北京中考数学一轮复习 提分专练06 特殊四边形相关的证明与计算
2020北京市中考数学专题复习---特殊四边形的相关证明与计算
2020北京市中考数学专题复习特殊四边形的相关证明与计算一、简单专题集训特殊四边形的相关证明与计算(连续7年考查)类型一与平行四边形有关(8 年 2 考:2016.19, 2013.19)1.(2019大兴区一模)如图，矩形救刀，延长G?到点E使得庞=8,连接月匕呵.(1)求证：四边形/L5%是平行四边形：3⑵若tanZDBC=-. CD=d求期磁的而积.第1题图2.已知：如图，在期BCD中，ZADC. ZDAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点氏E, DF 与AE 相交于点G.(1)求证：AE丄DF；(2)若AD=\0. AB=6, AE=4,求DF 的长.D第2题图类型二与菱形有关(8 年 4 考:2019.20、2018.21. 2017.22、2014.19)4・如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE(1)求证：BD=EC；(2)若ZE=57°,求ZBAO的大小.第1题图2. (2019海淀区一模)如图，在四边形ABCD中，AB//CD, AB=BC=2CD,£为对角线AC的中点, 为边BC 的中点，连接D£, EF.⑴求证：四边形CDEF为菱形；⑵连接DF交EC于点G,若DF=2, CD=|,求AD的长.第2题图3.(2019门头沟一模)如图，/£AABD中，ZABD = ZADB.分别以点B, D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C,连接BC, DC和AC, AC与交于点O.(1)用尺规补全图形，并证明四边形ABCD为菱形;3(2)如果AB=5. cosZABD=j.求BD 的长.第3题图4.（2020原创）在平而内，给定不在同一直线的四点A、B、C、D,如图所示.若四点构成的四边形ABCD中，四条边均相等，对角线AC、BD相交于点O, E、F分别是AB. AD的中点，连接OE、°F、EF.⑴求证：ZAFE= ZOFE；⑵若AC=6,求ZkOEF的周长•.4C第4题图类型三与矩形有关（仅2015.22考查）1.(2019西城区二模)如图，在四边形ABCD中，AB=DC. AD=BC, AD丄CD点E在对角线CA的延长线上，连接BD, BE.(1)求证：AC=BD；7(2)若BC=2, BE=Vl3, tanZABE=y求EC 的长.5第I题图2.(2019昌平区二模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,过点A作AE丄BC于点& 延长BC至点F,使CF=BE.连接DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若BF=8, DF=4,求CD 的长.类型一与平行四边形有关1.(1)证明：•・•四边形ABCD是矩形，:.AB=DC, AB//CD・•••延长CD 到点E, DE=CD,:.AB=DE. AB//DE ・・•.四边形ABDE是平行四边形：(2)解：•••四边形ABCD是矩形，••• Z BCD=90° ・CD 3*•* tan ZDBC= pc =彳9CD=6、:.BC=8.•••AD=BC, AD//BC,•••AD=8, ZADE=90°./• S 二ABDE=DE・AD=6 X 8=48 ・2.(1)证明：在“BCD中，AB//CD,••• ZADC+ZDAB= 180° ・•: DF、A£分别是A ADC. ZDAB的平分线，••• ZADF=ZCDF三ZADC.ZDAE= ZBAE=* ZDAB.:.ZADF+ ZDAE=^(ZADC+ ZDAB)=90Q.:.ZAGD=90°.:.AE±DF；(2)解：如解图，过点£＞作DH//AE.交BC的延长线于点则四边形AEHD是平行四边形，且FD丄DH.:.DH=AE=4. EH=AD=\O・在WCD 中，AD//BC,•••/ADF=ZCFD, ZDAE= ZBEA・:.ZCDF=ZCFD9 ZBAE=ZBEA・:・DC=FC、AB=EB・又•••AD=BC=10, AB=DC=6,:・CF=BE=6, BF=BC-CF=10—6=4.•••FE=BE-BF=6—4=2,:・FH=FE+EH=\2,在RtAFDH 中，DF=y)FH2-DH2 =^/122-42 =8^/2 ・:.DF的长是8迈.类型二与菱形有关1.(1)证明：•・•四边形ABCD是菱形，•••AB = CD, AB//CD.又•••BE=AB,:・BE=CD, BE//CD.・•.四边形BECD是平行四边形，•••BD=EC；(2)解：•.•四边形BECD是平行四边形，:.BD//CE,:.ZABO=ZE=51Q・又•・•菱形ABCD,VAC丄BD,:.ZAOB=90。
中考特殊四边形证明及计算提高练习(含答案)
中考特殊四边形证明及计算提高练习平行四边形1．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．2．（2011•贵阳）[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．[运用]（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为_________．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．3．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．4．（2006•泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．5．（2006•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB．连接DE，DF．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的长．6．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．菱形7．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE 交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．8．（2011•海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．9．（2009•龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC 于点N．（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．10．（2007•常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？11．（2001•河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD 边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．矩形12．（2002•无锡）已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．13．如图，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a，BC=b（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：命题（Ⅰ）：图①中，若AH=BG=AB，则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点，则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中，若EF垂直平分对角线AC，变BC于点E，交AD于点F，交AC于点O，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．请解决下列问题：（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）．（3）试探究比较图①，②，③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系．14．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．15．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积．16．（2011•清远）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．（1）求证：AB=DF；（2）若AD=10，AB=6，求tan∠EDF的值．17．（2010•大庆）已知：如图①，正方形ABCD与矩形DEFG的边AD、DE在同一直线l上，点G在CD上．正方形ABCD的边长为a，矩形DEFG的长DE为b，宽DG为3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动（点D、E始终在直线l上）．若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S，运动时间记为t秒（0≤t≤m），其中S与t的函数图象如图②所示．矩形DEFG的顶点经运动后的对应点分别记作D′、E′、F′、G′．（1）根据题目所提供的信息，可求得b=_________，a=_________，m=_________；（2）连接AG′、CF′，设以AG′和CF′为边的两个正方形的面积之和为y，求当0≤t≤5时，y与时间t之间的函数关系式，并求出y的最小值以及y取最小值时t的值；（3）如图③，这是在矩形DEFG运动过程中，直线AG′第一次与直线CF′垂直的情形，求此时t的值．并探究：在矩形DEFG继续运动的过程中，直线AG′与直线CF′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，请画出图形，并求出t的值；否则，请说明理由．18．（2005•淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）在四边形ABCD中，求的值．19．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．20．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．正方形21．（2012•黑龙江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．22．（2012•常德）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC 的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．23．（2011•来宾）已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图1）：①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；②证明：AE⊥BF；（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图2），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．24．（2011•河北）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG．（1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值．25．（2011•阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O 为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．26．（2006•内江）如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH 称为中点四边形．连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形．（1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD 的对角线满足AC=BD时，四边形EFGH为菱形．当四边形ABCD的对角线满足_________时，四边形EFGH为矩形；当四边形ABCD的对角线满足_________时，四边形EFGH为正方形；（2）探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明；（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？27．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．（1）求证：AF﹣BF=EF；（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．28．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．29．在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD 保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE与OF的数量关系为_________；（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，OE与OF的数量关系为_________；位置关系为_________．30．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？初中数学中考特殊四边形证明及计算组卷参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中，，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．2．（2011•贵阳）[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．[运用]（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为（2，1.5）．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据矩形的对角线互相平分及点E的坐标即可得出答案．（2）根据题意画出图形，然后可找到点D的坐标．解答：解：（1）M（，），即M（2，1.5）．（2）如图所示：根据平行四边形的对角线互相平分可得：设D点的坐标为（x，y），∵以点A、B、C、D构成的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴BC=，∴AD=，∵﹣1+3﹣1=1，2+1﹣4=﹣1，∴D点坐标为（1，﹣1），②当BC为对角线时，∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴AC=2，BD=2，D点坐标为（5，3）．③当AC为对角线时，∵A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4），∴AB=，CD=，D点坐标为：（﹣3，5），综上所述，符合要求的点有：D'（1，﹣1），D″（﹣3，5），D″′（5，3）．点评：本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法．3．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．考点：平行四边形的性质．专题：探究型．分析：在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF﹣PD=CF，即PF﹣PD+PE=AC=AB．解答：解：图2结论：PD+PE+PF=AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE=PF，∠EPM=∠ANM=∠C，∵AB=AC，∴∠EMP=∠B，∴∠EMP=∠EPM，∴PE=EM，∴PE+PF=AE+EM=AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB=PD．∴PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB．图3结论：PE+PF﹣PD=AB．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．4．（2006•泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质．专题：证明题；几何综合题；探究型．分析：（1）根据矩形的性质可知：AB=CD，∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD=90°，得到△ABE≌△CDF，所以AE∥CF，AE=CF，可证四边形AECF为平行四边形；（2）因为AE∥FG，得到∠G=∠GAE．利用AG平分∠BAD，得到∠BAG=∠DAG，从而求得∠ODA=∠DAO．所以∠CAG=∠G，可得△CAG是等腰三角形．解答：（1）证明：∵矩形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠ABE=∠CDF，又∠AEB=∠CFD=90°，∴AE∥CF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF．∴四边形AECF为平行四边形．（2）解：△ACG是等腰三角形．理由如下：∵AE∥FG，∴∠G=∠GAE．∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG．又OA=AC=BD=OD，∴∠ODA=∠DAO．∵∠BAE与∠ABE互余，∠ADB与∠ABD互余，∴∠BAE=∠ADE．∴∠BAE=∠DAO，∴∠EAG=∠CAG，∴∠CAG=∠G，∴△CAG是等腰三角形．点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．5．（2006•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD=AB．连接DE，DF．