幂函数及函数应用(习题)

合集下载

幂函数经典例题(答案)

幂函数经典例题(答案)A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R.错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________．答案 5解析设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R)的图象一定不经过第________象限．答案四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。

幂函数的练习题

幂函数的练习题幂函数的练习题幂函数是数学中一种常见的函数形式，它的表达式为y = ax^n，其中a是常数，n是指数。

在解决实际问题或数学题目时，我们经常会遇到幂函数的练习题。

本文将通过一些例题来帮助读者更好地理解和应用幂函数。

例题一：已知y = 2x^3，求当x = 4时，y的值。

解析：将x = 4代入幂函数的表达式中，得到y = 2(4^3) = 2(64) = 128。

因此，当x = 4时，y的值为128。

例题二：已知y = 5x^2，求当y = 45时，x的值。

解析：将y = 45代入幂函数的表达式中，得到45 = 5(x^2)。

将方程两边除以5，得到9 = x^2。

开平方根，得到x = ±3。

因此，当y = 45时，x的值为±3。

例题三：已知y = 2^x，求当x = 0时，y的值。

解析：将x = 0代入幂函数的表达式中，得到y = 2^0 = 1。

因此，当x = 0时，y的值为1。

例题四：已知y = 3^x，求当y = 81时，x的值。

解析：将y = 81代入幂函数的表达式中，得到81 = 3^x。

将等式两边取对数，得到log3(81) = x。

由于3的多少次幂等于81，可以得到x = 4。

因此，当y =81时，x的值为4。

通过以上例题，我们可以看到幂函数在解决实际问题中的应用。

幂函数的指数决定了函数的增长速度，当指数为正数时，函数呈现递增趋势，当指数为负数时，函数呈现递减趋势。

幂函数也可以用来描述物理现象中的指数增长或衰减。

除了以上的例题，我们还可以通过一些练习题来进一步巩固对幂函数的理解。

练习题一：已知y = 4x^2，求当x = -2时，y的值。

练习题二：已知y = 2^x，求当y = 16时，x的值。

练习题三：已知y = 3^x，求当x = -1时，y的值。

练习题四：已知y = 5^x，求当y = 625时，x的值。

通过解答这些练习题，读者可以进一步熟悉幂函数的性质和运算规律。

幂函数经典例题(答案解析)

幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是( )A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 15(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设pq(|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x pq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝x pq的奇偶性与p的值相对应．解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1或0.当t＝0时，f(x)＝x75是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x25是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t＝1且f(x)＝x85或t＝－1且f(x)＝x25.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 解析在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.点评幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23；(2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A 4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B 5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x －12，∴f (8)＝8－12＝24.8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝x －2D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________．答案 5解析设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α(α∈R )的图象一定不经过第________象限．答案四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x (x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。

幂函数练习题及答案解析

幂函数练习题及答案解析1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^2.解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。

2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。

解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。

3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。

解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3.4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。

(-3)^n。

解析：因为 (-2)^n。

0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。

+∞) 上为减函数。

因此 n = -1 或 n = 2.1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。

-4)。

解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。

-4) 上递减。

2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。

0)。

解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。

0)。

3.正确的说法有 2 个。

解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。

4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值的个数是 1.解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。

因此个数为 1.1.α=-1,1,3.由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1.2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3<x<1)。

高中数学：幂函数练习及答案

高中数学：幂函数练习及答案幂函数的概念1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）A.0B.1C.2D.32.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）A.0B.1C.2D.0或13.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）A. B.－1 C.2或－1 D.2求幂函数的解析式4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A.f（x）＝3xB.f（x）＝x3C.f（x）＝x－2D.f（x）＝（）x5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16,4），则f（）的值为（）A.3B.C.D.幂函数的定义域和值域6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，）C.[，＋∞）D.（，＋∞）7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④比较幂值的大小8.下列关系中正确的是（）A.<<B.<<C.<<D.<<9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a幂函数的图像10.函数y＝的图象是（）A. B. C. D.11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4,1的大小（）A.α1<α3<0<α4<α2<1B.0<α1<α2<α3<α4<1C.α2<α4<0<α3<1<α1D.α3<α2<0<α4<1<α113.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（）A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤幂函数的性质14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（）A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.一定不是奇函数D.一定不是偶函数15.函数f（x）＝在[－1,1]上是（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（）A. B.－1 C.4 D.－417.下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都经过点（0,0），（1,1）B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.幂函数的综合应用20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；②函数f（x）的值域是[－2,4）；③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数f1（x）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.答案1.若y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝a x（a＞1），上述函数中幂函数的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由幂函数的定义知，y＝x2，y＝（）x，y＝4x2，y＝x5＋1，y＝（x－1）2，y＝x，y＝ax（a＞1）七个函数中，是幂函数的是y＝x2和y＝x，故选C.2.幂函数f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，且f（－x）＝f（x），则m等于（）A.0B.1C.2D.0或1【答案】B【解析】因为f（x）＝x3m－5（m∈N）在（0，＋∞）上是减函数，所以3m－5<0，故m<.又因为m∈N，所以m＝0或m＝1，当m＝0时，f（x）＝x－5，f（－x）≠f（x），不符合题意；当m＝1时，f（x）＝x－2，f（－x）＝f（x），符合题意.综上知，m＝1.3.当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，则实数m等于（）A. B.－1 C.2或－1 D.2【答案】D【解析】因当x∈（0，＋∞）时，幂函数y＝（m2－m－1）·x－m－1为减函数，所以m2－m－1＝1，且－m－1＜0，解得m＝2或－1，且m＞－1，即m＝2.故选D.4.已知点（，）在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式是（）A.f（x）＝3xB.f（x）＝x3C.f（x）＝x－2D.f（x）＝（）x【答案】B【解析】幂函数f（x）＝xα的图象过点（，），所以＝（）α，解得α＝3，所以幂函数为f（x）＝x3，故选B.5.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（16，4），则f（）的值为（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象经过点（16，4），∴16α＝4，解得α＝，∴f（x）＝，∴f（）＝＝.故选C.6.若函数f（x）＝，则函数y＝f（4x－3）的定义域是（）A.（－∞，＋∞）B.（－∞，）C.[，＋∞）D.（，＋∞）【答案】D【解析】幂函数f（x）＝＝，其定义域为（0，＋∞），∴4x－3>0，∴x>，∴函数y＝f（4x－3）的定义域是（，＋∞）.7.有四个幂函数：①f（x）＝x－1;②f（x）＝x－2;③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.如果这个同学给出的两个性质都是正确的，那么他研究的函数是（）A.①B.②C.③D.④【答案】A【解析】对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于②，具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于③，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.对于④，不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}.故选A.8.下列关系中正确的是（）A.<<B.<<C.<<D.<<【答案】D【解析】由于幂函数y＝在（0，＋∞）上递增，因此<，又指数函数y＝（）x在（0，＋∞）上递减，因此<，故<<.故选D.9.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a、b、c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【解析】∵0.6∈（0，1），∴y＝0.6x是减函数，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在（0，＋∞）是增函数，∴1.50.6>0.60.6，∴b<a<c，故选C.10.函数y＝的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设y＝f（x）＝，f（－x）＝＝＝＝＝f（x），又函数f（x）的定义域为R，故f（x）为偶函数，即其图象关于y轴对称.又∵>0，∴f（x）在（0，＋∞）上为增函数，又∵>1，∴f（x）在第一象限的图象与函数y＝x2的图象相类似，故选A.11.函数y＝ax2＋a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】当a＞0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），故排除A，C；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，a），函数y＝的图象在第二、四象限，故选D.12.如图所示，幂函数y＝xα在第一象限的图象，比较0，α1，α2，α3，α4，1的大小（）A.α1<α3<0<α4<α2<1B.0<α1<α2<α3<α4<1C.α2<α4<0<α3<1<α1D.α3<α2<0<α4<1<α1【答案】D【解析】由图知取x＝2得0<<<1<<，∴α3<α2<0<α4<α1.又α1>1，0<α4<1，故选D.13.幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数y＝的图象经过的“卦限”是（）A.④⑦B.④⑧C.③⑧D.①⑤【答案】D【解析】幂函数y＝的图象形状是上凸形，在经过（1，1）点以前在y＝x上方，而过了（1，1）点后在y ＝x下方，故可知y＝过①⑤“卦限”.14.幂函数y＝xα，对于给定的有理数α，其定义域与值域相同，则此幂函数（）A.一定是奇函数B.一定是偶函数C.一定不是奇函数D.一定不是偶函数【答案】D【解析】函数y＝的定义域和值域都是[0，＋∞），它既不是奇函数，也不是偶函数；函数y＝x3的定义域和值域都是R，它是奇函数；如果一个幂函数是偶函数，它的图象一定分布在第一和第二象限，它的值域是（0，＋∞）或[0，＋∞），与它的定义域不同，所以如果一个幂函数的定义域与值域相同，它一定不是偶函数，答案为D.15.函数f（x）＝在[－1，1]上是（）A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数C.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数【答案】A【解析】因为f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数.因为>0，f（x）＝在第一象限内是增函数，所以f（x）＝在[－1，1]上是增函数，综上可知，f（x）＝在[－1，1]上是增函数且是奇函数.16.函数y＝x－2在区间[，2]上的最大值是（）A. B.－1 C.4 D.－4【答案】C【解析】函数y＝x－2在区间[，2]上是减函数，所以x＝时，y取最大值，最大值是（）－2＝4.故选C.17.下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）B.幂函数的图象可以出现在第四象限C.当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数D.当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数【答案】C【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，且y＝xα>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误，故选C.18.已知幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间为________.【答案】[0，＋∞）【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），∴＝2α，解得α＝，∴y＝，所以其单调增区间为[0，＋∞）.19.已知幂函数f（x）＝x3m－9（m∈N*）的图象与x轴、y轴都无公共点且关于y轴对称，求满足≤的a的取值范围.【答案】由已知得3m－9≤0，∴m≤3.又∵幂函数f（x）的图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，又∵m∈N*，∴m＝1，3.当m＝1或m＝3时，有≤或（a＋1）－1≤（3－2a）－1.又∵y＝和y＝x－1在（－∞，0），（0，＋∞）上均单调递减，∴a＋1≥3－2a>0或0>a＋1≥3－2a或a＋1<0<3－2a，解得≤a＜或a＜－1.故a的取值范围是（－∞，－1）∪[，）.20.已知幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）（k∈Z）满足f（2）<f（3）.（1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）对于幂函数f（x）＝x（2－k）（1＋k）满足f（2）<f（3），因此（2－k）（1＋k）>0，解得－1<k<2.因为k∈Z，所以k＝0或k＝1.当k＝0时，f（x）＝x2，当k＝1时，f（x）＝x2，综上所述，k的值为0或1，f（x）＝x2.（2）函数g（x）＝1－mf（x）＋（2m－1）x＝－mx2＋（2m－1）x＋1，由于要求m>0，因此抛物线开口向下，对称轴方程为x ＝，当m>0时，＝1－<1，因为在区间[0，1]上的最大值为5，所以或解得m ＝＋，满足题意.21.集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：①函数f（x）的定义域是[0，＋∞）；②函数f（x）的值域是[－2，4）；③函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：（1）判断函数f1（x ）＝－2（x≥0）及f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）是否属于集合A？并简要说明理由；（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）是否对于任意的x≥0恒成立？若不成立，为什么？若成立，请说明你的结论.【答案】（1）函数f1（x ）＝－2不属于集合A.因为f1（x）的值域是[－2，＋∞），所以函数f1（x）＝－2不属于集合A.f2（x）＝4－6·（）x（x≥0）在集合A中，因为①函数f2（x）的定义域是[0，＋∞）；②f2（x）的值域是[－2，4）；③函数f2（x）在[0，＋∞）上是增函数.（2）∵f（x）＋f（x＋2）－2f（x＋1）＝6·（）x （－）<0，∴不等式f（x）＋f（x＋2）<2f（x＋1）对任意的x≥0恒成立.11/11。

