(通用版)2020版高考数学大二轮复习考前强化练1客观题124标准练A理

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2020版高考数学二轮复习教程基础保分强化训练(一)理

基础保分强化训练(一)1．设集合A＝{x∈Z｜x2≤1},B＝{－1,0，1，2}，则A∩B＝（）A．{－1,1｝B．{0｝C．{－1,0,1｝D．[－1,1］答案C解析∵A＝｛x∈Z|x2≤1}＝{－1,0，1｝，B＝｛－1，0,1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1}．故选C。

2．已知复数z满足：错误!＝－i（i是虚数单位),错误!是z的共轭复数，则复数1＋错误!对应的点位于复平面内的( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析设z＝a＋b i（a，b∈R）．由已知，得1＋a＋b i＝（1－a －b i)·(－i）,整理,得1＋a＋b＋(b－a＋1）i＝0，所以错误!解得错误!故z＝－i,1＋错误!＝1＋i。

所以1＋错误!对应的点位于复平面内第一象限，故选A。

3．直线y＝错误!x被圆C:x2＋y2－2x＝0截得的弦长为( )A．2 B.错误!C．1 D。

错误!答案C解析圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0）,半径为1，圆心到直线y＝错误!x的距离为d＝错误!＝错误!，弦长为2×错误!＝1，故选C。

4．已知cos错误!＝错误!，－错误!〈α〈错误!，则sin2α的值等于（）A.错误!B．－错误! C.错误!D．－错误!答案D解析因为cos错误!＝错误!，所以sinα＝－错误!，又－错误!〈α〈错误!，所以cosα＝错误!，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×错误!×错误!＝－错误!，故选D。

5．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图所示的柱状图：则下列结论正确的是( )A．与2016年相比,2019年一本达线人数减少B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加答案D解析设2016年该校参加高考的人数为S，则2019年该校参加高考的人数为1。

2020版高考数学二轮复习第一部分小题强化练小题强化练(四)(含解析)(最新整理)

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小题强化练(四）一、选择题1．设集合A＝｛y｜y＝log2x,0〈x≤4}，B＝{x|e x〉1}，则A∩B＝（)A．（0，2）B．（0，2]C．(－∞，2）D．R2．若i为虚数单位，复数z满足z(1＋i)＝｜1－i｜＋i,则z的虚部为（)A。

错误!B。

错误!－1C.错误!iD.错误!3．设随机变量X～N（1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )注:若X～N（μ，σ2)，则P（μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝0。

954 5.A．6 038 B．6 587C．7 028 D．7 5394．《九章算术》中的“竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为（)A。

133升B。

错误!升C.199升D。

2512升5.某城市有连接8个小区A，B，C，D，E,F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为( ）A.13B。

高考数学二轮复习题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A) (2)

题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020天津滨海新区联考,1)设集合U={x|x ≥-1},A={1,3,5,7},B={x|x>5},则A ∩∁U B=( ) A.{1,3,5} B.{3,5}C.{1,3}D.{1,3,5,7}2.(2020山东日照二模,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则z i=( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 3.(2020北京西城二模,6)设a=30.2,b=log 32,c=log 0.23,则 ( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c4.(2020山东日照一模,3)南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019广东深圳适应性考试,文8)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.118C.14D.186.(2020广东东莞一模,8)函数y=cos x ·2x +12x -1的部分图象大致为( )7.(2020河北石家庄5月检测,8)若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-4y+2=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.√3B.2√33C.2D.√28.(2020山东聊城一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数y=[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}=x-[x],则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为()A.-1B.0C.1D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020海南线上诊断测试,9)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是()A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10.(2020山东德州一模,10)1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ,下列结论正确的是( )A.卫星向径的取值范围是[a-c ,a+c ]B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁平D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小11.(2020山东淄博一模,10)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则下列说法正确的是( ) A.BC 1∥平面AQPB.平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C.A 1D ⊥平面AQPD.异面直线QP 与A 1C 1所成的角为60°12.(2020海南海南中学月考,12)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,且最小正周期为2,则下列说法正确的有( ) A.函数f (x-1)是奇函数B.函数f (x+1)是偶函数C.函数f (x+2)在[0,1]上单调递增D.函数f (x+3)是周期函数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东泰安考前模拟,14)(x -1x )(1-x )4的展开式中x 3的系数为 .14.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为升. 15.(2019四川攀枝花统考,文16)已知函数f (x )=(x -b )2-lnx x (b ∈R ).若存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,则实数b 的取值范围是 .16.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的表面上,AB=3,异面直线AC 1与BC 所成角的余弦值为310,则球O 的表面积为 .题型强化练题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )1.A 解析由题意∁U B={x|-1≤x ≤5},∴A ∩∁U B={1,3,5}. 2.C 解析由题意得z=1-i,所以zi =1-ii =i+1-1=-1-i .3.B 解析指数函数y=3x 为R 上的增函数,则a=30.2>30=1;对数函数y=log 3x 为(0,+∞)内的增函数,则log 31<log 32<log 33,即0<b<1;对数函数y=log 0.2x 为(0,+∞)内的减函数,则c=log 0.23<log 0.21=0.故a>b>c.4.A 解析根据祖暅原理,当S 1,S 2总相等时,V 1,V 2相等,所以充分性成立;当两个完全相同的四棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.所以“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的充分不必要条件.5.D 解析由DE=2EF ,可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示,连接AE ,则AE ⊥BC ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+12·|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos π3=0+12×12×1×12=18.故选D .6.A 解析令f (x )=y=cos x ·2x+12x -1(x ≠0),则f (-x )=cos(-x )·2-x+12-x -1=cos x ·12x +112x -1=cos x ·2x +11-2x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,可排除B,D; 当x ∈(0,π2)时,cos x>0,2x +12x -1>0,所以f (x )>0,故排除C.7.C 解析双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x ,由对称性,不妨取y=ba x ,即bx-ay=0.圆x 2+y 2-4y+2=0可化为x 2+(y-2)2=2,其圆心的坐标为(0,2),半径为√2. 圆心(0,2)到渐近线的距离d=√(√2)2-12=1. 由点到直线的距离公式,可得√b +a 2=2a c =2e =d=1,所以e=2.8.A 解析由题意知,当x=0时,f (x )=-1,所以0不是函数f (x )的零点.当x ≠0时,由f (x )=2x {x }-x-1=0可得,2{x }=1x +1,令y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1,作出函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1的图象如图所示, 由图象可知,除点(-1,0)外,函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1图象其余交点关于(0,1)中心对称,所以横坐标互为相反数.由函数零点的定义知,函数f (x )=2x {x }-x-1的所有零点之和为-1.9.ABC 解析 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比例为3287>13,故A 正确;由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B 正确;2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213-116=97(例),故C 正确;2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为98-8888=544,2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例的增长率为88-7474=737,显然737>544,故D 错误.10.ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],故A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度应更慢,故B 正确;a-c a+c =1-e1+e=21+e-1,比值越大,则e越小,椭圆轨道越接近于圆,故C错误.根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,故D正确.11.ABD解析如图,因为P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,所以PQ∥BC1, 又因为BC1⊄平面AQP,PQ⊂平面AQP,由线面平行的判定定理,知BC1∥平面AQP,故A正确;由AD1∥PQ,知平面APQ截正方体所得截面为四边形APQD1,又因为PQ≠AD1,所以四边形APQD1是等腰梯形,故B正确;若A1D⊥平面AQP,则A1D⊥AP,又因为AA1⊥AP,AA1∩A1D=A1,所以AP⊥平面A1AD,而AB⊥平面A1AD,这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾,故C不正确;异面直线QP与A1C1所成的角为∠A1C1B,而△A1C1B为等边三角形,故D正确. 12.BCD解析因为f(x)=A sin(ωx+φ)的最小正周期为2,所以2=2πω,所以ω=π.又因为f(x)=A sin(ωx+φ)在x=1处取得最大值,所以ω+φ=2kπ+π2(k∈Z).所以φ=2kπ-π2(k∈Z).所以f(x)=A sin(ωx+φ)=-A cos πx.设g(x)=f(x-1)=-A cos [π(x-1)]=A cos πx,因为g(-x)=A cos [π(-x)]=A cos πx=g(x),所以g(x)=f(x-1)是偶函数,故A不正确;设h (x )=f (x+1)=-A cos [π(x+1)]=A cos πx ,因为h (-x )=A cos [π(-x )]=A cos πx=h (x ),所以h (x )=f (x+1)是偶函数,故B 正确; 设m (x )=f (x+2)=-A cos [π(x+2)]=-A cos πx ,因为x ∈[0,1],所以πx ∈[0,π],又因为A>0,所以函数m (x )=f (x+2)在[0,1]上单调递增,故C 正确; 设n (x )=f (x+3)=-A cos [π(x+3)]=A cos πx ,函数n (x )最小正周期为2ππ=2,故D 正确.13.5 解析 (1-x )4的通项为T r+1=C 4r 14-r (-x )r =(-1)r C 4r x r ,令r=2,此时x 3的系数为(-1)2C 42=6,令r=4,此时x 3的系数为-(-1)4C 44=-1,则x 3的系数为6-1=5.14.1322 解析设竹子自上而下各节的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,且为等差数列,根据题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得a 1=1322,故最上面一节的容积为1322升.15.-∞,74解析 ∵f (x )=(x -b )2-lnx x ,x>0,∴f'(x )=2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx 2,∴f (x )+xf'(x )=(x -b )2-lnx x +2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx=2x (x -b )-1x. 存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,即2x (x-b )-1>0,∴b<x-12x 在[1,2]上有解. 设g (x )=x-12x (1≤x ≤2),∴b<g (x )max .g (x )=x-12x 在[1,2]上为增函数, 故g (x )max =g (2)=74,∴b<74. 故实数b 的取值范围是-∞,74. 16.28π 解析由题意BC ∥B 1C 1,所以∠AC 1B 1或其补角为异面直线AC 1与BC 所成的角.设AA 1=b ,在△AC 1B 1中,AB 1=AC 1,则cos ∠AC 1B 1=12B 1C 1AC 1=12·√32+b =310,所以AA 1=b=4.设外接球的半径为R ,底面外接圆的半径为r ,则R 2=r 2+(b 2)2.因为底面为等边三角形,所以2r=3sin π3,即r=√3,所以R 2=3+4=7,所以球O 的表面积为4π×7=28π.。

2020版高考数学大二轮复习专题数列增分强化练理

增分强化练一、选择题1．(2019·海口质检)等差数列{a n }的首项为2，公差不等于0，且a 23＝a 1a 7，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前2 019项和为( ) A.1 0092 020 B.2 0194 042 C.1 0094 042D.2 0192 021解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2，a 23＝a 1a 7，可得(2＋2d )2＝2(2＋6d )，所以d ＝1，因此a n ＝n ＋1，所以1a n a n ＋1＝1n ＋1－1n ＋2，所以S 2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 020－12 021＝12－12 021＝2 0194 042.故选B.答案：B2．(2019·三明质检)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，则T n 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析：因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋1，所以a 2n ＝2S n －1＋n (n ≥2)，因此a 2n ＋1－a 2n ＝2(S n －S n －1)＋1＝2a n ＋1，即a 2n ＋1＝(a n ＋1)2，又{a n }为正项数列，所以a n ＋1＝a n ＋1，故数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ，(n ∈N *) 因此1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，因为n ∈N *，所以12≤T n <1.故选D. 答案：D3．等差数列{a n }的前n 项和S n ，若(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 018＝2 018，a 2 011<a 8 B ．S 2 018＝2 018，a 2 011>a 8 C ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≤a 8 D ．S 2 018＝－2 018，a 2 011≥a 8解析：设f (x )＝x 3＋2 018x ，则由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )是奇函数．由f ′(x )＝3x 2＋2 018＞0知函数f (x )＝x 3＋2 018x 在R 上单调递增．因为(a 8－1)3＋2 018(a 8－1)＝1， (a 2 011－1)3＋2 018(a 2 011－1)＝－1，所以f (a 8－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1，得a 8－1＝－(a 2 011－1)，即a 8＋a 2 011＝2，且a 2 011＜a 8，所以在等差数列{a n }中，S 2 018＝2 018·a 1＋a 2 0182＝2 018·a 8＋a 2 0112＝2 018.故选A. 答案：A4．在数列{a n }中，a 1＝2，其前n 项和为S n . 若点⎝ ⎛⎭⎪⎫S n n ，S n ＋1n ＋1在直线y ＝2x －1上，则a 9等于( ) A ．1 290 B ．1 280 C ．1 281 D ．1 821解析：由已知可得S n ＋1n ＋1－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫S n n －1，又S 11－1＝a 1－1＝1，所以数列⎝ ⎛⎭⎪⎫S nn－1是首项为1公比为2的等比数列，所以S n n－1＝2n －1，得S n ＝n (1＋2n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)2n －2＋1，故a 9＝(n ＋1)2n －2＋1＝10×128＋1＝1 281.答案：C 二、填空题5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n >0，且a 2n ＋1－2a n ＋1·a n ＋a n ＋1－2a n ＝0 (n ∈N *)，则S 2 019＝________.解析：a 2n ＋1－2a n ＋1·a n ＋a n ＋1－2a n ＝0，则(a n ＋1＋1)(a n ＋1－2a n )＝0，因为a n >0，则a n ＋1＋1≠0，故a n ＋1－2a n ＝0，故{a n }为首项为1，公比为2的等比数列，a n ＝2n －1则S 2 019＝1－22 0191－2＝22 019－1.答案：22 019－16．(2019·滨州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n S n ＋1的前8项和为________．解析：由等差数列前n 项和公式可得S n ＝n (n ＋1)2，则S n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2，由数列的通项公式可得a n ＋1＝n ＋1， ∴a n ＋1S n S n ＋1＝4n (n ＋1)(n ＋2)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n S n ＋1的前8项和为 2⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫11×2－12×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫18×9－19×10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－190＝4445.答案：44457．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，n ＋(－1)n·n 2(n ∈N *)，记△A 2n －1A 2n A 2n ＋1的面积为S n ，则∑i ＝1nS i ＝________.解析：结合题意，得到A 2n －1(22n －1,0)，A 2n (22n,2n )，A 2n ＋1(22n ＋1,0)，所以该三个点组成的三角形面积为S ＝12·3·22n －1·2n ＝3n ·22n －1，对面积求和设∑i ＝1nS i ＝T n 得到，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －23·4n＋23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －23·4n＋23三、解答题8．已知正项等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2＋4S 4＝S 6，a 1＝1. (1)求数列{a n }公比q ；(2)令b n ＝a n －15，求T ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b 10|的值．解析：(1){a n }是正项等比数列，∴q >0，若q ＝1时，则S n ＝na 1＝n ，∴S 2＝2,4S 4＝4×4，S 6＝6，不合题意，∴q ≠1，从而S n ＝a 1(1－q n )1－q，由S 2＋4S 4＝S 6得a 1(1－q 2)1－q ＋4·a 1(1－q 4)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，∴(1－q 2)＋4(1－q 4)＝1－q 6，又q ≠1， ∴1＋4(1＋q 2)＝1＋q 2＋q 4，即q 4－3q 2－4＝0， ∴(q 2－4)(q 2＋1)＝0，又q >0， ∴q ＝2. (2)由(1)知a n ＝2n －1，则{a n }的前n 项和S n ＝1－2n1－2＝2n －1，当n ≥5时，b n ＝2n －1－15>0；n ≤4时，b n ＝2n －1－15<0，∴T ＝－(b 1＋b 2＋b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6＋…＋b 10)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4－15×4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 10－15×6) ＝－S 4＋S 10－S 4＋60－90＝S 10－2S 4－30 ＝(210－1)－2(24－1)－30＝210－25－29 ＝1024－32－29＝963.9．(2019·湘潭模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a n ，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，证明：T n <1.解析：(1)因为a n ＋1＝2S n ＋3，① 可得a n ＝2S n －1＋3.②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以{a n }为从第2项开始的等比数列，且公比q ＝3，又a 1＝3，所以a 2＝9，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n. (2)证明：由(1)知b n ＝log 3a n ＝log 33n＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1得证． 10．(2019·青岛模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，且对任意n ∈N *,2a n 为a 2n ＋1＋3和1的等比中项，数列{b n }满足b n ＝a 2n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }为等比数列，并求{a n }通项公式；(2)若c n ＝log 2b n ，{c n }的前n 项和为T n ，求使T n 不小于360的n 的最小值．解析：(1)证明：由题意得(2a n )2＝(a 2n ＋1＋3)×1，即a 2n ＋1＝4a 2n －3， ∴a 2n ＋1－1＝4a 2n －3－1＝4a 2n －4＝4(a 2n －1)， ∵b n ＝a 2n －1， ∴b n ＋1＝4b n ，∴数列{b n }成等比数列，首项为b 1＝a 21－1＝8，公比为4， ∴b n ＝b 1·4n －1＝8×22n －2＝22n ＋1，∴a 2n －1＝22n ＋1，又{a n }为正项数列，∴a n ＝22n ＋1＋1.(2)由(1)得：c n ＝log 2b n ＝log 222n ＋1＝2n ＋1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1)＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝2×n (n ＋1)2＋n ＝n 2＋2n ，∴T n ＝n 2＋2n ≥360，即n 2＋2n －360≥0⇒(n ＋20)(n －18)≥0， ∴n ≥18或n ≤－20(舍去)，所以T n 不小于360的n 的最小值为18.增分强化练(十三)考点一等差、等比数列的基本运算1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝4a 1，则公比q ＝( ) A.12 B.13 C ．2D ．3解析：由题意，根据等比数列的性质，可得S 2＝a 1＋a 2＝4a 1，∴a 2＝3a 1，∴q ＝a 2a 1＝3，故选D. 答案：D2．(2019·甘肃质检)在等差数列{a n }中，已知a 1与a 11的等差中项是15，a 1＋a 2＋a 3＝9，则a 9＝( )A ．24B ．18C ．12D ．6解析：由题得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 11＝2a 1＋10d ＝30a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0d ＝3，则a 9＝8d ＝24，故选A.答案：A3．(2019·三明质检)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝42，则a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝2，a 5＝42，所以q 3＝a 5a 2＝22，因此a 8＝a 5q 3＝16. 答案：164．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1(1－q 4)1－q＝3a 1(1－q 2)1－q ，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.答案：8考点二等差、等比数列的判定与证明1．(2019·蚌埠模拟)已知在数列{a n }中，a 1＝－1，且a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列．解析：(1)由a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n，所以当n ≥2时，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，…，a n －a n －1＝1n －1－1n ，相加得，a n －a 1＝1－1n，又a 1＝－1，所以a n ＝－1n(n ≥2，n ∈N *)，而a 1＝－1也符合，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－1n(n ∈N *)．(2)证明：由(1)知1a n ＝－n ，则1a 1＝－1，1a n ＋1＝－(n ＋1)，所以1a n ＋1－1a n＝－(n ＋1)＋n ＝－1(常数)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．2．(2019·桂林、崇左模拟)已知在数列{a n }中，满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解析：(1)证明：∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又因为a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＋1＝2n， ∴a n ＝2n－1，∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×(1－2n)1－2－n＝2n ＋1－n －2.故S n ＝2n ＋1－n －2.考点三等差、等比数列的性质1．(2019·宜春模拟)在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2－x －6＝0的两根，则a 5·a 6的值为( ) A ．6 B ．－6 C ．－1D ．1解析：因为a 2，a 9是方程x 2－x －6＝0的两根，所以根据根与系数的关系可知a 2·a 9＝－6，因为数列{a n }是等比数列，所以a 5·a 6＝a 2·a 9＝－6，故选B. 答案：B2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＋a 7＋a 9＋a 13＝100，a 6－a 2＝12，则a 1＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：在等差数列{a n }中，由a 1＋a 5＋a 7＋a 9＋a 13＝100得5a 7＝100，即a 1＋6d ＝20 ，又4d ＝12，得d ＝3, a 1＝2，故选B. 答案：B3．(2019·晋城模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．63 B ．62 C ．61D ．60解析：因为S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即3,12，S 6－15成等比数列，所以S 6－15＝1224，解得S 6＝63.故选A. 答案：A4．(2019·长春质检)设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．13解析：因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.答案：C增分强化练一、选择题1．(2019·甘肃质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 3＝9，S 5＝30，则a 5＝( ) A ．12 B ．15 C ．18D ．21解析：由题得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝95a 1＋10d ＝30，∴a 1＝0，d ＝3.所以a 5＝4×3＝12.故选A.答案：A2．设x ，x ＋10，x －5是等比数列{a n }的前三项，则a n ＝( )A ．－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n －1B ．－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32nC.83×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n －1 D ．－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1解析：因为x ，x ＋10，x －5是等比数列{a n }的前三项，所以x (x －5)＝(x ＋10)2，解得x ＝－4，x ＋10＝6，所以公比q ＝－32，因此a n ＝－4×(－32)n －1.故选A. 答案：A3．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 1－a 3＝34，则a 4＝( )A ．－18B.18 C ．－4D ．4解析：∵等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12，a 1－a 3＝34，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝12a 1－a 1q 2＝34，解得a 1＝1，q ＝－12，∴a 4＝a 1q 3＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－18.故选A. 答案：A4．(2019·内江模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8＝6，S 8＝28，则其公差为( ) A.47 B.57 C ．－47D ．－57解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8＝6，S 8＝28，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋7d ＝68a 1＋8×72d ＝28，解得d ＝57，故选B.答案：B5．(2019·泉州质检)已知等比数列{a n }满足a 3＝4，a 6＝32，则其前6项的和为( ) A ．31 B ．63 C ．127D ．128解析：由题意，等比数列{a n }满足a 3＝4，a 6＝32，则q 3＝a 6a 3＝8，所以q ＝2，所以a 1＝a 3q2＝1，所以S 6＝1·(1－26)1－2＝63.故选B.答案：B6．(2019·保定模拟)在等比数列{a n }中，若a n >0，a 2a 4＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7，则公比q ＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为d ，由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝a 1q ·a 1q 3＝1a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，解得q ＝12，故选B.答案：B7．(2019·东三省三校模拟)等比数列{a n }的各项和均为正数，a 1＝1 ，a 1＋a 2＋a 3＝7，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．14 B ．21 C ．28D ．63解析：设等比数列的公比为q ， ∵a 1＝1，a 1＋a 2＋a 3＝7， ∴a 1(1＋q ＋q 2)＝1＋q ＋q 2＝7，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3，又a n >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝4×7＝28. 故选C. 答案：C8．(2019·合肥模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( ) A ．11 B ．12 C ．20D ．22解析：结合等差数列的性质，可得a 5＋a 7＝2a 6＝a 26，因为该数列为正项数列，可得a 6＝2，所以结合S 2n －1＝(2n －1)a n ，可得S 11＝11a 6＝22，故选D. 答案：D9．(2019·吉安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝255，a 10＝20，则数列{a n }的公差为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：由题意，根据等差数列的求和公式，可得S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝255，可得a 9＝15，又a 10＝20，所以d ＝a 10－a 9＝20－15＝5，故选C. 答案：C10．(2019·张家口、沧州模拟)已知等比数列{a n }的公比为2且a 2，a 3＋2，a 4成等差数列，若a 1a 2…a n ＝32，则n 为( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：因为等比数列{a n }的公比为2且a 2，a 3＋2，a 4成等差数列，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，即2(4a 1＋2)＝2a 1＋8a 1，解得a 1＝2，所以a n ＝2n，所以a 1a 2…a n ＝21＋2＋…＋n＝2n (n ＋1)2，又a 1a 2…a n ＝32，因此2n (n ＋1)4＝32，所以n (n ＋1)4＝5，解得n ＝4.故选A.答案：A11．已知数列{a n }满足： a 1＝1，a n ＋1＝3a n －2，则a 6＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．6解析：因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n －2，所以a 2＝3－2＝1，以此类推可得a 3＝3a 2－2＝1，a 4＝3a 3－2＝1，a 5＝3a 4－2＝1，a 6＝3a 5－2＝1.故选B. 答案：B12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，(a n ＋1－2n )S n ＋1＝a n ＋1S n －1－2nS n (n ≥2)，设b n ＝a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 100＝( ) A ．9 900 B ．9 901 C ．10 000D ．10 001解析：由(a n ＋1－2n )S n ＋1＝a n ＋1S n －1－2nS n (n ≥2)整理得a n ＋1(S n ＋1－S n －1)＝2n (S n ＋1－S n )⇔a n ＋1(a n ＋1＋a n )＝2na n ＋1，即a n ＋1＋a n ＝2n (n ≥2)，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，两式相减得a n ＋2－a n ＝2(n ≥2)，故{b n }从第二项起是以2为公差的等差数列，b 1＝a 1＝1，由于a 3＝b 2＝2，故T 100＝1＋2×99＋99×982×2＝9 901，故选B.答案：B 二、填空题13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝7，则S 9＝________. 解析：因为a 5＝7，所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝63. 答案：6314．(2019·大连模拟)已知各项都为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，若4S n ＝(a n ＋1)2，则a n ＝________.解析：由题意得：4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，则4S n ＋1－4S n ＝4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，即a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝2(a n ＋1＋a n )，∵{a n }各项均为正数，即a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n ＝2，由4S 1＝(a 1＋1)2得：a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －115．(2019·内江模拟)在正项等比数列{a n }中，a 2 016＝1，log 2a 4－log 2a 1＝3，则a 2 019＝________. 解析：由对数的运算性质可得log 2a 4－log 2a 1＝log 2a 4a 1＝3，即a 4a 1＝8，所以q 3＝8，在等比{a n }数列中，因为a 2 016＝1，则a 2 019＝a 2 016·q 3＝1×8＝8. 答案：816．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，…；第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t,2.并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n－1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：由题意，根据a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，可得a n＋1＝log 2(1·(1·x 1)·x 1·(x 1·x 2)·x 2…·x t ·(x t ·2)·2)＝log 2(13·x 31·x 32…·x 3t ·22)＝3a n －1，设a n ＋1＋t ＝3(a n ＋t )，即a n ＋1＝3a n ＋2t ，可得t ＝－12，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是首项为2－12＝32，公比为3的等比数列，故a n －12＝32·3n －1，所以a n ＝3n＋12，n ∈N *.答案：3n＋12，n ∈N *三、解答题17．(2019·海淀模拟)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，且a 2＋a 5＝2，{a n }的前n 项和为S n . (1)求{a n }的通项公式；(2)若S m ，a 9，a 15成等比数列，求m 的值．解析：(1)因为a 5＋a 2＝2，d ＝2，所以2a 1＋5d ＝2a 1＋10＝2, 所以a 1＝－4, 所以a n ＝2n －6.(2)S m ＝(a 1＋a m )m 2＝m 2－5m,又a 9＝12，a 15＝24, 因为S m ，a 9，a 15是等比数列，所以(a 9)2＝S m a 15，得S m ＝6，所以m 2－5m －6＝0,m ＝6，m ＝－1，因为m ∈N *，所以m ＝6.18．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，已知S 4＝16，a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记点A (n ，S n )，B (n ＋1，S n ＋1)，C (n ＋2，S n ＋2)，求证：△ABC 的面积为1. 解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝16(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，由于d ≠0，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)证明：由(1)知S n ＝n ×1＋n (n －1)2×2＝n 2.∴△ABC 的面积S ＝12(S n ＋S n ＋2)×2－12(S n ＋S n ＋1)×1 －12(S n ＋1＋S n ＋2)×1＝12()S n ＋S n ＋2－2S n ＋1 ＝12[n 2＋(n ＋2)2－2(n ＋1)2]＝1.增分强化练考点一利用递推关系或S n 、a n 的关系求a n1．(2019·晋城模拟)数列{a n }满足a 1＝3，且对于任意的n ∈N *都有a n ＋1－a n ＝n ＋2，则a 39＝________.解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋2，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝4， a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝n ＋1(n ≥2)，上面n －1个式子左右两边分别相加得a n －a 1＝(n ＋4)(n －1)2，即a n ＝(n ＋1)(n ＋2)2，所以a 39＝40×412＝820.答案：8202．(2019·宝鸡模拟)若数列{a n }满足a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)，则a n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝8. 因为a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝8n ，所以a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －2a n －1＝8n －8，(n ≥2)两式相减得2n －1a n ＝8＝23，所以a n ＝24－n(n ≥2)，适合n ＝1. 所以a n ＝24－n.答案：24－n考点二数列求和1．(2019·安阳模拟)已知各项为正的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且－a 2,15，S 3依次成等差数列． (1)求a n ；(2)若b n ＝10－2n ，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n .解析：(1)设各项为正的公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且－a 2,15，S 3依次成等差数列．所以S 3－a 2＝30，即a 1＋a 1q 2＝30 解得q ＝3或－3(负值舍去)．故a n ＝3·3n －1＝3n.(2)由于b n ＝10－2n ，则a n ＋b n ＝3n＋10－2n ，所以T n ＝(31＋32＋ (3))＋(8＋6＋…＋10－2n ) ＝3(3n－1)3－1＋n (8＋10－2n )2＝3n ＋12－n 2＋9n －32.2．(2019·湛江模拟)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n ＝－12n 2＋212n .(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a 2n a 2n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n 2＋212n ＋12(n －1)2－212(n －1)＝－n ＋11，当n ＝1时，满足上式，∴a n ＝－n ＋11. (2)由a n ＝－n ＋11，可得b n ＝1a 2n a 2n ＋2＝1(2n －11)(2n －9) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12n －9，∴T n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－9－1－7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7－1－5＋⎦⎥⎤…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －11－12n －9＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－9－12n －9 ＝－118－14n －18.3．(2019·汕头模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝19，S n ＝na n ＋1＋n (n ＋1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|a n |，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 20的值．解析：(1)当n ≥2时，因为S n ＝na n ＋1＋n (n ＋1)，① 所以S n －1＝(n －1)a n ＋n (n －1)，② ①－②得：a n ＝na n ＋1－(n －1)a n ＋2n ，即a n ＋1－a n ＝－2(n ≥2)，又S 1＝a 2＋2即a 2－a 1＝－2，所以数列{a n }是以19为首项，－2为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)·(－2)＝21－2n . (2)由(1)知a n ＝21－2n ，所以b n ＝|a n |＝|21－2n |，因为当n ≤10时a n >0，当n >10时a n <0，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21－2n ，n ≤102n －21，n >10，所以T 20＝b 1＋b 2＋…＋b 20＝(19＋17＋…＋1)＋(1＋3＋…＋19) ＝2(19＋17＋…＋1) ＝2×(19＋1)×102＝200.考点三数列的应用与综合问题(2019·三明质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝log 2(S 3n ＋2)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求证17≤4T n <13. 解析：(1)因为a n ＋1＝S n ＋2，① 所以当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，② ①－②得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又因为a 2＝a 1＋2＝4，即a 2＝2a 1，所以a n ＋1＝2a n (n ≥1)，即数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2·2n －1＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝a n ＋1－2＝2n ＋1－2.(2)证明：由(1)得S 3n ＝23n ＋1－2，所以S 3n ＋2＝23n ＋1，则b n ＝log 223n ＋1＝3n ＋1，则1b n b n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－13n ＋4，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝13×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫13n ＋1－13n ＋4＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－13n ＋4＝112－13(3n ＋4). 因为13(3n ＋4)>0，所以T n <112.又T n＝n4(3n＋4)＝14⎝⎛⎭⎪⎫3＋4n，当n＝1时，T n取得最小值为128，所以128≤T n<112，即17≤4T n<13.。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版考前强化练：5 解答题组合练：A

