【审核版】2017年天津数学(文)高考试题(Word版,含答案解析)
2017年天津市高考数学试卷(文科)
2017年天津市高考数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，6}【答案】B【解析】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．2.设x∈R，则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：由2-x≥0得x≤2，由|x-1|≤1得-1≤x-1≤1，得0≤x≤2．则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件，故选：B求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，故选：C．先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19-1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，输出N=2，故选：C根据程序框图，进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选：D．利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=-f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.c＜b＜aD.c＜a＜b【答案】C【解析】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=-f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．7.设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A.ω=，φ=B.ω=，φ=-C.ω=，φ=-D.ω=，φ=【答案】A【解析】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得＞，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（=，得sin（φ+=1．∴φ+ =，k ∈Z ． 取k =0，得φ=＜π． ∴，φ= ． 故选：A ．由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f （）=2求得φ值．本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y =A sin （ωx +φ）型函数的性质，是中档题．8.已知函数f （x ）= ， ＜，，设a ∈R ，若关于x 的不等式f （x ）≥|+a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A.[-2，2]B. ，C. ，D. ， 【答案】 A【解析】解：根据题意，函数f （x ）= ， ＜，的图象如图：令g （x ）=|+a |，其图象与x 轴相交与点（-2a ，0），在区间（-∞，-2a ）上为减函数，在（-2a ，+∞）为增函数，若不等式f （x ）≥|+a |在R 上恒成立，则函数f （x ）的图象在g （x ）上的上方或相交， 则必有f （0）≥g （0）， 即2≥|a |，解可得-2≤a ≤2， 故选：A ．根据题意，作出函数f （x ）的图象，令g （x ）=|+a |，分析g （x ）的图象特点，将不等式f （x ）≥|+a |在R 上恒成立转化为函数f （x ）的图象在g （x ）上的上方或相交的问题，分析可得f （0）≥g （0），即2≥|a |，解可得a 的取值范围，即可得答案． 本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f （x ）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．9.已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为______ ．【答案】-2【解析】解：a∈R，i为虚数单位，===-i由为实数，可得-=0，解得a=-2．故答案为：-2．运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10.已知a∈R，设函数f（x）=ax-lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y 轴上的截距为______ ．【答案】1【解析】解：函数f（x）=ax-lnx，可得f′（x）=a-，切线的斜率为：k=f′（1）=a-1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y-a=（a-1）（x-1），l在y轴上的截距为：a+（a-1）（-1）=1．故答案为：1．求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y 轴上的截距．本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为______ ．【答案】【解析】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．12.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为______ ．【答案】（x+1）2+=1【解析】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=-1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，==1，∴OA=，∴A（0，），∴OA=∠如图所示：∴C（-1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x+1）2+=1．根据题意可得F（-1，0），∠FAO=30°，=1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C OA=∠方程．本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．13.若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为______ ．【答案】4【解析】解：a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即a=，b=或a=-，b=-时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．14.在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ-（λ∈R），且=-4，则λ的值为______ ．【答案】【解析】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（-）=+，又=λ-（λ∈R），∴=（+）•（λ-）=（λ-）•-+λ=（λ-）×3×2×cos60°-×32+λ×22=-4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asin A=4bsin B，ac=（a2-b2-c2）．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B-A）的值．【答案】（Ⅰ）解：由，得asin B=bsin A，又asin A=4bsin B，得4bsin B=asin A，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asin A=4bsin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得asin B=bsin A，结合asin A=4bsin B，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cos A的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asin A=4bsin B，得sin B，进一步求得cos B．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B-A）的值．本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【答案】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【解析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（II）求证：PD⊥平面PBC；（II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【答案】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在R t△PDA中，由已知，得，故∠．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC-BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在R t△DCF中，可得∠．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．18.已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q-6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n-2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n-2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n-2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n-4）2n+2+16．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出a n=3n-2．（Ⅱ）设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．19.设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3-6x2-3a（a-4）x+b，g（x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0-1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=x3-6x2-3a（a-4）x+b，可得f'（x）=3x2-12x-3a（a-4）=3（x-a）（x-（4-a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4-a．由|a|≤1，得a＜4-a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴（）的单调递增区间为（-∞，），（4-，+∞），单调递减区间为（a，4-a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知′，∴′，解得′．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0-1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4-a，由（Ⅰ）知f（x）在（a-1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a-1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0-1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3-6a2-3a（a-4）a+b=1，得b=2a3-6a2+1，-1≤a≤1．令t（x）=2x3-6x2+1，x∈[-1，1]，∴t'（x）=6x2-12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（-1）=-7，t（1）=-3，t（0）=1，故t（x）的值域为[-7，1]．∴b的取值范围是[-7，1]．【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知′，求解可得′．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a-1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a-1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0-1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3-6a2-3a（a-4）a+b=1，得b=2a3-6a2+1，-1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3-6x2+1，x∈[-1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2-c2，可得2c2+ac-a2=0，即2e2+e-1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my-c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y-2c=0，与直线FP的方程联立，可解得，，即点Q的坐标为，．由已知|FQ|=，有，整理得3m2-4m=0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx-13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以∠，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【解析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my-c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为，．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
2017年天津高考文科数学真题及答案
（A）4B，2017年天津高考文科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A，B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．·球的体积公式V 43πR3.其中R表示球的半径.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合A{1,2,6},{2,4},C{1,2,3,4}则(A U B)I C（A）{2}（B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（D）{1,2,3,4,6}（2）设x R，则“2x0”是“|x1|1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为321（B）（C）（D）5555（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为2 （8）已知函数 f ( x ) = ⎨ 设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f ( x ) ≥| + a | 在 R 上恒 ⎩（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3（5）已知双曲线 x 2 y 2 - a b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（ O 为原点），则双曲线的方程为（A ） x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2- = 1 （B ） - = 1 （C ） - y 2 = 1 （D ） x 2 - = 14 12 12 4 3 3（6）已知奇函数 f ( x ) 在 R 上是增函数.若 a = - f (log 1 2 5), b = f (log 4.1),c = f (20.8 ) ，2则 a, b , c 的大小关系为（A ） a < b < c （B ） b < a < c （C ） c < b < a （D ） c < a < b（7）设函数 f ( x ) = 2sin(ωx + ϕ), x ∈ R ，其中 ω > 0,| ϕ |< π .若 f (且 f ( x ) 的最小正周期大于 2 π ，则5π 11π) = 2, f ( ) = 0, 8 8（A ） ω = 2 π 2 11π 1 11π 1 7π,ϕ = （B ） ω = ,ϕ = - （C ） ω = ,ϕ = - （D ） ω = ,ϕ =3 12 3 12 3 24 3 24⎧| x | +2, x < 1,⎪2⎪ x + x , x ≥ 1.x 2成立，则 a 的取值范围是（A ） [-2,2] （B ） [-2 3, 2] （C ） [-2, 2 3] （D ） [-2 3, 2 3]第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考(天津卷)数学(文)试卷及参考答案.pdf
