第四节函数的单调性与曲线的凹凸性概要
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
f ' ( x0 ) 0 x0为函数的极值点 ?
例2 求函数 y x 的驻点 .
3
y
y x3
解
y x 3 的驻点为 x 0 .
O
x
但它不是极值点.
11
此外, 不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但却是极小值点.
函数的不可导点也不一定是极值点。 y
19
例5 求函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值.
解
D f : (,)
2 f ( x ) 3 x 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,
令 f ( x ) 0， 得驻点 x1 1, x2 3.
f ( x ) 6 x 6 ,
x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
1 1 f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) 2 2
f ( x1 ) f ( x2 ).
曲线的凹向与函数导数的单调性的关系：
凹
凸
曲线凹 导函数递增？
x1 x2 1 f( ) [ f ( x1 ) f ( x2 ))] 2 2 x1 x2 x1 x2 f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
设 x1 x2 ,由泰勒展开定理
3 2
不可导点 x 3, 驻点x 2,4.
17
23 求 f ( x ) ( x 4 ) x 3 的单调区间和极值 . 例4 不可导点 x 3, 7( x 4)( x 2) f ( x ) 驻 点x 2,4. 3 3 ( x 3) 2
函数的单调性与曲线的凹凸性.pps
当$a > 0$时，函数在 $mathbb{R}$上单调递增；
一次函数的图像是一条直 线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的 单调性由系数$a$和对称轴$x = frac{b}{2a}$的位置决定
当$a > 0$时，函数图像开口向上， 对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；
凸曲线
曲线在某区间内凸向一个方向，即曲线在区间内任意两点间连线都在曲线上方。
判断曲线凹凸性的方法
要点一
导数法
通过求函数的导数，判断导数的正负来 判断曲线的凹凸性。如果函数在某区间 的导数大于0，则该区间内曲线是凹的； 如果导数小于0，则曲线是凸的。
要点二
二次项系数法
对于形如y=ax^2+bx+c的二次函数， 如果a>0，则抛物线开口向上，顶点处 为最小值，为凹曲线；如果a<0，则抛 物线开口向下，顶点处为最大值，为凸 曲线。
要点三
切线法
通过观察曲线上某点的切线方向来判断 曲线的凹凸性。如果切线斜率在某区间 内保持不变且大于0，则该区间内曲线 是凹的；如果切线斜率在某区间内保持 不变且小于0，则曲线是凸的。
曲线凹凸性的应用
经济预测
利用经济数据的曲线凹凸性分析经济趋势和预测经济变化。例如，通过分析GDP、消费、投资等经济指标的曲线凹凸 性，可以预测未来经济走势。
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contents
目录
• 函数的单调性 • 曲线的凹凸性 • 单调性与凹凸性的关系 • 实例分析
01 函数的单调性
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则表示函数值随着自变量的增加而增加；如 果函数在某个区间内单调递减，则表示函数值随着自变量的增加而减小。
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性㈠本课的基本要求掌握用导数判断函数的单调性的方法，会用导数判断函数图形的凹凸性以及拐点，会单调性和凹凸性的一些简单运用㈡本课的重点、难点单调性的判断是本课的重点、凹凸性的判定为本课的难点㈢教学内容单调性是函数的重要性态之一，它既是决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节以微分中值定理为工具，给出函数单调性及极值的判别法。
一．函数单调性的充分条件单调性的定义。
再假设函数在某个区间内可导且具有单调性，如单调递增，由单调递增这一整体性质不难看到：无论0>∆x 还是0<∆x ，差商0)()(≥∆-∆+=∆∆xx f x x f x y ，这样可得0)(≥'x f 。
（注意，即使严格递增，一般也得不到0)(>'x f 。
），反过来，也希望利用导数的符号判断函数在某个区间上的单调性。
定理1 设函数内可导上连续，在在),(],[)(b a b a x f ⑴如果在内单调增加在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a >'；⑵如果在内单调在，则内],[)(0)(),(b a x f x f b a <'减少。
证略。
（课堂上介绍）几何意义：如曲线)(x f y =在某区间内的切线与x 轴正向的夹角α是锐角（tan α>0），则该曲线在该区间内上升，若这个夹角是钝角（tan α<0），则该曲线在该区间内下降。
(在黑板上画图)由定理知，可导函数的单调性可根据其导数的正负情况予以确定。
如函数的导数仅在个别点处为0，而在其余的点处均满足定理的条件，那么定理1的结论仍然成立，例如3x y =在x=0处的导数为0，但在),(+∞-∞内的其它点处的导数均大于0，因此它在区间),(+∞-∞内是增加的。
有时，函数在其定义域上并不具有单调性，但在各个部分区间上却具有单调性。
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性与极值
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性与极值教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间，理解函数极值的概念，会求函数极值。
