同的、必备的前提条件。
那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录同时阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。
七年级平行线知识点
七年级平行线知识点平行线，顾名思义，就是在同一个平面内不相交且方向相同的线。
在初中数学中，平行线是一个重要的知识点，尤其是在几何中，平行线更是无处不在。
本文将会介绍七年级学生所需掌握的平行线相关知识点。
一、平行线的定义平行线是指在同一平面内不相交的直线，它们的方向相同，永远不会相交。
我们可以使用符号“∥”来表示两条平行线。
二、平行线的判定判定两条直线是否平行，有以下几种方法：1.同位角相等若两条直线在同侧与一条直线相交，且同侧的内角互相相等，则这两条直线是平行的。
2.平行公理平行公理是几何学中的一个基本公理，它是指：如果在一个平面上给定一条直线和一个点，那么可以通过这个点有且仅有一条直线与这条直线平行。
3.反证法对于两条直线，如果它们不相交，那么它们要么平行，要么共面。
如果可以证明两条直线不共面，那么它们就是平行的。
三、平行线的性质1.同位角相等若两条直线与一条直线相交，那么同侧的内角互相相等，同侧的外角互相相等。
2.对顶角相等当两条平行线被一条直线所交，那么同位角对顶角相等，即相对的内角和相等，相对的外角和相等。
3.内错角互补当两条平行线被一条直线所交，那么同位角的内错角互补。
4.平衡定理有一条平行于底边的直线与三角形两边相交，那么这条直线所切割的两条边上的线段成比例。
四、解题方法1.同位角相等解题时需要注意同位角的特性。
当两个角互相对立时，它们是同位角并且相等。
同侧的两个内角之和等于 180°。
2.利用对顶角和内错角求解当两条线被一条直线切割时，对于同一顶点的两个角叫做对顶角，它们相等。
同一边内，错角相等。
3.平衡定理当直线与平行线交错来求解线段成比例的问题是，可以根据平衡定理解题。
即在一条平行于底边的直线与三角形两边相交的时候，这条直线所切割的两边上的线段成比例。
五、总结平行线是几何学中重要的知识点，掌握平行线及其相关性质对于初中生数学学习非常重要。
本文介绍了平行线的定义、判定方法、性质及解题方法，希望对七年级学生的学习有所帮助。
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。
初中数学 平行线的判定定理有哪些
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念，用于判断两条直线是否平行。
在本文中，我将详细介绍平行线的判定定理，包括定义、相关定理以及实际应用。
同时，我还会提供一些示例和习题，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理：如果两条直线被一条横截线所切，且同位角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠B，则l||m。
2. 平行线的性质：如果两条直线l和m都与第三条直线n平行，那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n，则l||m。
3. 垂直定理的逆定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线相互垂直，则l||m。
即如果l∠n且m∠n，则l||m。
4. 对顶角定理：如果两条直线l和m被一条横截线所切，且对顶角相等，则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切，且∠A=∠C，则l||m。
5. 平行线的传递性：如果直线l||m，且直线m||n，那么直线l||n。
即如果l||m且m||n，则l||n。
6. 锐角等于直角的定理：如果两条直线l和m在同一个平面内，且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等，则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°，则l||m。
7. 平行线的平行线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n 的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l||m。
8. 平行线的交角定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且其中一条直线与n的某一角度为锐角，另一条直线与n的某一角度为钝角，则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理：如果两条直线l和m被同一条直线n所切，且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C，则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理，可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
初一数学知识点：平行线的性质与判定知识点
初一数学知识点：平行线的性质与判定知识点
人生的道路很长，但关键的却往往只有几步，而初中就是这关键几步中的第一步，查字典数学网为大家准备了平行线的性质与判定知识点，欢迎阅读与选择!
【判定方法】
(1) 同角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行;
(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.
【性质】
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补.
