三角函数专题——函数图像的平移(可编辑修改word版)
三角函数的图像变换
三角函数的图像变换三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们在图像上呈现出规律性的波动变化，而通过对这些函数进行图像的平移、缩放、翻转等操作，可以得到各种不同形态的函数图像。
本文将介绍三角函数的图像变换过程，并探讨不同变换对函数图像的影响。
正弦函数的图像变换正弦函数 $y = \\sin(x)$ 是一种周期性函数，其图像在 $[-\\pi, \\pi]$ 区间内呈现出波浪状的变化。
对正弦函数进行图像变换可以通过调整函数中的关键参数来实现。
平移平移是一种简单的图像变换操作，可以沿着横轴和纵轴分别对函数图像进行移动。
对于正弦函数 $y=\\sin(x)$ 来说，平移操作可以表示为 $y = \\sin(x - a)$，其中a为平移距离。
当a>0时，函数图像向右平移；当a<0时，函数图像向左平移。
缩放缩放是改变函数图像振幅的一种常见操作。
对于正弦函数$y=\\sin(x)$，可以通过调整函数中的系数来实现振幅的变化。
例如，当 $y=2\\sin(x)$ 时，函数图像的振幅将变为原来的两倍；当 $y=\\frac{1}{2}\\sin(x)$ 时，函数图像的振幅将缩小为原来的一半。
翻转翻转是改变函数图像对称性的一种操作。
对于正弦函数$y=\\sin(x)$，可以通过在函数中引入负号来实现翻转操作。
例如，当 $y=-\\sin(x)$ 时，函数图像将在a轴进行翻转。
余弦函数的图像变换余弦函数 $y = \\cos(x)$ 也是一种周期性函数，其图像在$[0, 2\\pi]$ 区间内呈现出波浪状的变化。
对余弦函数进行图像变换同样可以通过平移、缩放、翻转等操作来实现。
平移对于余弦函数 $y=\\cos(x)$，平移操作的表达式为 $y =\\cos(x - a)$，其中a为平移距离。
与正弦函数类似，当a> 0时，函数图像向右平移；当a<0时，函数图像向左平移。
三角函数图像变换方法
三角函数图像变换方法是数学和工程领域中非常重要的概念，其应用范围广泛，包括但不限于信号处理、图像处理、机械振动分析等领域。
下面将详细介绍三角函数图像变换的原理、方法和应用。
一、三角函数图像变换的基本原理三角函数图像变换的核心是通过调整三角函数的参数（如振幅、频率、相位等），从而改变其图像的形状和位置。
具体来说，可以通过以下几种方式来实现三角函数图像的变换：1. 振幅变换：通过改变三角函数的振幅参数，可以改变图像在垂直方向上的大小。
振幅增加时，图像的高度增加；振幅减小时，图像的高度减小。
2. 频率变换：通过改变三角函数的频率参数，可以改变图像在水平方向上的周期性。
频率增加时，图像的周期减小，图像变得更密集；频率减小时，图像的周期增加，图像变得更稀疏。
3. 相位变换：通过改变三角函数的相位参数，可以改变图像在水平方向上的平移。
相位增加时，图像向右平移；相位减小时，图像向左平移。
二、三角函数图像变换的常见方法1. 振幅变换法：通过直接调整三角函数的振幅参数，实现图像在垂直方向上的大小变化。
例如，将正弦函数y=sin(x)的振幅扩大2倍，得到y=2sin(x)的图像，其高度变为原来的2倍。
2. 频率变换法：通过调整三角函数的频率参数，实现图像在水平方向上的周期性变化。
例如，将正弦函数y=sin(x)的频率增加2倍，得到y=sin(2x)的图像，其周期变为原来的1/2。
3. 相位变换法：通过调整三角函数的相位参数，实现图像在水平方向上的平移。
例如，将正弦函数y=sin(x)的相位增加π/2，得到y=sin(x+π/2)的图像，其向右平移π/2个单位。
此外，还可以结合使用上述方法，实现更复杂的图像变换。
例如，可以同时调整振幅、频率和相位参数，得到不同形状和位置的三角函数图像。
三、三角函数图像变换的应用三角函数图像变换在各个领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用示例：1. 信号处理：在信号处理中，三角函数图像变换常用于分析信号的频率成分和相位关系。
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放
数学公式知识：三角函数图像的平移与缩放三角函数图像的平移与缩放是数学中常见的一个话题，也是高中数学课程中的重要内容。
三角函数是数学中的基本概念之一，在大学数学中被广泛应用到各种领域。
三角函数具有一定的规律性和对称性，三角函数图像的平移和缩放是基于这些规律性和对称性而实现的，因此掌握三角函数图像的平移和缩放是理解三角函数及其应用的前提。
一、三角函数图像的基本概念三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数三种函数的统称，它们都是以角度或弧度为自变量的函数，其中正弦函数的函数值为对边与斜边之比，余弦函数的函数值为邻边与斜边之比，正切函数的函数值为对边与邻边之比。
三角函数关系着三角形中的几何关系，因此在三角形几何中也十分重要。
三角函数图像是把三角函数的函数值和自变量进行映射后得到的图像，它可以帮助我们更好的理解三角函数的性质和应用。
二、三角函数图像的平移平移是指在坐标系中把图形沿着固定的方向移动一定的距离，平移前后图形形状不会改变，只是位置改变了。
对于三角函数图像的平移，其实就是在自变量上加或减一个常数，或在函数值上加或减一个常数，使得图像整体向左、向右、向上或向下平移。
这样可以使得图像的位置在坐标系上发生变化，但是形状不会发生变化。
三角函数图像的平移可以用下列公式来描述：1、正弦函数图像的平移设f(x)为正弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
2、余弦函数图像的平移设f(x)为余弦函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
3、正切函数图像的平移设f(x)为正切函数，a为常数。
当a>0时, y=f(x- a)图像向右平移a个单位。
当a<0时, y=f(x+ a)图像向左平移a个单位。
三、三角函数图像的缩放缩放是指把图形沿着某个方向缩小或放大一定的比例，缩放后图形的形状和位置都会发生变化。
三角函数图像变换顺序详解(全面)
《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x)到函数y = A f ( )+ m，其间经过 4 种变换：1.纵向平移——m 变换2.纵向伸缩—— A 变换3.横向平移——变换4.横向伸缩——变换一般说来，这 4 种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sin x 到y = Asin ( )+m 为例，讨论 4 种变换的顺序问题.【例1】函数的图象可由y = sin x 的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1 步，横向平移：将y = sin x 向右平移，得第2 步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3 步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大 3 倍，得第4 步：纵向平移：将向上平移1，得【解法2】第1 步，横向伸缩：将y = sin x 的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2 步，横向平移：将y = sin 2x 向右平移，得第3 步，纵向平移：将向上平移，得第4 步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大 3 倍，得【说明】解法 1 的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法 2 中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法 1 的“可靠性”大，而解法 2 的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当<0 时对应右移（增方向），而m < 0 时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如| | > 1 时对应着“缩”，而| A | >1 时，对应着“扩”？