人教版高中数学必修二课件：2.3.2直线和平面垂直的判定和性质(共18张PPT)
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
《面面垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.2课时)
新知探究
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
新知探究
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪ ∪
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
D
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
A
新知探究
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B l
AC
BD
AC⊥l BD ⊥l
Bl
C
D
AO
二面角 --l--
D’
C’
A
A’ D
A
B’ O
CB B
D
O
E
C
二面角B--B’C--A
二面角A--BC-D
新知探究
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、说明此角即为所求二面角的平面角 4、 求出此角的大小 5、回答此角的大小
高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》PPT
生活中有很多直线与平面垂直的实例 大桥的桥柱与水面垂直
A
m
B
? 无数条直线
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
探究一下：
得到线面垂直,直线最少垂直于平面内的几 条直线？
（1）如果一条直线和一个平面内的一条 直线垂直，此直线是否和平面垂直？
（2）如果一条直线和一个平面内的两条 直线垂直，此直线是否和平面垂直？
过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD.
如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面
垂直？
2、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线
l b a
l
b
a b A
l
b
Aa
例1: 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知： a ．a // b
求证： b ．
ab
m
An
例: 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知： a ．a // b
求证： b ．
证明：设m 是 内的任意一条直线．
P
例2 如图，圆O所在平面为 ，AB是圆O
的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB, 求证：BC 平面PAC
线线垂直 线面垂直
A
O
B
C
如图，直四棱柱 ABCD ABCD（侧棱与底面垂直
的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么
条件时，AC BD ？(只能添加一个合适的条件)
A
A
m
B
? 无数条直线
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l
垂足
平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
探究一下：
得到线面垂直,直线最少垂直于平面内的几 条直线？
（1）如果一条直线和一个平面内的一条 直线垂直，此直线是否和平面垂直？
（2）如果一条直线和一个平面内的两条 直线垂直，此直线是否和平面垂直？
过三角形的顶点A翻折纸片，得到折痕AD.
如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面
垂直？
2、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线
l b a
l
b
a b A
l
b
Aa
例1: 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于 一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知： a ．a // b
求证： b ．
ab
m
An
例: 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面．
已知： a ．a // b
求证： b ．
证明：设m 是 内的任意一条直线．
P
例2 如图，圆O所在平面为 ，AB是圆O
的直径，C 是圆周上一点,且PA AC, PA AB, 求证：BC 平面PAC
线线垂直 线面垂直
A
O
B
C
如图，直四棱柱 ABCD ABCD（侧棱与底面垂直
的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么
条件时，AC BD ？(只能添加一个合适的条件)
A
人教版高中数学必修2第二章第3节《直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质》ppt参考课件
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
D：如果平面α ⊥平面γ ，平面β ⊥平面γ ，α ∩β=l，那么l⊥β．
已知两个平面垂直，那么
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的 任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的无数条直线．
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平 面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂 线必垂直于另一个平面．
∩ ∩
在α 内作α 垂直于β 与交线的直线b
因为α⊥β， 所以b⊥β；
因为a⊥β， 所以a∥b， 又因为a α, 所以a∥α; 即直线a与平面平行．
α b
a
β
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”。 (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行( √)
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行( √)
2019/8/11
最新中小学教学课件
14
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面 垂直，则这两条直线互相垂直 ( ) √
下列命题中错误的是（ A）
A：如果平面α ⊥平面β ，那么平面α 内所有直 线都垂直于平面β．
B：如果平面α ⊥平面β ，那么平面α 内一定不 存在直线平行于平面β．
C：如果平面α 不垂直于平面β ，那么平面α 内 一定不存在直线垂直于平面β．
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
D：如果平面α ⊥平面γ ，平面β ⊥平面γ ，α ∩β=l，那么l⊥β．
已知两个平面垂直，那么
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的 任意一条直线．
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的无数条直线．
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平 面．
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂 线必垂直于另一个平面．
∩ ∩
在α 内作α 垂直于β 与交线的直线b
因为α⊥β， 所以b⊥β；
因为a⊥β， 所以a∥b， 又因为a α, 所以a∥α; 即直线a与平面平行．
α b
a
β
判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”。 (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行( √)
(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行( √)
2019/8/11
最新中小学教学课件
14
(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面 垂直，则这两条直线互相垂直 ( ) √
下列命题中错误的是（ A）
A：如果平面α ⊥平面β ，那么平面α 内所有直 线都垂直于平面β．
B：如果平面α ⊥平面β ，那么平面α 内一定不 存在直线平行于平面β．
C：如果平面α 不垂直于平面β ，那么平面α 内 一定不存在直线垂直于平面β．
人教版高中数学必修二课件：2.3.2平面与平面垂直的判定 (共38张PPT)
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 这两个平面互相垂直． 求证：α ⊥β ． 证明：设a∩β =CD，则B∈CD． ∴AB⊥CD． β 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD， 则∠ABE是二面角α -CD-β 的平 面角，又AB⊥BE，即二面角α CD-β 是直二面角． ∴α ⊥β ．
C
α
A
B D
E