（1）求证：AF与DE互相平分；（2）若BC=4，求DF的长．考点：平行四边形的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．解答：（1）证明：连接EF，AE．∵点E，F分别为BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF=AB．又∵AD=AB，∴EF=AD．又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∴AF与DE互相平分．（2）解：在Rt△ABC中，∵E为BC的中点，BC=4，∴AE=BC=2．又∵四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE=2．点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．6．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定．专题：证明题；探究型．分析：1、本题可根据三角形全等证得DE=AF，AD=EF，即可知四边形ADEF是平行四边形2、要使四边形ADEF是矩形，必须让∠FAD=90°，则∠BAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°解答：证明：（1）∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴DB=AB，BE=BC．又∠DBE=60°﹣∠EBA，∠ABC=60°﹣∠EBA，∴∠DBE=∠ABC．∴△DBE≌△CBA．∴DE=AC．又∵AC=AF，∴AF=DE．同理可证：△ABC≌△FCE，证得EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形．（2）假设四边形ABCD是矩形，∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF=90°．又∵等边△ABD、△BCE、△ACF，∴∠DAB=∠FAC=60°．∴∠BAC=360﹣∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB=150°．当△ABC满足∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定．7．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE 交AB于点F．（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，∵△AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ADE=60°，∴∠EDB=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=30°，∴∠ACF=∠BAD=30°，在△ABD和△CAF中，，∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；（3）解：成立．理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB∴∠AFC=∠BDA，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，∵AD=ED，∴ED=CF，又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．8．（2011•海南）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP=BQ．（1）求证：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（结果保留根号）．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可证得AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等边三角形，然后由SAS即可证得△BDQ≌△ADP；（2）首先过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，然后由三角函数的性质，即可求得PE与QE 的长，又由勾股定理，即可求得PQ的长，则可求得cos∠BPQ的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC，∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°，∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，∵AP=BQ，∴△BDQ≌△ADP（SAS）；（2）解：过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E，∵BQ=AP=2，∵AD∥BC，∴∠QBE=60°，∴QE=QB•sin60°=2×=，BE=QB•cos60°=2×=1，∵AB=AD=3，∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1，∴PE=PB+BE=2，∴在Rt△PQE中，PQ==，∴cos∠BPQ===．点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．9．（2009•龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC 于点N．（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．考点：菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形．专题：动点型．分析：（1）①三角形ABN和ADN中，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．②通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由（1）可得∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可．（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论．解答：解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠1=∠2．又∵AN=AN，∴△ABN≌△ADN（SAS）．②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2．∴点M到AD的距离为2．∴AH=2．∴DH=6+2=8．在Rt△DMH中，tan∠MDH=，由①知，∠MDH=∠ABN=α，∴tanα=；（2）∵∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形．∴∠CAD=45°．下面分三种情形：（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．此时，点M恰好与点B重合，得x=6；（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．∵AD∥BC，∴∠1=∠4，又∠2=∠3，∴∠3=∠4．∴CM=CN．∴AC=6．∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6．故x=12﹣CM=12﹣（6﹣6）=18﹣6．综上所述：当x=6或12或18﹣6时，△ADN是等腰三角形．点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质，正方形的性质等知识点，注意本题（2）中要分三种情况进行讨论，不要丢掉任何一种情况．10．（2007•常德）如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F 作FH∥CD交BC于H，可以证明结论成立．（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形ABCD中AB=6，∠ADC=60°，G在直线CD上，且CG=16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FH∥CD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长．（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论还成立吗？考点：菱形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例．专题：综合题；压轴题．分析：（1）借助中间比进行证明，根据平行线分线段成比例定理分别证明两个比都等于即可；（2）首先应画出两个不同的图形进行分析．构造30°的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，GQ=16+3=19或16﹣3=13，然后根据勾股定理计算BG的长，进一步根据比例式求得FG的长；（3）成立，根据（2）中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论．解答：解：（1）结论成立证明：由已知易得FH∥AB，∴，∵FH∥GC，∴．（2）∵G在直线CD上，∴分两种情况讨论如下：①G在CD的延长线上时，DG=10，如图1，过B作BQ⊥CD于Q，由于四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，∴BC=AB=6，∠BCQ=60°，∴BQ=3，CQ=3，∴BG=．又由FH∥GC，可得，而△CFH是等边三角形，∴BH=BC﹣HC=BC﹣FH=6﹣FH，∴，∴FH=，由（1）知，∴FG=．②G在DC的延长线上时，CG=16，如图2，过B作BQ⊥CG于Q，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，∴BC=AB=6，∠BCQ=60°．∴BQ=3，CQ=3．∴BG==14．又由FH∥CG，可得，∴．∵BH=HC﹣BC=FH﹣BC=FH﹣6，∴FH=．∵FH∥CG，∴．∴BF=14×÷16=．∴FG=14+．（3）G在DC的延长线上时，，，∴成立．结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立．点评：证明比例式的时候，可以利用相似或利用平行线分线段成比例定理进行证明．11．（2001•河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD 边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP∥AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当S=0时的值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质．专题：压轴题．分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可．（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积．（3）易得△MNP的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．解答：解：（1）设：BN=a，CN=10﹣a（0≤a≤10）因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）所以，AM=1×t=t（0≤t≤10），MD=10﹣t（0≤t≤10）．所以，梯形AMNB的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面积=（MD+NC）×菱形高÷2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×菱形高÷2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时，即t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）所以，当t+a=10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0≤t≤5，因为AB=10，∠BAD=60°，所以菱形高=5，AM=1×t=t，BN=2×t=2t．所以梯形ABNM的面积=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5×=t（0≤t≤5）．所以当t=5时，梯形ABNM的面积最大，其数值为．（3）当△MPN≌△ABC时，则△ABC的面积=△MPN的面积，则△MPN的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有MN∥AC，∴N在C点外，所以不重合处面积为×（at﹣10）2×∴重合处为S=25﹣，当S=0时，即PM在CD上，∴a=2．点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件．12．（2002•无锡）已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）设AG交MN于O，由题意易得AO=GO，AG⊥MN，要证四边形ANGM是菱形，还需证明OM=ON，又可证明AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO；（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA=，求得PA=．解答：（1）证明：设AG交MN于O，则∵A、G关于BM对称，∴AO=GO，AG⊥MN．∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，。
中考数学：特殊四边形的计算与证明问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学特殊四边形的计算与证明问题【方法归纳】握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，会画出四边形全等变换后的图形，并会结合其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力.解决此类问题的关键是要牢牢把握四边形的性质与特征，挖掘相关图形之间的联系，利用所给图形及图形之间形状、大小、位置关系，进行观察、实验、比较、联想、类比、分析、综合等.常用到的矩形、菱形、正方形的解题策略有：（1）对于矩形：①判定四边形是矩形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形；②矩形的内角是直角和对角线相等，相对于平行四边形来说是矩形特殊的性质；③利用矩形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解．（2）对于菱形：①判定四边形是菱形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是菱形；②菱形的邻边相等和对角线垂直，相对于平行四边形来说是菱形特殊的性质；③利用菱形的性质计算或证明时，常常运用勾股定理，锐角三角函数或相似三角形求解；④求线段和的最小值时，往往运用菱形的轴对称的性质转化为求线段的长度．（3）对于正方形：①判定四边形是正方形，一般先判定是平行四边形，然后再判定是矩形或菱形，最后判定这个四边形是正方形；②正方形是最特殊的四边形，在正方形的计算或证明时，要特别注意线段或角的等量转化．【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC 上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45，求BF和AD的长．【例2】（2022·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；(2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形．【真题再现】1．（2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF 平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．2．（2016·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．3．（2017·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．4．（2017·北京·中考真题）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（____________+____________）．易知，S△ADC=S△ABC，_____________=______________，______________=_____________．可得S矩形NFGD= S矩形EBMF．BC，5．（2013·北京·中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12连结DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．6．（2015·北京·中考真题）在▱ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．（2020·北京·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．8．（2016·北京·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA=DE．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京房山·二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC,AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)若AC=8,sin∠ABD=4，求BD的长．52．（2022·北京西城·二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．