【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ( )+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式(y+ ) = f ( )，则x、y 在形式上就“地位平等”了.如将例 1 中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x 进行的.故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例 1 的解法 2 中）后平移时，有的原因.【说明】为了使得 4 种变换量与 4 个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sinx 变到Asin ( ) ( > 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x→（2）横向伸缩：x+ →（3）纵向伸缩：sin ( ) →Asin ( )（4）纵向平移：Asin ( ) →Asin ( ) + m这正是例 1 中解法 1 的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到Asin ( )+m 的变换称作正向变换，那么反过来，由Asin ( )+m 到sin x 变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y= 2sin (2 －) +1 的图像下移 1 个单位得y=2sin (2 x－)，再将纵坐标缩小一半得y= sin(2 x－),再将横坐标扩大 2 倍得y= sin( x－),最后将图象左移得函数y= sinx.2 x.【例2】将y = f (x)·cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin试求 f ( x)的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.2【解析】将y = 2sin x下移1 个单位（与正向变换上移 1 个单位相反），得y = 2sin 2 2x－1，再将2sin x－1 左移（与正向变换右移相反）得令 f (x)·cos x = 2sin x cos x 得 f (x) = 2sin x2x,其逆【说明】由此得原函数为y=f(x)cosx=2 sin x cosx=sin2 x. 正向变换为s in 2x→2sin 2x→sin2x. 变换为2sin2sin2x=1+sin(2 x－),所以下移 1 个单位得sin(2 x－),左移得sin2 x.因为三、翻折变换使> 0.忽略平移变换x→是“对x 而言”，由于x过于简单而易被里x 的系数是+1. 千万不要误以为是由sin( - x)左移而得.强调一下，这于y 其实，x 或y 的系数变- 1，也对应着两种不同的图象变换：由x→- x 对应着关于x 轴的对称变换,即沿x 轴变换,即沿y 轴的翻折变换；由 f (x) →- f (x)对应着关轴的对称的翻折变换.【例3】求函数的单调减区间.【分析】先变换- 3x→3x,即沿y 轴的翻折变换.【解析1】，转化为求g(x)=sin(3 x－) 的增区间令≤≤≤x ≤（f(x)减区间主解），故函数f(x)减区间的通解为又函数的f(x)周期为≤x ≤【解析2】的减区间为≤≤即是≤x ≤,比较解析 1 和解析 2 可知,求f(x)的减区间,实际上分问题度看【说明】从图象变换的角两步进行:(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.【思考】本解先将“正数化”，使>0 是本解成功的关键.否则，如果去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
三角函数公式和图像大全[1]
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初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B ） = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B ） = sinAcosB —cosAsinB cos （A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos （A —B ） = cosAcosB+sinAsinBtan （A+B ） =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A —B ） =tanAtanB 1tanBtanA +-cot （A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot （A —B ） =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A —Sin 2A=2Cos 2A —1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA —4(sinA ）3 cos3A = 4（cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan （3π—a ）半角公式sin （2A )=2cos 1A - cos(2A）=2cos 1A + tan(2A）=A A cos 1cos 1+- cot （2A）=AA cos 1cos 1-+ tan （2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba -sina-sinb=2cos2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos （a —b)] cosacosb = 21［cos(a+b)+cos(a —b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)］ cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a —b ）］ 诱导公式sin （—a) = -sinacos(—a) = cosasin （2π-a) = cosacos （2π—a) = sina sin （2π+a) = cosa cos （2π+a ） = —sina sin （π-a) = sinacos （π—a ） = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a） = -cosa tgA=tanA =aa cos sin万能公式 sina=2)2(tan 12tan2a a+ cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2)2(tan 12tan 2a a -其它公式a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin （a+c) ［其中tanc=ab ］a •sin(a ）—b •cos(a ） = )b (a 