地大201506《高等数学2》在线作业2
高等数学2_习题集(含答案)
《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。
一、计算题11. 计算 行列式6142302151032121----=D 的值。
2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。
4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。
5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。
6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。
9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式xa a a x a a a xD n=的值。
11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。
12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。
15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。
16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。
17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。
18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。
高等数学2_习题集(含答案)
《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。
一、计算题11. 计算 行列式6142302151032121----=D 的值。
2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。
4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。
5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。
6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。
9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式xa a a x a a a xD n=的值。
11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。
12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。
15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。
16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。
17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。
18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。
中国石油大学高等数学(二)在线作业1-3
第7题
B
在线作业一答案
CCDCC BDBDD DCBCB CDCAC EBBCD DCAAB 错错对错错错对错错对
第二次在线作业
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
第9题
第10题
第11题
第12题
第13题
第14题
第15题
第16题
第17题
第18题
第19题
第20题
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题
第29题
第30题
第31题
第32题
第33题
第34题
第35题
第36题
第37题
第38题
第39题
第40题
DCDCC BDCAB BACBC DACBC ABCAA BADCB 对错对错错对错错对对
第三次在线作业
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
第10题
第11题
第12题
第13题
第15题
第16题
第17题
第18题
第19题
第20题
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题
第29题
第30题
第31题
第32题
第33题
第34题
第35题
第36题
第37题
第38题
第39题
40题
DABCB CCCBD BDABA BBACD BDABD BADDA 对错对对错对对错错对。
高数II-2练习题及答案
高数II-2一、单项选择1、级数为( )• A、发散• B、条件收敛但不绝对收敛• C、绝对收敛但不条件收敛• D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是（）。
• A、(2,1, 4)•B、(4,3, 4)•C、0•D、(−4,3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（）条件。
• A、充分• B、必要• C、充分必要• D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( )• A、绝对收敛• B、条件收敛• C、发散• D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。
• A、圆• B、椭球• C、抛物面• D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()• A、• B、• C、• D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。
已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（）分钟。
• A、50•B、51•C、52•D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是（）• A、平行于z轴• B、垂直于x轴• C、平行于y轴• D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。
• A、一定发散• B、一定收敛• C、可收敛也可发散• D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是（）。
• A、• B、• C、• D、参考答案 C13、下列说法正确的是（）。
• A、两直线之间的夹角范围在• B、两平面之间的夹角范围在• C、两向量之间的夹角范围在• D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（）• A、a>e•B、a<e•C、a=e•D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中( )是表示母线平行于y轴的双曲柱面。
中国地质大学(北京)《高等数学(二)》期末考试拓展学习(五)
∴ ： ， ，
=
=
3．计算
。
解2“截面法”
1.画出 。如图： 由 围成。
2.
由z=r与z=2围成； ， ：
：
由z=2与z= 围成； ， ：
：
3.计算 =
注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。
例5：计算 ，其中 由不等式 ， 所确定。
解：用球坐标计算。由 得 的边界曲面的球坐标方程：
P ，连结OP= ，其与z轴正向的夹角为 ，OP= 。P在xoy面的投影为 ，连结 ，其与x轴正向的
解：1.画出 及在xoy面上的投影域D.
由 消去z，得
即D：
2.“穿线”
X型 D：
：
3．计算
注：当 为已知的解析式时可用柱坐标计算。
例4：计算 ，其中 为 所围成的闭区域。
解1“投影法”
1.画出 及在xoy面投影域D，用柱坐标计算
由 化 的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r
2.解 ∴D： 即
“穿线” ∴
地大《高等数学(二)》（五）
第三章重积分（二）
例1：计算三重积分 ，其中 为平面 与三个坐标面 围成的闭区域。
解1“投影法”
1.画出 及在xoy面投影域D.
2. “穿线”
X型 D：
∴ ：
3.计算
解2“截面法”
1.画出 。
2. 过点z作垂直于z轴的平面截 得 。
是两直角边为x,y的直角三角形，
3.计算
例2：计算 ，其中 是 和z=1围成的闭区域。
解1“投影法”
1.画出 及在xoy面投影域D. 由 消去z，得 即D：
2. “穿线” ，
X型 D：
15秋地大《高等数学(专上)》在线作业二 答案
地大《高等数学(专上)》在线作业二一、单选题（共 25 道试题，共 100 分。
