初中阶段2个阿波罗尼斯圆的大题
阿氏圆
C阿氏圆模型专题训练阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：已知平面上两定点A 、B ，则所有满足P A /PB =k (k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A "型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，P A 、PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△ABC 的边AC 上找一点D ，使得AD /AB =AB /AC ，则此时△ABD ∽△ACB 。
那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:已知∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点. (1) 求12AP BP +的最小值为 (2) 求13AP BP +的最小值为 ※（由AD AB BDk AB AC BC===可知，那个AD 只能取k AB ，而k BC BD =。
这种方法只能解固定的问题，问题里的分数是ABk AC=，不能随意变更的。
阿氏圆是以△BCD 为基础，构造△ABC 证明结论。
而这儿的应用是用逆向思维从△ABC 入手对阿氏圆的结论进行应用） 实战练习：1、已知⊙O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC =1，BD =2，P 为弧AB PC PD +的最小值2、已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求12AP BP +的最小值y x O C BA P3、已知点A (-3，0)，B （0，3），C （1，0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切， （1）14AP BP +的最小值； （2）PABS的最小值。
初三压轴大题系列—阿波罗尼斯圆(解析版)
初三压轴大题系列—阿波罗尼斯圆（解析版）在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P 满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。
接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹。
对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：借助画板工具我们发现，动点P在运动过程中，PA、PB的长度都在变化，但是PA：PB的比值始终保持不变，接，设，如图所示：由图可以发现在AB上存在点C，在AB延长线上存在点D使得，也就是说，当点P与点C、D重合时，符合条件；当点P不与点C、D重合时，对于任意一点P，连接PA、PB、PC，可得，所以PC为△PAB一条内角平分线，再连接PD，可得，所以PD为△PAB一条外角平分线，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90º，所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢？分别取线段AB的内外分点C、D，再取CD中点O，可得，则，由线段位置关系可得AC＋BC＋BD＝AD，则，解得，.又，即，整理得，即，当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，P.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需，就可以构造出上述的A字型相似（详见本专辑的相似模型）.例1、如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则为，的最大值为.【解答】最小值为5，最大值为5【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，；当点P在DG的延长线时，此时最大值也是DG，最大值为5.例2、如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，点P为弧AB上一动点，求的最小值.当A、P、D的值最小.连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,∴∠ABD＝90º,∠BAD＝∠D＝45º,∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90º,∴∠PAB＝∠PBA＝45º,∴PA＝PB,PO⊥AB,∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴AC∥PO,∠CAO＝90º∵AC＝PO＝1,∴四边形AOPC是平行四边形,而OA＝OP,∠CAO＝90º,∴四边形AOPC是正方形,PC＋PD＝PM＋PD＝DM,∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时PC＋PD的值最小，最小值为.1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，P为圆C上一动点，连接AP、BP，则的最小值是.【解答】【解析】连接CP，在CB上取一点D，使得CD＝1，连接AD，如图所示：易得PCD＝∠BCP，∴△PCD ∽△BCP，，当点A、P、D在同一条直线上时，在Rt△ACD中，∵CD＝1，CA＝6，，.2.，，MO＝2，∠POM＝90º，Q小值为.OM的中点G，连接PG与圆O的交点就是点Q，连接OQ、QM，如图所示：∵MO＝2，，∵圆O的半径，，∵∠MOQ＝∠QOG，∴△MOQ ∽△QOG，最小，.3.如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O的最小值是.【解答】5【解析】取点K（1，0），连接OP、PK、BK，如图所示：∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，，∵∠POK＝∠AOP，∴△POK ∽△AOP，。
中考专题 阿氏圆专题(解析版)
阿氏圆专题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=25OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25PB=PC 。
故本题求“PA+25PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④= EABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，△C 的半径为10,点B 在△C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5. 变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，△AB＝BD＝4，BD是切线，△△ABD＝90°，△BAD＝△D＝45°，△AB是直径，△△APB＝90°，△△P AB＝△PBA＝45°，△P A＝PB，PO△AB，△AC＝PO＝2，AC△PO，△四边形AOPC是平行四边形，△OA＝OP，△AOP＝90°，△四边形AOPC是正方形，△PM＝PC，△PC+PD＝PM+PD＝DM，△DM△CO，△此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，△B的半径为2，P是△B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：△如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．△PB2＝4，BE•BC＝4，△PB2＝BE•BC，△＝，△△PBE＝△CBE，△△PBE△△CBE，△＝＝，△PD+PC＝PD+PE，△PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，△PD+PC的最小值为5．△连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF △BC 于F ．△PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，△BP 2＝BE •BD ，△＝，△△PBE ＝△PBD ，△△PBE △△DBP ， △＝＝，△PE ＝PD ，△PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），△PE +PC ≥EC ，在Rt△EFC 中，EF ＝，FC ＝，△EC ＝，△PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，△B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．△＝＝，＝＝，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF△BC于F．△＝＝2，＝＝2，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，△DCF＝60°，CD＝4，△DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，∴=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM△AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y ＝0，则ax 2+（a +3）x +3＝0， △（x +1）（ax +3）＝0，△x ＝﹣1或﹣，△抛物线y ＝ax 2+（a +3）x +3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0）， △﹣＝4，△a ＝﹣．△A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则，解得，△直线AB 解析式为y ＝﹣x +3．（2）如图1中，△PM △AB ，PE △OA ，△△PMN ＝△AEN ，△△PNM ＝△ANE ，△△PNM △△ANE ，△＝，△NE △OB ，△＝，△AN ＝（4﹣m ），△抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，△PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，△＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． △OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， △OE ′2＝OM ′•OB ， △＝，△△BOE ′＝△M ′OE ′，△△M ′OE ′△△E ′OB ， △＝＝，△M ′E ′＝BE ′，△AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：3. 如图，等边⊙ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：2.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A，()0,2B，()4,0C，()3,2D，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC+的最小值是多少？[答案]6. 如图，Rt△ABC，△ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC△△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，△四边形CDEF是正方形，△CF＝CD，△DCF＝△ACB＝90°，△△ACF＝△DCB，△AC＝CB，△△FCA△△DCB（SAS）．（2）解：△如图2中，当点D，E在AB边上时，△AC＝BC＝2，△ACB＝90°，△AB＝2，△CD△AB，△AD＝BD＝，△BD+AD＝+1．△如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，△BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．△CD＝，CM＝1，CA＝2，△CD2＝CM•CA，△＝，△△DCM＝△ACD，△△DCM△△ACD，△＝＝，△DM＝AD，△BD+AD＝BD+DM，△当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．。
利用阿波罗尼斯圆解竞赛题
（０ ２ 中国国家集训队选拔赛） ２０ ，
讲解 分两种情 况讨论．
（ ） Ｂ ／ 时， １ 当 Ｄ／ 这个 问题 比较易于
处理 ， 此处 不赘述． （） Ｄ Ｅ 时， ２ 当Ｂ Ｆ 不妨 设 Ｄ Ｂ与 阳 交
』 ‘０
Ｐ Ｃ＝ 一 Ｂ 届，
１
Ｄ Ｆ Ｏ ．Ｂ Ｅ ｏ ． Ｃ Ｅ Ｂ Ｃ Ｆ Ｄ Ｃ Ｏ Ｂ ’Ｆ Ｅ Ｂ ＥＦ Ｄ Ｃ ｏ Ｄ
从而， Ａ ＋ Ｐ Ｃ ÷／Ｂ Ｃ ／Ｐ Ｃ Ｂ ＝ Ａ＋
二
由以上 四式 知
ＡＥ ． ＡＦ
． ＿
一
＝
卿
故 Ｐ Ｂ＋ Ｐ Ｂ＝／ Ｐ Ｃ＋ Ｐ Ｃ Ａ Ｃ Ａ Ｂ．
易证 Ａ Ｃ一 Ａ ＝ Ｐ Ｂ． Ｐ Ｂ， Ｐ 嬲 Ａ ｝ Ｃ
ＡＰＢ 一 ＡＣ ＝ Ｂ ＰＡＣ ＋ 朋 Ｃ．
ＣＢ． ＣＤ —ＣＥ． ＣＦ ’
故 Ａ Ｃ一 Ａ Ｃ＝ Ａ Ｂ一 Ａ Ｂ 尸 Ｂ Ｐ Ｃ．
ＡＫ 埴Ｆ ＡＥ ・ ＡＦｓｎ ｉ
÷ ＢＣ一 Ｐ Ｍ＝ Ａ Ｎ ÷ ＢＣ Ａ一
１ 二
Ｃ Ｋ—ｓ Ｅ—Ｃ Ｃ ９‘ Ｆ Ｅ・ Ｆ
视△ 曰 Ｑ △ ｏ ｑ △ 胞 Ｑ △ ｅ ｑ分 Ｅ 、 ｒ 、 、 ｒ 别被直线 Ａ Ｆ Ａ Ｅ Ｂ Ｆ Ｄ Ｅ所截 ， Ｄ 、Ｂ 、 Ｃ 、 Ｃ 分别应
于点 Ｑ 如 图 ２ ． （ ）
延长 Ａ Ｃ
交 Ｅ 于 点 Ｆ Ｋ， 令
＝
，
Ｄ
ＢＣＤ
：
易证
Ｑ
图２
６
阿波罗尼斯圆中的数学压轴题
阿波罗尼斯圆中的数学压轴题
到两点点的距离之和为定值（大于两定点距离）的点的轨迹是椭圆．到两点点的距离之差为定值（小于两定点距离）的点的轨迹是双曲线．那么到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？没错就是阿氏圆．阿氏圆定理（全称：阿波罗尼斯圆定理），具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．【分析】令B为坐标原点，A的坐标为(a，0)．则动点P(x，y)．满足PA/PB=k （为实数，且不为±1）得(k2－1)(x2＋y2)＋2ax－a2=0，当k不为±1时,它的图形是圆．当k为±1时，轨迹是两点连线的中垂线．【典型例题】问题提出：如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP＋1/2BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CD/CP ＝CP/CB＝1/2，又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP．∴PD/BP＝1/2，∴PD＝1/2BP，∴AP＋1/2BP＝AP＋PD．请你完成余下的思考，并直接写出答
案：AP＋1/2BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，1/3AP＋BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上一点，求2PA＋PB的最小值．【解题过程】我爱压轴题中考数学压轴题全解析￥37.4 京东购买。
阿波罗尼斯圆及其应用(整理)
阿波罗尼斯圆的应用1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点',A A ，设P 点在同一平面上且满足,'λ=PA PA当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的相关性质性质1.当1>λ时，点'A 在圆O 内，点A 在圆O 外； 当10<<λ时，点A 在圆O 内，点'A 在圆O 外。