22+×cos(a —c ） [其中tan （c)=b a ］1+sin （a) =(sin 2a +cos 2a )21-sin(a ） = （sin 2a -cos 2a ）2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec （a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -a acosh （a)=2e e -a a tg h （a ）=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α)= tanαcot （2kπ＋α)= cotα公式二设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin （π＋α）= -sinαcos （π＋α）= —cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(—α)= —sinαcos(-α)= cosαtan （-α）= -tanαcot （—α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系：sin （π—α）= sinαcos （π—α）= —cosαtan(π—α)= -tanαcot(π-α）= —cotα公式五利用公式—和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系:sin （2π-α）= —sinαcos(2π-α）= cosαtan （2π—α)= -tanαcot （2π—α）= —cotα公式六2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π+α）= cosα cos(2π+α)= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= —tanαsin （2π-α)= cosαcos （2π-α）= sinαtan （2π—α）= cotα cot(2π-α）= tanαsin （23π+α）= —cosα cos(23π+α)= sinαtan （23π+α)= -cotαcot （23π+α）= -tanαsin （23π-α）= -cosαcos （23π-α）= —sinα tan(23π—α)= cotαcot （23π-α)= tanα(以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin(ωt+θ）+B •sin(ωt+φ） =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=（a+b)（a-b) a3+b3=(a+b ）(a2-ab+b2） a3—b3=（a-b)（a2+ab+b2）三角不等式｜a+b｜≤｜a｜+｜b||a-b｜≤｜a｜+|b｜｜a|≤b<=>-b≤a≤b｜a-b｜≥｜a|-|b|—｜a｜≤a≤｜a｜一元二次方程的解-b+√(b2-4ac）/2a -b-b+√（b2-4ac）/2a 根与系数的关系X1+X2=—b/aX1*X2=c/a注:韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有一个实根b2—4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B）=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B）=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan（A+B）=(tanA+tanB）/(1-tanAtanB） tan(A—B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB）ctg(A+B)=（ctgActgB-1)/（ctgB+ctgA) ctg（A—B)=(ctgActgB+1)/（ctgB-ctgA）倍角公式tan2A=2tanA/(1—tan2A) ctg2A=(ctg2A—1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a半角公式sin(A/2）=√（（1-cosA）/2） sin（A/2)=—√(（1-cosA)/2)cos（A/2）=√（（1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA）/2）tan(A/2)=√(（1—cosA）/（（1+cosA）） tan(A/2)=—√((1-cosA)/((1+cosA））ctg（A/2)=√(（1+cosA）/((1—cosA）) ctg（A/2）=—√(（1+cosA）/（(1—cosA））和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A—B） 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A—B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin（A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)—cos（A-B)sinA+sinB=2sin（(A+B）/2)cos((A—B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin(（A-B）/2)tanA+tanB=sin（A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B）/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB —ctgA+ctgBsin（A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n（n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1)2/41*2+2＊3+3＊4+4*5+5*6+6＊7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2—2accosB注:角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/（a-b）]={［Tan(a+b）/2］/［Tan（a—b)/2］}圆的标准方程(x—a）2+（y—b)2=r2 注：（a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2—4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=—2py直棱柱侧面积S=c＊h斜棱柱侧面积S=c'＊h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c'）h’圆台侧面积S=1/2(c+c’）l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi＊r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2＊c＊l=pi＊r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r 〉0 扇形面积公式s=1/2*l*r(完整word版)三角函数公式和图像大全(word版可编辑修改) 锥体体积公式V=1/3＊S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi＊r2h斜棱柱体积V=S’L注：其中,S’是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s＊h圆柱体V=pi＊r2h。