）1. 过点(0,3/2)且在点x处切线斜率为^(2x)的曲线为（）. 1+(1/2)*^(-2x). 1/2+^(-2x). 1/2+^(2x). 1+(1/2)*^(2x)正确答案：2. 题面见图片....正确答案：3. 当x趋向于无穷大时，函数f(x)=(sinx)/x 的极限（）. 1. 无穷大. 0. 不存在正确答案：4. 连续函数在某点取最值是函数在该点的导数为0的（）. 充分条件. 必要条件. 充要条件. 什么条件都不是正确答案：5.....正确答案：6. 题面见图片....正确答案：7.....正确答案：8. (x^3-3x^2+3x-1)/(x^3-x^2-x+1)当x趋向于无穷大时的极限是（）. 0. 1. 2. 无穷大正确答案：9. 曲线y=1/x与直线y=x 、x=2所围成的区域面积是（）. 2-ln2. 3/2-ln2. 1-ln2. 1/2-ln2正确答案：10.....正确答案：11. 题面见图片....正确答案：12. (x^3-3x^2+3x-1)/(x^3-x^2-x+1)当x趋向于1时的极限是（）. 0. 1. 2. 无穷大正确答案：13. 实数域R上的可导函数f(x)当x<=1时取值x^2,x>1时取值x+，则3+=( ) . 3. 4. 5. 6正确答案：14. 函数在实数域R上连续是该函数有原函数的（）条件. 充分条件. 必要条件. 充要条件. 什么条件都不是正确答案：15. 函数在一点可微是函数在该点有切线的（）. 充分条件. 必要条件. 充要条件. 什么条件都不是正确答案：16. 函数y=x-sin(x)是（）. 周期函数. 奇函数. 偶函数. 非负函数正确答案：17.....正确答案：18. 函数y=tn(1/x)是定义域内的（）. 周期函数. 有界函数. 无界函数. 单调函数正确答案：19. 函数f(x)在一点M处的左右极限都存在且相等是f(x)在点M处连续的（）. 充分条件. 必要条件. 充要条件. 什么条件都不是正确答案：20. 函数y=2sin(x)+os(x)的最小正周期是（）. 2π/5. π/2. π. 2π正确答案：21.....正确答案：22. (1-osx)/x^2当x趋向于0时的极限是（）. 1/4. 1/2. 1. 2正确答案：23.....正确答案：24. 函数f(x)在区间[,]上有最大值和最小值，且能取到最值之间的任何一个值，则其（）. 必定连续. 必定间断. 必定单调. 无法判断正确答案：25.....正确答案：。
高数(二)-习题选解答doc.doc
第七章 微分方程的解1 求曲线族122=+Cy x 满足的微分方程，其中C 为任意常数.解 在等式122=+Cy x 两端对x 求导,得.022='+y Cy x再从122=+Cy x 解出,122y x C -=代入上式得 ,012222='⋅-⋅+y y yx x 化简即得到所求的微分方程 .0)1(2='-+y x xy 2验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程 0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 .将函数求一阶导数,得 dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π 即 .42π-=C 从而所求特解为 .sin 422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π可分离变量的微分方程 1 求微分方程xy dxdy2=的通解. 解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx ydy 2 → 12||ln C x y +=从而2112x C C xe e e y ⋅±=±=+,记,1Ce C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =2 求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=-两端积分⎰⎰-=-dx x dy y y1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. . 齐次方程 1求解微分方程x y x y dx dy tan +=满足初始条件61π==x y 的特解. 解 题设方程为齐次方程,设,x y u =则,dxdux u dx dy += 代入原方程得,tan u u dx du xu +=+分离变量得.1cot dx xudu = 两边积分得||ln ||ln |sin |ln C x u += → ,sin Cx u =将x y u =回代，则得到题设方程的通解为.sin Cx xy= 利用初始条件,6/|1π==x y 得到.21=C 从而所求题设方程的特解为.21sin x x y =2 求解微分方程 .22dxdy xy dx dy xy =+ 解 原方程变形为=-=22x xy y dx dy ,12-⎪⎭⎫⎝⎛xy x y （齐次方程） 令,x y u =则,ux y =,dx dux u dx dy +=故原方程变为,12-=+u u dx du x u 即.1-=u u dx du x 分离变量得⎪⎭⎫⎝⎛-u 11.x dx du =两边积分得||ln ||ln x C u u =+-或.||ln C u xu +=回代,x y u =便得所给方程的通解为 .||ln C xyy += 一阶线性微分方程1 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.,0)ln (ln =-+dx x y xdy x .1==ex y解 将方程标准化为,1ln 1x y x x y =+'于是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰-C dx e x e y x x dxx x dxln ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-C dx e xe x x ln ln ln ln 1.ln 21ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,21=C 故所求特解为.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y ＊2 求解方程,)(dxd x dx d y dx dy ϕϕϕ=+ )(x ϕ是x 的已知函数.解 原方程实际上是标准的线性方程，其中,)(dx d x P ϕ=,)()(dxd x x Q ϕϕ= 直接代入通解公式，得通解⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 伯努利方程 1 求y x y xdx dy 24=-的通解. 解 两端除以,y 得,412x y xdx dy y =- 令,y z =得,422x z x dx dz =-解得,22⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x z 故所求通解为.224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y2（E03）求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解. 解 以2y 除方程的两端,得,ln 112x a y xdx dy y =+--即 ,ln 1)(11x a y x dx y d =+--- 令,1-=y z 则上述方程变为 .ln 1x a z xdx dz -=-解此线性微分方程得 x z =.)(ln 22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x a C以1-y 代,z 得所求通解为 yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(ln 2x a C .1=全微分方程1 (E01) 求方程0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解,6xQ xy y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, ⎰⎰+-=yxdy y dx xy xy x u 03023)3(),(,42344224y y x x +-=原方程的通解为.42344224C y y x x =+- 2 求解.0)33()35(222324=+-+-+dy y xy y x dx y xy x 解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236，所以题设方程是全微分方程. 可取,00=x ,00=y 由全微分求积公式得:⎰⎰+-+=yxdy y dx y xy x y x u 020324)35(),(.312333225y xy y x x +-+=于是，方程的通解为 .312333225C y xy y x x =+-+3（E02）求方程0324223=-+dy yx y dx y x的通解. 解,64x Qyx y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, 将左端重新组合 +dy y21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-dy y x dx y x 42332d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y 1d +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32y x d=,132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-y x y 原方程的通解为.132C yx y =+-)(x f y =''型1 求方程0)3()4(=-y xy 的通解.解 设),(x P y ='''代入题设方程,得),0(0≠=-'P P P x 解线性方程,得x C P 1=1(C 为任意常数)，即,1x C y =''' 两端积分,得,21221C x C y +='',63231C x C x C y ++='再积分得到所求题设方程的通解为,224432241C x C x C x C y +++=其中)4,3,2,1(=i C i 为任意常数.进一步通解可改写为.432241d x d x d x d y +++=其中)4,3,2,1(=i d i 为任意常数.),(y x f y '=''型2 (E02) 求方程02)1(222=-+dx dyx dxy d x 的通解. 解 这是一个不显含有未知函数y 的方程.令),(x p dxdy=则,22dx dp dx y d =于是题设方程降阶为,02)1(2=-+px dxdpx 即.122dx x x p dp +=两边积分,得 |,|ln )1ln(||ln 12C x p ++=即)1(21x C p +=或).1(21x C dxdy+= 再积分得原方程的通解 .3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=3 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.