幂函数经典例题(答案)

幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是( ) A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C例2、已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 15(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值．分析关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设pq (|p |、|q |互质)，当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x p q 是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x pq 的奇偶性与p 的值相对应．；解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0.当t ＝0时，f (x )＝x 75是奇函数；当t ＝－1时，f (x )＝x 25是偶函数；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 25. 点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视．^例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )\A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解￥作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．/变式已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2），；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵＜，∴535.1＜537.1， ~（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，：又3<，所以3－52>－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)，(－35与－23. …解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)25>125＝1,0<－23<1－23＝1，(－35<0，所以(－35<－23<25.例8、已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， <∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减， ∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3， {当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；、③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 ]答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12 B ．y ＝x －2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －1 答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )【A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 答案 C解析设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24.8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B [解析根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________. 答案 15解析设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .！答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________．答案 5解析设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限．答案四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.《7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．；解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则-⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。

幂函数练习题及答案

幂函数练习题及答案幂函数是数学中常见的一类函数，其形式为 f(x) = a^x，其中 a 为常数且a ≠ 0。

幂函数在数学中有广泛的应用，涉及到各个领域的问题。

本文将通过一些幂函数的练习题及其答案，来帮助读者更好地理解和掌握幂函数的性质和运算。

1. 练习题一：简单的幂函数求值计算以下幂函数在给定点上的函数值：(a) f(x) = 2^x，当 x = 3；(b) g(x) = (-3)^x，当 x = -2；(c) h(x) = 0.5^x，当 x = 4。

答案：(a) f(3) = 2^3 = 8；(b) g(-2) = (-3)^(-2) = 1/((-3)^2) = 1/9；(c) h(4) = 0.5^4 = 1/2^4 = 1/16。

这些计算可以通过将给定的 x 值代入幂函数的定义中进行求解。

注意负指数的处理方式。

2. 练习题二：幂函数的图像与性质研究以下幂函数的图像，并回答相应问题：(a) f(x) = 2^x；(b) g(x) = (-2)^x；(c) h(x) = 3^x。

答案：(a) f(x) = 2^x 的图像是一条递增曲线，穿过点 (0, 1)。

当 x 取负值时，函数值逐渐趋近于 0，当 x 取正值时，函数值逐渐增大。

(b) g(x) = (-2)^x 的图像是一条交替变化的曲线。

当 x 为偶数时，函数值为正，当 x 为奇数时，函数值为负。

函数值随 x 的增大而迅速增大。

通过观察这些幂函数的图像，我们可以发现幂函数的一些共同性质，如递增或递减性、穿过点 (0, 1)、趋近于 0 等。

3. 练习题三：幂函数的运算计算以下幂函数的运算结果：(a) f(x) = 2^x * 2^3；(b) g(x) = (2^x)^3；(c) h(x) = 2^(x+3)。

答案：(a) f(x) = 2^x * 2^3 = 2^(x+3)；(b) g(x) = (2^x)^3 = 2^(3x)；(c) h(x) = 2^(x+3) = 2^x * 2^3。

幂函数知识点总结及练习题

幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象/《（3）幂函数的性质 '①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．幂函数练习题一、选择题： ·1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是（）A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x =-142．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（）A ．41B ．1-C ．4D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A ．3x y -=B ．3-=xy C ．32x y = D ．13-=x y 4．函数34x y =的图象是（）；A ．B ．C ．D ． 5．下列命题中正确的是（） A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 >6．函数3x y =和31x y =图象满足（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称7．函数R x x x y ∈=|,|，满足（）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数8．如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<二、填空题：.~1．函数y x =-32的定义域是 .2．14()3,27)()f x f x -幂函数的图象过点（，则的解析式是.3．942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .4．函数2422-+=x x y 的单调递减区间是 .三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 1．比较下列各组中两个值大小（1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--!2．求证：幂函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数.。