三角函数的平移与伸缩
三角函数的平移与伸缩三角函数在数学中占据着重要的地位，其在几何、物理、工程等各个领域都有广泛的应用。
而三角函数的平移与伸缩是对原本的函数图像进行操作，使其在坐标系中发生移动和变形。
本文将探讨三角函数的平移与伸缩，以及其对函数图像的影响。
1. 平移变换平移是指将函数图像沿着坐标系的横轴或纵轴方向进行移动。
对于正弦函数y = sin(x)和余弦函数y = cos(x)，平移操作可以通过改变自变量x发生。
如果横轴上的平移量为a，那么正弦函数的平移变换可以表示为y = sin(x - a)，余弦函数的平移变换可以表示为y = cos(x - a)。
这样，原本位于x轴上的函数图像将平移至新的位置。
2. 伸缩变换伸缩是指通过改变函数图像在坐标系中的大小和形状来实现。
伸缩操作可以通过改变函数的自变量或因变量进行。
对于正弦函数和余弦函数，分别称为sine函数和cosine函数，它们的伸缩变换形式可以表示为y = A*sin(Bx)和y = A*cos(Bx)。
其中，A和B分别代表着振幅和周期。
振幅A决定了函数图像在纵向上的幅度，而周期B则决定了函数图像在横向上的重复性。
当A增大时，函数图像的“峰”和“谷”之间的距离增大，振幅变大；反之，当A 减小时，振幅变小。
当B增大时，函数图像在横轴方向上的周期变长，每个周期内包含更多的“峰”和“谷”；反之，当B减小时，周期变短，每个周期内的“峰”和“谷”减少。
综合平移和伸缩，我们可以得到更加复杂的三角函数的变换。
例如对于正弦函数y = sin(x)进行平移和伸缩的组合操作，可以表示为y =A*sin(B(x - C)) + D。
其中C为平移量，A为伸缩因子，D为上下方向的平移量。
同样地，对于余弦函数也可以进行类似的操作。
三角函数的平移与伸缩在实际应用中起到了重要的作用。
它们能够改变函数图像在坐标系中的位置和形状，进而影响到相关问题的解决。
例如在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性现象，如电磁波的传播及机械振动等。
高中数学三角函数的图像平移与缩放技巧
高中数学三角函数的图像平移与缩放技巧在高中数学的学习中，三角函数是一个重要的内容，它是解决各种实际问题的基础。
而理解三角函数的图像平移与缩放技巧，则能够帮助我们更好地理解和应用三角函数。
本文将通过具体题目的举例，来说明这方面的考点和解题技巧，并给出一些相关的练习题供读者练习。
一、图像平移图像平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向上移动一定的单位长度。
对于三角函数而言，图像平移主要是通过改变函数中的常数项来实现的。
例如，考虑函数y = sin(x)。
我们知道，正弦函数的图像在原点处有一个特殊的点，即(0, 0)。
现在，如果我们想将这个函数的图像向右平移2个单位长度，我们只需要将函数中的自变量x替换为x-2，即y = sin(x-2)。
这样，原来的(0, 0)点就变成了(2, 0)点，整个图像向右平移了2个单位长度。
同样地，如果我们想将函数y = cos(x)的图像向上平移3个单位长度，我们只需要将函数中的因变量y替换为y+3，即y+3 = cos(x)。
这样，原来的(0, 1)点就变成了(0, 4)点，整个图像向上平移了3个单位长度。
通过上述例子，我们可以看出，图像平移主要是通过改变函数中的常数项来实现的。
对于正弦函数而言，平移的方向和距离由常数项的正负和数值大小决定；对于余弦函数而言，平移的方向和距离由常数项的正负和数值大小决定。
练习题：1. 画出函数y = sin(x-π/2)的图像，并说明其平移的方向和距离。
2. 画出函数y = cos(x+π/4)的图像，并说明其平移的方向和距离。
二、图像缩放图像缩放是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩，使得图像变得更宽或更窄，更高或更矮。
对于三角函数而言，图像缩放主要是通过改变函数中的系数来实现的。
例如，考虑函数y = 2sin(x)。
我们知道，这个函数的图像是正弦函数图像的纵坐标放大了2倍。
也就是说，原来的正弦函数图像上的每个点的纵坐标都乘以了2。
三角函数图像变换总结
三角函数图像变换总结三角函数是数学中的重要内容，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
三角函数的图像变换是三角函数研究中的一个重要内容，通过对三角函数图像的变换，可以更直观地理解三角函数的性质和特点。
本文将对三角函数图像的平移、垂直伸缩和水平伸缩等变换进行总结，希望能够帮助读者更好地理解三角函数图像的变换规律。
1. 平移变换。
平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移。
对于三角函数图像而言，平移包括水平平移和垂直平移两种情况。
水平平移是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行平移，而垂直平移则是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行平移。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴平移a个单位，则新的函数图像为y=sin(x-a)；将其图像沿着纵坐标轴平移b个单位，则新的函数图像为y=sin(x)+b。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像平移变换。
2. 垂直伸缩变换。
垂直伸缩是指将函数图像沿着纵坐标轴的方向进行伸缩。
对于三角函数图像而言，垂直伸缩可以分为垂直方向的拉伸和压缩两种情况。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着纵坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=ksin(x)；将其图像沿着纵坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=(1/k)sin(x)。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像垂直伸缩变换。
3. 水平伸缩变换。
水平伸缩是指将函数图像沿着横坐标轴的方向进行伸缩。
对于三角函数图像而言，水平伸缩可以分为水平方向的拉伸和压缩两种情况。
对于三角函数y=sin(x)而言，将其图像沿着横坐标轴方向进行拉伸k倍，则新的函数图像为y=sin(kx)；将其图像沿着横坐标轴方向进行压缩k倍，则新的函数图像为y=sin(x/k)。
同样的规律也适用于三角函数y=cos(x)和y=tan(x)的图像水平伸缩变换。
通过以上对三角函数图像变换的总结，我们可以发现三角函数图像的变换规律其实并不复杂。
三角函数图像的变换
三角函数图像的变换三角函数是一类重要的基础函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学中，我们经常遇到需要对三角函数进行图像变换的情况，比如平移、伸缩、翻转等。
本文将介绍三角函数图像的常见变换以及它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动一段距离。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴向右平移a个单位，新函数为y=sin(x-a)。
当a取正值时，函数图像向右平移；当a取负值时，函数图像向左平移。
平移变换后的图像与原图像形状相同，只是位置不同。