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：?如果事件A，B互斥，那么P( A B)P(A)P(B)．?棱柱的体积公式V Sh．其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高．?球的体积公式V 43πR3．其中R表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合A{1，，26}，B{2，4}，C{1，，，234}，则(A B ) C （A）{2} （B）{1，，24} （C）{1，，，246}（D）{1，，，，2346} （2）设x R，则“ 2x≥ 0”是“x 1 ≤1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A） 4 （B） 3 （C） 2 （D）15 5 5 5数学（天津卷・文史）第1页（共5页）（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1 开始（C ） 2 输入N（D ） 3 x2y2否N能被整除？（5）已知双曲线 1 （a 0 ，b 0 ）的3a2b2是右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAFNNN = N -1是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线3的方程为否N ≤3 ?（A ）x 2y 214 12 是x2y2（B ）输出N1124结束x 2（C ） y213 （第4题图）y2（D ）x213（6）已知奇函数f (x)在R 上是增函数．若af (log 215)，bf (log 2 4.1)，cf (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a bc（B ）ba c （C ）cb a （D ）c a b（7）设函数f (x )2sin(x )，x R ，其中0，π ．若f ( 5π) 2 ，f (11π) 0 ，8 8且f (x)的最小正周期大于2π，则（A ） 2 ，π（B ） 2 ，11π3123 12 （C ）1，11π（D ）1 ，7π324324x 2 ，x 1，x （8）已知函数fx2，x ≥1.设aR ，若关于x 的不等式f (x )≥a在R 上2xx恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2，2] （B ）[ 2 3，2] （C ）[2，2 3 ]（D ）[ 2 3，2 3 ] 数学（天津卷・文史）第2页（共5页）绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考天津文科数学试题与答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =， 则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示： 若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成 立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得 232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==．（12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ． 【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-，半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=-()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25ac bc -=55=-． （2）根据5cos 5A =-，解得25sin 5A =，所以5sin 5B =，25cos 5B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()5555B A B A =-=⨯--⨯10525255--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，PAcos AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PBBC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，AB =DE =4PE =，sin PD DEP DE ∠==． （18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯①2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数xy e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()xg x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与xy e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()xg x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤ 在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，ABCDPE2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEFS AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍） 代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c cFQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c c QN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y+=．。
2017年天津市高考数学试卷(文科)
2017年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．2017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，6}【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log24.1），c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．C．D．【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g （x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为1．【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为（x+1）2+=1．【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如图所示：∴C（﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x+1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．【解答】该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．18．（13分）已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到．然后求出公差d，推出a n=3n﹣2．（Ⅱ）设数列{a2n b n}的前n项和为T n，利用错位相减法，转化求解数列{a2n b n}的前n项和即可．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g （x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得到f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）由（I）知x0=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） （A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示：若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a 的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ．【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．【答案】92π 【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==． （12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ．【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-， 半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=- ()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25bc=5=-． （2）根据5cos A =-，解得25sin A =，所以5sin B =，25cos B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()55B A B A =-=⨯--⨯10525--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万） 甲 70 5 60 乙 60 5 25分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距， 当25z 取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经 过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =． （1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，5PA =，5cos 5AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PB BC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，25AB =，25DE =，4PE =，25sin 525PD DEP DE ∠===．（18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯① 2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，ABCDP E所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与x y e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()x g x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEF S AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍）代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c c FQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c cQN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y +=．。
2017年天津数学(文)高考试题(Word版,含答案解析)
绝密★启用前2017 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。
第Ⅰ卷 1至 2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题考上，并在规定地点粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
2.本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
参照公式：·假如事件A， B 互斥，那么·假如事件A， B 互相独立，那么P(A∪ B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh.·圆锥的体积公式V 1 Sh .3此中 S 表示棱柱的底面面积，此中S表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.（ 1）设会合A {1,2,6}, B {2,4}, C {1,2,3,4} ，则 ( A B) C（ A）{2}（ B）{1,2,4}（C）{1,2,4,6}（ D）{1,2,3,4,6}【答案】 B（ A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（ C）充要条件（D）既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】 2 x 0 ，则x 2 ，x 1 1 ，则 1 x 1 1,0 x 2 ，据此可知：“ 2 x 0 ”是“x 1 1 ”的必需二不充足条件.此题选择 B 选项 .（ 3）有 5 支彩笔（除颜色外无差异），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫. 从这5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则拿出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为4 （B）3 （C）2（D）1（ A）5 5 5 5【答案】 C（ 4）阅读右边的程序框图，运转相应的程序，若输入N 的值为19，则输出 N 的值为（A）0 （B） 1（C）2（D） 3【答案】 C【分析】阅读流程图可得，程序履行过程以下：第一初始化数值为N 19 ，第一次循环：N N 1 18 ，不知足 N 3 ；第二次循环：N N6 ，不知足 N 3 ；3第三次循环：N N2 ，知足 N3 ；3此时跳出循环体，输出N 3 . 此题选择 C选项 .（ 5）已知双曲线x2y2 1(a 0,b 0) 的左焦点为F，点 A 在双曲线的渐近线上，△ OAF 是边a2 b2长为 2 的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A） x2 y2 1 （B）x2y2 1 （C）x2y2 1（D）x2y2 14 12 12 4 3 3 【答案】 D（ 6）已知奇函数 f ( x) 在R上是增函数.若a f (log 2 1), b f (log 2 4.1), c f (2 ) ，则a,b, c的5大小关系为（ A）a b c （B） b a c （C） c b a （D） c a b 【答案】 Ca f 1f log 2 5【分析】由题意：log 2 ，5且：log 2 5 log22,1 2 2 ，据此： log 2 5 log 220.8 ，联合函数的单一性有： f log 2 5 f log 2 f 2，即 a b c, c b a .此题选择 C选项 .（ 7）设函数f ( x) 2sin( x ), x R ，此中0,| |5π11π0, 且f (x)的π.若f ( ) 2, f ()8 8最小正周期大于2π，则2, π 2 11π 1 11π 1 7π（ A）（ B）, （ C）, （ D）,243 12 3 12 3 24 3【答案】 A| x | 2, x 1,R ，若对于x的不等式 f (x) |x（ 8）已知函数f ( x)x 2, x设 a a |在R上恒建立，则1. 2xa的取值范围是（A）[ 2,2]（B）[ 2 3,2] （C） [ 2,2 3] （D）[ 2 3,2 3] zx xk 【答案】 A【分析】知足题意时 f x 的图象恒不在函数xa 下方，y2当 a 2 3 时，函数图象以下图，清除C,D 选项；当 a 2 3 时，函数图象以下图，清除 B 选项，此题选择 A 选项 .第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。
