余弦定理复习导学案
第17课时 正弦定理、余弦定理导学案导学案(4)
第17课时 正弦定理、余弦定理导学案导学案（4）
1、学习目标
正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；
2、新知导读
（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水
平视线下方的角叫俯角
（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．
3、范例点睛
例1.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C 、D 两处，测得
烟囱的仰角分别是45α=︒和60β=︒，CD 间的距离是12m.已知测角仪器高 1.5m,求烟囱的高。
例2、某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东0
60的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
4、达标检测
（1）某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 ____________________________
（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为0
30，则甲、乙两楼的高分别是_______________________________
（3）练习册P81考点5的对应演练 5、学后反思。
1.1.2余弦定理(导学案)
1.1.2余弦定理（导学案）一、学习目标1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，二、本节重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.三、本节难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用四、知识储备1、回忆：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2、练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3、思考：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？五、通过预习掌握的知识点余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？六、知识运用1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为3在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 七、重点概念总结余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边 判断三角形的类型.由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC。
《余弦定理》教案、导学案、课后作业
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第1课时余弦定理【教材分析】本节首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理，然后利用其初步解三角形.【教学目标与核心素养】课程目标1．掌握余弦定理的表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；2．培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.数学学科素养1.数学抽象：余弦定理及其推论；2.逻辑推理：余弦定理在边角互化中的应用；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过将三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间联系起来，体现了知识之间的辩证统一.【教学重点和难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及基本运用；难点：余弦定理的探索及证明.【教学过程】一、情景导入问题:在三角形中,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边?已知三条边,怎么求出它的三个角呢?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本42-44页，思考并完成以下问题1、什么是余弦定理？2、余弦定理有哪些变形？3、什么是解三角形？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 a 2=b 2+c 2−2bccosAb 2=a 2+c 2−2accosB c 2=a 2+b 2−2abcosC推论：2、解三角形一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3、应用从而知余弦定理及其推论的基本作用为：① 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ② 已知三角形的三条边就可以求出其它角。
《1.2余弦定理》导学案2
«1.2余弦定理》导学案2知能目标解读1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用2. 了解余弦定理的几种变形公式及形式.3. 会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题4. 能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理学习方法指导一、余弦定理1.余弦定理：在△ AB (中, Z A ,/ B,/ C 勺对边分别为a , b , c ,那么有如下结论： a 2=b 2+c 2-2 bc cosA, b 2=a 2+c 2-2 ac cos B, c 2=a 2+b 2-2 ab cos C.即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律 .也是解三角形的重要工具.注意:(1)在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一 (2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积，外接圆，内切圆等用来判定三角形的形状， 证明三角形中的有关等式， 在一定程度上, 加广泛.2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形， 可以得到另外的形式, 推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理cosA=b 2 c 2 -a 2 , cosB =a 2c 2-b 2 , cosC =a 2 b 2-c 2.由上述变形，结合余弦函数的性质， 可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角,定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例二、余弦定理的证明)提供了工具，它可以 它比正弦定理的应用更 我们称为余弦定理的2bc2ac 2ab如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法,是平面向量知识在解三角形中的应用•另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明证明：方法1：（解析法）如图所示，以A 为原点，△ ABC 勺边AB 所在直线为x 轴，建立直角 坐标系•则 A (0 , 0) , C (b cos A , b si n A ) , B (c , 0),由两点间的距离公式得 B C =( b cos A-c )2+( b sin AO) 2, 即 a 2=b 2+c 2-2 bc cos A. . 2 2 2同理可证 b =a +c -2 ac cos B , c 2=a 2+b 2-2 ab cosC.D,则 CD=b sin A ,AD=l cos A, BD=AB-AD=c-cos A.在 Rt △ BC 叩，BC =CD +BD ，即 a 2=b 2sin 2A +( c-b cos A ) 2 所以 a 2=b 2+c 2-2 bc cos A 同理可证 b 2=a 2+c 2-2 ac cos B , c 2=a 2+b 2-2 ab cosC.则 AD=bc os A, CD=b in ABD=AD-AB=bs A-c .在 Rt △ BC 中,B C =C D +B D , 即卩 a 2=b 2sin 2A +( b cos A-c )2. 所以 a 2=b 2+c 2-2 bc cos A 同理可证：b 2=a 2+c 2-2 ac cos B, c 2=a 2+b 2-2 ab cos C方法2：（几何法）如图.当厶ABC为锐角三角形时，过 C 作CDL AB 于如图，当△ AB （为钝角三角形D,时，过C 乍CD!直于AB 勺延长线,AB三、余弦定理的应用余弦定理主要适用以下两种题型(1)已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解 注意:在应用余弦定理求三角形的边长时， 容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的 平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件知能自主梳理1.余弦定理 (1)语言叙述:2.夹角三边思路方法技巧命题方向 已知三边解三角形由余弦定理得， cos A =b 2 . c 2 _ a 2 = 32 . 52 _ 72 = 1 , 2bc应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题, 一类是已知两边及其 —解三角形，另一类是已知解三角形.［答案］ 1.(1)其他两边的平方和 a * 2+c 2-2 ac cos B a 2+b 2-2 ab cos C这两边与它们夹角的余弦两倍2 2(2) b +c -2 bc cos Ab 2c 2 a 2a 2 • c 2 -b 2a 2b 2c 22bc2ac2ab三角形任何一边的平方等于减去 的积的［例1］ 在厶AB (中，已知a =7. b =3, c =5,求最大角和sin C ［分析］ 在三角形中，大边对大角，所以 a 边所对角最大. ［解析］ ••• a>c >b, ••• A 为最大角,又••• 0°< A v 180°, ,\A=120 ° ,/• sin A =sin120sin C == . 