二、伸缩变换伸缩是指将函数图像进行横向或纵向的比例拉伸或压缩。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴方向进行压缩b倍，新函数为y=sin(bx)。
当b大于1时，函数图像横向压缩；当0<b<1时，函数图像横向拉伸。
同样，沿纵轴方向进行伸缩也可得到相应的函数图像变换。
三、翻转变换翻转是指将函数图像沿着横轴或纵轴进行翻转，也称为镜像变换。
以正弦函数为例，设原函数为y=sin(x)，将它沿横轴进行翻转，新函数为y=-sin(x)。
同样地，纵向翻转可得到相应的函数图像变换。
四、混合变换除了单一的平移、伸缩和翻转变换，我们还可以通过组合这些变换来得到更复杂的函数图像变换。
比如，可以将平移、伸缩和翻转变换相结合，得到更丰富多样的变换效果。
以上是对三角函数图像常见变换的简要介绍，下面我们将进一步讨论这些变换对函数图像的具体影响。
1.平移变换的影响：平移变换只改变了函数图像的位置，不改变其形状。
假设原函数图像位于坐标系上方，若平移后函数图像向右移动，则新函数图像将出现在原来的右侧；若平移后函数图像向左移动，则新函数图像将出现在原来的左侧。
平移变换对函数图像的垂直位置没有影响。
2.伸缩变换的影响：横向伸缩会拉伸或压缩函数图像。
当b大于1时，函数图像在x轴方向上被压缩，变得更加陡峭；当0<b<1时，函数图像在x轴方向上被拉伸，变得更加平缓。
三角函数图像变换规律
三角函数图像变换规律三角函数图像变换(TFI)是数学中一个重要的概念，它能够帮助人们更好地理解曲线、函数及它们之间的关系。
三角函数图像变换有助于理解一般函数的性质以及对特殊函数的特性和行为作出准确的预测。
本文旨在探讨三角函数图像变换的一些基本规律以及应用示例，为研究者进行更深入的探究奠定基础。
2、复平面及变换复平面是数学中的一个重要概念，可以用来描述复数的结构和特性。
复平面由实轴和虚轴组成，其中的点的坐标为(x, y)，它们之间的距离可以用欧几里得距离来表示。
复平面上的三角函数变换指的是使用三角函数将原有的点变换到新的位置和形状，其原理可以用复数学来分析推导得出。
3、三角函数图像变换三角函数图像变换是指使用三角函数进行图像变换。
它包括改变图像尺寸大小、旋转图像等。
其基本规律是：一个复数可以通过三角函数变换将其变换为另一个复数，而另一个复数可以通过三角函数变换将其变换为第一个复数。
具体来说，对于一张图片，其复数坐标可以用三角函数变换来改变图片的大小。
具体的方法是：将图像中心（原点）放入复数坐标系，以图像原点为基准，使用三角函数变换来平移复数坐标，从而改变图像尺寸大小；同时，还可以使用三角函数来旋转图像，以得到不同的图像形态。
4、三角函数图像变换的应用三角函数图像变换在计算机图像处理和图像恢复方面都有广泛的应用。
在计算机图像处理方面，使用三角函数变换可以用于改变图像尺寸，实现图像膨胀和缩小；也可以实现图像旋转、倾斜等功能，从而使图像变换成不同的形态。
在图像恢复方面，三角函数图像变换可以用来改善图像质量，旋转图像，去除图像噪声，从而获得更清晰、更易于理解的图像。
5、总结三角函数图像变换是一种利用三角函数将图像变换为不同形状、尺寸大小的技术。
它的基本规律就是将源点的复数坐标变换为另一个复数的坐标，实现图像的角度旋转、尺寸膨胀缩小、景深变化等功能，具有广泛的应用前景。
高中数学函数图像的平移与缩放技巧分享
高中数学函数图像的平移与缩放技巧分享在高中数学中，函数图像的平移与缩放是一个重要的概念和技巧。
通过平移与缩放，我们可以改变函数图像的位置和形状，从而更好地理解和分析函数的性质。
本文将分享一些关于函数图像平移与缩放的技巧，并通过具体的例子来说明其考点和应用。
一、平移技巧平移是指将函数图像沿着坐标轴的方向移动一定的距离。
平移可以改变函数图像的位置，但不改变其形状。
下面以一道具体的例题来说明平移的技巧。
例题：已知函数f(x)的图像如下图所示，求函数g(x) = f(x - 2)的图像。
（插入图像）解析：要求函数g(x) = f(x - 2)的图像，我们需要将函数f(x)的图像沿着x轴平移2个单位。
具体操作如下：1. 将函数f(x)的图像上的每一个点的横坐标都减去2，即将每个点(x, y)变为(x - 2, y)。
2. 连接新的点，就得到了函数g(x) = f(x - 2)的图像。
通过这个例题，我们可以看出平移的关键就是改变函数图像上的每一个点的横坐标，从而实现整个图像的平移。
这个技巧在解决函数图像平移的问题时非常有用。
二、缩放技巧缩放是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行拉伸或压缩，从而改变函数图像的形状和大小。
缩放可以通过改变函数的系数来实现。
下面以一道具体的例题来说明缩放的技巧。
例题：已知函数f(x)的图像如下图所示，求函数g(x) = 2f(x)的图像。
（插入图像）解析：要求函数g(x) = 2f(x)的图像，我们需要将函数f(x)的图像沿着y轴方向进行拉伸。
具体操作如下：1. 将函数f(x)的图像上的每一个点的纵坐标都乘以2，即将每个点(x, y)变为(x,2y)。
2. 连接新的点，就得到了函数g(x) = 2f(x)的图像。
通过这个例题，我们可以看出缩放的关键就是改变函数图像上的每一个点的纵坐标，从而实现整个图像的缩放。
这个技巧在解决函数图像缩放的问题时非常有用。
三、举一反三通过以上的例题，我们可以看出平移与缩放技巧的应用范围是很广的。
三角函数左右平移量
三角函数左右平移量
三角函数的左右平移量是指三角函数图像在水平方向上的平移。
这种平移可以通过改变三角函数的参数来实现。
例如，当你想要将三角函数$y=\sin x$ 向左平移$\pi$ 单位，可以使用新的函数$y=\sin(x-\pi)$。
这两个函数的图像是相同的，但是在水平方向上相差了$\pi$ 单位。
同样，当你想要将三角函数$y=\cos x$ 向右平移$\frac{\pi}{2}$ 单位，可以使用新的函数$y=\cos(x+\frac{\pi}{2})$。
这两个函数的图像也是相同的，但是在水平方向上相差了$\frac{\pi}{2}$ 单位。
三角函数的左右平移量也可以通过改变函数的“周期”来实现。
例如，当你想要将三角函数$y=\sin x$ 向右平移$\pi$ 单位，可以使用新的函数$y=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$。
这两个函数的图像是相同的，但是在水平方向上相差了$\pi$ 单位。
总的来说，三角函数的左右平移量可以通过改变函数的参数或周期来实现，这两种方法都可以在不改变函数图像形状的情况下实现图像的水平平移。
三角函数图像的变换和特殊点的分析
三角函数图像的变换和特殊点的分析三角函数是数学中重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨三角函数图像的变换和特殊点的分析。
一、正弦函数的图像变换和特殊点分析正弦函数的一般形式为y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。
A决定了振幅，B决定了周期，C决定了相位，D决定了垂直位移。
首先，我们来讨论振幅的变化对正弦函数图像的影响。
当A>1时，振幅增大，图像在y轴方向上被拉伸；当0<A<1时，振幅减小，图像在y轴方向上被压缩；当A<0时，振幅变为负数，图像在y轴方向上翻转。
因此，振幅的变化会改变正弦函数图像的幅度。
其次，我们来讨论周期的变化对正弦函数图像的影响。
周期为2π/B，当B>1时，周期缩短，图像在x轴方向上被压缩；当0<B<1时，周期延长，图像在x轴方向上被拉伸；当B<0时，周期变为负数，图像在x轴方向上翻转。
因此，周期的变化会改变正弦函数图像的周期性。
接下来，我们来讨论相位的变化对正弦函数图像的影响。
相位为-C/B，当C>0时，图像向左平移；当C<0时，图像向右平移。
因此，相位的变化会改变正弦函数图像的位置。
