2010年考研农学数学真题及参考详细答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) 1. （10年，4分） 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A ) 1. (B ) e . (C ) a be -. (D ) b ae-.【考查分析】“1∞”型极限的计算. 【详解】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2lnlim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim lnx x x x a x b e→∞⋅-+=,其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).2. （10年，4分） 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A ) x . (B ) z . (C ) x -. (D ) z -. 【考查分析】隐函数偏导数的计算. 【详解】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''．选（B ）. 3. （10年，4分） 设,m n 是正整数,则反常积分()20ln 1mnx dx x-⎰的收敛性 ( )(A ) 仅与m 的取值有关. (B )仅与n 的取值有关.(C ) 与,m n 取值都有关. (D ) 与,m n 取值都无关. 【考查分析】判断反常积分的敛散性. 【详解】0x =与1x =都是瑕点.应分成()()()22211212ln 1ln 1ln 1mm mnnnx x x xxx---=+⎰⎰,用比较判别法的极限形式,对于()2120ln 1m nx x-,由于121012[ln (1)]lim 1mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim m x nx x+→-存在,此时()2120ln 1m n x x -实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,dx 总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).【评注】(1)当210m m-≥时，⎰是定积分.(2) 0,0αβ∀>>,有lim ln 00x x x βα+=→. 4. （10年，4分） ()()2211limnnn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A )()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B ) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C )()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D ) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. 【考查分析】利用积分和式求极限. 【详解】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n jn i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. 【评注】本题易认为是二重积分或误认为逐次极限.实际上,对i 求和时与j 无关,对j 求和时与i 无关,所以这是一道两个和得乘积的极限题.5. （10年，4分） 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A ) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B ) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C ) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D ) 秩()r A n =,秩()r B n =. 【详解】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A .6. （10年，4分） 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A ) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B ) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C ) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D ) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【考查分析】对称矩阵相似于对角矩阵.【详解】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0.由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 【评注】看清题目,说清每个已知条件的作用.即可得出结论.7. （10年，4分） 设随机变量X 的分布函数0,01(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A ) 0. (B )12. (C ) 112e --. (D ) 11e --. 【考查分析】本题主要考查分布函数的概念及随机事件概率的计算.已知分布函数,【详解】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C). 【评注】已知分布函数,求随机事件的概率是基本题,但需注意题中的随机变量既不是离散型也不是连续型.由于分布函数在1x =处不连续,故利用{1}(1)(10)P X F F ==--来计算.8. （10年，4分） 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A ) 234a b +=. (B ) 324a b +=. (C ) 1a b +=. (D ) 2a b +=. 【详解】根据题意知,()2212x f x e π-=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) 9. （10年，4分） 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == . 【详解】因为 ()()22ln 1ln 1tttdy t e dx e -+==-+-,()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx == 10. （10年，4分）2π=⎰.【考查分析】用变量变换与分部计算定积分.【详解】t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法,原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.11. （10年，4分） 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.【详解】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()01221011x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122x x dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12. （10年，4分） 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .【详解】()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdzdxdydz d rdr dzd r rdrππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r drπθπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. 13. （10年，4分） 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = . 【详解】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.14. （10年，4分） 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = . 【考查分析】随机变量的数学期望,方差.泊松分布的期望,方差. 【详解】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 【评注】22()EX DX EX =+,所以应求X 的期望与方差,而X 的分布{},0,1,2,!CP X k k k === 的C 是待定常数.不难看出这是一个泊松分布. 