课堂诊断:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的一条直线，则α⊥β.（ ） × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的 × 两条直线，则α⊥β.（ ） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的 √ 两条 相交直线, 则α⊥β.（ ） 4.二面角指的是（ B ） A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。
O
B
m
记为：二面角-m-
二面角的图示
二面角的记号 （1）以直线 l 为棱，以 , （2）以直线AB为棱，以 , 为半平面的二面角记为： 为半平面的二面角记为：
l
l
AB
B
A
思考3 两个相交平面有几个二面角？
探究
提出问题: 二面角的大小反映了两个平面相交的位置关系. 如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一 些，那我们应如何度量二面角的大小呢？如何用 平面角来表示二面角的大小？
应用举例，强化所学
例1：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平
面，C是圆周一不同于A，B的任意一点，求证：平面 P PAC⊥平面PBC 证明：设⊙O所在平面为α ， 由已知条件，有 C PA⊥α ，BC在α 内， 所以，PA⊥BC， A O 因为，点C是不同于A，B的任意 一点，AB为⊙O的直径， 所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线， 所以，BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内， 所以，平面PAC⊥平面PBC。
人教A版高中数学必修2第二章2.3.3直线与平面垂直的性质课件(共19张PPT)
（2）若AD＝1，AB＝ 2 ，求EC与平面ABCD
所成的角。 E
Page 17
D
M A
C B
思考:对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ， β⊥γ那么直线l与平面γ的位置关系如何？ 为什么？
β l
α
l2
n
m
γ
l1
Page 18
如果两个相交平面都垂直于另一个平面， 那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
（ ×） (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β（ ）
Page 14
例5. , a , a ,判断a与位置关系
解：设 l
在α内作直线b ⊥l
α
β
b l
A
a
b
bl
l
b 又a
a // b
b
LOGO
直线与平面垂直的性质
由NordriDesign™提供
温故知新
1.直线与平面垂直的定义
如果直线 l与平面 内的任意一条直线都垂直 ，我们说直线 l与平面 互相垂直，记作 l ．
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于这条直线。
Page 9
Page 10
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平 面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种 可能？
αl β
αl β
α
l β
Page 11
思考:一般地， , CD
AB , AB CD ,垂足为B，那么直
a //
所成的角。 E
Page 17
D
M A
C B
思考:对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ， β⊥γ那么直线l与平面γ的位置关系如何？ 为什么？
β l
α
l2
n
m
γ
l1
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如果两个相交平面都垂直于另一个平面， 那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
（ ×） (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此
√ 垂线必垂直于平面β（ ）
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例5. , a , a ,判断a与位置关系
解：设 l
在α内作直线b ⊥l
α
β
b l
A
a
b
bl
l
b 又a
a // b
b
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直线与平面垂直的性质
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1.直线与平面垂直的定义
如果直线 l与平面 内的任意一条直线都垂直 ，我们说直线 l与平面 互相垂直，记作 l ．
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直．
3、两个平行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于这条直线。
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思考1:如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平 面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种 可能？
αl β
αl β
α
l β
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思考:一般地， , CD
AB , AB CD ,垂足为B，那么直
a //
高中人教版必修2数学课件第二章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定精选ppt课件
1．直线与平面垂直的判定定理中若去掉a∩b＝P，结论 还成立吗？ 提示：不一定，如图正方体中，a，b⊂α，l⊥a， l⊥b，但l∥α，故定理中的“两条相交直线”是不可 缺少的条件．
2．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么该 直线与该平面一定垂直吗？ 提示：不一定．当直线垂直于平面内的一组平行线时， 该直线与该平面就不一定垂直．
则∠PCA＝45°， 即直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45°.
求斜线与平面所成的角的步骤: (1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角 (斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的 锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足 和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取 以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三 角形中计算．
Hale Waihona Puke ∴cos∠D1BD＝DD1BB＝
6 3.
(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1C1，
∴∠EFA1是EF与平面A1C1所成的角．
在Rt△A1EF中．
∵F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°.
如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD， PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC 的中点．
[例2] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4， AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．
[自主解答] 如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD， 则AC是PC在平面ABCD上的射影， 所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．
【人教A版】高中数学必修二：2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》ppt课件.pptx
2.3.1直线与平面垂直的判定
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面 的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直 的印象.
问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与 这个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管 影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是 说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
问题2：能否找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系？ 如图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的 平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？
棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行.