幂函数练习题及答案

幂函数练习题及答案一、选择题1. 幂函数\( f(x) = x^a \)中，当\( a \)为负数时，函数的图像在哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D2. 幂函数\( y = x^{-1} \)的图像是：A. 一条直线B. 一条曲线C. 两条曲线D. 无法确定答案：C3. 下列哪个幂函数在\( x = 0 \)处有定义？A. \( y = x^{-1} \)B. \( y = x^{-2} \)C. \( y = x^{1/2} \)D. \( y = x^2 \)答案：D二、填空题4. 幂函数\( y = x^n \)的图像，当\( n \)为奇数时，关于____对称。

答案：y轴5. 幂函数\( y = x^3 \)的图像在\( x = 0 \)处的切线斜率为____。

答案：0三、解答题6. 已知幂函数\( f(x) = x^a \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) = 4 \)，求\( a \)的值。

解：根据题意，\( f(2) = 2^a = 4 \)，由于\( 2^2 = 4 \)，所以\( a = 2 \)。

7. 幂函数\( y = x^n \)的图像在第一象限内，且在\( x = 1 \)处的导数为2，求\( n \)的值。

解：由于幂函数的导数为\( y' = n \cdot x^{n-1} \)，将\( x = 1 \)代入得\( y' = n \)。

由题意知\( n = 2 \)。

四、计算题8. 求幂函数\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)在\( x = 2 \)处的值。

解：将\( x = 2 \)代入幂函数得\( y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2= 8 - 12 + 2 = -2 \)。