教学重点：掌握用一阶导数判断函数的单调性和利用二阶导数判断曲线的凹凸性的方法和极值。
教学难点：导数不存在的连续点、也可能是单调区间和曲线的凹凸区间的分界点。
教学内容：一、函数单调性的判定法 如果函数)(x f y=在],[b a 上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即0)(≥'='x f y (或0)(≤'='x f y ) 由此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来, 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理1 (函数单调性的判定法) 设函数)(x f y =在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导.(1)如果在),(b a 内0)(>'x f , 那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加;(2)如果在),(b a 内0)(<'x f , 那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.证明 只证(1)（（2）可类似证得）在],[b a 上任取两点)(,2121x x x x <, 应用拉格朗日中值定理, 得到)()()()()(211212x x x x f x f x f <<-'=-ξξ.由于在上式中012>-x x , 因此, 如果在),(b a 内导数)(x f '保持正号,即0)(>'x f , 那么也有0)(>'ξf , 于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ从而)()(21x f x f <，因此函数)(x f y=在],[b a 上单调增加. 证毕注: 判定法中的闭区间可换成其他各种区间. 例1 判定函数x x ysin -=在]2,0[π上的单调性.解 因为在)2,0(π内0cos 1>-='xy ,所以由判定法可知函数x x y sin -=在]2,0[π上单调增加.例2 讨论函数1--=x e y x的单调性.解 由于1-='xe y 且函数1--=x e y x的定义域为),(+∞-∞令0='y , 得0=x , 因为在)0,(-∞内0<'y , 所以函数1--=x e y x在]0,(-∞上单调减少; 又在),0(+∞内0>'y , 所以函数1--=x e y x在),0[+∞上单调增加.例3. 讨论函数32x y =的单调性.解: 显然函数的定义域为),(+∞-∞, 而函数的导数为332x y =')0(≠x所以函数在0=x处不可导.又因为0<x 时,0<'y , 所以函数在]0,(-∞上单调减少; 因为0>x时, 0>'y , 所以函数在),0[+∞上单调增加.说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程0)(='x f 的根及导数不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间, 就能保证)(x f '在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数)(x f 在每个部分区间上单调.例4. 确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间.解 该函数的定义域为),(+∞-∞.而)2)(1(612186)(2--=+-='x x x x x f ,令0)(='x f , 得2,121==x x .列表函数f (x )在区间]1,(-∞和),2[+∞内单调增加, 在区间]2,1[上单调减少.例5. 讨论函数3xy=的单调性.解 函数的定义域为),(+∞-∞函数的导数为:23x y =', 除0=x时, 0='y 外, 在其余各点处均有0>'y 因此函数3xy =在区间]0,(-∞上单调减少;因为当0≠x时, 0>'y , 所以函数在),0[+∞及),0[+∞上都是单调增加的.从而在整个定义域),(+∞-∞内3xy =是单调增加的. 其在0=x 处曲线有一水平切线.说明:一般地, 如果)(x f '在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时,那么)(x f 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例6. 证明: 当1>x 时, xx 132->.证明: 令)13(2)(xx x f --=, 则)1(111)(22-=-='x x xx x x f 因为当1>x 时,0)(>'x f , 因此)(x f 在),1[+∞上单调增加, 从而当1>x 时,)1()(f x f > ,又由于0)1(=f , 故0)1()(=>f x f ,即0)13(2>--xx , 也就是xx 132->,(1>x ).二、曲线的凹凸与拐点 1. 凹凸性的概念x 1x 2y x O221x x +()221x x f+2)()(21x f x f + f (x 2) f (x 1) x 1 x 2yxO221x x +()221x x f+2)()(21x f x f + f (x 2)f (x 1)定义 设)(x f 在区间I 上连续, 如果对I 上任意两点21,x x , 恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+, 那么称)(x f 在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧). 定义' 设函数)(x f y =在区间I 上连续, 如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I 上是凹的；如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I 上是凸的. 2.