三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. （10年，10分）(本题满分10分)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． 【考查分析】求常系数线性非齐次微分方程的通解. 【详解】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． 16. （10年，10分）(本题满分10分)求函数()()2221x t f x x t e dt -=-⎰的单调区间与极值.【考查分析】对变限求导数,划分单调区间,求极值. 【详解】 因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt x e dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .【评注】(1)求()f x 的单调性区间就是求()f x '的正负号区间.增减或增减区间的分界点就是极值点.上述方法就是求出()f x ',然后分出()f x '的正负号区间,从而得到()f x 的增减区间,相应地得到()f x 的极值点.这里就不必去求驻点处得()f x ''.(2)若题目只要求()f x 的极值,我们也可以221()2x t f x x e dt -'=⎰后,解得驻点0x =,1x =±,然后再求驻点处的二阶导数.由于201(0)20t f e dt -''=<⎰,⇒11(0)(1)2f e -=-为极大值.由于1(1)40f e -''±=>,⇒(1)0f ±=为极小值.17. （10年，10分）(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. 【详解】(I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()1111001ln ln ln 1nnn t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.18. （10年，10分）(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.【考查分析】求幂级数的收敛域及和函数. 【详解】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++,所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-. (II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-,故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.【评注】幂函数在收敛域上可以逐项积分,但逐项求导只能先在收敛区间进行.在逐项求导后，在另行讨论端点处是否成立。
2010年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数 学（一）一．选择题：1 - 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1)极限2lim ()()()x x x x a x b ®¥=-+(A)1(B)e(C)a be -(D)b ae -【答】 应选 (C) .【解】 因22ln ln()ln()lim ln()lim()()1/x x x x x x a x b x a x b x®¥®¥---+=-+()()()3222112=lim lim 1x x a b x abx x x a x b a b x x a x b x ®¥®¥---+-+==--+-，所以2lim (()()x a x b x x a x b e ®¥-=-+，故选 (C) .(2)设函数(,)z z x y =由方程(,0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F ¢¹，则z z x y x y ¶¶+=¶¶(A)x (B)z (C)x -(D)z-【答】 应选 (B) .【解】 在方程两边分别对x 和对y 求偏导，得122211()0y z F z F x x x x ¶¢¢-+-=¶，12110z F F x x y¶¢¢+=¶于是有 22()z z x y F zF x y ¶¶¢¢+=¶¶， 即z zx y z x y ¶¶+=¶¶，故选 (B) .(3)设,m n均是正整数，则反常积分ò的收敛性(A)仅与m 的取值有关(B)仅与n 的取值有关(C)与,m n 的取值都有关(D)与,m n 的取值都无关【答】 应选 (D) .【解】 显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1x x ==，于是需分成两个积分加以考察：dx =+ò(1)对于，易见被积函数非负，且只在0x +®时无界，于是当1n >时，由+0lim 0x®=及120ò收敛，知收敛；当1n=时12/1mx-:及212101mdx x-ò收敛，知收敛；(2)对于，易见被积函数非负，且只在1x -®时无界，于是当1m >时，由11lim lim 0x x --®®==及1收敛，知 收敛；当1m =时，由21/211ln (1)lim lim 0(1)x x x x ---®®-==-及212101m dx x -ò收敛，知收敛；由此可见，无论正整数,m n如何取值，0ò都是收敛的，故选 (D) .(4) 2211lim()()n nn i j nn i n j ®¥===++åå (A) 12001(1)(1)x dx dy x y ++òò(B)1001(1)(1)xdx dy x y ++òò(C) 11001(1)(1)dx dyx y ++òò(D) 112001(1)(1)dx dyx y ++òò【答】 应选 (D) .【解】 记21(,)(1)(1)f x y x y =++，(){},y 01,01D x x y =££££，知(,)f x y 在D 上可积. 用直线()0,1,2,,i i x x i n n ===L 与()0,1,2,,j j y y j n n===L 将D 分成2n等份，可见22221111211()()(1)(1)n n n ni j i j n i j n i n j n n n=====×++++åååå是(,)f x y 在D 上的二重积分的一个和式，于是112222001111lim ()()(1)(1)(1)(1)nnn i j Dn dxdy dx dy n i n j x y x y ®¥====++++++ååòòòò.故选 (D) . (5)设A 为m n ´矩阵，B 为n m ´矩阵，E 为m 阶单位矩阵. 若AB E =，则(A)秩()r A m =，秩()r B m =(B)秩()r A m =，秩()r B n =(C)秩()r A n =，秩()r B m =(D)秩()r A n =，秩()r B n=【答】 应选 (A) .【解】 因A 是m n ´矩阵，故()r A m £，又()()()r A r AB r E m ³==，故()r A m =. 同理，可得()r B m =，故选 (A) .(6)设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=. 若A 的秩为3，则A 相似于(A) 1110æöç÷ç÷ç÷ç÷èø(B) 1110æöç÷ç÷ç÷-ç÷èø(C) 1110æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø(D) 1110-æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø【答】 应选 (D) .【解】 设l 为A 的特征值，则由2A A O +=知2+=0l l ，即=0l 或1-. 又因A 是实对 称矩阵，故A 必相似于对角矩阵L ，其中L 的对角线上的元素为特征值1-或0. 再由()3r A =可知()3r L =，故选 (D) .(7)设随机变量X 的分布函数0,0,1(),01,21,1xx F x x e x -<ìïï=£<íï-³ïî则{1}P X ==(A)0 (B)12(C)112e --(D)11e--【答】 应选 (C) .【解】 由分布函数的用途，知{1}(1)(1)P X F F -==-1111122e e --=--=-. (8)设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(0,0)(),0af x x f x a b bf x x £ì=>>í>î为概率密度，则,a b 应满足(A)234a b +=(B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=【答】 应选 (C) .【解】 由题意，有221()x f x -=，21/4,(1,3)()0x f x Î-ì=íî，其他，()1f x dx +¥-¥=ò而0120()()()f x dx af x dx bf x dx +¥+¥-¥-¥=+òòò()3201=2a b f x dx +ò13=24a b +，于是有13124a b +=，即234a b +=. 故选 (C) .二、填空题：9:14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设20,ln(1),t tx e y u du -ì=ïí=+ïîò则220t d y dx == .