(1)求证：四边形EBFD是矩形；(2)若AB=5，cos∠OBC=4，求BF的长．53．（2022·北京朝阳·二模）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．(1)求证：四边形OMPN是矩形；(2)连接AP，若AB=4，∠BAD=60∘，求AP的长．4．（2022·北京东城·二模）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若DC=√10，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的边长．5．（2022·北京平谷·二模）如图，在□ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G．(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；(2)若sin∠G=3，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．56．（2022·北京北京·二模）如图，在等边△ABC中，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连接CE．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)连接BE交AD于点F，连接CF．若AB=4，求CF的长．7．（2022·北京丰台·二模）如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，CE∥DA．(1)求证：四边形AECD是矩形；(2)若AB＝5，cosB=3，求AE的长．58．（2022·北京密云·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠BAD，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若FB=2，sinF=3，求AC的长．59．（2022·北京市十一学校模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD=CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE=OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB=3，tan∠CED=3，求EF和AD的长．410．（2022·北京昌平·二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线交于点E，连接OE交AD于点F．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AC=8，∠DOC=60°，求菱形OCED的面积．11．（2022·北京海淀·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接BE，若AB = 2，tan C =1，求BE的长．212．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE>CE），连接BE，DE．(1)求证：BE=DE；(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．13．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，∠EAO=∠DCO．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，tan∠ABD=2，求BE的长．314．（2022·北京市十一学校二模）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得AF=DE，连接BF，CF．(1)求证：四边形BCEF是矩形；(2)若AB=6，CF=8，DF=10，求EF的长．15．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cos A=5，DE=5，求菱形BFCD的面积．1316．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，CF=BE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AD=2，AB=4，求BD的长．17．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，AD∥BC，点E在BC 上，AB∥DE，AE平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝3，求CD的长．518．（2022·北京市师达中学模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．19．（2022·北京四中模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD⊥AC于点O，点E是DB延长线上一点，OE＝OD，BF⊥AE于点F．(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若AB平分∠EAC，OB＝3，BE＝5，求EF和AD的长．20．（2021·北京丰台·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．21．（2022·北京市燕山教研中心一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若BD=4，AC=3，求sin∠CDE的值．22．（2022·北京平谷·一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝3，BF＝5，连接CD，求CD的长．523．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点C 作CE∥BD交AD的延长线于点E．(1)求证：∠ACD＝∠ECD；(2)连接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的长．24．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CF∥EB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，tan∠FBC=1，求AC的长225．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．26．（2022·北京·中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作PQ⊥AP交CD边于点Q．(1)求证：PA=PQ；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为（直接写出答案）．27．（2022·北京市三帆中学模拟预测）已知：△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点BC，连结DE．A作AE，且AE=12(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)作FG⊥AB于点G，AG=4，cos∠GAF=4，求FG和FD的长．528．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，BC=4√5，求BD和AE的长．29．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，cos∠ACB=4，求BC的长．530．（2022·北京通州·一模）如图．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作EF∥BD交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．。
四边形基础提升专练与特殊四边形有关的计算和证明作业
四边形基础提升专练与特殊四边形有关的计算和证明作业pptxx年xx月xx日•四边形的定义和基本属性•特殊四边形的性质和判定•四边形证明的常用方法•特殊四边形的计算•特殊四边形证明的常用计算方法•四边形基础提升专练•特殊四边形证明专练•正方形证明专练目录01四边形的定义和基本属性定义1四边形是指由四条直线段连接的封闭图形。
定义2四边形可以分成两个三角形，通过三角形边角关系进行计算和证明。
四边形的定义四边形的分类梯形平行四边形Array有两组对边平行，但不相等的四边两组对边分别平行的四边形。
形。
矩形正方形对角线相等且互相平分的四边形。
四边相等且四个角都是直角的四边形。
四边形的边角关系四个角都是直角的四边形是矩形。
对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
对角线互相垂直的四边形是菱形。
02特殊四边形的性质和判定总结词平行四边形是一种特殊的四边形，具有两组对边分别平行的特性详细描述平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等且互补平行四边形的性质和判定矩形是一种特殊的平行四边形，具有相等的对角和相对的两个角总结词矩形的四个角都是直角，对角线相等，相邻两边互相垂直详细描述矩形的性质和判定总结词菱形是一种特殊的平行四边形，具有相等的两条对角线详细描述菱形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分菱形的性质和判定总结词正方形是一种特殊的矩形和菱形，具有全部相同的特性详细描述正方形不仅具有菱形和矩形的全部性质，还具有相邻边互相垂直的特性正方形的性质和判定03四边形证明的常用方法平行四边形证明方法定义法根据平行四边形的定义，如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，可以证明一个四边形是平行四边形。
一个角是直角的平行四边形是矩形根据矩形的定义，一个角是直角的平行四边形是矩形。
四边形基础提升专练与特殊四边形有关的计算和证明作业ppt
四边形具有对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性、有四条边、有四个角等性质。
四边形的分类
平行四边形
两组对边分别平行的四边形。
矩形
有一个内角是直角的平行四边形。
正方形
四条边相等，且有一个内角是直角的平行四边形。
梯形
只有一组对边平行的四边形。
菱形
四条边相等，且对角线互相垂直的四边形。
筝形
两条对角线相等的平行四边形。
02
平行四边形中的特殊线段
平行四边形中的对角线 平行四边形中的中位线
平行四边形中的垂直平分线 平行四边形中的角平分线
03
矩形相关计算与证明
矩形的性质与判定方法
矩形是特殊的平行四边形，其对角线平分且相等。 矩形有两条对角线，且互相平分。
矩形四个角都是直角，其面积等于长乘宽。 矩形是轴对称图形，其对称轴为对边中点的连线。
01
熟悉四边形的基本性质和判定方法是解决四边形问题的关键，
包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
运用辅助线和等积法
02
对于一些复杂的四边形问题，可以通过添加辅助线来简化问题
，或者运用等积法来转化面积问题。
结合三角形和函数的性质
03
在解决四边形问题时，可以结合三角形和函数的性质来进行计
算和证明。
四边形综合题的实战演练
选择题实战演练
选取具有代表性的四边形选择题进行实战演练，熟悉解题技巧和 方法。
填空题实战演练
选取具有代表性的四边形填空题进行实战演练，强化解题思路和 技巧。
解答题实战演练
选取具有代表性的四边形解答题进行实战演练，综合运用解题思 路和技巧，提升解题能力。
THANKS
05
精品北京市中考数学专题练习题精选提分专练六特殊四边形相关的计算与证明
提分专练(六) 特殊四边形相关的计算与证明(18年 21题,17年 20题)|类型1| 平行四边形的判定+线段长度1.[2017·通州一模]如图T6-1,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.图T6-1(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.2.[2017·石景山二模]如图T6-2,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.图T6-2(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=,求ED的长.3.[2015·西城一模]如图T6-3,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.图T6-3(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.4.[2018·房山一模]如图T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.图T6-4(1)证明:AF=CE;(2)若∠B=30°,AC=2,连接BF,求BF的长.|类型2| 菱形的判定+线段长度5.[2018·顺义一模]如图T6-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.图T6-5(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.6.[2018·平谷一模]如图T6-6,在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.图T6-6(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)连接CF,若∠ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的长.7.[2018·门头沟一模]如图T6-7,在矩形ABCD中,连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD,BC于点E,F,连接CE和AF.图T6-7(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.8.[2018·西城一模]如图T6-8,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.图T6-8(1)补全图形,求∠AOB的度数并说明理由.(2)若AB=5,cos∠ABD=,求BD的长.。
北京市2019年中考数学专题练习题精选 提分专练(六)特殊四边形相关的计算与证明练习
北京市2019年中考数学专题练习题精选提分专练（六）特殊四边形相关的计算与证明练习(六)特殊四边形相关的计算与证明(18年 21题,17年 20题)|类型1| 平行四边形的判定+线段长度1.[2017·通州一模]如图T6-1,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.图T6-1(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.2.[2017·石景山二模]如图T6-2,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.图T6-2(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=,求ED的长.3.[2015·西城一模]如图T6-3,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.图T6-3(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.4.[2018·房山一模]如图T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.图T6-4(1)证明:AF=CE;(2)若∠B=30°,AC=2,连接BF,求BF的长.|类型2| 菱形的判定+线段长度5.[2018·顺义一模]如图T6-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.图T6-5(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.6.[2018·平谷一模]如图T6-6,在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.图T6-6(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)连接CF,若∠ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的长.7.[2018·门头沟一模]如图T6-7,在矩形ABCD中,连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD,BC于点E,F,连接CE和AF.图T6-7(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.8.[2018·西城一模]如图T6-8,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.图T6-8(1)补全图形,求∠AOB的度数并说明理由.(2)若AB=5,cos∠ABD=,求BD的长.|类型3| 菱形的判定+图形面积9.[2018·延庆一模]如图T6-9,R t△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.图T6-9(1)求证:四边形DBEC是菱形;(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.10.[2018·大兴一模]如图T6-10,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE=OC,CE=OD.图T6-10(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.11.[2018·怀柔一模]直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是斜边BC上一点,且AB=AD,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,交AB的延长线于点F.