曲线凹凸性的判定定理 设)(x f 在],[b a 上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在),(b a 内0)(>''x f , 则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的;(2)若在),(b a 内0)(<'x f , 则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的. 证明 只证(1)((2)的证明类似) 设)(,],[,2121x x b a x x <∈ 记2210x x x +=由拉格朗日中值公式得2)())(()()(21101101x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 011x x <<ξ2)())(()()(12202202x x f x x f x f x f -'=-'=-ξξ 220x x <<ξ两式相加并应用拉格朗日中值公式得2)]()([)(2)()(1212021x x f f x f x f x f -'-'=-+ξξ 02))((1212>--''=x x f ξξξ 21ξξξ<<即)2(2)()(2121xx f x f x f +>+ 所以)(x f 在],[b a 上的图形是凹的拐点: 连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.确定曲线)(x f y =的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数)(x f y =的定义域;(2)求出在二阶导数)(x f ' ;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例1. 判断曲线x yln =的凹凸性.解:xy 1=',21xy -=''.因为在函数x y ln =的定义域),0(+∞内, 0<''y , 所以曲线x y ln =是凸的.例2. 判断曲线3xy=的凹凸性.解: 因为23x y =' ,x y 6=''. 令0=''y 得0=x .当0<x 时, 0<''y , 所以曲线在]0,(-∞内为凸的;当0>x 时,0>''y , 所以曲线在),0[+∞内为凹的. 例3. 求曲线14123223+-+=x x x y的拐点.解: 12662-+='x x y , )12(6612+=+=''x x y ，令0=''y , 得21-=x . 因为当21-<x 时,0<''y ; 当21->x 时, 0>''y , 所以点(21-, 2120)是曲线的拐点.例4. 求曲线14334+-=x x y的拐点及凹、凸的区间.解: (1)函数14334+-=x x y 的定义域为),(+∞-∞; (2) 231212x x y -=',)32(3624362-=-=''x x x x y ;(3)解方程0=''y , 得01=x , 322=x ; (4)列表判断:(-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f ''(x ) + 0 - 0 +)(x f1 11/27在区间]0,(-∞和),32[+∞上曲线是凹的, 在区间]32,0[上曲线是凸的. 点)1,0( 和)2711,32(是曲线的拐点.例5 问曲线4xy =是否有拐点？解34xy =',212xy ='' .当0≠x 时, 0>''y , 在区间),(+∞-∞内曲线是凹的, 因此曲线无拐点.例6. 求曲线3x y =的拐点.解 (1)函数的定义域为),(+∞-∞; (2) 3231x y =', 32 92x x y -=''; (3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为0=x ;(4)判断: 当0<x 时,0>''y ; 当0>x时, 0<''y .因此, 点)0,0(是曲线的拐点.三、函数的极值及其求法定义 设函数)(x f 在0x 的某一邻域)(0x U 内有定义如果对于去心邻域)(0x U ︒内的任一x ，有)()(0x f x f <（或)()(0x f x f >）, 则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值（或极小值）.函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.说明：函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值, 那只是就0x 附近的一个局部范围来说, )(0x f 是)(x f 的一个最大值; 如果就)(x f 的整个定义域来说, )(0x f 不一定是最大值. 对于极小值情况类似.极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值.定理3 (必要条件)设函数)(x f 在点0x 处可导, 且在0x 处取得极值, 那么函数在0x 处的导数为零, 即0)(0='x f .定理1可叙述为：可导函数)(x f 的极值点必定是函数的驻点. 但是反过来, 函数)(x f 的驻点却不一定是极值点.考察函数3)(x x f =在0=x 处的情况. 显然0=x 是函数3)(x x f =的驻点，但0=x 却不是函数3)(x x f =的极值点.定理4 (第一种充分条件)设函数)(x f 在点0x 处连续, 在0x 的某去心邻域),(0δx U ︒内可导.(1) 若),(00x x x δ-∈时，0)(>'x f , 而),(00δ+∈x x x 时，0)(<'x f , 则函数)(x f 在0x 处取得极大值;(2) 若),(00x x x δ-∈时，0)(<'x f , 而),(00δ+∈x x x 时，0)(>'x f , 则函数)(x f 在0x 处取得极小值;(3)如果),(0δx U x ︒∈时，)(x f '不改变符号, 则函数)(x f 在0x 处没有极值. 定理2也可简单地叙述为: 当x 在0x 的邻近渐增地经过0x 时, 如果)('x f 的符号由负变正, 那么)(x f 在0x 处取得极大值; 如果)('x f 的符号由正变负, 那么)(x f 在0x 处取得极小值; 如果)('x f 的符号并不改变, 那么)(x f 在0x 处没有极值.确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数)('x f ;(2)求出)(x f 的全部驻点和不可导点;(3)列表判断(考察)('x f 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值. 