9. 已知幂函数\( y = x^a \)在\( x = 1 \)处的值为1，求\( a \)的值。

幂函数练习题及答案解析

1．下列幂函数为偶函数的是( ) A ．y =x 错误! B ．ｙ=错误!C ．ｙ＝x ２ D.y ＝x -１解析：选C.y ＝ｘ2,定义域为R ,ｆ（-x ）＝f (x )＝ｘ2．2．若a <0，则０．5a,５ａ,5-ａ的大小关系是( )Ａ.5－a <5ａ＜０.5ａ ﻩB ．5a <0.5ａ<5－aC ．0.5a ＜5-a ＜５ａD ．5ａ<5－a <0．5a解析：选Ｂ.５－a =(错误!)a ,因为ａ＜0时y =x a 单调递减，且错误!＜0.5<5,所以5ａ＜０．5a＜5-ａ.3.设α∈｛－1,1，＼f(1,2)，３}，则使函数y ＝x α的定义域为R ,且为奇函数的所有α值为( )A ．１,3 ﻩB.－1,1Ｃ.－1,3 D ．-1,1,3解析:选A.在函数y =x -1，y =x ,y ＝x 12,y =x ３中，只有函数y ＝x 和y ＝ｘ3的定义域是Ｒ，且是奇函数,故α＝1,３.4．已知ｎ∈{-2,－1,0,1,2,3}，若(－错误!)ｎ>(-错误!)ｎ，则ｎ＝＿_____＿_.解析：∵－错误!<－错误!,且(-错误!)n >(-错误!)n ,∴y =ｘn 在(-∞，０)上为减函数．又ｎ∈{－2，-1,０，１,2,3},∴n ＝-１或n =2.答案:－1或2１．函数y =(x ＋４)2的递减区间是( )A.（-∞，-４） ﻩＢ．(-４，＋∞)C.(４，+∞)D.(-∞,4)解析：选A.y ＝(x ＋4)２开口向上,关于ｘ=－4对称，在(-∞,－４）递减.2．幂函数的图象过点(2,错误!),则它的单调递增区间是( ）A.（0,+∞）B.[0，+∞）Ｃ．(-∞,0) Ｄ．(－∞,＋∞)解析：选C.幂函数为ｙ=ｘ-2=错误!,偶函数图象如图．3.给出四个说法：①当ｎ=０时，ｙ＝x n 的图象是一个点;②幂函数的图象都经过点（0,0),(1,1);③幂函数的图象不可能出现在第四象限;④幂函数y =x ｎ在第一象限为减函数，则n ＜0．其中正确的说法个数是（）A ．1 Ｂ．2Ｃ．3 ﻩD ．4解析：选B.显然①错误；②中如y =x -错误!的图象就不过点(0，0).根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.4．设α∈｛－2，－1，-错误!,错误!,错误!,1，２,3}，则使f (x ）=ｘα为奇函数且在(０，+∞）上单调递减的α的值的个数是( )A.1 B ．2C ．3 ﻩＤ．4解析:选A.∵f （x )=ｘα为奇函数，∴α=－1，错误!，１，3．又∵f (ｘ）在(0，+∞）上为减函数,∴α=－１．5.使（3-2x －x 2)－＼f(3,4)有意义的x 的取值范围是( ）A.RB.x ≠1且ｘ≠3Ｃ．－3＜x ＜1 D.ｘ<－３或x >1解析:选Ｃ．(3-2x -ｘ2)－34=错误!， ∴要使上式有意义,需３－2x －x 2＞０，解得-3<x ＜1.6.函数f (x )＝（ｍ2－m －1)x m ２－2m －3是幂函数,且在x ∈(0，+∞)上是减函数，则实数m ＝( )A ．2 B.3C.４ ﻩD ．5解析：选A.m 2－m －１＝１，得ｍ＝－1或m =２,再把m =-1和m =2分别代入m 2－2m －3<0，经检验得ｍ=2．７.关于ｘ的函数y =(x －1)α（其中α的取值范围可以是１,2,３，-１,错误!)的图象恒过点________．解析：当x －1＝1,即x =2时，无论α取何值,均有1α=１,∴函数y =(x -1)α恒过点(2,1)．答案：（2,1)8．已知２.4α>2．5α,则α的取值范围是___＿＿_＿_．解析:∵０＜2．4<２．5,而2.4α＞2．5α,∴ｙ=ｘα在(０,＋∞)为减函数．答案：α<０ 9.把(错误!)-错误!，（错误!）错误!,(错误!)错误!,(错误!）0按从小到大的顺序排列_____＿_＿_＿___＿___＿＿_．解析:(错误!)0＝1,（错误!）-错误!＞(错误!）0=1，(35)错误!<1,(错误!)错误!＜１, ∵y ＝x 错误!为增函数, ∴(错误!)错误!<(错误!）错误!<(错误!)０<(错误!)－错误!. 答案:（＼f(２,5))错误!＜(错误!)错误!＜(错误!)0＜（错误!)-错误!1０.求函数y =(x -1)-＼ｆ(2，3)的单调区间.解:y =（x -1)－23＝错误!=错误!，定义域为x ≠１.令ｔ＝x -1,则y ＝t -错误!,t ≠０为偶函数．因为α＝－错误!<0,所以y ＝t －错误!在（0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增．又t =x -1单调递增，故y =(ｘ-1)-错误!在(1,+∞)上单调递减，在(-∞,１)上单调递增.11．已知(m ＋4）-12<(3－2m )-错误!,求ｍ的取值范围．解:∵ｙ＝x －＼f(1，2)的定义域为(０，+∞），且为减函数．∴原不等式化为错误!,解得－错误!＜m ＜错误!.∴m 的取值范围是（-＼f(1，3）,错误!).1２．已知幂函数y ＝x ｍ2+2m －3（m ∈Ｚ)在(0，+∞)上是减函数，求y 的解析式,并讨论此函数的单调性和奇偶性.解：由幂函数的性质可知ｍ2＋2m -3<0⇒(m －1)(ｍ＋3)<0⇒-３＜m <1,又∵m ∈Z ，∴ｍ=－2,－1,0.当m =0或ｍ＝－2时，y ＝x -3,定义域是（－∞，0)∪（0,＋∞)．∵-３＜0，∴y ＝ｘ-3在(－∞，0)和(0,＋∞)上都是减函数，又∵f (－x )＝（-ｘ)-３=－x －3=－f (x )，∴y =x －3是奇函数．当m =-１时，y =x -4，定义域是(－∞,０)∪(０，＋∞).∵f (－x ）＝(-x )－4=错误!=错误!＝x -４=f (x ）,∴函数ｙ=x -4是偶函数.∵－４＜0,∴y ＝x －４在（0，＋∞)上是减函数,又∵y ＝ｘ－４是偶函数，∴y ＝ｘ－４在(－∞,０)上是增函数．1.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 错误! ﻩＢ．y =x -错误!Ｃ．ｙ＝x ５3 ﻩＤ.y =x 错误!解析:选D.y ＝x 错误!=错误!，其定义域为R ，值域为［0，＋∞)，故定义域与值域不同.２.如图，图中曲线是幂函数y =x α在第一象限的大致图象.已知α取－2,－错误!,错误!,２四个值,则相应于曲线C 1，C 2，Ｃ3,C ４的α的值依次为（ )A ．－2,－错误!，错误!,2 B.2，错误!，－错误!，－2C ．－12，-2,２,12D ．2,错误!,-2，－错误!解析:选B.当ｘ=2时，22＞2＼f （1,2)>2-12>2-２，即C 1:y =x 2，C 2:ｙ=ｘ＼f(1,2),C 3:y =ｘ-错误!，Ｃ４:y =ｘ-２.3．以下关于函数ｙ=ｘα当α＝0时的图象的说法正确的是( ）Ａ.一条直线B.一条射线C ．除点（0,1)以外的一条直线D.以上皆错解析：选C.∵y ＝x 0，可知x ≠0，∴y =x 0的图象是直线y =1挖去（0,1）点．4.函数f (x )=(１－x ）0+(1-x ）1２的定义域为________. 解析：错误!,∴x <1.答案：(-∞,１)1.已知幂函数ｆ（ｘ）的图象经过点(2,错误!），则ｆ(4)的值为（ )Ａ．16 B.错误!C.12D ．2 解析：选C ．设f (x )=x n ,则有2n =2２，解得n ＝－错误!, 即f (ｘ）＝x －12,所以f (4）＝4－＼f(1,２)＝错误!．2.下列幂函数中，定义域为{x |x ＞0}的是( )A.y ＝x ＼f(2,３) ﻩB ．ｙ=ｘ＼f （３，２)C ．y ＝x －＼f(1,3） ﻩD.y =ｘ－错误! 解析:选 D.A.ｙ=x 错误!=错误!，ｘ∈Ｒ；B.y =ｘ错误!=错误!,x ≥0;Ｃ.ｙ＝x －错误!＝错误!，x ≠0；D ．ｙ=x -错误!=错误!,ｘ＞0．3.已知幂函数的图象y ＝x ｍ２－2m －3（m ∈Ｚ，x ≠0）与x ，y 轴都无交点，且关于y轴对称,则m 为( ）Ａ.－1或1 B ．-1,1或3C.1或3 ﻩD.3解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点,所以ｍ2－2m －3≤0，即－１≤m ≤3．又图象关于y 轴对称，且ｍ∈Z ，所以ｍ２－2m -3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.4．下列结论中,正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α=0时，幂函数ｙ=x α的图象过点(１,1）和(0,0）③幂函数y =ｘα，当α≥０时是增函数④幂函数y =x α，当α＜0时，在第一象限内，随x 的增大而减小A ．①② ﻩB ．③④C.②③D.①④解析:选Ｄ．ｙ=ｘα，当α＝0时，x ≠０；③中“增函数”相对某个区间，如y =ｘ2在（－∞,0)上为减函数,①④正确.5．在函数ｙ＝2x ３，y ＝x 2,y ＝x ２+x ,y ＝x ０中，幂函数有( ）A.1个 ﻩＢ．2个C.3个D.4个解析：选Ｂ．y＝ｘ２与y=x0是幂函数．６．幂函数f(x)＝ｘα满足x＞1时ｆ(x)＞1，则α满足条件（)A．α>1 ﻩB．0＜α<１C．α>０ﻩＤ.α>0且α≠1解析:选A.当x>1时ｆ（x)>1，即f(x）>ｆ(1)，f(x）=xα为增函数，且α>1.７．幂函数f(x)的图象过点(３，３)，则f(x)的解析式是__＿___＿＿．解析：设f(ｘ)＝xα，则有３α＝＼ｒ(3）＝3错误!⇒α＝错误!．答案：ｆ(x）=ｘ＼f(１,2）8.设x∈(０，１)时，y=x p(p∈R）的图象在直线y=x的上方,则p的取值范围是________．解析:结合幂函数的图象性质可知p<1.答案：ｐ＜1９.如图所示的函数F（x)的图象,由指数函数f(ｘ)＝ａx与幂函数g（x）=xα“拼接”而成,则a a、aα、αa、αα按由小到大的顺序排列为＿_______.解析:依题意得错误!⇒错误!所以a a＝（116)116=［（错误!)4]错误!,aα=（错误!)错误!＝［(错误!)32］错误!,αa=(错误!)错误!，αα=(错误!)错误!＝［（错误!)８］错误!,由幂函数单调递增知aα<αα<aａ＜αａ．答案：aα＜αα<a a<αa10．函数f(x)＝（m２－m－5）x m－1是幂函数,且当x∈(0，＋∞）时,f(x)是增函数，试确定m的值.解:根据幂函数的定义得:ｍ2-m-5=１,解得ｍ＝3或m=-２，当m=3时,f（ｘ）＝ｘ２在(0，+∞）上是增函数;当ｍ＝－2时,f(x)=x-3在(0,+∞）上是减函数，不符合要求.故m＝3．11.已知函数f(x)=（m2＋2m)·x m2+m－1，m为何值时，f（x)是：(1)正比例函数;(2）反比例函数;(３)二次函数;(４)幂函数？解：（1)若f(x)为正比例函数，则错误!⇒m＝1．（２)若ｆ(x)为反比例函数,则错误!⇒ｍ=－1.(3)若f（x)为二次函数，则错误!⇒m＝错误!.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m=－１±＼r(２).12.已知幂函数ｙ=x m2－2m-３(m∈Ｚ)的图象与x、y轴都无公共点，且关于ｙ轴对称,求ｍ的值，并画出它的图象．解:由已知,得m2－２m-3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Ｚ，∴ｍ＝-1,０,1，2,３.当m=0或m＝2时,ｙ=x-3为奇函数,其图象不关于y轴对称，不适合题意．∴m＝±1或ｍ＝3．当m＝－1或m＝３时，有y=x0，其图象如图（1).当m＝1时，ｙ=ｘ-4,其图象如图(２)．本文由52求学网论坛微光整理。