性质2.所作出的阿波罗尼斯圆的半径为|AA'|1r λλ=-性质3：'OA rr OA ==λ λ越大，圆越小.例1：已知P 点在边长为2的正方形ABCD 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______ 解析:22',1,2,'=∴====OA r OA OA r r OA λ '2,2'PA PA PA PA=∴==λ,5'2)'(22=≥+=+B A BP PA BP PA练习1：已知P 在边长为2的正三角形ABC 的内切圆上运动，则BP AP 2+的最小值是_______27练习2：已知点P 在圆4:22=+y x O 上运动，)4,4(),0,4(B A ，求BP AP 2+的最小值例2：（06四川）已知两定点).0,1(),0,2(B A -如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是________________.练习1：满足条件BC AC AB 2,2==的ABC ∆面积的最大值是___________.练习2.在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.例3：已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB=1，AD=CD=2，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成角相等，则点M 的轨迹长度为_________94π练习：在正方体1111D C B A ABCD -中，33=AB ，点E ，F 在线段1DB 上，且,1FB EF DE ==点M 是正方体表面上一个动点，点P,Q 是空间两个动点，若2||||||||==QF QE PF PE 且4||=PQ ，则MQ MP ⋅的最小值为____________38-练习2：已知△ABC 的面积为1，∠A 的角平分线交对边BC 于D ， AB=2AC ，且AD=kAC ，则当k=________时，边BC 的长度最短.5102=k 分析：面积为定值，AB=2AC ，所以A 的轨迹为阿氏圆，设圆交BC 和延长线为D 、E ，易得AD 即为∠A 的角平分线，且当AO 垂直BC 时BC 有最小值，设圆半径为r ，OC r r OB ===2λ,r r OB OD rOC r OB =-=∴==,2,2 r AD r 2,25AC ==勾股定理得： 5102252===∴r r ACADk 3、已知向量,a b 满足：||3,||2||,b a b a ==-若||3a b λ+≥恒成立，则实数λ的取值范围是_______.例4. （2015年高考数学湖北卷）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③2NB MA NAMB+=号是 .（写出所有正确结论的序号）解：（1）易知半径2r =，所以圆的方程为()(22122x y -+=；（2）易知()()21,21A B ，设(),P x y 为圆C 上任意一点，则()()()()()()()()222221422221221221422221221221x y yyPA PBy y x y +-+-----====+-++-+--，故①正确；())21212NB MANA MB-=-=，②正确；))212122NB MANA MB+=+=yxOTC NA MB5、已知点(0,2),(1,1)A B --，P 是圆C:222x y +=上的一个动点.求||||PB PA 的最大值. 6、已知向量||6,||||,2,b a a c b a c m ==--=是||()a tb t R +∈的最小值,求m 的最大值.。
与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆(原卷版)
与圆有关的定点问题以及阿波罗尼斯圆题型一与圆有关的定点问题1．已知直角坐标系xOy 中，圆22:16O x y +=．①过点(4,2)P 作圆O 的切线m ，求m 的方程；②直线:l y kx b =+与圆O 交于点M ，N 两点，已知(8,0)T ，若x 轴平分MTN ∠，证明：不论k 取何值，直线l 与x 轴的交点为定点，并求出此定点坐标．2．已知圆22:120C x y Dx Ey +++-=过点(P -，圆心C 在直线:220l x y --=上．（1）求圆C 的一般方程．（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且12OA OB ⋅=- ，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．3．已知直线60l y -+=，半径为3的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右下方．（1）求圆C 的方程；（2）过点(2,0)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆22:(1)5C x y ++=作两切线，切点分别为A 、B ．（1）求四边形ACBP 面积的最小值及此时点P 的坐标；（2）直线AB 是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．5．已知圆221:4C x y +=和直线:1()l y kx k R =-∈．（1）若直线l 与圆C 相交，求k 的取值范围；（2）若1k =，点P 是直线l 上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线PM 、PN ，切点分别是M 、N ，证明：直线MN 恒过一个定点．6．已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有7．已知圆M 经过两点A ，(2,2)B 且圆心M 在直线2y x =-上．（Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）设E ，F 是圆M 上异于原点O 的两点，直线OE ，OF 的斜率分别为1k ，2k ，且122k k ⋅=，求证：直线EF 经过一定点，并求出该定点的坐标．8．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线:74l y x =+上，(7,3)B ，以线段AB 为直径的圆(C C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点A 不在第一象限内，圆C 与x 轴的正半轴的交点为P ，过点P 作两条直线分别交圆于M ，N 两点，且两直线的斜率之积为5-，试判断直线MN 是否恒过定点，若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．9．已知三点(2,0)A -、(2,0)B 、C 在圆M 上．P 为直线6x =上的动点，PA 与圆M的另一个交点为E ，PB 与圆M 的另一个交点为F ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线PC 与圆M 相交所得弦长为，求点P 的坐标；（3）证明：直线EF 过定点．10．已知22:120C x y Dx Ey +++-= 关于直线240x y +-=对称，且圆心在y 轴上．（1）求C 的标准方程；（2）已知动点M 在直线10y =上，过点M 引C 的两条切线MA 、MB ，切点分别为A ，B ．①记四边形MACB 的面积为S ，求S 的最小值；②证明直线AB 恒过定点．11．已知圆22:()4(0)M x y a a +-=<与直线40x y ++=相离，Q 是直线40x y ++=上任意一点，过Q 作圆M 的两条切线，切点为A ，B ．（1）若||AB =，求||MQ ；（2）当点Q 到圆M 的距离最小值为2-时，证明：直线AB 过定点．12．已知圆221:16C x y +=，圆222:12320C x y x +-+=．（1）求过点(4,4)M 且与圆2C 相切的直线的方程；（2）若与x 轴不垂直的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于R ，S 两点，且||2||PQ RS =，求证：直线l 过定点．13．已知圆C 经过点(6,0)A ，(1,5)B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,2)M 的直线与圆C 交于A ，B 两点，问在直线2y =上是否存在定点N ，使得0AN BN K K +=恒成立？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，半径为5，且与直线43170x y ++=相切．（1）求圆C 的方程；（2）设点3(1,)2M -，过点M 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若8AB =，求直线l 的方程；（3）设P 是直线60x y ++=上的点，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．求证：经过A ，P ，C 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．题型二阿波罗尼斯圆15．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =22||||2PA PB +的最大值为()A ．3+B ．7+C ．8+D ．16+16．