例1 求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值解 963)(2--='x x x f )3)(1(3-+=x x令，0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论x)1,(--∞1-)3,1(-3),3(+∞)(x f '++)(x f↑极大值↓极小值↑所以极大值)1(-f ,10=极小值22)3(-=f .22-= 函数593)(23+--=x x x x f 的图形如下例2 求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值解 显然函数)(x f 在),(+∞-∞内连续 除1-=x 外处处可导 且 313)1(5)(+-='x x x f 令)('x f 得驻点1=x ，1-=x 为)(x f 的不可导点(3)列表判断x )1,(--∞-1 )1,1(-1 ),1(+∞)('x f+ 不可导 - 0 + )(x f↗↘343-↗所以极大值为0)1(=-f 极小值为343)1(-=f如果)(x f 存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有定理5 (第二种充分条件) 设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0'=x f ,0)(0≠''x f , 那么(1)当0)(0<''x f 时, 函数)(x f 在0x 处取得极大值;(1)当0)(0>''x f 时, 函数)(x f 在0x 处取得极小值; 证明 对情形(1), 由于0)(0<''x f , 由二阶导数的定义有0)()(lim)(0000<-'-'=''→x x x f x f x f x x .根据函数极限的局部保号性, 当x 在0x 的足够小的去心邻域内时,0)()(00<-'-'x x x f x f . 但0)(0'=x f , 所以上式即为0)(0<-'x x x f . 于是对于去心邻域内的x 来说, )('x f 与0x x -符号相反. 因此, 当00<-x x 即0x x <时,0)('>x f ; 当00>-x x 即0x x >时,0)('<x f . 根据定理2,)(x f 在0x 处取得极大值.类似地可以证明情形(2).说明：如果函数)(x f 在驻点0x 处的二导数0)(0≠''x f , 那么该点0x 一定是极值点, 并可以按)(0x f ''的符来判定)(0x f 是极大值还是极小值. 但如果0)(0=''x f , 定理3就不能应用.例如讨论函数4)(x x f =, 3)(x x g =在点0=x 是否有极值？因为34)(x x f =', 212)(x x f =''，所以0)0(='f ，0)0(=''f但当0<x 时0)(<'x f , 当0>x 时0)(>'x f , 所以)0(f 为极小值. 而23)(x x g =',x x g 6)(=''，所以0)0(='g ，0)0(=''g 但)0(g 不是极值．例3 求出函数 20243)(23--+=x x x x f 的极值解 2463)(2-+='x x x f )2)(4(3-+=x x令，0)(='x f 得驻点 2,421=-=x x ，由于66)(+=''x x f由于=-'')4(f ,018<- 所以极大值)4(-f 60= 而='')2(f ,018>所以极小值)2(f .48-=函数 20243)(23--+=x x x x f 的图形如下注意 当0)(0=''x f 时，)(x f 在点0x 处不一定取得极值，此时仍用定理2判断。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性描述
2 36 x( x ) 3
y y
2018/12/9
凹
0 拐点 凸 (0,1)
2 3 0
(2 , ) 3
拐点
( 2 , 11 ) 3 27
凹
22
3-4 单调性和凹凸性
2 2 故该曲线在( , 0) 及( , ) 上向上凹, 在 (0 , ) 上 3 2 11 3 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 均为拐点. 3 27
3-4 单调性和凹凸性
12
例4 当x 0时, 试证x ln(1 x )成立.
证 : 设f ( x ) x ln(1 x ), 则 1 x f ( x ) 1 . 1 x 1 x f ( x )在[0,)上连续, 且(0,)可导, f ( x ) 0,
第四节 函数的单调性与 曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸与拐点
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
1
y
y f ( x)
A
B
பைடு நூலகம்
y
A y f ( x)
B
o a
b
x
o a
b x
f ( x ) 0
f ( x ) 0
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
2
一、函数单调性的判定法
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
2018/12/9
3-4 单调性和凹凸性
25
• 用一阶导数符号判别单调性；用二阶导数符 号判别凹凸性。 • 一阶导数为0或不存在的点为单调性发生变 化的可疑点；二阶导数为0或不存在的点为 凹凸性发生变化的可疑点。
04第四节函数的单调性、凹凸性与极值