幂函数的性质专题练习题含答案

幂函数的性质专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 幂函数f(x)＝(a2−2a−2)x1−a在(0, +∞)上是减函数，则a＝（）A.−3B.−1C.1D.32. 已知幂函数f(x)＝(k∈N∗)，则使得f(x)为奇函数，且在(0, +∞)上单调递增的k的个数为（）A.0B.1C.2D.无数个3. 已知(5−2m)12<(m−1)12，则m的取值范围是（）A.(2, +∞)B.(2,52] C.(−∞, 2) D.[1, 2)4. 已知幂函数f(x)＝(m2−m−1)x m2+m−2在(0, +∞)上是减函数，则f(m)的值为（）A.3B.−3C.1D.−15. 函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−1是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，则实数m的值为( )A.1B.−1C.2D.−1或26. 幂函数f(x)＝(m2+5m−5)x(m∈Z)是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，则m的值为（）A.−6B.1C.6D.1或−67. 已知幂函数(n∈Z)在(0, +∞)上是增函数，则n的值为（）A.−1B.1C.−3D.1和−38. 已知幂函数f(x)＝(m2−2m−2)x在(0, +∞)上是减函数，则f(m)的值为（）A.3B.−3C.1D.−19. 已知幂函数f(x)=(t 2−4t −4)x t−2在(0, +∞)上单调递减，则f(4)=( ) A.132 B.164C.32D.6410. 若幂函数在(0, +∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p +q ＝（） A.0 B.1 C.2D.311. 已知函数f(x)＝−x 3，若f(m −2)>f(2m)，则m 的取值范围是（） A.(−1, 1) B.(−2, +∞) C.(−3, 3) D.(−∞, −2)12. 已知函数y =−ax a +b −1是幂函数，直线mx −ny +2=0(m >0,n >0)过点(a,b )，则n+1m+1的取值范围是( )A.(−∞,13)∪(13,3) B.(1,3) C.[13,3]D.(13,3)13. 已知点 P(2,14) 在幂函数 f(x)=x n 的图象上，设 a =f(ln 2),b =f(log 2e), c =f(e 2), d =f(2e )，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( ) A.d >c >b >a B.a >b >d >c C.c >d >b >a D.a >b >c >d14. 设12<(12)b <(12)a <1 ，那么( ) A. a a <a b <b a B. a a <b a <a b C.a b <a a <b a D.a b <b a <a a15. 幂函数f (x )=(m 2−3m +3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m =________.16. 若幂函数y ＝(m 2−3m +3)x m−2的图象关于原点对称，则m 的取值为________．17. 若幂函数在上是减函数，则实数的值为________．18. 幂函数y =(m 2−m −1)⋅x −5m−3在(0, +∞)上为减函数，则实数m 的值为________．19. 已知幂函数f(x)过点(2,√2)，若f(10−2a)<f(a+1)，则实数a的取值范围是________．20. 给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2−2|x|−3的递增区间为[1, +∞)；>0成立，则f(x)在④定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有f(a)−f(b)a−bR上是增函数；的单调减区间是(−∞, 0)∪(0, +∞)．⑤f(x)=1x正确的有________．21. 关于函数y=xα（α为常数），下列说法：①当α=√2时，y=xα不是幂函数；②幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)；③当α=0或α=1时，幂函数y=xα图象都是直线；④存在幂函数的图象经过第四象限．其中正确的是________．（把你认为正确的序号都填上）22. 已知幂函数g(x)=(m2−3)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，且对数函数f(x)满足f(−m+1)+f(−m−1)=12（1）求g(x)、f(x)的解析式（2）若实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，求实数a的取值范围．23. 已知函数y＝(a2−3a+2)x a2−5a+5（a为常数）．问：（1）a为何值时此函数为幂函数？（2）a为何值时此函数为正比例函数？24. 已知(m2+m)35≤(3−m)35，求实数m的取值范围．25. 已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m−1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(x)−ax−3在[1, 3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．26. 已知幂函数f(x)=x m2+4m+3(m∈Z)在(0,+∞)上是单调递减函数．(1)求m的值；(2)若g(x)=(x2+a)f(x)≥2在区间[2,3]上恒成立，求实数a的取值范围．27. 若幂函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f(x)的解析式；（2）若f(2−a)<f(a2−4)，求a的取值范围．28. 已知幂函数y=f(x)=x−3m+7，其中m∈N+.①在区间(0,+∞)上是增函数；②对任意x∈R，都有f(−x)=f(x).(1)求同时满足①、②两个条件的幂函数f(x)的解析式；(2)求x∈[0,2]时，f(x)的值域．29. 已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k.(1)求m的值；(2)当x∈[1,2）时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A，B，且A∩B=B，求实数k的取值范围．30. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调递减函数．（1）求函数f(x)的解析式；的奇偶性．（2）讨论F(x)=a√f(x)−bxf(x)参考答案与试题解析幂函数的性质专题练习题含答案一、选择题（本题共计 14 小题，每题 3 分，共计42分）1.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】根据幂函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】对于y=x 12是增函数，∵(5−2m)12<(m−1)12，∴{5−2m≥0m−1≥05−2m<m−1，解得：2<m≤52，4.【答案】C【考点】幂函数的性质【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得m2−m−1=1，且m2+m−2<0，由此求得m的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(m)的值．【解答】∵幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−2在(0, +∞)上是减函数，则m2−m−1=1，且m2+m−2<0，求得m=−1，故f(x)=x−2，故f(m)=f(−1)=1，5.【答案】B【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，要使函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−1是幂函数，则m2−m−1=1，解得m=2或m=−1.当m=2时，m2+m−1=5，y=x5在(0, +∞)上是增函数，不满足题意；当m=−1时，m2+m−1=−1，y=x−1在(0, +∞)上是减函数，满足题意.故选B.6.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】首先利用幂函数的系数为1求出n的值，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．【解答】由于幂函数(n∈Z)所以n2+2n−2＝1，解得n＝1或−3．当n＝1时，f(x)＝x−2在(0, +∞)单调递减．当n＝−3时，f(x)＝x18在(0, +∞)单调递增．8.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】先利用幂函数的定义得到t2−4t−4=1，求出t的值后，再利用幂函数的单调性进行判断，即可得到答案．【解答】由f(x)=(t2−4t−4)x t−2是幂函数，可知t2−4t−4=1，即t2−4t−5=0，解得t=−1或t=5，所以f(x)=x−3或f(x)=x3，又幂函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，所以f(x)=x−3，所以f(4)＝4−3＝1．6410.【答案】C【考点】幂函数的性质【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，求出p、q的值，可得结论．【解答】∵幂函数在(0，且在定义域上是偶函数，∴q＝1，且−p6+2p+3为正的偶数，∴p＝3．∴p+q＝2，11.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】D【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】【解答】解：由y=−ax a+b−1是幂函数，知：a=−1，b=1，又(a,b)在mx−ny+2=0上，∴m+n=2，即n=2−m>0，则n+1m+1=3−mm+1=4m+1−1，且0<m<2，∴n+1m+1∈(13,3) .故选D.13.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由于点P(2,14)在f(x)=x n的图象上，解得n=−2，即f(x)=x−2,f(x)在(0,+∞)上单调递减，ln2<log2e<2e<e2,所以a>b>d>c.故选B.14.【答案】C【考点】幂函数的性质指数函数单调性的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由12<(12)b<(12)a<1，得0<a<b<1，由幂函数的性质可知a a<b a，a b<a a<b a.故选C.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）15.【答案】2【考点】幂函数的性质【解析】利用幂函数的定义得到m2−3m+3=1，由图象关于y轴对称，可知函数为偶函数，可知m为偶数，求解即可.【解答】解：∵幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m的图象关于y轴对称，∴m2−3m+3=1且m为偶数，∴m=2.故答案为：2.16.【答案】1【考点】幂函数的性质【解析】根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断函数的图象是否关于原点对称．【解答】幂函数y＝(m2−3m+5)x m−2中，令m2−2m+3＝1，解得m＝5或m＝2；当m＝1时，f(x)＝x−2，图象关于原点对称；当m＝2时，f(x)＝x0，图象不关于原点对称；所以m的取值为8．17.【答案】m=2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质【解析】试题分析：由题意得：m2−m−1=1,m2−2m−3<0⇒m=2【解答】此题暂无解答18.【答案】2【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义及幂函数的性质列出不等式组，求出m的值．【解答】解：由题意知{m2−m−1=1，−5m−3<0，∴m=2．故答案为：2.19.【答案】(3, 5]【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】求出函数f(x)的解析式，根据函数的单调性和定义域得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】设幂函数的解析式为f(x)＝xα，由题意得：2α=√2=212，故α=12，故f(x)=√x，f(x)在[0, +∞)递增，若f(10−2a)<f(a+1)，所以{a+1≥010−2a≥010−2a<a+1，解得{a≥−1a≤5a>3，所以3<a≤5，20.【答案】①④【考点】幂函数的性质函数单调性的判断与证明奇函数【解析】根据幂函数的图象的性质，可判断①正确，根据奇函数的定义，可判断②的正误；根据对折变换的图象变化及二次函数的单调性，可判断③的真假；根据单调性的定义，可判断④是正确的；根据单调区间的定义，可以判断⑤的对错．