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P 与两定点M ，N 的距离之比为(0,1)x λλ>≠，则点P 的轨迹就是圆．事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立．已知点(2,0)M ，点P 为圆22:16O x y +=上的点，若存在x 轴上的定点(N t ，0)(4)t >和常数λ，对满足已知条件的点P 均有||||PM PN λ=，则(λ=)A ．1B ．12C ．13D ．1417．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=，b =．18．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=，MAB ∆面积的最大值为．19．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，与x 轴正半轴相切，且被直线:0l x y -=截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）设点A 在圆C 上运动，点(7,6)B ，且点M 满足2AM MB = ，记点M 的轨迹为Γ．①求Γ的方程，并说明Γ是什么图形；②试探究：在直线l 上是否存在定点T （异于原点)O ，使得对于Γ上任意一点P ，都有||||PO PT 为一常数，若存在，求出所有满足条件的点T 的坐标，若不存在，说明理由．20．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：221x y +=和点1(,0)2A -，点(1,1)B ，M 为圆O 上动点，则2||||MA MB +的最小值为．21．已知圆22:1C x y +=，直线:(1)(1)10()l m x m y m R ++--=∈．（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）若直线l 被圆C m 的值；（3）若点B 的坐标为(2,0)-，在x 轴上存在点D （不同于点)B 满足，对于圆C 上任意一点P ，都有PB PD为一常数，求所有满足条件的点D 的坐标．22．已知圆22:80C x x y ++=，直线:20l mx y m ++=．（Ⅰ）当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且||AB =，求直线l 的方程．（Ⅱ）已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得||1||2PM PN =？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由．23．已知点(4,0)A 和(4,4)B ，圆C 与圆22(1)(2)4x y -++=关于直线2450x y --=对称．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点)A 使得点P 到点A 与M 的距离之比||||PA PM 为定值，并求1||||2PB PA +的最小值．。
【中考专题】阿氏圆应用方法、题目汇总（阿波罗尼斯圆）
【中考专题】阿⽒圆应⽤⽅法、题⽬汇总（阿波罗尼斯圆）说起阿⽒圆，很多⼈都不陌⽣了，之前写过⼀些⽂，画过⼀些图，录过⼀些视频，今天就来汇总⼀下阿⽒圆的应⽤题型！我们还是先从新介绍⼀下阿⽒圆，全称阿波罗尼斯圆，⾸先要有⼀个线段，端点为AB，到AB两点的距离之⽐为定值（不为1，为1那不就是中垂线吗）的所有点组成阿⽒圆，这个轨迹最先由阿波罗尼斯发现故名之。
看下图：图⽚下⽂为⽅便称呼，称AB这样的线段为阿圆的线段，称圆为线段的阿圆图⽚这个圆就是到AB距离⽐值为1:2的阿圆，⽤初中的知识解释就是存在恒成⽴的⼦母性相似！注意⼩细节：1.阿圆圆⼼与AB共线2.到哪个点近，阿圆圆⼼就在哪⼀侧,3.圆⼼绝不会在线段AB内图⽚图⽚记住⼦母相似的独特线段⽐值，共有线段平⽅等于另两线段积。
既然⽐值为定值，因此阿圆在问题中最常⽤到的就是转化线段（倍数关系）。
除了倍数关系之外，阿圆还有⼀个不太为⼈知的性质，恒有⾓平分线EF。
图⽚图⽚这⼀点可以通过第⼆性质的逆证明！图⽚图⽚刚说了阿圆最长⽤于，线段转化（倍数）。
学习任何模型，⾸先我们要学会识别模型，也就是这个模型有什么特点，阿圆问题（转化线段类）的特点：1.题中有⼀个圆（就是阿圆），圆上有⼀个动点2.此动点到两个点的距离，其中⼀段加权（加系数）3. 被转化的线段的端点（⾮动点），就是阿圆线段的⼀个端点，关键就是找到阿圆线段的另⼀个端点。
即可完成转化。
⼀般这样的题就是⽤阿圆做，阿圆做不了基本初中也就没法做了！当然两个线段都有系数，是可以转化为仅⼀个带系数的。
⼀个带系数也可以转化为另⼀个带系数的。
⽅法就是提公因式法，提系数。
应⽤题⼀：看题：图⽚这题就是加权线段差，熟悉最值问题其实思路不难想，我们之前做过加权线段和的⼏个模型。
加权线段和⼀般有胡不归（三⾓⽐转化系数），阿⽒圆（相似转化系数），加权费马点（固定三⾓形转化系数）。
所以基本就是这⼏种转化⽅向！先看⽅法⼀，图⾥有圆，⾃然联想阿⽒圆!! 使⽤阿⽒圆转化⽐值：⽅法⼀：图⽚想办法让这个圆成为阿⽒圆，以圆⼼为顶点构造⼦母相似即可！图⽚EA中点为F，蓝蓝相似， 这样构造圆就是线段FB的阿⽒圆，圆上任意⼀点到FB距离⽐为1:2.图⽚再构造⼀个：图⽚AG=⼆分之根2，红红相似，圆就是CG的阿⽒圆，圆上任意⼀点到CG的距离⽐都是？？？图⽚然后线段都转化到了PG,PF，利⽤三边关系，共线得最⼤值！图⽚图⽚应⽤题⼆：图⽚系数在PD，但是不⼀定必须转化PD，因为转化出根2 PD需要找到⼀点E，P到点E距离是到D 距离的根2倍，也就是动点到D近⼀些,到E远⼀些，看图中的圆的位置这是不可能的！图⽚那就转化PC，要找到阿圆线段的另⼀个端点⼀定在OC上，该点命名为M,则OM⽅=OP乘OC，易得OM长，M的位置确定了，剩下就好说了！图⽚图⽚图⽚图⽚图⽚应⽤题3：有了前两题的铺垫，这题就不细说了，⼤家⾃⼰试试吧！图⽚图⽚就直接转化PB：图⽚图⽚图⽚图⽚图⽚应⽤题四：这是⼀个证明，也算⼀个模型：图⽚图⽚也就是产⽣了阿圆，利⽤了⾓平分线的结论这个模型怎么记呢，就是，圆中做任意弦，做其垂径，过弦端点切线，切线与径交点，这个交点和垂径垂⾜连成此圆的阿圆线段。
初中阶段2个阿波罗尼斯圆的大题讲解学习
专题20 阿波罗尼斯圆1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝7，CA ＝9，⊙C 半径为3，P 为⊙C 上一动点，连结AP ，BP ，则13AP ＋BP 的最小值为 （ ） A . 7 B . 5 2 C . 4＋10 D . 2131．如图，在Rt △ABC 中，CB ＝4，CA ＝5，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，则AP ＋12BP 的最小值为__________．B2．如图，正方形ABCD 边长为22，内切圆O 上一动点P ，连接AP 、DP ，则AP +22PD 的最小值为______．DC BA3．如图，等边三角形ABC 边长为43，圆O 是△ABC 的内切圆，P 是圆O 上一动点，连接PB 、PC ，则P C B ABP ＋12CP 的最小值为______________．C B4．如图，在平面直角坐标系中，M (6，3)，N (10，0)，A (5，0)，点P 为以OA 为半径的圆O 上一动点，则PM ＋12PN 的最小值为_______________7．（2008江苏高考）如图，AC =2，BC =2AB ，则△ABC 面积的最大值为___________．CBA5．如图，∠AOB =90°，OA =OB =1，圆O 的半径为2，P 是圆O 上一动点，求P A +2PB 的最小值．B A PO6．已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是弧CD 上一点，求2P A +PB 的最小值．O DAB P C2．（2017•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC 于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．3．（2016•济南）如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若=，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．1．（2018•东台市一模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c（b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y=x+．（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB 和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；①探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；②试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．专题小结：所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．。