2017年高考天津文科数学试题与答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =（ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ．（3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）（A ）45 （B ）35 （C ）25 （D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23NN ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=【答案】D【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程by x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ． （6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =， 则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==- （C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ==【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示： 若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]- 【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成 立，则不妨设()2x g x a =+，“()2xf x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图 象与()yg x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得 232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i2i (2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-． 解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．【答案】1【解析】函数()f x 的导函数1'()f x a x=-，所以(1),'(1)1f a f a ==-，切点(1,)a ，斜率为1a -，所以代入切线点斜式：(1)(1)y a a x -=--，l 在y 轴上的截距为：0,1x y ==，所以答案为1．（11）【2017年天津，文11，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】球的表面积公式2618S a ==，所以棱长3a =，计算得：233R a ==，32R =，34932V R ππ==．（12）【2017年天津，文12】设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ，若120FAC ∠=︒，则圆的方程为 ． 【答案】22(1)(3)1x y ++-=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为:1l x =-，所以可设(1,)C b -，OA b =，120FAC ∠=︒，所以60AFH ∠=︒，在直角三角形OAF 中，1OF =，所以3OA =，所以圆的圆心(1,3)-，半径等于1，所以圆22:(1)(3)1C x y ++-=．（13）【2017年天津，文13，5分】若,a b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】4422414144a b a b abab ab ab+++≥≥=（0ab >），当且仅当“444a b =”、“2241a b =”同时成立时，等号成立，解之得：13442,2a b --==．（14）【2017年天津，文14，5分】在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，若2BD DC =，AE AC AB λ=-()R λ∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ．【答案】311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+，则122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）【2017年天津，文15，13分】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知sin 4sin a A B =，2225()ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．解：（1）sin 4sin a A b B =可化为224a b =，解得：2a b =，余弦定理：222cos 2b c a A bc +-=25ac bc -=55=-． （2）根据5cos 5A =-，解得25sin 5A =，所以5sin 5B =，25cos 5B =，4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos22cos 15B B =-=，sin(2)B A -45325sin 2cos cos2sin ()5555B A B A =-=⨯--⨯10525255--==． （16）【2017年天津，文16，13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟， 且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视 剧的次数．（1）用,x y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：（1）分别用,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数766062,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≥⎪⎨≤⎪⎪∈⎩．（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大．又因为,x y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为()6,3．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．（17）【2017年天津，文17，13分】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =．（1）求异面直线AP 与BC 所成的角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1）因为AD ∥BC ，所以PAD ∠等于异面直线AP 与BC 所成的角，AD ⊥平面PDC ，所以90PDA ∠=︒，PAcos AD PAD AP ∠==． （2）因为AD ⊥平面PDC ，所以AD PD ⊥，又因为AD ∥BC ，所以PD BC ⊥，PD PB ⊥，且PBBC B =，所以PD ⊥平面PBC ．（3）取BC 上三分点，3BE BC =，//BE AD ，1AD BE ==，PD ⊥平面PBC ，所以DEP ∠等于直线AB 与平面PBC 所成角90DPE ∠=︒，AB =DE =4PE =，sin PD DEP DE ∠==． （18）【2017年天津，文18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S *()n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n n a b 的前n 项和*()n ∈N ．解：（1）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，所以1(1)n a a n d =+-，1112n n n b b q q --==，22212q q +=，解之得：2,3q q ==-（舍），118311(5)1116a da d =-+⎧⎨+=⨯⎩，解之得：11,3a d ==所以31n a n =-，2n n b =．（2）2(62)2n n n a b n =-⨯，不妨设数列{}2n n a b 的前n 项和为n T ，2142632212n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++++，123142102162(68)2(62)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯①2n T =231142102(614)2(68)2(62)2n n n n n n -+⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ②①-②得：123142626262(62)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，整理得：216(34)2n n T n +=+-⨯．（19）【2017年天津，文19，14分】设,a b R ∈，1a ≤，已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =．（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和函数xy e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线．（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()xg x e ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．解：（1）32'()()'6()'3(4)'f x x x a a x =---，2'()3123(4)f x x x a a =---，2'()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=-+-，因为1a ≤，所以4a a <-，所以，()f x 的单调增区间(,),(4,)a a -∞-+∞，()f x 的单调减区间[,4]a a -．（2）（i ）()()x g x e f x =与xy e =在公共点00(,)x y 处有相同的切线，首先，00()x g x e =；其次，00'()x g x e =，0()1f x =，00()'()1f x f x +=，所以0'()0f x =．（ii ）()xg x e ≤等价于()1f x ≤，0'()0f x =，0()1f x =，所以0x a =极大值点，若关于x 的不等式()x g x e ≤ 在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于()1f x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，等价于max ()1f x ≤，00[1,1]x x x ∈-+，当0x a =，()f x 在[1,]a a -递增，在[,1]a a +递减，()f a 为最大值， ()1f a =，32261a a b -++≤，32261b a a ≤-+，令32()261h x x x =-+，ABCDPE2'()6126(2)h x x x x x =-=-，()h x 在[1,0]-递增，在[0,1]递减，所以7()1h x -≤≤，71b -≤≤．（20）【2017年天津，文20，14分】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段PQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c ； （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．解：（1）12AEFS AF OE ∆=⨯⨯21()22b a c c =+⨯=，因为222b a c =-，所以c a c =-，故2a c =，12c e a ==．（2）（i ）45EFO ∠=︒，设1EQ EA λλ=+(01)λ<<，所以(1)FQ FE FA λλ=-+，2FE c =，3FA c =，因为32c FQ =，两边平方，解之得：910λ=，32λ=（舍） 代入(1)FQ FE FA λλ=-+，得69(,)510c c FQ =，直线FP 的斜率等于34y x =（ii ）直线FP 的方程：30()4y x c -=-；为求点P 的坐标，联立方程解方程组：2224333412y x c x y c=-⎧⎨+=⎩，解之得：13,7c x c x ==-（舍），所以3(,)2c P c ，因为69(,)510c cFQ =，所以9(,)510c cQ ， 即PQ c =，而PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，所以直线PM 与直线QN 垂直于PF ，由（i ）直线FP 的斜率等于34，可得335154428c c PM PF ==⨯=，33394428c c QN FQ =⨯=⨯=， MNPQ FPM FQN S S S ∆∆=- 1()2PM PF QN QF =⨯⨯-⨯232c =，所以2332c c =，解之得2c =，所以4,23a b ==，所以2211612x y+=．。
2017年天津市高考数学试卷与解析PDF(文科)
6． （5 分）已知奇函数 f（x）在 R 上是增函数．若 a=﹣f（ c=f（20.8） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 7． （5 分）设函数 f（x）=2sin（ωx+φ） ，x∈R，其中 ω＞0，|φ|＜π．若 f（ =2，f（ ）=0，且 f（x）的最小正周期大于 2π，则（ B．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ= ，设 a∈R，若关于 x 的不等式 f（x） ） D． ） ）
（Ⅰ）求 cosA 的值； （Ⅱ）求 sin（2B﹣A）的值． 16． （13 分） 电视台播放甲、 乙两套连续剧， 每次播放连续剧时， 需要播放广告． 已 知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如 下表所示： 连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长 （分钟） 收视人次（万） 甲 乙 70 60 5 5 60 25
11． （5 分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为 18，则这个球的体积为 ．
12． （5 分）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心 的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A．若∠FAC=120°，则圆的方程为 ．
13． （5 分）若 a，b∈R，ab＞0，则
已知电视台每周安排的甲、 乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟， 广告的总播 放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． （I）用 x，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 17． （13 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD⊥平面 PDC，AD∥BC，PD⊥PB， AD=1，BC=3，CD=4，PD=2． （Ⅰ）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求证：PD⊥平面 PBC； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．
2017年高考文科数学天津卷含答案