3 =.csi nA 5 疋—5勺'3 27［说明］ (1)求sin C 也可用下面方法求解:(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理变式应用1在厶 AB (中，已知(b+c ) : (c+a ) : (a+b )=4 : 5: 6，求△ ABC 勺最大内角. ［解析］ 设 b+c =4k , c+a =5k , a+b =6k （k >0）. 则a+b+c =7.5 k ，解得 a =3.5 k , b =2.5 k , c =1.5 k . • a 是最大边，即角A >^ ABC 勺最大角. 由余弦定理，得COS A =匕2 . c 2 _ a 22bc 2•/ 0°< A < 180°,「. A =120°,即最大角为 120° . 命题方向 已知两边及一角解三角形［例 2］ △ AB （中，已知 b =3, c =3 . 3，/ B =30°,解三角形. ［分析］ 山亦朕」：［1吕息: ①已知两边和其中一边的对角 ②求另外的两角和另一边解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于 边长a 的方程，求出边a ，再由正弦定理求角 A ,角C.［解析］ 解法一：由余弦定理 b 2=a 2+c 2-2 ac cos B ,由正弦定理丄sin Ac 得, si nC14•••最大角A 为120°, sinC=害.14cosC=a 2 b 2 -c 2 72 32 _52 =11，2ab14SinC= .1—cos 2C1（ 11）5.3 . 14222得3 =a +(33) -2 a x 3 3 x cos30 ° ,2••• a -9a+18=0，得 a=3 或 6. 当a =3时，/ A =30°,Z C=120° . 当a =6时，由正弦定理sin A ==1=1.a sin B 6 Ka = .b 2c 2 = . 32 (3.3)2 =6. 当/ C =120°时，/ A =30°,A AB (为等腰三角形, --a=3.［说明］ 知两边和一角解三角形时有两种方法: (1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,(2)直接用正弦定理，先求角再求边 .用方法⑵ 时要注意解的情况，用方法 (1)就避免了取舍解的麻烦• 变式应用2在厶 AB (中, a 、b 、c 分别是/ A 、/ B 、/ C 勺对边，且 cos A =〔，若 a =4, b+c =6，且 b<c ,4求b 、c 的值.［解析］ 余弦定理得2bc 4…(bc ) 2 -2bc -a 2 —丄，2bc 4又b+c =6, a =4, • bc =8.•••/ A =90° ，•/ C =60° .解法二：由 b<c,Z B =30°, b >c sin30 ° =3 3 x 〔 = 3 3 知本题有两解.由正弦定理sinC=csi nB = 33 - = -. 3，2 厂2•••/ C =60° 或 120°,当/ C =60° 时，/ A =90°由勾股定理 cosA= b 2 c 2 -a 2 = 1 运用解方程的方法求出此边长b=2c=4b=4c=2又b<c,「. b=2, c=4. 命题方向判断三角形的形状［例3］△ ABC中，已知（a+b+q（a+b-c）=3 ab,且2cos A sin B=sin［分析］由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边［解析］解法一：利用角的关系来判断.C,确定△ ABC勺形状.因此在判断三角形■/ A+B+C180°,「. sin C=sin( A+B.又T 2cos A sin B=sin C,/• 2cos A sin B=sin A cos B^cos A sin B,/• sin( A-B)=0.•/ A与B均为△ AB(的内角，•••A=B又T(a+b+c)( a+b-c)=3ab,2 2 2 2 2•- (a+b) -c =3ab, a +b- c+2ab=3ab,根据余弦定理，上式可化为2ab cos C+2ab=3ab, 解得cos C= 1 , • C=60° .2故厶AB(为等边三角形.解法二：利用边的关系来确定.由正弦定理，得sinC = c.sin B b由2cos A • sin B=sin C,得cosA= sin C = c2sinB 2b又COS A= Jb2 2 ，… =2 2 2 ,c—a c b c - a 2bc 2b 2bc即c2=b2+c2-a2,「.a=b.又T (a+b+c)( a+b-c)=3 ab,• (a+b) 2-c2=3ab,「. 4b2-c2=3b2,--b=c, - - a=b=c因此△ AB（为等边三角形［说明］判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形的形状； 其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状•在实际应用中应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法 变式应用3△ AB （中，AB= 5, BG=6, AG=8，则△ ABC 勺形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.非钝角三角形［答案］ C［解析］ 利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0还是小于0，即可对其形状作出判断•闵为COS B = §2 . 6? . 8? =- 1 <0，所以B 为钝角，即△ AB （是钝角三角形•2 5 6 20探索延拓创新命题方向 利用余弦定理确定范围问题［例4］ 设2a +1, a , 2a-1为钝角三角形的三边，求实数 a 的取值范围• ［分析］ 一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件•若是在锐角或钝角三角形中， 三边的制约条件还要更强•若厶AB （为锐角三角形，则有a 2v b 2+c 2, b 2v a2+c 2, c 2v a 2+b 2;若厶AB （为钝角三角形，最大边为 a ,则一定有a 2> b 2+c 2,这些都是可以从 余弦定理中直接推导的•［解析］ 2a +1, a , 2a -1是三角形的三边，2a +1 > 0 y a > 0 -2a -1 > 0,解得a > 1，此时2a +1最大•2•••要使2a +1, a, 2a -1表示三角形的三边，还需 a +（2a -1） >2a +1，解得a >2.2a2a-12a 2^1解得1 v a v 8, • a 的取值范围是2v a v 8.2［说明］ 本题易忽视构成三角形的条件 a > 2，而直接应用余弦定理求解，从而使 a 的范围扩大.设最长边2a +1所对的角为e ,则cos 0 =. 2a _ 12_ 2a 1 2= aa -8v 0,变式应用4.已知锐角三角形三边长分别为2, 3, x，求x的取值范围•［解析］由三角形三边的关系有3-2 v x v 3+2，即1v x v 5.又T三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和f 2-2 _2x v 2 +3即vc2 2 ^2J 3 v x +2f-2x v 13wJ x > 5厂 5 v x2v 13即v-x > 0解得5 v x v13，••• x的取值范围为(5 ,13).名师辨误做答［例5］在厶AB(中，/ C=2Z A, a+c=10, cos A= 3，求b.4［误解］由正弦定理，得c = si nCa sin A又•••/ C=2Z A,•c=sin2A=2cos A=2x 3 = 3，a si nA 4 2又a+c=10,•a=4, c=6.由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bc cos代2•b-9 b+20=0,•b=4或b=5.「別吾斤1 运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断6 6a sin A又•••/ C =2Z A ,二 c =sin2A =2cos A =2x 3 = 3，a si nA4 2又a+c =10,「. a =4, c =6.由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2 bc cosA, •••b 2-9 b+20=0,/• b =4或 b =5.当b =4时，T a =4,「./ A =Z B , 又/ C =2/代且/ A +Z B +Z C =n ,• / A = -•，这与已知cos A = 3矛盾，不合题意，舍去.4 4当b =5时，满足题意，• b =5.课堂巩固训练一、选择题1. 在厶 AB (中，若 avbvc,且 c 2<a 2+b 2，则△ AB (为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不存在［答案］ B［解析］ •/ avbvc,且c 2<a 2+b 2,「.Z C 为锐角.又T Z C 为最大角.故选B.2. △ ABC 勺内角A 、B 、C 勺对边分别为a , b , c ,若a , b , c 满足b 2=ac ,且c =2a ，则cos B=(B. 34D. _23［答案］A.(0 ,「由正弦定理，得c - sin C ， A.C.［解析］3.(2011由b 2=ac ,又c =2a ,由余弦定理，得cos B= 2 a2ac-四川理，6)在厶 AB (中, sin 2A < sin 2B +sin 2Gsin B sin C,c 2 -b 2 a 2 4a 2 - a 2a2a 2a则A 的取值范围是(38［答案］ C［解析］ 本题主要考查正余弦定理，T sin 2A W sin 2由sin 2G sin B sin C, •••由正弦定理得：a 2w b 2+c 2-bc ,即b 2+c 2-a 2> be ,由余弦定理得：cos A =「222 >b +c - a=1，…0<Aw -.,故选 C.23二、填空题 4.已知三角形的两边长分别为 4和5,它们的夹角的余弦值是方程2X 2+3X -2=0的根，则第三边的长是 _______________ . ［答案］,21［解析］ 解2x 2+3x -2=0 ,得 x i = 或X 2=-2(舍去).5. 在厶AB （中, a=b +2, b=c +2,又最大角的正弦等于2［答案］ 3, 5, 7［解析］ T a-b =2, b-c =2,「. a>b>c,•••最大角为Asin A =门，若A 为锐角，贝U A =60° , X,C<B<A 二A+B+C 180 °，这显然不可x 3能，• A 为钝角• --cos A =- 1 ,2设c=x ，贝U b=x +2, a=x +4. (X)2+(x + 2 f -(x + 421，2x(x+2)2• X =3，故三边长为3, 5, 7. 