解法 1 所给方程不显含,y 属),(y x f y '=''型,令,p y ='则,p y '=''代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.解法2 因为,)(2'+'='+''y y x y y x 即,111xC y x y +=+'这是一阶线性微分方程，解得 ,221xC C xy ++=因为0→x 时，y 有界,得,02=C 故,21C x y +=由此得21='y 及,21)1(1C y += 又由已知条件),1(2)1(y y '=得,211=C 从而所求特解为.212+=x y ),(y y f y '=''型4（E03）求方程02='-''y y y 的通解. 解 设),(y p y ='则,dy dp py =''代入原方程得,02=-⋅p dy dp p y 即.0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅p dy dp y p 由,0=-⋅p dy dp y 可得,1y C p =所以,1y C dxdy = 原方程通解为 .12x C e C y = 5已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解； （2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ① 所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②x x x x e C e C xe e y -+++=''22142从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-'' (3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得 ,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 1求下列微分方程的通解.(1) ()();0235='++y y y (2)().022)4(6=+''--y y y y解 )1( 特征方程为,0235=++r r r 即,0)1(22=+r r 特征根,01=r ,32i r r ==,54i r r -== 通解为.sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (2)特征方程为,022246=+--r r r 即,0)1)(2(42=--r r特征根,21=r ,22-=r ,13=r ,14-=r ,5i r =,6i r -= 通解为x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++2（E05) 已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为,2sin 3,2cos ,,4321x y x y xe y e y x x ====求这个四阶微分方程及其通解.解 由1y 与2y 可知，它们对应的特征根为二重根21r r =,1= 由3y 与4y 可知，它们对应的特征根为一对共轭复根.24,3i r ±= 所以特征方程为,0)4()1(22=+-r r 即,04852234=+-+-r r r r 它所对应的微分方程为,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y 其通解为.2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=x m e x P x f λ)()(=型1 (E02) 求方程1332+=-'-''x y y y 的一个特解.解 题设方程右端的自由项为x m e x P x f λ)()(=型，其中,13)(+=x x P m .0=λ 对应的齐次方程的特征方程为,0322=--r r 特征根为,11-=r .32=r 由于0=λ不是特征方程的根，所以就设特解为.10*b x b y += 把它代入题设方程,得 ,13323100+=---x b b x b 比较系数得,13233100⎩⎨⎧=--=-b b b 解得.31110⎩⎨⎧=-=b b于是，所求特解为.31*+-=x y2 (E03) 求方程x xe y y y 223=+'-''的通解.解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为,0232=+-r r 特征根为,11=r ,22=r 于是，该齐次方程的通解为,221x e C x C Y +=因2=λ是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：.)(210*x e b x b x y += 代入题设方程,得,22010x b b x b =++比较等式两端同次幂的系数,得,210=b ,11-=b于是，求得题没方程的一个特解*y .)121(2x e x x -=从而，所求题设方程的通解为 .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=3 求方程x e y y y y =+'+''+'''33的通解.解 对应的齐次方程的特征方程为,013323=+++r r r 特征根1r 2r =3r =.1-= 所求齐次方程的通解 .)(2321x e x C x C x C Y -++=由于1=λ不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为,0*x e b y =代入题设方程易解得 ,810=b 故所求方程的通解为 y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-x e x P x f x m ωλcos )()(=或x e x P x m ωλsin )(型 4 求方程x y y sin 4=+''的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解.sin cos 21x C x C Y +=作辅助方程.4ix e y y =+''i =λ 是单根,故设.*ix Axe y =代入上式得42=Ai ⇒,2i A -=∴*y ix ixe 2-=),cos 2(sin 2x x i x x -=取虚部得所求非齐次方程特解为.cos 2*x x y -=从而题设方程的通解为 .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+= 5 (E04) 求方程x x y y 2cos =+''的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解x C x C Y sin cos 21+=作辅助方程.2ix xe y y =+''i 2=λ 不是特征方程的根，故设,)(2*ix e B Ax y +=代入辅助方程得,034=-B Ai 13=-A ⇒,31-=A i B 94-=∴*y =⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431ix e 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431)2sin 2(cos x i x +ix x x -+-=2sin 942cos 31⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 2sin 312cos 94取实部得到所求非齐次方程的一个特解: .2sin 942cos 31x x x y +-=所求非齐次方程的通解为 .2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=6(E01) 求欧拉方程xx y x y x 1ln 62-='+''的通解.解 作变量替换t e x =或,ln x t =则题设方程化为,6)1(te t Dy y D D --=+-即.622t e t dtyd --=两次积分，可求得其通解为y .321t e t t C C --++=代回原来变量，得原方程的通解y .1)(ln ln 321xx x C C -++=7 (E02) 求欧拉方程22334x y x y x y x ='-''+'''的通解.解 作变量变换t e x =或,ln x t =原方程化为,34)1()2)(1(2t e Dy y D D y D D D =--+--即te Dy y D y D 223332=-- 或.33222233t e dt dydty d dt y d =-- (1)方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 ,03223=--r r r 求得特征根,01=r ,12-=r ,33=r 故所以齐次方程的通解Y t t e C e C C 3321++=-.3321x C xC C ++= 设特解*y tbe2=,2bx =代入原方程得,21-=b 即,2*2x y -=故所求欧拉方程的通解为y .2123321x x C x C C -++=第8章 向量及其线性运算1 (E04) 已知两点)5,0,4(A 和)3,1,7(B ，求与向量B A 平行的向量的单位向量c.解 所求向量有两个，一个与B A 同向,一个与B A 反向.因为B A ,}2,1,3{}53,01,47{-=---= 所以B A,14)2(13222=-++=故所求向量为}.2,1,3{141-±=±=BA B A c2(E05)已知两点)2,2,2(1M 和)0,3,1(2M , 计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解 21M M };2,1,1{}20,23,21{--=---=222)2(1)1(-++-=;24211==++=,21cos -=α,21cos =β;22cos -=γ,32πα=,3πβ=.43πγ= 3 设有向量21P P , 已知,2||21=P P 它与x 轴和y 轴的夹角分别为3π和4π, 如果1P 的坐标为(1, 0, 3), 求2P 的坐标.