参考答案
考前强化练 5 解答题组合练 A
1.解 (1)由已知,b1+b2+b3=3b2=21,得 b2=7, 又 b1b2b3=(b2-d)·b2·(b2+d)=(7-d)·7·(7+d)=343-7d2=315,
1 ‒ 1 = - 2. 得 d=-2 或 2(舍去正值),b1=7+2=9,bn=-2n+11,于是��2 ��3 ��1
又 an>0,所以 a1=1, 当 n≥2 时,2Sn+1=2��2��+an(n∈N*),
2Sn-1+1=2��
2 -
1+an-1(n∈N*),
作差整理得: an+an-1=2(an+an-1)(an-an-1).
因为 an>0,故 an+an-1>0,
所以
1
5(��1 + ��5)
于是 S5=T5= 2 =25.
易知,当 n>6 时,bn<0,|b6|+|b7|+…+|b10|=-b6-b7-…-b10=-(b6+b7+…+b10)=-(T10-T5)=-(0-25) =25,
所以 S10=50.
2.解 (1)当 n=1 时,2a1+1=2��21+a1.
+
6(k≠0)
12
≤3+2 × 3 + 6=4,
1
3
当且仅当 9k2=��2,即 k=± 3 时等号成立.
当 k=0 时,|AB|= 3.
综上所述|AB|max=2,从而△AOB

(全国通用版)2020高考数学二轮复习(80分)12+4标准练4 理

..[80分] 12＋4标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}，故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D解析复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12，根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)等于( ) A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．4 答案 B解析 ∵y ′＝4x 3＋2ax ，∴－4－2a ＝8， ∴a ＝－6，∴f (－1)＝1＋a ＋1＝－4.5．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．1B. 2..C.12D.22答案 D解析设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为( )A.23 B ．1 C.43 D ．2 答案 A解析方法一当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.9．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边，则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．10．一个三棱锥A －BCD 内接于球O ，且AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，AB ＝CD ＝13，则球心O 到平面ABC 的距离是( ) A.152 B.153 C.154 D.156答案 D解析由题意可得三棱锥A －BCD 的三对对棱分别相等，所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF －GCHB ，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥A －BCD 的外接球O ，长方体AEDF －GCHB 共顶点的三条面对角线的长分别为3,4，13，设球O 的半径为R ，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋z 2＝16，y 2＋z 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝3，z 2＝10，则(2R )2＝x 2＋y 2＋z 2＝6＋3＋10＝19，即4R 2＝19. 在△ABC 中，由余弦定理得则sin∠ACB ＝32，再由正弦定理得ABsin∠ACB＝2r (r 为△ABC 外接圆的半径)，则r ＝133，因此球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝156. 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( ) A.24143 B.1143 C.2413 D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ，当a n ≥0时，n ≤7.5，当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)，由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．13．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 2 3解析如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP 2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．14.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x 2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积，即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.15．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2.u ＝(x ＋y )2xy＝x 2＋2xy ＋y2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减，在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.16．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (1，3＋1]解析以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可，即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2，由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca≤3＋1.。

2020版高考数学二轮复习第一部分小题强化练小题强化练(二)(含解析)(2021-2022学年)

小题强化练(二)一、选择题１．设集合M =｛x |ｘ２-ｘ≥0}，N ＝｛x |x ＜2｝,则M ∩N ＝( ）Ａ．{x |ｘ〈0｝ﻩ B.｛x |1≤x 〈2｝C ．｛ｘ|x ≤0或１≤ｘ<2}ﻩＤ．｛x |0≤ｘ≤１}２．复数错误!的虚部是( )A.错误!未定义书签。

Ｂ.错误!未定义书签。

C.-１2D.-错误! ３.∃x ≥０，使2x +x －a ≤0,则实数a 的取值范围是（）A ．（1，＋∞)Ｂ．[１,＋∞)C.(-∞,1)ﻩＤ.(－∞，1]4．设向量a ,b 满足ａ＋b ＝（３，1）,a ·b =1,则|a -b |=（）A ．2 ﻩB 。

错误!C ．2错误!未定义书签。

D.错误! 5.设数列{a n }为等差数列,a 1＝2２,S n 为其前n 项和,若S 1０=S １3,则公差d ＝( )A ．-2Ｂ．－1 C ．1ﻩD ．２6．在错误!未定义书签。

错误!的二项展开式中,ｘ2的系数为（ )Ａ。

错误!未定义书签。

B ．－错误!C 。

＼f （３，8）D.-错误!未定义书签。

7.已知Ｆ是抛物线C ：y ２=4x 的焦点,抛物线C 的准线与双曲线Г：错误!－错误!未定义书签。

=1(a 〉0，b >0）的两条渐近线交于Ａ,Ｂ两点,若△ABF 为等边三角形,则Γ的离心率e ＝( )A.错误!ﻩB 。

错误!C 。

错误! D.错误!8.将甲、乙等６位同学平均分成正方、反方两组举行辩论赛,则甲、乙被分在不同组中的概率为( )ﻬA 。

错误!未定义书签。

ﻩＢ.１2Ｃ。

错误!未定义书签。

ﻩ D.错误!9.若函数ｆ（ｘ）=sin （ωx ＋φ)错误!未定义书签。

的图象关于点错误!未定义书签。

对称,且f （x )在错误!未定义书签。

上单调递减，则ω=( )Ａ.1ﻩＢ．2Ｃ．3ﻩD ．410.已知点P 在圆x 2+y 2＝４上，Ａ(-２，0）,Ｂ(2,０),Ｍ为ＢP 中点,则si ｎ∠BAM 的最大值为( )Ａ。