三、解答题22..2bc2bc•••夹角的余弦值为“，根据余弦定理得第三边长为3，则三边长为36. 在厶AB(中，已知b-bc-2c=0，且a=、6，cos A=7，求△ AB啲面积.82 2［解析］ • b - bc -2 c =0,. • ( b ) - b -2=0 ,ca 2=b 2+c 2-2 bc cos A ,即 b 2+c 2- 7 bc =6，与 b =2c4联立解得 b =4, c =2. • cos A = 7 ,8:SinA = J-cos 2A = J5， • S A ABC = 1 bc sin A = 〔5 .2课后强化作业、选择题［答案］ A［解析］ 由余弦定理，得2bc cos A =b 2+c 2- a 222 2• 2 X 5 X 5 3 xcos30 ° = 5 + (53) -a ,• a 2=25,. a =5. 2.在厶 AB (中，已知 a 2=b 2+c 2+bc ,［答案］• cosA =b 2 c 2 -a 2 == b 2 c 22bc又• 0<A < n , • A=2二.3［答案］ C 解得b =2,即b =2c .由余弦定理，得 1.在厶AB 中, b =5, c =5 3， A =30° ，则a 等于（ A.5B.4C.3D.10A.B.C.D.-或则角A 为（［解析］2 . 2 2 .• a =b +c- b 2 - c 2 2bc-bc3.在厶 AB （中，若 a =、3+1' b = ...3-1，c = .. 10，则厶ABC 勺最大角的度数为（）A.60B.90C.120D.150°［解析］ 显然10 >、3+1>3-1，3又 b 2+c 2- a 2=2bc cos A , • 2bc cos A =- 2 bc ,• cosA =- ,2，2• A =135° . 则ab 的值为（［答案］丄 c °2“+i2+（屈—i2 一（局 2 =「三=2.3 1 • 3 -11 ,••• C=120°2q =(b-a , c-a ).右p // q ,则/ C 的大小为（ ）A.B.C.D.Ji n n2 6323［答案］ B［解析］••• p =(a+c , b ) ,q ：=(b-a , c-a )且p / q ,•- (a+c )( c-a )- b ( b-a )=0 , 即 a 2+b 2- c 2=ab ,• cosC =a 2 b 2 _c 2 =2b =1.2ab 2ab 2• C =二.35.在厶 AB （中，已知 2a 2=c 2+（ 2 b+c ）2，则/ A 的值为（ A.30 ° B.45 ° C.120 ° ［答案］ D［解析］ 2 2 2 2由已知得 2a =c +2b +c +2 2 bc ,. 2 2,2, …a=b +c +2 be ,)D.135.2 2 2b +c - a、2 bc，6.(2011 •重庆理, 6）若厶ABC 勺内角A B 、C 所对的边a 、 b 、c 满足(a+b ) 2-c 2=4,且 C =60°,A. 4B. 8-43C.1D.23［解析］ 本题主要考查余弦定理的应用4. △ AB 啲三内角A 、B C 所对边长分别为 a , b , c ,设向量 p =(a+c , b ),2 2 2 2 2.••(a+b ) -c =a +b -c +2ab =3ab =4,「. ab = 4，选 A.37.在厶AB (中，三边长AB=7, BO 5, AG 6,贝U 忑• BC 等于()A.19B.-14C.-18D.-19［答案］ D［解析］ 在厶 AB (中 AB=7, BO 5, AO 6, 则COS B =49 25 _36 =19 .2 5 7 35又 AB • BC- AB 「丨 BC 1 cos( n -B)358.在厶 AB (中，若△ AB 啲面积 S =1 ( a 2+b 2- c 2)，则/ C 为( )4A.二B.二(.二D.二4632［答案］ A［解析］ 由S = 1 (a 2+b 2- c 2), 得 1 ab sin (= 1 x 2ab cosC,. tan (=1，二(=42 4 4、填空题9. ___________________________________________________________ 在厶 AB (中, b =4，c =2,2，A =45°，那么 a 的长为 ______________________________________32.10 3由余弦定理，得 a 2=b 2+c 2-2 bc os A =16 +8-2 x 4 x 2 2 x 2 =16 +893 ~T 916 72 48 = 40，所以 a =2 . 10 .9 93［答案］3 321ABBCI cos B=-7X 5X19 =-19.［答案］兰=310.在厶 AB (中, AB=3, BO 〔3 ,AO 4,则边A(Z 上的高为［解析］如图，COS A = 32 V 2 -、132 =丄，2 3 42••• sin A=仝.2［答案］ 等边三角形［解析］ 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-ac ,•' b 2=ac ,222• a +c -2ac =0,「.（a-c ） =0, • a=c .又••• B=60°,「. A=C =60° . 故厶AB （为等边三角形. 三、解答题13. 在△ AB （中, A+C =2B, a+c =8, ac =15，求 b .［解析］ 解法一：在△ AB （中，由 A+（=2B, A+B+C 180 °，知 B =60 由a+c =8, ac =15，则 a 、c 是方程 x 2-8x +15=0的两根. 解得 a =5, c =3或 a =3, c=5.• BD =AB- sin A = 311. 在厶AB （中，已知BC =8, AC =5,三角形面积为12,则cos2C = ［答案］7 25由题意得 S A ABC = 1 AC- B@in C =12,即 1 x 5X 8X sin C =12，则 sin C = 3252• cos2 C =1-2sin C =1-2 x （5 2512. 在厶 AB （中, B =60 b 2=ac ,则三角形的形状为22 2 2由余弦定理，得 b =a +c - 2ac cos B =9+2 5-2 x 3x 5X 〔 = 19.2 ••• b= 19. 解法二：在△ AB (中, v A+G=2B , A+B+C 180°, • B =60° . 由余弦定理，得 b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c ) 2-2ac -2ac cos B =82-2 x 15-2 x 15 x 〔= 19. 2• b = ,19. 14.(2011 •大纲文，18) △ AB 啲内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , a sin A+c sinG 2 a si n C =b sinB. (1)求 B ； ⑵ 若A =75°， b =2,求a ，c . ［分析］利用三角形正弦定理， 将已知条件a sin A +c sin G a sin C =b sin B 中的角转化为边, ［解析］ (1) ■/ a sin A +c sin C- ? a sin C =b sin B 2 2 • a +c -22 ac =b…a +c -2b =、，2ac再利用余弦定理即可求得 B 角，然后再利用正弦定理求得 a , c 的值.• cos B = 2 2 . 2a +c -b=2ac = 2 2ac 2ac 2 • B =45°(2)由(1)得 B =45° • C =180° -A-B =180° -75 ° -45 ° =60 由正弦定理 a = b = csin A sinB sinC a= bsin A sin B 2 sin75 sin 45 J 6 +V 2 后 2 -4 2 c = bsin C sin B2 sin 60 = sin 45［点评］本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用•15.在厶AB(中，A=120°，b=3, c=5.(1)求sin B sin C;⑵求sin B^sin C［分析］已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出sin B, sin C［解析］⑴T b=3, c=5, A=120 ° ,•••由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bc cos A=9+25-2X 3X 5X (- i )=49.2•取正值a=7.由正弦定理，得sin B=bsin A = 3 32a7 3、314sin C=csinA 5.3a _ 4• sin B - sin C= 45 .196⑵由(1)可得sin B+sin C= 4 3716.已知三角形的一个角为60°,面积为10 . 3cm2,周长为20 cm,求此三角形各边长［解析］设三角形的三条边长分别为a, b, c, B=60°,则依题意，得a+b+c=20cos60° =a2c2 -b22ac1 ac s in60< 1=10.3 ,2a+b+c=20，①.2 2 2b =a +c -ac，②ac=40.③2 2 2 2由①式，得 b = : 20-( a+c): =400+a+c+2ac-40( a+c).④将②代入④，得400+3ac-40( a+c)=0 ,再将③代入④，得a+c=13.a+c=13，得ac=40 a=5，或c=8b=7.该三角形的三边长为 5 cm , 7 cm , 8 cm.(2)公式表达:2a =b2=⑶变形:cos A=cos B=cos C=2.余弦定理及其变形的应用。
正弦定理余弦定理导学案