【相同点】
平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件。
【区别】
平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：平行线的〝判定〞，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了〝同位角相等〞或〝内错角相等〞或〝同旁内角互补〞时，就可
以判定这两条直线平行。
它们是由〝数〞到〝形〞的判断。
平行线的〝性质〞，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即〝平行线〞这种图形具有的性质。
它们是由〝形〞到〝数〞的说理。
平行线的性质与判定知识点就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友情提醒，理解最重要哦!。
(完整版)平行线知识点(初一)
平行线知识点
1. 平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记住a∥b.
2. 平行公理——平行线的存在性与唯一性：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3. 平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4. 同位角、内错角、同旁内角的判断（三线八角）
5.平行线的判定：（证明题常用）
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
（同位角相等，两直线平行。
）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（内错角相等，两直线平行。
）
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条
直线平行。
（同旁内角互补，两直线平行。
）
（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
6. 平行线的性质(证明题常用)
(1) 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
（两直线平行，同位角相等。
）
(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
（两直线平行，内错角相等。
）
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角互补。
）
7. 图形的平移
一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。
8. 图形平移的性质：
平移不改变图形的形状和大小。
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
平行线知识点初一
平行线知识点初一在初一的数学学习中，平行线是一个非常重要的概念。
它不仅是几何学习的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
首先，我们来了解一下什么是平行线。
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
这里要注意两个关键点，一是“在同一平面内”，如果不在同一平面，两条不相交的直线不一定是平行线；二是“不相交”，这意味着它们无论延伸多远都没有交点。
平行线有许多重要的性质和判定方法。
性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
比如说，直线 a 平行于直线 b，直线 c 与 a、b 都相交，那么所形成的同位角就是相等的。
性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
性质 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
这些性质在解决角度计算和证明的问题中经常用到。
接下来，我们看看平行线的判定方法。
判定 1：同位角相等，两直线平行。
如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，那么这两条直线就是平行的。
判定 2：内错角相等，两直线平行。
判定 3：同旁内角互补，两直线平行。
在实际解题中，我们常常需要根据已知条件，灵活运用这些判定方法来证明两条直线平行。
再来说说平行线的传递性。
如果直线 a 平行于直线 b，直线 b 平行于直线 c，那么直线 a 就平行于直线 c。
这个传递性在解决一些复杂的几何图形问题时非常有用。
平行线还有一些常见的模型，比如“猪蹄模型”和“铅笔模型”。
“猪蹄模型”中，两条平行线被第三条直线所截，会出现两个形如猪蹄的角，这两个角是相等的。
“铅笔模型”则是另一种常见的情况，同样是两条平行线被第三条直线所截，形成的角有着特定的关系。
在学习平行线的过程中，我们会做很多相关的练习题。
比如，已知两条直线平行，求某个角的度数；或者根据给出的角的关系，证明两条直线平行。
为了更好地掌握平行线的知识，我们要多做练习，熟悉各种题型。
同时，要学会画图，通过图形来帮助我们理解和解决问题。
在画图时，要注意线条的笔直和角度的准确。
七年级数学平行线相交线知识点
七年级数学平行线相交线知识点七年级数学平行线相交线知识点在学习中，大家都背过各种知识点吧？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。