【解答】解：由幂函数的图象的性质，易得幂函数的图象一定不过第四象限，故①正确；若奇函数在x=0时有意义，则图象一定过坐标原点，但奇函数在x=0时无意义时，则图象不过坐标原点，故②错误；y=x2−2|x|−3的递增区间有两个：[−1, 0]和[1, +∞)故③错误；若f(a)−f(b)a−b>0，则f(x)在R上是增函数，故④正确；f(x)=1x 的单调减区间有两个：(−∞, 0)和(0, +∞)，但函数f(x)=1x在区间(−∞, 0)∪(0, +∞)上不具备单调性，故⑤错误；故答案为：①④21.【答案】②【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论．【解答】解：①当α=√2时，函数y=xα是幂函数，故①不正确；②所有幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)，故②正确；③当α=0，幂函数y=xα图象都是直线y=1上去掉了点(0, 1)，故③不正确；④对于所有的幂函数y=xα，由于当x>0时，xα>0，故它们的图象都不会经过第四象限，故④不正确．故答案为②．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）22.【答案】解：（1）幂函数g(x)=(m2−3)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，∴{m2−3=1m<0，解得m=−2，∴g(x)=x2；又∵f(x)是对数函数，且f(−m+1)+f(−m−1)=12，∴设f(x)=logax(a>0且a≠1)，∴loga (−m+1)+loga(−m−1)=12，即loga (m2−1)=loga3=12，解得a=9，∴f(x)=log9x；（2）∵实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，且f(x)=log9x在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>05−a >02a −1<5−a，解得{a >12a <5a <2；即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．【考点】幂函数的性质【解析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组{m 2−3=1m <0，求出m 的值，得g(x)解析式；由f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12，利用m 的值求出f(x)的解析式；（2）根据f(x)的单调性，把f(2a −1)<f(5−a)转化，求出解集即可．【解答】解：（1）幂函数g(x)=(m 2−3)x m (m ∈R)在(0, +∞)为减函数，∴ {m 2−3=1m <0，解得m =−2，∴ g(x)=x 2；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)，∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12，即log a (m 2−1)=log a 3=12，解得a =9，∴ f(x)=log 9x ；（2）∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)，且f(x)=log 9x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>05−a >02a −1<5−a，解得{a >12a <5a <2；即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．23.【答案】∵函数为幂函数，∴a2−3a+2＝1，∴解之得a=3±√52，∵函数为正比例函数，∴a2−3a+2≠0或a2−5a+5＝1，解得a＝4．【考点】幂函数的性质【解析】根据题意知参数的取值．【解答】∵函数为幂函数，∴a2−3a+2＝1，∴解之得a=3±√52，∵函数为正比例函数，∴a2−3a+2≠0或a2−5a+5＝1，解得a＝4．24.【答案】解：(1)设函数y=x 3 5，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤−m+3…即，m2+2m−3≤0…得，(m−1)(m+3)≤0所以，m的取值范围为：m∈[−3, 1]…【考点】幂函数的性质【解析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：(1)设函数y=x 3 5，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤−m+3…即，m2+2m−3≤0…得，(m−1)(m+3)≤0所以，m的取值范围为：m∈[−3, 1]…25.【答案】解：(1)由f(x)为幂函数知m2−5m+7=1，得m=2或m=3，当m=3时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x，不合题意，舍去．∴f(x)=x2．(2)g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3，g(x)的对称轴是x=a，2若g(x)在[1,3]上不是单调函数，<3，则1<a2解得2<a<6.【考点】幂函数的性质函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】（1）根据幂函数的性质即可求f(x)的解析式；（2）根据函数y=f(x)−2(a−1)x+1在区间(2, 3)上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．【解答】解：(1)由f(x)为幂函数知m2−5m+7=1，得m=2或m=3，当m=3时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x，不合题意，舍去．∴f(x)=x2．(2)g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3，g(x)的对称轴是x=a，2若g(x)在[1,3]上不是单调函数，<3，则1<a2解得2<a<6.26.【答案】解：(1)f(x)=x m2+4m+3在区间(0,+∞)上是单调递减函数，则m2+4m+3<0，解得−3<m<−1.又m∈Z，所以m=−2 .(2)由(1)知f(x)=x−1，则g(x)=x+a，x≥2在x∈[2,3]上恒成立.所以x+ax则a≥2x−x2=−(x−1)2+1，可知当x=2时，a≥(2x−x2)max=0，所以实数a的取值范围是[0,+∞) .【考点】幂函数的性质一元二次不等式的解法函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：(1)f(x)=x m2+4m+3在区间(0,+∞)上是单调递减函数，则m2+4m+3<0，解得−3<m<−1.又m∈Z，所以m=−2 .(2)由(1)知f(x)=x−1，则g(x)=x+a，x≥2在x∈[2,3]上恒成立.所以x+ax则a≥2x−x2=−(x−1)2+1，可知当x=2时，a≥(2x−x2)max=0，所以实数a的取值范围是[0,+∞) .27.【答案】由函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2＝1，解得m＝1或m＝-；当m＝1时，f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝-时，f(x)＝x−2，在定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f(x)＝x3．由f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a2−4)等价于2−a<a2−4，化简得a2+a−6>0，解得a<−3或a>2，所以a的取值范围是(−∞, −3)∪(2, +∞)．【考点】幂函数的性质【解析】（1）根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断m的值是否满足题意；（2）由f(x)在定义域R上是增函数，把不等式f(2−a)<f(a2−4)化为2−a<a2−4，求出解集即可．【解答】由函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2＝1，解得m＝1或m＝-；当m＝1时，f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝-时，f(x)＝x−2，在定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f(x)＝x3．由f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a2−4)等价于2−a<a2−4，化简得a2+a−6>0，解得a<−3或a>2，所以a的取值范围是(−∞, −3)∪(2, +∞)．28.【答案】解：(1)∵f(x)=x−3m+7 在(0,+∞)上单调递增，∴−3m+7>0，∴m<7.3又∵m∈N+，∴m=1或m=2，当m=1时，y=f(x)=x4，此时符合f(−x)=f(x)；当m=2时，y=f(x)=x，此时f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，不合题意，舍去，∴f(x)=x4.(2)∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴ f(x)在[0,2]上单调递增，∴f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(2)=24=16，∴ f(x)在[0,2]的值域为[0,16].【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】(1)由题意可知，幂函数为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，进而得到−3m+7>0且−3m+7为偶数，结合m∈N+，即可得到答案；(2)f(x)在[0,2]上单调递增，利用函数的单调性求值域即可.【解答】解：(1)∵f(x)=x−3m+7 在(0,+∞)上单调递增，∴−3m+7>0，∴m<7.3又∵m∈N+，∴m=1或m=2，当m =1时， y =f (x )=x 4，此时符合f (−x )=f (x )；当m =2时，y =f (x )=x ，此时f (x )为奇函数， f (−x )=−f (x )，不合题意，舍去， ∴ f (x )=x 4.(2)∵ f (x )在(0,+∞)上单调递增，∴ f (x )在[0,2]上单调递增，∴ f (x )min =f (0)=0，f (x )max =f (2)=24=16，∴ f (x )在[0,2]的值域为[0,16].29.【答案】解：(1)由题可得：{(m −1)2=1，m 2−4m +2>0，解得m =0.(2)由(1)得f (x )=x 2对称轴为x =0，又x ∈[1,2)，∴ f(x)值域A =[1,4).∵ g (x )=2x −k 在x ∈[1,2)单调递增，∴ g(x)值域B =[2−k,4−k).∵ A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴ {2−k ≥1，4−k ≤4，解得：0≤k ≤1.【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域指数函数的定义、解析式、定义域和值域集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：(1)由题可得：{(m −1)2=1，m 2−4m +2>0，解得m =0.(2)由(1)得f (x )=x 2对称轴为x =0，又x ∈[1,2)，∴ f(x)值域A =[1,4).∵ g (x )=2x −k 在x ∈[1,2)单调递增，∴ g(x)值域B =[2−k,4−k).∵ A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴{2−k≥1，4−k≤4，解得：0≤k≤1.30.【答案】f(x)=x m2−2m−3=x m(m−2)−3，由题意知m(m−2)为奇数又m∈z 且f(x)在(0, +∞)上递减，∴m＝1，f(x)＝x−4F(x)=a√x−4−bx⋅x−4=a⋅x−2−b⋅x3(x≠0)∵y＝x−2是偶函数，y＝x3是奇函数①a≠0且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数；②a＝0且b≠0时，F(x)为奇函数；③a≠0且b＝0时，F(x)为偶函数；④a＝b＝0时，F(x)为奇且偶函数【考点】幂函数的性质奇偶性与单调性的综合【解析】（1）由幂函数f(x)为(0, +∞)上递减，推知m2−2m−3<0，解得−1<m<3因为m 为整数故m＝0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m2−2m−3为偶数，进而推知m2−2m为奇数，进而推知m只能是1，把m代入函数，即可得到f(x)的解析式．（2）把f(x)的解析式代入F(x)，得到F(x)的解析式．然后分别讨论a≠0且b≠0时，a＝0且b≠0时，a≠0且b＝0时，a＝b＝0时，函数的奇偶性．【解答】f(x)=x m2−2m−3=x m(m−2)−3，由题意知m(m−2)为奇数又m∈z且f(x)在(0, +∞)上递减，∴m＝1，f(x)＝x−4F(x)=a√x−4−bx⋅x−4=a⋅x−2−b⋅x3(x≠0)∵y＝x−2是偶函数，y＝x3是奇函数①a≠0且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数；②a＝0且b≠0时，F(x)为奇函数；③a≠0且b＝0时，F(x)为偶函数；④a＝b＝0时，F(x)为奇且偶函数。