(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程基础保分强化训练全集理

基础保分强化训练(一)1．设集合A ＝{x ∈Z |x 2≤1}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,1} B ．{0} C ．{－1,0,1} D ．[－1,1]答案 C解析 ∵A ＝{x ∈Z |x 2≤1}＝{－1,0,1}，B ＝{－1，0,1,2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1}．故选C.2．已知复数z 满足：1＋z 1－z ＝－i(i 是虚数单位)，z －是z 的共轭复数，则复数1＋z －对应的点位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．由已知，得1＋a ＋b i ＝(1－a －b i)·(－i)，整理，得1＋a ＋b ＋(b －a ＋1)i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，b －a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.故z ＝－i,1＋z －＝1＋i.所以1＋z －对应的点位于复平面内第一象限，故选A.3．直线y ＝3x 被圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0截得的弦长为( ) A ．2 B. 3 C ．1 D. 2 答案 C解析圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|3＋1＝32，弦长为2×1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin2α的值等于( ) A.1225 B ．－1225 C.2425 D ．－2425答案 D解析因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425，故选D.5．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图所示的柱状图：则下列结论正确的是( )A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加答案 D解析设2016年该校参加高考的人数为S，则2019年该校参加高考的人数为1.5S,2016年一本达线人数为0.28S,2019年一本达线人数为0.24×1.5S＝0.36S，可见一本达线人数增加了，故A错误；2016年二本达线人数为0.32S,2019年二本达线人数为0.4×1.5S＝0.6S，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，故B错误；2016年和2019年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故C错误；2016年不上线人数为0.32S,2019年不上线人数为0.28×1.5S＝0.42S，不达线人数有所增加．故选D.6．已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝( )A．4 B．10 C．16 D．32答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.7．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝－4CD →，则AD →＝( ) A.14AB →－34AC → B.14AB →＋34AC →C.34AB →－14AC →D.34AB →＋14AC → 答案 B解析在△ABC 中，BC →＝－4CD →，即－14BC →＝CD →，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →－14BC →＝AC →－14(BA →＋AC →)＝14AB →＋34AC →，故选B. 8.已知函数f (x )＝sin x ＋lg (x 2＋1＋x )，g (x )＝cos x ＋2x ＋2－x，若F (x )＝f (x )g (x )＋2，则F (2019)＋F (－2019)＝( )A ．4B ．2C ．0D ．1 答案 A解析由题意可知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，且定义域均为R ，所以f (x )g (x )为奇函数，令φ(x )＝f (x )·g (x )，则φ(2019)＋φ(－2019)＝0，因为F (x )＝f (x )·g (x )＋2＝φ(x )＋2，所以F (2019)＋F (－2019)＝φ(2019)＋2＋φ(－2019)＋2＝4，故选A.9．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59 C.49 D.513答案 D解析如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513，故选D.10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是线段BC 1上一动点，则AP ＋PD 的最小值为( )A.3－ 6B.3－ 3C.3＋ 3D.3＋ 6答案 D解析根据题意可得正方体如下图，将平面ABC 1D 1和平面DBC 1沿BC 1展开到一个平面内可得下图：由图可知，AP ＋PD 的最小值为AD ′，因为AB ＝1，BC 1＝BD ＝DC 1＝2，所以∠ABD ′＝150°，在△ABD ′中，由余弦定理可得AD ′2＝AB 2＋BD ′2－2AB ·BD ′·cos150°，代入可得AD ′2＝1＋2＋2×1×2×32＝3＋6，所以AD ′＝3＋6，故选D. 11．已知函数f (x )＝x 3－9x 2＋29x －30，实数m ，n 满足f (m )＝－12，f (n )＝18，则m ＋n ＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12 答案 A解析因为三次函数的图象一定是中心对称图形，所以可设其对称中心为(a ，c )，f (x )＝x 3－9x 2＋29x －30＝(x －a )3＋b (x －a )＋c ＝x 3－3ax 2＋(3a 2＋b )x －a 3－ab ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＝－9，3a 2＋b ＝29，－a 3－ab ＋c ＝－30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，c ＝3，所以f (x )的图象关于点(3,3)中心对称．又f (m )＝－12，f (n )＝18，f (m )＋f (n )2＝－12＋182＝3，所以m ＋n2＝3，得m ＋n ＝6，故选A.12．运行程序框图，如果输入某个正数n 后，输出的s ∈(20,50)，那么n 的值为________．答案 4解析依次运行框图中的程序，可得，第一次：s ＝1＋3×0＝1，k ＝2；第二次：s ＝1＋3×1＝4，k ＝3；第三次：s ＝1＋3×4＝13，k ＝4；第四次：s ＝1＋3×13＝40，k ＝5；第五次：s ＝1＋3×40＝121，k ＝6； …因为输出的s ∈(20,50)，所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中n 的值为4.13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x －y 的最大值是________．答案 12解析画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤1，y ≥－1表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线2x－y ＝0并平移，数形结合知，当直线经过点A 时，z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故z max ＝2×12－12＝12.14．若x 10－x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 5＝________. 答案 251解析 x 10－x 5＝[(x －1)＋1]10－[(x －1)＋1]5，则a 5＝C 510－C 05＝252－1＝251.基础保分强化训练(二)A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．13 答案 C解析因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3答案 A解析由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，故D 错误．故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.14 C.26 D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A. 8．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种答案 A解析由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2,3,4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2,3,4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 13·C 13·C 12·1＝18种．故选A.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0 答案 A解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA→＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案－35解析设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB ＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.基础保分强化训练(三)1．已知1－i z＝(1＋i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 答案 B解析 ∵1－i z ＝(1＋i)2，∴z ＝1－i (1＋i )2＝1－i 2i ＝1＋i －2＝－12－12i ，∴z －＝－12＋12i.故选B. 2．设命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，则p 为( )A ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 B ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 C ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0答案 A解析 ∵命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，∴p 为∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.故选A.3．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |1<x <4} C ．{2,3} D ．{1,2,3,4}答案 C解析因为A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，所以A ＝{1,2,3}，因为B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，所以B ＝{2,3,4}，根据集合交集运算，可得A ∩B ＝{2,3}，所以选C.4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析根据题意，该框图的含义是：当x ≤2时，得到函数y ＝x 2－1；当x >2时，得到函数y ＝log 2x . 因此，若输出的结果为1时，①若x ≤2，得到x 2－1＝1，解得x ＝±2； ②若x >2，得到log 2x ＝1，解得x ＝2(舍去)．因此，可输入的实数x 的值可能为－2，2，共有2个．故选B.5．已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 答案 A解析因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，故选A.6．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为矩形，且A (－1,1)，B (1,1)，C (1,0)，D (－1，0)，曲线y ＝|x |3过点A 和B ，则在矩形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为( )A.45B.34C.23D.12 答案 B解析因为当x ≥0时，y ＝|x |3，即y ＝x 3，⎠⎛01x 3d x ＝14x 410＝14，所以阴影部分的面积为34×2＝32，因为矩形ABCD 的面积为2，所以点M 在阴影区域内的概率为34，故选B. 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.272B ．27C ．27 2D ．27 3 答案 D解析在长、宽、高分别为3,33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C －BAP ，其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形，AB ＝3，AP ＝33，所以BP ＝6，又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33，所以AC ＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝273，故选D.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN |＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32 D ．x ＝－3答案 D解析设AF ，FB 的中点分别为D ，E ，则|AB |＝2|DE |，由题得|DE |＝43sinπ3＝8，所以|AB |＝16，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋p ＝16，∴x 1＋x 2＝16－p ，联立直线和抛物线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴3x 2－5px ＋34p 2＝0，所以16－p ＝5p 3，∴p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3.故选D.9．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD＝( )A.16B.13C.12D.23 答案 B解析如图，由题意可知，点D 在平行于AB 边的中位线EF 上且满足DE ＝13AB ，S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，∴S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，∴S △BCD S△ABD ＝13，故选B.10．如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E .从D 点测得∠ADC ＝67.5°，从C 点测得∠ACD ＝45°，∠BCE ＝75°，从E 点测得∠BEC ＝60°.若测得DC ＝23，CE ＝2(单位：百米)，则A ，B 两点间的距离为( )A. 6 B ．2 2 C ．3 D ．2 3 答案 C解析根据题意，在△ADC 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝67.5°，DC ＝23，则∠DAC ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC ＝DC ＝23，在△BCE 中，∠BCE ＝75°，∠BEC ＝60°，CE ＝2，则∠EBC ＝180°－75°－60°＝45°，则有EC sin ∠EBC＝BCsin ∠BEC，变形可得BC ＝EC ·sin ∠BECsin ∠EBC＝2×3222＝3，在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝3，∠ACB ＝180°－∠ACD －∠BCE＝60°，则AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝9，则AB ＝3.故选C.11．已知直线l 与曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9相交，交点依次为A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝5，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝3x －5D ．y ＝－3x ＋2答案 B解析设f(x )＝x 3－6x 2＋13x －9，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋13，设g(x )＝3x 2－12x ＋13，则g ′(x )＝6x －12，令g ′(x )＝0，得x ＝2，所以曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9的对称中心为(2,1)．由|AB |＝|BC |可知直线l 经过点(2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－6x 2＋13x －9，(x －2)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，因此可得直线l 过点(1，－1)，(3,3)，(2,1)，所以直线l 的方程为y ＝2x －3.故选B.答案 1解析由二项式定理的展开式可得C r 10x10－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ,0)，B (m ,0)(m >0)，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．答案 [4,6]解析由已知，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，又AB 的中点为原点，则|AB |＝2m ，则|m －1|≤(0－3)2＋(0－4)2≤m ＋1，解得4≤m ≤6，即m 的取值范围是[4,6]．14．已知四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC 于点E ，EC ＝1，AB ＝6，BC ＝3，PE ＝2，则四棱锥P －ABCD 的外接球半径为________．答案 2解析如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为O 1，由正弦定理可求出三角形PBC 外接圆半径为102，设F 为BC 边的中点，进而求出O 1F ＝12，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＋O 1F 2＝4，所以四棱锥外接球半径为2.基础保分强化训练(四)1．集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．[0,4]D ．(0,4)答案 B解析当a <0时，集合A ＝∅，满足题意；当a ≥0时，A ＝[－a ，a ]，若A ⊆B ，则a <2，所以0≤a ＜4，所以a ∈(－∞，4)，故选B.2．已知复数z 满足z ＋|z|＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i答案 D解析设z ＝a ＋bi ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2×12，得k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A.4．将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是( )A.25B.35C.12D.34 答案 C解析将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P ＝36＝12.故选C.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.49答案 A解析如图，∵AP →＝2PM →，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2，∵AM ＝1且AP →＝2PM →，∴|PA →|＝23，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.6．下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |C ．y ＝－x 3D ．y ＝ln (x 2＋1＋x )答案 D解析 sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；|－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；ln ((－x )2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln (x 2＋1＋x )，则y ＝ln (x 2＋1＋x )为奇函数；当x ≥0时，x 2＋1＋x 单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln (x 2＋1＋x ) 在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D.7．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3答案 A解析由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.8．已知平面区域Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，Ω2：x 2＋y 2≤9，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析平面区域Ω2：x 2＋y 2≤9，表示圆以及内部部分； Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0的可行域如图三角形区域：则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的充分不必要条件．故选A.9．若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112 B.52 C.12 D.32答案 B解析函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.10．设a ＝log 43，b ＝log 52，c ＝log 85，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b 答案 B解析 ∵a ＝log 43＝log 6427＝lg 27lg 64，c ＝log 85＝log 6425＝lg 25lg 64，∴log 43>log 85，即a >c ，∵2<5，5>8，∴c ＝log 85>log 88＝12，b ＝log 52<log 55＝12，∴log 85>log 52，即c >b ，∴log 43>log 85>log 52，即a >c >b .故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x答案 D解析根据题意，连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x ＋2a ，△ABF 2的面积为3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得3a 2＝12x ·(x ＋2a )·32，化简得x 2＋2ax －4a 2＝0，解得x ＝(5－1)a ，x ＝(－5－1)a (舍去)．所以|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|·cos120°，即(2c )2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)a ·(5＋1)a cos120°，化简可得c 2＝4a 2，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得b 2＝3a 2，即b a＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x ，所以选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.答案 1e解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________ m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000.又在△ABC 中，BCsin ∠A ＝AB sin ∠ACB ，∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10500×(6－2)×22＝10500×(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h ＝10000－7350＝2650(m)．14．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n＝2b n －1，则a 56＝________.答案 1024解析当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n (n －1)2＋1，由c n ＝n (n －1)2＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1024.基础保分强化训练(五)答案 D 解析2．在复平面内，表示复数z ＝1＋2i1－i 的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析由复数除法运算，可得z ＝1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，所以在复平面内对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，即位于第二象限，所以选B.3．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同点P 满足△PF 1F 2的面积为43，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1答案 D解析设P (x 0，y 0)，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝c |y 0|＝43，则|y 0|＝43c ＝43a 2－4，若存在四个不同点P 满足S △PF 1F 2＝43，则0<|y 0|<2，即0<43a 2－4<2，解得a >4，e ＝a 2－4a ＝1－4a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，故选D. 4．设a ，b 为实数，则“a 2b <1”是“b <1a2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当b <1a 2成立时，a 2>0，从而ba 2<1一定成立．当a ＝0时，a 2b <1不能得到b <1a2，所以“a 2b <1”是“b <1a2”的必要不充分条件．5.执行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数y ＝x a，x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )A.47B.45C.35D.34 答案 C解析执行程序框图，x ＝－3，y ＝3；x ＝－2，y ＝0；x ＝－1，y ＝－1；x ＝0，y ＝0；x ＝1，y ＝3；x ＝2，y ＝8；x ＝3，y ＝15；x ＝4，退出循环．则集合A 中的元素有－1,0,3,8,15，共5个，若函数y ＝x a，x ∈[0，＋∞)为增函数，则a>0，所以所求的概率为35.6．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 3a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 1a 2019＝3，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2019＝( )A ．2020B ．1010 C.20194 D.20192答案 D解析由于b n ＝log 3a n ，所以b 1＋b 2019＝log 3a 1＋log 3a 2019＝log 3(a 1a 2019)＝1，因为{b n }是等差数列，故b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2019＝b 1＋b 20192×2019＝20192，故选D.7．已知F 是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线与曲线E 的两条渐近线依次交于A ，B 两点，若A 是线段FB 的中点，且C 是线段AB 的中点，则直线OC 的斜率为( )A ．－ 3 B. 3 C ．－3 3 D ．3 3 答案 D解析由题意知，双曲线渐近线为y ＝±ba x ，设直线方程为y ＝33(x ＋c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋c )，y ＝－b a x ，得y A ＝c 3＋a b.同理可得y B ＝c 3－a b，∵A 是FB 的中点，∴y B ＝2y A ⇒b＝3a ⇒c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴y A ＝32a ，y B ＝3a ⇒x A ＝－12a ，x B ＝a ，∴x C ＝x A ＋x B 2＝a 4，y C ＝y A ＋y B2＝334a ，∴k OC ＝y Cx C＝33，故选D. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.332 B ．2 3 C.532D ．3 3 答案 C解析依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中截去一个三棱锥B －A 1B 1E (其中点E 是B 1C 1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高为3，底面是一个边长为2的正三角形，因此该几何体的体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22×3－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×34×22×3＝532，故选C.9．已知四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，△ABD 是边长为2的等边三角形，BD ＝DC ，BD ⊥DC ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.24 B.23 C.12 D.34答案 A解析根据题意画出图形如图所示．∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BD ⊥DC ，∴DC ⊥平面ABD ，以过点D 且与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0，0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A (1，0，3)，∴DB →＝(2,0,0)，AC →＝(－1,2，－3)，∴cos 〈DB →，AC →〉＝DB →·AC →|DB →||AC →|＝－22×22＝－24，∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为24.故选A.10．函数f (x )＝sin x2ex 的大致图象是( )答案 A 解析11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝60°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝3，则a ＋2c 的最小值为( )A ．4B ．5C ．2＋2 2D ．3＋2 2答案 D解析根据题意，S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ，因为∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝3，所以S △ABD ＝12BD ·c ·sin∠ABD ＝34c ，S △CBD ＝12BD ·a ·sin∠CBD ＝34a ，而S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，所以34ac ＝34c ＋34a ，化简得ac ＝c ＋a ，即1a ＋1c ＝1，则a ＋2c ＝(a ＋2c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝3＋a c ＋2c a ≥3＋2a c ·2ca≥3＋22，当且仅当a ＝2c ＝2＋1时取等号，即最小值为3＋22，故选D.12．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的标准方程为________．答案 (x －2)2＋y 2＝4解析设圆心坐标为(a,0)，半径为R ，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4，圆心与切点连线必垂直于切线，根据点到直线的距离公式，得d ＝R ＝2＝|3a ＋4×0＋4|32＋42，解得a ＝2或a ＝－143⎝ ⎛⎭⎪⎫因圆心在x 轴的正半轴，a ＝－143不符合，舍去，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4.13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 (0,3]解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x <0在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝mx ＋m－1在区间(－∞，0)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m －1≤20＋1＝2，解得0<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(0,3]．14．如图所示，阴影部分由函数f (x )＝sin πx 的图象与x 轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为________．答案2π解析基础保分强化训练(六)1．学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班总共的参赛人数为( )A ．20B ．17C ．14D ．23 答案 B解析因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为8＋12－3＝17.2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x －3<0，N ＝{x |log 12(x －2)≥1}，则M∩N＝( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3答案 B解析 M ＝(2,3)，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x －2≤12＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52，所以M ∩N ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52，选B.3．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，则(a －b )·b ＝( ) A ．－16 B ．－13 C ．－12 D ．－10 答案 C解析 ∵向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，∴a ·b ＝|a ||b |·cos60°＝2×4×12＝4，∴(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝4－16＝－12.故选C.4．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术法》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334π B.332π C.12π D.14π答案 B解析如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝34×12×6π×12＝332π.5．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 a 1>0，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )<0⇒1＋q <0⇒q <－1⇒q <0，而a 1>0，q <0，取q ＝－12，此时a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )>0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要不充分条件．6．执行如图的程序框图，已知输出的s ∈[0,4]．若输入的t ∈[m ，n ]，则实数n －m 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析由题意可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t (t <1)，4t －t 2(t ≥1)，画出该函数的草图．由图可知，若s ∈[0,4]，则(n －m )max ＝4－0＝4.故选D.7．在复平面内，复数z ＝a ＋b i(a ∈R ，b ∈R )对应向量OZ →(O 为坐标原点)，设|OZ →|＝r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则z ＝r (cos θ＋isin θ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z 1＝r 1(cos θ1＋isin θ1)，z 2＝r 2(cos θ2＋isin θ2)，则z 1z 2＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n(cos n θ＋isin n θ)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 5＝( )A.12－32i B ．－12－32iC.12＋32i D ．－12＋32i答案 A解析由题意得复数z ＝12＋32i 可化为z ＝cos π3＋isin π3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π35＝cos 5π3＋isin 5π3＝12－32i.故选A. 8．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为( ) A ．27π B ．93π C ．9π D ．33π 答案 B解析由题意可知，底面半径r ＝6sin30°＝3，圆锥的高h ＝6cos30°＝33，所以圆锥的体积V ＝13πr 2·h ＝93π，故选B.9．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则cos α＝( ) A ．－210 B ．－25 C.25 D.210答案 D解析由题意可得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35，结合两角差的余弦公式有cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝210.故选D.10．已知四边形ABCD 为矩形，且AB ＝2BC ，点E ，F 在平面ABCD 内的射影分别为B ，D ，且BE ＝DF ，若△ABE 的面积为4，若A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点都在球O 的表面上，则球O 的表面积的最小值为( )A ．32πB ．25πC ．52πD ．85π 答案 D解析设AB ＝2a ，BE ＝b ，则BC ＝a ，所以△ABE 的面积为12×2ab ＝4，即ab ＝4，由图形可观察出A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点所在的多面体可以通过补形为长方体，如图所示，则球O 的表面积为S ＝4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋a 2＋b 222＝4π·5a 2＋b 24≥25ab π＝85π，当且仅当b ＝5a且ab ＝4时，等号成立，故选D.11．一项针对都市熟男(三线以上城市，30～50岁男性)消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生(80后)的被调查者、1980年以前出生(80前)的被调查者回答“是”的比例分别如下：根据表格中数据判断，以下分析错误的是( ) A ．都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品 B ．从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前 C ．80前超过3成一年内从未购买过表格中七类高价商品 D ．被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2∶1 答案 D解析从表中的数据可得都市熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A 正确；从表中后两列的数据可看出，前6项的比例均是80后的意愿高于80前的意愿，所以B 正确；从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中七类高价商品的比例为32.1%，超过3成，所以C 正确；根据表中数据不能得到被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例，所以D 不正确．故选D.12．设n 为正整数，⎝⎛⎭⎪⎫x －2x3n的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为________．答案 112解析依题意得，n ＝8，所以展开式的通项T r ＋1＝C r 8x8－r·⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3r ＝C r 8x 8－4r (－2)r，令8－4r ＝0，解得r ＝2，所以展开式中的常数项为T 3＝C 28(－2)2＝112.13．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________；随机变量ξ的期望是________．答案 351解析根据题意知ξ＝0,1,2，P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15；P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35；P (ξ＝2)＝C 22C 14C 36＝15；所以E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.14．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，过点A 作AA 1⊥y 轴，垂足为A 1，连接A 1B 交x 轴于点C ，若当|AB |长度最小时，四边形AA 1CF 的面积为6，则p ＝________.答案 4解析因为当|AB |长度最小时，AB ⊥x 轴，垂足为F ，且|AF |＝|BF |＝p ，△BFC 与△BAA 1相似，且相似比为1∶2，因为四边形AA 1CF 的面积为6，所以S △AA 1B ＝8，又因为S △AA 1B ＝12×p2×2p ，所以p ＝4.。