还在苦恼没有知识点总结吗？以下是店铺精心整理的七年级数学平行线相交线知识点，希望对大家有所帮助。
1、邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2、对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3、对顶角和邻补角的关系4、垂直：两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。
5、垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
6、垂足：如果两直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，它们的交点叫做垂足。
7、垂线性质(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
8、同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
9、平行：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。
10、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
11、命题：判断一件事情的语句叫命题。
12、真命题：正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立。
13、假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题。
14、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
15、对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
16、定理与性质对顶角的.性质：对顶角相等。
北京市四中七年级数学 《平行线及其判定(一)》教案 人教新课标版
平行线及其判定（一）三维目标:1．理解并掌握两直线平行的条件──同位角相等，两直线平行．2．理解用三角板和直尺过直线外一点画已知直线的平行线的依据．3．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、•推理能力和有条理的表达能力；掌握直线平行的条件，并能解决一些简单问题．教学重点:掌握直线平行的条件，是“同位角相等，两直线平行”．教学难点:判断两直线平行的说理过程．导入新课活动1．如图1（1）所示，用活动木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a．问题：（1）如图1（2），在木条a转动的过程中，观察∠2的变化以及它与∠1•的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？（2）改变图1（1）中∠1的大小，按照上面的方式，再做一做．∠1与∠2•的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？设计意图：设计此活动目的是使学生在操作中，直观认识“同位角相等，两直线平行”的结论．教师应鼓励学生亲自动手操作，通过观察、猜想得到这一结论．教师应关注学生能否积极地从事活动，活动中是否进行了思考；能否归纳出“同位角相等，两直线平行”的几何事实；是否主动地改变木条的位置以考虑一般的结论；能否将自己的发现与同伴进行交流，并从中获益等．师生行为：师：同学们先独立操作、观察，找出结论，然后四人讨论，得出结论．生：在转动木条a的过程中，看到∠1与∠2的大小关系为三种情况：大于、•等于、小于；木条a与木条b的位置关系有两种情况：相交与平行；当∠1=∠2时，•木条a与木条b平行．生：如果改变∠1的大小，按照上面的方法操作，我们也可以得到∠2与∠1•只要相等，那么木条a与木条b平行．师：由此我们看到：木条a、b的位置与∠1、∠2的大小有密切关系．只要∠1=•∠2，木条a就平行木条b．推进新课活动2．我们以前已学过用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线．•如图2所示．问题：（1）三角尺起着什么作用？（2）什么量保持不变？你能得到什么结论？设计意图：对活动1中得出的结论，进行验证，进一步让学生凭借自己的数学活动经验，认同“同位角相等，两直线平行”这一几何事实，•从中领悟到这种画平行线方法的合理性．师生行为：师：同学们不妨再亲自动手过直线AB外一点P画已知直线AB•的平行线CD，感受三角尺所起的作用．生：三角尺实际上保持了过P点所画的∠2和∠1相等，即在画平行线的过程中，∠1移动到∠2时大小没变．探索、归纳两直线平行的条件活动3．问题：（1）在图1（2）和图2中，∠1，∠2具有怎样的位置关系？（2）如图3，直线AB、CD与直线L相交，构成几个角？设计意图：认识图1（2）和图2中的∠1和∠2是两直线被第三条直线所截，•即“三线八角”中的同位角，归纳总结出“两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行”．提高学生的数学活动能力的概括能力．师生行为：生：图1（2）和图2中，∠1，∠2在直线EF的同一侧，并且在AB、CD的下方，•也有相同的位置关系，因此是同位角．师：大家回顾了同位角后，想一想，我们在活动1、活动2中得到的“如果∠1=•∠2，则木条a平行于木条b”；“如果∠1=∠2，过P点所画的直线CD平行于直线AB”．•一般情况下该怎样叙述？生：两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．师：得出此结论，对于我们判定两条直线平行有何意义？