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前天津市2017年普通高等学校招生考试数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P AB P A P B =+.棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高. 球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}1,2,6A =,{}2,4B =，{}=1,2,4C ，则()C A B =( ) A .{}2B .{}1,2,34，C .{}1,246，，D .{}1,2,346，， 2.设x R ∈,则“20x -≥”是“11x -≤”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A .45 B .35 C .25D .154.阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为19,则输出的值为( )A .0B .1C .2D .35.已知双曲线2222=1(0,)x y a b a b-＞＞0的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,OAF△是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A .22=1412x y - B .22=1124x y - C .22=13x y - D .22=13y x - 6.已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221=(log ),=(log 4.1),=(2)5a fb fc f -,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a b c ＜＜B .b a c ＜＜C .c b a ＜＜D .c a b ＜＜7.设函数()=2sin()R f x x x ωϕ+∈,,其中0ωϕπ＞，＜.若5π()=28f ,11π()=08f ,且()f x 的最小正周期大于2π，则( )A .2π=,=312ωϕ B .211π=,=312ωϕ- C .111π=,=324ωϕ- D .17π=,=324ωϕ8.已知函数2,1,2, 1.()=x x x x x f x ++≥⎧⎨⎩＜设a R ∈,若关于x 的不等式在x()a 2f x ≥+上恒成立,则a的取值范围是( )A .[]2,2-B.⎡⎤-⎣⎦C.2,⎡-⎣D.⎡-⎣毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知R α∈,i 为虚数单位,若i2iα-+为实数,则a 的值为 .10.已知R α∈,设函数()=ln f x x x α-的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 .11.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .12.设抛物线2=4y x 的焦点为F ,准线为l .已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=,则圆的方程为 .13.若,a b R ∈,0ab ＞,则4441a b ab++的最小值为 .14.在ABC △中,60A ∠=,3AB =,2AC =.若=2BD BC uu u r uu u r ,AE AC AB λ=-uu u r uuu r uu u r(R λ∈),且=4AD AE ⋅-uuu r uu u r，则λ的值为 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知s i n =4s i na Ab B,222)ac a b c --.(I )求cos A 的值；(II )求sin(2)B A -的值.16.(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(I )用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；(II )问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AD PDC ⊥平面,AD BC ∥,PD PB ⊥,=1AD ,3BC =,4CD =,2PD =.(I )求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (II )求证：PD PBC ⊥平面；(III )求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）18.(本小题满分13分)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*n (N )S n ∈,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,114=11S b . (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}2n n a b 的前n 项和*(N )n ∈.19.(本小题满分14分)设,R a b ∈，a 1≤.已知函数32()=63(4)b f x x x a a x ---+,()=()xg x e f x .(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)已知函数=()y g x 和=xy e 的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，(i )求证：()f x 在0=x x 处的导数等于0；(ii )若关于x 的不等式()xg x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立,求b 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知椭圆()2222=10x y a b a b+＞＞的左焦点为(,0)F c -,右顶点为A ,点E 的坐标为(0,)c ,EFA △的面积为22b .(I )求椭圆的离心率； (II )设点Q 在线段AE 上,3=2FQ c ,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM QN ∥,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c .(i )求直线FP 的斜率； (ii )求椭圆的方程.2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】B 【解析】由题意知{}1,2,4,6A B =，∴(){}1,2,4A B C =.2．【答案】B 【解析】由x 11-≤，得0x 2≤≤，∵022x x ≤≤⇒≤，202x x ≤≠≤≤，故“2x 0-≥”是“x 11-≤”的必要而不充分条件，故选B .3．【答案】C【解析】从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4种，故所求概率42105P ==. -------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题-----------------无---------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）4．【答案】C【解析】由程序框图可知，N 的取值依次为19,18,6,2.故输出N 的值为2. 5．【答案】D【解析】由OAF △是边长为2的等边三角形可知，2c =，tan 603ba==又222c a b =+，联立可得1a =，b =2213y x -=.6．【答案】C【解析】由()f x 是奇函数可得，221(log )(log 5)5a f f =-=，∵0.222l o g 5l o g4.1l o g 422=＞＞＞，且函数()f x 是增函数，∴c b a ＜＜. 7．【答案】A【解析】由5π()28f =，11π()08f =，()f x 的最小正周期2πT ＞，可得11π5π3π8844T -==，∴3πT =，∴2π2==3π3ω.再由5π()28f =及πϕ＜得π=12ϕ．8．【答案】A【解析】作出()f x 的图象如图所示，=||2xy a +的图象经过点(0,2)时，可知=2a ±.当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由=0∆，并结合图象可得2a =.要使()||2xf x a ≥+恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当a ＞0时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤.第Ⅱ卷二、填空题9.【答案】2-【解析】因为i (i)(2i)21(2)i=2i (2i)(2i)5a a a a -----+=++-为实数，所以+2=0a ，即=2a -. 10．【答案】1【解析】因为'1()f x a x=-，所以'(1)1f a =-，又'(1)f a =，所以切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令=0x ，得=1y .11．【答案】9π2【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，得a ，设该正方体外接球的半径为R，则23R ==，得32R =，所以该球的体积为334439ππ()π3322R ==. 12．【答案】22(1)(=1x y ++-【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为(1,)C a -(0)a ＞则(0,)A a ,又(1,0)F ，所以(1,0)AC =-uu u r ，(1,)AF a =-uu u r ，由题意得AC uuu r 与AF uu u r的夹角为120，得1cos1202==-，解得a =，所以圆的方程为22(1)(1x y ++=.13．【答案】4【解析】44334141=a b a b ab b a ab++++，由基本不等式得，33411144a b ab b a ab ab ab ++≥=+≥，当且仅当334a b b a=，14ab ab =同时成立时等号成立.14．【答案】311【解析】因为2BD DC =uu u ruuu r，所以2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，因为AE AC AB λ=-uu u ruuu r uu u r，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）所以22121212(+)()()333333AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC λλλ⋅=⋅-=-++-⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r ，因为60A ∠=，3AB =，2AC =，1212189λ4(λ)323λλ24333323AD AE ⋅=-⨯+⨯+-⨯⨯⨯=-++-=-uuu r uu u r ，解得3λ=11.三、解答题15.【答案】(Ⅰ)5-(Ⅱ)5-【解析】(Ⅰ)由sin =4sin a A b B ，及=s i n s i n ab A B，得2a b =.由222)ac a b c --，及余弦定理，得2225cos =25b c a A bc ac +-==-. (Ⅱ)由(Ⅰ)，可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==.由(Ⅰ)知，A为钝角，所以cos B .于是4sin 2=2sin cos =5B B B ，23cos 2=12sin =5B B -，故()43sin 2=sin 2cos cos 2sin =(55B A B A B A --⨯--16.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.【解析】(Ⅰ)由已知，x ，y 满足的数学关系式为7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩即7660620,0,0,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(Ⅱ)设总收入人次为z 万，则目标函数为=60+25z x y .考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线.25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，即z 最大.解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，，，得点M 的坐标为(6,3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.17．【答案】(Ⅰ)5(Ⅱ) 因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ)5【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD BC ∥，故D A P ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD PDC ⊥平面，所以AD PD ⊥.在Rt PDA △中，由已知，得数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）AP ==cos AD DAP AP∠==.所以，异面直线AP 与BC. (Ⅱ)因为AD PDC ⊥平面，直线PD PDC ⊂平面，所以AD PD ⊥，又因为BC AD ∥，所以PD BC ⊥，又PD PB ⊥，所以PD PBC ⊥平面.(Ⅲ)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连结PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD PBC ⊥平面，故PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以DFP ∠为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD BC ∥，DF AB ∥，故1B F A D ==，由已知，得2CF BC BF =-=.又AD DC ⊥，故BC DC ⊥，在Rt DCF △中，可得DF =，在Rt DPF △中，可得sin PD DFP DF ∠=. 所以，直线AB 与平面PBC18．【答案】(Ⅰ)32n a n =-，2n b n =. (Ⅱ)()234216n n T n +=-+.【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得()2112b q q+=，而12b=，所以260q q +-=.又因为0q ＞，解得2q =，所以，2n b n =.由3412b a a =-，可得138d a -=①.由11411S b =，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，{}n a 的通项公式为32n a n =-，{}n b 的通项公式为2n n b =.(Ⅱ)设数列{}2n n a b 的前n项和为n T ，由262n a n =-，有()2342102162622nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，()()23412421021626826-22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，上述两式相减，得()231124262626262212(12)4(62)212(34)216n n n n n n T n n n +++-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯⨯-=---⨯-=---得()234216n n T n +=-+.所以，数列{}2n n a b 的前n 项和为()234216n n +-+.19．【答案】(Ⅰ)12（2）（ⅰ）34（ⅱ）（1）递增区间为()a -∞，，()4a -+∞，，递减区间为()a 4a -，.（2）（ⅰ）()x f 在0x=x 处的导数等于0.（ⅱ）b 的取值范围是[]7,1-.22x y =11612+ 【解析】(Ⅰ)由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得[]'2()3123(4)3()(4)f x x x a a x a x a =---=---.令'()=0f x ，解得x a =，或4x a =-，由||1a ≤，得4a a -＜.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为()a -∞，，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -(Ⅱ)(i )因为'()(()())xg x e f x f x =+，由题意知00'0(),()xx g x e g x e⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以00000'00()(()())x xx x f x e e e f x f x e⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得0'0()1()0f x f x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，()f x 在0x x =处的导数等于0.数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）(ii )因为()xg x e ≤，00[11]x x x ∈-+，，由0x e ＞，可得()1f x ≤.又因为0(x )1f =，'0()0f x =，故0x 为()f x 的极大值点，由(Ⅰ)知0x a =.另一方面，由于|1|a ≤，故14a a +-＜，由(Ⅰ)知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()xg x e ≤在00[1,1]x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，所以'2()612t x x x =-，令'()0t x =，解得2x =(舍去)，或0x =.因为(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，因此，()t x 的值域为[7,1]-. 所以，b 的取值范围是[7,1]-.20．【答案】（1）12（2）（ⅰ）34（ⅱ）22x y =11612+【解析】(Ⅰ)设椭圆的离心率为e .由已知，可得21()22b c a c +=，又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=，又因为01e ＜＜，解得12e =. 所以，椭圆的离心率为12. (Ⅱ)(i )依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =-＞，则直线FP 的斜率为1m由(Ⅰ)知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c +=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)2m c x m -=+，32c y m =+，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++. 由已知3||2c FQ =，有222(22)33[]+()()222m c c c c m m -+=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34.(ii )由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由(i )得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22233430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ,整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-(舍去)，或x c =.因此可得点3(c,)2c P ,进而可得5||2cFP ,所以53||||||22c cPQ FP FQ c =-=-=.由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 四边形的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c ＞，得2c =.所以，椭圆的方程为2211612x y +=.。