第四节函数单一性、凹凸性与极值我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单一性和某些简单函数的性质，法使用范围狭窄，而且有些需要借助某些特别的技巧，因此不拥有一般性. 工具，介绍判断函数单一性和凹凸性的简易且拥有一般性的方法. 但这些方本节将以导数为散布图示★ 单一性的鉴别法★例 1★ 单一区间的求法★例 2 ★例 3 ★例4★例5 ★例 6 ★例 7 ★例 8 ★ 曲线凹凸的观点★例 9 ★例10★ 曲线的拐点及其求法★例11 ★例12 ★例13★ 函数极值的定义★函数极值的求法★例14 ★例15 ★例16★第二充足条件下★例17 ★例18 ★例19★ 内容小结★ 讲堂练习★习题 3-4 ★ 返回内容重点一、函数的单一性：设函数y f ( x) 在 [a, b]上连续 , 在 (a, b)内可导 .(1) 若在 (a, b)内 f (x) 0 , 则函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单一增添 ;(2) 若在 (a, b)内 f (x) 0 , 则函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单一减少 .二、曲线的凹凸性：设 f ( x) 在 [a, b] 上连续 , 在 (a, b)内拥有一阶和二阶导数, 则(1) 若在 (a, b)内， f ( x) 0, 则 f (x) 在 [a, b]上的图形是凹的 ;(2) 若在 (a, b)内， f ( x) 0, 则 f (x) 在 [a, b]上的图形是凸的 .三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点判断曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1)求函数的二阶导数 f ( x) ；(2)令 f ( x) 0 ，解出所有实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；(3) 对步骤 (2)中求出的每一个点，检查其周边左、右双侧 f (x) 的符号，确立曲线的凹凸区间和拐点.四、函数的极值极值的观点；极值的必需条件；第一充足条件与第二充足条件；求函数的极值点和极值的步骤：（ 1）确立函数 f ( x) 的定义域，并求其导数 f ( x) ;（ 2）解方程 f (x) 0 求出 f (x) 的所有驻点与不行导点;（ 3）议论 f ( x) 在驻点和不行导点左、右双侧周边符号变化的状况，确立函数的极值点;（ 4）求出各极值点的函数值，就获得函数 f ( x) 的所有极值 .例题选讲函数单一性的判断例 1 (E01) 议论函数 y e x x 1的单一性 .解y e x 1. 又 D:( , ). 在( ,0) 内， y 0, 函数单一减少；在 (0, ) 内， y 0, 函数单一增添 .注：函数的单一性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判断，而不可以用一点处的导数符号来鉴别一个区间上的单一性.例 2 (E02) 议论函数 y 3 x2的单一区间 .解 D : ( , ). y2( x 0), 当 x 0 时，导数不存在 .33 x当x 0 时， y 0, 在 ( ,0] 上单一减少；当 0 x 时， y 0, 在 0, 上单一增添；单一区间为 ( ,0] ， [0, ) .注意 : 区间内个别点导数为零不影响区间的单一性. 比如，y x3 , y x 0 0, 可是( , ) 上单一增添 .注：从上述两例可见，对函数 y f ( x) 单一性的议论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域区分为若干个子区间，而后逐一判断函数的导数 f ( x) 在各子区间的符号，进而确立出函数y f ( x) 在各子区间上的单一性，每个使得f (x) 的符号保持不变的子区间都是函数y f ( x) 的单一区间 .求单一区间例 3 (E03) 确立函数 f ( x) 2 x3 9x 2 12x 3 的单一区间 .解 D : ( , ). f ( x) 6 x2 18x 12x 6( x 1)( x 2),解方程 f ( x) 0 得 x1 1, x2 2.当x 1 时， f ( x) 0, f ( x) 在,1 上单一增添；当 1 x 2 时， f ( x) 0, f ( x) 1,2 上单一减少；当 2 x 时， f ( x) 0, f ( x) 在 [ 2, ) 上单一增添；单一区间为 ( ,1], [1,2], [ 2, ).例4求函数y 3 ( 2x a )(a x)2 ( a 0) 的单一区间 .解y 2 2a 3x, 3 3 a )2 (a(2 x x)令 y0, 解得 x2a, 在 x 2a , x 3 a 处 y 不存在 .132在, a内， y 0, 函数单一增添 .在 a, 2 a 内， y0, 函数单一增添 .22 3在 2a, a 内， y0, 函数单一减少 .在 a,内， y0, 函数单一增添 .3例 5 当 x 0 时， 试证 x ln(1 x) 建立 .证 设 f ( x) x ln(1 x), 则 f( x) 1 x .xf ( x) 在 [ 0, ] 上连续，且在 (0,) 内可导， f (x) 0,f (x) 在 [ 0, ] 上单一增添，f ( 0) 0,当 x0 时， x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x). 证毕 .应用单一性证明例 6 (E04) 试证明：当 x0 时 , ln(1 x)x 1 2 .x2证 作协助函数f ( x) ln(1 x)x 1 x 2 ,2由于 f ( x) 在 [ 0, ) 上连续，在 (0,) 内可导，且 f ( x)1x 2 ,1 x1 x1 x当 x 0 时， f (x) 0, 又 f (0) 0.故当 x 0 时， f (x)f (0) 0,所以 ln(1 x)x 1 x 2.2例 7 (E05) 证明方程 x5x 10在区间 ( 1,0) 内有且只有一个实根 .证 令 f ( x)x 5x 1, 因 f ( x) 在闭区间 [ 1,0] 持续，且 f ( 1) 1 0, f (0) 1 0.依据零点定理 f ( x) 在 ( 1,0) 内有一个零点 .另一方面， 关于随意实数 x, 有 f ( x) 5 x 41 0,所以 f ( x) 在 (,) 内单一增添，所以曲线 y f ( x) 与 x 轴至多只有一个交点 .综上所述可知，方程 x5x 1 0在区间 ( 1,0) 内有且只有一个实根 .例 8 证明方程 ln xx 1在区间 (0, ) 内有两个实根 .e证 令 f ( x)ln xx 1, 欲证题设结论等价于证f (x) 在 (0, ) 内有两个零点 .e令 f (x)1 1 0x e. 