图T6-11(1)求证:∠ACB=∠DCE;(2)若∠BAD=45°,AF=2+,过点B作BG⊥FC于点G,连接DG.依题意补全图形,并求四边形ABGD的面积.12.[2018·海淀一模]如图T6-12,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.图T6-12(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是时,四边形AOBE的面积最大,最大值是.|类型4| 矩形的判定+线段计算13.[2018·石景山一模]如图T6-13,在四边形ABCD 中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD=2,CE⊥AD于点E.图T6-13(1)求证:AE=CE;(2)若tan D=3,求AB的长.14.[2018·丰台一模]已知:如图T6-14,菱形ABCD,分别延长AB,CB到点F,E,使得BF=BA,BE=BC,连接AE,EF,FC,CA.(1)求证:四边形AEFC为矩形;(2)连接DE交AB于点G,如果DE⊥AB,AB=4,求DE的长.图T6-1415.[2018·通州一模]如图T6-15,在平行四边形ABCD中,DB⊥AB,点E是BC边的中点,过点E作EF⊥CD,垂足为F,交AB的延长线于点G.图T6-15(1)求证:四边形BDFG是矩形;(2)若AE平分∠BAD,求tan∠BAE的值.16.[2017·朝阳一模]如图T6-16,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两直线交于点E.图T6-16(1)求证:四边形ADBE是矩形;(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,AO=,求cos∠AED的值.参考答案1.解:(1)证明:∵AC⊥BD,∠FCA=90°,∴BD∥CF.∵∠CBF=∠DCB,∴DC∥BF.∴四边形DBFC是平行四边形.(2)由(1)得四边形DBFC是平行四边形,∴CF=BD=2.过点C作CH⊥BF于点H,∵∠F=45°,∴CH=.∵BC平分∠DBF,∴CH=CE=,∵AB=BC,BD⊥AC,∴AC=2CE=2.2.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠CDF=90°,AB=DC,AD=BC.在Rt△BAE和Rt△CDF中,∴Rt△BAE≌Rt△CDF.∴∠1=∠F.∴BE∥CF.又∵BE=CF,∴四边形EBCF是平行四边形.(2)∵在Rt△BAE中,∠2=30°,AB=, ∴AE=AB·tan∠2=1,BE==2,∠3=60°.在Rt△BEC中,BC===4.∴AD=BC=4.∴ED=AD-AE=4-1=3.3.解:(1)证明:∵∠ADE=∠BAD,∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC,垂足为F,∴BD⊥AC,AF=FC.又∵AE⊥AC,∴∠EAC=∠DFC=90°,∴AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形.(2)如图,连接BE交AD于点O.∵DA平分∠BDE,∴∠ADE=∠1.又∵∠ADE=∠BAD,∴∠1=∠BAD,∴AB=BD,∴▱ABDE是菱形.∴AD⊥BE.∵AB=5,AD=6,∴BD=AB=5,OA=AD=3.在Rt△OAB中,OB==4.∵S△ABD=AD·OB=BD·AF,∴6×4=5AF,解得AF=4.8.∵BD垂直平分AC,∴AC=2AF=9.6.4.解:(1)证明:∵D,E分别是BC,AB的中点, ∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥AC,AC=2DE.又∵EF=2DE,∴EF=AC,∴四边形ACEF为平行四边形,∴AF=CE.(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴BC=2,DE=1,∠EDB=90°.∵D为BC中点,∴BD=.又∵EF=2DE,∴EF=2.∴DF=3.在Rt△BDF中,由勾股定理得BF==2.5.解:(1)证明:∵BD=BC,E是CD的中点, ∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BD=DF.∵BD=BC,∴DF=BC.又∵DF∥BC,∴四边形BCFD是平行四边形.又∵BD=BC,∴▱BCFD是菱形.(2)∵∠A=90°,AD=1,BD=BC=2,∴AB==.∵四边形BCFD是菱形,∴DF=BC=2,∴AF=AD+DF=3,∴BF===2.6.解:(1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.∵▱ABCD,∴AD∥BC.∴∠AFB=∠CBF.∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°.∴∠BAO=∠BEO.∴AB=BE.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴▱ABEF是菱形.(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.∴BE=2CE.∵AB=4,∴BE=4.∴CE=2.过点A作AG⊥BC于点G.∵∠ABC=60°,AB=BE,∴△ABE是等边三角形.∴BG=GE=2.∴AF=CG=4.∴四边形AGCF是平行四边形.∴▱AGCF是矩形.∴AG=CF.在Rt△ABG中,∠ABC=60°,AB=4,∴AG=2.∴CF=2.7.解:(1)证明:∵EF是AC的垂直平分线, ∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∵∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形, 又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形.(2)设AF=x,∵EF是AC的垂直平分线,∴AF=CF=x,BF=8-x,在Rt△ABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即42+(8-x)2=x2, 解得x=5,∴AF=5,∴菱形AECF的周长为20.8.解:(1)补全的图形如图所示.∠AOB=90°.理由:由题意可知BC=AB,DC=AB.∵在△ABD中,∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴BC=DC=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OB=OD.在R t△ABO中,∠AOB=90°,AB=5,cos∠ABD=,∴OB=AB·cos∠ABD=3,∴BD=2OB=6.9.解:(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,∴四边形DBEC是平行四边形.在Rt△ABC中,∵D是AC的中点,∠ABC=90°,∴BD=DC, ∴四边形DBEC是菱形.(2)∵F是AB的中点,D是AC的中点,∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°,在Rt△AFD中,AF===2.∴S△DBC=BC×BF=×2×2=2,∴S菱形DBEC=2S△DBC=4.10.解:(1)证明:∵DE=OC,CE=OD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=AC,OD=BD.∴OC=OD.∴平行四边形OCED是菱形.(2)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AC=4,∴BC=2.∴AB=DC=2.如图,连接OE,交CD于点F.∵四边形OCED为菱形,∴F为CD中点.∵O为BD中点,∴OF=BC=1.∴OE=2OF=2.∴S菱形OCED=OE·CD=×2×2=2.11.解:(1)证明:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE.(2)补全图形,如图所示:∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°,∠F=∠ACF=45°.∵AE⊥CF,BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF,∠BAC=90°且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.∵AB=AD,∴BG=AD,∴四边形ABGD是平行四边形.∵AB=AD,∴平行四边形ABGD是菱形.设AB=x,则BG=GD=AD=x,∴BF=BG=x.∴AB+BF=x+x=2+,∴x=.过点B作BH⊥AD于H,∴BH=AB=1.∴S四边形ABGD=AD×BH=.12.解:(1)证明:∵AE∥BD,BE∥AC, ∴四边形AEBO是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB.∵OE=CD,∴OE=AB.∴平行四边形AEBO是矩形.∴∠BOA=90°,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.(2)正方形;2.13.解:(1)证明: (法一)过点B作BH⊥CE于H,如图.∵CE⊥AD,∴∠BHC=∠CED=90°,∠1+∠D=90°.∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠D.又BC=CD,∴△BHC≌△CED.∴BH=CE.∵BH⊥CE,CE⊥AD,∠A=90°,∴四边形ABHE是矩形,∴AE=BH.∴AE=CE.(法二)过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H.图略,证明略.(2)∵四边形ABHE是矩形,∴AB=HE.∵在Rt△CED中,tan D==3,设DE=x,CE=3x,∴CD=x=2.∴x=2.∴DE=2,CE=6.∵CH=DE=2.∴AB=HE=6-2=4.14.解:(1)证明:∵BF=BA,BE=BC,∴四边形AEFC为平行四边形.∵四边形ABCD为菱形,∴BA=BC,∴BF=BE.∴BA+BF=BC+BE,即AF=EC.∴四边形AEFC为矩形.(2)连接DB.由(1)知,AD∥EB,且AD=EB,∴四边形AEBD为平行四边形.∵DE⊥AB,∴四边形AEBD为菱形.∴A E=EB,AB=2AG,ED=2EG.∵矩形AEFC中,EB=AB,AB=4,∴AG=2,AE=4.∴Rt△AEG中,EG=2.∴ED=4.15.解:(1)证明:∵BD⊥AB,EF⊥CD, ∴∠ABD=90°,∠EFD=90°.在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=90°,∴BD∥GF.∴四边形BDFG为平行四边形.又∵∠BDC=90°,∴四边形BDFG为矩形.(2)∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴BA=BE.∵在Rt△BDC中,点E为BC边的中点, ∴BE=ED=EC.又∵在▱ABCD中,AB=CD,∴△ECD为等边三角形,∠C=60°,∴∠BAE=∠BAD=30°,∴tan∠BAE=.16.解:(1)证明:∵AE∥BC,BE∥AD,∴四边形ADBE是平行四边形.∵AB=AC,AD是BC边的中线,∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.∴四边形ADBE为矩形.(2)∵在矩形ADBE中,AO=,∴AB=DE=5.∵D是BC的中点,BC=8,∴DB=4,∴AE=4.∴在Rt△AED中,cos∠AED==.。
06中考数学中考数学特殊四边形小专题
AEB CFD精典专题六特殊四边形小专题一、提高讲解例1.在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【练习】如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。
那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
例2.矩形中的折叠问题如下图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形折叠使C点与A点重合。
（1）作出折痕EF，并写出作法（E点在BC边上，F点在AD边上）；（2）折叠后点D落在D′上，求此时B、D之间的距离。
【练习】例3.（利用菱形的轴对称求最值）【练习】1.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB=120°，点E 平分DC ，点P 在BD 上，且PE+PC ≥1，那么边长AB 的最小值是______．2.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点。
（1）求证：∆∆ABM CDM ≅；（2）四边形MENF 是什么图形？请证明你的结论；（3）若四边形MENF 是正方形，则梯形的高与底边BC 有何数量关系？并请说明理由。
例4.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．【练习】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥C G．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．巩固提高1．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝10，AC＝16，那么菱形ABCD的面积为．2．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′＝______．3．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数等于______．4．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a + b），宽为（a + b）的矩形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张．5．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60，且DE=1，则边BC的长为．6．如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH 的周长等于cm，四边形EFGH的面积等于cm2．7．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为_______．8．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里第1题第2题第3题第4题EA BHGFEDCBAAB CDEG第5题第6题第7题O1123－3 -2-2-1-123yx向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有___ __个．9．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a的取值范围为（）A．4<a<16 B．14<a<26 C．12<a<20 D．以上答案都不正确10．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关11．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．12.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．（3）求证：△ADG与△CDE的面积相等RPDC BAEF第10题AMNE。
2020年中考数学复习解答题专项训练---四边形(特殊四边形)的相关计算和证明题
四边形（特殊四边形）的相关计算和证明题1.（2019∙青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由。
2.（2019∙聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF.3.（2019∙泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90∘，FG⊥AD，垂足为点C.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明；(2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗?若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由。
4.（2019∙潍坊）如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M.(1)求证：△AHF为等腰直角三角形。
(2)若AB=3，EC=5，求EM的长。
5.（2019∙滨州）如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积。
6.（2019∙安徽）如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求证：△BCE≌△ADF；的值。
(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求ST7.（2019∙重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.(1)如图1,若∠D=30∘,AB=√6，求△ABE的面积；(2)如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF.求证：ED-AG=FC.8.（2019∙泰州）如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C.D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A.B不重合).(1)求证：△AEP≌△CEP；(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；(3)求△AEF的周长。
【精选】北京市中考数学专题练习题精选提分专练六特殊四边形相关的计算与证明