最后，我们来讨论垂直位移的变化对正弦函数图像的影响。
当D>0时，图像向上平移；当D<0时，图像向下平移。
因此，垂直位移的变化会改变正弦函数图像的位置。
二、余弦函数的图像变换和特殊点分析余弦函数的一般形式为y = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。
与正弦函数类似，A决定了振幅，B决定了周期，C决定了相位，D决定了垂直位移。
余弦函数的图像变换和特殊点的分析与正弦函数类似，只是在相位的变化上有些不同。
相位为-C/B，当C>0时，图像向右平移；当C<0时，图像向左平移。
因此，相位的变化会改变余弦函数图像的位置。
三角函数的像变换与性质
三角函数的像变换与性质三角函数在数学领域中起着重要的作用，它们的图像经过像变换后展现出不同的性质。
本文将讨论三角函数的像变换，在此基础上分析它们的一些重要性质。
一、正弦函数的像变换与性质正弦函数是最常见的三角函数之一，其图像具有周期性和对称性。
正弦函数的标准公式为：y = A*sin(B(x+C)) + D其中A是振幅，决定了函数图像的最大偏移量；B是周期，即图像在横轴上重复出现的长度；C是相位，决定了图像在横轴上的左右平移；D是纵轴的偏移量，决定了图像在纵轴上的上下移动。
通过对A、B、C和D的适当取值，可以实现正弦函数图像的各种变换。
例如，当A=1、B=1、C=0和D=0时，得到正弦函数的标准图像。
若对A进行缩放，则振幅变小，图像变瘦高；若对B进行缩放，则周期变短，图像变密集；若对C进行变化，则图像在横轴上平移；若对D进行变化，则图像在纵轴上移动。
正弦函数具有周期性和对称性，其图像在每个周期内相似且对称。
这是因为正弦函数与圆的关系密切，可以通过单位圆的旋转来解释。
二、余弦函数的像变换与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，它的图像也具有周期性和对称性。
余弦函数的标准公式为：y = A*cos(B(x+C)) + D与正弦函数类似，通过对A、B、C和D的取值可以实现余弦函数图像的各种变换。
余弦函数与正弦函数的主要区别在于它们的相位差。
在标准形式下，正弦函数的相位差为0，而余弦函数的相位差为π/2。
这意味着余弦函数图像相对于正弦函数图像在横轴上发生了平移。
由于余弦函数的对称性，它的图像关于y轴对称。
这也可以通过圆的旋转来解释，余弦函数与单位圆的关系也是密切的。
三、其他三角函数的性质除了正弦函数和余弦函数，还存在诸如正切函数、余切函数、sec函数和csc函数等其他三角函数。
它们都有各自独特的图像特点和性质。
正切函数的图像具有无穷个渐近线，在某些点上它们变得不连续。
而余切函数的图像与正切函数的图像相似，但在渐近线上对应的点不连续。
函数(三)图像的移动——平移
成长快乐教育学科教师辅导教案学员姓名： 年 级： 高三 课 时 数：班 主 任： 辅导科目： 数学 学科教师： BeMaris授课主题函数（三）图像的移动——平移 教学目标 1、掌握图像平移的规律教学内容图像的移动——平移这节课起，我们将学习图像移动的一般规律.图像的移动包括平移、翻折、旋转、伸缩，我们从最简单的平移开始发现之旅.问题1：这里的图像包括函数的图像与方程的图像，你知道它们之间的区别吗？解析：第一节课函数的定义中，我们知道在函数()x f y =中，一个自变量x 对应唯一确定的因变量y ，从图像来看，在x 轴上任选一点()D x x ∈00，作一条垂线，这条垂线与函数的图像只有一个交点()()00,x f x .而在方程的图像上，比如最简单的圆锥曲线122=+y x 代表的单位圆，在x 轴上任取一点()()1,100-∈x x ，作一条垂线，这条垂线与圆有两个交点()2001,x x -与()2001,x x --.所以方程的图像没有“一个变量x 对应唯一的变量y ”的限制条件，你可以认为函数的图像是一种特殊的方程的图像.我们先规定好平移方向的正负性，如图3.1，沿着坐标轴箭头方向为正，反之为负.图3.1 平移方向的正负性为了方便讨论，我们选择函数()x f y =的图像.但请注意我们讨论的过程与结论是适用于任何图像的.图3.2 最简单的例子——横向平移我们在函数()x f y =图像上任取一点()y x A ,，那么点A 的两个坐标满足()x f y =关系式.将函数()x f y =图像横向平移a 个单位，a 是一个常数，它的符号为“+”则代表向右平移，符号为“-”代表向左平移.那么点()y x A ,会被移动到点()',''y x A ，可以得到：⎩⎨⎧=+=yy a x x ''我们想求出()x f y =图像平移后得到的新图像代表的函数的解析式，也就是说点()',''y x A 两个坐标'x 与'y 之间的关系式.在上面的方程组中有4个变量：x 、y 、'x 和'y .可以利用消元法消去变量x 、y ，仅保留变量'x 、'y ，消元法的过程如下：⎩⎨⎧=-=''y y a x x代入()x f y =后得：()a x f y -=''于是我们找到了'x 与'y 之间的关系式.最后一步我们需要美化加工一下，将变量'x 与'y 的符号换成x 与y （我们在第二节课中也这样做过）得到：()a x f y -=所以将函数()x f y =的图像横向移动a 个单位后，得到了函数()a x f y -=的图像.对于上述过程，我换一种语言来表示可能会更清楚一点：()x f y = （原函数）a x x a x -→,, （第一个符号“x ”代表沿着x 轴方向平移，也就是横向移动；第二个符号“a ”代表移动了a 个单位，注意这里平移的正负性，参见图3.1； 第三个符号“a x x -→”代表在式子()x f y =中，将所有的x 替换成a x -，其 余的保持不变.）()a x f y -= （目标函数）我来举个例子吧！如果将函数142sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx y 的图像向左移动4π个单位，求这个新图像代表的函数的解析式. 你可以模仿上面的语言来表示这个过程：142sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx y 4,4,ππ+→-x x x1442sin +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππx y 最后你可能需要对1442sin +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππx y 美化加工（仅仅是为了好看一点）一下，改写成： 142sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=πx y 一定要注意，4π+→x x 代表将所有的x 替换成4π+x ，其余与x 无关的保持不变.很容易发现，在“a x x a x -→,,”中，出现了a 与a -，把它们加起来正好是0.于是我们得出了图像平移的一般规律：正负相消.它适用于所有类型图像的任意平行移动.问题2：将函数()x f y =的图像沿着y 轴方向移动a 个单位，试着模仿图3.2的例子，求出新图像代表的函数的解析式.解析：在()x f y =的图像上任取一点()y x A ,，点A 平移后对应的点是()',''y x A ，四个变量x 、y 、'x 和'y 之间的关系如下：⎩⎨⎧+==a y y x x ''消元法消去变量x 、y⎩⎨⎧-==a y y x x ''代入()x f y =得()''x f a y =-这就是点()',''y x A 两个坐标'x 和'y 之间的关系式最后美化加工一下，将符号'x 、'y 换成x 、y ，得到()a x f y +=这就是新图像代表的函数的解析式.对于这个过程，我们可以这样表示：()x f y =a y y a y -→,,()x f a y =-可能我们还需要对式子()x f a y =-美化加工一下，但我们只关注平移的一般规律——“正负相消”在纵向平移中也是适用的！