即墨实验高中高三数学（文）复习学案正弦定理和余弦定理 编号：07编写人： 隋海波 审核人： 高三文科数学 时间：2015-09-15一.知识梳理1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝_______________(2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________. 2．余弦定理a 2＝_______________，b 2＝_______________，c 2＝_______________．余弦定理可以变形： cos A ＝_______________，cos B ＝_______________，cos C ＝_______________. 3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二．课前自主检测1.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33 B.36 C.63D.662．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定3．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．4 3D. 34．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A＝5sin B ，则角C ＝________.【课堂自主导学】 考点分析考点一 利用正弦、余弦定理解三角形(2013·山东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值变式训练 (2014·豫东、豫北十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点(a ，b )在直线4x cos B －y cos C ＝c cos B 上．(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC ＝3，b ＝32，求a 和c .考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B＋sin C ＝3，试判断△ABC的形状．变式训练 (1)在本例条件下，若sin B·sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状(2)(2013·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点三与三角形面积有关的问题例2(2013·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sin B＝33.(1)求cos A及sin C的值；(2)若b＝2，求△ABC的面积．变式训练在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos⎝⎛⎭⎫C＋π4＋cos⎝⎛⎭⎫C－π4＝22.(1)求角C的大小；(2)若c＝23且sin A＝2sin B，求△ABC的面积．课堂检测1．(2014·安庆模拟)在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，则a∶b∶c等于() A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶2 D．2∶3∶12．在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．某人向正东方向走x千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好为3千米，则x的值是()A. 3 B．2 3C.3或2 3 D．34．(2013·山东高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝()A．2 3 B．2C. 2 D．15．(2013·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A sin B＋sin B sin C＋cos 2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝2π3，求ab的值．即墨实验高中高三文科数学课后巩固练习正弦定理和余弦定理编号：07编写人：隋海波审核人：高三文科数学时间：2015-09-15【历年高考题】1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．52．（2013山东，5分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2D ．13．（2013辽宁，5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π64．（2013北京，5分）在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.595．(2013陕西，5分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6．(2100湖南，5分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定7．（2012广东，5分）在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.328．（2012陕西，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.9．（2011新课标全国，5分）△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 10．（2010江苏，5分）在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________． 11．（2013福建，12分）如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．12．（2013浙江，14分）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2) 若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．【课后巩固导练】一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2014·石家庄质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14B.342．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．(2013·全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．56．(2014·广东重点中学联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A的值为________． 7．(2013·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． (2)由S ＝12bc sin A ＝12 bc ·32＝34bc ＝5 3，8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .9．（2013天津，13分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3的值10．（2012江西，12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C .(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .11.(2011安徽，13分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．12.(2010辽宁，12分)在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；12.(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状。
余弦定理学案
余弦定理学案第一篇：余弦定理学案【总03】§1.2余弦定理第3课时一、学习目标1理解用向量的数量积证明余弦定理的方法。
，2.掌握并熟记余弦定理3.能运用余弦定理及其推论解三角形二、学法指导1.余弦定理揭示了任意三角形的边角关系，其证明的方法有向量法，解析法和几何法。
2.余弦定理适用的题型：（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理必有一解 3.余弦定理适用于判断三角形的形状。
三、课前预习（1）余弦定理：a2=____________________________b2=____________________________ c2=____________________________（2）余弦定理的推论：cosA=____________________________cosB=_______________________ _____ cosC=____________________________（3）用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题已知三边，求已知和它们的，求第三边和其他两个角。
三、课堂探究1．余弦定理的证明及理解：2．例题讲解例1在∆ABC中，（1）已知b=3,c=1,A=600，求a；（2）已知a=4,b=5,c=6，求A例2 △ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶,求C例3在∆ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2，求A例题4在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。
四、巩固训练（一）当堂练习1.在∆ABC中，（1）已知A=60ο,b=4,c=7，求a；（2）已知a=7,b=5,c=3，求A2．在∆ABC中，已知a2+b2+ab=c2，求C的大小.（二）课后作业1．在∆ABC中，(a+c)(a-c)=b(b+c)，求 A=2.在∆ABC中，已知a=7,b=8,cosC=1314，求最大角的余弦值是第二篇：余弦定理学案1.1正弦定理和余弦定理ο探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究一：课本中余弦定理是用（）法证明的，也就是说，在△ABC 中，已知BC=a，AC=b及边BC，AC的夹角C，则=（），所以BA2=（）=（），即c=（）探究二：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【归纳总结】1.熟悉余弦定理的（），注意（）,（），（）等。
课题 正弦定理和余弦定理复习学案
疑问记录：
本课时学习心得：
变式演练：
课题正弦定理和余弦定理复习学案
陈鹏2009-5-13
复习目标
能掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形证明和计算问题
能力目标
培养学生自主探究、灵活综合运用知识的能力
情感目标
通过对典型实例的探究，增强学生的应用意识、创新意识，提高学生的数学思维，体验成功的快乐，培养对数学的浓厚兴趣.