通用版2020高考数学文二轮复习附4套124限时提速练含解析

附：4套“12＋4”限时提速练“12＋4”限时提速练(一)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)6??|∈x N，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝(1．已知N是自然数集，设集合A＝)??1x＋??A．{0,2}B．{0,1,2}DC．{2,3}．{0,2,4}6解析：选B∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝31＋x或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B＝{0,1,2}．故选B.2．若复数z满足(1＋i)z＝2i，则z＝()A．－1＋i B．－1－iDC．1＋i．1－i，z＝2ii)解析：选C因为(1＋?i?1－2i2ii.＝1＋＝所以z＝?－1＋ii?1＋i??1) 1)b＝(m，m＋，若a∥b，则实数m的值为(，3．设向量a＝(1,2)1 A．1 B．－13 C．－D．－3解析：选A因为a＝(1,2)，b＝(m，m＋1)，a∥b，所以2m＝m＋1，解得m＝1.*)，则m＝N() ＝2.若aaaaa(m∈＝．在等比数列4{a}中，a2，公比q＝411mn32A．11 B．10 D．C．98n，2 }的通项公式为a＝解析：选B由题意可得，数列{a nn4610，所以m2＝10.q又a＝a＝1m22yx5．已知圆C的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆＋＝1的两个顶点，则该圆164的标准方程为()2222＝72 6)(y－B ．x2)．A(x－＋＋y＝1688100100????2222＋x－xD. ＋y＝C.＝y＋????3399．2)，C由题意得圆C经过点(0，±解析：选222＋y)＝r，设圆C的标准方程为(x－a2222＝r－a 由a)＋4＝r，，(610082 a＝，＝，r解得938100??22－x所以该圆的标准方程为y＋. ＝??39单(年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额6.据统计，2018元，)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88位：元)(乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m，n的等差中项为6 A．5 B．8DC．7 ．，解析：选B因为甲群抢得红包金额的平均数是8892＋?90＋m?＋8878＋86＋84＋＋95 所以＝88，73.m＝解得9. ＝，所以因为乙群抢得红包金额的中位数是89n93＋n＋m6.＝＝的等差中项为所以m，n22的正方形，正．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为27视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是)(2 A．2 B．213C．＋D.2 ，因为正方形的边长为2选解析：D所以正方形的对角线长为2，R，设俯视图中圆的半径为1.＋如图，可得R2＝．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十8，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a)(81 B．A．12149DC．74．a＝16；S＝9，n＝3，，解析：选B第一次循环：S＝1n＝2，a＝8；第二次循环：；＝32＝49，n＝5，a＝第三次循环：S＝25，n＝4，a24；第四次循环：S81. 的值为，退出循环，输出S，a＝40，不满足a≤32第五次循环：S＝81，n＝6π)af(0，|θ|≤的部分图象如图所示，且9.函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞2，＝3f(x＋x)，有，b]，若f(x)＝f(x)a＝f(b)＝0，对不同的x，x∈[211212)(则π5π??，－在x)上是减函数A．f(??1212π5π??，－在) B．f(x上是增函数??12125ππ??，(x)在上是减函数C．f??635ππ??，(x)在上是增函数D．f??63，＝＝f(0)3(0＋m)＝f(m)f[，设m∈a，b]，且f(0)＝f(m)，则由题图知解析：选B A＝2ππππππ3??＋x22sin)＝f(x＝|≤，∴θ，∴2，令－＋2k∴2sin θsin ＝3，θπ＝≤x＋≤，又|θ??32232235ππ＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增，所以选项B正确．121210.已知正四棱柱ABCD-ABCD的体积为36，点E，F分别为棱BB，CC上的点(异111111于端点)，且EF∥BC，则四棱锥A-AEFD的体积为()1A．2 B．4DC．6．12解析：选D连接AF，易知四棱锥A-AEFD的体积为三棱锥F-AAD和三棱锥F-AAE1111112的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则V＝××a×h×a＝ah，V263AEADF-AAF-111111222h＝36，所以四棱锥aa的体积为-Aa＝×××＝×ahah，所以四棱锥AEFDh，又13623．A-AEFD的体积为12.12x的图象大致是(x)e)＝(2x)＋3．函数11f(x3解析：选A由f(x)的解析式知，f(x)只有两个零点x＝－与x＝0，排除B、D；22x，由f′(x)＝0知函数有两个极值点，排除C，故选A. f′(x)＝(2x＋＋7x3)e又12＋ax－1(a)x＝ax＞0)的图象有且只有一个公共点，f(x)＝ln x＋x与g(12．已知函数2则a所在的区间为() 122????，，1 B. A.????33233????，21，D.C. ????2212－ax＋1x－ax，－g(x)＝ln x＋)解析：选D设T(x＝f(x)2由题意知，当x＞0时，T(x)有且仅有1个零点．x＋1111??a－＝(x＋1)·T′(x)＝＋1－ax－a＝－a(x＋1)＝(x＋1)··(1－ax)．??xxxx因为a＞0，x＞0，1??，0在)T(x所以上单调递增，??a1??，＋∞上单调递减，如图，在??a当x→0时，T(x)→－∞，x→＋∞时，T(x)→－∞，1111??＝0，即ln ＋－－1所以T＋1＝0，??aaaa211所以ln＋＝0.aa211因为y＝ln ＋在x＞0上单调递减，xx211所以ln ＋＝0在a＞0上最多有1个零点．aa2111当a＝时，ln＋>0，aa22111当a＝1时，ln ＋＝＞0，aa22311当a＝时，ln＋＜0，aa22．11当a＝2时，ln ＋＜0，aa23??，1∈a. 所以??2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)2＋axx13．若函数f(x)＝是奇函数，则常数a＝______.3x解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则由f(x)＋f(－x)＝0，22－xxax＋ax得＋＝0，33xx－即ax＝0，则a＝0.答案：0，≤－1x???，0＋25≥53x－y则目标函数14．已知x，y满足约束条件z＝3x＋y的最大值为??，≥0x＋4y－3 ．________ 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，解析：，平移该直线，作出直线3x＋y＝0当直线经过点A时，z取得最大值．，1x＝－??联立?，＝0－5y＋253x??，＝－1x??722.＝(－解得1)所以z＝3×22max55，＝y??57 答案：52x2轴上，x1有相同渐近线，焦点位于xOy中，与双曲线－y＝15．在平面直角坐标系 3 ________的双曲线的标准方程为．且焦点到渐近线距离为222xx22，y＝λ1解析：与双曲线－y＝有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为－33 2，，又焦点到渐近线的距离为x轴上，故λ＞0因为双曲线焦点在22yx1. ＝，所求方程为－＝所以λ441222yx1＝答案：－412．2，若＝AB＝2，AC＝8，sin∠ACB．如图所示，在△16ABC中，∠ABC为锐角，6BAEsin∠24________. ＝，则，S＝BE＝2DE ADE△3DAEsin∠2 ＝2，AC＝8，sin∠，ACBABC解析：因为在△中，AB＝6ACAB ，由正弦定理得＝ABCsinsin∠∠ACB22.＝∠所以sinABC31.ABC＝又∠ABC为锐角，所以cos∠ 3. 2SDE，所以S＝因为BE＝2ADEABE△△242. 4S，所以又因为S＝＝ABDADE△△316.，所以BD＝AB×BD××sin∠ABC因为S＝ABD△22222. 4，可得ADBD×cos∠由余弦定理AD ＝＝AB＋BDABD－2AB×1 ∠BAE，×AB×AE×sin因为S＝ABE△21 DAE，∠AD×AE×sinS ＝×DAE△2BAEsin∠AD42.＝＝所以2×ABDAE∠sin答案：42“12＋4”限时提速练(二)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)a＋1为纯虚数，则实数a＝(1．若复数z＝) 1＋i B．－1 A．－2C．1D．2?1－i?aaaa解析：＋＋1＝1＝＋选A因为复数z i1－为纯虚数，＝22?i1＋?1??i－i1＋aa所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A.22．1???x2＜≤2 xA＝＝() 2．设集合，B＝{x|ln x≤0}，则A∩B???2??1??，01,0) －B ．A.[ ??21??1，1,1]C.．[－D??211x＜2，∴－12≤x＜，解析：选A∵≤221??|－1≤x ＜x.∴A＝??2??∵ln x≤0，∴0＜x≤1，∴B＝{x|0＜x≤1}，1??|0＜x＜x.∩B＝∴A??2??x(x＜0)，其值域为D，在区间(2－1,2)上随机取一个数x，则x∈D3．已知函数f(x)＝的概率是()11 B.A. 3221 C. D. 34x是R上的增函数，＝2 解析：选B因为函数y所以函数f(x)的值域是(0,1)，1－01＝＝.由几何概型的概率公式得，所求概率P3?1?2－－4．已知B是以线段AC为直径的圆上的一点(异于点A，C)，其中|AB|＝2，则―→―→AC·AB＝()A．1 B．2D．4C．3解析：选D连接BC，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，―→―→―→―→―→―→∴AB⊥BC，AC在AB上的投影|AC|cos〈AC，AB〉＝|AB|＝2，―→―→―→―→―→―→∴AC·AB＝|AC||AB|cos〈AC，AB〉＝4.，≤xy???，1＋y≤x则z＝2x．已知，y满足约束条件x＋y的最大值为()5??，1y≥－3 ．－A3 B. 24C．3 ．D解析：选C作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，，＝2y＝1，xx＋????所以取得最大值．由得＝2x＋y平移该直线，当直线过点B时，z??，＝－1y ＝－1，y????B(2，－1)，故z＝2×2－1＝3.max6．执行如图所示的程序框图，若输出的s＝25，则判断框中可填入的条件是()A．i≤4? B．i≥4?≤5?D．i≥5?C．i解析：选C执行程序框图，i＝1，s＝100－5＝95；i＝2，s＝95－10＝85；i＝3，s＝85－15＝70；i＝4，s＝70－20＝50；i＝5，s＝50－25＝25；i＝6，退出循环．此时输出的s＝25.结合选项知，选C.π????＋x＋x2siny将函数＝个单位长度，所得图象对应7．的图象向左平移φ(φ＞cos0) ????33的函数为奇函数，则φ的最小值为()ππ B.A. 612ππ D. C.342π??＋2xsin＝根据题意可得yy解析：选Bφ，将其图象向左平移个单位长度，可得??32π2π??φ22x＋＋因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以＋2φ＝kπ(k∈Z)，sin 的图象，＝??33πππkφ＝－(k∈Z)，又φ＞0，所以当k＝1时，φ取得最小值，且φ＝，故选B.min236中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》8“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四222b－c＋a1????222，－＝c约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC的面积Sa????42，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十cb>，c，且a>其中△ABC的三边分别为a，b三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的)(面积为平方里．83平方里BA．82 ．84平方里平方里．85DC里，代入三角形1314里、由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、解析：选C22213＋15－141????222×＝13×15－＝84(的面积公式可得三角形沙田的面积S平方????42C.)．故选里，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何19．如图，网格纸上小正方形的边长为)体的表面积为(A．5π＋18 B．6π＋18D．10π＋C．8π＋66解析：选C由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体11122＋2×3＋×2π×1×2××π×13＝8π＋×的表面积为2×4π×16.＋22210．已知f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，则f(x －1)≤f(2x)的解集为()21????，－－1，1B. A.????331??，1 D.．C[－1,1]??3解析：选B∵函数f(x)是定义在[－2b,1＋b]上的偶函数，∴－2b＋1＋b＝0，∴b＝1，函数f(x)的定义域为[－2,2]，上单调递减，[0,2]在)x(f上单调递增，∴函数2,0]－[在)x(f又函数．，－1≤2≤－2x??1?，2x≤－2≤2.≤解得－1(2x)，∴f(|x－1|)≤f(|2x|)，∴≤xf∵f(x－1)≤3??，||2x|x－1|≥41的最小值是＝81，则＋a＋2aa＋aa11．在各项均为正数的等比数列{a}中，a1291n5114aa86) (79 B．A. 33D．1．C 为等比数列，解析：选C因为{a}n222 aa＋a＝(a＋a)81，＝＋所以aa2aa＋aa＝a2＋84611211685896＝9，a}的各项均为正数，所以a＋a又因为等比数列{8n641aa411411aa4????6868＋1a＋a)，＝5＋＋≥＝＋所以＝(×5＋2??86??aa99aaa9aaa86866886aa468 6时等号成立，3，a＝＝＝，a＋a＝9，即a当且仅当8686aa86411.＋的最小值是所以aa8612上，1C在直线y＝－x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点12．过抛物线y＝4) ABC为正三角形，则其边长为(若△12 ．11 BA．14C．13． D ，由题意可知，焦点F(0,1)解析：选B，k≠0)的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y＝kx＋1(易知过焦点F1?2?，xy＝42? 0，－4kx－联立4消去y，得x＝??，＋1y＝kx ＝－xx4，)y，∴x＋x＝4k，)设A(x，y，B(x，211221122 k，＋1)的中点为M，则M(2k,2设线段AB22] x－4?[x＋x?|AB|＝1＋k??x2211222 )．＝4(1＋1＋kk??16k＋16??＝MC，m，－1)，连接设C( 为等边三角形，ABC∵△222k＋13＝||1kxy1)mCkk＝，＝－＝∴km2＋4，点(，－到直线＝＋的距离MC MC km－k2．2||km＋3 ，AB||＝22k1＋2||km＋32，4(1＋k)＝×∴22k1＋242＋＋42kk2 )3(1＋k，即＝221＋k解得k＝±2，2)＝12.4(1＋k∴|AB|＝二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝2x＋1，则f(1)＋f′(1)＝________. 解析：因为f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以f′(1)＝2，又因为点M(1，f(1))也在直线y＝2x＋1上，所以f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(1)＋f′(1)＝3＋2＝5.答案：514．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．答案：乙22yx15．已知F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端22ab―→―→点，过F，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若AB＝3FA，则此双曲线的离心率为________．解析：由F(－c,0)，A(0，b)，b得直线AF的方程为y＝x＋b.cb根据题意知，直线AF与渐近线y＝相交，x ab?，＋by＝x cbc?. y＝联立得消去x得，B ac－b?，y＝x a→―→―b，由AB＝3FA，得y＝4B bc a所以，＝4b，化简得3c＝4a－c4.＝所以离心率e34答案：3的正三棱柱的侧棱上，则该直角216．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为．三角形斜边的最小值为________为斜边．解析：记该直角三角形为△ABC，且AC 与正三棱柱的一个顶点重合，法一：如图，不妨令点A 取AC的中点O，连接BO，1 ∴B＝AC， 2 BO取得最小值，即点B到平面ADEF 的距离．∴AC取得最小值即∵△AHD是边长为2的正三角形，的距离为3到平面ADEF，∴点B3.∴AC的最小值为2 与正三棱柱的一个顶点重合，法二：如图，不妨令点A(n≥0)，n设BH＝m(m≥0)，CD＝222222. ＋n－m)4，ACAB∴n＝4＋mBC，＝＝4＋( 的斜边，△ABC∵AC为Rt222∴ABBC＋，＝AC222＝4＋n，4即＋mn＋4＋(－m)2＋2＝0，∴mnm－22＋m2 ，m＋≠∴m0，n＝＝mm22??22＋m＋4 ＝，即m＝2时等号成立，∴AC＝m1284≥＋＝，当且仅当??mm3. 的最小值为2AC3AC∴≥2，故23答案：) 12＋4”限时提速练(三“)(满分80分，限时45分钟) 12小题，每小题5分，共60分一、选择题(本大题共2i) (，则∈R，复数a＋bi＝a＋b＝1．已知a，b i1－1 B．A2．2D．－C．0?i2i2i?1＋i??1＋2i i解析：选C因为a＋b＝，＝＝＝－1＋i2?1＋iii?1－1－??0.b＝＝－1，b＝1，a＋所以a) B＝A，则a的取值范围是(B＜x＜2}，＝{x|x<a}，若A∩{2．设集合A＝x|11] －∞，2] B．(－∞，A．()C．[1，＋∞)D．[2，＋∞2. a≥a}，所以x{|1<x<2}，B＝{x|x<，可得D解析：选由A∩B＝AA?B，又A＝5π5π??cos sin ，．若点) 3(在角α的终边上，则sin α＝??6613 B. A. 2213．－．－C D22πππ5ππ5π1????－ππ－sin 因为解析：选＝－cos ＝C＝sin＝＝＝sin ，cos cos ????66666623 －，21????313??22＝1r的终边上，所以点在角α且该点到角α顶点的距离，＝＋－，－??????22223. ＝－αsin 所以24．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．)根据该统计图判断，下列结论正确的是(A．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱月的方差小于11月的方差C．从该关键词的搜索指数来看，2017年10 1月的平均值．从该关键词的搜索指数来看，D2017年12月的平均值大于2018年由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，D解析：选；BA排除；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除2017月的波动较小，所以由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月该关键词的搜索指月的方差，排除10月的方差大于11C；由统计图可知，2017年12年10 ，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000数大多高于D.10 000，故选000，该月平均值小于．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，5)的等边三角形，则该几何体的体积等于(侧视图是边长为223 B A.333C.．2由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱解析：选D是边长分别ABCD3，底面锥P＝-ABCD，如图，该四棱锥的高h1132×＝V所以该四棱锥的体积＝S×h×3为2，的矩形，ABCD四边形33D.2.故选×3＝)S＝1，则输出的＝(b1a6．在如图所示的程序框图中，如果输入＝，20．B 7．A．54D．C．22，2＝3；k＝，0，k＝0，k≤4，S＝2a＝2，b，解析：选B执行程序，a＝1，b＝1S＝，退出46，不满足k≤≤4，S＝20，a＝13，b＝21；k＝，，k≤4S＝7，a＝5，b＝8；k＝4k20.＝循环．则输出的S22，°若∠ACB：x＝＋(y－3)120＝6相交于A，Bl7．已知直线：y两点，＝3x＋m与圆C)的值为(则实数m6 2－263或＋6或33－6 B．3＋A．23D．8或－C．9或－，CD，半径为6，取AB的中点为D解析：选A由题知圆C的圆心为C(0,3)，连接6，由点到直线的距离公＝60°，所以|CDAB，在△ACD中，|AC||＝6，∠ACD＝则CD⊥2||－3＋m66. ＝3±，解得m＝式得221＋3??8．若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为()ππ???Z k∈kπ＋，πk＋≤x＜x A.???26??ππ???Z k∈x＜kπ＋，kπ＋≤x B.???24??ππ???Z∈kπ＋，kxkπ＋≤＜xC.???23??ππ???Zπ＋，k∈≤kπ－x≤kx D.???44??解析：选B由正切函数的图象知，直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tan x的图象没有公ππ??1?Z k∈，x＜kπ＋kπ＋≤. 1，即tan x≥，其解集是x≥共点时，a＝，所以tan x2a???242??11＋，则b＝log a＝项和，若a＝2且S2S，设为数列9．已知S{a}的前nnnn11nnn2＋bbbb32211)＋…＋的值是(bb2 0182 0174 0354 033A.B. 2 0182 0172 0172016C.D.2 0182 017解析：选B由S＝2S可知，数列{S}是首项为S＝a＝2，公比为2的等比数列，1nn1n1＋n.2S＝所以nnn1n1－－，S－＝a2n当≥时，S2＝2－2＝1nnn－，11，n＝??＝b＝loga所以?n2n2.1，n≥n－??1111 ，当n≥2时，＝＝－n1nnbb－?n－1?1nn＋111 ＋＋＋…所以bbbbbb2 0182322 017111111 －＋…＋＝1＋1－＋－ 2 0172 0162234 0331.＝＝2－ 2 0172 0172，x＜1－4x＋a，x??的取值范则实数a(x)＝2有两个解，若方程10．已知函数f(x)＝f?，≥1ln x＋1，x??)(围是2] ．(－∞，(－∞，2) BA．5]．C．(－∞，5)(－∞，D有两个解知，＝2由方程f(x)＋时，由ln x1＝2，得x＝e.解析：选C法一：当x≥1222)(x－6，则2＝(x－2)g＋(x＋a＝2有唯一解．令gx)＝xa－4x＋a－当x＜1时，方程x4－有唯一解，x)＝01)上单调递减，所以当x＜1时，g(，在(－∞C.，故选，得a＜5则g(1)＜0的图象上下平移，作出函数1))(x＜f随着a的变化引起y＝(x法二：f(x)＝2有两个解，则y＝f(x)的大致图象如图所示，由图象知，要使<5.a－3<2，得a22yx交于l与椭圆Eb>0)的左焦点，经过原点O的直线a11．已知F是椭圆＝1(2 ba)，则椭圆E的离心率为(°＝2|Q F|，且∠PF Q＝120，P Q两点，若|PF|11 B.A. 2323 D.C.23解析：选C设F是椭圆E的右焦点，如图，连接PF，Q F.根111据对称性，线段FF与线段P Q在点O处互相平分，所以四边形PF Q F11是平行四边形，|F Q|＝|PF|，∠FPF＝180°－∠PF Q＝60°，根据椭圆11的定义得|PF|＋|PF|＝2a，又|PF|＝2|Q F|，124所以|PF|＝a，|PF|＝a，而|FF|＝2c，在△FPF中，11133．242c412????222aa 由余弦定理，得(2c)＝，，化简得＋＝－2×a×a×cos 60°2????333a33c3.＝＝所以椭圆E的离心率e a3x e的取k)的唯一极值点，则实数x＝2是函数f(xln 12．已知函数f(x)＝＋2kx－kx，若2x)(值范围是2ee????－∞，－∞，B.A. ????24)D．[2C．(0,2] ，＋∞2xx?ex?x－2?k?2－??x－2??ekx－，选解析：A f′(x)＝＋＝(x＞0)33xxx2x．x＞或e0)＝kx(＝令f′(x)＝0，得x22x2x 0)≤kx恒成立，(的唯一极值点知ex ≥kx0)(x＞恒成立或e＞＝由x2是函数f(x)2xx2 (x＞e(x＞0)的图象可知，只能是恒成立．≥kx0)e 由y＝＝(x＞0)和ykx x e2x.≤＞当x0时，由e≥kx，得k2x x e.g)(xg(x)＝，则k≤设2min x x?2xe－?)(x＜x＜2时，g′0时，g′(x)＞，g(x)单调递增，当02′由g(x)＝，得当x＞3x )单调递减，＜0，g(x22ee.≤＝g(2)＝，所以k所以g(x)min44)分4小题，每小题5分，共20二、填空题(本大题共________. ＝，则|bb，|2a＋||＝22a，13．已知向量ab满足a⊥b，||＝1 ，＝22＋解析：法一：因为|2ab|228. ＋b＝4a·＋4ab所以0.＝a·b因为a⊥b，所以22. |＝＝8，所以|b4＝1，所以×1＋4×0＋b|又|a→→――→―ba＋，＝，OB b，OC＝22法二：如图，作出OA＝a，＝22＋1|，因为a|＝，|2ab|OBOA ba因为⊥，所以⊥→――→，22＝|OC|，2＝|OA|所以．→―2.＝＝|b|所以|OB|轴的正方向y的方向分别为x轴，⊥法三：因为ab，所以以O为坐标原点，以a，b，b＝(2(0，y)(y＞0)，则2a＋＝)建立平面直角坐标系(图略，因为|a|＝1，所以a＝(1,0)，设b22.b|y4＋＝＝8，解得y＝2，所以y)，因为|2a＋b|＝|22，所以2答案：，≥0x＋3???，0－xy＋4≥________．则14．已知变量x，y满足约束条件z＝x＋3y的最大值为??，2x＋y－4≤0作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作解析：时，目标4)＋3y＝0，并平移该直线，当直线经过点A(0，出直线x12.＝函数z＝x＋3y取得最大值，且z max12答案：a1，且，若cos C＝，c＝3ABC15．在△中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c A4cosb ＝，则△ABC的面积等于________．BcosBAsin absin ，即＝BB，所以A，即解析：由＝及正弦定理，得＝tan A＝tanBAcos cos Acos Bcos1222＝，又＝Ccsin ，得a＝bC＝＝a＝b.由cos C且c＝3，结合余弦定理a＋b6－2abcos 41515132. ＝sin CS，所以△ABC的面积1－cos＝Cab＝424153 答案：4AB分别为PA，，AB＝4，CD ⊥16．如图，等腰三角形PAB所在平面为α，PAPB，所在分成两部分，把点P将△内经过点G 的直线lPAB为的中点，GCD的中点．平面α恰好HP′在平面α内的射影平面P′(P′?α)．若点P的部分沿直线l翻折，使点到达点的长度的取值范围是________．H在翻折前的线段AB 上，则线段P′，4⊥PB，AB＝PAB解析：在等腰三角形中，∵PA2.2＝PA＝PB∴AB的中点，PAC∵，D分别为，.CD⊥PC且2＝CD＝PC∴．G，连接PG，P′10. ＝CD的中点，∴PG＝P′G∵G为2 恰好在翻折前的线段AB上，P′在平面α内的射影H连接HG，∵点10. ＝，∴HG＜P′G⊥∴P′H⊥平面α，∴P′HHG21 易知点G到线段AB的距离为，21011.HG≥，∴≤HG＜∴222??1022，又P′H－＝HG??23∴0＜P′H≤.23??，0答案：??2“12＋4”限时提速练(四)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)2＋i的共轭复数对应的点在复平面内位于(＝) 1．复数z1－i B．第二象限A．第一象限C ．第三象限D．第四象限3ii?＋12＋i?2＋i??1＋131解析：选D＝＋zi，则复数的共轭复数为z＝－复数z＝＝＝2222???1i＋i1－i?1－133??，－的共轭复数对应的点的坐标是z i，所以复数，该点位于第四象限．??2222??|2{}x－＝1y|y1≥x，则＝M∩N＝(2．已知集合M＝)，N??x??A．(－∞，2] B．(0,1]DC．[0,1]．(0,2]2x－2 0，≥解析：选B由1得≤xx 2，则M；x≤2}＝{x|0<≤解得0<x2，(－∞，1]1函数y＝－x的值域是则N＝{y|y≤1}，因此M∩N＝{x|0<x≤1}＝(0,1]．3．设等差数列{a}的前n项和为S，且a＋a＋a＝24，则S)(＝131272nn78 ．A．52 B208．DC．104?a13?a＋131＝＝24，a＝8，Sa＝13＝104，选C. 解析：选C依题意得3a137772 )＝＝f(x)，当x∈[－2,0]时，f(x是定义在4．已知f(x)R上的偶函数，且满足f(x＋4)x) f(4)等于2－(，则f(1)＋33 B ．－ A.221D．C．－14的周期函数，x)是周期为f(x＋4)＝f(x)知f(解析：选B由，(－1)f(4)＝f(0)＝－1，f(1)＝f R又f(x)是定义在上的偶函数，故3111－.f(4)2＝－＝－，所以f(1)＝－，f(1)＋，所以又－1∈[－2,0]f(－1)＝－222→―→―) ，D(3,4)，则向量CD在AB方向上的投影是((5．已知点A－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)2323 ．－A.B2253 C．35D．－→――→―→―→―→，AB|＝(2,1)·(5,5)＝15，|5＝解析：选C依题意得，AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，AB·CD→――→CD·AB15→――→5. ＝方向上的投影是＝3因此向量CD在AB →―5|AB|6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是()(注：下表为随机数表的第8行和第9行)63016378591695556719981050?第8行?717512867358074439523879? 33211234297864560782524207?第9行?443815510013429966027954?B．25 A．07C．42 D．52解析：选D依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.x2≤y满足)y，x(的坐标P则点，P内随机投入一点2}≤y≤1,1≤x≤)|0y，x{(在平面区域．7．)的概率为(23 B.A. 3411 D. C. 42作出不等式表示的平面区域如图所示，D解析：选111××221.＝＝x)故所求概率P(y≤241×1，则其外接球的表面438．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，，2)(积为32πA．48πB．12π20 πD．C．可将题中的三棱锥补形成一R，解析：选B依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为12222.＝＋432＝22，因此三棱锥外接球的表面积为4π个长方体，则R＝2R＋?23?π222xy的，PBA，B在双曲线－＝1上，直线AB过坐标原点，且直线PA，9．已知点P22ab1) 斜率之积为，则双曲线的离心率为(31523 A. B.3310 ．2D.C2，)，y(Ax，y)，P(x解析：选A根据双曲线的对称性可知点A，B关于原点对称，设211?11，1－＝22ba2222222 y－x x－y yy－b?221121，两式相减得＝，即＝－(则B 222x y－x，y)，所以22222 1122baa －x x yx2122?，－1＝22ba222yy－y－yy－－yb1121 2 2 1 1，＝＝·，PB的斜率之积为，所以k·k＝＝因为直线PA222PBPA33a x－x x－x－xx－21 2 1 1 22b312. ＋所以双曲线的离心率为e ＝＝＋1＝123a3ππ??|<|φ)x＋φsin(2个单位长度后的图象关于原点对的图象向左平移10．将函数f(x)＝??26π??，0在)x) 称，则函数f(上的最小值为(??213 A.B. 2231C．－．－ D 22．ππ??????φ＋x＋2x＋2是奇函数，则解析：选D依题意得，函数＋φy＝sin＝sin ??????63ππππππ??????，02x－φ＋sin.当|<＝0，又|φ，因此＋φ＝0，φ＝－，所以f(x)＝sinx∈时，??????233332πππππ2π??3????????，2x－0－，2x－∈x 上－)＝sin在∈2(，所以fx＝，所以f(x)sin1－，??????????33233323. 的最小值为－2．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正11) (方形，则其俯视图中椭圆的离心率为21. B.A4232 D. C. 22，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a选C 依题意得，解析：2、2aa因此其俯视图中椭圆的长轴长为、母线长为a则斜边长为2a，，圆锥的底面半径为2a2??2. ＝1－a，其离心率e＝短轴长为??2a23) x)]＝1的实根的个数是((x)＝xf－3x，则方程f[(12．已知函数f7 B．A．93D．5C．，＋1)(x－1)fA依题意得′(x)＝3(x解析：选；′(x)>0x当<－1或x>1时，f)<0.f′(xx当－1<<1时，－1,1)上单调递减，且f((1，＋∞)上单调递增，在(－∞所以函数f(x)在区间(－，－1)，0.(0)＝f，f(±3)＝＝1)f(1)(2)＝2，f＝－2，结合图象可知，它们)图略x)的图象(与函数在平面直角坐标系内画出直线y＝1y＝f( 共有三个不同的交点，x，x，x记这三个交点的横坐标由小到大依次为，312则－3<x<－1<x<0，3<x<2.321再画出直线y＝x，y＝x，y＝x，结合图象可知，直线y＝x，y＝x，y＝xy与函数321321．，且这些交点的横坐标各不相同，x)的图象的交点个数均为3＝f(9.)]x＝1的实根个数是所以方程f[f()5分，共20分二、填空题(本大题共4小题，每小题x________. (log9)2R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝＝，则f．已知13f(x)是定义在4xx－是定义)，故f(－x＝2)，又因为f(x解析：因为当x<0时，f()＝2x，令x>0，则－x<0x－3)3>09＝log，所以f(log9)＝f>0在R上的奇函数，所以当x时，f(x)＝－2(log，又因为log244211.＝－＝－2－log3＝－2log22331 答案：－3ππ????α－0，∈α，则sin 2α＝，cos________. 14．若＝α22cos 2????422 )，sin α)·(cos α＋解析：sin 由已知得)(cos α＋sin αα＝22(cos α－21 ，0或cos α－sin α＝所以cos α＋sin α＝ 4 tan ＝0得α＝－1，由cos α＋sin απ??，0∈因为α0不满足条件；α，所以cos α＋sin ＝??21 α＝，－sin α由cos 4151. ＝sin 2α两边平方得1－sin 2α＝，所以161615 答案：162为半径的FA|F15．已知点A是抛物线y＝2px(p>0)上一点，为其焦点，以F为圆心，|128，则抛物线的方程为ABC圆交准线于B，C两点，若△FBC为正三角形，且△的面积为 3________．p2到准线的距则由抛物线的定义知点|，＝A解析：如图，可得|BF3pp22p21281128，8×＝，解得p＝离也为又△，ABC的面积为，所以×3323332. 16故抛物线的方程为yx＝2x 16答案：y＝2222＋b－a＋b，a＝＝ab，＋＋ba＝＋中，}{}a．在数列16{和baab1，b11n1nnnnnnnnnnn1＋＋11 ．项和为________{c＝＋，则数列c}的前2 018＝1.设nn ba nn2222a＝＋b2(－a＋b，得a ＋b＋ab＋b，b＝a＋a＝解析：由已知a nnnnn1nnnnnn11nn1＋＋＋＋ba＋1nn1＋＋＋b)，所以＝2，n ba ＋nnn，a＋b＝2{所以数列a＋b}是首项为2，公比为2的等比数列，即nnnn ba1nn1＋＋2222－a＋b相乘，得＋＋b，b＝a＋将a＝abb＋a＝2，nnnn1n1nnnnn＋＋ba nn所以数列{ab}是首项为1，公比为2的等比数列，nn11n1－，因为c＝＋，所以ab＝2nnn ba nnn b＋a2nn所以c＝＝＝2，1nn－ba2nn数列{c}的前2 018项和为2×2 018＝4 036. n答案：4 036。