解 设向量21P P 的方向角为，、、γβα,3πα=,21cos =α,4πβ=,22cos =β ,1cos cos cos 222=++γβα 21cos ±=∴γ⇒3πγ=或.32πγ=设2P 的坐标为,),,(z y x 211cos P P -=x α⇒2121=-x ⇒,2=x 210cos P P -=y β⇒2220=-y ⇒,2=y 213cos P P -=z γ⇒2123±=-z ⇒,24==z z 或 2P 的坐标为.)2,2,2(,)4,2,2(4点A 位于第I 卦限, 向径OA 与x 轴、y 轴的夹角依次为3π和4π，,6= 求A 的坐标.解 ,3πα=.4πβ=由关系式,1cos cos cos 222=++γβα得,41)22()21(1cos 222=--=γ因为A 在第I 卦限，知,0cos >γ故.21cos =γ于是A O A O =,}3,23,3{21,22,216=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−→−=OAe 点A 的坐标为.)3,23,3(两向量的数量积1试用向量方法证明三角形的余弦定理. 证 (作简图).设在ABC ∆中, ,θ=∠BCA ,||a CB =,||b CA =,||c AB =现要证.cos 2222θab b a c -+=记,a B C =,c B A =,b A C =则有,b a c-=从而c c c ⋅=2||)()(b a b a -⋅-=b a b b a a⋅-⋅+⋅=2.cos ||||2||||22θb a b a ⋅-+= 由,||a a = ,||b b = ,||c c =即得.cos 2222θab b a c -+=同理…… 2 (E04) 求与k j i b k j i a2,423-+=+-=都垂直的单位向量.解 b a c+=z y x z y xb b b a a a k j i=211423--=kj i ,510k j+= ||c 22510+=,55= ∴||c c c±=.5152⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=k j 3在顶点为)2,6,5(),2,1,1(--B A 和)1,3,1(-C 的三角形中, 求AC 边上的高BD .解 {},3,4,0-=C A {},0,5,4-=B A三角形ABC 的面积为 ||21B A C A S ⨯=22216121521++=,225=又|,|||21BD C A S ⋅= ,5)3(4||22=-+=C A所以|,|521225BD ⋅⋅=从而.5||=BD 4 利用向量积证明三角形正弦定理.证 设ABC ∆的三个内角为,,,γβα三边长为c b a ,,, (作简图).因为B C C A B A+=，所以B A B C C A AB B A ⨯+=⨯)(,B A B C B A C A ⨯+⨯=故,0=⨯+⨯B A B C B A C A 即.B A B C B A C A⨯-=⨯ 两边取模,B A B C B A C A⨯=⨯即,sin sin βαac bc =故.sin sin βαba = 同理可证 .sin sin γβcb = 因此,sin sin sin γβαcb a ==三角形正弦定理得证. 平面的截距式方程1 求平行于平面0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.解 设平面方程为,1=++c z b y a x ,1=V .12131=⋅∴abc 由所求平面与已知平面平行得,611161c b a ==(向量平行的充要条件) 令t c b a ===61161⇒.61,1,61t c t b t a === 由tt t 61161611⋅⋅⋅=⇒.61=t∴.1,6,1===c b a所求平面方程为,1161=++zy x 即.666=++z y x 2 求平面II, 使其满足:(1) 过z 轴;(2) II 与平面052=-+z y x 夹角为3π.解 因为平面∏过z 轴，可设其方程为.0=+By Ax 又因为∏与已知平面夹角为.3π故3cosπ222222)5(120|0)5(2|-++++⋅-++=B A B A 21=⇒A B 3=或A B 31-= ⇒03:=+∏y x 或.03:=-∏y x3求经过两点)9,2,3(1-M 和)4,0,6(2--M 且与平面0842=-+-z y x 垂直的平面的方程. 解 设所求的平面方程为.0=+++D Cz By Ax 由于点1M 和2M 在平面上，故 ,0923=++-D C B A .046=+--D C A又由于所求平面与平面0842=-+-z y x 垂直,由两平面垂直条件有.042=+-C B A从上面三个方程中解出,C B A 、、得 ,2/D A =,D B -=,2/D C -= 代入所设方程，并约去因子,2/D 得所求的平面方程.022=+--z y x 点到平面的距离4(E06) 求两平行平面1∏：052210=--+z y x 和2∏：x 5 01=--+z y 之间的距离d . 解 可在平面2∏上任取一点，该点到平面1∏的距离即为这两平行平面间的距离.为此，在平面2∏上取点),0,1,0(则 d 222)2(210|50)2(12010|-++-⨯-+⨯+⨯=1083=.63= 5求平行于平面0432:0=+++∏z y x , 且与球面9:222=++∑z y x相切的平面∏方程.解 可利用条件,//0∏∏写出平面∏的一般式方程,再利用球心到平面的距离3=d 来确定一般式方程中的特定系数.由,//0∏∏可设平面∏的方程为.032=+++D z y x因为平面∏与球面∑相切，故球心)0,0,0(到平面∏的距离d )0,0,0(),,(22321|22|=+++++=z y x D z y x ,3= 得,143||=D故所求平面∏的方程为014332=+++z y x 或.014332=-++z y x 空间直线的对称式方程与参数方程1 求过点)5,2,3(-且与两个平面152=--z y x 和34=-z x 的交线平行的直线的方程. 解 先求过点)5,2,3(-且与已知平面平行的平面,0)5(5)2()3(21=----+∏z y x : ,0)5(4)3(2=--+∏z x :即 ,033521=+--∏z y x : .:02342=+-∏z x 所求直线的一般方程为:.⎩⎨⎧=+-=+--023403352z x z y x 2 (E01) 一直线过点),4,3,2(-A 且与y 轴垂直相交, 求其方程.解 因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B ,}4,0,2{==A B s所求直线方程.440322-=+=-z y x 3 用对称式方程及参数方程表示直线 .043201⎩⎨⎧=++-=+++z y x z y x 解 在直线上任取一点),,,(000z y x 例如,取10=x ⇒⎩⎨⎧=--=++063020000z y z y ⇒,00=y ,20-=z得点坐标),2,0,1(-因所求直线与两平面的法向量都垂直,可取21n n s⨯=},3,1,4{312111--=-=kj i对称式方程 ,321041-+=--=-z y x 参数方程 .⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz ty tx 3241 4求过点M (2, 1, 3)且与直线12131-=-=+zy x 垂直相交的直线方程. 解 先作一过点M 且与已知直线垂直的平面,∏,0)3()1(2)2(3=---+-z y x再求已知直线与该平面的交点,N令t z y x =-=-=+12131 → .1213⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=tz t y t x 代入平面方程得,73=t 交点,73,713,72⎪⎭⎫⎝⎛-N 取所求直线得方向向量为,MN ,724767123731713272⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=，－，－，－－，－MN所求直线方程为.431122－－－z y x =-= 5 (E04) 过直线⎩⎨⎧=+-=--+02062:z y x z y x L 作平面∏, 使它垂直于平面.02:1=++∏z y x解 设过直线L 的平面束)(λ∏的方程为,0)2()62(=+-+--+z y x z y x λ即.06)1()1(2)1(=--+-++z y x λλλ现要在上述平面束中找出一个平面图,∏使它垂直于题设平面,1∏因平面垂直于平面,1∏故平面∏的法向量)(λn垂直于平面1∏的法向量}.1,2,1{1=n 于是,0)(1=⋅n nλ即.0)1()1(4)1(1=-+-++⋅λλλx解得,2=λ故所求平面方程为.:0623=-+-z y x π容易验证，平面02=+-z y x 不是所求平面.6在一切过直线L : ⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出平面∏, 使原点到它的距离最长.解 设通过直线L 的平面束方程为,0)2()4(=++++++z y x z y x λ即.04)1()21()1(=++++++z y x λλλ要使2222)1()21()1(16)(λλλλ+++++=d 为最大,即使31)32(6)1()21()1(2222++=+++++λλλλ为最小，得,32-=λ故所求平面∏的方程为.012=++-z y x易知，原点到平面02=++z y x 的距离为.0故平面02=++z y x 非所求平面.第9章 多元函数微分法及其应用1 (E01) 求二元函数222)3arcsin(),(yx y x y x f ---=的定义域.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤--013222y x y x 即⎩⎨⎧>≤+≤22242y x y x 所求定义域为 }.,42|),{(222y x y x y x D >≤+≤=2求极限 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→. 