2017年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，文1，5分】设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C =U I （ ） （A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,3,4 （D ）{}1,2,3,4,6 【答案】B【解析】{}1,2,4,6A B =U ，(){1,2,4,6}{1,2,3,4}{1,2,4}A B C ==U I I ，故选B ． （2）【2017年天津，文2，5分】设x R ∈，则“20x -≥”是“11x -≤”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥解得：2x ≤；11x -≤解得：02x ≤≤，2x ≤⇐02x ≤≤，故选B ． （3）【2017年天津，文3，5分】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） （A ）45（B ）35（C ）25（D ）15【答案】C【解析】“从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：25C ，而事件“取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事件个数：14C ；42105P ==，故选C ．（4）【2017年天津，文4，5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N 的值为19，则输出的N 的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N =，第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤；第二次循环：63NN ==，不满足3N ≤；第三次循环：23N N ==，满足3N ≤；此时跳出循环体，输出3N =，故选C ．（5）【2017年天津，文5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ）（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -= 【答案】D 【解析】因为OAF ∆是边长为2的等边三角形（O 为原点）所以2OF =，60AOF ∠=︒，所以直线OA 方程为3y x =，所以渐近线方程b y x a=±其中一条为3y x =，所以，23c ba=⎧⎪⎨=⎪⎩，解之得：1,3,2a b c ===，故选D ．（6）【2017年天津，文6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21(log )5a f =-，2(log 4.1)b f =，0.8(2)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<【答案】C【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以有()()f x f x -=-，即21(log )5a f =-2(log 5)f =；又因为()f x 在R 上 是增函数，且0.8122222log 4log 4.1log 5<=<<，所以c b a <<，故选C ．（7）【2017年天津，文7，5分】设函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若511()2,()088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）2,312πωϕ== （B ）211,312πωϕ==-（C ）111,324πωϕ==- （D ）17,324πωϕ== 【答案】A【解析】函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，511()2,()088f f ππ==，振幅为2，所以如图所示：若函数图象如图表1所示，3115488T ππ=-，解得T π=，不满足最小正周期大于2π，所以函数图象如图表2所示，115488T ππ=-，解得3T π=，23ω=，又因为5()28f π=，所以25382ππϕ⨯+=，所以12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，文8，5分】已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）[2,2]- （B ）[23,2]- （C ）[2,23]- （D ）[23,23]-【答案】A【解析】函数()f x 的图象如下图（左），若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成 立，则不妨设()2x g x a =+，“()2x f x a ≥+在R 上恒成立”表示()y f x =图象与()y g x =图象应如下图（右）所示找到两个临界位置: ①()f x 与()g x 相切时，1x >，221'()12f x x =-=，解得02x =，03y =，代入(2)3g =，解得 232a +=，2,4a a ==-（舍）；②()g x 过点(0,2)，代入(0)2g =，2a =，解得2,2a a =-=（舍），故a的取值范围在2-与2之间，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，文9，5分】已知a R ∈，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a的值为 ． 【答案】2-【解析】解法一：i (i)(2i)21(2)i 2i(2i)(2i)5a a a a -----+==++-为实数，所以20a +=，2a =-．解法二：i2ia -+为实数⇔i a -与2i +成比例，比例为1-，所以2a =-．（10）【2017年天津，文10，5分】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点(1,(1))f。
2017天津高考文科数学试卷含答案
2017天津文【试卷点评】2017年天津高考数学试卷考点变化不大，题型结构与2016年相同，从知识结构角度看，试卷考查内容覆盖面广，与往年基本一致．与此同时，试卷命题中出现的综合与创新，体现了能力立意的命题思路与稳中求变的命题特点．整卷难度分布合理，具有较好的区分度，整体难度与去年相比稍有降低．纵观整篇试卷，命题严格按照《考试说明》与课程标准，双基内容占了相当大的比例，体现了命题人回归教材、突出主干的思路，重视对考生基本数学素养的考查．对于此部分题目，只要考生熟练掌握基本概念和定理，就可以轻松得分．试卷在知识点选择上与去年相比略有改变，考验学生基础知识掌握的全面性．试卷命题风格稳定，试题布局合理，利于考生发挥自身真实水平，具有较好的信度和效度．每年天津高考命题都会给予应用问题一定的关注，对中学数学教学重视数学应用有很好的导向作用，第16题以大家熟悉的电视剧与广告以及收视人次为命题背景，选材合理，将线性规划与实际问题相结合，考查学生的理解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，体现了数学的应用价值与人文特色．知识难度不大，审清题后可较容易地得到答案，体现了新课标的教育理念． 在注重基础和应用的同时，今年天津高考试卷也加强了综合性与创新性的考查，以提高试卷区分度，如第8题，主要考查基本初等函数的图像和性质，设问综合了分段函数单调性、函数零点以及图像变换等典型考点，充分考查了考生的数形结合思想与转化化归思想，考验学生的知识理解深度与分析问题解决问题的能力．第19题设问较为新颖，命题具有一定的抽象性与综合性，需要学生基于三次函数单调性与极值最值的关系进行探索分析，考查函数与方程、分类讨论、转化等数学思想，问题思路环环相扣，逻辑严密，难度较大，充分考验学生的心理素质，具有较好的区分度，体现了高考的选拔性，另外也给优秀学生提供了展示自身能力的平台，也引导我们数学教学工作需注重数学能力与创新意识的培养．第20题总的来说需要考生熟练掌握解析几何中常见几何图形性质的代数表达并合理选择参数简化运算，对考生的运算和解题技巧要求较高．2016年天津理科数学试卷继续稳字当头，平凡问题考查真功夫，没有出现任何偏题怪题，有利于学生考出好成绩，也对中学数学教学回归教材、扎实基础有很好的导向作用．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{1，2，3，4}，则(A ∪B )∩C ＝A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，6}2．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】2－x ≥0，则x ≤2，|x －1|≤1，即－1≤x ≤1，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项．3．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ( )A ．45B ．35C ．25D ．15【解析】选取两支彩笔的方法有C 25种，含有红色彩笔的选法为C 14种，由古典概型公式得，P ＝410＝25． 4．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始值为N ＝19，第一次循环结束：N ＝N －1＝18，不满足N ≤3；第二次循环结束：N＝13N ＝6，不满足N ≤3；第三次循环结束：N ＝13N ＝2，满足N ≤3；此时结束循环，输出N ＝3．5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，ΔAFO 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：b a＝3，c ＝2，c 2＝a 2＋b 2，解得：a 2＝1，b 2＝3，双曲线方程为：x 2－y 23＝1，本题选择D 选项． 6．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20．8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【解析】由题意得，a ＝－f (log 215)＝f (log 25)，且log 25＞log 24．1＞2，1＜20．8＜2，故log 25＞log 24．1＞20．8，结合函数的单调性得，f (log 25)＞f ()log 24.1＞f (20．8)，即a ＞b ＞c ，即c ＜b ＜a ． 7．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24【解析】因f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，故f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π，故ω＝2π3π＝23，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ．故2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z ，又|φ|<π，故取k ＝0，得φ＝π12． 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x <1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x 2＋a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－23，2]C ．[－2，23]D ．[－23，23]【解析】作出f (x )的图像如图所示，当y ＝|x 2＋a |的图像经过点(0，2)时，可知a ＝±2．当y ＝x 2＋a 的图像与y ＝x ＋2x 的图像相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0，并结合图像可得a ＝2．要使f (x )≥|x 2＋a |恒成立，只需f (0)≥|a |，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0；当a >0时，需满足a ≤2，故－2≤a ≤2．二． 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i 2＋i为实数，则a 的值为__________． 【解析】a －i 2＋i ＝（a －i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝（2a －1）－（a ＋2）i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝0，a ＝－210．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．【解析】f (1)＝a ，切点为(1，a )．f ′(x )＝a －1x ，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1． 11．已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ______．【解析】设正方形的边长为a ，则6a 2＝18，故a 2＝3，故外接球直径2R ＝3a ，故V ＝43πR 3＝43π×(32)3＝92π． 12．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠F AC ＝120°，则圆的方程为________．【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a >0)，则A (0，a )．又F (1，0)，故AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )．由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3．故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1．13．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________ 【解析】因a ，b ∈R ，ab ＞0，故a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号． 14．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE→＝－4，则λ的值为_____________．【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝(13AB →＋23AC →)·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311．. 法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)．由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝⎛⎭⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 三． 解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分) 在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．⑴．求cos A 的值；⑵．求sin (2B －A )的值．【解析】⑴．由a sin A ＝4b sin B及a sin A ＝b sin B 知，a ＝2b ，由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝55； ⑵．由⑴得，sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B 得，sin B ＝55．由⑴知，A 为钝角，故cos B ＝1－sin 2B ＝255．于是sin2B ＝2sin B cos B ＝45，cos2B ＝1－2sin 2 B ＝35，故sin (2B －A )＝sin2B cos A －cos2B sin A ＝45×(－55)－35×255＝－255． 16．(本小题满分13分)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟) 收视人次(万)甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(I)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(II)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？