通用版2020版高考数学大二轮复习考前强化练7解答题组合练C理

考前强化练7 解答题组合练C1.(2019河北枣强中学高三模拟,文17)已知函数f (x )=√32sin 2x-cos 2x-12.(1)求f (x )的最小正周期;(2)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c=√3,f (C )=0,若sin B=2sin A ,求a ,b 的值.2.已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项的和为S n ,且满足a n =2S S22SS -1(n ≥2).(1)求证:数列{1S S}是等差数列;(2)证明:当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+ (1)S n <32.3.(2019辽宁葫芦岛高三二模,理18)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,M为线段BD中点,BC=3.(1)求证:AF⊥BD;(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值;的值;若不存在,请说明理由. (3)线段BD上是否存在点N,使得直线CE∥平面AFN?若存在,求SSSS4.(2019山东淄博部分学校高三三模,理19)已知正方形的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,以EF 为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角,点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点,连直线MF,由A,D,E三点所确定平面的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线OD∥平面EMC;(2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°;若存在,求此时二面角M-EC-F的余弦值,若不存在,说明理由.5.已知椭圆C:S2S2+S2S2=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D(1,32)在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.6.(2019四川泸州高三二模,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,不过原点的直线l与抛物线C交于A,B两点,以AB为直径的圆M过坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:直线l恒过定点;(3)若线段AB中点的纵坐标为2,求此时直线l和圆M的方程.参考答案考前强化练7 解答题组合练C1.解(1)f (x )=√32sin2x-cos 2x-12=√32sin2x-1+cos2S2−12=√32sin2x-12cos2x-1=sin 2x-π6-1.所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由f (C )=0,得sin 2C-π6=1.因为0<C<π,所以-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,C=π3.又sin B=2sin A ,由正弦定理得SS =2.①由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos π3,即a 2+b 2-ab=3. ②由①②解得a=1,b=2.2.解(1)当n ≥2时,S n -S n-1=2S S22SS -1,S n-1-S n =2S n S n-1,1S S−1S S -1=2,从而{1S S}构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1S S=1S 1+(n-1)×2=2n-1,∴S n =12S -1,∴当n ≥2时,1S S n =1S (2S -1)<1S (2S -2)=121S -1−1S , 从而S 1+12S 2+13S 3+…+1S S n <1+121-12+12−13+…+1S -1−1S =32−12S <32. 3.(1)证明因为ADEF 为正方形, 所以AF ⊥AD.又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,且平面ADEF ∩平面ABCD=AD , 所以AF ⊥平面ABCD. 所以AF ⊥BD.(2)解取AD 中点O ,EF 中点K ,连接OB ,OK.在△ABD 中,OB ⊥OD ,在正方形ADEF 中,OK ⊥OD , 又平面ADEF ⊥平面ABCD ,故OB ⊥平面ADEF ,进而OB ⊥OK ,即OB ,OD ,OK 两两垂直,分别以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图).于是,B√32,0,0,D 0,12,0,C√32,3,0,E 0,12,1,M√34,14,0,F 0,-12,1,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√34,-34,1,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,-52,0,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1). 设平面CDE 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S =0,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S =0,即{-√32·S -52·S =0,S =0,令x=-5,则y=√3,则n =(-5,√3,0). 设直线MF 与平面CDE 所成角为θ,sin θ=|cos <SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||S |=√314. (3)解要使直线CE ∥平面AFN ,只需AN ∥CD ,设SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =SSS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1],设N (x n ,y n ,z n ),则x n -√32,y n ,z n =λ-√32,12,0,得x n =√32−√32S ,y n =12S ,z n =0,N √32−√32S ,12S ,0,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32−√32S ,12S +12,0.又SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,-52,0,由SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得√32-√32S -√32=12S +12-52,解得λ=23∈[0,1].所以线段BD上存在点N,使得直线CE∥平面AFN,且SSSS =23.4.解(1)因为直线MF⊂平面ABFE,故点O在平面ABFE内也在平面ADE内,所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线EA上,如图所示.因为AO∥BF,M为AB的中点,所以△OAM≌△FBM.所以OM=MF,AO=BF.所以点O在EA的延长线上,且AO=2.连接DF,交EC于点N,因为四边形CDEF为矩形,所以N是EC的中点.连接MN,因为MN为△DOF的中位线,所以MN∥OD.又因为MN⊂平面EMC,所以直线OD∥平面EMC.(2)由已知可得,EF⊥AE,EF⊥DE,所以EF⊥平面ADE,所以平面ABFE⊥平面ODE,取AE的中点H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,所以E(-1,0,0),D(0,0,√3),C(0,4,√3),F(-1,4,0),所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,√3), 设M (1,t ,0)(0≤t ≤4),则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,t ,0). 设平面EMC 的法向量m =(x ,y ,z ),则{S ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0S ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2S +SS =0,S +4S +√3S =0,取y=-2,则x=t ,z=√3,所以m =t ,-2,8-S √3.DE 与平面EMC 所成的角为60°,所以2√S 2+4+(8-S )23=√32. 所以√3√=√32. 所以t 2-4t+3=0,解得t=1或t=3.所以存在点M ,使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°.取ED 的中点Q ,则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面CEF 的法向量,因为Q -12,0,√32,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32,0,-√32,m =t ,-2,8-S √3,设二面角M-EC-F 的大小为θ,所以|cos θ|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|S |=√3×√S 2+4+(8-S )23=√.因为当t=2时,cos θ=0,平面EMC ⊥平面CDEF ,所以当t=1时,θ为钝角,所以cos θ=-14.当t=3时,θ为锐角,所以cos θ=14.5.解(1)由题意得{S =√3S ,1S2+94S2=1,S 2=S 2+S 2,解得a 2=4,b 2=3,故椭圆C 的方程为S 24+S 23=1.(2)假设存在这样的直线l :y=kx+m ,∴M (0,m ),N (-SS ,0), ∵|PM|=|MN|,∴P (SS ,2S ),Q (SS ,-2S ), ∴直线QM 的方程为y=-3kx+m.设A (x 1,y 1),由{S =SS +S ,S 24+S 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-3)=0,∴x 1+S S =-8SS3+4S 2,∴x 1=-3S (1+4S 2)S (3+4S 2).设B (x 2,y 2),由{S =-3SS +S ,S 24+S 23=1,得(3+36k 2)x 2-24kmx+4(m 2-3)=0,∴x 2+S S =8SS1+12S 2,∴x 2=-S (1+4S 2)S (1+12S 2). ∵点N 平分线段A 1B 1,∴x 1+x 2=-2SS ,∴-3S (1+4S 2)S (3+4S 2)−S (1+4S 2)S (1+12S 2)=-2SS ,∴k=±12,∴P (±2m ,2m ),∴4S 24+4S 23=1,解得m=±√217, ∵|m|=√217<b=√3,∴Δ>0,符合题意,∴直线l 的方程为y=±12x±√217. 6.(1)解抛物线C :y 2=2px (p>0),其准线方程为x=-S2,∵点P (1,a )在此抛物线上,|PF|=2,∴点P 到准线的距离等于|PF|,即1+S2=2,得p=2, ∴所求抛物线方程为y 2=4x.(2)证明①当直线l 斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+m ,易知k ≠0,m ≠0.联立方程组得{S 2=4S ,S =SS +S ,从而可得方程k 2x 2+(2km-4)x+m 2=0,由题意可知Δ=(2km-4)2-4k 2m 2>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1+x 2=4-2SSS 2,x 1x 2=S 2S 2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=4SS . 因为以AB 为直径的圆M 过坐标原点, 所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=0,所以S 2S 2+4SS=0,所以m=-4k.所以直线l 的方程为y=kx-4k ,即y=k (x-4),所以直线l 恒过定点(4,0).②当直线l 的斜率不存在时,易求得点A ,B 坐标分别为(4,4),(4,-4),直线l 也过点(4,0).综合①②可知,直线l 恒过定点(4,0).(3)解由题意可知直线l 斜率存在,设线段AB 中点坐标为(x 0,2),由(2)中所得x 1+x 2=4-2SSS 2,x 1x 2=S 2S2,则y 1+y 2=k (x 1-4)+k (x 2-4)=k (x 1+x 2)-8k=4S ,所以{2+4S 2S 2=S 0,2S=2,解得{S =1,S 0=6,所以直线l 的方程为y=x-4.因为线段AB 中点坐标为(6,2),即为圆M 的圆心坐标. 设圆M :(x-6)2+(y-2)2=r 2.将点(0,0)代入,得r 2=40, 所以圆M 的方程为(x-6)2+(y-2)2=40.。