解 令,22y x u +=则 u u y x y x u y x 1sin lim 1sin)(lim 0222200→→→=++=0. 3证明 220limyx xyy x +→→ 不存在. 证 取k kx y (=为常数),则 ,1lim lim222202200k kx k x kx x y x xy kxy x y x +=+⋅=+=→→→易见题设极限的值随k 的变化而变化,故题设极限不存在.4讨论二元函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性.解 由),(y x f 表达式的特征，利用极坐标变换：令,sin ,cos θρθρ==y x 则)cos (sin lim ),(lim330)0,0(),(θθρρ+=→→y x f y x ),0,0(0f ==所以函数在)0,0(点处连续.5 试证函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 的偏导数)0,0(),0,0(y x f f 存在，但),(y x f 在)0,0(点不连续.证 )0,0(x f xf x f x ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim0x x ∆-=→∆00lim0,1= yf y f f y y ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim )0,0(0y y ∆-=→∆00lim 0.0=即偏导数),0,0(x f )0,0(y f 存在.但由上节的例 8知道,极限2200lim y x xyy x +→→不存在,故),(y x f 在)0,0(点不连续.6设 ,cos by e u ax = 求二阶偏导数. 解xu∂∂,cos by ae ax =y u ∂∂;sin by be ax -=22x u ∂∂,cos 2by e a ax =22yu ∂∂;cos 2by e b ax -= y x u ∂∂∂2,sin by abe ax-=x y u ∂∂∂2.sin by abe ax -= 7 验证函数 22ln ),(y x y x u +=满足方程 02222=∂∂+∂∂y ux u .证 22ln y x +),ln(2122y x +=∴x u ∂∂,22y x x +=y u ∂∂,22yx y += ∴22x u ∂∂22222)(2)(y x x x y x +⋅-+=,)(22222y x x y +-=22y u ∂∂22222)(2)(y x y y y x +⋅-+=.)(22222y x y x +-= ∴2222y ux u ∂∂+∂∂2222222222)()(y x y x y x x y +-++-=.0= 8证明函数r u 1=满足拉普拉斯方程 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ,其中 222z y x r ++=. 证 x u ∂∂x r r ∂∂-=21r x r ⋅-=21,3r x-= 22x u ∂∂xr r x r ∂∂⋅+-=4331.31523r x r +-= 由函数关于自变量的对称性,得22y u∂∂,31523r y r +-=22z u ∂∂.52331r z r +-=222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂52223)(33r z y x r +++-=52333r r r +-=.0= 9设 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=0,0),(,00,0),(,),(2222y x y x y x y x xy y x f , 试求 ()0,0xy f 及().0,0xy f 解 因)0,0(x f x f x f x )0,0()0,(lim-=→xx 00lim0-=→.0= 当0≠y 时，),0(y f x xy f y x f x ),0(),(lim 0-=→22220)(lim y x y x y x +-=→,y -= 所以 )0,0(xy f y f y f x x y )0,0(),0(lim-=→y y y 0lim0--=→,1-= 同理 )0,0(y f yf y f y )0,0(),0(lim-=→,0=当0≠x 时，)0,(x f y yx f y x f y )0,(),(lim 0-=→22220)(lim y x y x x y +-=→,x =所以 )0,0(yx f xf x f y y x )0,0()0,(lim-=→xx x 0lim0-=→.1=10求 y x y x z 2422)3(++=的偏导数. 解 设,322y x u +=,24y x v +=则.v u z = 可得 ,1-⋅=∂∂v u v u z ,ln u u v z v ⋅=∂∂ ,6x x u =∂∂,2y y u =∂∂,4=∂∂xv2=∂∂y v 则x z ∂∂xvv z x u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=4ln 61⋅⋅+⋅⋅=-u u x u v v v 12422)3)(24(6-+++=y x y x y x x )3ln()3(4222422y x y x y x ++++ y z ∂∂yv v z y u u z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=2ln 21⋅⋅+⋅⋅=-u u y u v v v 11 设函数),(y x u u =可微，在极坐标变换,cos θr x = θsin r y =下，证明.122222⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θu r r u y u x u 证 为方便起见,我们从欲证等式的右端出发来证明.把函数u 视为θ,r 的复合函数,即),sin ,cos (θθr r u u = 则r u ∂∂ry y u r x x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=,sin cos θθy u x u∂∂+∂∂=θ∂∂u θθ∂∂∂∂+∂∂∂∂=y y u x x u ,cos )sin (θθr y u r x u∂∂+-∂∂=所以2221⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θu r r u 2sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=θθy u x u 22cos )sin (1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∂∂+θθr y u r x u r .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y u x u ＊12 求由a a xyz z (333=-是常数）所确定的隐函数),(y x f z =的偏导数xz∂∂和.y z ∂∂ 解 令,3),,(33a xyz z z y x F --=则x F ',3yz -=y F ',3xz -=z F '.332xy z -=显然都是连续.所以，当z F 'xy z 332-=0≠时，由隐函数存在定理得x z ∂∂z x F F ''=xy z yz 3332---=,2xy z yz -= y z ∂∂z y F F ''=xy z xz 3332---=.2xyz xz -=12求出曲线32,x z x y =-=上的点，使在该点的切线平行于已知平面.42=++z y x解 设所求切点为),,,(000z y x 则曲线在该点的切线向量为},3,2,1{200x x s -= 由于切线平行于已知平面,42=++z y z 因而s垂直于已知平面的法线向量},1,2,1{=n 故有n s ⋅132)2(11200⋅+⋅-+⋅=x x ,0=即10=x 或,31将它代入曲线方程,求得切点为)1,1,1(1-M 和.271,91,312⎪⎭⎫⎝⎛-M13求曲面 32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.解 令),,(z y x F ,32-+-=xy e z z ,2y F x =',2x F y='z z e F -='1 → )0,2,1(n)0,2,1(}1,2,2{z e x y -=},0,2,4{=切平面方程为 ,0)0(0)2(2)1(4=-⋅+-+-z y x 即,042=-+y x 法线方程为.01221-=-=-z y x 14 求曲面 2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程.解 设),,(000z y x 为曲面上的切点,则切平面方程为,0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x依题意,切平面方程平行于已知平面,得664412000z y x == → .2000z y x == ),,(000z y x 是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得,10±=x故所求切点为),2,2,1(),2,2,1(---切平面方程(1),0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 即;2164=++z y x 切平面方程(2),0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 即.2164-=++z y x15（E02）求函数y xy x y x f 22),(2+-=在矩形域 |),{(y x D =}20,30≤≤≤≤y x 上的最大值和最小值.解 先求函数),(y x f 在D 内驻点.