问题3：将函数()x f y =沿着向量()b a n ,=→平移，试着模仿图3.2的例子，求出新图像代表的函数的解析式.解析：在()x f y =的图像上任取一点()y x A ,，点A 平移后对应的点是()',''y x A ，四个变量x 、y 、'x 和'y 之间的关系如下：⎩⎨⎧+=+=by y a x x '' 消元法消去变量x 、y⎩⎨⎧-=-=by y a x x '' 代入()x f y =得()a x f b y -=-''这就是点()',''y x A 两个坐标'x 和'y 之间的关系式最后美化加工一下，将符号'x 、'y 换成x 、y ，得到()b a x f y +-=这就是新图像代表的函数的解析式.对于这个过程，我们可以这样表示：()x f y =⎩⎨⎧-→-→b y y b y a x x a x ,,,,()a x f b y -=-可能我们还需要对式子()a x f b y -=-美化加工一下，但我们只关注平移的一般规律——“正负相消”在任意方向平移中也是适用的！课后作业1、将椭圆1422=+y x 向右移动4个单位，再向下移动1个单位，求新的曲线的方程.2、已知直线()0:1≠+=k b kx y l ，12:2+-=x y l ，将1l 沿着向量()2,1-=→n 平移后得到的图像与2l 的图像重合，求直线1l 的方程.3、已知曲线214:x y C -=，将曲线2C 的图像沿着向量()2,1--=→n 平移后得到的图像与1C 的图像重合，求曲线2C 的方程.4、图像的平移、伸缩过程中，都体现出了“平衡”的一般规律，下节课我们学习图像的伸缩变化，将主要以三角函数图像为例子，所以你要熟悉x y sin =、x y cos =和x y tan =的图像.做中国真正“一站式”教学服务品牌------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11在成长中快乐学习，在学习中快乐成长！。
(完整word)1.4三角函数的图像与性质(真题)
1.4三角函数的图像与性质（真题）一、选择题（本大题共29小题，共145。
0分）1.已知sin（75°+α）=，则cos（15°—α）的值为（）A. -B.C. —D。
2.若α是第三象限角，则y=+的值为（）A. 0B. 2 C。
-2 D。
2或-23.角α是第一象限角，且sinα=,那么cosα（）A。
B. —C。
D. -4.已知角α的终边经过点P(0,3）,则α是（)A。
第一象限角B。
终边在x轴的非负半轴上的角C。
第四象限角 D. 终边在y轴的非负半轴上的角5.已知，且，则tanφ=（)A. B. C。
D。
6.将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( ）A。
y=2sin（2x+) B。
y=2sin（2x+)C。
y=2sin（2x—）D。
y=2sin（2x-)7.已知函数f（x）=sin(ωx+φ）（ω＞0，|φ｜≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f(x）在（,）上单调，则ω的最大值为（）A. 11B. 9C. 7 D。
58.函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（)A。
y=2sin（2x-）B。
y=2sin(2x—）C。
y=2sin（x+）D。
y=2sin（x+）9.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A。
x=—（k∈Z) B。
x=+（k∈Z）C. x=-（k∈Z）D。
x=+(k∈Z）10.函数f（x)=cos2x+6cos(—x）的最大值为( )A。
4 B. 5 C. 6 D. 711.已知曲线C1：y=cos x,C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是( ）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C212.设函数f（x）=cos(x+）,则下列结论错误的是（)A。
函数图像平移求解析式的统一方法：顺减逆加
函数图像平移求解析式的统一方法：顺减逆加
函数图像的平移是指将函数图像沿着平行于坐标轴的方向移动一定的距离。
平移的效果是将函数图像的每个点(x, y)移动到新的点(x+a, y+b)，其中a表示水平方向的平移距离，b表示垂直方向的平移距离。
为了求解平移后函数的解析式，我们可以使用统一的方法，即“顺减逆加”。
具体而言，求解平移后函数的解析式的步骤如下：
1. 对于水平平移，平移距离为a，则将原函数的自变量x替换为x-a，即x变为x-a。
这样做的目的是将原函数的图像向右平移a个单位。
对于函数y=f(x)，进行水平平移a个单位后的函数为y=f(x-a)。
根据上述方法，我们可以求解函数图像平移后的解析式。
下面通过一些具体的例子来说明这个方法：
例1：对于函数y=f(x)=x^2，向右平移3个单位，向上平移2个单位，求平移后函数的解析式。
1. 水平平移：将x替换为x-a，即x变为x-3。
平移后的函数为y=f(x-3)=(x-3)^2。
平移后函数的解析式为y=(x-3)^2-2。
2. 垂直平移：将y替换为y+b，即y变为y+1。
平移后的函数为
y=f(x+5)+1=\sin(x+5)+1。
通过这种“顺减逆加”的方法，我们可以很方便地求解函数图像平移后的解析式。
这个方法适用于所有类型的函数，不仅包括简单的多项式函数，也包括三角函数、指数函数等复杂的函数。
无论是向左平移还是向右平移，向上平移还是向下平移，都可以使用这个方法求解解析式。
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) ) ) ) ) 三角函数专题——函数图像的平移
（敖 东）
三角函数图像的平移问题是高考考试中的一个重要考点，在历年高考中几乎都出现了，同样对于广大考生来说也是一个必须重点掌握的内容，那么我们要任何才能完全掌握这一类型的考题呢！
下面我们把此类问题做归纳以下三种类型：
类型一：简单→复杂
即由最基本的 y = A sin x （ 或者 y = A cos x ） 的函数图像， 如何平移到y = A sin(x +) + b （或者 y = A cos(x +) + b ）的函数图像。
y = sin(2x - 例 1
3 + 1
的函数图像，需要由 y = sin x 如何平移的到？
解：（方法一）由 y = sin x 先向右平移 6 得到
y = sin(x -
6 ，再横向压缩到 原来得到 1 2 倍得到
y = sin(2x - 3 ， 再将图像向上平移 1 个单位， 即得 y = sin(2x -
+ 1
3 。
1
（方法二）由 y = sin x 先横向压缩到原来的 2 倍得到 y = sin 2x ，再向右平移
6 得到 y = sin(2x - 3 ，再将图像向上平移 1 个单位，即得 y = sin(2x - + 1
3 。
例 2.(2009 ft 东卷理)将函数 y = sin 2x 的图象向左平移个单位, 再向上平移 1
4
个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A. y = cos 2x
B. y = 2 cos 2 x
C. y = 1 + sin(2x +
D. y = 2 sin 2 x
4
【解析】:将函数 y = sin 2x 的图象向左平移个单位,得到函数 y = sin 2(x +
即
4 4
y = sin(2x +
= cos 2x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为
2 y = 1+ cos 2x = 2 cos 2 x ,故选 B.