【答】 应填 0.【解】 因2/ln(1)=/t dy dy dt t dx dx dt e -+=-, 22222ln(1+)12=[][ln(1)]/1t td y d t te t dx dt e dx dt t -=++-+， 故2020t d ydx==.(10)2p =ò.【答】 应填 4p -.【解】t =，则2dx tdt =，于是有2220002cos 2sin 4sin 4cos 4cos 4.t tdt t tt tdt t tdt p pppp p p ==-=-=-òòòò(11)已知曲线L 的方程为1||([1,1])y x x =-Î-，起点是(1,0)-，终点为(1,0)，则曲线积分2Lxydx x dy +=ò.【答】 应填 0.【解法一】 补有向线段:0([1,1])L y x =Î-，起点为(1,0)，终点为(1,0)-，设由L 与L 围成的平面区域为D ，则利用格林公式及区域D 关于y 轴的对称性，得222(2)00LDL LLxydx x dy xydx x dy xydx x dy x x dxdy ++=+-+=---=òòòòò【解法二】 记1:1([1,0])L y x x =+Î-，起点是(1,0)-，终点是(0,1)；2:1([0,1])L y x x =-Î， 起点为(0,1)，终点为(1,0)有12222+LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy+=++òòò 012210=[(1)][(1)]x x x dx x x x dx -+++--òò1212=()(02323-++-=.(12)设22{(,,)|1}x y z x y z W =+££，则W 的形心的竖坐标z = .【答】 应填23.【解】 记(){}22,y 1D x x y =+£，有221x y Ddxdydz dxdy dz +W=òòòòòò22=(1)Dx y dxdy --òò212=(1)d r rdr p q -òò=2p，2212122240011[1()]=(1)223x yDD zdxdydz dxdy zdz x y dxdy d r rdr p p q +W==-+-=òòòòòòòòòò， 从而W 的形心的竖坐标为23DDzdxdydzz dxdydz==òòòòòò. (13)设1(1,2,1,0)Ta =-，2(1,1,0,2)Ta =，3(2,1,1,)Ta a =. 若由123,,a a a 生成的向量空间的维数为2，则a = .【答】 应填 6.【解】 因由123,,a a a 生成的向量空间的维数为2，故矩阵()123,,a a a 的秩为2，而()123112112211013,,=101006020000a a a a æöæöç÷ç÷ç÷ç÷®ç÷ç÷--ç÷ç÷èøèø，故6a =.(14)设随机变量X 的概率分布为{},0,1,2,!CP X k k k ===L ，则2EX =.【答】 应填 2.【解】 由概率分布的性质，有{}01k k P X x ¥===å，即01!k Ck ¥==å，亦即1Ce =，1C e -=.由此可见，X 服从参数为1的泊松分布，于是22()112EX DX EX =+=+=.三、解答题（ 15 ～ 23小题，共94分.）(15)（本题满分10分）求微分方程322xy y y xe ¢¢¢-+=的通解.解：对应齐次方程320y y y ¢¢¢-+=的两个特征根为121,2r r ==，其通解为212x x Y C e C e =+.……4分设原方程的特解形式为*()x y x ax b e =+，则*2((2))xy ax a b x b e ¢=+++，*2((4)22)x y ax a b x a b e ¢¢=++++，代入原方程解得1,2a b =-=-，……8分 故所求通解为212(2)x x xy C e C e x x e=+-+ ……10分(16)（本题满分10分）求函数2221()()x t f x x t e dt -=-ò的单调区间与极值.解： ()f x 的定义域为(,)-¥+¥，由于2222211()x x t t f x xe dt te dt --=-òò，2224423311()2222xxt x x t f x x e dt x ex ex e dt ----¢=+-=òò，所以()f x 的驻点为0,1x =± ……3分列表讨论如下：x (,1)-¥-1-(1,0)-0 (0,1) 1 (1,)+¥()f x ¢-0 +0 -0 +()f x ↘极小↗极大↘极小↗……6分因此，()f x 的单调增加区间为(1,0)-及(1,)+¥，单调减少区间为(,1)-¥-及(0,1)；极小值为(1)0f ±=，极大值为21101(0)(1)2t f te dt e --==-ò……10分(17)（本题满分10分） (I)比较1|ln |[ln(1)]nt t dt +ò与1|ln |(1,2,)ntt dt n =òL 的大小，说明理由；(II)记1|ln |[ln(1)](1,2,)n n u t t dt n =+=òL ，求极限lim n n u ®¥.解：（I ）当01t ££时，因为ln(1)t t +£，所以|ln |[ln(1)]|ln |n n t t t t +£，因此11|ln |[ln(1)]|ln |n n t t dt t t dt+£òò ……4分（II ）由 (I) 知，110|ln |[ln(1)]|ln |n n n u t t dt t t dt £=+£òò.因为1112011|ln |ln 1(1)n n n t t dt t tdt t dt n n =-==++òòò，所以1lim|ln |0nn tt dt ®¥=ò ……8分 从而 lim 0n n u ®¥=……10分(18)（本题满分10分） 求幂级数121(1)21n nn x n -¥=--å的收敛域及和函数. 解：记12(1)()21n nn u x x n --=-， 由于221()21lim lim ()21n n n nu x n x x u x n +®¥®¥-==+，所以当21x <，即||1x <时，1()n u x ¥=å绝对收敛，当||1x >时，1()n u x ¥=å发散，因此幂级数的收敛半径1R =……3分当1x =±时，原级数为11(1)21n n n -¥=--å，由莱布尼茨判别法知此级数收敛，因此幂级数的收敛域为[1,1]-……5分设1211(1)()(11)21n n n S x x x n -¥-=-=-££-å，则122211()(1)1n n n S x x x ¥--=¢=-=+å，又(0)0S =，故201()arctan 1xS x dt x t==+óôõ， ……8分 于是121(1)()arctan ,[1,1]21n nn x xS x x x x n -¥=-==Î--å ……10分(19)（本题满分10分）设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=的动点，若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直，求点P 的轨迹C ，并计算曲面积分I S=，其中S 是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.解： 椭球面S 上点(,,)P x y z 处的法向量是{2,2,2}n x y z z y =--r， ……2分点P 处的切平面与xOy 面垂直的充要条件是0({0,0,1})n k k ×==r r r，即20z y -=所以点P 的轨迹C 的方程为222201z y x y z yz -=ìí++-=î，即2220314z y x y -=ìïí+=ïî ……5分取223{(,)|1}4D x y x y =+£，记S 的方程为(,),(,)z z x y x y D =Î，==，所以DI =óóôôôôõõ(D x dxdy =+òò ……8分2Ddxdy p== ……10分(20)（本题满分11分） 设1101011A l l l æöç÷=-ç÷ç÷èø，11a b æöç÷=ç÷ç÷èø. 已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，（I ）求,a l ； （II ）求方程组Ax b =的通解.解：（I ）设12,h h 为Ax b =的2个不同的解，则12h h -是0Ax =的一个非零解， 故2||(1)(1)0l l =-+=A ，于是1l =或1l =- ……4分当1l =时，因为()()r A r A b ¹M ，所以Ax b =无解，舍去. 当1l =-时，对Ax b =的增广矩阵施以初等行变换，有1111013/2()02010101/211110002a A b B a æ-öæ-öç÷ç÷=-=-=ç÷ç÷ç÷ç÷-+èøèøM .因为Ax b =有解，所以2a =- ……8分（II ）当1l =-，2a =-时，1013/20101/20000B æ-öç÷=-ç÷ç÷èø，所以x =A b 的通解为31110201x k æöæöç÷ç÷=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø，其中k 为任意常数. ……11分(21)（本题满分11分） 已知二次型123(,,)Tf x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +，且Q 的第3列为,0,22T. （I ）求矩阵A ；（II ）证明A E +为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵.解：（I ）由题设，A 的特征值为1,1,0,且(1,0,1)T为A 的属于特征值0的一个特征向量.……3分 设123(,,)Tx x x 为A 的属于特征值1的一个特征向量，因为A 的属于不同特征值的特征向量正交，所以1231(,,)001x x x æöç÷=ç÷ç÷èø，即130x x +=.取,0,22T æö-ç÷ç÷èø，(0,1,0)T 为A 的属于特征值1的两个正交的单位特征向量 ……6分令022010022Q æöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷-ç÷èø，则有110T Q AQ æöç÷=ç÷ç÷èø，故1101112020101T -æöæöç÷ç÷==ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøA Q Q . ……9分评分说明：求出满足条件的一个矩阵A ，即可给9分.（II ）由（I ）知A 的特征值为1,1,0，于是A E +的特征值为2，2，1，又A E +为实对称矩阵，故A E +为正定矩阵.……11分(22)（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,),,x xy y f x y Ae x y -+-=-¥<<+¥-¥<<+¥，求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x .解：因2222()(,)x xy y X f x f x y dy A edy +¥+¥-+--¥-¥==òò22()y x x A e dy+¥----¥=ò222(),x y x x Aeedy x +¥-----¥==-¥<<+¥ò，……4分所以21()x X f x dx e dx A p +¥+¥--¥-¥===ò，从而 1A p=……7分当(,)x Î-¥+¥时，22222|1(,)(|)1()x xy y Y X x X ef x y f y x f x p-+--==222x xy y -+-=2(),x y y --=-¥<<+¥ ……11分(23)（本题满分11分）设总体X 的概率分布为X 1 2 3p1q-2q q -2q其中参数(0,1)q Î未知.以i N 表示来自总体X 的简单随机样本（样本容量为n ）中等于i 的个数（1,2,3i =）.试求常数123,,a a a ，使31i ii T a N==å为q 的无偏估计量，并求T 的方差.解: 记11p q =-，22p q q =-，23p q =. 由于(,),1,2,3i i N B n p i =:，故i iEN np = ……4分 于是22112233123[(1)()]ET a EN a EN a EN n a a a q q q q =++=-+-+ ……6分为使T 是q 的无偏估计量，必有22123[(1)()]n a a a q q q q q -+-+=，因此12132010a a a n a a =ìïï-=íï-=ïî，……8分由此得 12310,a a a n===……9分由于123N N N n ++=，故123111()()1N T N N n N n n n =+=-=-.注意到1~(,1)N B n q -，故1221(1)(1)n DT DN n n nq q q q --=== ……11分。
考研数学高数部分试卷与解答2010
《考研数学试卷》2010高数部份一、填空题[2010.农9.4]lim xx x x a →∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭a e [2010.二10.4]曲线3221x y x =+的渐近线方程为2y x =[2010.农10.4]曲线222sin cos x xy x x +=-的水平渐近线方程为y =2-[2010.二11.4]函数()ln 12y x =-在0x =处的n 阶导数()()0n y=()21!n n -⋅-[2010.一.9.4]设()20ln 1ttx e y u du-⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰，则220t d y dx ==0 [2010.三9.4]设可导函数()y y x =由方程220sin x yxt e dt x t dt +-=⎰⎰确定，则x dydx==1-[2010.三12.4]若曲线321y x ax bx =+++有拐点()1,0-，则b =3[2010.一.10.4]2π=⎰4π-[2010.三10.4]设位于曲线()y e x =≤<+∞下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为24π[2010.二12.4]当0θπ≤≤时，对数螺线r eθ=)1e π-[2010.二13.4]已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加，当12,5x m y m ==时，其对角线增加的速率为3/cm s[2010.农11.4]已知一个长方形的长x 以0.2/m s 的速率增加，宽y 以0.3/m s 的速率增加，当12,5x m y m ==时，其面积的增加速率为24.6/m s[2010.农12.4]函数1x y z y-=在点()1,e 处的全微分()1,e dz =2dx e dy -+[2010.一.12.4]设(){}22,,1x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心的竖坐标z =23[2010.一.11.4]已知曲线[]():11,1L y x x =-∈-，起点是()1,0-，终起点是()1,0，则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰[2010.三11.4]设某商品的收益函数为()R p ，收益弹性为31p +，其中p 为价格，且()11R =，则()R p =()3113p pe-[2010.二9.4]3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为2123cos sin x y c e c x c x =++二、单项选择题 [2010.三1.4]若011lim 1x x a e x x→⎡⎤⎛⎫--=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则a =（C ）A.0B. 1C. 2D. 3[2010.一.2.4]极限()()2lim xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭（C ）A. 1B. eC. a be- D. b ae-[2010.三4.4]设()()()1010ln ,,xf x xg x xh x e ===，则当x 充分大的时候有（C ）A. ()()()g x h x f x <<B. ()()()h x g x f x <<C. ()()()f x g x h x <<D. ()()()g x f x h x <<[2010.农1.4]设函数()()()33x e e f x x x e -=--，则（C ）A. 3x =及x e =都是()f x 的第一类间断点B. 3x =及x e =都是()f x 的第二类间断点C. 3x =是()f x 的第一类间断点，x e =是()f x 的第二类间断点D. 3x =是()f x 的第二类间断点，x e =是()f x 的第一类间断点[2010.二1.4]函数()f x =的无穷间断点的个数为（B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无穷多个[2010.二3.4]曲线2y x =与曲线()ln 0y a x a =≠相切，则a =（C ）A. 4eB. 3eC. 2eD. e [2010.农2.4]曲线()24xy x =-的凸弧区间是（A ）A. (),8-∞-B.()8,4--C. ()4,4-D. ()4,+∞ [2010.三3.4][2010.农3.4]设函数()(),fx g x 具有二阶导数，()()()00,0,0g x a g x g x '''==<，则()()f g x 在0x 点取极大值的一个充分条件是（B ）A. ()0f a '<B. ()0f a '>C. ()0f a ''<D. ()0f a ''>[2010.一.3.4][2010.二4.4]设,m n 均是正整数，则反常积分10的收敛性（D ）A. 仅与m 的取值有关B. 仅与n 的取值有关C. 与,m n 的取值都有关D. 与,m n 的取值都无关 [2010.一.2.4][2010.二5.4]设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂（B ） A. x B. z C. x - D. z - [2010.一.4.4][2010.二6.4]()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑（D ） A. ()()1200111xdx dy x y ++⎰⎰ B. ()()100111xdx dy x y ++⎰⎰ C.