(完整版)幂函数、指数函数、对数函数专练习题(含答案)

高中数学对数函数、指数函数、幂函数练习题1. 函数f (x )＝x21-的定义域是A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.（－∞，0）D.（－∞，＋∞） 2. 函数x y 2log =的定义域是A.(0,1］B. (0,+∞)C. (1,+∞)D.[1,+∞) 3. 函数2log 2y x =-的定义域是A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞)4. 若集合{|2},{|1}xM y y N y y x ====-，则M N ⋂=A.}1|{≥y yB.}1|{>y yC.}0|{>y yD.}0|{≥y y5. 函数y = -11-x 的图象是6. 函数y =1－11-x , 则下列说法正确的是 A.y 在(－1,+∞)内单调递增 B.y 在(－1,+∞)内单调递减 C.y 在(1,+∞)内单调递增D.y 在(1,+∞)内单调递减7. 函数0.5log (3)y x =-的定义域是A. (2,3)B. [2,3)C.[2,)+∞D. (,3)-∞ 8. 函数xx x f 1)(+=在]3,0(上是 A.增函数 B.减函数C.在]10，（上是减函数，]31[，上是增函数D.在]10，（上是增函数，]31[，上是减函数 9. 的定义域是函数 )2(x lg y -=A.(-∞，+∞)B.(-∞，2)C.(-∞，0] D(-∞，1]10. 的取值范围是则若设函数o xx x x x f ,1)f(x 0)(x )0(,12)(o >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- )(1,,-1)D.(- )(0,,-2)C.(- )B.(-1, )1,1.(A +∞∞+∞∞+∞-Y Y11. 21||x y =函数A.是偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减12. 的定义域是函数xx x y -+=||)1(00}|D.{ -1}0|C.{ 0}|B.{ }0|.{≠≠<<>x x x x x x x x x A 且13. 函数12log (32)y x =-的定义域是A.[1,)+∞B.23(,)+∞C.23[,1]D.23(,1]14. 下列四个图象中，函数xx x f 1)(-=的图象是15. 设A 、B 是非空集合，定义A ×B={x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}.已知A={x |y =22x x -},B={y |y =2x ,x >0},则A ×B 等于 A.［0,1)∪(2,+∞) B.［0,1］∪［2,+∞) C.［0,1］ D.［0,2］16. 设a =20.3,b =0.32,c =log3.02，则A a ＞c ＞b B.a ＞b ＞c C. b ＞c ＞a D. c ＞b ＞a 17. 已知点33(在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是 A.()3f x x = B.3()f x x = C.2()f x x -= D.1()()2x f x =18. 已知幂函数αx x f =)(的部分对应值如下表：x 121 )(x f122则不等式1)(<x f 的解集是 A.{}20≤<x x B.{}40≤≤x x C.{}22≤≤-x x D.{}44≤≤-x x19. 已知函数的值为），则，的值域为)1(0[93)(2f a ax x f x∞+--+=A.3B.4C.5D.6指数函数习题一、选择题1．定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b b a >b，则函数f (x )＝1⊗2x的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x)B ．f (b x )≥f (c x)C ．f (b x )>f (c x)D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x－2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3 B ．a ≥3 C ．a > 5D ．a ≥ 55．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，12]∪[2，＋∞)B ．[14，1)∪(1,4]C ．[12，1)∪(1,2]D ．(0，14)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．8．若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y ＝2的定义域、值域和单调区间．11．(2011·银川模拟)若函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在x ∈[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．12．已知函数f (x )＝3x ，f (a ＋2)＝18，g (x )＝λ·3ax －4x的定义域为[0,1]． (1)求a 的值；(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM的值为（） A 、41B 、4C 、1D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>，且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于（）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n -4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=g 的两根是,αβ，则αβg 的值是（）A 、lg5lg7gB 、lg35C 、35D 、351 5、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）A 、13 B C D6、函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于（） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称7、函数(21)log x y -=的定义域是（） A 、()2,11,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭U B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是（）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<，那么,m n 满足的条件是（）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<< 10、2log 13a <，则a 的取值范围是（） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（）A 、12log (1)y x =+ B 、2log y =C 、21log y x = D 、2log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的二、填空题13、若2log 2,log 3,m na a m n a+=== 。

幂函数及函数应用(讲义及答案)

5
12.
函数
f
(x)
x
2
2x
3，x
≤
0
的零点个数为（
2 ln x，x 0
A．2
B．3
C．4
） D．5
13. 已知0 a 1，则方程a|x| | log xa | 的实数根的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
14. 已知函数 f (x) 的图象是连续不断的，且有如下的 x， f (x) 的对应值表：
1 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
n 若 m，n 均为奇数，则函数 y x 是奇函数，其图象关于原点对称；若 m 为偶数，n 为奇数，则函数 y x 是偶函数，其图象关于 y 轴对称；若 m 为奇数，n 为偶数，则函数 y x 是非奇非偶函数，只在第一象限内有图象．
2 当 m （m，n∈N*，且互质）时：
10. 比较下列各数的大小：
5
5
（1） 3 2
3.1 2 ；
6
（2） (0.3)11
5
（3） (0.88)3
(0.88)3 ；
（4）(
2
)
2 3
3
6
0.711 ；
( 1) 3 ． 4
11. 函数 f (x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是（ A．(-2，-1) B．(-1，0) C．(0，1)
） D．(1，2)
线，并且有
，那么，函数 y f (x) 在区间
内有零点，即
，使得
，这个
c 也就是方程 f (x) 0 的根．
三、二分法 1. 定义：对于在区间[a，b]上连续不断，且 f (a) f (b) 0 的函数

幂函数的运算专项练习50题(有答案)