生：前面我们判定两直线平行，是用定义，看在同一平面内，两直线是否会相交，不相交则两直线平行．直线是可以无限延伸的，它们是否有交点有时很难判定，不容易判定两条直线平行还是相交，而用“同位角相等，两直线平行”这种方法判定两直线平行，具有很强的可操作性，活动2就是一个很好的例子．师：很好！同位角在什么“环境”下出现？生：两条直线被第三条直线所截．师：图3中，∠1和∠2是同位角，它们相等吗？AB∥CD吗？生：不相等，因此AB和CD不平行．如果转动AB或CD，使∠1=∠2，则AB∥CD．师：通过大家的共同努力，我们得到了判定两直线平行的方法，简单地说：同位角相等，则两直线平行．用我们得出的结论去分析生活中的现象活动4．问题：如图4，你能说出木工用图中，这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？设计意图：用“同位角相等，两直线平行”这一数学事实去解决生活中的问题，这正是学习数学的意义所在．师生行为：生：木工师傅正是用了直尺在沿着直线AB移动的过程中，•角尺所形成的角的大小不变，如图4中，∠DCB=∠FEB，而∠DCB、∠FEB可看作直线CD、EF被直线AB•所截得的同位角，由“同位角相等，两直线平行”可得CD∥EF．师：能用几何符号表示吗？生：可以，上述过程可表示为：因为∠DCB=∠FEB，所以CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．活动5．问题：（1）找出图5点阵中互相平行的直线；（2）如图6，∠1=∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB、CD平行吗？说明你的理由．设计意图：在学生掌握了“同位角相等，两直线平行”的平行判定方法一的基础上，在不同的情境中感受判定方法的重要作用，培养学生文字语言、符号语言和图形语言之间的转换能力．培养学生解释结果的合理性的能力．师生行为：生：在图5中，因为线段AB、CD与EF、GH相交所成的锐角是45°，因为∠1=∠2=45°，所以AB∥CD；因为∠2=∠3=45°，所以EF∥GH．生：在图6中，∠3是∠2的对顶角，所以∠3=55°（对顶角相等）．因为∠1=∠2=55°，∠3=55°，所以∠1=∠3．又因为∠1，∠3构成同位角，由同位角相等，两直线平行，得AB∥CD．课堂小结活动6．问题：你对本节内容有何认识？设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小节活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．师生行为：教师在此活动中应重点关注：（1）不同层次学生对本节知识的认识程度；（2）学生独间联系的感受．学生以小组为单位，总结判定直线平行的方法．生：这节课我们探究了判定直线平行的条件：“同位角相等，两直线平行”．生：我们还明白了用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线这一做法的道理所在．生：到现在为止，我们就有了三种判定两直线平行的方法：（1）定义（不常用）；（2）如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行；（3）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则两直线平行．生：有了第三种判定直线平行的方法，我们可以解释生活中画两条线平行的合理性，我觉得学习几何很重要．布置作业习题5．2 2．活动与探究学习了平行线判定方法一，你有多少种画平行线的方法？[过程]注意前后知识的联系，例如我们学习过作一个角等于已知角；过直线外一点作已知直线的垂线；折纸等．[结果]方法一：方法二：方法三：备课资料一、参考例题【例1】若∠1=52°，如图10，问应使∠C为多少度时，能使直线AB∥CD？分析：要使直线AB∥CD，则需使同位角相等，即∠1=∠C，这样即可求出．解：若∠1=52°，当∠C=52°时，直线AB∥CD．【例2】如图11，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，则AB、CD、EF的位置关系如何？分析：由已知∠1=∠4，可知AB∥EF，所以可猜想AB∥CD∥EF．由图中可知∠2+∠3=180°，而已知∠1+∠2=180°，所以由同角的补角相等可得∠1=∠3，这样得到AB∥CD．由“两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行”可得：AB∥CD∥EF．解：1218013//3218014//AB CDAB EF∠+∠=︒⎫⎫⇒∠=∠⇒⎬⎪⇒∠+∠=︒⎬⎭⎪∠=∠⇒⎭AB∥CD∥EF．二、参考练习1．如图12，∠1=45°，∠2=135°，则L1∥L2吗？为什么？解：平行．因为∠1+∠3=180°，∠1=45°，所以∠3=135°．又因为∠2=135°，所以∠2=∠3．因此L1∥L2．2．如图13，∠1=120°，∠2=60°，问直线a与b的关系．解：直线a与b平行．因为∠2+∠3=180°，∠2=60°．所以∠3=120°，又因为∠1=120°，所以∠1=∠3，因此a∥b．3．如图14，在三角形ABC中，∠B=90°，D在AC边上，DF⊥BC于F，DE⊥AB于E，则线段AB与DF平行吗？BC与DE平行吗？为什么？解：线段AB与DF平行，线段BC与DE也平行．因为DF⊥BC于F，则∠DFC=90°．又因为∠B=90°，所以∠B=∠DFC．因此AB∥DF．BC与ED平行的理由同上．。
七年级平行线的判定及证明
平行线的判定及证明学员姓名辅导科目数学教师年级七升八授课日期课次数2课题平行线的判定与证明教学目标通过讲课能熟记平行线的判定定理；通过练习成功掌握证明步骤的理由，并能独立完成常规证明题；提高对本章图形的兴趣，建立自信心。