由,022=-=y x f x 022=+-=x f y 求得f 在D 内部的唯一驻点 (1, 1),且.1)1,1(=f 其次求函数),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值. 如图所示.区域D 的边界包含四条直线段.,,,4321L L L L在1L 上,0=y ,)0,(2x x f =.30≤≤x 这是x 的单调增加函数,故在1L 上f 的最大值为,9)0,3(=f 最小值为.0)0,0(=f同样在2L 和4L 上f 也是单调的一元函数,易得最大值、最小值分别为,9)0,3(=f 1)2,3(=f (在2L 上), ,4)2,0(=f 0)0,0(=f (在4L 上),而在3L 上,2=y ,44)2,(2+-=x x x f ,30≤≤x 易求出f 在3L 上的最大值,4)2,0(=f 最小值.0)2,2(=f将f 在驻点上的值)1,1(f 与4321,,,L L L L 上的最大值和最小值比较,最后得到f 在D 上的最大值,9)0,3(=f 最小值.0)2,2()0,0(==f f16求函数 32233),(x y x y x f -+=在区域16:22≤+y x D 上的最小值.解 先求),(y x f 在D 内的极值.由,36),(2x x y x f x -=',6),(y y x f y=' 解方程组⎩⎨⎧==-060362y x x 得驻点(0, 0), (2, 0).由于,6)0,0(=''xxf ,0)0,0(=''xy f ,6)0,0(=''yy f ,6)0,2(-=''xxf ,0)0,2(=''xy f .6)0,2(=''yy f 所以,在点 (0, 0) 处,0362<-=-AC B ,06>=A 故在 (0, 0) 处有极小值.0)0,0(=f在点 (2, 0) 处,0362>=-AC B 故函数在点 (2, 0)处无极值.再求),(y x f 在边界1622=+y x 上的最小值.由于点),(y x 在圆周1622=+y x 上变化,故可解出),44(1622≤≤--=x x y 代入),(y x f 中，有z ),(y x f =32233x y x -+=348x -=),44(≤≤-x这时z 是x 的一元函数,求得在]4,4[-上的最小值.164-==x z最后比较可得,函数32233),(x y x y x f -+=在闭区间D 上的最小值.16)0,4(-=f17(E03）某厂要用铁板做成一个体积为32m 的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为,xm 宽为,ym 则其高应为./2xym 此水箱所用材料的面积A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+=xy x xy y xy 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=y x xy 222).0,0(>>y x 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点).,(y x令,0222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y A x .0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y x A y 解这方程组,得唯一的驻点,23=x .23=y根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为m 32、宽为m 32、高为=⋅33222m 32时，水箱所用的材料最省.注: 体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小 18（E04）求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱长为,,,z y x 则问题就是在条件),,(z y x ϕ2222a xz yz xy -++=0=(1)下,求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值.作拉格朗日函数),,,(λz y x L ),222(2a xz yz xy xyz -+++=λ由..,0)(20)(20)(2z y x z x yx z y z y z x y x x y xy L z x xz L z y yz L zy x ==⇒++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=λλλ 代入 (1) 式,得唯一可能的极值点:,6/6a z y x ===由问题本身意义知,此点就是所求最大值点.即,表面积为2a 的长方体中,以棱长为6/6a 的正方体的体积为最大,最大体积.3663a V =第10章 重积分1 不作计算，估计σd eI Dy x ⎰⎰+=)(22的值，其中D 是椭圆闭区域：12222≤+b y a x )0(a b <<. 解 区域D 的面积,πσab =在D 上,0222a y x ≤+≤∴,12220a y xe e e ≤≤=+由性质 6 知,222)(a Dy xe d e ⋅≤≤⎰⎰+σσσ.222)(a Dy xe ab d e ab πσπ≤≤⎰⎰+2 判断⎰⎰≤+≤+122)ln(y x r dxdy y x)1(<r 的符号.解 当1||||≤+≤y x r 时，,1|)||(|0222≤+≤+<y x y x 故 ;0)ln(22≤+y x 又当1||||<+y x 时，,0)ln(22<+y x 于是 .0)ln(1||||22<+⎰⎰≤+≤y x r dxdy y x3（E01）计算,⎰⎰Dxyd σ其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域.解一 如图，将积分区域视为—X 型,dx xydy xyd x D⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211σdx y x x12122⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=.81148222124213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰x x dx x x解二 将积分区域视为—Y 型, ⎰⎰Dxyd σdy x y dy xydx y y22122122⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2142213822⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰y y dy y y .811=4计算σd y x y D⎰⎰-+221, 其中D 是由直线1-==x x y 、和1=y 所围成的闭区域.解 如图,D 既是—X 型,又是—Y 型.若视为—X 型,则 原积分dx dy y x y x ⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=111221[]dx y xx1112/322)1(31⎰--+-=.21)1(32)1|(|31103113=--=--=⎰⎰-dx x dx x若视为—Y 型，则,111221122dy dx y x y d y x y yD⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+⎰⎰⎰⎰--σ其中关于x 的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要. 5 计算,||2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x . 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-21222()(||D D Ddxdy x y dxdy y x dxdy xy ）⎰⎰⎰⎰-+-=--1211021122)()(xx dy x y dx dy y x dx.15112121211142114-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎰⎰--dx x x dx x 6 计算,dxdy eDyx ⎰⎰+ 其中区域D 是由0,1,0===y x x , 1=y 所围成的矩形.解 如图，因为D 是矩形区域,且,y x y x e e e ⋅=+所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰⎰+1010dy e dx e dxdy e y Dx y x .)1())((21010-==e e e y x7 交换二次积分⎰⎰-xdy y x f dx 1010),(的积分次序.解 题设二次积分的积分限:,10,10x y x -≤≤≤≤ 可改写为:,10,10y x y -≤≤≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰--=yxdx y x f dydy y x f dx 101110.),(),(8（E06）证明 ⎰⎰⎰---=aa xb ya xb adx x f e x a dx x f edy 0)(0)(0)()()(其中a 、b 均为常数, 且0>a .证 等式左端二次积分的积分限:y x a y ≤≤≤≤0,0可改写为a y x a x ≤≤≤≤,0所以dx x f e dyaya xb ⎰⎰-0)()(dx dy x f e dy x f e dxa a x a xb aaxa xb ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==--0)(0)()()(.)