()()11111dx dy x y ++⎰⎰D. ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰[2010.农 4.4]设函数()f x 在区间[]0,1上连续，()01f x <<，且()112f x dx<⎰，记()()()()()1111112300000,1,I dxdyI f x f ydxdy I f x fy dxdy ==-=⎰⎰⎰⎰⎰，则（D ）A. 123I I I <<B. 132I I I <<C. 213I I I <<D. 321I I I << [2010.二2.4][2010.三2.4]设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数,λμ使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次微分方程的解，则（A ）A. 11,22λμ== B. 11,22λμ=-=- C.21,33λμ== D. 22,33λμ==三、 解答题[2010.三15.9]求极限11ln lim 1xxx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭解 因为()ln ln ln 2ln ln ln 11ln 1ln lim lim lim ln 11x x x x x x x x x x x x x e e x xe x x x e x e →∞→∞→∞⎛⎫- ⎪--⎝⎭=⋅=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而ln 1lim lim 0x x x x x →+∞→+∞==，故ln ln ln 11ln limlim lim 1ln ln x x xx x x x e x e xx →∞→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⋅=- 所以11ln 1lim 1xxx x e -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭[2010.农15.10]设函数()ln tan cos 22x x f x e x -=+，求2f π⎛⎫'' ⎪⎝⎭解 ()()csc cos 22sin 2xf x x ex x -'=-+()()cot csc 4sin 23cos 2xf x x x e x x -''=-+-，232f e ππ-⎛⎫''= ⎪⎝⎭[2010.农19.10]证明：111x e x +⎛⎫+> ⎪⎝⎭证 设()()()11ln 11ln 1ln x f x x x x x +⎛⎫=+=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭则()()111ln 1ln ln 10f x x x x x x⎛⎫'=+--=+-< ⎪⎝⎭，从而()f x 在定义域内单调减少又()11lim lim ln 1ln 1x x x f x e x +→+∞→+∞⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，从而()1f x >，即111x e x +⎛⎫+> ⎪⎝⎭[2010.二21.10]设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且()()100,13f f ==，证明：存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()22f f ξηξη''+=+ 证 设函数()()313F x f x x =-则由题意知，()()00,10F F ==，()F x 在110,,,122⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上均满足拉格朗日中值定理条件，从而()()()2111100,0,2222F F F f ξξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''⎡⎤-=-=-∈⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2111111,0,2222F F F f ηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫''⎡⎤-=-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，得()()()()221110022F F f f ηηξξ''⎡⎤⎡⎤-=-+-=⎣⎦⎣⎦ 即存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()22f f ξηξη''+=+ [2010.一.17.10][2010.二16.10][2010.三18.10]（1）比较积分()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与()1ln 1,2,n t t dt n =⎰ 的大小，说明理由；（2）记()()1l n l n 11,2,nn u t t d t n =+=⎡⎤⎣⎦⎰ ，求极限lim n n u →∞。
2010年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数一试题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，把所选项前的字母填在答题纸指定的位置上）（1）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（ ） （A ）1 （B ）e （C ） a b e - （D ）b a e -（2）设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠。
则z zx y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）x （B ）z （C ）x - （D ）z - （3）设m 、n为正整数，则反常积分0⎰的收敛性（ ）（A ）仅与m 有关 （B ）仅与n 有关 （C ）与 m 、n 都有关 （D ）与 m 、n 都无关 （4）2211lim ()()nnn i j nn i n j →∞===++∑∑（ ） （A ）1201(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（B ）11001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰ （C ）101(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰（D ）112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰（5）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且AB E =，其中E 为m 阶单位矩阵，则（ ）（A ）()()R A R B m == （B ）()R A m =，()R B n = （C ）()R A n =，()R B m = （D ）()()R A R B n ==（6）设A 是4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若()3R A =，则A 相似于（ ）（A ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （C ）1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （D ）1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（7）设随机变量X 的分布函数为0,011(),02211,2x x F x x e x -⎧⎪<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，则{1}P X ==（ ）（A ）0 （B ）12 （C ）112e -- （D ）11e -- （8）设1()f x 为标准正态分布的概率密度函数，2()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度函数，若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（0a >，0b >），则a ，b 满足（ ）（A ）234a b += （B ）324a b += （C ）1a b += （D ）2a b +=二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上）（9）设20ln(1)ttx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰，则220t d y dx ==（10）0π=⎰（11）已知曲线L 的方程为1y x =-（11x -≤≤），起点为(1,0)-，终点为(1,0)，则2Lxydx x dy +=⎰（12）设22{(,,)1}x y z x y z Ω=+≤≤，则Ω的形心坐标z =（13）若11210α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，21102α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3211a α⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若由123,,ααα形成的向量组的秩为2，则a =（14）设随机变量X 的分布为{}!CP X k k ==（0,1,2,...k =），则2EX = 三、解答题（15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上。