因 f (e)1, lim f ( x), 故 f (x) 在 (0,e) 内有一零点 .x ex又因在 (0,e) 内 f (x) 0, 故 f ( x) 在 (0, e) 内单一增添，这零点独一 .所以 , f ( x) 在 (0,) 内有且仅有两个零点 , 证毕 .例 9 (E06)判断yx ln(1x) 的凹凸性.解 由于y 1 1 , y 11 (1 x)2x所以，题设函数在其定义域( 1, ) 内是凹的 .例 10 (E07) 判断曲线 y x3的凹凸性.解y 3x2 , y 6x, 当 x 0 时， y 0, 曲线在 ( ,0] 为凸的；当 x 0 时， y 0, 曲线在 [ 0, ) 为凹的；注意到点 (0,0) 是曲线由凸变凹的分界点 .例 11 (E08) 求曲线 y 3 x4 4 x3 1 的拐点及凹、凸区间 .解易见函数的定义域为( , ),y 12x3 12x2 , y2 36x x.3令 y 0, 得 x1 0, x2 2 .3x ( ,0) 0 (0, 2 3) 2/3 (2/3, )f ( x) + 0 －0 +f ( x) 凹的拐点(0,1) 凸的拐点 ( 2/ 3,11/ 27) 凹的所以，曲线的凹区间为( ,0] ,[2 3, ) 凸区间为 [0,2 3] 拐点为(0,1)和(2 / 3,11/ 27) .例 12 求曲线 y sin x cos x( x ( 0,2 )) 的拐点 .解y c o xs si nx, y s i nx c o sx, y c o sx s i nx.令 y 0, 得 x1 3, x2 7 .4 432 0, f 72 0,f4 4在 [0,2 ] 内曲线有拐点为3,0 ,7,0 .4 4注：若 f ( x0 ) 不存在，点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是连续曲线y f (x) 的拐点 .曲线凹凸性判断例 13 (E09) 求函数 y a 2 3 x b 的凹凸区间及拐点 .解y 1 1 , y 2 ,3 3( x b)2 93 (x b )5函数 y 在x b 处不行导，但 x b 时， y 0, 曲线是凸的，x b 时， y 0, 曲线是凹的 . 故点 (b,a 2 ) 为曲线 y a 2 3 x b 的拐点例 14(E10) 求出函数f ( )x3 3x2 9x5的极值 . x解f ( ) 3 2 6 x 9 3( x 1)( x 3) ,令f (x) 0, 得驻点 x 1 1, x 2 3.x x列表议论以下：x(, 1)1( 1,3)3(3,)f ( x) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x)↑极大值↓极小值↑所以 , 极大值 f ( 1) 10, 极小值 f (3)22.例 15 (E11) 求函数 f ( x) ( x 4) 3 ( x 1) 2的极值 .解 (1) 函数 f ( x) 在 (,) 内连续，除 x1 外到处可导，且 f (x)5(x 1) ;33 x 1( 2) 令 f (x)0, 得驻点 x 1; x1 为 f ( x) 的不行导点 ;(3) 列表议论以下 :x( ,1)1( 1,1)1(1,)f ( x)＋ 不存在 － 0 ＋ f ( x)↑极大值↓极小值↑( 4) 极大值为 f ( 1) 0, 极小值为 f (1)33 4.例 16 求函数 f x x3 x22 / 3的单一增减区间和极值.解 求导数 f ( x) 1 x 1/ 3 , 当 x 1 时 f (0) 0, 而 x 0 时 f ( x) 不存在 ,所以，函数只可能在这两点获得极值. 列表以下 :x(,0)(0, 1)1(1,)f ( x)＋ 不存在 － 0 ＋f ( x)↗极大值 0↘ 极小值1↗2由上表可见：函数 f ( x) 在区间 ( ,0), (1, ) 单一增添 , 在区间 (0,1) 单一减少 .在点x 0 处有极大值 , 在点 x1处有极小值 f (1) 1,如图.2例 17 (E12) 求出函数f ( x ) x 33 224 x 20 的极值 .x解f( ) 3 2 6 x 24 3( x 4)( x 2), 令 f ( x) 0, 得驻点 x4, x 2.x x12又 f (x) 6 x 6, f ( 4) 18 0,故极大值 f ( 4) 60, f (2)18 0,故极小值 f (2)48.注意： 1. f ( x0 ) 0 时, f ( x) 在点x0处不必定取极值, 仍用第一充足条件进行判断.2.函数的不行导点 ,也可能是函数的极值点 .例 18 (E13) 求函数 f ( x) ( x2 1)3 1的极值 .解由f ( ) 6 ( 2 1)2 0, 得驻点x 1, x 0, x 1. f ( x) 6(x 2 1)(5x 2 1).x x x31 2因 f (x) 6 0, 故 f ( x) 在 x 0 处获得极小值，极小值为 f (0) 0.因 f ( 1) f (1) 0, 故用定理 3 没法鉴别 .观察一阶导数 f (x) 在驻点 x1 1 及 x3 1左右周边的符号 :当 x 取 1 左边周边的值时, f (x) 0;当 x 取1右边周边的值时, f ( x) 0;因 f (x) 的符号没有改变，故 f ( x) 在 x 1 处没有极值 . 同理， f (x) 在x 1处也没有极值 . 以下图 .例 19 求出函数 f ( x) 1 (x 2) 2/ 3的极值 .2( x 1解 f ( x) 2) 3 (x 2). x 2 是函数的不行导点 .3当 x 2 时 , f ( x) 0; 当 x 2 时 , f (x) 0.f (2) 1 为 f (x) 的极大值 .讲堂练习1. 若f (0) 0, 能否能判断 f (x) 在原点的充足小的领域内单一递加?2.设函数 f ( x) 在 (a, b) 内二阶可导, 且 f ( x0 ) 0, 此中x0 (a, b) , 则 (x0 , f (x0 )) 能否一定为曲线 f (x) 的拐点 ?举例说明 .。
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
y
拐点的判别法:
( x0 , f ( x0 ))
o
x
若 f ( x) 在 x0 两侧异号, 则点 ( x0 , f ( x0 ))是拐点.