提分专练(六) 特殊四边形相关的计算与证明(18年 21题,17年 20题)|类型1| 平行四边形的判定+线段长度1.[2017·通州一模]如图T6-1,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E,AB=BC,F为四边形ABCD外一点,且∠FCA=90°,∠CBF=∠DCB.图T6-1(1)求证:四边形DBFC是平行四边形;(2)如果BC平分∠DBF,∠F=45°,BD=2,求AC的长.2.[2017·石景山二模]如图T6-2,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.图T6-2(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,求ED的长.3.[2015·西城一模]如图T6-3,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC.图T6-3(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;(2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长.4.[2018·房山一模]如图T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.图T6-4(1)证明:AF=CE;(2)若∠B=30°,AC=2,连接BF,求BF的长.|类型2| 菱形的判定+线段长度5.[2018·顺义一模]如图T6-5,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,连接CF.图T6-5(1)求证:四边形BCFD是菱形;(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.6.[2018·平谷一模]如图T6-6,在▱ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,交BC于点E,连接EF.图T6-6(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)连接CF,若∠ABC=60°,AB=4,AF=2DF,求CF的长.7.[2018·门头沟一模]如图T6-7,在矩形ABCD中,连接AC,AC的垂直平分线交AC于点O,分别交AD,BC于点E,F,连接CE和AF.图T6-7(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若AB=4,BC=8,求菱形AECF的周长.8.[2018·西城一模]如图T6-8,在△ABD中,∠ABD=∠ADB,分别以点B,D为圆心,AB长为半径在BD的右侧作弧,两弧交于点C,分别连接BC,DC,AC,记AC与BD的交点为O.图T6-8(1)补全图形,求∠AOB的度数并说明理由.(2)若AB=5,cos∠求BD的长.|类型3| 菱形的判定+图形面积9.[2018·延庆一模]如图T6-9,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,F分别是AC,AB的中点,CE∥DB,BE∥DC.图T6-9(1)求证:四边形DBEC是菱形;(2)若AD=3,DF=1,求四边形DBEC面积.10.[2018·大兴一模]如图T6-10,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE=OC,CE=OD.图T6-10(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.11.[2018·怀柔一模]直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是斜边BC上一点,且AB=AD,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,交AB的延长线于点F.图T6-11(1)求证:∠ACB=∠DCE;(2)若∠BAD=45°,AF=2过点B作BG⊥FC于点G,连接DG.依题意补全图形,并求四边形ABGD的面积.12.[2018·海淀一模]如图T6-12,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.图T6-12(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AD=2,则当四边形ABCD的形状是时,四边形AOBE的面积最大,最大值是.|类型4| 矩形的判定+线段计算13.[2018·石景山一模]如图T6-13,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD=CE⊥AD于点E.图T6-13(1)求证:AE=CE;(2)若tan D=3,求AB的长.14.[2018·丰台一模]已知:如图T6-14,菱形ABCD,分别延长AB,CB到点F,E,使得BF=BA,BE=BC,连接AE,EF,FC,CA.(1)求证:四边形AEFC为矩形;(2)连接DE交AB于点G,如果DE⊥AB,AB=4,求DE的长.图T6-1415.[2018·通州一模]如图T6-15,在平行四边形ABCD中,DB⊥AB,点E是BC边的中点,过点E作EF⊥CD,垂足为F,交AB的延长线于点G.图T6-15(1)求证:四边形BDFG是矩形;(2)若AE平分∠BAD,求tan∠BAE的值.16.[2017·朝阳一模]如图T6-16,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,过点A作BC的平行线,过点B作AD的平行线,两直线交于点E.图T6-16(1)求证:四边形ADBE是矩形;(2)连接DE,交AB于点O,若BC=8,求cos∠AED的值.参考答案1.解:(1)证明:∵AC⊥BD,∠FCA=90°,∴BD∥CF.∵∠CBF=∠DCB,∴DC∥BF.∴四边形DBFC是平行四边形.(2)由(1)得四边形DBFC是平行四边形,∴CF=BD=2.过点C作CH⊥BF于点H,∵∠F=45°,∵BC平分∠DBF,∵AB=BC,BD⊥AC,∴AC=2CE=2.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠CDF=90°,AB=DC,AD=BC.在Rt△BAE和Rt△CDF中∴Rt△BAE≌Rt△CDF.∴∠1=∠F.∴BE∥CF.又∵BE=CF,∴四边形EBCF是平行四边形.(2)∵在Rt△BAE中,∠2=30°,∴AE=AB·tan∠2=1,2,∠3=60°.在Rt△BEC中,4.∴AD=BC=4.∴ED=AD-AE=4-1=3.3.解:(1)证明:∵∠ADE=∠BAD,∴AB∥ED.∵BD垂直平分AC,垂足为F,∴BD⊥AC,AF=FC.又∵AE⊥AC,∴∠EAC=∠DFC=90°,∴AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形. (2)如图,连接BE交AD于点O.∵DA平分∠BDE,∴∠ADE=∠1.又∵∠ADE=∠BAD,∴∠1=∠BAD,∴AB=BD,∴▱ABDE是菱形.∴AD⊥BE.∵AB=5,AD=6,∴BD=AB=5,3.在Rt△OAB中,4.∵S△ABD··AF,∴6×4=5AF,解得AF=4.8.∵BD垂直平分AC,∴AC=2AF=9.6.4.解:(1)证明:∵D,E分别是BC,AB的中点, ∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥AC,AC=2DE.又∵EF=2DE,∴EF=AC,∴四边形ACEF为平行四边形,∴AF=CE.(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴BC=DE=1,∠EDB=90°.∵D为BC中点,又∵EF=2DE,∴EF=2.∴DF=3.在Rt△BDF中,由勾股定理得5.解:(1)证明:∵BD=BC,E是CD的中点, ∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴BD=DF.∵BD=BC,∴DF=BC.又∵DF∥BC,∴四边形BCFD是平行四边形.又∵BD=BC,∴▱BCFD是菱形.(2)∵∠A=90°,AD=1,BD=BC=2,∵四边形BCFD是菱形,∴DF=BC=2,∴AF=AD+DF=3,6.解:(1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.∵▱ABCD,∴AD∥BC.∴∠AFB=∠CBF.∴∠ABF=∠AFB.∴AB=AF.∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°.∴∠BAO=∠BEO.∴AB=BE.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴▱ABEF是菱形.(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.∴BE=2CE.∵AB=4,∴BE=4.∴CE=2.过点A作AG⊥BC于点G.∵∠ABC=60°,AB=BE,∴△ABE是等边三角形.∴BG=GE=2.∴AF=CG=4.∴四边形AGCF是平行四边形.∴▱AGCF是矩形.∴AG=CF.在Rt△ABG中,∠ABC=60°,AB=4,∴AG=∴CF=7.解:(1)证明:∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∵∠EAO=∠FCO,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴OE=OF.又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形.(2)设AF=x,∵EF是AC的垂直平分线,∴AF=CF=x,BF=8-x,在Rt△ABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即42+(8-x)2=x2, 解得x=5,∴AF=5,∴菱形AECF的周长为20.8.解:(1)补全的图形如图所示.∠AOB=90°.理由:由题意可知BC=AB,DC=AB.∵在△ABD中,∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∴BC=DC=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠AOB=90°.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OB=OD.在Rt△ABO中,∠AOB=90°,AB=5,cos∠∴OB=AB·cos∠ABD=3,∴BD=2OB=6.9.解:(1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC,∴四边形DBEC是平行四边形.在Rt△ABC中,∵D是AC的中点,∠ABC=90°,∴BD=DC, ∴四边形DBEC是菱形.(2)∵F是AB的中点,D是AC的中点, ∴BC=2DF=2,∠AFD=∠ABC=90°,在Rt△AFD中,∴S△DBC2×∴S菱形DBEC=2S△DBC=10.解:(1)证明:∵DE=OC,CE=OD,∴四边形OCED是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,,∴OC=OD.∴平行四边形OCED是菱形.(2)在矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,AC=4,∴BC=2.∴AB=DC=如图,连接OE,交CD于点F.∵四边形OCED为菱形,∴F为CD中点.∵O为BD中点,1.∴OE=2OF=2.∴S菱形OCED·2×11.解:(1)证明:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE.(2)补全图形,如图所示:∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°,∠F=∠ACF=45°.∵AE⊥CF,BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF,∠BAC=90°且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.∵AB=AD,∴BG=AD,∴四边形ABGD是平行四边形.∵AB=AD,∴平行四边形ABGD是菱形.设AB=x,则BG=GD=AD=x,2过点B作BH⊥AD于H,1.∴S四边形ABGD12.解:(1)证明:∵AE∥BD,BE∥AC, ∴四边形AEBO是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB.∵OE=CD,∴OE=AB.∴平行四边形AEBO是矩形.∴∠BOA=90°,∴AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.(2)正方形;2.13.解:(1)证明: (法一)过点B作BH⊥CE于H,如图.∵CE⊥AD,∴∠BHC=∠CED=90°,∠1+∠D=90°.∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠D.又BC=CD,∴△BHC≌△CED.∴BH=CE.∵BH⊥CE,CE⊥AD,∠A=90°,∴四边形ABHE是矩形,∴AE=BH.∴AE=CE.(法二)过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H.图略,证明略.(2)∵四边形ABHE是矩形,∴AB=HE.∵在Rt△CED中,tan3, 设DE=x,CE=3x,∴x=2.∴DE=2,CE=6.∵CH=DE=2.∴AB=HE=6-2=4.14.解:(1)证明:∵BF=BA,BE=BC, ∴四边形AEFC为平行四边形.∵四边形ABCD为菱形,∴BA=BC,∴BF=BE.∴BA+BF=BC+BE,即AF=EC.∴四边形AEFC为矩形.(2)连接DB.由(1)知,AD∥EB,且AD=EB,∴四边形AEBD为平行四边形.∵DE⊥AB,∴四边形AEBD为菱形.∴AE=EB,AB=2AG,ED=2EG.∵矩形AEFC中,EB=AB,AB=4,∴AG=2,AE=4.∴Rt△AEG中,EG=∴ED=15.解:(1)证明:∵BD⊥AB,EF⊥CD,∴∠ABD=90°,∠EFD=90°.在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=90°,∴BD∥GF.∴四边形BDFG为平行四边形.又∵∠BDC=90°,∴四边形BDFG为矩形.(2)∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE.∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∴∠BAE=∠BEA,∴BA=BE.∵在Rt△BDC中,点E为BC边的中点, ∴BE=ED=EC.又∵在▱ABCD中,AB=CD,∴△ECD为等边三角形,∠C=60°,∴∠BAD=30°,∴tan∠16.解:(1)证明:∵AE∥BC,BE∥AD, ∴四边形ADBE是平行四边形.∵AB=AC,AD是BC边的中线,∴AD⊥BC.即∠ADB=90°.∴四边形ADBE为矩形.(2)∵在矩形ADBE中,∴AB=DE=5.∵D是BC的中点,BC=8,∴DB=4,∴AE=4.∴在Rt△AED中,cos∠。
中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案
DSE 金牌数学专题系列经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一.解答题１．（1)如图①，▱ABＣD的对角线ＡC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD，BC于点E，F．求证:AE＝ＣF．（２）如图②，将▱ＡBCD（纸片)沿过对角线交点O的直线ＥＦ折叠，点A落在点A1处,点B落在点B1处，设FB1交CD于点Ｇ，A１B1分别交CＤ，DＥ于点Ｈ,I.求证：EI=FG．考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质；翻折变换(折叠问题).分析：（1)由四边形ＡBCD是平行四边形,可得AＤ∥ＢＣ,OA=OＣ,又由平行线的性质，可得∠1=∠2,继而利用ASA，即可证得△AOE≌△CＯF，则可证得AE=CF．(2)根据平行四边形的性质与折叠性质,易得A1E＝ＣF，∠A１=∠A=∠Ｃ，∠B1＝∠B＝∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得ＥI＝ＦG．解答：证明：(1）∵四边形ＡBＣＤ是平行四边形，∴AＤ∥BC，ＯA=ＯC,∴∠1=∠2,在△AOE和△ＣOF中，,∴△AOＥ≌△CＯF（AＳA），∴ＡE=ＣF；（2)∵四边形AＢCＤ是平行四边形,∴∠A=∠C，∠B＝∠Ｄ,由（1)得AＥ=ＣF，由折叠的性质可得:ＡE=Ａ1E，∠A1＝∠A,∠B1=∠B,∴A1Ｅ＝CＦ,∠A1=∠A=∠C，∠B1＝∠B=∠D,又∵∠1=∠２,∴∠3=∠4，∵∠5=∠３,∠4=∠6，∴∠5=∠6,在△A1IE与△ＣGＦ中，，∴△A1IE≌△CGF（ＡAS），∴ＥI=FG.点评:此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想的应用．２．在△ABC中，ＡB＝AＣ,点Ｐ为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，ＰF∥AＢ交B Ｃ于点Ｄ,交AC于点F．若点P在BC边上（如图1）,此时PD＝0,可得结论:PD+ＰE+PF=AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△AＢC内(如图2),△AＢC外（如图3)时，上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,PD，PE,PF与AＢ之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想,不需要证明.考点: 平行四边形的性质．专题：探究型.分析:在图２中，因为四边形PEＡF为平行四边形,所以PE＝AF，又三角形ＦＤC为等腰三角形，所以ＦD=PＦ+PD=FＣ,即PE+ＰD+PF=AＣ＝AB,在图3中，PE=AF可证，FD=PＦ﹣PD=CF，即ＰF﹣ＰＤ+PＥ=AＣ=ＡB．解答:解:图2结论:PD+ＰE＋PF=ＡB.证明:过点Ｐ作MＮ∥BＣ分别交ＡＢ，AＣ于M，N两点,∵PE∥AC,PF∥AB,∴四边形ＡＥPF是平行四边形,∵ＭN∥BC,PF∥AB∴四边形BDPM是平行四边形，∴AＥ=PF,∠EPM=∠ANＭ=∠Ｃ，∵ＡB=AC,∴∠EMP=∠B，∴∠EMP＝∠ＥPM,∴PＥ=EM,∴ＰE+PF=ＡE+EM=AＭ．∵四边形BDPM是平行四边形，∴ＭB＝PD.