2020版高考数学大二轮复习专题解析几何增分强化练理

增分强化练一、选择题1．直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．－52B.72C.56D.16解析：∵直线(1－2a )x －2y ＋3＝0与直线3x ＋y ＋2a ＝0垂直，∴3(1－2a )－2＝0，∴a ＝16，故选D. 答案：D2．过点(1，－1)且与直线x －2y ＋1＝0平行的直线方程为( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x －2y －3＝0D ．2x ＋y －1＝0解析：由题意得所求直线的斜率为12，又直线过点(1，－1)，故所求直线的方程为y ＋1＝12(x－1)，即x －2y －3＝0.故选C. 答案：C3．已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( ) A ．－7 B ．－1 C ．－1或－7D.133解析：当m ＝－3时，两条直线分别化为：2y ＝7，x ＋y ＝4，此时两条直线不平行；当m ＝－5时，两条直线分别化为：x －2y ＝10，x ＝4，此时两条直线不平行；当m ≠－3，－5时，两条直线分别化为：y ＝－3＋m 4x ＋5－3m 4，y ＝－25＋m x ＋85＋m ，∵两条直线平行，∴－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，解得m ＝－7.综上可得：m ＝－7.故选A. 答案：A4．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5)D ．(－5,3)解析：根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x －4y －27＝0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为－43，又P (2,1)，则该直线的方程为：y －1＝－43(x －2)即4x ＋3y －11＝0，与已知直线联立得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －11＝0 ①3x －4y －27＝0 ②①×4＋②×3得25x ＝125，解得x ＝5，把x ＝5代入①解得y ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－3，所以直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是(5，－3)．故选A. 答案：A5．圆x 2＋y 2＝8与圆x 2＋y 2＋4x －16＝0的公共弦长为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：两圆方程作差得x ＝2，当x ＝2时，由x 2＋y 2＝8得y 2＝8－4＝4，即y ＝±2，即两圆的交点坐标为A (2,2)，B (2，－2)，则|AB |＝2－(－2)＝4，故选B. 答案：B6．过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋5＝0解析：∵过点(2,1)的直线中被圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心， ∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线， ∴其方程为：y ＋2x －1＝1＋22－1，整理，得3x －y －5＝0. 故选A. 答案：A7．圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0被直线y ＝3x 截得的线段长为( ) A ．2 B. 3 C ．1D. 2解析：圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y ＝3x 的距离为d ＝|3|(3)2＋1＝32，弦长为2·1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝1，故选C. 答案：C8．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则 “k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2·12，该方程等价于k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A. 答案：A9．(2019·青岛模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1和直线l ：y ＝k (x ＋2)，在(－3，3)上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相交”发生的概率为( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：直线l 方程为kx －y ＋2k ＝0，当直线l 与圆C 相切时可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，∴直线l 与圆C 相交时，k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－33，33， ∴所求的概率P ＝23323＝13.故选C. 答案：C10．(2019·威海模拟)已知圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，则b 的值为( )A ．－2或2B ．2或43＋2C ．－2或43＋2D ．－43－2或2解析：由圆(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1，设圆心(2,0)到直线y ＝3x ＋b 的距离为d ，则d ＝|23＋b |3＋1，因为圆(x －2)2＋y 2＝1上的点到直线y ＝3x ＋b 的最短距离为3，所以d －r ＝3，即|23＋b |3＋1－1＝3，解得b ＝2或b ＝－43－2，故选D.答案：D11．圆C 1：(x －1)2＋(y －3)2＝9和C 2：x 2＋(y －2)2＝1，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的点，P 是直线y ＝－1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值是( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：圆C 1关于y ＝－1的对称圆的圆心坐标A (1，－5)，半径为3，圆C 2的圆心坐标(0,2)，半径为1，由图象(图略)可知当P ，C 2，A ，三点共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，|PM |＋|PN |的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即|AC 2|－3－1＝1＋49－4＝52－4.故选A. 答案：A12．设过点P (－2,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的两个交点为A ，B ，若8PA →＝5AB →，则|AB |＝( ) A.855 B.463 C.665D.453解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0x ＝my －2，得(m 2＋1)y 2－(8m ＋2)y ＋13＝0，则y 1＋y 2＝8m ＋2m 2＋1，y 1y 2＝13m 2＋1，又8PA →＝5AB →，所以8(x 1＋2，y 1)＝5(x 2－x 1，y 2－y 1)，故8y 1＝5(y 2－y 1)，即y 2＝135y 1，代入y 1y 2＝13m 2＋1得：y 21＝5m 2＋1，故y 22＝16925×5m 2＋1，又(y 1＋y 2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，即y 21＋y 22＋2y 1y 2＝19425×5m 2＋1＋26m 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8m ＋2m 2＋12，整理得：m 2－40m ＋76＝0，解得m ＝2或m ＝38，又|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝23m 2＋8m －12m 2＋1，当m ＝2时，|AB |＝855；当m ＝38时，|AB |＝855.综上，|AB |＝855.故选A. 答案：A 二、填空题13．若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 为________．解析：∵直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直， ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， ∴(a －1)(a ＋2－2a －3)＝0， ∴(a －1)(a ＋1)＝0， ∴a ＝1或a ＝－1. 答案：±114．已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________．解析：设圆心为(t,0)，且t >0, ∴半径为r ＝|t |＝t ，∵圆C 截直线x －y ＋1＝0所得的弦长为2,∴圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|t －0＋1|2＝t 2－1，∴t 2－2t －3＝0， ∴t ＝3或t ＝－1(舍)，故t ＝3， ∴(x －3)2＋y 2＝9. 答案：(x －3)2＋y 2＝915．已知圆x 2＋y 2＝9被直线mx ＋y －2m －1＝0所截得弦长为32，则实数m 的值为________．解析：因为圆x 2＋y 2＝9的圆心是(0,0)，半径为3，根据弦长为32，所以圆心到直线的距离为d ＝9－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝322，所以d ＝|－2m －1|m 2＋1＝322，解得m ＝1或m ＝7.答案：1或716．已知点P (－1,2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________．解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，由反射的对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，|PQ |＋|QT |＝|P ′T |， ∵圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心坐标为A (3,4)，半径r ＝2， ∴|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52， |AT |＝r ＝2，∴|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3. 答案：4 3增分强化练考点一圆锥曲线的定义及标准方程1．(2019·榆林模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，根据抛物线的定义可得p 2＝12，∴p ＝1，所以抛物线的标准方程为y 2＝2x .故选B.答案：B2．(2019·株洲模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线l 的倾斜角为π3，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的方程为( ) A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1解析：由x 2a 2－y 2b 2＝0可得y ＝±b a x ，即渐近线的方程为y ＝±bax ，又一条渐近线l 的倾斜角为π3，所以b a ＝tan π3＝ 3.因为双曲线C 的一个焦点(c,0)到l 的距离为3，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝3，所以a ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 答案：D3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C的标准方程为( ) A.4x 225＋y26＝1 B.x 24＋y 22＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：依题意椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12得c a ＝12，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6,2a ＋2c ＝6，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为：x 24＋y 23＝1，故选D.答案：D4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 225＋y 216＝1的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，则|PF 1|·|PF 2|的最小值是________．解析：由椭圆方程可知a ＝5，c ＝3，根据椭圆的定义，有|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－|PF 1|，故|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|·(10－|PF 1|)，由于|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,8]注意到二次函数y ＝x (10－x )的对称轴为x ＝5，故当x ＝2，x ＝8时，都是函数的最小值，即最小值为2×8＝16. 答案：16考点二圆锥曲线的性质1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12B ．焦距为34 C ．短轴长为14D ．离心率为32解析：由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1 ，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，长轴为2a ＝1 ，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D. 答案：D2．(2019·九江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±3x解析：由双曲线方程可得渐近线为：y ＝±bax ，A (a,0)，F (c,0)，则点A 到渐近线距离d 1＝|ab |a 2＋b2＝ab c，点F 到渐近线距离d 2＝|bc |a 2＋b2＝bcc＝b ， ∴d 1∶d 2＝ab c∶b ＝a ∶c ＝1∶2，即c ＝2a ，则b a ＝c 2－a 2a ＝a a＝1， ∴双曲线渐近线方程为y ＝±x . 故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1(a ＞b ＞0)的渐近线方程y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 答案：2 24．(2019·株洲模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 2的延长线交椭圆C 于点D ，若△F 1BD 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为________．解析：如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四象限内，设点D (x ，y )．由题意得△F 1BD 为等腰三角形，且|DF 1|＝|DB |.由椭圆的定义得|DF 1|＋|DF 2|＝2a ，|BF 1|＝|BF 2|＝a ，又|DF 1|＝|DB |＝|DF 2|＋|BF 2|＝|DF 2|＋a ， ∴(|DF 2|＋a )＋|DF 2|＝2a ，解得|DF 2|＝a2.作DE ⊥x 轴于E ，则有|DE |＝|DF 2|sin ∠DF 2E ＝|DF 2|sin ∠BF 2O ＝a 2×b a ＝b2，|F 2E |＝|DF 2|cos ∠DF 2E ＝|DF 2|cos ∠BF 2O ＝a 2×c a ＝c 2，∴|OE |＝|OF 2|＋|F 2E |＝c ＋c 2＝3c2，∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.又点D 在椭圆上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22b2＝1，整理得3c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝33. 答案：33考点三直线与圆锥曲线的相关问题1．(2019·内江模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，上下顶点分别为A 、B ，直线AF 2与该椭圆交于A 、M 两点．若∠F 1AF 2＝120°，则直线BM 的斜率为( )A.14B.34C.32D. 3解析：由题意，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且满足∠F 1AF 2＝120°，如图所示，则在△AF 2O 中，|OA |＝b ，|AF 2|＝a ，且∠OAF 2＝60°，所以a ＝2b ，不妨设b ＝1，则a ＝2，所以c ＝a 2－c 2＝3，则椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，又由A (0,1)，F 2(3，0)，所以kAF 2 ＝－33，所以直线AF 2的方程为y ＝－33x ＋1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋1x 24＋y 2＝1，整理得7x 2－83x ＝0，解得x ＝0或x ＝837，把x ＝837代入直线y ＝－33x ＋1，解得y ＝－17，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17 ，又由点B (0，－1)，所以BM 的斜率为k BM ＝－17－(－1)837－0＝34，故选B.答案：B2．已知直线l ：y ＝2x ＋b 被抛物线C ：y 2＝2px (p >0)截得的弦长为5，直线l 经过C 的焦点，M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为(3,0)，则MN 的最小值为________．解析：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋by 2＝2px ⇒4x 2＋(4b －2p )x ＋b 2＝0,则52＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2b －p 22－4×b 42，又直线l 经过C 的焦点，则－b 2＝p 2，∴b ＝－p ，由此解得p ＝2, 抛物线方程为y 2＝4x ，M (x 0，y 0)，∴y 20＝4x 0，则|MN |2＝(x 0－3)2＋y 20＝(x 0－3)2＋4x 0＝(x 0－1)2＋8, 故当x 0＝1时，|MN |min ＝2 2. 答案：2 23．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点G (0,1)作直线l 与曲线交于A ，B 两点，求△ABO 面积的最大值．解析：(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3(a －c )a 2＝b 2＋c21a 2＋94b2＝1，解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)易知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，则x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝46·1＋2k23＋4k2d ＝1k 2＋1，∴S △ABO ＝12×d ×1＋k 2|x 1－x 2|＝26·1＋2k 23＋4k 2，令 1＋2k 2＝t ，∵k 2≥0，∴t ≥1， ∴S △ABO ＝26t 2t 2＋1＝262t ＋1t，易证y ＝2t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，∴2t ＋1t≥3，∴S △ABO ≤263，∴△ABO 面积的最大值为263.增分强化练考点一直线的方程1．直线mx ＋y －m ＋2＝0恒经过定点( ) A ．(1，－1) B ．(1,2) C ．(1，－2)D ．(1,1)解析：直线mx ＋y －m ＋2＝0，化为：m (x －1)＋y ＋2＝0，可知直线经过定点(1，－2)．故选C. 答案：C2．(2019·南昌模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A.10－1 B ．22－1 C ．2 2D.10解析：设点A 关于直线x ＋y ＝3的对称点A ′(a ，b )，AA ′的中点为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋22，b 2，k AA ′＝b a －2，故⎩⎪⎨⎪⎧ba －2·(－1)＝－1a ＋22＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝1，所以A ′(3,1)．要使从点A 到军营总路程最短，即为点A ′到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为32＋12－1＝10－1，故选A. 答案：A3．过点(－2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________．解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x －y ＝a ，将A (－2,4)代入得，a ＝－6， ∴此时所求的直线方程为x －y ＋6＝0. 答案：2x ＋y ＝0或 x －y ＋6＝04．平行线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0的距离是________解析：由题意，两直线5x ＋12y －10＝0和mx ＋6y ＋2＝0平行，可得5m ＝126，解得m ＝52，即5x ＋12y ＋4＝0，由两平行直线之间的距离公式，可得d ＝|－10－4|52＋122＝1413. 答案：1413考点二圆的方程1．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m >－12B ．m <－12C ．m ≤－12D ．m ≥－12解析：因为方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0要表示一个圆，所以2＋4m >0 解得：m >－12，故选A.答案：A2．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于( ) A ．2 2 B. 2 C ．1D ．3解析：圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－1，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，k ＝4. 所以圆的方程为：x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0，圆的半径为：12 42＋22－4×(－4)＝3. 故选D.答案：D3．已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 D ．(x ＋3) 2＋(y －4)2＝25解析：由题意可知：O (0,0)，C (6，－8)，则圆心坐标为(3，－4)，圆的直径为62＋(－8)2＝10，据此可得圆的方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.故选C.答案：C4．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A. 答案：A考点三直线与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数是( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心(1,0)半径为1；圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的圆心(0,2)半径为2，O 1O 2＝12＋22＝5，∵1＜5＜3，∴两个圆相交，所以圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的公切线条数2.故选C.答案：C2．(2019·南宁模拟)已知直线l ：3x －4y －15＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0(r >0)相交于A ，B 两点，若|AB |＝6，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝36 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝16 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝49解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝r 2，设圆心(1,2)到直线l 的距离为d ，则d ＝|3－8－15|5＝4，又|AB |＝6，根据r 2＝32＋42＝25，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.故选A. 答案：A3．(2019·汕头模拟)已知直线l 与圆x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 的坐标为(－1,1)，则直线l 的方程为________．解析：因为圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心坐标为C (0,2)，又点P 坐标为(－1,1)，所以直线CP 的斜率为k CP ＝2－10＋1＝1；又因为AB 是圆的一条弦，P 为AB 的中点，所以AB ⊥CP ，故k AB ＝－1，即直线l 的斜率为－1，因此，直线l 的方程为y －1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＝0. 答案：x ＋y ＝04．直线2x ＋y －3＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M ，联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＝0y ＝－2x ＋3，整理可得5x 2－10x ＋3＝0，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝(－2x 1＋3)＋(－2x 2＋3)＝－2(x 1＋x 2)＋6＝2，据此可得M (1,1)，|OM →|＝1＋1＝2，结合平面向量的运算法则有|OA →＋OB →| ＝|2OM →| ＝2 2. 答案：2 2增分强化练1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且线段PQ 长度的最大值为4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若OP ⊥OQ ，求△OPQ 面积的最小值．解析：(1)∵y 2＝4x 的焦点为(1,0)， ∴椭圆C 的右焦点F 为(1,0)，即c ＝1，又|PQ |的最大值为4，因此|PQ |＝2a ＝4， ∴a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当P ，Q 为椭圆顶点时，易得△OPQ 的面积为12×2×3＝3，②当P ，Q 不是椭圆顶点时，设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 24＋y23＝1，得x 2＝123＋4k 2，所以|OP |＝k 2＋1 123＋4k2，由OP ⊥OQ ，得直线OQ 的方程为：y ＝－1kx ，所以|OQ |＝1k2＋1123＋41k 2＝ 1＋k 2123k 2＋4，所以S △OPQ ＝12|OP |·|OQ |＝6(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝6(k 2＋1)212k 4＋25k 2＋12＝6 112＋k 2(k 2＋1)2，(k 2＋1)2k2＝k 2＋1k2＋2≥4，当且仅当k 2＝1时等号成立，所以0<k 2(k 2＋1)2≤14，所以127≤S △OPQ <3，综上，△OPQ 面积的最小值为127.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P (263，33)满足PF →1·PF →2＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1·k 2的值．解析：(1)依题意F 1(－c,0)， ∴PF →1·PF →2＝－c 2＋3＝0，即c ＝3， ∵e ＝c a ＝32， ∴a ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －3)，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列，∴k 1·k 2＝k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2(x 1－3)(x 2－3)x 1x 2，则3(x 1＋x 2)＝3，即83k21＋4k 2＝3，解得k 2＝14，故k 1k 2＝14.3．已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <1)上的点P (m,1)到其焦点F 的距离为54.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点．解析：(1)由题意，得2pm ＝1，即m ＝12p.由抛物线的定义，得|PF |＝m －(－p 2)＝12p ＋p2.由题意，知12p ＋p 2＝54，解得p ＝12或p ＝2(舍去)．所以C 的方程为y 2＝x . (2)证明：由(1)得P (1,1)．设l ：x ＝ny ＋t ，由于直线l 不过点P (1,1)，所以n ＋t ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋t消去x 并整理得y 2－ny －t ＝0.由题意，判别式Δ＝n 2＋4t >0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝n ，①y 1y 2＝－t ，②则k PA k PB ＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 由题意，得y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝1，即y 1y 2＋(y 1＋y 2)＝0，③将①②代入③得－t ＋n ＝0，即t ＝n .所以l ：x ＝n (y ＋1)．显然l 过定点(0，－1)．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2，长轴的长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点F 1的直线l 与椭圆C 交于E ，D 两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为椭圆C 的焦距为2，长轴的长为4，所以2c ＝2,2a ＝4，解得c ＝1，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，M (m,0)．易知F 1(－1,0)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.又y 1y 2＝k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝k 2(4k 2－124k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1)＝－9k24k 2＋3，直线ME ，MD 的斜率k ME ＝y 1x 1－m，k MD ＝y 2x 2－m，则k ME ·k MD ＝y 1x 1－m ·y 2x 2－m ＝y 1y 2(x 1－m )(x 2－m )＝y 1y 2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝－9k 24k 2＋34k 2－124k 2＋3－m (－8k 24k 2＋3)＋m 2＝－9k24k 2＋34k 2－12＋8mk 2＋4m 2k 2＋3m24k 2＋3 ＝－9k2(4m 2＋8m ＋4)k 2＋3m 2－12. 要使直线ME ，MD 的斜率之积为定值，需3m 2－12＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 236k 2＝－14；当m ＝－2时，k ME ·k MD ＝－9k 2(4m 2＋8m ＋4)k 2＝－9k 24k 2＝－94.当直线l 的斜率不存在时，不妨设E (－1，32)，D (－1，－32)，此时，当m ＝2时，M (2,0)，k ME ·k MD ＝－14；当m ＝－2时，M (－2,0)，k ME ·k MD ＝－94.综上，在x 轴上存在两个定点M ，使得直线ME ，MD 的斜率之积为定值．当定点M 的坐标为(2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－14；当定点M 的坐标为(－2,0)时，直线ME ，MD 的斜率之积为定值－94.增分强化练一、选择题1．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 解析：因为x 23－y 29＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ，即为y ＝±3x ，故选C. 答案：C2．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R)与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13xD ．y ＝±33x 解析：∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 答案：A3．已知双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1的离心率为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(±2,0)B ．(±2，0)C ．(0，±2)D ．(0，±2)解析：由双曲线C ：x 2m 2－y 23＝1，离心率为2，可得m 2＋3m＝2，∴m 2＝1, 则c ＝m 2＋3＝2，故双曲线C 的焦点坐标是(±2,0)．故选A. 答案：A4．(2019·呼和浩特模拟)已知双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1与双曲线C 2：x 2k －y 29＝1有相同的离心率，则双曲线C 1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±62x C ．y ＝±34x D ．y ＝±64x 解析：由双曲线方程可知k >0，双曲线C 1：x 24－y 2k ＝1的离心率为4＋k2，双曲线C 2：x 2k －y 29＝1的离心率为k ＋9k，由题意得4＋k 2＝k ＋9k ，解得k ＝6, 双曲线C 1为x 24－y26＝1，则渐近线方程为y ＝±62x ，故选B. 答案：B5．已知双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，则C 的方程是( ) A ．x 2－y 22＝1 B.x 22－y 2＝1 C.y 22－x 2＝1 D ．y 2－x 22＝1解析：因为双曲线C 的一个焦点坐标为(3，0)，所以c ＝3，又因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，所以有b a ＝22⇒a ＝2b ，c ＝3，而c ＝a 2＋b 2，所以解得a ＝2，b ＝1，因此双曲线方程为x 22－y 2＝1，故选B.答案：B6．(2019·岳阳模拟)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线，交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：x 2＝4y 的焦点为(0,1)，准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以由抛物线的定义知|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝y 1＋1＋y 2＋1＝y 1＋y 2＋2＝6＋2＝8，故选C. 答案：C7．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1 (b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3]D ．[3，＋∞)解析：双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 答案：A8．(2019·咸阳模拟)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC 的斜边AC 的两端点为焦点的曲线，且都过B 点，它们的离心率分别为e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.32 B ．2 C.52D ．4解析：以AC 边所在的直线为x 轴，AC 中垂线所在的直线为y 轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1，设双曲线方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，焦距都为2c不妨设|AB |>|BC |，椭圆和双曲线都过点B ，则|AB |＋|BC |＝2a 1，|AB |－|BC |＝2a 2，所以|AB |＝a 1＋a 2，|BC |＝a 1－a 2，又因为△ABC 为直角三角形，|AC |＝2c ，所以(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2＝(2c )2，即a 21＋a 22＝2c 2，所以a 21c 2＋a 22c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2.故选B. 答案：B9．(2019·乌鲁木齐质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，则△AOB 的面积为( ) A ．4 3 B ．4 6 C ．8 2D ．8 6解析：设直线l ：x ＝ty ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝ty ＋2可以得到y 2－8ty －16＝0，所以AB 的中点M (4t 2＋2,4t )，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (10,0)，故t ≠0. 所以AB 的中垂线的方程为y ＝－1t (x －4t 2－2)＋4t ＝－1t ·x ＋8t ＋2t，令y ＝0可得x ＝8t 2＋2，解方程10＝8t 2＋2得t ＝±1. 此时AB ＝ 1＋t 2|y 1－y 2|＝81＋t 2t 2＋1＝16，O 到AB 的距离为d ＝21＋t2＝2，所以S ΔOAB ＝12×16×2＝8 2.故选C. 答案：C10．(2019·滨州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线l ：4x －3y ＝0与椭圆C 相交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝6，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，59 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，32 解析：如图所示，设F ′为椭圆的左焦点，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′是平行四边形，∴6＝|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ，∴a ＝3.取P (0，b )，∵点P 到直线l ∶4x ＋3y ＝0的距离不小于65，∴|3b |16＋9≥65，解得b ≥2. ∴c ≤9－4＝5，∴0<c a ≤53. ∴椭圆E 的离心率范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，53. 故选C. 答案：C11．(2019·济宁模拟)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝3x 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．8解析：如图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：y 2＝3x 可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，准线DP ：x ＝－34.因为AF →＝FP →，所以F 是AP 的中点，则AD ＝2CF ＝3.所以可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，332，则k AF ＝3，所以直线AP 的方程为：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34y 2＝3x，整理得：x 2－52x ＋916＝0所以x 1＋x 2＝52，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋32＝4.故选B.答案：B12．(2019·晋城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A.52 B.62C.233D. 3解析：由题意得直线l 的方程为x ＝b ay ＋c ，不妨取a ＝1，则x ＝by ＋c ，且b 2＝c 2－1.将x ＝by ＋c 代入x 2－y 2b2＝1，(b ＞0)，得(b 4－1)y 2＋2b 3cy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2b 3c b 4－1，y 1y 2＝b4b 4－1.由AF →＝3FB →，得y 1＝－3y 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 2＝－2b 3cb 4－1－3y 22＝b 4b 4－1，得3b 2c 2＝1－b 4，解得b 2＝14，所以c＝b 2＋1＝54＝52，故该双曲线的离心率为e ＝c a ＝52，故选A. 答案：A 二、填空题13．(2019·合肥质检)抛物线x 2＝8y 的焦点坐标为________．解析：由抛物线方程x 2＝8y 知，抛物线焦点在y 轴上，由2p ＝8，得p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)．答案：(0,2)14．已知过P (1,1)的直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝1只有一个公共点，则直线l 的条数为________．解析：双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程y ＝±x ，其中一条渐近线y ＝x 过点P (1,1)，所以过点P (1,1)的直线x ＝1与双曲线右支相切，只有一个公共点，过P (1,1)与y ＝－x 平行的直线y ＝－x ＋2和双曲线右支相交，只有一个公共点，综上共有2条直线符合要求．答案：215．(2019·泰安模拟)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1,0)，当|PF ||PA |取得最小值时，直线AP 的方程为________．解析：设P 点的坐标为(4t 2,4t )， ∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1， |PA |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||PA |2＝16t 4＋8t 2＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 216t 4＋24t 2＋1＝1－1616t 2＋1t2＋24≥1－16216t 2·1t2＋24＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±12时取等号，此时点P 坐标为(1,2)或(1，－2)，此时直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝016．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为A ，其准线与x 轴的交点为B ，如果在直线3x ＋4y ＋25＝0上存在点M ，使得∠AMB ＝90°，则实数p 的取值范围是________．解析：由题得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0， ∵M 在直线3x ＋4y ＋25＝0上，设点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－3x －254，∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，－3x －254， BM →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋p 2，－3x －254，又∠AMB ＝90°，∴AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x －2542＝0，即25x 2＋150x ＋625－4p 2＝0， ∴Δ≥0，即1502－4×25×(625－4p 2)≥0，解得p ≥10或p ≤－10，又p >0，∴p 的取值范围是[10，＋∞)．答案：[10，＋∞) 三、解答题17．已知椭圆的焦点F 1(－4,0)，F 2(4,0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，并且|F 1B |＋|F 2B |＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列． (1)求椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标．解析：(1)由题意可知2a ＝|F 1B |＋|F 2B |＝10. 所以a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为：x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得|F 2B |＝|y B |＝95.由|F 2A |，|F 2B |，|F 2C |成等差数列，得 (x 1－4)2＋y 21＋ (x 2－4)2＋y 22＝2×95，①点A (x 1，y 1)在椭圆x 2125＋y 219＝1上，得y 21＝925(25－x 21)，所以 (x 1－4)2＋y 21 ＝x 21－8x 1＋16＋925(25－x 21)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－45x 12＝15(25－4x 1)，② 同理可得 (x 2－4)2＋y 22＝15(25－4x 2)，③将②③代入①式，得15(25－4x 1)＋15(25－4x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，设AC 中点坐标为(x 0，y 0)，则横坐标x 0＝x 1＋x 22＝4.18．(2019·合肥质检)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，且△PF 1F 2的面积为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围．解析：(1)由椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，且△PF 1F 2的面积为22，得1a 2＋12b 2＝1，且12×2c ×22＝22，即c ＝1. 又a 2－b 2＝c 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若直线l 的斜率不存在，可得点A ，B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，则F 2A →·F 2B →＝72.当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 则Δ＝16k 4－8(1＋2k 2)(k 2－1)＝8k 2＋8>0恒成立．所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－11＋2k 2＝72－92(1＋2k 2). 又k 2≥0，则F 2A →·F 2B →＝72－92(2k 2＋1)∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，72. 综上可知，F 2A →·F 2B →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，72.增分强化练(三十一)考点一范围、最值问题(2019·大连模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，l 1与l 2交于点M . (1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程为：y ＝－p2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2. (2)抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y ，所以x 2－4kx －4m ＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1.即l ：y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214y ＝x 22x －x224，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k y ＝－1，即M (2k ，－1)，M 点到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝2|k 2＋1|1＋k 2， |AB |＝(1＋k 2)[](x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×2|k 2＋1|1＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当k ＝0时，△MAB 面积取得最小值4. 考点二定点、定值问题(2019·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点M 在C 的长轴上运动，过点M 且斜率大于0的直线l 与C 交于P ，Q 两点，与y 轴交于N 点．当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当N ，P ，Q ，M 均不重合时，记NP →＝λNQ →，MP →＝μMQ →，若λμ＝1，求证：直线l 的斜率为定值．解析：(1)因为当M 为C 的右焦点且l 的倾斜角为π6时，N ，P 重合，|PM |＝2，所以a ＝|PM |＝2，故b c ＝tan π6＝33，因为a 2＝b 2＋c 2，因此c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设l ：x ＝ty ＋m (m ≠0)，所以M (m,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m t ，所以k l ＝1t .因为斜率大于0，所以t >0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则NP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋m t ，NQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋m t ，由NP →＝λNQ →得，x 1＝λx 2，①同理可得y 1＝μy 2，②①②两式相乘得，x 1y 1＝λμx 2y 2，又λμ＝1，所以x 1y 1＝x 2y 2，所以(ty 1＋m )y 1＝(ty 2＋m )y 2，即t (y 21－y 22)＝m (y 2－y 1)，即(y 2－y 1)[]m ＋t (y 1＋y 2)＝0，由题意k l >0，知y 1－y 2≠0，所以m ＋t (y 1＋y 2)＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋m x 24＋y 2＝1，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，依题意，y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，所以m －2t 2mt 2＋4＝0，又m ≠0，所以t 2＝4，因为t >0，故得t ＝2，所以k l ＝1t ＝12，即直线l 的斜率为12.考点三存在性问题已知抛物线y 2＝4x ，过点P (8，－4)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点．(1)当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当P 恰为AB 的中点时，显然x 1≠x 2，故k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝－8，故k AB ＝－12，则直线l 的方程为y ＝－12x . (2)假设存在定点Q ，设Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －8)－4(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝k (x －8)－4，整理得ky 2－4y －32k －16＝0，Δ>0，y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－32－16k，由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知QA →·QB →＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－y 204＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)16＋1(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，故(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋16＝0，整理得(y 20－16)k ＋4(y 0－4)＝0，即当y 0＝4时，恒有QA →·QB →＝0，故存在定点Q (4,4)满足题意；当直线l 斜率不存在时，l ：x ＝8，不妨令A (8,42)，B (8，－42)，Q (4,4)，也满足QA →·QB→＝0，综上所述，存在定点Q (4,4)，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q .。