【解析】(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y ．考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z 25取得最大值时，z 的值最大．又x ，y 满足约束条件，故由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z 25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．故，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．17．(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P －ABCD中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．(I)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(II)求证：PD⊥平面PBC；(Ⅲ)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)如图，由已知AD//BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，故AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得AP＝5，故cos∠DAP＝55．故异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5．(Ⅱ)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD 平面PDC，故AD⊥PD．又因为BC//AD，故PD⊥BC，又PD⊥PB，故PD⊥平面PB C．(Ⅲ)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，故∠DFP为直线DF 和平面PBC所成的角．由于AD//BC，DF//AB，故BF＝AD＝1，由已知，得CF＝BC–BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得DF＝25，在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝5 5．故直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5．18．(本小题满分13分)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4．(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*)．解(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，故q2＋q－6＝0，又q＞0，解得q＝2，故b n＝2n．由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①，由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得a n＝3n－2．故{a n}的通项公式为a n＝3n－2，{b n}的通项公式为b n＝2n．(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n＝6n－2，b n＝2n，有T n＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n，2T n＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述两式相减得，－T n＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1，＝12×（1－2n）1－2－4－(6n－2)×2n＋1＝－(3n－4)2n＋2－16．故T n＝(3n－4)2n＋2＋16．故数列{a2n b n}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16．19．(本小题满分14分)设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝e x f(x)．⑴．求f(x)的单调区间；⑵．已知函数y＝g(x)和y＝e x的图像在公共点(x0，y0)处有相同的切线，(i)求证：f (x )在x ＝x 0处的导数等于0；(ii)若关于x 的不等式g (x )≤e x 在区间[x 0－1，x 0＋1]上恒成立，求b 的取值范围．【解析】⑴．由f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，可得f ′(x )＝3(x －a )[x －(4－a )]，令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或x ＝4－a ．由|a |≤1，得a ＜4－a ．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，a ) (a ，4－a ) (4－a ，＋∞)f ′(x ) ＋ － ＋f (x ) ↗ ↘ ↗故f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(4－a ，＋∞)，单调递减区间为(a ，4－a )．⑵．(i)因为g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]，由题意知0000()e ()e x x x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0000000()e e e (()())ex x x x f f f x 'x x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f 'x x f =⎧⎨=⎩．故f (x )在x ＝x 0处的导数等于0． (ii)因g (x )≤e x ，x ∈[x 0－1，x 0＋1]，由e x ＞0，可得f (x )≤1．又f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0，故x 0为f (x )的极大值点，由(I)知x 0＝a ．另一方面，由于|a |≤1，故a ＋1＜4－a ，由(I)知f (x )在(a －1，a )内单调递增，在(a ，a ＋1)内单调递减，故当x 0＝a 时，f (x )≤f (x )＝1在[a －1，a ＋1]上恒成立，从而g (x )≤e x 在[x 0－1，x 0＋1]上恒成立．由f (a )＝a 3－6a 2－3a (a －4)a ＋b ＝1，即b ＝2a 3－6a 2＋1，－1≤a ≤1，令t (x )＝2x 3－6x 2＋1，x ∈[－1，1]，则t ′(x )＝6x (x －2)，令t ′(x )＝0得，x ＝2(舍)，或x ＝0．因t (－1)＝－7，t (1)＝－3，t (0)＝1，故t (x )的值域为[－7，1]，故b 的取值范围为[－7，1]．20．(本小题满分14分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，ΔEF A 的面积为12b 2． ⑴．求椭圆的离心率；⑵．设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．(i)．求直线FP 的斜率；(ii)．求椭圆的方程．【解析】⑴．设椭圆的离心率为e ．由已知，可得12(c ＋a )c ＝12b 2．又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0．又0＜e ＜1，解得e ＝12．故椭圆的离心率为12． ⑵．(i)．依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)，则直线FP 的斜率为1m，由⑴知，a ＝2c ，则直线AE 的方程为34(ii)解：由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c 2＝1．由(i)得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，代入椭圆方程x 24c 2＋y 23c 2＝1消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c /7 (舍)，或x ＝c ．因此可得点P (c ，32c )，进而可得|FP |＝52c ，故|PQ |＝|FP |－|FQ |＝52c －32c ＝c ．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 与QN 都垂直于直线FP ．因为QN⊥FP ，故|QN |＝|FQ |tan ∠QFN ＝32c ×34＝98c ，故ΔFQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 2/32，同理ΔFPM 的面积等于75c 2/32，由四边形PQNM 的面积为3c ，得132(75c 2－27c 2)＝3c ，整理得c 2＝2c ，又由c ＞0，得c ＝2．故椭圆的方程为x 216＋y 212＝1．。
2017年全国高考文科数学试题及答案-天津卷
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：・如果事件A ，B 互斥，那么・如果事件A ，B 相互独立，那么P(A ∪B)=P (A)+P(B )．P(AB )=P(A ) P(B)．・棱柱的体积公式V=Sh .・圆锥的体积公式13VSh .其中S 表示棱柱的底面面积，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．h 表示棱柱的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C，则()AB C（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6}【答案】B（2）设（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】20x ，则2x ，11x ，则111,02x x ，据此可知：“20x ”是“11x ”的必要二不充分条件.本题选择B 选项.（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A ）45（B ）35（C ）25（D ）15【答案】C（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3 【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为19N ，第一次循环：118N N ，不满足3N ；第二次循环：63N N，不满足3N ；第三次循环：23N N，满足3N；此时跳出循环体，输出3N .本题选择C 选项. （5）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412xy（B ）221124xy（C ）2213xy（D ）2213yx【答案】D（6）已知奇函数()f x 在R上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5af bf cf ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a bc （B ）b ac （C ）cba （D ）cab【答案】C 【解析】由题意：221log log 55a ff ，且：0.822log 5log 4.12,122，据此：0.822log 5log 4.12，结合函数的单调性有：0.822log 5log 4.12f f f ，即,a b c c b a .本题选择C 选项. （7）设函数()2sin(),f x x x R，其中0,||π.若5π11π()2,()0,88f f 且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312（B ）211π,312（C ）111π,324（D ）17π,324【答案】A（8）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x xx x设a R ，若关于的不等式()||2x f x a 在R上恒成立，则的取值范围是（A ）[2,2]（B ）[23,2]（C ）[2,23]（D ）[23,23]zx xk【答案】A 【解析】满足题意时f x 的图象恒不在函数2x ya 下方，当23a 时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当23a 时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考天津卷文数试题解析(正式版)(原卷版)
8
8
正周期大于 2π ，则
（A） 2 , π 3 12
（C） 1 , 11π
3
24
（B） 2 , 11π
3
12
（D） 1 , 7π 3 24
2
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（8）已知函数
f
(x)
| x |
·球的体积公式V 4 R3 ．其中 R 表示球的半径． 3
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合 A {1, 2, 6}, B {2, 4},C {1, 2,3, 4}，则 (A B) C
（A） {2}
（B）{1, 2, 4}
（C）{1, 2, 4, 6}
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2017 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分 13 分）
在 △ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a, b, c ．已知 a sin A 4b sin B ， ac 5(a2 b2 c2 ) ．
（Ⅰ）求 cos A 的值； （Ⅱ）求 sin(2B A) 的值．
甲
70
5
60
乙
60
2017年天津市高考数学试卷(文科)
2017年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．35．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4.1），6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log2c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．18．（13分）已知{an }为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n bn}的前n项和（n∈N*）．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x+1]上恒成立，求b的取值范围．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N 在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．2017年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，则（A∪B）∩C=（）A．{2} B．{1，2，4} C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}【分析】由并集定义先求出A∪B，再由交集定义能求出（A∪B）∩C．【解答】解：∵集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={1，2，3，4}，∴（A∪B）∩C={1，2，4，6}∩{1，2，3，4}={1，2，4}．故选：B．【点评】本题考查并集和交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集和交集定义的合理运用．2．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．3．（5分）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数n==10，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数m==4，∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为p==．故选：C．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．【解答】解：第一次N=19，不能被3整除，N=19﹣1=18≤3不成立，第二次N=18，18能被3整除，N==6，N=6≤3不成立，第三次N=6，能被3整除，N═=2≤3成立，输出N=2，故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后等到双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，，即，，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4.1），6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a=﹣f（），b=f（log2c=f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c 的大小．