《信号分析与处理》概要

统一性、不变性、差异性、系统性
24


“细推物理须行乐，何用浮名绊此身？” －杜甫· 曲江二首 “昨夜西风凋碧树，独上高楼，望断天涯路。” “衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。” “众里寻他千，蓦然回首，那人却在灯火 阑珊处。”
25
jn t
jn t

2
T t , (1 1)

n j t

Fn H


jn t e
j t

e
,e
e

e
j t
d t 2
(1 2 )
8
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示
对 f
j
0≤ k≤N-1
(18)

由X(k)确定X(e )

DFT的分辨力
17
3. 线性定常系统分析的输入输出方法
令输入为x(t)（x(n)），输出为y(t)（y(n)） yzs(t)=h(t)*x(t)（零状态）h(t)－－冲激响应 yzs(n)=h(n)*x(n)（零状态） yzs(t)=H(p)x(t)（零状态）H(p)－－系统算子 yzs(n)=H(z)x(n)（零状态） Y(s)=H(s)X(s)（零状态、因果） H(s)－－系 统函数 Y(z)=H(z)X(z) （零状态） 18

Lf t



F L e
j t
df



F H ( ) e
j t
df
(1 5 )
(3)和(15)式殊途同归——卷积定理
9
2. Fourier变换、Laplace变换、 Z变换
2.1 定义与存在性

定义
f t L
1
, , 则 F ( ) 存 在 , 即

t0
m t n t d t K m n

(4)
则对 f t L1 t 0 , t 0 T L 2 t 0 , t 0 T
f
t
f

n

Fn n t
(5 )
Fn
t ,n t
n t ,n t
16
2.5 DTFT DFT

定义 x(n)单位圆上Z变换即序列的Fourier变换
F﹛x(n)﹜=DTFTx(n)= X(z)|z=ej=X(e ) （17）
j

x(n)单位圆上Z变换的N点等间隔采样即序列 的DFT
由X(k)确定X(z)
DFTx(n)= X(k)= X(z)|z=W-k
14
2.3 Laplace变换与Fourier变换的关系

单边/双边 F(s)收敛域含虚轴j，则F(j)= F(s)|s=j

15
2.4 Laplace变换与Z变换的关系




S平面与Z平面，z=eST，多对1，j→单位圆， 左内右外 角频率与离散（数字）频率 反演－－留数定理 零极点分布与时域原函数、系统函数与模态 零极点分布与频率响应、几何方法 X(s)到X(z)
F ( )
f t 为 指 数 阶 信 号 ， 即 M 0, T 0, 0 , 使 当 t T , 成 立 f t M e
0t
(1 6 )
则 F ( s )存 在 ,即 F ( s ) , 收 敛 域 0
11
2.1 定义与存在性
《信号与系统》概要
教师：山秀明教授
shanxm@
清华大学电子工程系
2004-6-9
1. 信号表示与信号通过零状态线 性定常系统
1.1 信号的脉冲分解、卷积

紧支集的阶梯函数在连续函数中稠密 连续信号x(t) 脉冲分解的极限形式

x (t )


x ( ) ( t ) d x ( t ) ( t )
3. 线性定常系统分析的输入输出方法

Y()=H()X()（零状态、稳定） H()
－－系统函数

Y(e )=H(e )X(e ) （零状态、稳定） 对因果、零状态、BIBO稳定系统，H(p)、 H(s)、H(j)形式相等
微分方程－普适 黑盒子方法/状态空间方法
19
j
j
j

4. 冲激函数



x ( ) h ( t ) d x ( t ) h ( t )
(3)
4
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示

设
n ( t ) n L

2
t0 , t0
T 是 完 备 正 交 集
t0 T
m t ,n t
(6 )
5
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示

e
jn t
n jn t
是L
2
t 0 , t 0 T 中 完 备 正 交 集
t0 T
e
jm t
,e

t0 1
e
jm t
e
jn t
dt T mn
2
2
dt
(9 )
6
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示

B IB O 稳 定 线 性 定 常 系 统 L的 特 征 函 数 Le e
j t
H

j e
j t
,
t ,
(1 0 )
j t
－－ 线 性 定 常 系 统 特 征 函 数 线 性 定 常 系 统 L的 谱
j t
H
j －
(1 0 ) 式 也 是 系 统 对 e
的稳态响应。
7
1.2 信号的谱表示（正交分解）、线 性定常系统算子谱表示
Байду номын сангаас周
期 信 号 f t 通 过 B IB O 稳 定 线 性 定 常 系 统
y t Lf t
j t

n

Fn L e
t L ,
1
L
2
, ,则

f t F
f
F
1
F


F e
j t
j t
df
(1 3)
F
f t

f t e
dt
(1 4 )
t 通 过 B IB O 稳 定 系 统 L


P.A.M. Dirac定义→弱极限→广义函数 （依内积收敛） 性质与应用 冲激偶及性质
20
5. 非零状态线性系统
定义 系统响应=零状态响应+零输入响应（由定 义产生的推论）


21
6. 信息与通信工程和电子科学技术学 科的若干基本知识

BIBO稳定
全通函数 最小相移函数 无失真传输 理想低通滤波器 复包络方法 Hilbert变换
(1)

设线性定常系统算子L，则
h t L t h t
L t
(2)
3
1.1 信号的脉冲分解、卷积

零状态响应yzs (t)

线性
y zs ( t ) L x ( t )
定常


x ( ) L ( t ) d


F(s) （F()）与 f(t) 为几乎处处一一对 应映射。 因果序列 x(n)的Z变换X(z)收敛域在某 一圆外，逆因果序列x(n)的Z变换的收敛 域在某一圆内。
12
2.2 性质

表现形式相同的性质



代数性质（线性，卷积，相乘） 尺度变换（相似）性质 时移（移位） 微分、积分
13
2.2 性质

特殊性质





f(t) ∈L2 (-∞, ∞)，Fourier变换具有内积不变性、 能量不变性（Parseval定理）、欧氏范数(||·||2) 不变性。 Gibbs现象（第1类间断点，不一致收敛，相对 峰值≈9%的衰减振荡）。 Fourier方法的最小均方收敛性。 实信号傅里叶谱的对称性（模偶相奇）。 Fourier谱的渐近特性（结论） Laplace变换与Z变换的初值定理与终值定理。
T
(7 )
则 对 f t L t0 , t0 T L f t 1 T
t 0 , t 0 T ， 有 f t 的 傅 里 叶 级 数
2
T (8 )

n t0 T
Fn e
jn t
Fn

t0
f t e
jn t
22


6. 信息与通信工程和电子科学技术学 科的若干基本知识



物理可实现问题（Paley-Wiener准则） 等效带宽、等效时宽、Heisenberg测不 准原理、Cauchy-Schwartz不等式 匹配滤波器 相关 采样与采样定理
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本课强调

问题的提法 概念的理解与演绎－－高数学起点 直觉物理思考 归纳与概括 于不疑处存疑（胡适）