重点难点
正弦、余弦定理和三角恒等变换在三角形中的应用，及解决测量长度、高度
角度等实际应用问题
导学设计
一、知识点回忆、梳理（自主探究）
定理
正弦定理
余弦定理
内容
变形形式
（1）
（2）
3、基础自测
二、典例精析（合作探究）
（一）正弦定理的应用
【例1】
【变式1】
反思归纳：
【变式2变式练习】
（三）正余弦定理的综合运用
【例3】
课堂学习效果反馈检测
疑问记录：
正弦定理和余弦定理一轮复习配套导学案
第21讲正弦定理和余弦定理1.正弦定理和余弦定理2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:3.三角形面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高);(2)S=bc sin A=ac sin B=ab sin C;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;变形:=π-.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;(3)sin =cos ;(4)cos =sin .3.三角形中的射影定理在△ABC中,a=b cos C+c cos B;b=a cos C+c cos A;c=b cos A+a cos B.题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于.2.[教材改编]在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c= .3.[教材改编]在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.4.[教材改编]在△ABC中,已知a=3,b=2,cos C=,则△ABC的面积为.题组二常错题◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为;若sin A>sin B,则A,B的关系为.6.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于.7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积等于.8.在△ABC中,角A,B,C满足sin A cos C-sin B cos C=0,则三角形的形状为.探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形1 [2017·成都三诊]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2b cos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求a+c的最大值.式题 (1)[2017·合肥二模]在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=,则b2+c2的取值范围是()A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)[2017·天津南开区三模]如图2-21-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为.图2-21-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2 [2017·襄阳五中一模]如图2-21-2所示,在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.图2-21-2式题在△ABC中,若sin A=2cos B sin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3[2017·山西吕梁一模]已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin A sin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.课时作业(二十一)第21讲正弦定理和余弦定理基础热身1.在△ABC中,b=8,c=8,S△ABC=16,则A等于()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°等于()2.在△ABC中,若A=60°,a=,则--A.2B.C.D.3.[2017·渭南二模]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a=2且b cos C+c cos B=2b,则b=()A.1B.2C.3D.4.[2017·山西五校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos A+a cosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5B.7C.6D.5=,则角5.[2017·泰安二模]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且-B=.能力提升6.[2017·赣州、吉安、抚州七校联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2,b=2,C=30°,则角B等于()A.30°B.60°C.30°或60°D.60°或120°7.在△ABC中,a2+b2+c2=2ab sin C,则△ABC的形状是()A.不等腰的直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.[2017·鹰潭二模]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,b cos A+a cos B=2,则△ABC的外接圆的面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π9.[2017·柳州一模]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2=2c2,则角C的取值范围是()A. B. C. D.10.已知△ABC的面积为5,A=,AB=5,则BC=()A.2B.2C.3D.11.[2017·宜春四校联考]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,B=,△ABC 的面积S=2,则的值为.12.[2017·杭州质检]设a,b,c分别为△ABC三内角A,B,C的对边,面积S=c2.若ab=,则a2+b2+c2的最大值是.13.[2017·河南新乡二模]如图K21-1所示,在△ABC中,C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE ⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos A=.图K21-114.[2018·巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校摸底]如图K21-2所示,在△ABC中,C=,·=48,点D在BC边上,且AD=5,cos∠ADB=.(1)求AC,CD的长;(2)求cos∠BAD的值.图K21-215.[2017·潮州二模]在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=sin C.(1)求C的值;(2)若=2,求△ABC的面积S的最大值.难点突破16.[2017·大庆三模]已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=.(1)求b的值;(2)若cos B+sin B=2,求a+c的取值范围.。
《余弦定理》(第1课时)导学案
1高一数学必修5第一章第二节《余弦定理》（第1课时）导学案 学习目标： 1.了解用向量法证明余弦定理的推导过程．2.掌握余弦定理及其推论．3. 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【课前预习】1、正弦定理内容：________ =_____________=____________=_________2、正弦定理可以解决哪几类有关三角形的问题？（1）___________________________; (2)_______ __________________. 3、阅读教材P5，探索讨论余弦定理及其推导过程 ： 如图在三角形ABC 中，,,CB a CA b AB c ===u u u r r u u u r r u u u r r ,则c r =_____________22c c ==r r ___________________=_____________________ ∴=2c _________________,同理可证:=2b ____________________,=2a _____________________,4、余弦定理推论：=A cos ________________；=B cos ______________；=C cos _____________.【课堂探究】题型一：已知三角形三边解三角形例1．在△ABC 中：(1)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角；(2)a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C 的大小．变式1：在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和另外两角的余弦值．题型二：已知三角形的两边及其夹角解三角形例2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，c ＝4(＋1)，解此三角形．C B Aa b c2变式2：在△ABC 中，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形.题型三：已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形例3.在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求A ，C ，a .变式3.已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.【拓展探究】例4.如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长【训练与检测】1．在ABC 中,（1）a ＝4，b ＝3，C ＝60°，则c ＝_____； (2) 2,2,31a b c ===，则A =________；（3）01,7,60a b B ===，则cos C =__________.2.在△ABC 中，222a b c >+，那么角Ａ是（ ）A B C D 、钝角、锐角、直角、不确定3、在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4、已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为___________.5.在△ABC中，若sin:sin:sin5:7:8,A B C=则角B= .6、在△ABC中，已知1b c==，045B=，求C和a的值.答案1. 045,3（12）（3），2.A , 3.D 4.-19 5.3π6. 030,C a==3。