()(0)(dx x f ex a aa xb ⎰--=9（E08）计算,22⎰⎰Ddxdy y x其中区域:D .1||||≤+y x解 因为D 关于x 轴和y 轴对称，且,),(22y x y x f =关于x 或关于y 为偶函数→dxdy y x I D ⎰⎰=1224⎰⎰-=1010224xdy y x dx .451)1(34132=-=⎰dx x x 10 证明不等式 ,2)sin (cos 122⎰⎰≤+≤Ddxdy x y其中.10,10:≤≤≤≤y x D证 因为D 关于y x =对称，所以dxdy y dxdy x DD ⎰⎰⎰⎰=22cos cos ，故dxdy x x dxdy x y DD⎰⎰⎰⎰+=+)sin (cos )sin (cos 2222又由于)4sin(2sin cos 222π+=+x x x 及102≤≤x 而D 的面积为 1. 由二重积分性质,有.2)sin (cos 122≤+≤⎰⎰dxdy x y D11求⎰⎰⎰Ω,xdxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.解 如图9-4-3，将区域Ω向xOy 面投影得投影区域D 为三角形闭区域.10,10:x y x OAB -≤≤≤≤ 在D 内任取一点),,(y x 过此点作平行于z 轴的直线，该直线由平面0=z 穿入，由平面y x z --=1穿出，即有.10y x z --≤≤ 所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------Ω--===xyx xyx Ddy y x xdx xdz dy dx xdz dxdy xdxdydz 101010101010)1(.241)2(21)1(211032102⎰⎰=+-=-=dx x x x dx x x 12 求⎰⎰⎰Ω,zdxdydz 其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域.解 (1)⎰⎰⎰Ωzdxdydz ⎰⎰⎰=zD dxdy zdz,1截面:z D ,10z y x -≤+≤故⎰⎰zD dxdy ),1)(1(21z z --=∴原式dz z z 210)1(21-⋅=⎰.241=(2) 根据例1所确定的积分限,有⎰⎰⎰Ωzdxdydz ⎰⎰⎰---=zy z dx dyzdz 101010⎰⎰---=zdy z y zdz 1010)1(dz z z 210)1(21-⋅=⎰.241=第12章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质1（E04）求级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++1)1(321n n n n 的和. 解 根据等比级数的结论,知∑∞=121n n 21121-=.1= 而由前例,知∑∞=+1)1(1n n n ,1=所以∑∞=⎪⎪⎭⎫++ ⎝⎛1)1(121n n n n ∑∑∞=∞=++=11)1(321n n n n n .4=2 判别级数++++⨯+++n n 10121102121101212是否收敛. 解 将所给级数每相邻两项加括号得到新级数.)10121(1∑∞=+n nn因为∑∞=121n n 收敛，而级数∑∞=1101n n ∑∞==11101n n 发散，所以级数∑∞=+1)10121(n nn 发散，根据性质3的推论1，去括号后的级数 (101)21...102121101212++++⨯+++n n 也发散. 3（E06）利用柯西审敛原理判定级数∑∞=121n n的收敛性. 解 因为对任何自然数,p22221)(1)2(1)1(1||p n n n u u u p n n n ++++++=++++++ ))(1(1)2)(1(1)1(1p n p n n n n n +-+++++++<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=p n p n n n n n 1112111111,111np n n <+-=故对任意给定的正数,ε取自然数],1[ε≥N 则当N n >时，对任何自然数,p 恒有.||21ε<++++++p n n n u u u根据柯西审敛原理，所证级数收敛.第二节 正项级数的判别法1（E02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证)1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散，∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.2（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性. 解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n <而∑∞=131n n是收敛的,所以原级数收敛.。
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
高等数学作业册河北地质大学 (2)
高等数学作业册河北地质大学一、数列与级数1. 数列1.1 定义数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。
通常表示为：$a_1, a_2, a_3, \\ldots, a_n$。
其中，a a表示第a 项。
1.2 常见数列1.等差数列：$a_1, a_1+d, a_1+2d, \\ldots, a_1+(n-1)d$2.等比数列：$a_1, a_1r, a_1r^2, \\ldots, a_1r^{n-1}$3.斐波那契数列：$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \\ldots$ （每一项是前两项之和）2. 级数2.1 定义级数是数列的和，通常表示为：$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \\ldots + a_n$。
其中，a a表示前a项的和。
2.2 常用级数1.调和级数：$1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} +\\frac{1}{4} + \\ldots$2.几何级数：$1 + r + r^2 + r^3 + \\ldots$二、函数与极限1. 函数1.1 定义函数是一种映射关系，将一组元素从定义域映射到值域。
通常表示为：a=a(a)。
1.2 常用函数1.常数函数：a(a)=a（a为常数）2.一次函数：a(a)=aa+a（a和a为常数）3.二次函数：a(a)=aa2+aa+a（a,a,和a为常数）2. 极限2.1 定义极限是函数在某个点附近的趋势，用于描述函数的性质。
通常表示为：$\\lim\\limits_{x \\to a} f(x) = L$。
其中，a为极限值。
2.2 常用极限1.常数极限：$\\lim\\limits_{x \\to a} C = C$ （a为常数）2.多项式极限：$\\lim\\limits_{x \\to a} (x^n) =a^n$ （a为正整数）3.三角函数极限：$\\lim\\limits_{x \\to 0}\\frac{\\sin(x)}{x} = 1$三、导数与微分1. 导数1.1 定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
《高等数学(理工类二)-2》的作业
1、[判断题]A对B错参考答案: B 2、[判断题]A对B错参考答案: A 3、[判断题]A对B错参考答案: A 4、[判断题]A对B错参考答案: A 5、[判断题]A对B错参考答案: A 6、[判断题]A对B错参考答案: A 7、[判断题]A对B错参考答案: A8、[判断题]A对B错参考答案: B 9、[判断题]A对B错参考答案: B 10、[判断题]A对B错参考答案: A1[单选题]f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（）必要条件充分条件充分必要条件无关条件参考答案: A2[单选题]用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有( )48个36个24个18个参考答案: B3[单选题]是连续的无界函数有最大值与最小值无最小值参考答案: A4[单选题]121/2参考答案: C5[单选题]下列命题正确的是( )发散数列必无界两无界数列之和必无界两发散数列之和必发散两收敛数列之和必收敛参考答案: D6[单选题]参考答案: B7[单选题]数列有界是数列收敛的（）充分条件必要条件充要条件既非充分也非必要参考答案: B8[单选题]数列有界是数列收敛的( )充分条件必要条件充要条件既非充分也非必要参考答案: B9[单选题]5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()10种20种25种32种参考答案: D10[单选题]在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有36个24个18个6个参考答案: B11[单选题]参考答案: D12[单选题]满足{0,1}⊆a{0,1,2,3}的集合a的个数为( )1234参考答案: C13[单选题]设集合{1,2,3,4,5}。