问题 4：如图,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ ABC 的顶点 A 翻折纸片，得折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕 AD 与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 α 垂直？
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的平面 α 垂直. 如图.
又∵OA 平面 PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证 AB⊥OC.∴O 是△ ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证 PO⊥AC. ∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO，∴PB⊥AC.
例 2、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地面 的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直 的印象.
问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与 这个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽管 影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就是 说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
问题2：能否找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系？ 如图，长方体 ABCD—A′B′C′D′中，棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的 平面 ABCD，它们之间具有什么位置关系？
棱 AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面 ABCD，它们之间互相平行.
问题 4：如图,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过△ ABC 的顶点 A 翻折纸片，得折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕 AD 与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面 α 垂直？
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的平面 α 垂直. 如图.
又∵OA 平面 PAO，∴BC⊥OA.
同理,可证 AB⊥OC.∴O 是△ ABC 的垂心. ∴OB⊥AC.可证 PO⊥AC. ∴AC⊥平面 PBO.
又 PB 平面 PBO，∴PB⊥AC.
例 2、如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
高一数学人教A版必修2第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(共29张PPT)
2.3.1直线与平面垂直的判定
1
（一）平面垂直定义的建构
实例引入生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出
几个吗？
旗杆与底面垂直
2
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
3
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位
置关系.
1.旗杆所在的直线始终与
A
影子所在的直线垂直.
思考2 旗杆AB与地面内任意一条不过 旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是 什么？由此可以得到什么结论？
24
3. 已知：如图 ，空间四边形 ABCD 中， DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE， 求证：BC⊥平面 AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点， ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可．
辨析1判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它
与平面垂直.
（)
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所
有的直线都垂直.
（）
b
a
α
7
探索新知： 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本
方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
l l m,任意 m .
25
4:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与 BD的交点，且PA =PC ,PB =PD . 求证：PO⊥平面ABCD
但是，直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
1
（一）平面垂直定义的建构
实例引入生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出
几个吗？
旗杆与底面垂直
2
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
3
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位
置关系.
1.旗杆所在的直线始终与
A
影子所在的直线垂直.
思考2 旗杆AB与地面内任意一条不过 旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是 什么？由此可以得到什么结论？
24
3. 已知：如图 ，空间四边形 ABCD 中， DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE， 求证：BC⊥平面 AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点， ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可．
辨析1判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它
与平面垂直.
（)
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所
有的直线都垂直.
（）
b
a
α
7
探索新知： 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本
方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
l l m,任意 m .
25
4:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与 BD的交点，且PA =PC ,PB =PD . 求证：PO⊥平面ABCD
但是，直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
人教A版高中数学必修二课件2.3.3直线与平面垂直的性质(共23张PPT)
抓关键
促规范
充分利用题中所给几何体本身的几何性质“CD⊥平面 ADD1A1”⇒CD⊥AD1，从而推出AD1⊥平面A1DC；
由线面垂直的性质定理推出MN∥AD1成立；
连接ON，证明四边形AMNO为平行四边形是证点M为 AB中点的关键．
跟踪训练
3．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形 ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD， 求证：l∥AE.
例3 如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂 直于PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，求 证：AE⊥PB.
【证明】
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又ABCD是正方形，∴AB⊥BC. ∵AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. ∵AE⊂面PAB， ∴BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE， ∵PC∩BC＝C， ∴AE⊥平面PBC.∵PB⊂平面PBC，∴AE⊥PB. 【名师点评】
做一做 直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l、m的位 置关系是( ) A．相交B．异面 C．平行D．垂直 解析：选D.由题意可知l⊥α，∴l⊥m.
典题例证技法归纳
【题型探究】
题型一
对直线与平面垂直的性质定理的理解
若例 a， 1 b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法： ①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α， a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的序号是 ________．
1分
(2)连接 ON，在△ A1 DC 中， 1 1 A1 O＝ OD， A1 N＝ NC，∴ ON 綊 CD 綊 AB， 2 2 ∴ ON∥ AM.8 分又∵由 (1)可知 MN∥ OA， ∴四边形 AMNO 为平行四边形， 1 ∴ ON＝ AM. ∵ ON＝ AB， 2 1 ∴ AM＝ AB， 11 分 2 ∴ M 是 AB 的中点.12 分
人教版新课标高中数学第二章1直线与平面垂直的判定 (共42张PPT)教育课件
B.(1)(4)
C.(1)
D.四个命题都正确。
练习：
2 、如图,在三棱锥V-ABC中 , VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中 A 点。求证：AC⊥平面VKB．
V
K
C
B
变式：
⑴若E、F分别是AB、BC 的中
点，试判断EF与平面VKB的 位置关系．
A
V
K
C
E
F
B
⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC，
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。