2010年考研农学数学试题及参考答案
2010年考研农学数学试题及参考答案一、 选择题1、设函数3()(3)()x e e f x x x e -=--，则（ C ）A. 3x =及x e =都是()f x 的第一间断点B. 3x =及x e =都是()f x 的第二间断点C. 3x =是()f x 的第一间断点，x e =是()f x 的第二间断点D. 3x =是()f x 的第二间断点，x e =是()f x 的第一间断点【详解】3333lim lim (3)()(3)()3x x x x e e e e x x e x x e e →→-==---+--，而函数在3x =点没有定义，为第一类可去间断点；又3lim (3)()x x e e e x x e →-=∞--，函数在x e =点为第二类无穷间断点。
2、曲线2(4)xy x =-的凸弧区间是（ ） A.(,)-∞+∞B. (8,4)--C. (4,4)-D. (4,)+∞【详解】2434(4)2(4)42(8)(4)(4)(4)x x x x x y y x x x ---++'''==-⇒=--- 3、设函数(),()f x g x 具有二阶导数，且"()0g x <，若0()g x a =是()g x 的极值，则(())f g x 在0x 取极大值的一个充分条件是 （B ）A. '()0f a <B. '()0f a >C. "()0f a <D. "()0f a >【详解】[][][](())(())(),(())(())()(())()()()(())f g x f g x g x f g x f g x g x f g x g x g x g x f g x '''''''''''''''===+于是，因为0()0g x '=，则0(())0f g x '⇒>既可满足条件[]0(())0f g x ''<，在0x 取极大值。
2010年考研数学一真题和参考答案
2010考研数学（一）真题和参考答案一、选择题 （1）、极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎛⎫=⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x xx x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bxe ex a x b ee e ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞-⎛⎫== ⎪-+⎝⎭===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z z xy u y∂∂+=∂∂（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ''''''+++++=，所以有，1212xx z z Fu F v z x Fu F v ''+∂=-''∂+，1212y yz zFu F v z y Fu F v ''+∂=-''∂+， 其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x =，代入即可。
（3）、设,m n 是正整数，则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性( D )(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 有关(C)与,m n 都有关 (D)都无关 【详解】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有222111212ln (1)ln (1)ln (1)mmmnnnx x x dx dx dx xxx---=+⎰⎰⎰对于2120ln (1)m nx dx x-⎰的瑕点0x =，当0x +→时212ln (1)ln (1)mmn nx x x x--=-等价于221(1)m m nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故2120ln (1)mn x dx x -⎰收敛；对于2112ln (1)m n x dx x -⎰的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2ln (1)2(1)m n m n m n x x x x -<-<-，而2112(1)m x d x -⎰显然收敛，故2112ln (1)mnx dx x-⎰收敛。
2010全国研究生入学考试数学试题一答案
2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题（1）、极限（C）A、1B、C、D、（2）、设函数，由方程确定，其中F为可微函数，且，则（B）A、B、C、D（3）、设施正整数，则反常积分的收敛性( C)A、仅与的取值有关B、仅与有关C、与都有关D、都无关（4）、( D )A、B、C、D、（5）、设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（A）A、秩r(A)=m, 秩r(B)=mB、秩r(A)=m, 秩r(B)=nC、秩r(A)=n, 秩r(B)=mD、秩r(A)=n, 秩r(B)=n(6) 设A为4阶实对称矩阵，且，若A的秩为3，则A相似于（D）A． B.C. D.(7) 设随机变量的分布函数，则 {x=1}= （C）A．0 Ｂ. C. D.(8) 设为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：（A ）A、B、C、D、二、填空题（9）、设求（10）、（11）、已知曲线的方程为起点是终点是则曲线积分0（12）、设则的形心坐标（13）设若由形成的向量空间维数是2，则 6（14）设随机变量概率分布为，则 2三、解答题（15）、求微分方程的通解解答：（16）、求函数的单调区间与极值解答：单调递减区间单调递增区间极大值，极小值（17）、（Ⅰ）比较与的大小，说明理由（Ⅱ）设，求极限解答：（18）、求幂级数的收敛域及和函数解答：收敛域，和函数（19）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面为面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分解答：（1）（2）（20）、设已知线性方程组存在2个不同的解，（Ⅰ）求，；（Ⅱ）求方程组的通解。
解答：（Ⅰ）（Ⅱ）的通解为（其中k为任意常数）（21）已知二次型在正交变换下的标准形为，且的第3列为（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）证明为正定矩阵，其中为3阶单位矩阵。
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）证明：为实对称矩阵又的特征值为1，1，0的特征值为2，2，1，都大于0为正定矩阵。
2010年考研数学一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。
2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
lim 1 x
0
x1－
nx
1
又反常积分 1 2
1 dx 收敛，所以 1 x
1 m ln2 (1 x)
1 2
dx 收敛。 nx
1 m ln2 (1 x)
综上，无论正整数 m 和 n 取何值，反常积分 0
dx 都收敛，故选 D。 nx
n n
n
4． lim n
i 1
j1 (n i)(n2
j2)
1 m ln2 (1 x)
3．设 m，n 均是正整数，则反常积分 0
dx 的收敛性（ ）。 nx
A．仅与 m 的取值有关
B．仅与 n 的取值有关
C．与 m，n 的取值都有关
D．与 m，n 的取值都无关
【答案】D
【考点】反常积分的性质，收敛性判别
【解析】分析过程如下
1 m ln2 (1 x)
【解析】在 F（y/x，z/x）＝0 两边对 x 求导得
F1 (
y x2
)
F2
(
z x2
zx ) x
0
zx
yF1 zF2 xF2
再在 F（y/x，z/x）＝0 两边对 y 求导得
F1
(
1 x
)
F2
(
zy x
)
0
zy
F1 F2
故 x∂z/∂x＋y∂z/∂y＝z。
2 / 23
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1 m ln2 (1 x)
1 m ln2 (1 x)
0
dx 2
nx
0
n x
dx 1
2
dx nx
1 m ln2 (1 x)
2010年考研数学试题详解及评分参考
.
