期中复习练习题

1、已知x a a x a x x f ln )()12(2
1)(2
2+++-=
（0>x ，a 是常数）
，若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围．
2、设()x g x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<． （1）求函数()f x 的极值；
（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式11x
e a x
--<成立；
（3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12
121122a a a a λλ≤λ+λ
3、已知函数(),R x f x e kx x =-∈（e 是自然对数的底数，e=2.71828……） (1)若k=e ，求函数()f x 的极值； (2)若k R ∈，求函数()f x 的单调区间；
(3)若k R ∈，讨论函数()f x 在(],4-∞上的零点个数．
4、已知f （x ）=x-a x
（a>0），g （x ）=2lnx+bx 且直线y=2x －2与曲线y=g （x ）相切．
（1）若对[1，+∞）内的一切实数x ，不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）当a=l 时，求最大的正整数k ，使得对[e ，3]（e=2．71828…是自然对数的底数）内的任意k 个实数x 1，x 2，…，x k 都有121()()()16()k k f x f x f x g x -+++≤ 成立；
（3）求证：*
2
1
41(21)()41
n
i i n n n N i =>+∈-∑
5、已知函数f (x )是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若)(x f x '＞f (x )在（0，+∞）上恒成立.
（Ⅰ）求证：函数g (x )=
f (x )
x
在（0,+∞）上单调递增； （Ⅱ）当x 1＞0,x 2＞0时，证明：f (x 1)+f (x 2)＜f (x 1+x 2)；
（Ⅲ）已知不等式ln (1+x )＜x 在x ＞－1且x ≠0时恒成立，证明： 122 ln 22+132 ln 32+142 ln 42+…+1(n +1)2 ln (n +1)2>n 2(n +1)(n +2)
(n ∈ N +).
2、已知函数2
1
()22
f x ax x =
+，()g x lnx =.
（1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调减函数，求a 的取值范围；
（2）是否存在实数0a >，使得方程
()()(21)g x f x a x '=-+在区间1
(,)e e
内有且只有两个不相等
的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
3、设函数1f(x)=
x lnx
⋅(x>0且x≠1).
(1)若f′(x 0)=0，求x 0的值； (2)求函数f(x)的单调区间；
(3)已知1
α
x 2x >对任意x ∈(0，1)成立，求实数a 的取值范围.
4、已知函数||
12(),()x a bx
f x e f x e -==．
（I)若122()()()()f x f x f x bf x =+--，是否存在a ，b ∈R ，y ＝f （x ）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II ）若a ＝2，b ＝1．求函数12()()()g x f x f x =+在R 上的单调区间； （III )对于给定的实数成立．求a 的取值范围．。