【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a=﹣f（）=f（log25），b=f（log24.1），c=f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ值．【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣2，2] B． C． D．【分析】根据题意，作出函数f（x）的图象，令g（x）=|+a|，分析g（x）的图象特点，将不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立转化为函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交的问题，分析可得f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=的图象如图：令g（x）=|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，关键是作出函数f（x）的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2 ．【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，===﹣i由为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知a∈R，设函数f（x）=ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为 1 ．【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距．【解答】解：函数f（x）=ax﹣lnx，可得f′（x）=a﹣，切线的斜率为：k=f′（1）=a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a=（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a=，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=；故答案为：．【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键．12．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为（x+1）2+=1 ．【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA==1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l 上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A，∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA===1，∴OA=，∴A（0，），如图所示：∴C（﹣1，），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为，故答案为：（x+1）2+=1．【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，抛物线的简单几何性质，属于中档题．13．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为 4 ．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．14．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且=﹣4，则λ的值为．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2，∴=+=+=+（﹣）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（+）•（λ﹣）=（λ﹣）•﹣+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得asinB=bsinA，结合asinA=4bsinB，得a=2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cosA的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入asinA=4bsinB，得sinB，进一步求得cosB．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．【点评】本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．16．（13分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【分析】（Ⅰ）直接由题意结合图表列关于x，y所满足得不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；（Ⅱ）写出总收视人次z=60x+25y．化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又∵x，y满足约束条件，∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组，得点M的坐标为（6，3）．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．【点评】本题考查解得线性规划的应用，考查数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值．（Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC．（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC 所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．【点评】本小题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，是中档题．18．（13分）已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2+b 3=12，b 3=a 4﹣2a 1，S 11=11b 4． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{a 2n b n }的前n 项和（n ∈N *）．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．通过b 2+b 3=12，求出q ，得到．然后求出公差d ，推出a n =3n ﹣2．（Ⅱ）设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，利用错位相减法，转化求解数列{a 2n b n }的前n 项和即可．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由已知b 2+b 3=12，得，而b 1=2，所以q 2+q ﹣6=0．又因为q ＞0，解得q=2．所以，．由b 3=a 4﹣2a 1，可得3d ﹣a 1=8．由S 11=11b 4，可得a 1+5d=16，联立①②，解得a 1=1，d=3， 由此可得a n =3n ﹣2．所以，{a n }的通项公式为a n =3n ﹣2，{b n }的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n =6n ﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为（3n ﹣4）2n+2+16．【点评】本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x+1]上恒成立，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f（x）的单调区间；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导函数，由题意知，求解可得．得到f（x）在x=x处的导数等于0；（ii）由（I）知x=a．且f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．构造函数t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b的范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a=2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|=，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2=a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|=，有，整理得3m2﹣4m=0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a=2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得（舍去），或x=c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以¡÷FQN的面积为，同理¡÷FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．所以，椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
2017年全国高考文科数学试题及答案-天津卷
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )=P (A )+P (B )．·棱柱的体积公式V =Sh .其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()AB C =（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6}（2）设x R ∈，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A ）45（B ）35（C ）25（D ）15（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -= （B ）221124x y -= （C ）2213x y -= （D ）2213y x -=（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为 （A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<（7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ== （B ）211π,312ωϕ==- （C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==（8）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）[2,2]-（B ）[-（C ）[-（D ）[-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2017年高考数学天津文试题及解析
2017年天津文1.(2017年天津文)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}，则(A∪B)∩C= ( )A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，6}1.B 【解析】由题意可得A∪B ={1，2，4，6}，所以(A∪B)∩C={1，2，4}．故选B．2. (2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．3. (2017年天津文)有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A. 45 B.35 C.25 D.153. C 【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，4. (2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 第一次循环，24能被3整除，N ＝243＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N ＝8－1＝7>3；第三次循环，7不能被3整除，N ＝7－1＝6>3； 第四次循环，6能被3整除，N ＝63＝2<3，结束循环，故输出N 的值为2.5. (2017年天津文)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A. x 24-y 212=1B. x 212-y 24=1C. x 23-y 2=1D.x 2-y 23=1 5. D 【解析】由题意可得⎩⎨⎧c=2，c 2=a 2+b 2，b a =tan 60°=3，解得a 2=1,b 2=3，故双曲线方程为x 2-y 23=1．故选D ．6. (2017年天津文)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a=-f(log 215),b=f(log 24.1),c=f(20.8)，则a,b,c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.c ＜b ＜aD.c ＜a ＜b6. C 【解析】由题意可得a=f （log 215）=f （log 25），且f （log 25）＞log 24.1＞2，1＜20.8＜2，所以log 25＞log 24.1＞20.8，结合函数的单调性可得f （log 25）＞f （log 24.1）＞f （20.8），即a＞b ＞c ，即c ＜b ＜a.故选C.7. (2017年天津文)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π．若f(5π8)=2，f(11π8)=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( ) A. ω=23，φ=π12B. ω=23，φ=-11π12 C. ω=13，φ=-11π24D. ω=13，φ=7π247. A 【解析】由题意得⎩⎨⎧5ωπ8+φ=2k 1π+π2，11ωπ8+φ=k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω=43（k 2-2k 1）-23，又T=2πω＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω=23，11212k ϕ=π+π，由|φ|＜π得φ=π12，故选A ．8. (2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋2，x ＜1，x ＋2x ，x ≥1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－23，2]C ．[－2,2 3 ]D ．[－23，2 3 ][解析] 选A 法一：作出f (x )的图象如图所示．当y ＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a 的图象经过点(0,2)时，可知a ＝±2. 当y ＝x 2＋a 的图象与y ＝x ＋2x 的图象相切时，由x 2＋a ＝x ＋2x ，得x 2－2ax ＋4＝0，由Δ＝0， 并结合图象可得a ＝2.要使f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，当a ≤0时，需满足－a ≤2，即－2≤a ≤0， 当a ＞0时，需满足a ≤2，即0＜a ≤2， 综上可知，－2≤a ≤2.法二：∵f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立， ∴－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立．①令g (x )＝－f (x )－x2.当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2， g (x )＝－x －2－x 2＝－32x －2≤－2，即g (x )max ＝－2.当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，g (x )＝x －2－x 2＝x2－2，即g (x )＜－2. 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝－x －2x －x 2＝－32x －2x ≤－23，即g (x )max ＝－2 3. ∴a ≥－2.②令h (x )＝f (x )－x2.当0≤x ＜1时，f (x )＝x ＋2，h (x )＝x ＋2－x 2＝x2＋2≥2，即h (x )min ＝2. 当x ＜0时，f (x )＝－x ＋2，h (x )＝－x ＋2－x 2＝－32x ＋2＞2，即h (x )＞2.