【答】 应填
2 3
.
{ } 【解】 记 D = ( x, y) x2 + y2 £ 1 ，有
òòò òò ò òò ò ò W
dxdydz =
D
dxdy
1 dz
x2 + y2
= (1- x2 - y2 )dxdy =
D
2p dq
0
1(1- r2 )rdr
0
=
p 2
，
òòò òò ò òò ò ò W
.
【答】 应填 -4p .
【解】 令 x = t ，则 dx = 2tdt ，于是有
ò ò ò ò p2 0
x cos
xdx =
p 2t2 costdt = 2t2 sin t
0
p 0
-4
p 0
t sin tdt
=
4t cos
p 0
-4
p 0
cos tdt
=
-4p .
(11) 已知曲线 L 的方程为 y = 1- | x | (x Î[-1,1]) ，起点是 (-1, 0) ，终点为 (1, 0) ，则曲线
【答】 应填 0 .
【解】
因
dy dx
=
dy dx
/ /
dt dt
=
ln(1+ t2 ) -e-t
,
d2y dx2
=
d dt
[
ln(1+t -e-t
2
)
]
1 dx /
dt
=
e2t [ 2t 1+ t
+ ln(1+
t 2 )]，
d2y 故 dx2
t=0
2010年考研数学一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。
2010考研数学二真题及答案解析
(20)(本题满分 10 分)
∫∫ 计 算 二 重 积 = 分 I r2 sinθ 1− r2 cos 2θ drdθ D
=D
( r ,θ
)
|
0
≤
r
≤
secθ , 0
≤θ
≤
π 4
.
,其中
(21) (本题满分 10 分)
设函数 f (x) 在闭区间 [0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 ,证
= n2 + j2 )( i 1
1) n+i
∑ ∑ = = lni→m∞ jn1= n2 +n j2 lni= →m∞ 1n jn1 1+ (1 j )2
n
∫1 1
0 1+ y2 dy,
∑ ∑ ∫ = lim n n li= m 1 n 1
= n→∞ i 1= n + i n→∞ n i 1 1 + ( i )
.
(12) 当 0 ≤ θ ≤ π 时,对数螺线 r = eθ 的弧长为
.
(13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加.则当
l = 12cm , w = 5cm 时,它的对角线增加的速率为
.
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A= 3，B= 2, A−1 + B= 2 ,则 A + B−1 =
x ∂z + y ∂z = yF1′ + zF2′ − yF1′ = F2′ ⋅ z = z ．
∂x ∂y
F2′
F2′ F2′
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) n n
2010考研数学答案解析
2010考研数学答案解析【篇一：2010考研数学一(真题解析分开版)】ss=txt>数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 222y?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)1. 曲线拐点a（1，0）b（2，0） c（3，0）d（4，0） 2. 设数列?an?单调递减，liman??n无界，则幂级数?0,sn??ak(n?1,2,?）k?1n?a(x?1)kk?1nn的收敛域a(-1,1] b[-1,1) c[0,2) d(0,2]3.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件af(0)?1,f??(0)?0 bf(0)?1,f??(0)?0cf(0)?1,f??(0)?0df(0)?1,f??(0)?04.设i??0lnsinxdx,j??0lncotxdx,k??0lncosxdx则i、j、k的大小关系是???a ijkb ikjc jikd kji5.设a为3阶矩阵，将a的第二列加到第一列得矩阵b，再交换b ?100??100?????p1??111?,p2??001?,???000???010??的第二行与第一行得单位矩阵。
记a=?1?1ap1p2bp2p1 dp1p2 cp2p1则6.设a?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，a*是a的伴随矩阵，若(1,0,1,0)t 是方程组ax?0的一个基础解系，则a*x?0的基础解系可为a?1,?3 b?1,?2 c?1,?2,?3 d?2,?3,?47.设f1(x),f2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是af1(x)f2(x) b2f2(x)f2(x) cf1(x)f2(x) df1(x)f2(x)?f2(x)f1(x)8.设随机变量x与y相互独立，且ex与ey存在，记u=max{x,y},v={x,y},则e(uv)=a euevb exeyc eueyd exev二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)9.曲线y??0tantdt(0?x?)的弧长s=____________4x?10.微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数f(x,y)??0xy?2fsintdt，则221?t?xx?0?__________12.设l是柱面方程为x2?y2?1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往zy2_ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分xzdx?xdy?dz?__________213.若二次曲面的方程为x2?3y2?z2?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y12?4z12?4，则a?_______________三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)ln(1?x)ex?115求极限lim( )x?0x116设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，?2z且在x=1处取得极值g(1)=1,求?x?yx?1,y?117求方程karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数。
2010年考研数学(一)真题及参考答案