阿氏圆练习
A CB 路径与最值——“阿波罗尼斯圆”问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，12AP BP +的最小值为 。
2.在上题条件不变的情况下，请问13AP BP +的值为 。
3.已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是CD 上一点，求2PA ＋PB 的最小值。
4.如图，在△ABC 中，BC ＝4，AB ＝2AC ，则△ABC 的面积的最大值是 。
P5.如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形，B 的半径为2，P 是B 上一动点，则PD＋12PC 的的最小值为 。
6.如图，O ，POMO ＝2，90POM=∠，Q 为O 上一动点，则2PQ +的最小值为 。
7.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=，B 的半径为2，P 是B 上一动点，则PD ＋12PC 的的最小值为 。
8.如图，点C 坐标为（2，5），点A 的坐标为（7，0），CB 是在C 上的一动点，OB +的最小值是 。
CB如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （6，－1），M （4，4），以M 为圆心，圆，O 为原点，P 是M 上一动点，则2PO PA +的最小值为 。
在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内的一动点，且135BPA =∠，则2PD PC +的最小值是 。
如图，边长为4的正方形，内切圆记为O ，P 是O PB +的最小值是。
如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为O ，P 是O 上一动点，则2PB PC +的最小值为 。
AD如图，在△ABC 中，902B AB CB ∠===，，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P为圆B 上任意一动点，则PA +的最小值是 。
如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、 BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为AB 上一动点，PD +的最小值．在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝8，∠ABC ＝60，A 的半径为6，P 是圆A 上的动点，连接PB 、PC ，则32PC PB +的最小值为 。
初中阶段2个阿波罗尼斯圆的大题备课讲稿
学习资料阿波罗尼斯圆专题20，APC半径为3，P为⊙C上一动点，连结＝1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB7，CA ＝9，⊙1 ）（的最小值为，则BPAP ＋BP313 2D. 2 C. 4＋10 7 A. B. 5 APB C1BPBPAP，，则AP＋C＝4，CA＝5，⊙半径为2，P为圆上一动点，连结CB Rt1．如图，在△ABC中， 2 的最小值为__________．APCB2 ______AP+．PD的最小值为，连接O22．如图，正方形ABCD边长为2，内切圆上一动点P，AP、DP则2DA POCB，则PCPBOPABCO3边长为．如图，等边三角形3ABC4，圆是△的内切圆，是圆上一动点，连接、仅供学习与参考．学习资料1 ．的最小值为______________CPBP＋2A OPBC上一动点，则OOA(5，0)，点P为以为半径的圆，(64．如图，在平面直角坐标系中，M，3)，N(10，0)A1_______________的最小值为PM＋PN 2yPMOxAN，则△．ABC面积的最大值为___________（．2008江苏高考）BC如图，AC=2，=2AB7BACPB的最小值．2 +是圆O上一动点，求PA，，圆AOB5．如图，∠=90°，OA=OB=1O的半径为2P OPAB6．已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值．仅供学习与参考．学习资料CPADOB2）两点，4B（0，交于A（﹣4，﹣4），2．（2017?兰州）如图，抛物线y=﹣x++bxc 与直线ABAC轴交EF⊥x是直线C．点EAB上的动点，过点E作直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点．G于点F，交抛物线于点2的表达式；c+bx1）求抛物线y=﹣x+（的坐标；GEOB是平行四边形时，求点GGB（2）连接，EO，当四边形为F，H运动到什么位置时，以A，E，H（3）①在y轴上存在一点，连接EH，HF，当点E的坐标；，H顶点的四边形是矩形？求出此时点E它+CM为⊙E上一动点，求AM②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M的最小值．2y，与，0）x≠0）与轴交于点A（4y=ax．（2016?济南）如图1，抛物线x+（a+3）+3（a3于轴的垂线交直线AB作4），过点Exm（B，在x轴上有一动点Em，0）（0＜＜轴交于点．于点M作PM⊥ABP点N，交抛物线于点，过点P的函数表达式；AB1）求a的值和直线（的值；，求m，若C的周长为，△AEN的周长为C=2（）设△PMN21α0°＜（逆时针旋转得到）条件下，将线段2OE绕点OOE′，旋转角为α，在（）如图（32的最小值．E′BE′AE′BE′A）＜90°，连接、，求+仅供学习与参考．学习资料2两点，与Cx轴交于A、x++bxc（b东台市一模）如图，抛物线1．（2018?y=为常数）与﹣．y=x的函数关系式为y轴交于B点，直线AB+点坐标；）求该抛物线的函数关系式与C（1AB分别与直线上的一个动点，过点M作x轴的垂线l（（2）已知点Mm，0）是线段OA为底边的等腰三角形？m为何值时，△BDE恰好是以DE、和抛物线交于DE两点，当相应位置记MDE为底边的等腰三角形时，动点恰好是以（3）在（2）问条件下，当△BDE；之间）90°绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到OM′为点M′，将始终保持ON，无论如何旋转，、（①探究：线段OB上是否存在定点PP不与OB 重合）点坐标；若不存在，请说明理由；不变，若存在，试求出P）的最小值．②试求出此旋转过程中，+NB（NA所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿专题小结：波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．仅供学习与参考．。
苏科版初三阿波罗尼斯圆专项 含答案
阿波罗尼斯圆一、模型名称的由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B,则所有满足PA=k·PB(k1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
二、模型建立如图1所示，OO的半径为r,点A、B都在OO外，P为OO上一动点，已知r=k·OB,连接PA、PB,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2,在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时"PA+PC"值最小。
如图3三、“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心0(一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连）,即连接OB 、OP;第二步：计算出线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的k OB OP = 第三步：在OB 上取点C,使得OBOP OP OC =;(核心关键步骤） 第四步：连接AC,与OO 的交点即为点P【核心步骤另单独解析】回顾图2,在OB 上取点C 构建OBOP OP OC =的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。