求凹凸区间及拐点的方法:
(1) 求函数 f (x) 的定义域 D; (2) 求 f ( x); (3) 求 方 程 f ( x) 0 的 实 根,
证: x1, x2 [a, b], 且 x1 x2, 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1) f ( )( x2 x1 ) ( ( x1, x2 ))
(1) 若 在(a, b)内, f ( x) 0, 则 f ( ) 0, 又 x2 x1 0,
( A) f (1) f (0) f (1) f (0) (B) f (1) f (1) f (0) f (0) (C) f (1) f (0) f (1) f (0) (D) f (1) f (0) f (1) f (0) 提示: 利用 f ( x)单调增加 , 及
且点( x0 , f ( x0 ))是拐点,则
f ( x0 ) 0.
例14. 已知(2,4)是曲线y x3 ax2 bx c 的拐点,
且曲线在点x 3 处有极值,求常数a, b, c.
解:
(2,4) 是拐点
4
8 4a 2b c
(1)
y 12 2a 0 (2)
( x 0)
x (, 0) 0 (0 , )
f ( x) 不存在
f (x)
该函数在(,0]上单调减少; 在[0,) 上单调增加.
说明:导数不存在的点划分函数的定义区间为两 个具有单调性的区间.
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
高数讲义第四节函数的单调性与凹凸性
2、曲线凹凸的判定
特点：（1）曲线弧总位于 切线的下方。
（2）切线的斜率随 x 的增大 而减少。
y y f (x)
B
A oa
bx
即 f ( x)在[a, b]上单调减少.
由单调性判断可知：
若 f ( x) 0 f ( x)单调减少 曲线 y f ( x)是凸的.
2、曲线凹凸的判定
定理2 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内具有
o
x
当 x 0时， y 0, 在(,0]上单调增加；
当0 x 时， y 0, 在[0,)上单调增加；
在(,)上函数单调增加.
一般地:若 f (x) 在区间内除有限个点处的导数为零, 在其余点处导数恒为正（或恒为负），则 f (x) 在该 区间上仍旧是单调增加的（或单调减少的 ） .
注意:单调性也常用来证明不等式或方程的根的个数.
一阶和二阶导数 , 若在 (a, b) 内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的.
说明： （1）证明的思路与单调性的情形完全一样。
（2）若将区间 [ a , b ] 换为其它形式的区间（包括 无穷区间），定理2的结论仍然成立。
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2) 解方程f ( x) 0 得，x1 1, x2 2. 将 D划分为: (, 1], [1, 2] , [2, ) 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少；
f (1) 1 0, f (0) 1 0,
chap3-4函数的单调性与曲线的凹凸性
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3 y x 的凹凸区间。 例7 求曲线
解
1 2 y 3 2 , y 3 2 , ( x 0) . 3 x 9x x
当x < 0时，y > 0, 所以曲线在(, 0]上是凹弧；
当x > 0时，y < 0, 所以曲线在[0, + )上是凸弧。
3 2
D : ( , )
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
( 0,1)
凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
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凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
f ( 0 ) 0, 在[0,)上单调增加；
当x 0时，x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
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பைடு நூலகம்
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
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问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法: 用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
y
C
第四节函数的单调性与凹凸性
F ( x ) 是凸函数
F ( x ) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
第四节、函数单调性与凹凸性
五、作业
第四节、函数单调性与凹凸性
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ;
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
x1 x2 x x x x 1 2 1 2 f ( x1 ) f ( ) ) ( x1 ) f ( 2 2 2 f (1 ) x1 x2 2 ( x1 ) 2! 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ) ) f ( ) ( x2 f ( x2 ) f ( 2 2 2 f ( 2 ) x1 x2 2 ( x2 ) 两式相加，得 2! 2
第四节 函数的单调性与凹凸性
一、函数单调性的判定 法 二、曲线的凹凸与拐点 三、小结、思考与练习 四、作业
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减). 任取
( f ( x ) 0) ,则
证: 无妨设
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
( x 1)
2( x 3 3 x 2 3 x 1) 2 3 ( x 1)
2( x 1)( x 2 3 )( x 2 3 ) 2 3 ( x 1)
第四节、函数单调性与凹凸性
令 y 0 得 x1 1 , x2 2 3 ,
x 3 2 3
内容小结
1. 可导函数单调性判别 f ( x ) 0 , x I f ( x ) 0 , x I
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y y y
o o o
xx x xx x x x x 11 11 22 x 22 x 22
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主讲人： 苏本堂
观察与思考
观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
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例1 讨论函数 yex x1的单调性
解
yex1
函数yexx1的定义域为( ) 因为在( 0)内 y<0 所以函数 yexx1在( 0]上单调减少 因为在(0 )内y>0 所以函数 yexx1在[0 )上单 调增加 3 2 讨论函数 y x 的单调性 例2 解 函数的定义域为( ) 2 y 3 (x0) 函数在 x0 处不可导 3 x 因为x<0时 y<0 所以函数在( 0] 上单调减少 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 )上单调增加
b x y 0
定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形是凸的
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提示: y 2 e
x2
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作业：p-152习题3-4 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 6, 9(3), (6) ; 10 (3) ; 13 ;
1 2 , 1 e 2
1
;
) .