2010考研数学（一）真题及参考答案一、选择题 （1）、极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎛⎫=⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、a be - D 、b ae-【详解】()()2222ln 1()()()()()()()()lim lim lim ()()lim lim xx x xx x a x b x a x b x x x a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x a bxe ex a x b ee e ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞-⎛⎫== ⎪-+⎝⎭===（2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x =确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z z xy u y∂∂+=∂∂（ B ）A 、xB 、zC 、x -D z -【详解】 等式两边求全微分得：121212()()()0x x y y z z Fu F v dx Fu F v dy Fu F v dz ''''''+++++=，所以有，1212xx z z Fu F v z x Fu F v ''+∂=-''∂+，1212y yz zFu F v z y Fu F v ''+∂=-''∂+， 其中，2x y u x =-，1y u x =，0z u =，2x z v x =-，0yv =，1z v x=，代入即可。
（3）、设,m n是正整数，则反常积分⎰的收敛性( D )(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 有关(C)与,m n 都有关 (D)都无关 【详解】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mn x x -=-等价于221(1)m m nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<12122ln (1)2(1)n m n m x x <-<-，而2112(1)m x -⎰显然收敛，故收敛。
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题参考答案
(
) (A)
答案：D 详解：设 为 A 的特征值，由于 A2 A 0 ，所以 2 0 ，即 ( 1) 0 ，这样 A 的特征值 为 -1 或 0。由于 A 为实对称矩阵，故 A 可相似对角化，即 A : ， r ( A) r ( ) 3 ，因此，
(10) 曲线 y 答案： y 2
2 x 2 sin x 的水平渐近线的方程为 y . cos x x 2
sin x 2 x sin x x 2 2 0 2 lim 详解： lim 2 x cos x x x cos x 1 0 1 x2
1
1 1 1 1 1 1 1 f x dx 1 dx f x dx 1 f x dx 又 ，且 0 0 0 0 f x dx 2 . 0
1 f x dx 0 f x dx , 0
, k 1, 2,L ，其中 0 1 ，若
详解： P( X 2) P( X 1) P( X 2) (1 )11 (1 )21 (1 )
0
1
f ,
x dx
由于 0 f x 1 ，所以
f x f x ， 1 f x x f x dx ， 1 f x dx 1 f x dx ， I1 I 2 . 0 0 0
f a 0.
(B) f a 0 .
-1-
答案：B
详解： f g x f g x g x ,
2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.1．设函数，则（ ）.3()(3)()x e e f x x x e -=--A ．x ＝3及x ＝e 都是的第一类间断点()f x B ．x ＝3及x ＝e 都是的第二类间断点()f x C ．x ＝3是的第一类间断点，x ＝e 是的第二类间断点()f x ()f x D ．x ＝3是的第二类间断点，x ＝e 是的第一类间断点()f x ()f x 【答案】C【解析】，由于函数在点x ＝3没有定义，因此x ＝3为第一类可去间断点；又，因此函数在x ＝e 点为第二类无穷间断点.3lim (3)(1)x x e e e x x →-=∞--2．曲线的凸弧区间是（ ）.2(4)x y x =-A ．（，－8）-∞B ．（－8，－4）C ．（－4，4）D ．（4，＋∞）【解析】由.3．设函数具有二阶导数，，则()()f x g x ，00()()0()0g x a g x g x '''==<，，在取极大值的一个充分条件是（ ）.(())f g x 0x A ．()0f a '<B ．()0f a '>C ．()0f a ''<D ．()0f a ''>【答案】B【解析】由于于是因为，则即可满足条件，在取极0()0g x '=0(())0f g x ''>[]0()0f g x '''⎡⎤<⎣⎦0x 大值.4．设函数在区间上连续，，且，记()f x []0,10()1f x <<101()2f x dx <⎰则（ ）.A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．213I I I <<D ．321I I I <<【答案】D【解析】由于0()1f x <<()1()f x f x >>-因此即．12I I >又由于且所以所以，所以．5．设向量组：可由向量组Ⅱ：线性表示．下列命题I 12r ααα⋅⋅⋅，，，12s βββ⋅⋅⋅，，，正确的是（ ）.A ．若向量组线性无关，则I r s≤B ．若向量组线性相关，则I r s>C ．若向量组Ⅱ线性无关，则r s≤D ．若向量组Ⅱ线性相关，则r s>【答案】A【解析】由于向量组I 能由向量组Ⅱ线性表示，所以r （I ）≤r（II ），即()()1212r s r r sαααβββ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，若向量组I 线性无关，则，所以()12r r r ααα=L ，，，,即.()()1212r s r r r s αααβββ=⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，r s ≤6．设A 为4阶实对称矩阵，且，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.2A A O +=A ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C ．1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭D ．1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设A 的特征值为，因为，所以，即λ20A A +=20λλ+=或，又因为A 为实对称阵，故A 必可相似对角化，又由于(1)00λλλ+=⇒=1λ=-r （A ）＝3，所以是三重特征根，即.1λ=-1110A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭:7．设随机变量X 服从（－1，1）上的均匀分布，事件A ＝{0＜X ＜1}，，则（ ）.14B X ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭A ．P （AB ）＝0B ．P （AB ）＝P （A ）C ．P （A ）＋P （B ）＝1D ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）⋅【答案】D【解析】8．设是来自总体的简单随机样本，记统计量12n X X X ⋅⋅⋅，，，2(,)(0)N μσσ>，则E （T ）＝（ ）.211n i i T X n ==∑A ．2σB ．2μC ．22σμ+D ．22σμ-【答案】C【解析】由题意知，，则有2222,EX DX EXμσμσ==⇒=+二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在题目中的横线上．9．＝____.lim xx x x a →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】a e 【解析】.。