重、难点组合图形中角的关系与计算。
教学内容知识点及例题精讲重点提示与记录一、知识要点1、平行线的判定定理a、b、c、d、ea、b、c、d、e、2、其他常用证明理由二、典型例题：知识点二：探索两直线平行的条件1、同位角相等,两直线平行；2、内错角相等,两直线平行；3、同旁内角互补,两直线平行.例1 如图1，根据图形将过程补充完整。
①∵∠1 =_____（已知）∴ AB∥CE（）②∵∠1+_____=180度（已知）∴ CD∥BF（）③∵∠1 +∠5 =180度（已知）∴ _____∥_____（）④∵∠4 +_____=180度（已知）∴ CE∥AB（）例2：已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，求证：AB图1所示,下列条件中,能判断AB∥CD的是( )A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么( )∥BC ∥BC∥DC ∥EF3.如图3所示,能判断AB∥CE的条件是( )A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE4．如图4，现给出下列四个条件:①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠4+∠7=180°;④∠2=∠6.其中能说明a∥b的条件序号有几个( )个个个个5、如图5：①∠1和∠2是____和____被_____截得的________；②____和____被______所截，∠1和∠B是_______角；③____和____被_____所截，∠EFC和∠C是_______角．6、如图所示,已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600 ,∠E=30°,试说明AB∥CD.7、如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,求证：a∥c。
初中数学知识归纳平行线的性质与判定
初中数学知识归纳平行线的性质与判定平行线是数学中最基础的概念之一，在初中数学中也占据了重要的地位。
平行线的性质和判定方法具有一定的规律性和逻辑性，掌握了这些知识，对于解题和推理都有很大的帮助。
本文将对初中数学中与平行线相关的性质和判定进行归纳和总结。
一、平行线的性质1. 平行线性质一：同位角性质同位角是指两条平行线被一条第三条线（称为横线）所切割所形成的内角和外角。
同位角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，同位角相等。
例如，图1中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B、C都是同位角。
根据同位角性质，可知∠A = ∠B = ∠C。
2. 平行线性质二：内错角性质内错角是指两条平行线被一条第三条线所切割所形成的内角。
内错角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，内错角相等。
例如，图2中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B是内错角。
根据内错角性质，可知∠A = ∠B。
3. 平行线性质三：同旁内角性质同旁内角是指两条直线与两条平行线相交所形成的内角。
同旁内角性质可以概括为：当两条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补。
例如，图3中的直线a、b与平行线m、n相交，角A和角B、C是同旁内角。
根据同旁内角性质，可知∠A + ∠B = 180°和∠A + ∠C = 180°。
二、平行线的判定方法1. 直线平行判定法一：同位角相等法如果一条直线与另外两条直线相交时，同位角相等，则这两条直线平行。
例如，图4中的直线l与线段AB、CD相交，∠1 = ∠2，则可判定线段AB与线段CD是平行的。
2. 直线平行判定法二：内错角相等法如果一条直线与两条平行线相交时，内错角相等，则这条直线与这两条平行线平行。
例如，图5中的直线l与平行线m、n相交，∠A = ∠B，则可判定直线l与平行线m、n是平行的。
3. 直线平行判定法三：同旁内角互补法如果一条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补，则这条直线与这两条平行线平行。
平行线及其判定知识点总结
平行线及其判定知识点总结平行线，是解析几何中比较基础的一个概念。
几何上，两个直线如果在同一平面内不相交，则称这两条直线平行。
平行线具有很多性质和特点，也有很多的判定方法。
在数学考试中，平行线常常与其他几何概念联系在一起，考查学生对几何性质的掌握和理解。
本文将从各个角度总结平行线及其判定知识点。
一、平行线的定义平行线的定义是：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
这个定义是解析几何中最基础的概念之一，也是其他关于平行线的定义和性质的基础。
二、平行线的性质1. 平行线上的所有点到另一条直线的距离相等。
2. 两条平行线的任意一组对应角都相等。
3. 平行线与另一条直线之间的对应角相等。
4. 平行线所夹区域的内部角和是180度。
5. 如果两条直线与同一直线相交，使得相邻角的和等于180度，则这两条直线是平行线。
以上这些性质都是与平行线紧密相关的。
在解决几何问题时，这些性质能够帮助我们推导出其他几何关系。
三、平行线的判定方法1. 相关角判定法如果两条直线与同一直线相交，使得相邻角的和等于180度，则这两条直线是平行线。