余弦定理--导学案 (1)
余弦定理导学案教学目标：1、学生掌握用三角方法、解析几何和向量方法来证明余弦定理。
2、能够从余弦定理得到它的推论。
3、能够应用余弦定理及其推论解三角形。
4、了解余弦定理与勾股定理之间的联系。
一、问题情境某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。
工程技术人员先在地面上选一适当位置A ，量出A 到山脚B 、C 的距离，分别是AC=2km ，AB=3km ，再利用经纬仪（测角仪）测出A 对山脚BC 的张角，︒=∠60BAC 最后通过计算求出山脚的长度BC 。
若由经纬仪测得 ︒=∠90BAC ，BC 的长度是多少？若由经纬仪测得 ︒=∠120BAC ，BC 的长度是多少？3km二、数学模型将上述实际问题抽象出来即为：已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
在△ABC 中，已知BC=a ，AC=b ，∠BCA=C ，求：c （即BA ）思路1：在上述实际问题中，我们处理了∠BCA=60°，90°，120°三种具体情况， 对于任意度数的∠BCA ，该怎样处理？能否用a,b, ∠BCA 表示出BA 的长度？思路2：处理平面几何问题还有什么其他方法？求线段长度有哪些方法？结论：C ab b a c cos 2222-+=小组讨论，完成以下问题：1、你能用文字语言叙述这个结论吗？2、这个公式涉及了三角形中几个元素？3、将这个公式的变形，能够得到：4、观察这个公式，与我们所学的什么公式结构上有相似之处？5、在解三角形中，这个公式能够解决哪些问题？三、解决实际应用问题请用余弦定理解决问题情境一，求出BC 的长度。
四、例题练习总结：例题1与问题情境一，可以归纳为，已知 ，解三角形，可应用余弦定理先求出 ；再结合正弦定理求出其他三角形元素。
例2.在ABC ∆中，已知,13,2,6+===c b a 解三角形（依次求出A,B,C ），并判断ABC ∆的形状（锐角三角形/直角三角形/钝角三角形）。
《1.2余弦定理》导学案4
«1.2余弦定理》导学案4学习目标1. 掌握余弦定理的两种表示形式；2. 证明余弦定理的向量方法；3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.学习过程、课前准备复习1：在一个三角形中，各 ___________ 和它所对角的______ 的_____ 相等，即_______ 复习2:在厶ABC中，已知c=10，A=45 , C=30，解此三角形.思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢?冋题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b .自主学习…AC・AC二cosA 二b2 2 2c -a2bc同理可得： 2.2 2 ,a= b c 2 boco sc2=a2b2- 2abcosC -新知：余弦定理：三角形中任何一边的_等于其他两边的 __________ 的和减去这两边与它们的夹角的_________ 的积的两倍.思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角?从余弦定理，又可得到以下推论：［理解定理］⑴若C=90，则cosC =一，这时c2 =a2b2由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.(2)余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角.试试:⑴△ ABC中，a =3.3，c =2，B =150’，求b •⑵△ ABC 中，a =2，b=.2，c=.3 亠1，求A •三、合作探究例1.在^ ABC 中，已知玄=..3，b=、.2，B =45’，求A,C 和c -变式：在厶ABC中，若AB= 品,AC = 5，且cosC = 9，则BC = __________________10例2.在厶ABC中，已知三边长a=3，b =4，c - 37 ，求三角形的最大内角・四、课后作业1、在厶ABC中，已知 a = 7, b= 8, cosC=〔3，求最大角的余弦值.142、在厶ABC 中，AB = 5, BC= 7, AC = 8,求BC 的值•3、已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角为（）.A - 60B - 75C 120；D - 150；.在厶ABC中，已知三边a、b、c满足4、b2・a2 _c2二ab，则/ C等于-------------五、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例;2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.探知识拓展在厶ABC中，若a2b2 =c2，则角C是直角；若2b2 ::- c2，则角C是钝角；a若2b2c2，则角C是锐角.a。
余弦定理导学案
1.1.2正弦定理、余弦定理学习目标：1．掌握余弦定理及其推导过程，探索推导的多种方法； 2．能够利用余弦定理解决斜三角形的计算等相关问题 学习重点：掌握余弦定理及其推导过程;学习难点：能够利用余弦定理解决斜三角形的计算等相关问题 学习过程：一、复习引入：1正弦定理：在任一个三角形中， 和 比相等，即 ： （R 为△ABC 外接圆半径） 2正弦定理的应用 ：从理论上正弦定理可解决两类问题：（1）．已知 ，求其它两边和一角；（2）．已知 ，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．在Rt △ABC 中(若C=90︒)有： （勾股定理）[问题]：在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角会有什么关系呢？二、自主探究：1．阅读教材，探索讨论余弦定理及其推导过程 ：得出余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+= ； B ac a c b cos 2222-+=；C ab b a c cos 2222-+=推论：bc a c b A 2cos 222-+= ca b a c B 2cos 222-+= abc b a C 2cos 222-+=[问题]1.你还能用其他的方法来推导余弦定理吗？2、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？3、当三角形的三边满足什么条件时，角A 为锐角？直角？钝角？4、观察余弦定理及其推论，我们可以用它们来解决哪类有关三角形的问题。
三、基本题型：例 1 在 Δ ABC 中，已知 a = 7， b = 5，c = 3，求 A ，B 和 C.变式训练1:在ΔABC 中，（1） a ＝1,b ＝1,C ＝1200,求c. （2） a ＝3,b ＝4,c ＝37,求最大角。
（3） a:b:c ＝1: 3:2, 求角A,B,C 。
A B例2在ΔABC 中，已知a= 6，b = 2，C = 030，解这个三角形变式训练2在ΔABC中，已知a＝8，B＝600，c＝4(3＋1)，解这个三角形试一试：1、在ΔABC中，已知a＝7，b=3，c＝5,求最大角和sinC。
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余弦定理复习导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第2课时知能目标解读1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.2.了解余弦定理的几种变形公式及形式.3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理.学习方法指导一、余弦定理1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bc cos A,b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具.注意：（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.cos A=bc ac b22 22-+，cos B=ac bc a22 22-+，cos C=ab cb a22 22-+.由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.二、余弦定理的证明教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明.证明：方法1：（解析法）如图所示，以A为原点，△ABC的边AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.则A（0,0）,C(b cos A,b sin A),B(c,0),由两点间的距离公式得BC2=（b cos A-c）2+(b sin A-0) 2,即a2=b2+c2-2bc cos A.同理可证b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.方法2：（几何法）如图.当△ABC为锐角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则CD=b sin A,AD=b cos A,BD=AB-AD=c-b cos A.在Rt△BCD中，B C2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-b cos A) 2.所以a2=b2+c2-2bc cos A.同理可证b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.如图，当△ABC为钝角三角形时，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D，则AD=bc os A,CD=b sin A.BD=AD-AB=b cos A-c.在Rt△BCD中 ,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（b cos A-c）2.所以a2=b2+c2-2bc cos A.同理可证：b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.