(1 2 x 2 ) 2 3 . 证明: 当 0 x 时， 有 sin x x . 2 2 提示: 令F ( x) sin x x , 则 F (0) 0, F ( ) 0 2 2 F ( x) 0 F ( x) cos x
x y f ( x) f ( y ) f( ) 2 2 x y n 1 n ( ) (x yn ) 2 2 1 n x y n n (x y ) ( ) . 2 2
即 所以
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内容小结
1. 可导函数单调性判别
f ( x) 0 , x I f ( x) 0 , x I
的凹凸区间及拐点.
y 12 x3 12 x 2 ,
36 x( x 2 ) 3
(0,1) ( 2 , 11 ) 3 27
2) 求拐点可疑点坐标
11 , y 1 , y 对应 令 y 0 得 x1 0 , x2 2 1 2 3 2 27 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
例10. 证明不等式 1 n x y n n (x y ) ( ) ( x 0, y 0, x y, n 1) 2 2 n 2 n f ( t ) n ( n 1) t 证明 设 f (t ) t 则
当n>1时;在(0,+∞)
f (t ) 0
所以在(0,+∞)内, f(t)是凹函数,所以对于任意的x,y 满足 x 0, y 0, x y, 有
o
x1
x1 x2 2
x2
x
o
x1
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
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二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 (1) 若恒有 图形是凹的; (2) 若恒有 图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 则称 在区间 I 上连续 , 则称
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
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1 例4 证明: 当 x1 时 2 x 3 x 1 证明 : 令 f (x) 2 x (3 ) 则 x f (x) 1 12 12 (x x 1) x x x 因为当x>1时 f (x)>0 所以f(x)在[1 )上f(x)单调 增加 因此当x>1时 f(x)>f(1)=0 即 2 x (3 1 ) 0 x 1 也就是 2 x 3 (x1) x
证明 只证(1) 在(a b)内任取两点x1 x2(x1<x2) 由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f (x)(x2x1) (x1<x<x2) 因为f (x)>0 x2x1>0 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)>0 即 f(x1)<f(x2) 这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加
0 0 1
(0 , 2 ) 3
(2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
2) 上 2 在 ( 0 , ( , 0 ) 上向上凹 , 故该曲线在 及 ( 3 , ) 3 2 , 11 ) 均为拐点. ( 点 ( 0 , 1 ) 及 向上凸 , 3 27
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利用 x 1, x 2 划分函数的定义域,列表讨论.
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例3. 确定函数
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
2 解: f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
x
f ( x) f ( x)
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第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凹凸性与拐点
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一、函数单调性的判定法
定理1 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少
二、曲线的凹凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
o
A
x
y
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
x x2 f( 1 ) f ( x1 ) 2
y f ( x)
y
f(
x1 x 2 ) 2
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2
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例8. 求曲线
的拐点.
2 3
x 解: y 1 3
x
2x , y 9
5
3
( , 0) 0 不存在 y y 凹 0
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
(0 , )
凸
的拐点 .
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例9. 求曲线 解: 1) 求 y
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定理2(曲线凹凸性的判定法)
设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形是凸的
例6 判断曲线yx3的凹凸性 解 y3x 2 y6x 由y0 得x0. 因为当x<0时 y<0 所以曲线在( 0]内是凸的 因为当x>0时 y>0 所以曲线在[0 )内是凹的 (0,0)是曲线的拐点.
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确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论
例3. 确定函数 的单调区间.
2 f ( x ) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) 解: 令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
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例5. 证明
时, 成立不等式
sin x 2 证: 令 f ( x ) , x
且
x cos x sin x cos x f ( x) 2 ( x tan x) 0 2 x x
x 1
tan x
因此
从而
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提示: 利用 f ( x) 单调增加 , 及
f (1) f (0) f (x ) (0 x 1)
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2. 曲线 y 1 e
x2