此时，相邻角被称为“内错角”。
如图，直线L1和L2相交于直线a，相邻角∠1和∠2相加为180度，因此L1 || L2。
2. 平行线夹角判定法在一个平行四边形中，两组对角线是相互平分的。
如果一条线段与一个平行四边形的两条对角线相交，且这两个角相等，则这条线段与平行四边形的另一条边平行。
如图，设∠DAB = ∠DCB，则AB || CD。
3. 垂线判定法如果两条直线在同一平面内，并且任意一条直线上有一点垂直于另一条直线，那么这两条直线是平行的。
如图，直线a上的点C垂直于直线b，因此a || b。
4. 距离判定法如果两条直线在同一平面内，且它们上面的任何一条平行线距离相等，则这两条直线是平行的。
如图，AB = CD，因此直线AB || 直线CD。
5. 三角形内部角和判定法如果一个三角形的两个角分别与一条直线相交，那么这条直线与另一个角的对边边平行，当且仅当这两个角的和等于180度。
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平行线的判定（基础）知识讲解
【学习目标】
1.熟练掌握平行线的画法；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【要点梳理】
要点一、平行线的画法及平行公理
1.平行线的画法
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点.
④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
2.平行公理及推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
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要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
【典型例题】
类型一、平行公理及推论
1．下列说法中正确的有 ( )
①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，
c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，
所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，
故选A．
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字
词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．
举一反三：
【变式】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是 .
【答案】平行
类型二、平行线的判定
2.(江苏)如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：
①∠1＝∠5； ②∠1＝∠7； ③∠2＋∠3＝180°； ④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的
条件的序号是 ( ).
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．
【答案】A
【解析】①由∠1＝∠5可推出a∥b，理由是同位角相等，两直线平行．
②∵ ∠1＝∠7，又∠7＝∠5，
∴ ∠1＝∠5，可推出a∥b．
③∠2＋∠3＝180°不能推出a∥b．
④∠4＝∠7不能推出a∥b．
【总结升华】从题目的结论出发分析所要说明的结论能成立，必须具备的是哪些条件，再看
这些条件成立又需具备什么条件，直到追溯到已知条件为止．
举一反三：
【变式1】如图，下列条件中，不能判断直线12ll∥的是（ ）.
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝1800
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【答案】B
【变式2】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1＝2，求证：AB//CD．
【答案】∵ 1＝2
∴ 21＝22 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）
3.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．
【答案与解析】
解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4
可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件
可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果．
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4.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什
么？
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
举一反三：
【变式】已知，如图，EFEG，GMEG，1＝2，AB与CD平行吗？请说明理由．
【答案】
解：AB∥CD．理由如下：如图：
∵ EFEG，GMEG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．