(全国通用版)2020高考数学二轮复习 12+4标准练1 文

12＋4标准练11．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<ln x <2}，则A ∩B 的真子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 答案 C解析 A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4≤0}＝{x ∈Z |－1≤x ≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B ＝{x |0<ln x <2}＝{x |1<x <e 2}，所以A ∩B ＝{2,3,4}，所以A ∩B 的真子集有23－1＝7(个)．2．设复数z ＝1－2i(i 是虚数单位)，则|z ＋z |的值为( ) A ．3 2 B ．2 C ．1 D ．2 2 答案 B解析 ∵z ＋z ＝2，∴|z ＋z |＝2. 3．“p ∧q 为假”是“p ∨q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由“p ∧q 为假”得出p ，q 中至少有一个为假．当p ，q 为一假一真时，p ∨q 为真，充分性不成立；当“p ∨q 为假”时，p ，q 同时为假，所以p ∧q 为假，必要性成立．4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n (n 为常数)盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏 B ．3盏 C ．26盏 D ．27盏答案 C解析设顶层有灯a 1盏，底层有灯a 9盏，灯数构成等差数列，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝13a 1，9(a 9＋a 1)2＝126，解得a 9＝26.5．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝－x3＋y 的最大值为( )A ．－143B ．－2 C.43 D ．4答案 C解析如图阴影部分所示，作出的可行域为三角形(包括边界)，把z ＝－x 3＋y 改写为y ＝x3＋z ，当且仅当动直线y ＝x3＋z 过点(2,2)时，z 取得最大值43.6．如图是一个程序框图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是( )A ．9≤a <10B ．9<a ≤10C ．10<a ≤11D ．8<a ≤9答案 B解析依次运行程序框图，结果如下：S ＝13，n ＝12；S ＝25，n ＝11；S ＝36，n ＝10；S ＝46，n ＝9，此时退出循环，所以a 的取值范围是9<a ≤10.7．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4 答案 B解析因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y ＝±x ，所以a ＝b . 因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以a12＋12＝1，即22a ＝1，所以a ＝b ＝2，双曲线C 的方程为x22－y22＝1，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b ＝ 2.8．已知数据x 1，x 2，…，x 10，2的平均数为2，方差为1，则数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据( ) A ．一样稳定 B ．变得比较稳定 C ．变得比较不稳定 D ．稳定性不可以判断答案 C解析因为数据x 1，x 2，…，x 10，2的平均数为2，所以数据x 1，x 2，…，x 10的平均数也为2，因为数据x 1，x 2，…，x 10，2的方差为1，所以111⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤∑i ＝110(x i －2)2＋(2－2)2＝1，所以∑i ＝110(x i －2)2＝11，所以数据x 1，x 2，…，x 10的方差为110∑i ＝110 (x i －2)2＝1.1.因为1.1>1，所以数据x 1，x 2，…，x 10相对于原数据变得比较不稳定．9．设a n 表示正整数n 的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列{a n }的前n 项和为S n ，那么21n S -等于( ) A ．2n ＋1－n －2 B ．2n －1＋23·4n －1－23C ．2n－n D ．2n＋n －2答案 B解析由已知得，当n 为偶数时，a n ＝2n a ，当n 为奇数时，a n ＝1＋n2.因为21n S －＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋21n a －，所以121n S ＋－＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋121n a ＋－＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋121n a ＋－)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋122n a ＋－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＋32＋1＋52＋…＋1＋2n ＋1－12＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋21n a －)＝(1＋2＋3＋ (2))＋(a 1＋a 2＋a 3＋…＋21n a －)＝(1＋2n )2n2＋21n S －＝12(2n ＋4n)＋21n S －，即121n S ＋－＝12(2n ＋4n)＋21n S －，所以21n S －＝12(4n －1＋2n －1)＋12(4n －2＋2n －2)＋…＋12(41＋21)＋121S －＝2n －1＋23·4n －1－23. 10．过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝54m ，则m等于( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析因为y 2＝mx ，所以焦点到准线的距离p ＝m2，设P ，Q 的横坐标分别是x 1，x 2，则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.因为|PQ |＝54m ，所以x 1＋x 2＋p ＝54m ，即6＋m 2＝54m ，解得m ＝8.11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,1，12，则此三棱锥外接球的表面积为( )A.174πB.214π C．4π D．5π 答案 B解析由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个顶点，即为三棱锥A －CB 1D 1，且长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别为2,1，12，所以此三棱锥的外接球即为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，半径R ＝22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＝214，所以三棱锥外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫2142＝214π. 12．已知点P 是曲线y ＝sin x ＋ln x 上任意一点，记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k ，则下列一定成立的为( ) A ．k <－1 B ．k <0 C ．k <1 D ．k ≥1答案 C解析任意取x 为一正实数，一方面y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1，另一方面容易证ln x ＋1≤x 成立，所以y ＝sin x ＋ln x ≤x .因为y ＝sin x ＋ln x ≤ln x ＋1与ln x ＋1≤x 中两个等号成立的条件不一样，所以y ＝sin x ＋ln x <x 恒成立，所以k <1，所以排除D ；当π2≤x <π时，y ＝sin x ＋ln x >0，所以k >0，所以排除A ，B.13．已知a ＝(1,2m －1)，b ＝(2－m ，－2)，若向量a ∥b ，则实数m 的值为________．答案 0或52解析因为向量a ∥b ，所以(2m －1)(2－m )＝－2，所以m ＝0或m ＝52.14．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为________．答案 12解析从5条对角线中任意取出2条，共有10个基本事件，其中取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的有5个，所以取出的两条对角线为同一个等腰三角形的两腰的概率为510＝12.15．设函数f (x )＝x a －x 2－12对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≤0成立，则实数a ＝________.答案 1 解析一方面，由a －x 2≥0对任意x ∈[－1,1]恒成立，得a ≥1；另一方面，由f (x )＝x a －x 2－12≤x 2＋a －x 22－12≤0，得a ≤1，所以a ＝1.16．若对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π3的值为________．答案 2解析因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，①所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，②①＋②得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f (x ＋π)＝f (x )，所以T ＝π，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 在f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6中，令x ＝π6，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，因为f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫100π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2.。

全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程基础保分强化训练四(理科)

基础保分强化训练(四)1．集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．[0,4] D ．(0,4)答案 B解析当a <0时，集合A ＝∅，满足题意；当a ≥0时，A ＝[－a ，a ]，若A ⊆B ，则a <2，所以0≤a ＜4，所以a ∈(－∞，4)，故选B.2．已知复数z 满足z ＋|z|＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i答案 D解析设z ＝a ＋bi ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2×12，得k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A.4．将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是( )A.25B.35C.12D.34 答案 C解析将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P ＝36＝12.故选C.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.49答案 A解析如图，∵AP →＝2PM →，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2，∵AM ＝1且AP →＝2PM →，∴|PA →|＝23，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.6．下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |C ．y ＝－x 3D ．y ＝ln (x 2＋1＋x )答案 D解析 sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；|－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；ln ((－x )2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln (x 2＋1＋x )，则y ＝ln (x 2＋1＋x )为奇函数；当x ≥0时，x 2＋1＋x 单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln (x 2＋1＋x ) 在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D.7．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3答案 A解析由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.8．已知平面区域Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，Ω2：x 2＋y 2≤9，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析平面区域Ω2：x 2＋y 2≤9，表示圆以及内部部分； Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0的可行域如图三角形区域：则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的充分不必要条件．故选A.9．若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112 B.52 C.12 D.32答案 B解析函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.10．设a ＝log 43，b ＝log 52，c ＝log 85，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b 答案 B解析 ∵a ＝log 43＝log 6427＝lg 27lg 64，c ＝log 85＝log 6425＝lg 25lg 64，∴log 43>log 85，即a >c ，∵2<5，5>8，∴c ＝log 85>log 88＝12，b ＝log 52<log 55＝12，∴log 85>log 52，即c >b ，∴log 43>log 85>log 52，即a >c >b .故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x答案 D解析根据题意，连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x ＋2a ，△ABF 2的面积为3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得3a 2＝12x ·(x ＋2a )·32，化简得x 2＋2ax －4a 2＝0，解得x ＝(5－1)a ，x ＝(－5－1)a (舍去)．所以|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|·cos120°，即(2c )2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)a ·(5＋1)a cos120°，化简可得c 2＝4a 2，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得b 2＝3a 2，即ba＝±3，所以渐近线方程为y＝±3x，所以选D.12．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x<0，ln x，x>0，则f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫1e＝________.答案1e解析∵f⎝⎛⎭⎪⎫1e＝ln1e＝－1，∴f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f⎝⎛⎭⎪⎫1e＝f(－1)＝e－1＝1e.13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________ m．(取2＝1.4，3＝1.7)答案2650解析如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000.又在△ABC中，BCsin∠A＝ABsin∠ACB，∴BC＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500×(6－2)×22＝10500×(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．14．将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n＝2b n －1，则a 56＝________.答案 1024解析当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n (n －1)2＋1，由c n ＝n (n －1)2＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1024.。

(全国通用)2020版高考数学二轮复习专题提分教程基础保分强化训练(三)理(最新整理)

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基础保分强化训练（三)1．已知错误!＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )A．－错误!－错误!i B．－错误!＋错误!iC.错误!－错误!i D。

错误!＋错误!i答案B解析∵错误!＝（1＋i）2，∴z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!－错误!i，∴错误!＝－错误!＋错误!i。

故选B。

2．设命题p：∀x∈R,x3－x2＋1≤0，则p为( )A．∃x∈R，x3－x2＋1〉0 B．∀x∈R，x3－x2＋1>0C．∃x∈R,x3－x2＋1≤0 D．∀x∈R，x3－x2＋1≥0答案A解析∵命题p：∀x∈R，x3－x2＋1≤0，∴p为∃x∈R,x3－x2＋1〉0.故选A.3．已知集合A＝{x∈Z|x2－4x<0}，B＝｛x∈Z|0〈log5x<1}，则A∩B＝( )A．｛x|0<x<5｝B．{x|1<x<4｝C．{2，3｝D．{1，2,3,4｝答案C解析因为A＝｛x∈Z｜x2－4x〈0}，所以A＝｛1，2,3}，因为B＝{x∈Z|0<log5x〈1}，所以B＝{2,3，4}，根据集合交集运算，可得A∩B＝{2，3｝,所以选C。

4．执行如图所示的程序框图,若输出结果为1，则可输入的实数x的值的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析根据题意，该框图的含义是:当x≤2时，得到函数y＝x2－1；当x>2时,得到函数y＝log2x。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版考前强化练：2 客观题12+4标准练：B

A.1
B.2
C.3
D.4
3.
(2019 四川内江高三三模,理 5)设随机变量 X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10 000 个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
[注:若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 4]
4
��
��
��
��
∴g(x)>g 4 ,则有|x|<4,即不等式的解集为 -4,0 ∪ 0,4 ,故选 C.
12.A 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,
当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时,目标函数
��1
几何概型可得概率为 P= �� =0.658 7,所以落入阴影部分的点的个数的估计值是 10 000×0.658 7=6 587,故选 C.
1
4.A 解析函数 y=f(x)=xsin x+��2是偶函数,其图象关于 y 轴对称,选项 C、D 错误;令 x=1, 可得 y=sin 1+1>0,故选项 B 错误.故选 A.
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
��2 + ��2 6.(2019 晋冀鲁豫中原名校高三三联,理 10)已知椭圆��2 ��2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且|PF1|∶|PQ|∶|QF1|=2∶3∶4,则椭圆的离心率为( )

(通用版)2020版高考数学大二轮复习考前强化练4客观题124标准练D文

考前强化练4 客观题12+4标准练D一、选择题1.(2019山西临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三联考,理2)复数的共轭复数在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2019河北邢台二中二模,理1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B的真子集个数为() A.0 B.1 C.2 D.3=5,则=()3.(2019湖北武汉高三调研,文3)若角α满足-A. B. C.5或 D.54.(2019辽宁丹东高三质检二,文7)据中国古代数学名著《九章算术》中记载,公元前344年,先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),其体积为12.6立方寸.若取圆周率π=3,则图中的x值为()A.1.5B.2C.3D.3.15.若数列{a n}是正项数列,且+…+=n2+n,则a1++…+等于()A.2n2+2nB.n2+2nC.2n2+nD.2(n2+2n)6.将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,上为增函数,则ω的最大值为()A.2B.4C.6D.87.(2019陕西宝鸡中学高三二模,文6)设D为椭圆x2+=1上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为()A.x2+(y-2)2=20B.x2+(y-2)2=5C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+2)2=58.如图是计算函数y=---的值的程序框图,则在①②③处应分别填入的是()A.y=-x,y=0,y=x2B.y=-x,y=x2,y=0C.y=0,y=x2,y=-xD.y=0,y=-x,y=x29.设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=9,a2为整数,且S n≤S5,则数列的前9项和为()A.-B.-C.-9D.810.已知函数f(x)=e x+-ln x的极值点为x1,函数g(x)=e x+x-2的零点为x2,函数h(x)=的最大值为x3,则()A.x1>x2>x3B.x2>x1>x3C.x3>x1>x2D.x3>x2>x111.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.+112.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是()A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)二、填空题13.已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在m-n方向上的投影为.14.长郡中学某次高三文数周测,张老师宣布这次考试的前五名是:邓清、武琳、三喜、建业、梅红,然后让五人分别猜彼此名次.邓清:三喜第二,建业第三;武琳:梅红第二,邓清第四;三喜:邓清第一,武琳第五;建业:梅红第三,武琳第四;梅红:建业第二,三喜第五.张老师说:每人的两句话都是一真一假,已知张老师的话是真的,则五个人从一到五的排名次序为.15.(2019山东济宁高三二模,文16)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在体积为36π的球面上,其中PA⊥平面ABC,底面ABC为正三角形,则三棱锥P-ABC体积的最大值为.16.P为双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且=0,直线PF2交y轴于点A,则△AF1P的内切圆半径为.参考答案考前强化练4客观题12+4标准练D1.A解析因为z=-i,所以i,故选A.2.D解析集合A中,x2+y2=1,表示以原点为圆心,1为半径的圆,集合B中y=x,表示一条直线,在同一个坐标系中画出图象,得到两函数有两个交点,则A∩B真子集的个数是22-1=3.故选D.=5,∴-=5,故选D.3.D解析∵--4.C解析由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和一个长方体组合而成,由题意可知,12.6=π×2×1.6+(5.4-1.6)×1×x,解得x=3.5.A解析∵+…+=n2+n,∴n=1时,=2,解得a1=4.=(n-1)2+n-1,n≥ 时,+…+-相减可得=2n,∴a n=4n2.n=1时也满足.∴=4n.则a1++…+=4(1+2+…+n)=4×=2n2+2n.故选A.6.C解析f(x)=cos2sin-2cos+=sinωx-2=sinωx-cosωx=2sinωx-,f(x)的图象向左平移个单位长度,得y=2sinωx+-的图象,∴函数y=g(x)=2sinωx.又y=g(x)在0,上为增函数,∴,即,解得ω≤6 所以ω的最大值为6.7.C解析由题意得|PA|=|PD|+|DA|=|DB|+|DA|,又点D为椭圆x2+=1上任意一点,且A(0,-2),B(0,2)为椭圆的两个焦点,∴|DB|+|DA|=2,∴|PA|=2,故点P的轨迹是以点A为圆心,半径为2 的圆,故点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=20.故选C.8.B解析由题意及框图可知,在①应填“y=-x”;在②应填“y=x2”;在③应填“y= ”.9.A解析由题意S n=n2+a1-n=n2+9-n,d<0,d∈Z,对称轴n=,当d=-1时,对称轴n=,不满足S n≤S5,若d=-2,对称轴n=5满足题意,∴d=-2,a n=a1+(n-1)×(-2)=11-2n,而=-,∴前9项和为+…+=-++…+=-=---=-.10.A解析∵f'(x)=e x+x-在(0,+∞)上单调递增,且f'=>0,f'=<0,∴x1∈且 +x1-=0.∵函数g(x)=e x+x-2在(0,+∞)上单调递增,且g=>0,g=-2<0,∴x2∈.又g(x1)=+x1-2=-x1+x1-2=-2>0=g(x2),且g(x)单调递增,∴x1>x2.由h'(x)=-,可得h(x)max=h(e)=,即x3=,∴x1>x2>x3.故选A.11.D解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线方程为x=-,∵准线经过双曲线的左焦点,∴c=.∵点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,∴M的横坐标为,代入抛物线方程,可得M的纵坐标为±p.将M的坐标代入双曲线方程,可得=1, ∴a=-p,∴e=1+.故选D.12.B解析根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t≥ 则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为t=,①若m≥ 则Δ=m2+32>0,满足方程有解;②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥ 时有解,则需:解得- ≤m<4.--综上得实数m的取值范围为[-2,+∞).13.-解析∵向量m=(1,2),n=(2,3),∴m-n=(-1,-1).∴m·(m-n)=-1-2=-3,=-.则m在m-n方向上的投影为·--14.邓清、梅红、建业、武琳、三喜解析假设邓清说话中“三喜第二为真,建业第三为假” 则梅红说话中“建业第二为真,三喜第五为假” 这与邓清说话中“三喜第二为真,建业第三为假”矛盾,所以邓清说话中“三喜第二为假,建业第三为真”.则梅红说话中“建业第二为假,三喜第五为真” 进而三喜说话中“邓清第一为真,武琳第五为假” 从而武琳说话中“梅红第二为真,邓清第四为假” 推出建业说话中“梅红第三为假,武琳第四为真”.15.9解析由球的体积公式可得πR3=36π,解得R=3.不妨设底面正三角形的边长为2a,则S△ABC=·2 ·2 · 6 °=a2.设棱锥的高为h,由三棱锥的性质可得R2=a2+2=9,解得h2=36- 6a2,据此可得:h2-△= ·3a 4·36- 6a 2= 6·12-6≤6·- 63=6 ×64=81.故 -≤ V P-ABC ≤ 当且仅当 =12- 6 a 2,a 2=时等号成立. 综上可得,三棱锥P-ABC 体积的最大值为9. 16.2 解析∵PF 1⊥PF 2,△APF 1的内切圆半径为r ,∴|PF 1|+|PA|-|AF 1|=2r , ∴|PF 2|+2a+|PA|-|AF 1|=2r , ∴|AF 2|-|AF 1|=2r-4,∵由图形的对称性知:|AF 2|=|AF 1|, ∴r=2.。

(通用版)2020版高考数学大二轮复习考前强化练3客观题124标准练C文

考前强化练3 客观题12+4标准练C一、选择题1.(2019湖南师范大学附中高三三模,文1)已知集合A={1,2},集合B={0,2},设集合C={z|z=xy,x∈A,y∈B},则下列结论中正确的是()A.A∩C=⌀B.A∪C=CC.B∩C=BD.A∪B=C2.(2019黑龙江哈尔滨三中高三二模)如果复数-(a∈R,i为虚数单位)的实部与虚部相等,则a的值为()A.1B.-1C.3D.-33.(2019云南昆明高三四模,文4)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S7=21,则a4=()A.0B.2C.3D.64.设m∈R,则“m=1”是“f(x)=m·2x+2-x为偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019四川成都七中高三模拟,文10)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.48+8B.40+8C.48+8D.44+8z=x+y的6.(2019河北省级示范性高中高三联考,文10)已知m>0,设x,y满足约束条件--最大值与最小值的比值为k,则()A.k为定值-1B.k不是定值,且k<-2C.k为定值-2D.k不是定值,且-2<k<-17.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然前于他1米 …… 所以,阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离为()A.-B.-C.-D.-8.(2019广西南宁高三二模,文5)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”,即输出值是输入值的,则输入的x=()A. B.7.08×10-4C. D.9.Rt△AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,△AOB的面积是16,抛物线的焦点为F,若M是抛物线上的动点,则的最大值为()A. B. C. D.10.已知函数f(x)=x2-2x cos x,则下列关于f(x)的表述正确的是()A.f(x)的图象关于y轴对称B.f(x)的最小值为-1C.f(x)有4个零点D.f(x)有无数个极值点11.(2019山东潍坊高三三模,文10)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是△BDC1内(不含边界)的一个动点,若A1P⊥BC1,则线段A1P的长的取值范围为()A. B.C.,2D.(,2)12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+2e)=-f(x)(其中e=2.718 28),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为()A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(b)>f(c)>f(a)C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)二、填空题13.(2019河北石家庄高三适应性考试,文13)已知向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(2,3),则c在a+b上的投影是.14.若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则-的最大值为.15.抛物线y2=2ax(a>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于M,N两点,若∠MFN= ° 则a= .16.函数f(x)=sin x(sin x+cos x)-在区间,aπ(0<a<1)上有且仅有一个零点,则实数a的取值范围是.参考答案考前强化练3客观题12+4标准练C1.C解析由题设,C={0,2,4},则B⊆C,故B∩C=B,故选C.--,由题意知:-=-,解得a=-3.故选D.2.D解析----3.C解析因为{a n}是等差数列,由S7==21,得a1+a7=6,故2a4=6,故a4=3,故选C.4.C解析如果f(x)=m·2x+2-x为偶函数,则f(-x)=f(x),∴m·2-x+2x=m·2x+2-x,∴m(2-x-2x)=2-x-2x,∴(m-1)(2-x-2x)=0.∴m=1.所以“m= ”是“f(x)=m·2x+2-x为偶函数”的充要条件.故选C.5.C解析由三视图知,该几何体的直观图为多面体EFGD-CBA,如图所示.其中四边形ABCD是边长为4的正方形,所以S ABCD=16,四边形EBAF和GDAF为全等的直角梯形,所以S EBAF=×4=12,S△BCE=S△DCG=4,四边形ECGF是菱形,其对角线长分别为4 和4,所以S ECGF=×4×4=8,所以该几何体的表面积为4×2+16+2×12+8=48+8,故选C.的可行域如图所示.6.C解析画出m>0,x,y满足约束条件--当直线z=x+y经过点A(2,m+4),z取得最大值,当直线经过B-1-,-2时,z取得最小值,故k=--=-2,为定值,故选C.7.B解析根据条件,乌龟每次爬行的距离构成等比数列,公比为,当阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离为100+10+…+10-2=---.故选B.8.C解析当i=1时,x=2x-1;当i=2时,x=2(2x-1)-1=4x-3;当i=3时,x=2(4x-3)-1=8x-7;当i=4时,退出循环.此时,8x-7=x,解得x=.故选C.9.C解析因抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,由题意点A,B关于x轴对称,S△AOB=OA2=16,∴OA=4,点A的坐标为(4,4),代入抛物线方程得p=2,焦点F(1,0),设M(m,n),则n2=4m,m>0,设M到准线x=-1的距离等于d,则.令m+1=t,t>1,则--(当且仅当t=3时,等号成立).故的最大值为.10.D解析对于A,f(-x ≠f(x),故A错误;对于B,问题转化为x2+1=2x cos x有解,即x+=2cos x有解,x+min=2,当x=1时,2cos1<2,故方程无解,故B错误;对于C,问题等价于x=2cos x有三个解,画出y=x,y=2cos x的图象,两图象只有一个交点,故C错;对于D,f'(x)=2x-2(cos x-x sin x)=2x(1+sin x)-2cos x,结合题意2x(1+sin x)-2cos x=0,即x=,而-=tan ,∴f(x)有无数个极值点,故选D.11.C解析由正方体的性质可知,A1-BDC1是正四面体,且正四面体的棱长为2,P在△BDC1内,A1P 的最大值为A1C1=A1B=A1D=2,A1P的最小值是A1到平面BDC1的距离,设A1在平面BDC1的射影为H,则H为正三角形BDC1的中心,BH=,A1H=--,故A1P的最小值为.又因为P不在三角形BDC1的边上,所以A1P的范围是,2,故选C.12.A解析∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=-f(x),∴f(x+2e)=f(-x).∴f(x)的图象关于直线x=e对称.∵f(x)在区间[e,2e]上是减函数,∴f(x)在区间[0,e]上是增函数.令y=,则y'=-,∴y=在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减.∴a==c>0,a-b=--<0,a-c=-->0,∴0<c<a<b<e,∴f(b)>f(a)>f(c).13.-解析由题意,向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(2,3),则a+b=(-2,1),所以(a+b)·c=(-2,1)·(2,3)=-4+3=-1,|c|=,|a+b|=,所以c在a+b上的投影是·=-.14.解析实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则xy=2,则--------·-,当且仅当x-y=-,即x-y=2时取等号,故-的最大值为,故答案为.15.解析抛物线y2=2ax(a>0)的焦点为F,0,准线方程为x=-,代入双曲线的方程可得y2=4 1+=4+,可设M-,可得tan∠=ta °=,解得a=.16.∪,1解析f(x)=sin x(sin x+cos x)-=sin2x+sin x cos x-cos2x+sin2x-sin2x-.令f(x)=0,则2x-=kπ,解得x=π+,k∈Z,当k=0时,x=,此时<aπ,解得<a<;当k=1时,x=,此时<aπ,解得<a<1.综上实数a的取值范围是∪,1.。