∴PD＋PE＋PF=MＢ+ＡM=AB，即PD+PE＋ＰＦ=ＡＢ.图3结论:PE+ＰF﹣PＤ=AB.点评:此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息,把握规律是解题的关键.３．如图，△AＢＣ是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AＢ于点F.(1）若点D是BC边的中点(如图①）,求证：EF=CD；(2）在(1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;（3)若点D是BC边上的任意一点（除Ｂ、C外如图②),那么（１）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题．分析：（1)根据△ABC和△AEＤ是等边三角形,Ｄ是BC的中点，ED∥CＦ，求证△ＡBＤ≌△CAF,进而求证四边形EＤCF是平行四边形即可；(2)在（１）的条件下可直接写出△AEF和△ＡBＣ的面积比;(3)根据EＤ∥ＦC，结合∠ACＢ=6０°,得出∠AＣＦ=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED＝ＣF,进而求证四边形EDＣF是平行四边形，即可证明EF=ＤＣ.解答：（1）证明:∵△ＡＢC是等边三角形,D是ＢＣ的中点，∴AD⊥BC，且∠BAD=∠ＢAＣ＝30°，∵△ＡED是等边三角形,∴AＤ=AE,∠ADE=60°,∴∠EＤB＝90°﹣∠AＤＥ=90°﹣６０°=３0°,∵EＤ∥CF，∴∠ＦＣB=∠EDB=30°,∵∠ACB=60°，∴∠AＣＦ=∠AＣB﹣∠FCB＝30°,∴∠ＡCF=∠ＢAＤ=３0°，在△ABD和△CAF中,，∴△AＢD≌△ＣAF（ＡSA),∴AD=ＣＦ，∵AD=ED,∴ED=CＦ，又∵EＤ∥ＣＦ，∴四边形ＥDＣF是平行四边形,∴ＥＦ＝CD．（2)解:△AEF和△ＡBＣ的面积比为：1:４；(3）解:成立．理由如下:∵ＥD∥ＦC,∴∠EＤB=∠FCB，∵∠AFC=∠B＋∠BCF=60°+∠ＢＣF，∠BDＡ=∠ＡDＥ+∠EDB＝60°+∠EDB∴∠AFＣ=∠BDＡ，在△ABD和△CＡF中,∴△ABＤ≌△CAF（AAS），∴AD＝ＦＣ，∵AD=ED，∴ED＝CF，又∵ＥD∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形,∴ＥF=DＣ．点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多,综合性较强，难度较大．４．如图，在菱形ABＣＤ中，AB=10,∠ＢAＤ=60度.点Ｍ从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤１０）．（１）点Ｎ为ＢC边上任意一点,在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由;（2）点N从点B(与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动,在什么时刻,梯形ABNM 的面积最大并求出面积的最大值；(3)点N从点B（与点Ｍ出发的时刻相同)以每秒a(ａ≥２）个单位长的速度沿着射线ＢＣ方向(可以超越Ｃ点)移动,过点M作MP∥AB，交BC于点P.当△MＰＮ≌△AＢＣ时,设△MＰN与菱形ABＣD重叠部分的面积为S,求出用t表示Ｓ的关系式,井求当S=0时的值．考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质.专题: 压轴题．分析: (1)菱形被分割成面积相等的两部分,那么分成的两个梯形的面积相等,而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可.(2)易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积,用t的最值即可求得梯形的最大面积．（3)易得△MNP的面积为菱形面积的一半,求得不重合部分的面积,让菱形面积的一半减去即可.解答:解：(1）设:BN=a，ＣN=1０﹣a（0≤a≤１0）因为,点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动,点M移动的时间为t秒（0≤t≤10)所以,AM＝1×t＝t（０≤t≤10）,MＤ=１０﹣t(0≤t≤１0).所以,梯形AＭNB的面积=（ＡＭ+ＢＮ)×菱形高÷2＝（t＋a）×菱形高÷２；梯形MNCD的面积=(MＤ+NC)×菱形高÷2=[（１0﹣ｔ）+（10﹣ａ）]×菱形高÷2当梯形AMNB的面积=梯形MNCD的面积时,即t+a=10,（0≤t≤1０),（０≤ａ≤10)所以，当t+a=１0,（0≤t≤1０）,（0≤a≤10）时，可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．（2)点Ｎ从点B以每秒2个单位长的速度沿着ＢC边向点C移动,设点Ｎ移动的时间为t，可知0≤t≤5，因为ＡB=１０,∠BAＤ＝60°，所以菱形高＝5，AM=1×t=t,BN=２×t＝２t.所以梯形AＢNM的面积＝(AM+ＢN)×菱形高÷２＝3t×５×=t(0≤ｔ≤5)．所以当ｔ=5时，梯形ＡBNM的面积最大,其数值为．（3)当△ＭPN≌△ＡＢC时，则△ABC的面积=△MＰN的面积,则△MPＮ的面积为菱形面积的一半为2５;因为要全等必有MN∥AC，∴Ｎ在Ｃ点外,所以不重合处面积为×（ａt﹣１0)2×∴重合处为Ｓ＝25﹣，当Ｓ＝0时,即PM在CD上,∴a=2．点评：本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件．5.如图,在下列矩形ABCＤ中,已知:AB＝ａ,BC＝b(a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出(Ⅰ)、（Ⅱ)、（Ⅲ）三个命题：命题（Ⅰ)：图①中,若ＡH=BＧ＝ＡB,则四边形AＢGＨ是矩形AＢCＤ的内接菱形;命题（Ⅱ）：图②中,若点Ｅ、Ｆ、Ｇ和Ｈ分别是AＢ、ＢＣ、CD和DE的中点,则四边形ＥFGH是矩形AＢＣD的内接菱形；命题（Ⅲ）：图③中,若EF垂直平分对角线ＡＣ，变ＢC于点E，交AD于点F,交ＡＣ于点Ｏ，则四边形ＡＥCF是矩形ＡＢCD的内接菱形.请解决下列问题：(１）命题（Ⅰ）、(Ⅱ)、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个,并证明它是真命题或假命题;(2)画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的,但不全等的内接菱形).(3）试探究比较图①,②,③中的四边形ABGＨ、ＥＦGH、AＥCF的面积大小关系.考点: 菱形的判定与性质;全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理;矩形的性质；命题与定理．分析：(１）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明;②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形;（２)先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．(3)分别表示出三个菱形的面积,根据边的关系即可得出图(1)图（2）的面积都小于图(３）的面积；根据a与b的大小关系，分a>2b，a=2b和a<２ｂ三种情况讨论．解答：解:(１）都是真命题;若选(Ⅰ)证明如下:∵矩形ABCＤ，∴AD∥BC,∵AH＝BG，∴四边形AＢＧH是平行四边形，∴AB＝HＧ，∴AB=HＧ＝AH=BG，∴四边形ABGH是菱形;若选(Ⅱ）,证明如下:∵矩形AＢCD,∴AＢ=CD,AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵E、F、G、Ｈ是中点，∴ＡE=ＢＥ=CG=DＧ，AH=HD=BF＝FC，∴△AEＨ≌△BEF≌△DＧH≌△GＣF,∴ＥF=FG=GＨ=HE，∴四边形EFＧH是菱形；若选(Ⅲ),证明如下∵EＦ垂直平分AC，∴FA=FＣ，EA=EC,又∵矩形AＢCD，∴AＤ∥ＢＣ，∴∠FAC=∠EＣA，在△AＯF和△COE中，,∴△ＡＤF≌△COE（SAS）∴AＦ=CE,∴AF＝ＦＣ=CE＝ＥＡ,∴四边形AEＣF是菱形；(2)如图4所示：ＡH=CF，EＧ垂直平分对角线FＨ,四边形HEFＧ是菱形；（3）S ABGＨ＝a2 ，SＥFGH=aｂ，S菱形AECF＝，∵﹣ａ2==>0(ｂ>a)∴Ｓ菱形AECF＞SＡBGH．∵﹣ａb===＞0，∴S菱形AECＦ>S EＦＧH．∵a2﹣ab＝ａ（a﹣b）∴当a>b,即0<ｂ＜2a时,S菱形ABGH>S菱形EＦＧH；当ａ＝b,即b=２ａ时,Ｓ菱形ＡBGH=S菱形EFGH;当a<b,即b>a时，S菱形ABGH<Ｓ菱形EFＧH.综上所述:当O<b＜2ａ时，ＳＥFＧH＜S ABGH<S菱形AＥCF.当b＝2a时,S EＦGH＝ＳＡＢGH<Ｓ菱形AECF．当ｂ＞２a时ＳABGH＜S EFＧH＜S菱形AＥCF.点评:本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第(3)题需要分类讨论，以防错解．6.在平行四边形AＢCＤ中，∠ＢＡD的平分线交直线BC于点Ｅ，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ＥＣFG．（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形;(2）如图2，若∠ABC＝90°，M是EF的中点，求∠ＢDM的度数；(３)如图３,若∠ABC＝120°,请直接写出∠BＤＧ的度数．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形；平行四边形的性质;正方形的判定与性质.分析:(１)平行四边形的性质可得AＤ∥BC，AB∥ＣD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFＥ,根据等角对等边可得ＣE=CF，再有条件四边形EＣＦG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；（２)首先证明四边形ECＦG为正方形，再证明△ＢME≌△DMＣ可得DM=ＢM，∠DMC＝∠BＭE，再根据∠ＢMD=∠BME＋∠EＭＤ=∠DMC+∠EMＤ=９0°可得到∠BＤM的度数;(3）分别连接GB、ＧＣ,求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形.由ＡD∥ＢC及AＦ平分∠ＢAD可得∠BAE=∠AEB，求证△ＢＥG≌△DCＧ,然后即可求得答案．解答:解:（1)证明：∵AF平分∠BAD,∴∠ＢAF＝∠DAF,∵四边形ＡBCＤ是平行四边形，∴AＤ∥ＢC,ＡB∥CD，∴∠ＤAF=∠ＣEF，∠BＡF＝∠CFE,∴∠CEＦ=∠CFE，∴ＣＥ=CF,又∵四边形ＥCFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形．(2)如图,连接BM，MC，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形AＢＣＤ是矩形，又由（1)可知四边形ECFG为菱形，∠ＥCF=９0°,∴四边形ＥCFG为正方形.∵∠BＡＦ=∠DＡＦ,∴BＥ=ＡＢ=DC，∵M为ＥF中点,∴∠CEM＝∠EＣM=45°,∴∠BEＭ=∠ＤＣM＝135°,在△ＢME和△DMＣ中,∵,∴△BME≌△DMＣ（SＡS），∴MB=MＤ，∠DMC=∠ＢＭE.∴∠ＢMD＝∠BME+∠ＥMＤ=∠DＭC+∠ＥＭD=90°,∴△BMD是等腰直角三角形,∴∠ＢDM=45°；(3)∠ＢDG=６0°，延长AB、FＧ交于H,连接HD．∵AD∥GF,ＡB∥DＦ，∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠AＢC＝1２0°,AＦ平分∠ＢAＤ，∴∠DＡF＝30°,∠ＡDC=1２0°,∠DFA=30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=ＤＦ，∴平行四边形AHFD为菱形,∴△AＤH，△ＤHＦ为全等的等边三角形，∴DＨ＝DF，∠BHD=∠ＧFD＝６0°，∵FG=CE,ＣE=CＦ,ＣＦ＝BH，∴BH＝GF,在△BＨＤ与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD（SAS)，∴∠ＢDH=∠ＧDF∴∠BDG=∠BDＨ+∠HDG=∠GDF+∠HＤG＝60°．点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．7.在△AＢC中，∠BAC=90°,AＢ=ＡＣ,若点D在线段BＣ上，以AD为边长作正方形AＤEＦ,如图1,易证：∠AFC ＝∠ACB＋∠DＡＣ；(1)若点D在ＢC延长线上,其他条件不变，写出∠AFC、∠ACＢ、∠ＤAC的关系,并结合图2给出证明;(2)若点D在CB延长线上,其他条件不变，直接写出∠AFＣ、∠ACB、∠ＤAC的关系式.考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题: 几何综合题.分析：（１)∠AFC、∠ACB、∠DAＣ的关系为:∠ＡFC=∠ACB﹣∠ＤAC，理由为:由四边形AＤEF为正方形,得到AD=AF，且∠ＦAD为直角,得到∠ＢAC＝∠FAD,等式左右两边都加上∠CAＤ得到∠BAD=∠CAＦ，再由ＡB=AC，AD＝AF,利用SAS可得出三角形ABD与三角形ＡCF全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠AFC＝∠ADB,又∠ＡCB为三角形ACD的外角，利用外角的性质得到∠AＣB＝∠ＡＤB+∠DAC,变形后等量代换即可得证;（2）∠AFC、∠ＡＣB、∠DＡC的关系式是∠AFC+∠ACB+∠DＡC=180°，可以根据∠ＤAF＝∠BAC=9０°,等号两边都减去∠BAF,可得出∠DＡB=∠FＡC，再由ＡD=AF，AB=AC,利用SAS证明三角形ABD与三角形AFＣ全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠AFＣ=∠ＡDB,根据三角形ADC的内角和为180°，等量代换可得证.解答:解:（1)关系:∠AFＣ=∠ACＢ﹣∠DAC，…（2分）证明:∵四边形AＤＥF为正方形,∴AＤ＝AF,∠FAD=90°，∵∠BAＣ=９0°，∠ＦAD=90°，∴∠ＢAC+∠CAD=∠ＦAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAF,…（3分)在△ABD和△ACＦ中，，∴△ABD≌△ACF(SAS），…（4分)∴∠ＡFＣ=∠ADＢ,∵∠AＣB是△ACD的一个外角,∴∠AＣB=∠ADB＋∠DＡC，…(5分）∴∠ＡDB＝∠AＣB﹣∠DＡＣ,∵∠ADB＝∠ＡＦC，∴∠ＡFC=∠AＣB﹣∠DAＣ;…（6分）(2）∠AＦＣ、∠ACB、∠DAＣ满足的关系式为:∠AFC+∠DAC＋∠ACB=180°，…(8分）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴∠DＡF=90°，AD=AF,又∠BAC=９0°，∴∠DAF=∠BAＣ,∴∠DAＦ﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BＡF,即∠ＤAB=∠FＡC，在△ＡBD和△ACF中,,∴△ABＤ≌△ＡCF(SAＳ）,∴∠ADB＝∠ＡＦC,在△ADC中，∠ADB＋∠AＣB+∠DAC＝18０°,则∠AFC＋∠ACB+∠ＤAC＝１80°.点评：此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的内角和定理,以及三角形的外角性质,熟练掌握判定及性质是解本题的关键.8.已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP,作CN⊥DP 于点M，且交直线AB于点N，连接OP,ON.（当Ｐ在线段BC上时,如图1：当P在BC的延长线上时，如图2) (１)请从图1，图2中任选一图证明下面结论:①BN=ＣＰ;②OP=OＮ，且OP⊥ＯＮ;（2）设AＢ＝４，BP＝x,试确定以O、P、B、Ｎ为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.考点: 正方形的性质;分段函数；三角形的面积;全等三角形的判定与性质.专题: 代数几何综合题.分析：(１)根据正方形的性质得出DC＝BＣ，∠DCB=∠CBN=9０°,求出∠CPＤ=∠DＣN=∠CNB,证△DＣＰ≌△CBN，求出CP=BN,证△OBＮ≌△OCP,推出ON＝ＯP,∠BOＮ=∠COＰ,求出∠PＯN=∠ＣOB即可；(２)同法可证图２时，OP=ON,OP⊥ＯN,图1中，S四边形OＰＢＮ=Ｓ△OBN+Ｓ△BOP,代入求出即可;图2中，Ｓ四边形OＢNＰ=Ｓ△ＰＯB＋S△PBN,代入求出即可．解答：(1）证明:如图1,∵正方形ABCD,∴OC=ＯB，ＤC＝BC，∠DCＢ＝∠CBA＝9０°,∠OCB=∠OＢA=４5°,∠DOＣ=9０°,ＤＣ∥AB，∵DP⊥ＣN,∴∠CMＤ=∠DＯＣ=9０°，∴∠ＢＣN＋∠ＣPD=90°，∠PCN＋∠DＣN=９0°，∴∠CPD=∠CNＢ,∵ＤC∥AB,∴∠DCＮ=∠CＮB＝∠CＰD，∵在△ＤCＰ和△ＣBN中，∴△DCP≌△CBN，∴ＣP＝ＢN,∵在△OBＮ和△OＣP中,∴△ＯＢN≌△OCP，∴ON＝ＯＰ,∠BOＮ=∠ＣＯP,∴∠BON＋∠BOP＝∠CＯP＋∠BOP,即∠ＮＯＰ＝∠BOC=９0°，∴OＮ⊥ＯP，即OＮ＝OP,ON⊥ＯＰ.（2）解：∵AB=4，四边形AＢCD是正方形,∴Ｏ到BC边的距离是2,图１中，S四边形OPBＮ=S△OBN+Ｓ△BOＰ,＝×(4﹣x）×2+×ｘ×2，=4（0<x<4）,图２中,S四边形OBNP=S△POB+S△PBN=×x×2+×(x﹣4）×ｘ＝x2﹣ｘ（x>4),即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：.点评:本题考查了正方形性质,全等三角形的性质和判定,分段函数等知识点的应用，解(1）小题的关键是能运用性质进行推理，解(2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目,注意：证明过程类似.9．如图,四边形ABCD是正方形，点E,K分别在BC，ＡB上，点G在BA的延长线上,且CE＝BK=ＡG. (1）求证:①DＥ=DG；②DＥ⊥DG(２）尺规作图：以线段DE，DＧ为边作出正方形ＤEFG(要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）; (3）连接（2)中的ＫF，猜想并写出四边形CEＦK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4)当时,请直接写出的值.