) )
) )
类型二：复杂→简单
即由 y = A sin(x +) + b （或者 y = A cos(x +) + b ）的函数图像，如何平移 到 y = A sin x （或者 y = A cos x ）的函数图像。
例 3、 y = sin x 的函数图像，需要由 y = sin(2x - 3 + 1
如何平移的到？ 方法就是例 1 中反方向平移，其中左移、右移相应的改为右移、左移，向上
平移改为向下平移，压缩改为伸长。
类型三：复杂→复杂
即由 y = A sin(x +) + b （或者 y = A cos(x +) + b ）的函数图像，如何平移 到
y = A 1 sin(1 x + 1 ) + b 1 （或者 y = A 1 cos(1 x + 1 ) + b 1 ）的函数图像。
一、 三角函数名称不变的函数平移（正弦→正弦，余弦→余弦）
例 4、将
y = sin(x + 3 的图像如何平移后的到 y = sin(2x - 3 的图像。
解：由
y = sin(x + 3 1 先横向压缩到原来的 2 倍得到 y = sin(2x + 3 ，再向右平移
y = sin(2x - 3 得到 3
练习：（2006 江苏）为了得到函数 y = 2 sin( x
+ ∈ R 的图像，只需把函数
3
6
y = 2 sin x , x ∈ R 的图像上所有的点
（A ） 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1
倍
6 3
（纵坐标不变） （B ） 向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1
倍（纵
6
3
坐标不变）
（C ） 向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍
6
（纵坐标不变）
（D ） 向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍
6
（纵坐标不变）
二、 三角函数名称改变的函数平移（余弦→正弦，正弦→余弦）
) ) )
) ) )
), x
)) + - 例 5、要得到 y = sin(2x - 6
∈ R 的函数图像，需要将 y = cos 2x 的函数图像如 何平移？
解：化成同名三角函数（反诱导）
y = cos 2x = sin(2x + 2 = sin(2(x +
， 4
y = sin(2x - 6 = sin(2(x - )) = sin(2(x 12
))
4 3
所以 将 向右平移即得到
y = sin(2x -
∈ R 。
练 习 ：
y = cos 2x 3
), x
6 1、要得到 y = cos(x - 3
∈ R 的函数图像，需要将 y = sin x 的函数图像如何平 移？ 2、（2005 天津理）要得到函数 y = 2 cos x 的图象，只需将函数 y = 2 sin(2x + 4
的图象上所有的点的
(A) 横坐标缩短到原来的 1
倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长
2 度 (B) 1
8
个单位长
横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动
2 4
度
(C) 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长
4
度
(D) 横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长
8
度 3、．（2004 全国Ⅰ卷文、理）为了得到函数 y = sin(2x - 的图象，可以将函数
6
y = cos 2x 的图象（ ）
A ．向右平移个单位长度
B ．向右平移个单位长度
6
3
C ．向左平移个单位长度
D ．向左平移个单位长度
6 3
由复杂→复杂的变换步骤总结：\
1、异名化同名（反诱导）→
2、压缩→
3、平移
四、三角函数按向量平移 例 6、(2007 湖北 理科)将 y = 2 cos ⎛ x + π ⎫ 的图象按向量a = ⎛ - π
， - 2 ⎫ 平移，则平移
3 6 ⎪ 4
⎪ ⎝ ⎭
⎝
⎭
后所得图象的解析式为（ ）
),
x ) ) ), x )
)
3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎩ Ａ． y = 2 cos ⎛ x +
π ⎫
- 2 ⎝ ⎭ Ｂ． y = 2 cos ⎛ x -
π ⎫
+ 2
⎝ ⎭ Ｃ． y = 2 cos ⎛ x - π ⎫
- 2
Ｄ． y = 2 cos ⎛ x + π ⎫ + 2
3 12 ⎪
答案：Ａ 练 习 ：
3 12 ⎪
（2006 安徽文、理）将函数 y = sin x (> 0) 的图 象按向量 = ⎛ - ⎫ 平移，平移后的图象如图所
a 6 , 0 ⎪ ⎝ ⎭
示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 （ ）
A. y = sin(x + 6
C． y = sin(2x + 3 B. y = sin(x -
6
D． y = sin(2x -
3
小 结 ：
⎧简单→ 复杂⎫ ⎪ ⎬过程互逆 ⎪复杂→ 简单⎭ ⎪
⎧三角函数名称不变的函数平移
⎪ ⎪ 三角函数平移⎨ ⎧1、同名化异名（反诱导公式） ⎪复杂→ 复杂⎪三角函数名称改变的函数平移⎪
2、压缩
⎪
⎨ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎩⎪
⎪⎩三角函数按向量的平移 ⎨ ⎪3、平移 ) ) ) )。