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x ，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x ≥2，即h (x )min ＝2. ∴a ≤2.综上可知，－2≤a ≤2.法三：若a ＝23，则当x ＝0时，f (0)＝2， 而⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项C ，D.若a ＝－23，则当x ＝0时，f (0)＝2，而⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＝23，不等式不成立，故排除选项B.故选A.此题直接求解难度较大，但也有一定的技巧可取，通过比较四个选项，只需判断a ＝23，－23是否满足条件即可，这种策略在做选择题时经常用到．9. (2017年天津文)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a-i2+i 为实数，则a 的值为___________．10. (2017年天津)已知a ∈R ,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为_________.解析:由题可得f (1)＝a ,则切点为(1,a ).因为f ′(x )＝a －1x ,所以切线l 的斜率为f ′(1)＝a －1,切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1),令x ＝0可得y ＝1,故l 在y 轴上的截距为1.11. (2017年天津文)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．12. (2017年天津文)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC=120°，则圆的方程为___________．13. (2017年天津文)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab 的最小值为___________．14. (2017年天津文)在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若→BD =2→DC ，→AE =λ→AC -→AB （λ∈R ），且→AD ·→AE =-4，则λ的值为___________．15. (2017年天津)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a sin A ＝4b sin B ,ac ＝5(a 2－b 2－c 2). （1）求cos A 的值； （2）求sin(2B －A )的值.【解析】（1）由a sin A ＝4b sin B 及正弦定理,得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理,得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55.（2）由（1）可得sin A ＝255,代入a sin A ＝4b sin B ,得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由（1）知A 为钝角,所以cos B ＝1-sin 2B ＝255.于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45,cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35,故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255.16. (2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（1）用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？【分析】（1）由甲、乙连续剧总的播放时间不多于600分钟、广告时间不少于30分钟、甲连续播放的次数不多于乙连续播放的次数的2倍分别列出x ,y 满足的不等式,结合x ,y 为自然数建立不等式组,再画出平面区域.（2）列出目标函数,根据目标函数的几何意义求出最值.解：（1）由已知x ,y 满足的数学关系式为⎩⎨⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎨⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ∈N ，y ∈N .该不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点(包括边界).（2）设总收视人次为z 万,则目标函数为z ＝60x ＋25y . 由z ＝60x ＋25y ,得y ＝－125x ＋z25. 当z25取得最大值时,z 的值最大.由图2可知当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时,z25最大,即z 最大.联立⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，解得M (6,3), 所以电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.17. (2017年天津)如图,在四棱锥P -ABCD 中,AD ⊥平面PDC ,AD ∥BC ,PD ⊥PB ,AD ＝1,BC ＝3,CD ＝4,PD ＝2.（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：PD ⊥平面PBC ；（3）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．【解析】（1）如图,由已知AD ∥BC ,∴∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角. ∵AD ⊥平面PDC ,∴AD ⊥PD .在Rt △PDA 中,由已知得AP ＝AD 2＋PD 2＝5, ∴cos ∠DAP =AD AP ＝55.∴异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55.（2）∵AD ⊥平面PDC ,直线PD ⊂平面PDC ,∴AD ⊥PD . 又∵BC //AD ,∴PD ⊥BC . 又PD ⊥PB ,∴PD ⊥平面PB C .（3）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ,连接PF , 则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角. ∵PD ⊥平面PBC ,∴PF 为DF 在平面PBC 上的射影, ∴∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角.∵AD∥BC,DF∥AB,∴BF＝AD＝1. 由已知得CF＝BC－B F＝2.又AD⊥DC,∴BC⊥DC.在Rt△DCF中,DF＝CD2＋CF2＝25.在Rt△DPF中,sin∠DFP＝PDDF＝55.∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.18. (2017年天津文)已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．18.解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q2+q-6=0．又因为q＞0，解得q=2，所以b n=2n．由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8①；由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n-2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n-2，{b n}的通项公式为b n=2n．（2）设数列{a2n b n}的前n项和为Tn，由a2n=6n-2，有T n=4×2+10×22+16×23+…+（6n-2）×2n，2T n=4×22+10×23+16×24+…+（6n-8）×2n+（6n-2）×2n+1，（3n-4）2n+2-16，得T n=（3n-4）2n+2+16.所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n-4）2n+2+16.19.4．(2017·天津高考)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝e x f(x)．(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数y＝g(x)和y＝e x的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线，①求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；②若关于x 的不等式g (x )≤e x 在区间[x 0－1，x 0＋1]上恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝x 3－6x 2－3a (a －4)x ＋b ，可得f ′(x )＝3x 2－12x －3a (a －4)＝3(x －a )[x －(4－a )]． 令f ′(x )＝0，解得x ＝a ，或x ＝4－a . 由|a |≤1，得a ＜4－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(4－a ，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a )． (2)①证明：因为g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧g (x 0)＝e x 0，g ′(x 0)＝e x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (x 0)e x 0＝e x 0，e x 0[f (x 0)＋f ′(x 0)]＝e x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0.所以f (x )在x ＝x 0处的导数等于0. ②因为g (x )≤e x ，x ∈[x 0－1，x 0＋1]， 由e x ＞0，可得f (x )≤1. 又因为f (x 0)＝1，f ′(x 0)＝0，所以x 0为f (x )的极大值点，结合(1)知x 0＝a . 另一方面，由于|a |≤1，故a ＋1＜4－a ，由(1)知f (x )在(a －1，a )内单调递增，在(a ，a ＋1)内单调递减，故当x 0＝a 时，f (x )≤f (a )＝1在[a －1，a ＋1]上恒成立，从而g (x )≤e x 在[x 0－1，x 0＋1]上恒成立．由f (a )＝a 3－6a 2－3a (a －4)a ＋b ＝1， 得b ＝2a 3－6a 2＋1，－1≤a ≤1. 令t (x )＝2x 3－6x 2＋1，x ∈[－1,1]， 所以t ′(x )＝6x 2－12x ，令t ′(x )＝0， 解得x ＝2(舍去)或x ＝0.因为t (－1)＝－7，t (1)＝－3，t (0)＝1， 因此t (x )的值域为[－7,1]． 所以b 的取值范围是[－7,1]．20. (2017年天津文)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F （-c ，0），右顶点为A ，点E 的坐标为（0，c ），△EFA 的面积为b 22． （1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，|FQ|=32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． （i ）求直线EP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．20.解：（1）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得12（c+a ）c=b 22．又由b 2=a 2-c 2，可得2c 2+ac-a 2=0，即2e 2+e-1=0．又因为0＜e ＜1，解得e=12．所以，椭圆的离心率为12．（2）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为x=my-c （m ＞0），则直线FP 的斜率为1m ． 由（1）知a=2c ，可得直线AE 的方程为x 2c +yc =1，即x+2y-2c=0，与直线FP 的方程联立，可解得x=（2m-2）c m+2，y=3cm+2，即点Q 的坐标为（（2m-2）c m+2，3c m+2）． 由已知|FQ |=3c 2，有[（2m-2）c m+2+c]2+(3c m+2)2=(3c 2)2，整理得3m 2-4m=0，所以m=-43，故直线FP的斜率为34．(ii)由a=2c ，可得b=3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1.由（i ）得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧3x-4y+3c=0，x 24c 2+y 23c 2=1， 消去y ，整理得7x 2+6cx-13c 2=0，解得x=-13c7（舍去）或x=c.因此可得点P （c ，3c2），进而可得|FP|=（c+c ）2+（3c 2）2=5c2，所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c 2-3c2=c ．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN ⊥FP ，所以|QN|=|FQ|·tan ∠QFN=3c 2×34=9c8，所以△FQN 的面积为12|FQ||QN|=27c 232，同理△EPM 的面积等于75c 232，由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232-27c 232=3c ，整理得c 2=2c ，又由c ＞0，得c=2． 所以，椭圆的方程为x 216+y 212=1．。
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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
·如果事件A ，B 互斥，那么·如果事件A ，B 相互独立，那么
P (A ∪B )=P (A )+P (B )．P (AB )=P (A ) P (B )．
·棱柱的体积公式V =Sh .
·圆锥的体积公式13V Sh =. 其中S 表示棱柱的底面面积，
其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高．
h 表示棱柱的高．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =
（A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6}
【答案】B
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】20x -≥，则2x ≤，
11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，
据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的必要二不充分条件.
本题选择B 选项.
（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
（A ）45（B ）35（C ）25（D ）15
【答案】C
（4）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为
（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3
【答案】C
【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：
首先初始化数值为19N =，
第一次循环：118N N =-=，不满足3N ≤； 第二次循环：63
N N =
=，不满足3N ≤； 第三次循环：23N N ==，满足3N ≤； 此时跳出循环体，输出3N =.
本题选择C 选项.
（5）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为
（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2
213y x -=
【答案】D
（6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221
(log ),(log 4.1),(2)5
a f
b f
c f =-==，则,,a b c 的大小关系为
（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b <<
【答案】C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，
据此：0.822log 5log 4.12>>，
结合函数的单调性有：()()()
0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<.
本题选择C 选项.
（7）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π(
)2,()0,88
f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==
【答案】A。