考点: 正方形的性质；全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;作图—复杂作图.分析:（1)由已知证明ＤE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明ＤE⊥DＧ;(2)根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以ＤＧ为半径画弧交点F,得到正方形DＥＦＧ；（3)由已知首先证四边形CKGD是平行四边形,然后证明四边形ＣEFＫ为平行四边形；(4)由已知表示出的值．解答:（１）证明:∵四边形ABCD是正方形,∴ＤC=DA,∠DＣE=∠DＡG=9０°．又∵CE=AG,∴△DCE≌△DＡG,∴ＤE=ＤG,∠ＥDＣ=∠ＧDA,又∵∠ＡＤE+∠EDC=90°,∴∠ADE＋∠GDA＝9０°∴DＥ⊥ＤG．(2)解：如图.(３）解：四边形CEFK为平行四边形．证明：设ＣK、DE相交于M点∵四边形ABCＤ和四边形DEFG都是正方形，∴ＡB∥CＤ,ＡB=CD，EF=ＤG，EF∥ＤＧ，∵BK＝AＧ,∴KG=AＢ=CD，∴四边形CＫGD是平行四边形，∴ＣK=ＤG＝ＥF,CK∥ＤＧ,∴∠KＭＥ=∠GDE=∠DEF=90°,∴∠KME+∠DEF=１８0°,∴CK∥ＥF,∴四边形ＣＥFK为平行四边形．（4）解：∵,∴设CＥ=ｘ,CＢ=nｘ,∴CD=ｎx，∴ＤE2＝CE2+CD２=n2x2+x2=（n2+1）ｘ2,∵BC2=n２ｘ2,∴==．点评:此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图,解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．１０.如图，点P是正方形AＢCD对角线AC上一动点，点E在射线BＣ上，且ＰB=PE，连接PD，Ｏ为ＡC中点．（1）如图1，当点P在线段ＡO上时,试猜想PE与ＰＤ的数量关系和位置关系，不用说明理由;(２）如图2，当点P在线段ＯC上时，(1)中的猜想还成立吗？请说明理由；（3)如图3，当点Ｐ在AC的延长线上时,请你在图3中画出相应的图形(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法）,并判断（１)中的猜想是否成立?若成立，请直接写出结论;若不成立，请说明理由.考点: 正方形的性质;全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.分析： (1）根据点P在线段AＯ上时，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；(２）利用三角形全等得出,BP=ＰD，由ＰB=PE，得出PE=PD，要证PE⊥PD；从三方面分析,当点E 在线段BＣ上(E与B、C不重合)时，当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处，当点Ｅ在BC的延长线上时,分别分析即可得出;（3)利用ＰＥ＝ＰＢ得出P点在BE的垂直平分线上,利用垂直平分线的性质只要以P为圆心,PＢ为半径画弧即可得出E点位置，利用(2)中证明思路即可得出答案．解答：解：（1）当点P在线段AO上时，在△ABP和△ＡDＰ中,∴△ABP≌△ADP,∴BP=DP,∵PＢ＝PE，∴PE=ＰD，过点P做PＭ⊥CD，于点Ｍ，作PN⊥BC，于点N,∵PB=ＰE，ＰN⊥BE，∴BN=NE，∵BＮ＝DＭ，∴DM=NＥ,在Ｒt△PNE与Rt△PMD中,∵PＤ＝ＰE,NE＝DM,∴Rt△PNE≌Ｒt△PＭD，∴∠DPM=∠EPN,∵∠MPN=90°,∴∠ＤＰE=9０°,故PE⊥PＤ，PＥ与PD的数量关系和位置关系分别为：PE=PD,PE⊥PD；（2)∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA,∠BAＰ=∠DAP=45°,∵PA=PA，∴△ＢＡＰ≌△ＤＡＰ（ＳＡS),∴PＢ=PＤ,又∵PB=ＰＥ，∴PE=PD.(i）当点E与点Ｃ重合时，点Ｐ恰好在AC中点处，此时,PE⊥PD.(ii）当点E在BC的延长线上时，如图．∵△ADP≌△ABＰ，∴∠AＢP=∠ＡDＰ,∴∠ＣDP=∠CBP,∵ＢP＝ＰE，∴∠CBP＝∠PEＣ，∴∠PＥC＝∠PDC，∵∠1=∠2,∴∠ＤＰE＝∠ＤCＥ=9０°,∴PE⊥ＰD.综合（i）（ｉi）,PE⊥PＤ；（3）同理即可得出：PE⊥PD,PＤ=PE．点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用.巩固训练:1.如图，矩形ＡＢCD的对角线交于点O，ＡE⊥BD,CF⊥BD，垂足分别为E，Ｆ,连接ＡF,CＥ．（1）求证:四边形ＡECF是平行四边形；（2）若∠BAD的平分线与ＦC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗?并说明理由.考点：平行四边形的判定;全等三角形的判定;等腰三角形的判定;矩形的性质.专题：证明题;几何综合题;探究型．分析:(1）根据矩形的性质可知：AB=CD,∠ABE=∠CDF，∠AEB=∠CFD＝9０°,得到△ABＥ≌△CDF,所以AE∥CＦ,AE＝CF,可证四边形AECF为平行四边形;(2)因为ＡE∥FＧ，得到∠G=∠GAＥ.利用AＧ平分∠BAD,得到∠BAG=∠DＡG，从而求得∠OＤA=∠DＡＯ．所以∠CＡG=∠G,可得△CAG是等腰三角形．解答：(1）证明：∵矩形ＡＢCＤ，∴AB∥ＣD,AB=ＣＤ．∴∠ABE=∠ＣDＦ，又∠AEＢ=∠CＦD=9０°,∴AＥ∥CF，∴△AＢE≌△CDＦ，∴AE=ＣF．∴四边形AECF为平行四边形.(2)解：△AＣG是等腰三角形.理由如下:∵ＡＥ∥FＧ，∴∠Ｇ=∠ＧAE.∵AG平分∠BＡD,∴∠BAG＝∠DAG.又OA＝AC＝BＤ=OD，∴∠ODA＝∠ＤAO．∵∠BＡE与∠AＢE互余，∠ADＢ与∠ABＤ互余，∴∠BAE=∠AＤE.∴∠BAE＝∠DAＯ,∴∠EＡG=∠CAG,∴∠CAG=∠G，∴△CAG是等腰三角形．点评:本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、ＳAS、SSA、ＨL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件,再去证什么条件.2．如图,在Rt△ABC中,∠BＡC=90°,E，F分别是BＣ，AC的中点,延长BA到点D,使AＤ=AB.连接DE，DF.（1)求证：AF与DE互相平分；(２）若ＢC＝4，求DＦ的长．考点: 平行四边形的判定.专题：计算题；证明题．分析：(１）连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形即可．(2)注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可.解答：（1)证明:连接ＥF，AE．∵点Ｅ，Ｆ分别为ＢC,AC的中点,∴EF∥ＡＢ,EＦ＝AＢ．又∵AD＝ＡB,∴EF=AD．又∵EＦ∥AD,∴四边形AEＦＤ是平行四边形.∴AＦ与ＤＥ互相平分．(2）解：在Rｔ△ABＣ中，∵Ｅ为ＢC的中点,ＢC=４,∴AE＝BC=2.又∵四边形ＡEＦＤ是平行四边形,∴DＦ＝AE=2.点评:本题考查了平行四边形的判定,有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3．如图,以△AＢC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BＣE、△ＡＣF．请回答下列问题:（1)求证:四边形AＤEF是平行四边形；（2）当△ABＣ满足什么条件时，四边形AＤEＦ是矩形.考点: 平行四边形的判定；等边三角形的性质;矩形的判定.专题: 证明题;探究型．分析:1、本题可根据三角形全等证得DE=ＡF,AD=ＥF,即可知四边形ＡDEF是平行四边形2、要使四边形ＡDEＦ是矩形，必须让∠FAＤ＝90°，则∠ＢAC=3６0°﹣9０°﹣60°﹣60°=150°解答：证明:(1)∵等边△AＢD、△ＢＣE、△AＣＦ,∴DB=AB，BE=BC．又∠ＤBＥ=６０°﹣∠EBA，∠AＢＣ=6０°﹣∠EＢA,∴∠DBE=∠ABC.∴△DBＥ≌△CBA.∴DE＝AC．又∵AＣ=AＦ,∴AF=DＥ．同理可证:△AＢC≌△FCＥ,证得EＦ=AD．∴四边形ＡDEＦ是平行四边形.(2）假设四边形ABCD是矩形,∵四边形AＤＥＦ是矩形，∴∠DＡF＝９0°.又∵等边△ＡBD、△BCＥ、△AＣF，∴∠DAB=∠FAＣ=６０°.∴∠BＡC=36０﹣∠ＤＡF﹣∠FＡC﹣∠ＤAＢ=150°.当△ＡBC满足∠BAC＝1５0°时，四边形AＤEF是矩形.点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定.４．已知:如图,矩形ABＣD中，AB=2,ＡD=３，E、Ｆ分别是AB、ＣＤ的中点．（1）在边AD上取一点M,使点Ａ关于BM的对称点Ｃ恰好落在ＥＦ上.设BM与ＥF相交于点N，求证：四边形ANＧM是菱形；(2)设P是AD上一点,∠ＰFB=3∠ＦBC，求线段ＡP的长.考点: 菱形的判定；矩形的性质.专题: 计算题；证明题.分析:（1)设AG交MN于O,由题意易得AO=GO,AG⊥MＮ，要证四边形ANGＭ是菱形,还需证明OM=ＯN，又可证明AD∥ＥＦ∥BC.∴MO:OＮ=AＯ：OG=1:1,∴MO=NO;（2)连接AF,由题意可证得∠PFＡ=∠FBC=∠PAF，∴PA=PＦ，∴PA=,求得ＰA=．解答:（1)证明:设AG交ＭN于Ｏ,则∵A、G关于BM对称,∴ＡO＝ＧO，AG⊥MN．∵E、F分别是矩形ABCD中AＢ、CＤ的中点，∴AＥ=BE，ＡＥ∥DF且AＥ=DF，AD∥EF∥BC.∴MO：OＮ=AＯ:OG=1：1．∴MＯ=NO.∴ＡG与MN互相平分且互相垂直.∴四边形ＡNGM是菱形.（2）解:连接AF,∵ＡＤ∥EF∥BC,∴∠PＡF=∠AＦＥ，∠EＦB=∠ＦBＣ．又∵EF⊥AB,ＡE=BE，∴ＡF=ＢF，∴∠AＦＥ=∠EFＢ.∴∠PAF=∠ＡFE=∠EＦＢ＝∠FBＣ．∴∠PFＢ=∠PFＡ+∠AFE+∠EFB=∠ＰFＡ＋2∠FBC=3∠FBC.∴∠PFA=∠ＦＢC=∠ＰAF．∴ＰA=PF.∴在Rt△PFD中，根据勾股定理得:PＡ=PF＝,解得：PＡ=．本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力.对角线互相垂直平分的四边形是菱形．点评：5．如图1,在△ABＣ中,AB=BＣ=5,AＣ＝6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE、AC和BE相交于点O.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由；（２)如图2,P是线段BＣ上一动点(图2），(不与点B、C重合)，连接PO并延长交线段AE于点Q,QR⊥BＤ，垂足为点R.四边形PQEＤ的面积是否随点P的运动而发生变化?若变化,请说明理由；若不变,求出四边形PQED的面积．考点：菱形的判定与性质．专题：动点型;数形结合.分析：(1)利用平移的知识可得四边形AＢCE是平行四边形，进而根据AB=BC可得该四边形为菱形;(2)利用证明三角形全等可得四边形PQED的面积为三角形ＢED的面积,所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可．解答：解：（１）四边形AＢCＥ是菱形,证明如下：∵△EＣＤ是由△ABＣ沿BC平移得到的，∴ＥC∥AＢ，且EC＝ＡB,∴四边形AＢCE是平行四边形,(2分)又∵ＡB=BＣ,∴四边形ＡBCE是菱形．(４分)（2)由菱形的对称性知,△PBO≌△QEO，∴S△PBO=S△QEＯ（7分）∵△ECD是由△AＢC平移得到的，∴ＥD∥AC,ED=AＣ=6，又∵BＥ⊥AＣ，∴ＢE⊥EＤ,(8分)∴S四边形PQEＤ=S△QEＯ+Ｓ四边形ＰＯED=Ｓ△ＰBＯ＋S四边形POED=S△ＢＥD=×BE×ED=×8×6=２4．(1０分）点评:考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键.6.如图，已知矩形ABCD,AD=４，CＤ＝１０,P是AB上一动点，Ｍ、Ｎ、Ｅ分别是PD、ＰC、CD的中点. (１)求证：四边形PＭEＮ是平行四边形;(2)请直接写出当ＡP为何值时，四边形ＰMEN是菱形;（3)四边形PＭEＮ有可能是矩形吗?若有可能，求出AＰ的长;若不可能，请说明理由.考点：矩形的判定与性质;平行四边形的判定；菱形的判定.分析:(１）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2)当DP=ＣP时,四边形PMEN是菱形，Ｐ是AB的中点,所以可求出AP的值.（3）四边形ＰＭEN是矩形的话，∠DPＣ必需为９0°，判断一下△DＰC是不是直角三角形就行.解答:解：(1）∵M、Ｎ、E分别是PD、PC、ＣD的中点,∴ＭE∥PC，EＮ∥PD,∴四边形PＭＥN是平行四边形;(２）当AP=5时，∵PA=PＢ=5,ＡD=BC,∠A＝∠B=90°,∴△PAD≌△PBC,∴PD＝PＣ,∵M、N、E分别是PD、ＰＣ、ＣD的中点，∴NE=PM PD,ME＝PN=PC,∴PM＝ME=EN＝PＮ,∴四边形PMEN是菱形;（3)假设△DＰC为直角三角形.设PA＝x，ＰB＝10﹣ｘ，DＰ＝,CＰ=．DＰ２+CＰ2=DC２16＋ｘ2+16+(10﹣ｘ)2＝1０2x2﹣10x+16=0ｘ=2或x＝8.故当AP＝2或AP=8时,能够构成直角三角形.点评：本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理,以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角,对边相等等性质.7.如图:矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DＥ=ＢＰ=1.(１）判断△BEＣ的形状，并说明理由？(2)判断四边形EＦPＨ是什么特殊四边形?并证明你的判断;(3）求四边形EFPＨ的面积.考点：矩形的判定与性质；三角形的面积;勾股定理；勾股定理的逆定理;平行四边形的判定与性质．专题: 计算题;证明题.分析:（1)根据矩形性质得出CＤ=２,根据勾股定理求出CE和BＥ,求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEＢＰ和ＡＥCP,推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH,根据矩形的判定推出即可;（2)根据三角形的面积公式求出ＣF,求出ＥＦ，根据勾股定理求出PＦ，根据面积公式求出即可．解答：（１）△BEC是直角三角形，理由是:∵矩形AＢCD，∴∠ADC＝∠ABP=90°，AD＝BC=5，ＡＢ=CD=2,由勾股定理得：CE===,同理BＥ=2，∴CE2+BＥ２＝5+20=25,∵BC2=52=2５，∴ＢE２+CE2＝BＣ2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．(２）解：四边形ＥFPH为矩形，证明:∵矩形ABＣD，∴ＡＤ=BＣ,AD∥BＣ，∵DE=BP,∴四边形ＤEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AＤ=BC,AD∥BＣ，ＤE=BP,∴AE=CP,∴四边形AＥCP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形ＥFPH是平行四边形,∵∠BEＣ＝９0°,∴平行四边形EFPH是矩形.(３)解：在RT△PCD中∠ＦC⊥PＤ，由三角形的面积公式得:PD•ＣＦ=ＰC•CD，∴ＣF==，∴ＥF=CＥ﹣CF=﹣＝，∵PF==,∴S矩形EＦPH=ＥF•PF=,答：四边形EFPH的面积是.点评：本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定,三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力,此题综合性比较强，题型较好,难度也适中．8．如图，四边形ABCＤ是正方形，点P是ＢC上任意一点,ＤE⊥ＡP于点Ｅ,ＢＦ⊥AP于点F,CH⊥ＤE于点H,BF 的延长线交CH于点G．（1）求证：AF﹣ＢF＝EF；(2)四边形ＥＦGH是什么四边形？并证明；(3）若AB＝2,BP=1,求四边形ＥFGＨ的面积．考点: 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.分析：(1)利用全等三角形的判定首先得出△AＥＤ≌△BFA，进而得出ＡE=BF,即可证明结论；(2)首先得出四边形EFGＨ是矩形，再利用△ＡED≌△BＦA,同理可得：△AED≌△ＤHC,进而得出EF=EH，即可得出答案；(3)首先求出AP的长,再利用三角形面积关系得出BＦ,AF的长，进而求出EF的长即可得出答案.解答:（1）证明：∵DＥ⊥AP于点E,BF⊥AＰ于点Ｆ，CH⊥DＥ于点H,∴∠AＦB＝∠AＥD=∠DHＣ=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°,又∵∠DＡE+∠BAF＝90°，∴∠AＤE=∠BAF,在△AＥD和△BFＡ中,，∴△AEＤ≌△BＦA，∴ＡE=BＦ，∴AF﹣AE=EF,即ＡF﹣BF＝EF;（2）证明:∵∠ＡFB=∠AＥD=∠DＨC＝9０°，∴四边形EFGH是矩形，∵△AED≌△BFＡ，同理可得:△AＥD≌△DＨC，∴△ＡＥD≌△BFＡ≌△DHC，∴ＤＨ=ＡE=BＦ，AF=ＤE=CH,∴DＥ﹣DH＝AF﹣ＡE,∴ＥF=ＥＨ,∴矩形ＥFＧH是正方形;（3)解：∵AB=2，BＰ＝1，∴AP＝，∵S△ABＰ=×BF×AP=×BF×=1×２×,∴BF=,∵∠BAF=∠PAB，∠AFB=∠AＢP＝９0°，∴△ABF∽△APB，∴＝=，∴AF=，∴EＦ=ＡF﹣AE=﹣=，∴四边形EFＧＨ的面积为:（）2=.9．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上,点N在边AD的延长线上,且BM=DN.点Ｅ为MＮ的中点，DＥ的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想.考点：正方形的判定与性质;全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题: 探究型.分析:猜想：线段ＤF垂直平分线段AC，且DＦ=AC,过点M作MG∥AD，与DＦ的延长线相交于点G，作ＧH⊥BC，垂足为H，连接AＧ、CG. 根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明△AMG≌△CHG即可.解答:猜想:线段DF垂直平分线段AＣ，且DF=ＡＣ，证明:过点M作MG∥AＤ，与DF的延长线相交于点G.则∠EＭG=∠N，∠BＭG=∠BAD,∵∠MEG=∠NEＤ,ＭE=NＥ,∴△MEＧ≌△ＮED,∴ＭＧ=DN.∵ＢM＝DN，∴MG=BM.作GH⊥BC,垂足为H，连接AＧ、CG.∵四边形ABCＤ是正方形,∴AB=BC=CD=DＡ，∠BAD=∠B=∠ＡDＣ=90°，∵∠GMＢ=∠B＝∠GHB=９０°，∴四边形ＭBHG是矩形．∵MG=MB,∴四边形MBHG是正方形,∴MG=GH=BH=MB，∠AMG＝∠ＣHG＝90°，∴ＡＭ=ＣH，∴△ＡMG≌△ＣHＧ．∴GA=GＣ.又∵DＡ=ＤＣ，∴DG是线段AＣ的垂直平分线.∵∠ADＣ=90°,DA=DＣ，∴DF=ＡC即线段DF垂直平分线段AC，且ＤF=AC．点评：本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质,垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点,此题综合性比较强，难度较大,但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力．10.以△ABC的各边,在边ＢＣ的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ＡＢＤI,ＢＣFE，ACＨG,试探究: （１）如图中四边形ADＥＧ是什么四边形?并说明理由.（2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADＥG是矩形?(3)当△AＢＣ满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？考点: 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;矩形的判定．分析：（1)根据全等三角形的判定定理SＡＳ证得△BＤＥ≌△ＢAC,所以全等三角形的对应边ＤE=AＧ.然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDＡ＋∠DAG=180°,易证ＥD∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论;（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°;（３)由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=9０°，且ＡG＝AD.由□AＢDI和□ACHG 的性质证得，AC=AＢ.解答:解：（１）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形ＢＣＦE、四边形ＡＣHＧ都是正方形,∴AC=ＡG,AB=ＢＤ,BC=BE,∠GＡＣ=∠EBC=∠DＢＡ＝9０°.∴∠ABC=∠ＥBD(同为∠ＥＢＡ的余角）．在△BDE和△BAC中，。