三、余弦定理的应用余弦定理主要适用以下两种题型:（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.注意：在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.知能自主梳理1.余弦定理（1）语言叙述：三角形任何一边的平方等于减去的积的.（2）公式表达:a2=;b2=;c2=.(3)变形:cos A=;cos B = ; cos C = . 2.余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其 解三角形，另一类是已知 解三角形.［答案］ 1.(1)其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 (2)b 2+c 2-2bc cos A a 2+c 2-2ac cos B a 2+b 2-2ab cos C (3) bc a c b 2222-+ acb c a 2222-+abc b a 2222-+2.夹角 三边思路方法技巧命题方向 已知三边解三角形［例1］ 在△ABC 中，已知a =7,b =3,c =5，求最大角和sin C . ［分析］ 在三角形中，大边对大角，所以a 边所对角最大. ［解析］ ∵a ＞c ＞b,∴A 为最大角,由余弦定理得， cos A =bc a c b 2222-+=532753222⨯⨯-+＝21，又∵0°＜A ＜180°,∴A =120°， ∴sin A =sin120°=23.由正弦定理A a sin ＝Ccsin 得， sin C =aAc sin =7235⨯=1435.∴最大角A 为120°，sin C =1435.［说明］ （1）求sin C 也可用下面方法求解：cos C =ab c b a 2222-+=372537222⨯⨯-+=1411，∴C 为锐角.sin C =C 2cos 1-=214111）（-＝1435.(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理. 变式应用1在△ABC 中，已知(b+c )：(c+a )：(a+b )=4：5：6，求△ABC 的最大内角.［解析］ 设b+c =4k,c+a =5k,a+b =6k (k ＞0).则a+b+c =7.5k ,解得a =3.5k,b =2.5k,c =1.5k . ∴a 是最大边，即角A 是△ABC 的最大角.由余弦定理，得cos A =bc a c b 2222-+=-21,∵0°＜A ＜180°,∴A =120°，即最大角为120°. 命题方向 已知两边及一角解三角形［例2］ △ABC 中，已知b =3,c =33,∠B =30°,解三角形. ［分析］ 由题目可知以下信息：①已知两边和其中一边的对角.②求另外的两角和另一边.解答本题可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a 的方程，求出边a,再由正弦定理求角A ，角C.［解析］ 解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得32=a 2+(33)2-2a ×33×cos30°,∴a 2-9a +18=0,得a =3或6.当a =3时，∠A =30°,∠C =120°.当a =6时，由正弦定理sin A =b Ba sin =3216⨯=1.∴∠A =90°,∴∠C =60°.解法二：由b<c ,∠B =30°,b >c sin30°=33×21=233知本题有两解.由正弦定理sin C =b B c sin =32133⨯=23, ∴∠C =60°或120°，当∠C =60°时，∠A =90°,由勾股定理a =22c b +=22)33(3+=6.当∠C =120°时，∠A =30°，△ABC 为等腰三角形，∴a =3.［说明］ 知两边和一角解三角形时有两种方法：（1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.(2)直接用正弦定理，先求角再求边.用方法（2）时要注意解的情况，用方法（1）就避免了取舍解的麻烦.变式应用2在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且cos A =41,若a =4,b+c =6,且b<c ,求b 、c 的值.［解析］ 余弦定理得cosA=bc a c b 2222-+=41，∴bc a bc c ）（b2222--+=41,又b+c =6,a =4, ∴bc =8,b =2c =4b =4c =2又b <c,∴b =2,c =4.命题方向 判断三角形的形状［例3］ △ABC 中，已知(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ，确定△ABC 的形状.［分析］ 由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，因此在判断三角形的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边.［解析］ 解法一：利用角的关系来判断.∵A+B+C =180°,∴sin C =sin(A+B ).又∵2cos A sin B =sin C ,∴2cos A sin B =sin A cos B +cos A sin B , ∴sin(A-B )=0.∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A=B .又∵(a+b+c )(a+b-c )=3ab , ∴(a+b ) 2-c 2=3ab,a 2+b 2-c 2+2ab =3ab ,根据余弦定理，上式可化为2ab cos C +2ab =3ab ,解得cos C =21,∴C =60°.故△ABC 为等边三角形.解法二：利用边的关系来确定.由正弦定理，得B C sin sin =bc. 由2cos A ·sin B =sin C ,得cos A =B C sin 2sin =bc2. 又∵cos A =bc a c b 2222-+,∴bc 2=bc a c b 2222-+,即c 2=b 2+c 2-a 2,∴a=b . 又∵(a+b+c )(a+b-c )=3ab , ∴(a+b ) 2-c 2=3ab ,∴4b 2-c 2=3b 2, ∴b=c,∴a=b=c .因此△ABC 为等边三角形.［说明］ 判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形的形状；其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状.在实际应用中应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法. 变式应用3△ABC 中，AB ＝5,BC =6,AC =8,则△ABC 的形状是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.非钝角三角形 ［答案］ C［解析］ 利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0还是小于0，即可对其形状作出判断.因为cos B =652865222⨯⨯++=-201<0,所以B 为钝角，即△ABC 是钝角三角形.探索延拓创新命题方向 利用余弦定理确定范围问题［例4］ 设2a +1,a ,2a -1为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围.［分析］ 一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件.若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强.若△ABC 为锐角三角形，则有a 2＜b 2+c 2,b 2＜a 2+c 2,c 2＜a 2+b 2;若△ABC 为钝角三角形，最大边为a ,则一定有a 2＞b 2+c 2,这些都是可以从余弦定理中直接推导的.［解析］ 2a +1,a ,2a -1是三角形的三边,2a +1＞0∴ a ＞02a -1＞0，解得a ＞21,此时2a +1最大. ∴要使2a +1,a ,2a -1表示三角形的三边，还需a +(2a -1)＞2a +1,解得a ＞2.设最长边2a +1所对的角为θ,则cos θ=()()()1221212222-+--+a a a a a =()()1228--a a a a ＜0,解得21＜a ＜8,∴a 的取值范围是2＜a ＜8.［说明］ 本题易忽视构成三角形的条件a ＞2,而直接应用余弦定理求解，从而使a 的范围扩大. 变式应用4.已知锐角三角形三边长分别为2，3，x ，求x 的取值范围 ［解析］ 由三角形三边的关系有3-2＜x ＜3+2，即1＜x ＜5.又∵三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和.x 2＜22+32 即32＜x 2+22x 2＜13x 2＞55＜x 2＜13即 x ＞0解得5＜x ＜13，∴x 的取值范围为（5，13）.名师辨误做答［例5］ 在△ABC 中，∠C =2∠A,a+c =10,cos A =43,求b .［误解］ 由正弦定理，得a c =AC sin sin又∵∠C =2∠A ,∴a c =A A sin 2sin =2cos A =2×43＝23， 又a+c =10, ∴a =4,c =6.由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2-9b +20=0,∴b =4或b =5.［辨析］ 运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断.［正解］ 由正弦定理，得a c =ACsin sin , 又∵∠C =2∠A ,∴a c =A A sin 2sin =2cos A =2×43＝23， 又a+c =10,∴a =4,c =6.由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2-9b +20=0, ∴b =4或b =5.当b =4时，∵a =4,∴∠A =∠B ,又∠C =2∠A ,且∠A +∠B +∠C =π,∴∠A =4,这与已知cos A =43矛盾，不合题意，舍去.当b =5时，满足题意，∴b =5.课堂巩固训练1.在△ABC 中，若a<b<c ,且c 2<a 2+b 2,则△ABC 为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不存在［答案］ B［解析］ ∵a<b<c ,且c 2<a 2+b 2,∴∠C 为锐角.又∵∠C 为最大角.故选B. 2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2=ac ，且c =2a ,则cos B =（ ）A. 41B. 43 C.42 D. 32 ［答案］ B［解析］ 由b 2=ac ，又c =2a ，由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=a a a a a a 2·22422⨯-+ =43.3.