(全国通用版)2020版高考数学大二轮复习考前强化练仿真模拟练理

仿真模拟练(限时120分钟,满分150分)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2-x-6<0},则P∩Q等于()A.{1,2,3}B.{1,2}C.[1,2]D.[1,3)2.若i z=-1+i,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设曲线C是双曲线,则“C的方程为x2-=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若2m>2n>1,则()A. B.lo m>lo nC.ln(m-n)>0D.πm-n>15.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为()A. B. C. D.6.我们可以用随机模拟的方法估计π的值,如图示程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数,它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为786,则由此可估计π的近似值为()A.3.126B.3.144C.3.213D.3.1517.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图象()A.关于点-,0对称B.关于点,0对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=-对称8.《中国诗词大会》亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.因为前四场播出后反响很好,所以节目组决定将《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有()A.144种B.48种C.36种D.72种9.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,若|AF|+|BF|=6,点M与直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,B.0,C.,1D.,110.已知变量x,y满足条件则目标函数z=的最大值为()A. B.1 C. D.11.如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,H为EF的中点,沿AE,EF,FA将正方形折起,使B,C,D重合于点O,在构成的四面体A-OEF中,下列结论中错误的是()A.AO⊥平面EOFB.直线AH与平面EOF所成的角的正切值为2C.异面直线OH和AE所成的角为60°D.四面体A-OEF的外接球表面积为6π12.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意的实数x都有f'(x)=e-x(2x+3)-f(x)(e是自然对数的底数),且f(0)=1,若关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是()A.(-e,0]B.[-e2,0)C.[-e,0)D.(-e2,0]二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(2x+1)1-6的展开式中的常数项是.14.已知数列{a n}的首项为3,等比数列{b n}满足b n=,且b1 009=1,则a2 018的值为.15.如图,在平面四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=60°,∠D=150°,AB=2BC=4,则四边形ABCD的面积为.16.如图所示,将一圆的八个等分点分成相间的两组,连接每组的四个点得到两个正方形,去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一个正八角星.设正八角星的中心为O,并且=e1,=e2,若将点O到正八角星16个顶点的向量都写成λe1+μe2,λ,μ∈R的形式,则λ+μ的取值范围为.三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(2018山东临沂三模,理17)已知等差数列{a n}的n项和为S n,a1=3,公差d>0,且a1,a3-1,a5+1成等比数列.(1)求S n;(2)若数列{b n}的前n项和为T n,且b n+b n+1=,求T2n.18.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,O为AB中点,平面POC⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求二面角O-PD-C的余弦值.19.1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日,主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们,都能享受阅读带来的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们,都能保护知识产权.”为了解大学生课外阅读情况,现从某高校随机抽取100名学生,将他们一年课外阅读量(单位:本)的数据,分成7组[20,30),[30,40),…,[80,90),并整理得到如图频率分布直方图:(1)估计其阅读量小于60本的人数;(2)已知阅读量在[20,30),[30,40),[40,50)内的学生人数比为2∶3∶5.为了解学生阅读课外书的情况,现从阅读量在[20,40)内的学生中随机选取3人进行调查座谈,用X表示所选学生阅读量在[20,30)内的人数,求X的分布列和数学期望;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第几组(只需写出结论).20.椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,与y轴正半轴交于点B,若△BF1F2为等腰直角三角形,且直线BF1被圆x2+y2=b2所截得的弦长为2.(1)求椭圆的方程;(2)直线l与椭圆交于点A,C,线段AC的中点为M,射线MO与椭圆交于点P,点O为△PAC的重心,探求△PAC的面积S是否为定值,若是求出这个值,若不是,求S的取值范围.21.设函数f(x)=x-ln(x+).(1)探究函数f(x)的单调性;(2)若x≥0时,恒有f(x)≤ax3,试求a的取值范围;(3)令a n=6n+ln 2n+(n∈N*),试证明:a1+a2+…+a n<.22.在直角坐标系xOy中,直线l的方程是x=2,曲线C的参数方程为(α为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)射线OM:θ=β其中0<β≤与曲线C交于O,P两点,与直线l交于点M,求的取值范围.23.设函数f(x)=|2x-1|.(1)设f(x)+f(x+1)<5的解集为A,求集合A;(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数,且a+b+c=m(其中a,b,c为正实数),求证:≥8.参考答案仿真模拟练1.B解析∵P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q=(-2,3),∴P∩Q={1,2}.故选B.2.D解析由i z=-1+i,得z==1+i,=1-i,∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限,故选D.3.A解析若C的方程为x2-=1,则a=1,b=2,渐近线方程为y=±x,即为y=±2x,充分性成立.若渐近线方程为y=±2x,则双曲线方程为x2-=λ(λ≠0),∴“C的方程为x2-=1”是“C的渐近线方程为y=±2x”的充分而不必要条件,故选A.4.D解析∵2m>2n>1,∴m>n>0,可排除选项A,B;当1>m-n>0时,选项C错误;由m>n>0得m-n>0,∴πm-n>1,选项D正确.5.D解析从三视图中提供的图形信息与数据信息可知:该几何体的底面是圆心角为的扇形,高是4的圆锥体.容易算得底面面积S=4=,所以其体积V=4×4=,故选D.6.B解析任意(x,y)落在边长为1的正方形内,满足x2+y2<1的点在四分之一圆,∴x2+y2<1发生的概率为P=,当输出结果m=786时,x2+y2<1发生的概率为P=,,即π=3.144,故选B.7.B解析因为函数y=f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为,所以函数的周期为,∴ω==4,∴f(x)=sin(4x+φ),将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后,得到函数y=sin4x++φ的图象,∵图象关于y 轴对称,∴4+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=sin4x-,令4x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,k=0时,得f(x)的图象关于点,0对称,令4x-=kπ+,k∈Z可验证C,D两项均错误.故选B.8.C解析将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有=6种排法,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排),有=6种排法,则后六场的排法有6×6=36种,故选C.9.B解析可设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',根据椭圆的对称性可得四边形AFBF'是平行四边形,∴6=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a,∴a=3,取M(0,b),∵点M到直线l的距离不小于,,解得b≥2,e2=,∴e,∴椭圆E的离心率的取值范围是0,,故选B.10.C解析作出表示的可行域,如图所示.变形目标函数,z===2cos θ,其中θ为向量a=(,-1)与b=(x,y)的夹角,由图可知,b=(2,0)时θ有最小值,b=(x,y)在直线y=x上时,θ有最大值,即,∴z≤2cos,目标函数z=的最大值为,故选C.11.C解析如下图,翻折前,AB⊥BE,AD⊥DF,故翻折后,OA⊥OE,OA⊥OF,又OE∩OF=O,∴OA⊥平面EOF.故A正确;连接OH,AH,则∠OHA为AH与平面EOF所成的角,∵OE=OF=1,H是EF的中点,OE⊥OF,∴OH=EF=又OA=2,∴tan∠OHA==2,故B正确;取AF的中点P,连接OP,HP,则PH∥AE,∴∠OHP为异面直线OH和AE所成角,∵OE=OF=1,OA=2,∴OP=AF=,PH=AE=,OH=EF=,∴cos∠OHP=,故C错误;由OA,OE,OF两两垂直可得棱锥的外接球也是棱长为1,1,2的长方体的外接球,∴外接球的半径r=,故外接球的表面积为S=4πr2=6π,故D正确.故选C.12.A解析由题意可知,[f(x)+f'(x)]e x=2x+3,即[f(x)e x]'=2x+3,∴f(x)e x=x2+3x+C,f(0)=1⇒C=1,∴f(x)=(x2+3x+1)e-x,由f(x)可以知道f'(x)=-e-x(x2+x-2),f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上递减,在(-2,1)上递增,∴f(x)有极小值f(-2),f(-2)=-e2,f(-1)=-e,f(-3)=e2,且x>1时,f(x)>0,结合f(x)图象,要使关于x的不等式f(x)-m<0的解集中恰有两个整数,则f(-1)<m≤0,即-e<m≤0,∴实数m的取值范围是(-e,0],故选A.13.-11解析1-6的展开式通项为T r+1=(-1)r x-r,∴1-6展开式中的常数项为1,x-1项的系数为-=-6,∴(2x+1)1-6的展开式中的常数项是2×(-6)+1=-11,故答案为-11. 14.3解析∵b n=,且a1=1,∴b1=,b2=,…,b n-1=,相乘可得=b1b2…b n-1,=b1b2…b2 017=(b1b2 017)·(b2b2 016)…(b1 008b1 010), ∵b1 009=1,(b1b2 017)=(b2b2 016)=…=(b1 008b1 010)==1,=1,a2 018=3,故答案为3.15.6-解析连接AC,在△ABC中,AB=2BC=4,∠B=60°,利用余弦定理得:AC2=BC2+AB2-2BC·AB·cos∠B,解得AC=2,∴AB2=AC2+BC2,则△ABC是直角三角形,∴∠DAC=∠DCA=15°,过点D作DE⊥AC,则AE=AC=,∴DE=tan 15°AE=(2-)=2-3,则S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=6-3+2=6-,故答案为6-16.[-1-,1+]解析以O为原点,以OA为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,设圆O的半径为1,则OM=1,过M作MN∥OB,交x轴于N,则△OMN为等腰三角形,∴||=|=,,此时λ+μ=1+,同理,此时λ+μ=1+,=-,此时λ+μ=-1-,=-,此时λ+μ=-1-,在顶点A,B,G,H处,λ+μ=±1,∴λ+μ的最大值为1+,最小值为-1-,故答案为[-1-,1+].17.解 (1)∵a1=3,a1,a3-1,a5+1成等比数列,∴(a3-1)2=a1(a5+1),∴(2+2d)2=3(4+4d),∴d2-d-2=0,∴d=-1或d=2,又d>0,∴d=2,∴S n=na1+d=3n+2=n2+2n.(2)∵b n+b n+1=,∴b n+b n+1=,当n=1,3,5,…,2n-1时,有b1+b2=1-,b3+b4=,2019年b5+b6=,…b2n-1+b2n=,∴T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=1-18.(1)证明∵AD∥BC,AB⊥BC,BC=AB=2,AD=3,∴OC=,OD=,CD=,OD2=OC2+DC2,∴OC⊥CD,∴CD⊥平面POC,∴CD⊥PO,∵PA=PB=AB,O为AB中点,∴PO⊥AB,∴PO⊥底面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)解如图,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(-1,3,0),C(1,2,0),=(0,0,),=(-1,3,0),=(-1,-2,),=(-2,1,0), 设平面OPD的一个法向量为m=(x1,y1,z1),平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2),由可得取y1=1,得x1=3,z1=0,即m=(3,1,0),由可得取x2=,得y2=2,z2=5,即n=(,2,5),∴cos<m,n>=故二面角O-PD-C的余弦值为19.解 (1)100-100×10×(0.04+0.02×2)=20(人).(2)由已知条件可知:[20,50)内的人数为:100-100×10(0.04+0.02+0.02+0.01)=10,[20,30)内的人数为2人,[30,40)内的人数为3人,[40,50)内的人数为5人.X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为E(X)=0+1+2(3)估计100名学生该年课外阅读量的平均数在第五组.20.解 (1)由△BF1F2为等腰直角三角形可得b=c,直线BF1:y=x+b被圆x2+y2=b2所截得的弦长为2,所以a=2,b=c=,所以椭圆的方程为=1.(2)若直线l的斜率不存在,则S=3=若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),即得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0.则x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,由题意点O为△PAC重心,设P(x0,y0),则=0,=0,所以x0=-(x1+x2)=,y0=-(y1+y2)=-,代入椭圆=1,得=1,整理得m2=,设坐标原点O到直线l的距离为d,则△PAC的面积S=|AC|·3d=|x1-x2|·3=|x1-x2|·|m|=|m|=|m|=3综上可得△PAC的面积S为定值21.(1)解函数f(x)的定义域为R.由f'(x)=1-0,知f(x)是实数集R上的增函数.(2)解令g(x)=f(x)-ax3=x-ln(x+)-ax3,则g'(x)=,令h(x)=(1-3ax2)-1,则h'(x)=①当a时,h'(x)≤0,从而h(x)是[0,+∞)上的减函数,注意到h(0)=0,则x≥0时,h(x)≤0,所以g'(x)≤0,进而g(x)是[0,+∞)上的减函数,注意到g(0)=0,则x≥0时,g(x)≤0时,即f(x)≤ax3.②当0<a<时,在0,上,总有h'(x)>0,从而知,当x∈0,时,f(x)>ax3;③当a≤0时,h'(x)>0,同理可知f(x)>ax3.综上,所求a的取值范围是,+∞.(3)证明在(2)中,取a=,则x∈0,时,x-ln(x+)>x3,即x3+ln(x+)<x,取x=2n,a n=6n+ln2n+<n,则a1+a2+…+a n<22.解 (1)直线l的极坐标方程是ρcos θ=2,由消参数得x2+(y-2)2=4,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4sin θ.(2)将θ=β分别代入ρ=4sin θ,ρcos θ=2,得|OP|=4sin β,|OM|=,sin 2β,∵0<,∴0<2,∴0<sin 2,的取值范围是0,.23.(1)解f(x)+f(x+1)<5即|2x-1|+|2x+1|<5,当x<-时,不等式化为1-2x-2x-1<5,∴-<x<-;当-x时,不等式化为1-2x+2x+1<5,不等式恒成立;当x>时,不等式化为2x-1+2x+1<5,<x<综上,集合A=(2)证明由(1)知m=1,则a+b+c=1.则,同理,则=8,即M≥8.。

2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版考前强化练：1 客观题12+4标准练：A

2��
A.15
3��B.20 Nhomakorabea2��
C.1-15
3��
D.1-20
6.已知 f(x)=cos xsin2x,下列结论中错误的是( )
A.f(x)既是偶函数又是周期函数
B.f(x)的最大值是 1
��
C.f(x)的图象关于点 2,0 对称
D.f(x)的图象关于直线 x=π 对称
| | 7.若函数 f(x)=
|��|
-
1 ��2
在{1≤|x|≤4,x∈R}上的最大值为
M,最小值为
m,则
M-m=( )
31
A.16
4
11
B.2
C.9
D. 4
8.(2019 湖北黄冈中学高三三模)已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 24π+48,则 r=( )
��2 + ��2
14.已知实数 x,y 满足 �� ≥ 1, 则 z= �� 的最大值为 .
(�� - ��)2 - ��
15.(2019 四川攀枝花高三统考,文 16)已知函数 f(x)= �� (b∈R).若存在 x∈[1,2],使得 f(x)+xf'(x)> 0,则实数 b 的取值范围是 .
∴tan A=5tan B.
�� - ��
tan(A-B)=1 + ��

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考前强化练1 客观题12+4标准练A一、选择题1.(2019河北石家庄高三二模,文2)已知全集U=R,集合A={x|x<1},B={x|-1≤x≤2},则(∁U A)∩B=()A.{x|1<x≤2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|-1≤x<1}D.{x|x≥-1}2.(2019湖南师大附中高三,文3)已知i是虚数单位,复数z满足(2-i)·z=2i-1,则|z|=()A.1B.C.D.53.已知等差数列{a n}的公差为d,且a8+a9+a10=24,则a1·d的最大值为()A.12B.1C.2D.44.(2019广东深圳高三适应性考试,文8)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则的值为()A.-B.11C.1D.15.(2019辽宁沈阳高三质检三,文7)《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是()A.21 B.2C.1-21D.1-26.已知f(x)=cos x sin2x,下列结论中错误的是()A.f(x)既是偶函数又是周期函数B.f(x)的最大值是1,0对称C.f(x)的图象关于点2D.f(x)的图象关于直线x=π对称在{1≤|x|≤ ,x∈R}上的最大值为M,最小值为m,则M-m=()7.若函数f(x)=-12B.2C.D.11A. 118.(2019湖北黄冈中学高三三模)已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为24π+48,则r=()A.1B.2C.3D.49.某三棱锥的三视图如图所示,已知该三棱锥的外接球的表面积为12π,则此三棱锥的体积为()A.4B.C.D.110.(2019河北唐山一中高三三模,文11)已知函数f (x )= 1 2, , 2 , ,若方程f (x )=a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1+x 2)+12的取值范围为( ) A.(-1,+∞) B.(-1,1] C.(-∞,1)D.[-1,1)11.在△ABC 中的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a cos B-b cos A=2c ,则tan(A-B )的最大值为( )A.2B.C.D.12.已知P 为椭圆22 =1上的一个动点,过点P 作圆(x+1)2+y 2=1的两条切线,切点分别是A ,B ,则的取值范围为( )A.2,+∞ B.2C.2 2-3,D.[2 2-3,+∞)二、填空题13.(2019辽宁葫芦岛高三二模,理13)2x-1n(n 为正整数)的展开式中各项的二项式系数之和为128,则其展开式中含x 项的系数是 .14.已知实数x ,y 满足 2 - , 2 - , 1,则z= 2 2的最大值为 .15.(2019四川攀枝花高三统考,文16)已知函数f(x)=-2-(b∈R).若存在x∈[1,2],使得f(x)+xf'(x)>0,则实数b的取值范围是.16.抛物线y2=8x的焦点为F,弦AB过点F,原点为O,抛物线准线与x轴交于点C,∠OFA=2 ,则tan ∠ACB= .参考答案考前强化练1客观题12+4标准练A1.B解析由题意,集合A={x|x<1},B={x|-1≤x≤2},则∁U A={x|x≥1},根据集合的并集运算,可得(∁U A ∩B={x|1≤x≤2},故选B.2.A解析因为z=2 -12- 2 -1 22- 2-,所以|z|=-22=1.故选A.3.C解析∵a8+a9+a10=24,∴a9=8,即a1+8d=8,∴a1=8-8d,a1·d=(8-8d)d=-8d-122+2≤2,当d=12时,a1·d的最大值为2,故选C.4.D解析由DE=2EF,可得=212,如图所示,连接AE,则AE⊥BC,所以=0,=()12=0+12| · ·cos=0+12121121,故选D.5.C 解析如图所示,直角三角形的斜边长为 2 122=13,设内切圆的半径为r ,则5-r+12-r=13,解得r=2.所以内切圆的面积为πr 2=4π,所以豆子落在内切圆外部的概率P=1-1212=1-21 ,故选C .6.B 解析∵f (x )=cos x sin 2x=cos x-cos 3x ,显然A 项正确;∵|cos x|≤1,|sin 2x|≤1,二者不能同时取到等号,∴无论x 取什么值,f (x )=cos x sin 2x 均取不到值1,故B 错误;∵f (x )+f (π-x )=cos x sin 2x+cos(π-x )sin 2(π-x )=cos x sin 2x-cos x sin 2x=0,∴f (x )的图象关于点2,0对称,即C 正确;∵f (2π-x )=cos(2π-x )sin 2(2π-x )=cos x sin 2x=f (x ),∴f (x )的图象关于直线x=π对称,即D 正确.综上所述,结论中错误的是B .7.A 解析令|x|=t ,则y= 12在[1,4]上是增函数,当t=4时,M=2-1111,当t=1时,m=0,则M-m= 118.B 解析通过三视图可知:该几何体是一个三棱锥和1圆锥组成的几何体,设组合体的体积为V ,所以V=1 1 π×9r 2×4r+1 12 3r×3r×4r=24π+48,解得r=2,故选B .9.B 解析由三视图知该三棱锥为正方体中截得的三棱锥D 1-ABC (如图),故其外接球的半径为 2a ,所以42 2=12π,解得a=2,所以该三棱锥的体积V=1 12 2×2×2=故选B .10.B 解析作函数f (x )的图象如图所示,∵方程f (x )=a 有四个不同的解x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,∴x 1,x 2关于x=-1对称,即x 1+x 2=-2,0<x 3<1<x 4,则|log 2x 3|=|log 2x 4|,即-log 2x 3=log 2x 4,则log 2x 3+log 2x 4=0,即log 2x 3x 4=0,则x 3x 4=1,由|log 2x|=1得x=2或12,则1<x 4≤2,12x 3<1,故x 3(x 1+x 2)+1 2=-2x 3+112 x 3<1,则函数y=-2x 3+1,在12 x 3<1上为减函数,故当x 3=12时,y 取得最大值y=1,当x 3=1时,函数值y=-1.即函数取值范围是(-1,1].故选B .11.A 解析∵a cos B-b cos A=2c ,由正弦定理得sin A cos B-sin B cos A=2sin(A+B ), 即3sin(A-B )=2sin(A+B ),sin A cos B=5sin B cos A ,∴tan A=5tan B.tan(A-B )=-1= 1212.C 解析椭圆 22 =1的a=2,b= ,c=1,圆(x+1)2+y 2=1的圆心为(-1,0),半径为1,由题意设PA与PB的夹角为2θ,则|PA|=|PB|=1,=| · |cos2θ=12cos2θ=1 21- 2cos2θ.设cos2θ=t,则y=11-=(1-t)+21-- ≥22-3.∵P在椭圆的右顶点时,sinθ=1,∴cos2θ=1-21,此时的最大值为11-,的取值范围是22-3,.13.-560解析依题意可知2n=128,解得n=7,(2x-x-1)7展开式的通项公式为 (2x)7-r(-x-1)r=(-1)r·27-r x7-2r,当7-2r=1时r=3,故含x项的系数为(-1)3×24=-560.14 1 解析实数x,y满足2- ,2- ,1的可行域如图,z=22,令t=,作出可行域知t=的取值范围为[k OB,k OA],易知A(1,2),B(3,1),可得t1,2,于是z=22=t+1,t∈(1,2]时,函数是增函数;t1,1时,函数是减函数.t=1时,z取得最大值为1 故答案为115.-∞,解析∵f(x)=-2-,x>0,∴f'(x)=2--1--22,∴f(x)+xf'(x)=-2-2--1--22--1存在x∈[1,2],使得f(x)+xf'(x)>0,即2x(x-b)-1>0,∴b<x-12在[1,2]上有解.设g(x)=x-12,∴b<g(x)max.g(x)=x-12在[1,2]上为增函数,故g(x)max=g(2)=,∴b<故实数b的取值范围是-∞,.16.4解析∵抛物线y2=8x,∴p=4,焦点F(2,0),准线l的方程为x=-2,C点坐标为(-2,0), ∵∠OFA=2 ,∴直线AB的斜率为,∵弦AB过F,∴直线AB的方程为y=(x-2).∵点A与点B在抛物线上,∴两方程联立-2 ,2,得到3x2-20x+12=0,解得A(6,4),B2,-, =,-,=(8,4).∴cos∠ACB=·-1=1,sin∠ACB=,∴tan∠ACB=4。

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