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提分专练(六)特殊四边形相关的证明与计算|类型1|与平行四边形有关的证明与计算1.[2019·扬州]如图T6-1,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.(1)求证:∠BEC=90°;(2)求cos∠DAE.图T6-12.[2019·本溪]如图T6-2,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,∠B=45°,延长CD到点E,使DE=DA,连接AE.(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;(2)若AB=3,CD=1,求四边形ABCE的面积.图T6-23.[2017·石景山二模]如图T6-3,四边形ABCD是矩形,点E在AD边上,点F在AD的延长线上,且BE=CF.(1)求证:四边形EBCF是平行四边形;(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=,求ED的长.图T6-34.[2018·房山一模]如图T6-4,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是BC,AB的中点,连接DE并延长至点F,使EF=2DE,连接CE,AF.(1)证明:AF=CE;(2)若∠ABC=30°,AC=2,连接BF,求BF的长.图T6-4|类型2|与矩形有关的证明与计算5.[2017·海淀一模]如图T6-5,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F使CF=BE,连接AF,DE,DF.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.图T6-56.[2019·平谷二模]如图T6-6,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB延长线于E,CF∥AE交AD延长线于点F.(1)求证:四边形AECF是矩形;(2)连接OE,若cos∠BAE=,AB=5,求OE的长.图T6-67.[2019·东城二模]如图T6-7,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,AE∥BD,且AE=BD.(1)求证:四边形AEBD是矩形;(2)连接CE交AB于点F,若∠ABE=30°,AE=2,求EF的长.图T6-78.[2018·石景山一模]如图T6-8,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD=2,CE⊥AD于点E.(1)求证:AE=CE;(2)若tan D=3,求AB的长.图T6-8|类型3|与菱形有关的证明与计算9.[2018·房山二模]已知:如图T6-9,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果∠BDC=30°,DE=2,EC=3,求CD的长.图T6-910.[2018·顺义期末]已知:如图T6-10,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,且BD⊥DC,E为BC的中点,AB=DE.(1)求证:四边形ABED是菱形;(2)若∠C=60°,CD=4,求四边形ABCD的面积.图T6-1011.[2019·宿迁]如图T6-11,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF=.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)求线段EF的长.图T6-1112.[2018·怀柔一模]直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D是斜边BC上一点,且AB=AD,过点C作CE⊥AD,交AD 的延长线于点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:∠ACB=∠DCE;(2)若∠BAD=45°,AF=2+,过点B作BG⊥FC于点G,连接DG.依题意补全图形,并求四边形ABGD的面积.图T6-12|类型4|与正方形有关的证明与计算13.[2019·仙桃]如图T6-13,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE=CF,过点E作EG∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证:(1)AE⊥BF;(2)四边形BEGF是平行四边形.图T6-1314.[2016·门头沟一模]如图T6-14,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于E,过E作EF⊥AD于F,连接BF交AE于P,连接PD.(1)求证:四边形ABEF是正方形;(2)如果AB=4,AD=7,求tan∠ADP的值.图T6-1415.[2018·东城期末]正方形ABCD中,点P是边CD上的任意一点,连接BP,O为BP的中点,作PE⊥BD于E,连接EO,AE.(1)若∠PBC=α,求∠POE的大小(用含α的式子表示);(2)在(1)的条件下,用等式表示线段AE与BP之间的数量关系,并证明.图T6-1516.[2018·通州一模]如图T6-16,直线l是线段MN的垂直平分线,交线段MN于点O,在MN下方的直线l上取一点P,连接PN,以线段PN为边,在PN上方作正方形NP AB,射线MA交直线l于点C,连接BC.(1)设∠ONP=α,求∠AMN的度数;(2)写出线段AM,BC之间的等量关系,并证明.图T6-16【参考答案】1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC=DE+CE=16,AD=BC,DC∥AB,∴∠DEA=∠EAB.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,∴∠DAE=∠DEA,∴AD=DE=10,∴BC=10.∵CE2+BE2=62+82=102=BC2,∴△BCE是直角三角形,∠BEC=90°.(2)∵AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC=90°,∴AE==8,∴cos∠DAE=cos∠EAB=.2.解:(1)证明:∵AD⊥CD,AB∥CD,∴∠ADE=∠DAB=90°.∵AD=DE,∴∠E=∠DAE=45°,∴∠EAB=135°.∵∠B=45°,∴∠B+∠EAB=180°,∴AE∥BC,∴四边形ABCE是平行四边形. (2)由(1)知AB=CE,∵CD=1,AB=3,∴DE=2.∵AD=DE,∴AD=2,∴S四边形ABCE=3×2=6.3.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠CDF=90°,AB=DC,AD=BC.在Rt△BAE和Rt△CDF中,∴Rt△BAE≌Rt△CDF.∴∠1=∠F.∴BE∥CF.又∵BE=CF,∴四边形EBCF是平行四边形.(2)∵在Rt△BAE中,∠2=30°,AB=, ∴AE=AB·tan∠2=1,BE==2,∠3=60°.在Rt△BEC中,BC==4.∴AD=BC=4.∴ED=AD-AE=4-1=3.4.解:(1)证明:∵D,E分别是BC,AB的中点, ∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥AC,AC=2DE.又∵EF=2DE,∴EF=AC,∴四边形ACEF为平行四边形,∴AF=CE.(2)∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴BC=2,DE=1,∠EDB=90°.∵D为BC中点,∴BD=.又∵EF=2DE,∴EF=2.∴DF=3.在Rt△BDF中,由勾股定理得BF==2.5.解:(1)证明:∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC,即EF=BC.在▱ABCD中,AD∥BC且AD=BC,∴AD∥EF且AD=EF.∴四边形AEFD是平行四边形.∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°.∴四边形AEFD是矩形.(2)∵四边形AEFD是矩形,DE=8,∴AF=DE=8.∵AB=6,BF=10,∴AB2+AF2=62+82=100=BF2,∴∠BAF=90°.∵AE⊥BF,∴△ABF的面积=AB·AF=BF·AE.∴AE=.6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AD∥BC.∵CF∥AE,∴四边形AECF是平行四边形.∵AE⊥BC,∴平行四边形AECF是矩形.(2)∵cos∠BAE=,AB=5,∴AE=4,BE=3.∵AB=BC=5,∴CE=8.∴AC=4.∵对角线AC,BD交于点O,∴AO=CO=2.∴OE=2.7.解:(1)证明:∵AE∥BD,AE=BD,∴四边形AEBD是平行四边形.∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴▱AEBD是矩形.(2)∵四边形AEBD是矩形,∴∠AEB=90°.∵∠ABE=30°,AE=2,∴BE=2,BC=4.∴EC=2.∵AE∥BC,∴△AEF∽△BCF.∴.∴EF=EC=.8.解:(1)证明:(法一)过点B作BH⊥CE于H,如图.∵CE⊥AD,∴∠BHC=∠CED=90°,∠1+∠D=90°.∵∠BCD=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠D.又BC=CD,∴△BHC≌△CED.∴BH=CE.∵BH⊥CE,CE⊥AD,∠A=90°,∴四边形ABHE是矩形,∴AE=BH.∴AE=CE.(法二)过点C作CH⊥AB交AB的延长线于H.图略,证明略.(2)∵四边形ABHE是矩形,∴AB=HE.∵在Rt△CED中,tan D==3,设DE=x,CE=3x,∴CD=x=2.∴x=2.∴DE=2,CE=6.∵CH=DE=2.∴AB=HE=6-2=4.9.解:(1)证明:在△ADE与△CDE中,∴△ADE≌△CDE(SSS),∴∠ADE=∠CDE.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBD,∴∠CDE=∠CBD,∴BC=CD,∵AD=CD,∴BC=AD,又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.∵AD=CD,∴四边形ABCD是菱形.(2)作EF⊥CD于F.∵∠BDC=30°,DE=2,∴EF=1,DF=.∵CE=3,∴CF=2,∴CD=2.10.解:(1)证明:∵BD⊥DC,E为BC中点, ∴BE=ED=EC,∴∠DBE=∠BDE.又AD∥BC,∴∠ADB=∠DBE,∴∠ADB=∠BDE.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠BDE=∠ABD,∴DE∥AB.又∵AD∥BC,即AD∥BE,∴四边形ABED为平行四边形.又AB=AD,∴平行四边形ABED为菱形.(2)由(1)得,BE=EC=AD=DE,∵∠C=60°,∴△DEC为等边三角形.作DF⊥BC于F,则DF=DC=2,BC=2CE=2CD=8,∴S梯形ABCD=(AD+BC)·DF=×(4+8)×2=12.11.解:(1)证明:∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=2, ∴CD=AB=4,AD=BC=2,CD∥AB,∠D=∠B=90°.∵BE=DF=,∴CF=AE=4-,AF=CE=,∴AF=CF=CE=AE=,∴四边形AECF是菱形.(2)过F作FH⊥AB于H,则四边形AHFD是矩形,∴AH=DF=,FH=AD=2,∴EH==1,∴EF=.12.解:(1)证明:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.∵∠ADB=∠CDE,∴∠ABD=∠CDE.∵∠BAC=90°,∴∠ABD+∠ACB=90°.∵CE⊥AE,∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE.(2)补全图形,如图所示:∵∠BAD=45°,∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°,∠F=∠ACF=45°.∵AE⊥CF,BG⊥CF,∴AD∥BG.∵BG⊥CF,∠BAC=90°且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.∵AB=AD,∴BG=AD,∴四边形ABGD是平行四边形.∵AB=AD,∴平行四边形ABGD是菱形.设AB=x,则BG=GD=AD=x,∴BF=BG=x.∴AB+BF=x+x=2+,∴x=.过点B作BH⊥AD于H,∴BH=AB=1.∴S四边形ABGD=AD×BH=.13.证明:(1)延长FB交AE于H,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ABE=∠BCF=90°.又∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF,∴∠FBC=∠EAB.∵∠FBC+∠ABH=180°-∠ABC=90°, ∴∠ABH+∠HAB=90°,∴∠AHB=90°,∴AE⊥BH,即AE⊥BF.(2)设CG交BF于O,∵CO平分∠BCF,,∴△△∵EG∥BF,∴,∴,又∵∠BOC=∠FOG,∴△BOC∽△FOG,∴∠CBO=∠GFO,∴BC∥GF,∴四边形BEGF是平行四边形.14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠F AB=∠ABE=90°,AF∥BE.∵EF⊥AD,∴∠AFE=90°,∴四边形ABEF是矩形.∵AE平分∠BAD,AF∥BE,∴∠F AE=∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,∴四边形ABEF是正方形.(2)过点P作PH⊥AD于H,如图所示.∵四边形ABEF是正方形,∴BP=PF,BA⊥AD,∠P AF=45°,∴AB∥PH.∵AB=4,∴AH=PH=2,∵AD=7,∴DH=AD-AH=7-2=5,在Rt△PHD中,∠PHD=90°.∴tan∠ADP=.15.解:(1)在正方形ABCD中,BC=DC,∠C=90°, ∴∠DBC=∠CDB=45°.∵∠PBC=α,∴∠DBP=45°-α.∵PE⊥BD,O为BP的中点,∴EO=BO,∴∠EBO=∠BEO,∴∠POE=∠EBO+∠BEO=90°-2α.(2)BP=AE.证明:连接OC,EC,在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABD=∠CBD,BE=BE, ∴△ABE≌△CBE,∴AE=CE.在Rt△BPC中,O为BP的中点,∴CO=BO=BP,∴∠OBC=∠OCB,∴∠COP=2α.由(1)知∠EOP=90°-2α,∴∠EOC=∠COP+∠EOP=90°.又由(1)知BO=EO,∴EO=CO.∴△EOC是等腰直角三角形,∴EO2+OC2=EC2,∴EC=OC=BP,即BP=EC,∴BP=AE.16.解:(1)如图,连接MP.∵直线l是线段MN的垂直平分线,∴PM=PN,PO⊥MN,∴∠PMN=∠PNM=α,∴∠MPO=∠NPO=90°-α.∵四边形ABNP是正方形,∴AP=PN,∠APN=90°,∴AP=MP,∠APO=90°-(90°-α)=α,∴∠APM=∠MPO-∠APO=(90°-α)-α=90°-2α.∵AP=PM,∴∠PMA=∠P AM=--=45°+α,∴∠AMN=∠AMP-∠PMN=45°+α-α=45°.(2)AM=BC.证明:如图,连接AN,CN.∵直线l是线段MN的垂直平分线,∴CM=CN,∴∠CMN=∠CNM=45°,∴∠MCN=90°,∴MN=CN.∵四边形APNB是正方形,∴∠ANB=∠BAN=45°,∴AN=BN,∠MNC=∠ANB=45°,∴∠ANM=∠BNC.又∵,∴△MAN∽△CBN, ∴,∴AM=BC.。