（2011·四川理，6）在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ,则A 的取值范围是 ( )A.(0, 6π］B.［6π,π) C.(0, 3π］ D.［3π,π)［答案］ C［解析］ 本题主要考查正余弦定理，∵sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C , ∴由正弦定理得：a 2≤b 2+c 2-bc ，即b 2+c 2-a 2≥bc ，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+≥bc bc 2=21，∴0<A ≤3π，故选C.4.已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2+3x -2=0的根，则第三边的长是 . ［答案］21［解析］ 解2x 2+3x -2=0，得x 1=21或x 2=-2（舍去）. ∴夹角的余弦值为21，根据余弦定理得第三边长为21·5·4·25422-+=21. 5.在△ABC 中，a=b +2,b=c +2,又最大角的正弦等于23，则三边长为 . ［答案］ 3，5，7［解析］ ∵a-b =2,b-c =2，∴a>b>c ,∴最大角为A .sin A =23，若A 为锐角，则A =60°，又C<B<A ,∴A+B+C <180°，这显然不可能，∴A 为钝角. ∴cos A =-21, 设c=x ,则b=x +2,a=x +4.∴()()()2242222++-++x x x x x =-21， ∴x =3，故三边长为3，5，7. 三、解答题6.在△ABC 中，已知b 2-bc -2c 2=0,且a =6,cos A =87,求△ABC 的面积.［解析］ ∵b 2-bc -2c 2=0,∴(c b )2-cb-2=0,解得c b =2,即b =2c .由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即b 2+c 2-47bc =6,与b =2c联立解得b =4,c =2.∵cos A =87,∴sin A =A 2cos 1-=815,∴S △ABC =21bc sin A =215.课后强化作业一、选择题1.在△ABC 中，b =5,c =53,A =30°,则a 等于（ ）A.5B.4C.3D.10 ［答案］ A［解析］ 由余弦定理，得2bc cos A =b 2+c 2-a 2,∴2×5×53×cos30°＝52＋（53）2-a 2, ∴a 2=25,∴a =5.2.在△ABC 中，已知a 2=b 2+c 2+bc ,则角A 为（ ） A.3π B. 6π C. 32π D. 3π或32π［答案］ C［解析］ ∵a 2=b 2+c 2+bc ,∴cos A =bca cb 2222-+==bc bcc b c b 22222---+,又∵0<A <π,∴A=32π. 3.在△ABC 中，若a=3+1,b =3-1,c =10,则△ABC 的最大角的度数为（ ）A.60°B.90°C.120°D.150°［答案］ C［解析］ 显然10＞3+1＞3-1,∴cos C =()()()()()13·132101313222-+--++=-42-＝－21,∴C =120°. 4.△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a ，b ，c ,设向量p =(a+c,b ), q =(b-a,c-a ).若p ∥q ,则∠C 的大小为 ( )A.6π B. 3π C. 2πD. 32π［答案］ B［解析］ ∵p =(a+c,b ), q =(b-a,c-a )且p ∥q ， ∴(a+c )(c-a )-b (b-a )=0，即a 2+b 2-c 2=ab ,∴cos C =ab c b a 2222-+=ab ab 2=21.∴C=3π. 5.在△ABC 中，已知2a 2=c 2+(2b+c ) 2,则∠A 的值为（ ）A.30°B.45°C.120°D.135° ［答案］ D［解析］ 由已知得2a 2=c 2+2b 2+c 2+22bc ,∴a 2=b 2+c 2+2bc , ∴b 2+c 2-a 2＝-2bc ,又b 2+c 2-a 2=2bc cos A , ∴2bc cos A =-2bc , ∴cos A =-22,∴A =135°.6.（2011·重庆理，6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a+b ) 2-c 2=4，且C =60°，则ab 的值为 ( )A.34 B. 8-43 C.1 D.32 ［答案］ A［解析］ 本题主要考查余弦定理的应用. 在△ABC 中，C =60°,∴a 2+b 2-c 2=2ab cos C =ab ,∴(a+b ) 2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab =3ab =4,∴ab =34,选A. 7.在△ABC 中，三边长AB =7,BC =5,AC =6,则AB ·BC 等于 ( )A.19B.-14C.-18D.-19［答案］ D［解析］ 在△ABC 中AB =7,BC =5,AC =6,则cos B =752362549⨯⨯-+=3519.又AB ·BC =｜AB ｜·｜BC ｜cos(π-B )=-｜AB ｜·｜BC ｜cos B＝－7×5×3519=-19. 8.在△ABC 中，若△ABC 的面积S =41(a 2+b 2-c 2)，则∠C 为（ ）A. 4πB. 6πC. 3πD. 2π［答案］ A［解析］ 由S =41 (a 2+b 2-c 2),得21ab sin C =41×2ab cos C ,∴tan C =1,∴C =4π.二、填空题9.在△ABC 中，b =34,c =22,A =45°,那么a 的长为 .［答案］3102 ［解析］ 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc os A =916+8-2×34×22×22=916+8-316=9487216++=940,所以a =3102.10.在△ABC 中，AB =3,BC =13,AC =4,则边AC 上的高为 .［答案］ 233［解析］如图，cos A =()4321343222⨯⨯-+＝21， ∴sin A =23.∴.BD =AB ·sin A =233.11.在△ABC 中，已知BC =8,AC =5,三角形面积为12，则cos2C = . ［答案］257 ［解析］ 由题意得S △ABC =21AC ·BC sin C =12,即21×5×8×sin C =12,则sin C =53. ∴cos2C =1-2sin 2C =1-2×（53）2=257.12.在△ABC 中，B =60°,b 2=ac ,则三角形的形状为 .［答案］ 等边三角形［解析］ 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-ac ,∵b 2=ac ,∴a 2+c 2-2ac =0,∴(a-c ) 2=0,∴a=c .又∵B =60°,∴A=C =60°.故△ABC 为等边三角形. 三、解答题13.在△ABC 中，A+C =2B ,a+c =8,ac =15,求b .［解析］ 解法一：在△ABC 中，由A+C =2B ，A+B+C =180°，知B =60°. 由a+c =8,ac =15,则a 、c 是方程x 2-8x +15=0的两根. 解得a =5,c =3或a =3,c =5.由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+25-2×3×5×21＝19. ∴b =19.解法二：在△ABC 中，∵A+C =2B ,A+B+C =180°， ∴B =60°.由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a+c ) 2-2ac -2ac cos B =82-2×15-2×15×21＝19. ∴b ＝19.14.(2011·大纲文，18)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A+c sin C -2a sin C =b sin B .(1)求B ；（2）若A =75°,b =2,求a,c .［分析］ 利用三角形正弦定理，将已知条件a sin A +c sin C -2a sin C =b sin B 中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B 角，然后再利用正弦定理求得a ，c 的值.［解析］ （1）∵a sin A +c sin C -2a sin C =b sin B ∴a 2+c 2-2ac =b 2 ∴a 2+c 2-b 2=2ac∴cos B =acb c a 2222-+=ac ac 22=22∴B =45°(2)由(1)得B =45°∴C =180°-A-B =180°-75°-45°=60°由正弦定理A a sin =B b sin =Cc sin ∴a =B A b sin sin =︒︒⨯45sin sin752=224262+⨯=13+ c =62223245sin 60sin 2sin sin =⨯=︒︒⨯=B C b .［点评］ 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.15.在△ABC 中，A =120°,b =3,c =5.(1)求sin B sin C ;(2)求sin B +sin C . ［分析］ 已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a ,再由正弦定理求出sin B ,sin C .［解析］ （1）∵b =3,c =5,A =120°,∴由余弦定理，得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=9+25-2×3×5×（-21）=49. ∴取正值a =7. 由正弦定理，得sin B =a Ab sin =14337233=⨯, sin C =.435sin =a A c ∴sin B ·sin C =19645.(2)由（1）可得sin B +sin C =734. 16.已知三角形的一个角为60°,面积为103cm 2，周长为20 cm ，求此三角形各边长.［解析］ 设三角形的三条边长分别为a,b,c,B =60°,则依题意，得a+b+c=20 cos60°=acb c a 2222-+21ac sin60°=103, a+b+c=20,①∴ b 2=a 2+c 2-ac ，②ac=40.③由①式，得b 2=［20-(a+c )］2=400+a 2+c 2+2ac -40(a+c ).④ 将②代入④，得400+3ac -40(a+c )=0,再将③代入④，得a+c =13.a+c=13 a=5 a=8 ,得 ,或ac=40 c=8 c=5.∴b =7.∴该三角形的三边长为5 cm,7 cm,8 cm.。