幂函数的运算专项练习50题(有答案)以下是50道关于幂函数运算的练题，每题都有详细的答案供参考。

1. 计算 2^3。

答案：2^3 = 8。

2. 计算 (-3)^4。

答案：(-3)^4 = 81。

3. 计算 (4^2)^3。

答案：(4^2)^3 = 4^6 = 4096。

4. 计算 (2^3)(2^4)。

答案：(2^3)(2^4) = 2^(3+4) = 2^7 = 128。

5. 计算 (2^3)^4。

答案：(2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12 = 4096。

6. 计算 (2^3)/2。

答案：(2^3)/2 = 2^(3-1) = 2^2 = 4。

7. 计算 (2^4)/(2^2)。

答案：(2^4)/(2^2) = 2^(4-2) = 2^2 = 4。

8. 计算 (-5^2)-3.答案：(-5^2)-3 = (-25)-3 = -28。

9. 计算 (-5)^2-3.答案：(-5)^2-3 = 25-3 = 22。

10. 计算 (-2)^3-(-2)^2.答案：(-2)^3-(-2)^2 = -8-4 = -12。

11. 计算 (-3)^2-(-3)^3.答案：(-3)^2-(-3)^3 = 9-(-27) = 36。

12. 计算 (2^3)^2/2^2.答案：(2^3)^2/2^2 = 2^6/2^2 = 64/4 = 16。

13. 计算 (2^3)^2/2^3.答案：(2^3)^2/2^3 = 2^6/2^3 = 64/8 = 8。

14. 计算 (2^3)^2-(2^2)^3.答案：(2^3)^2-(2^2)^3 = 2^6-2^6 = 64-64 = 0。

...(以下省略)这些练题旨在帮助您熟悉幂函数的运算规则和性质，通过练可以更好地掌握幂函数的计算方法。

每一题都有详细的答案解析，如果您有任何疑问或需要进一步讲解，请随时向我提问。

祝您练习顺利！。

幂函数与指数函数练习题计算幂函数与指数函数的性质

幂函数与指数函数练习题计算幂函数与指数函数的性质幂函数与指数函数是数学中的基础概念之一，它们在各个领域都有着广泛的应用。

为了更好地理解和掌握幂函数与指数函数的性质，我们可以通过练习题来加深理解并提高解题能力。

本文将为大家提供一些关于幂函数和指数函数的练习题，并给出详细的解答过程。

练习题一：幂函数的性质1. 计算并简化下列幂函数：a) \(2^3\)b) \((-3)^4\)c) \(4^0\)d) \(0^5\)解答：a) \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\)b) \((-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81\)c) \(4^0 = 1\) （任何数的零次幂都等于1）d) \(0^5 = 0\) （除了0以外的数的零次幂都等于1）2. 比较下列幂函数的大小：a) \(2^5\) 与 \(3^3\)b) \(4^{-2}\) 与 \(2^{-4}\)解答：a) \(2^5 = 32\)，\(3^3 = 27\)，因此 \(2^5 > 3^3\)b) \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)，\(2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}\)，因此 \(4^{-2} = 2^{-4}\)练习题二：指数函数的性质1. 计算并简化下列指数函数：a) \(e^0\)b) \(e^1\)c) \(e^{-2}\)解答：a) \(e^0 = 1\) （e的零次幂等于1）b) \(e^1 = e\) （e的一次幂等于e）c) \(e^{-2} = \frac{1}{e^2}\)2. 求下列指数函数的值：a) \(\log_e 1\)b) \(\log_e e\)c) \(\log_e e^2\)解答：a) \(\log_e 1 = 0\) （由指数函数和对数函数的性质可知，任何数对于底数为自然常数e的自然对数都等于0）b) \(\log_e e = 1\) （e的以e为底的对数等于1）c) \(\log_e e^2 = 2\) （根据幂函数的性质，指数和对数可以相互抵消）练习题三：混合练习1. 若 \(2^x = 4\)，求x的值。

幂函数性质、例题以及课后题

幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：（，、，且）负分数指数幂的意义是：（，、，且）幂函数的图像与性质幂函数随着的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握，当的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：它们都过点，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．时，幂函数图像过原点且在上是增函数．时，幂函数图像不过原点且在上是减函数．任何两个幂函数最多有三个公共点．奇函数偶函数非奇非偶函数幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y＝，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即＜0，0＜＜1和＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即＞0（≠1）时图象是抛物线型；＜0时图象是双曲线型；＞1时图象是竖直抛物线型；0＜＜1时图象是横卧抛物线型．幂函数的应用幂函数（、，且、互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有（）、为奇数且为偶数，为奇数，且为偶数，为奇数，且奇数，为偶数，且右图为幂函数在第一象限的图像，则的大小关系是（）解：取，由图像可知：，，应选．比较下列各组数的大小：（1），，；（2），，；（3），，．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵在上单调递增，且，∴．（2）底数均为负数，可以将其转化为，，．∵在上单调递增，且，∴，即，∴．（3）先将指数统一，底数化成正数．，，．∵在上单调递减，且，∴，即：．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．若，求实数的取值范围．分析：若，则有三种情况，或．解：根据幂函数的性质，有三种可能：或或，解得：．例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值．解：∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．例4、设函数f（x）＝x3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围．解析：（1）由y＝x3两边同时开三次方得x＝，∴f－1（x）＝x．（2）∵函数f（x）＝x3和f－1（x）＝x的图象都经过点（0，0）和（1，1）．∴f－1（x）＝f（x）时，x＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知f－1（x）＞f（x）时，x＜－1或0＜x＜1；f－1（x）＜f（x）时，x＞1或－1＜x＜0．点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦．例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ2. 下列函数在上为减函数的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ3. 下列幂函数中定义域为的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（）A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案：B5．函数y＝（1－x2）的值域是（）A．［0，＋∞］B．（0，1）C．（0，1）D．［0，1］解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t＝1－x2，则y＝．∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．答案：D6．函数y＝的单调递减区间为（）A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞］D．（－∞，＋∞）解析：函数y＝是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B．答案：B7．若a＜a，则a的取值范围是（）A．a≥1B．a＞0 C．1＞a＞0D．1≥a≥0解析：运用指数函数的性质，选C．答案：C8．函数y＝的定义域是。

幂函数练习题目

幂函数专题练习复习题1：求证在R 上为奇函数且为增函数.复习题2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．复习题3：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为的正方形面积，是的函数；（2）面积为的正方形边长，是的函数；（3）边长为的立方体体积，是的函数；（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数.复习题4：判断下列函数哪些是幂函数.①；②；③；④.复习题5：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．从图象分析出幂函数所具有的性质3y x =a 2S a =S a S 12a S =a S a 3V a =V a ts km 1/v t km s -=v t w p w =p w 1y x =22y x =3y x x =-1y =y x =12y x =2y x =1y x -=3y x =典型例题例题1讨论在的单调性.例题2讨论的单调性.例题3比较大小：（1）与；（2）与；（3）与.例题4. 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性.()f x x =[0,)+∞3()f x x =1.5(1)a + 1.5(0)a a >223(2)a -+232-121.1-120.9-23y x =例题5. 比大小：（1）与；（2）与；（3）与.知识拓展幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数由小到大. 轴和直线之间，图象由上至下，指数由小到大. 1. 若幂函数在上是增函数，则（）. A ．>0 B ．<0 C ．=0 D ．不能确定 2. 函数的图象是（）.A. B. C. D.3. 若，那么下列不等式成立的是（）. A ．<l< B ．1<< C ．<l< D ．1<<4. 比大小：（1）；（2）.5. 已知幂函数的图象过点，则它的解析式为 .6. 已知幂函数f （x ）＝（p ∈Z ）在上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f （x ）.7. 在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R 与管道半径r 的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400cm 3/s ，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R 的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm ，计算该气体的流量速率．342.3342.4650.31650.3532-32-y x α=1x =αy 1x =α()f x x α=(0,)+∞ααα43y x=11221.1,0.9a b -==a b a b b a b a 11221.3_____1.5225.1______5.09--()y f x=13222p p x -++(0,)+∞。