阿波罗尼斯圆例题
阿波罗尼斯圆（Apollonian Circle）是一个由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的几何图形。
在这个轨迹中，一个点到两个定点的距离之比等于一个常数。
下面是一个关于阿波罗尼斯圆的例题：
在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D在BC上，且BD=2，求点D 到AC边的距离。
解法：
我们可以利用阿波罗尼斯圆的性质来解这个问题。
首先，我们以点A为圆心，以AC为半径画一个圆，与BC交于点D'。
根据阿波罗尼斯圆的定义，点D'到A的距离与到C的距离之比等于BC与BD'的距离之比，即：
$\frac{AD^{\prime}}{AC} = \frac{BC}{BD^{\prime}}$
由于AB=AC=5，BC=8，BD'=BC-BD=8-2=6，我们可以得到：
$\frac{AD^{\prime}}{5} = \frac{8}{6}$
解得：$AD^{\prime} = \frac{20}{3}$
然后，我们在△ABC中，利用面积相等的方法可以得到：
$\frac{AD^{\prime} \times AC}{2} = \frac{AB \times CD}{2}$
将上面求得的$AD^{\prime} = \frac{20}{3}$代入得：
$\frac{\frac{20}{3} \times 5}{2} = \frac{5 \times CD}{2}$
解得：$CD = \frac{20}{3}$
所以，点D到AC的距离为$\frac{20}{3}$。
(完整版)阿波罗尼斯圆问题
APB阿波罗尼斯圆问题一【问题背景】苏教版《数学必修2》P.112第12题：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．二、【阿波罗尼斯圆】公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB PA λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆， 后世称之为阿波罗尼斯圆．证：设PB PA m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ． 又设），（y x C ，则由PB PA λ=得2222)()(y m x y m x +-=++λ，两边平方并化简整理得）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1>λ时，22222222)1(4)11(-=-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，122-λλm 长为半径的圆．上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．三、【范例】例1 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是 ．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ，设），（y x C ，由BC AC 2=得2222121y x y x +-⋅=++）（）（，平方化简整理得88316222≤+--=-+-=）（x x x y ，∴22≤y ，则 22221≤⋅⨯=∆y S ABC ，∴ABC S ∆的最大值是22． 变式 在ABC ∆中，边BC 的中点为D ，若AD BC AB 2,2==，则ABC ∆的面积的最大值是 ．解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ， 由AD BC CD BD 2,==知，BD AD 2=，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为8322=+-y x ）（，设),(y x C ，BC 的中点为D 得)2,21(yx D +，所以点C 的轨迹方程为 8)2(32122=+-+y x ）（，即32522=+-y x ）（， ∴2432221=≤=⋅⨯=∆y y S ABC ，故ABC S ∆的最大值是24．例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．解：设(,)P x y =，整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心，为半径的圆上运动． 另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动，因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点，所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1 ，圆心在l 上.若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解： 设(),24C a a -，则圆方程为()()22241x a y a -+-+= 又设00(,)M x y ，2MA MO = ()22220000344x y x y ∴+-=+， 即()220014x y ++=这说明M 既在圆()()22241x a y a -+-+=上，又在圆()2214x y ++=上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切，2121∴-≤≤+，解得1205a ≤≤，即a 的取值范围是12[0,]5． 例4 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M . （1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k ，解得815k ±=，∴切线l 方程为24)y x -=-． （2）圆心到直线12-=x y r ，则9)5(2222=+=r∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x ，即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：[])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或，∴可以找到这样的定点R ，使得PRPQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)51,52(时，比值为310． 四、【练习】1．如图，在等腰ABC ∆中，已知AC AB =，)0,1(-B ，AC 边的中点为)0,2(D ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于 ．解：∵AD AB 2=，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其 方程为4)3(22=+-y x ，设),(y x C ，由AC 边的中点为)0,2(D 知),4(y x A --，所以C 的轨迹方程为4)()34(22=-+--y x ，即4)1(22=+-y x ，面积为π4．2．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与 平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，求PAB ∆的面积的最大值． 解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化 为平面内点P 所满足的几何条件．DA α⊥ DA PA ∴⊥,∴在PAD Rt ∆中, APAP AD APD 4tan ==∠， 同理8tan BC BPC BP BP∠==， APD BPC ∠=∠AP BP 2=∴ ，这样就转化为题3的题型．在平面α上,以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系，则)0,3(),0,3(B A -，设),(y x P 0)y =≠ 化简得:16)5(22=++y x ，2216(5)16y x ∴=-+≤，||4y ∴≤， PAB ∆的面积为1||||3||122PAB S y AB y ∆=⋅=≤，当且仅当5,4x y =-=±等号取得，则PAB ∆的面积的最大值是12．AP BDCβα3．圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PN PM ,（N M ,分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.解：以1O ，2O 的中点O 为原点，1O ，2O 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则)0,2(1-O ，,2(2O ，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ），则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，此即P 的轨迹方程.4．已知定点)0,0(O ，点M 是圆4)1(22=++y x 上任意一点，请问是否存在不同于O 的定点A 使都为MAMO常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标,若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的点),(n m A ，设),(y x M ，0>=λMAMO． 则λ=-+-+2222)()(n y m x y x ， 又),(y x M 满足4)1(22=++y x ，联立两式得0)3(32)222(222222=++-++-+n m y x m λλλλ ，由M 的任意性知⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-+0)3(3020222222222n m y m λλλλ，解得)0,3(A ，21=λ．。
阿氏圆模型专题训练(中考数学压轴热点)
C阿氏圆模型专题训练阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：已知平面上两定点A 、B ，则所有满足PA/PB=k(k 不等于1)的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造"斜A"型相似(也叫"母子型相似"或"美人鱼相似")+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
观察下面的图形，当P 在在圆上运动时，PA 、PB 的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。
解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△ABC 的边AC 上找一点D ，使得AD/AB=AB/AC ，则此时△ABD ∽△ACB 。
那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点.(1)求12AP BP +的最小值为(2)求13AP BP +的最小值为实战练习：1、已知⊙O 半径为1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为弧试求2PC PD +的最小值2、已知点A （4，0），B （4，4），点P 在半径为2的⊙O 上运动，试求12AP BP +的最小值y x O C B A P3、已知点A(-3,0)，B （0,3），C （1,0），若点P 为⊙C 上一动点，且⊙C 与y 轴相切， （1）14AP BP +的最小值; （2）PABS 的最小值.4、如图1，在平面直角坐标系xoy 中，半⊙O 交x 轴与点A 、B(2,0)两点，AD 、BC 均为半⊙O 的切线，AD=2，BC=7. (1)求OD 的长；（2）如图2，若点P 是半⊙O 上的动点，Q 为OD 的中点.连接PO 、PQ. ①求证：△OPQ ∽△ODP;②是否存在点P ，使2PD PC 有最小值，若存在，试求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 5、（1）如图1，已知正方形ABC 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC -的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么23PD PC +的最小值为 ；23PD PC -的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2.点P 是圆B 上的一个动点.那么12PD PC +的最小值为 ；12PD PC -的最大值为巩固练习：1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ﹦90°，CB ﹦4，CA ﹦6，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，12AP BP + 最小值为（ ）A 、37B 、6C 、217D 、4CBAP2、如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则22PA PC +的最小值是 ． CBAP3、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则32PB PD +的最小值为 ．CDAPE B4、在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是 ．y5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12 PD PC+的最小值和12PD PC-的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求23 PD PC+的最小值和23PD PC-的最大值．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求12 PD PC+的最小值和12PD PC-的最大值．图1 图2 图3套路总结阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：PC kPD+第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPmOD=；第四步：在OD上取点M，使得OMmOP=；第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．。
初中数学几何最值专题44：阿波罗尼斯圆问题(最全修正版)
阿波罗尼斯圆问题（阿氏圆）所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．【问题引入】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________；则PA+23PB 的最小值为__________；解析提示：解析提示：【问题分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可． 【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决． 【思考】分析解析提示2中原理EAB C DPMPDCBA【问题引入】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两，则2PM+PN的最小值为__________；则2PM+3PN的最小值为点，点P是圆C上一个动点，CM=1，CN=43__________；解析提示：解析提示：【问题分析】这个问题最大的难点在于转化2PM，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CM=1，连接CP，构造包含线段PM的△CMP，连接AP，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即2PM=PA．问题转化为PN+PA最小值，直接连AN即可．【问题剖析】（1）这里为什么是2PM？（2）如果问题设计为PM+kPN最小值，k应为多少？【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．【思考】分析解析提示2中原理【例题精讲】例1、如图，点A、B在圆O上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=4。
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专题20 阿波罗尼斯圆
1。
如图，在R ｔ△AB Ｃ中，∠ＡC Ｂ＝9０°,C Ｂ=７，ＣA ＝9,⊙C 半径为3，P 为⊙C 上一动点，连结ＡP ,BP ，则错误!AP +BP 得最小值为 ﻩ ( ）
A 、 7
B 、 ５错误!
