2011卢湾区期高三期末试卷有答案(数学)-卢湾区2010学年第一学期高三年级期末考试key

卢湾区2010学年第一学期高三年级期末考试 数学参考答案及评分标准 2011.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分．
1．{} 2 2．(0, 1) 3．5, 44ππ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
4 5．12 6．5
7．1320 8．5 9．6 10．0.7 11．（理）6（文）2 12．15
13．14 14．
1
()2
n a b -+ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．
15．A 16．C 17．D 18．B
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由
2i z +是实数，可设2i
z
+= a ，R a ∈， 故(2i)2i z a a a =+=+， ………………3分 所以2i z z a -=，又4i z z -=，可得24a =，
即2a =，所以42i z =+． ………………6分 （2）由|i |5z m -<，可得|4(2)i |5m +-<，
又R m ∈5 ………………9分 即216(2)25m +-<，解得15m -<<， 所以实数m 的取值范围是(1,5) -． ………………12分 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． （1）由(2)q p q -⊥，可得(2)q p -·q =0， ………………2分 即2||2q p -·0q =，又(cos ,sin )p B B =- ，(cos ,sin )q C C = 所以22cos sin 2(cos cos sin sin )0C C B C B C +--=， 即1
cos()2
B C +=
，又0B C π<+<， ………………6分 ∴3
B C π
+=，故2π()3A B C π=-+=． ………………8分
（2）在△ABC 中，由2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，
可得22()2(1cos )BC AB AC AB AC A =+-⋅+， ………………10分
即22142(1)2
AB AC =-⋅⋅-，
故4AB AC ⋅=， ………………12分
∴11sin 422S AB AC A =
⋅=⨯= ………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． （1）延长RP 交AB 于E ，延长QP 交AD 于F ，
由ABCD 是正方形，PRCQ 是矩形，可知,PE AB PF AD ⊥⊥， 由TAP θ∠=，可得6cos EP θ=，6sin FP θ=，
∴76sin PR θ=-，76cos PQ θ=-， ………………4分 ∴(76sin )(76cos )S PR PQ θθ=⋅=--
4942(sin cos )36sin cos θθθθ=-++
故S 关于θ的函数解析式为
4942(sin cos )36sin cos =-++S θθθθπ
(0)2
θ≤≤．……6分
（2）由sin cos t θθ+=，可得22(sin cos )t θθ=+ 12sin cos θθ=+，即2
1
sin cos 2
t θθ-=
， ∴22494218(1)184231S t t t t =-+-=-+． ……………9分
又由π02θ≤≤，可得3π444
ππθ≤+≤，
故π
sin cos )[14
t θθθ=++∈，
∴S 关于t 的表达式为2184231S t t =-+
（∈t ）． ……………11分
又由27
13
18()62
S t =-+
，t ∈
可知当t =时，S 取最大值，
故S
的最大值为67-． ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）由1,()4a f x =-=，可得224x x --=，设2x t =，
则有14t t --=，即2410t t --=
，解得2t = ………………2分
当2t =
时，有22x =+
2log (2x =．
当2t =
时，有22x =
故所求x
的值为2log (2+． ………………4分 （2）设12,[1,),x x ∈+∞且12x x >，
则112212()()(22)(22)x x x x f x f x a a ---=+-+
2112
1222(22)2x x x x x x a +-=-+12121222(2)2x x x x x x a ++-=- ………………7分
由12x x >，可得1222x x >，即12220x x ->
由12,[1,),x x ∈+∞12x x >，可得122x x +>，故12240x x +>>， 又4a ≤，故122x x a +>，即1220x x a +->
T
N
F
E R
Q
θ
P
D C
B
A
所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，
故函数()f x 在[1,)+∞上是增函数． ………………10分 （3）由2(2)[()]f x f x >2222222222x x x x a a --⇔+>++
222()20x a a a -⇔-+< ………………12分
设22x t -=，由[0,1]x ∈，可得1
[,1]4
t ∈，
由存在[0,1]x ∈使得2(2)[()]f x f x >，
可得存在1[,1]4
t ∈，使得2()20a a t a -+<， ………………14分 令2()()20g t a a t a =-+<，
故有211()()2044
g a a a =-+<或2(1)()20g a a a =-+<，
可得70a -<<．即所求a 的取值范围是(7,0)-． ………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
（1）当a n +b n 2≥0时，b n +1－a n+1= a n +b n 2 -a n = b n -a n
2；
当a n +b n 2<0, b n +1－a n +1 = b n - a n +b n 2 = b n -a n 2
．
所以，总有b n +1－a n +1 = 1
2
(b n -a n ),
又110,0b a ><，可得110b a ->，
所以数列｛b n －a n ｝是等比数列． ………………4分 （2）①由111,2a b =-=，可得
111022a b +=>，故有11221[,][,]2
a b
a b a +=， ∴1121
22
a b b +=
=，211a a ==-，从而222a b =-， 故当n =1时，222n n a b =-成立． ………………6分 ②假设当n k =时，222n n a b =-成立，即222k k a b =-， 由22230k k k b a b -=>，可得20k b >，
2222220222k k k k k a b b b b +-+==-<, 故有2221212[,][,]2
k k k k k a b a b b +++=， ∴22221212,22k k k k k k a b b
a b b +++==-=, ………………9分
222121220224k k
k k k b
b a b b ++-++==>,故有2121222221[,][,]2
k k k k k a b
a b a ++++++= ∴212122224k k k k a b b b ++++==, 222212
k k k b
a a ++==-，故2(1)2(1)2k k a
b ++=-
∴当1n k =+时，222n n a b =-成立．
综合①②可得对一切正整数n ，都有222n n a b =-． ………………12分
（3）假设存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列，
由（1）可得b n －a n =11()b a -(1
2
)n -1，又1n a a =，
故b n =111()a b a +-(1
2)n -1， ………………14分
由1n n a a +=恒成立，可知a n +b n 2
≥0,即111()a b a +-(12)n
≥0恒成立，
即2n ≤
11
1
a b a -对任意的正整数n 恒成立， ………………16分 又111
a b a -是正数，故n ≤1121log a b
a -对任意的正整数n 恒成立，
因为1121log a b a -是常数，故n ≤1121
log a b
a -不可能对任意正整数n 恒成立．
故不存在11,a b ，使得数列{}n a 为常数数列． ………………18分。