C 、 4+错误!
D 、 2错误!
1
CB =4,C Ａ＝５，⊙C 半径为2，Ｐ为圆上一动点,连结AP ，ＢＰ，则A Ｐ＋＼f （1，2）＿＿___.
２．如图,正方形A ＢCD 边长为2错误!，内切圆O 上一动点P ，连接AP 、ＤP ，则ＡＰ+错误!PD 得最小值为＿＿____。
3．如图，等边三角形A ＢC 边长为4错误!，圆O 就是△ABC 得内切圆，P 就是圆O 上一动点，连接ＰB 、PC ,则BP ＋＼f （1,2）CP 得最小值为____________＿_.
４.如图，在平面直角坐标系中,M (６,３）,N （１0，０），A （5，0）,点P 为以OA 为半径得圆O 上一动点，
则PM +12
PN 得最小值为＿_＿___＿________
7．(20０８江苏高考）如图，ＡC ＝2，BC =＼R (,２）ＡＢ，则△A ＢC 面积得最大值为＿______＿＿__.
５。
如图,∠AO Ｂ=90°，OA =O Ｂ=１,圆O 得半径为错误!,Ｐ就是圆Ｏ上一动点，求ＰA +错误!PB 得最小值．
６。
已知扇形COD 中,∠CO Ｄ＝９0°，ＯC ＝6,O Ａ=3,OB =5,点P 就是弧ＣD 上一点，求2P A ＋ＰB 得最
B
小值。
2。
(2017•兰州）如图,抛物线y=﹣ｘ2＋ｂx＋c与直线AB交于Ａ（﹣4,﹣4)，B（０，4）两点，直线AＣ:y=﹣ｘ﹣6交y轴于点C.点E就是直线AＢ上得动点,过点Ｅ作EF⊥ｘ轴交AC 于点Ｆ,交抛物线于点G．
（1)求抛物线ｙ=﹣x２+bx+c得表达式;
（2）连接GＢ，ＥO，当四边形GEOＢ就是平行四边形时,求点G得坐标；
（3)①在y轴上存在一点H,连接EＨ，HF,当点E运动到什么位置时，以Ａ,Ｅ，Ｆ,H为顶点得四边形就是矩形？求出此时点E,Ｈ得坐标;
②在①得前提下,以点Ｅ为圆心,EH长为半径作圆,点Ｍ为⊙E上一动点，求ＡＭ+CM它得最小值．
3.(２０１6•济南）如图1,抛物线y＝ａx2+（a+３)x+３（a≠0）与x轴交于点A（4,0)，与y 轴交于点B，在x轴上有一动点Ｅ(ｍ,0）(０<m〈4），过点E作x轴得垂线交直线AB于点N，交抛物线于点Ｐ，过点P作ＰM⊥AＢ于点M.
（１）求a得值与直线AＢ得函数表达式；
(2)设△PMN得周长为C１，△AEN得周长为Ｃ2,若=,求m得值；
（3）如图２，在(2）条件下，将线段OE绕点Ｏ逆时针旋转得到ＯＥ′,旋转角为α（0°＜α＜90°)，连接Ｅ′A、E′Ｂ，求E′A＋E′Ｂ得最小值。
1。
（2018•东台市一模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c(b为常数)与x轴交于Ａ、C两点，与y轴交于B点，直线AB得函数关系式为y=x+.
（１)求该抛物线得函数关系式与C点坐标;
（2)已知点Ｍ(m，0）就是线段OA上得一个动点,过点M作x轴得垂线l分别与直线ＡB与抛物线交于D、E两点，当ｍ为何值时，△BDE恰好就是以DE为底边得等腰三角形？
（3)在(2)问条件下，当△BDE恰好就是以DＥ为底边得等腰三角形时,动点M相应位置记为点M′,将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在０°到９０°之间)；
①探究：线段OB上就是否存在定点Ｐ(P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变,若存在，试求出Ｐ点坐标;若不存在，请说明理由；
②试求出此旋转过程中，（ＮA+NB）得最小值.
专题小结:所谓阿圆,就就是动点到两定点距离之比为定值,那么动点得轨迹就就是圆,这个圆,称为阿
波罗尼斯圆,简称为阿圆.其本质就就是通过构造母子相似,化去比例系数,转化为两定一动将军饮马
型求最值,难点在于如何构造母子相似.。