选择i的两个非空子集a和b,要使b中最小的数大于a中最大的数,则不同的选择方法共有（）50种49种48种47种参考答案: B14[单选题]某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )16种36种42种60种参考答案: D 15[单选题]参考答案: A 16[单选题]/参考答案: C17[单选题]下列有跳跃间断点x=0的函数为（）arctan1/xtan1/xcos1/x参考答案: B18[单选题]某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“0000”到“9999”共10000个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( )A2000B4096C5904D8320参考答案: C19[单选题]从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )40种60种100种120种参考答案: B20[单选题]用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有()288个240个144个126个参考答案: B21[单选题]5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有（）150种180种200种280种参考答案: A22[单选题]下列命题正确的是（）发散数列必无界两无界数列之和必无界两发散数列之和必发散两收敛数列之和必收敛参考答案: D23[单选题]在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是（）61224参考答案: B 24[单选题]偶函数奇函数单调函数无界函数参考答案: A25[单选题]f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的( )必要条件充分条件充分必要条件无关条件参考答案: A26[单选题]1261/6参考答案: C27[单选题]下列数列为单调递增数列的有（）0.9 ，0.99，0.999，0.9999参考答案: A28[单选题]甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()36种48种96种192种参考答案: C29[单选题]记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )1440种960种720种480种参考答案: B30[判断题]参考答案: A 31[判断题]参考答案: A 32[判断题]参考答案: B33[判断题]参考答案: B 34[判断题]参考答案: A 35[判断题]参考答案: A 36[判断题]参考答案: A 37[判断题]参考答案: A38[判断题]参考答案: A39[判断题]终边相同的角的同一三角函数的值相等，参考答案: A40[判断题]参考答案: B41[判断题]微分反映的是函数的自变量发生微小变化时函数的增量。
高数II2习题全
第五章 定积分[]{}[] 答（ ），，，， ．， ．． ．限是定积分所表示的和式极)21max ()(lim )()()(lim )()(1lim )()(lim )(.1111111i i i i ni i i i i i ni i i n n i n n i n x x n i x x f D x x x f C a b n i f n a b B a b n i f n a b A -=→-=∞→=∞→=∞→∈=∆=∆∈∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑∑∑ξλξξξλ[][]件． 答（ ）．既非充分也非必要条．充分必要条件 ．充分条件．必要条件 上可积的，在上连续是，在闭区间函数)( )()( )()()(.2D C B A b a x f b a x f[][] ． ． ． ． 轴围成图形面积和，，直线上连续曲线，由2)()()()(d )()(d )()(d )()()()(.3a b a f b f D x x f C x x f B x x f A S x b a b x a x x f y b a b ab a b a -+=<===⎰⎰⎰23)( 23)(65)( 65)()(d 13.401． ． ． ． D C B A x x --=+⎰- 答（ ）． ． ． ． 则，，若e D e C e B e A x x f x e x x x f x +-+-=⎩⎨⎧<≥=---⎰3)(3)(3)(3)(d )(0)(.51121．． ． ． ，则，且连续，设2212)( 2231)(1222)( 4)()()2()1(d )(0)(.6212-++=+=>⎰D C B A f x x t t f x x f x） 答（ 之值为，则，为可导函数，且已知若21)( 2)(1)( 0)(d )(lim2)0(0)0()(.72D C B A xx x f f f x f xx ⎰→='=的原函数的一般表达 的一个原函数 的原函数一般表达式 的一个原函数 是连续，则设)()()()()()()()()(d )()(.8 x f D x f C x f B x f A t t f x f x a''⎰ 则设函数2223302)( 2)()()()( d )(.9xx xx x t e x D e x C xe B xe A x t te x -------=Φ'=Φ⎰ ，则若x x e x e D e C x B x A x f e dt t f dx d x22220)( )()( )()()(.10---==--⎰- 、、 、 ，则设x x F D x x F C x F B x F A t dt t dt x F x xarctan 2)( arctan )(2)( 0)(11)(.1110202====+++=⎰⎰π （ ） 2)(4)(2)(4)(cos 1sin .12220 2πππππD C B A dx x xx ⎰=+ ） 非零常数 答（ ，则为连续的奇函数，又设)( 0)()()( )()()()()()(.130D C x F B x F A x F dt t f x F x f x -=-=⎰⎰⎰⎰+=2020223)(2)( )()(8)( 0)()()()(.14dx x f D dx x f C B A dx x f x x x f 的值等于，则定积分设－ 答（ ） ，则设a D a C B A xxdxa aa 43)( 2)(0)( 1)(cos 10.15=+>⎰- 答（ ） 的值确定定积分2)(21)(1)(0)(.161 12D C B A dx x ⎰-17. []_____)()(=-⎰-aadx x f a a x f 上连续的奇函数，则，为设18. []______)()(=-⎰-aadx x f a a x f 上连续的偶函数，则，为设19. ⎰=-2102_______1xxdx20. ⎰=+-10 ______11dx x x21. ______2cos sin 20=⎰πxdx x22. ______2cos 3sin 20=⎰πxdx x23. ________sin 1 22=-⎰dx x ππ24. []_________)(1)(31)(31 2=+''⎰dx x f x f x f 上连续，则，在设25. [)_____)2(1)(0)(30 2=+=∞+⎰f x dt t f x f x ，则上连续，且，在设26. [)________)2( , )cos 1()(0)( 0 =+=∞+⎰πf x x dt t f x f x则上连续，且，在27. __________11 0 2=-⎰x dx28. _________2cos 405=⎰dx x π29. ⎰=204_________sin πxdx30. ___________321=⋅⎰dx x x31. ________ 22=-⎰-dx x a aa定积分32. ⎰==xx tdt y 03___________cos 处的导数值为在函数π．计算积分 ⎰+41)12(.33dx xx34. dx e e x x ⎰+-1211计算积分35. ．计算积分dx xx⎰-+2101136. ⎰-+10 )1)(1(．求积分dx x x37. ．求积分⎰+1 0241dx xx38. ．求积分⎰+-111dx x x39. ．计算积分dx xx xx ⎰π--233sin cos cos sin40. ．计算积分⎰+3122)1(x x dx41. ．计算积分⎰--5322x x dx42. ．计算积分⎰πθθ+4302cos 1d43. ．计算积分dx x x ⎰+-529644. ．计算积分dx x x ⎰+-324445. ．计算积分⎰πθθ-202cos 1d46. ．求 ，，设⎰-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<+=20)1( , 011011)(dx x f x x x e x f x47. _______cos 02=⎰πxdx48. ．计算积分dx xx⎰-1 01arcsin49. ．计算积分⎰10arctan xdx50. ⎰10arctan ．计算xdx x51. ．求⎰+21ln 1e xx dx52. ．求⎰+1012dx ex53. ．求dx x x x ⎰+131)1(arctan54. ．求dx e x ⎰--2ln 02155. ．计算积分⎰1arcsin xdx x56. ．计算积分⎰10arcsin xdx57. ．计算积分⎰--2121arcsin )1(xdx x58. ．求dx xx e⎰+13ln59. ．计算积分dx x x ⎰+108153160. ．计算积分⎰π02cos xdx x61. ．计算积分⎰π02sin xdx x62. ．计算积分⎰-4)1cos(dx x63. ．计算积分dx x x x ⎰π-20)sin (64. ．计算⎰-+10)1ln(e dx x65. ⎰+302)1ln(．计算积分dx x x66. ．计算积分⎰edx x 12)(ln67. ．计算积分⎰+10)1ln(dx x x68. ．求⎰+31ln 1ln e dx xx x69. ．求dx e x ⎰-2ln 0170. ．求⎰π4082cos xdx 71. ．求dx xx ⎰π302cos sin72. ．求⎰ππ2121cos 1dx x x73. ．计算积分⎰+10)1ln(dx x74. ．计算积分⎰21ln e dx x75. ．计算积分⎰exdx x 12ln76. ． 计算设⎰⎰==-11)()(22dt t tf I dx e t f t x77. ．求⎰++102132dx xx78. ．求⎰+-2222x x dx79. ．求⎰+216)4(x x dx80. ．求⎰π-03)cos 1(dx x81. ．求⎰π+202sin 8sin dx xx82. ．求⎰-23221x x dx第六章 定积分的应用1、[]求曲线和在上所围成的平面图形的面积y x y x ==2301,.2、.,22积轴旋转所得旋转体的体围成的平面图形绕求由曲线ox y x x y ==2112212121)()()()()()(,,3s s D s s C s s B s s A dx x f s s ba---+=⎰ 则如图表示的面积和、⎰⎰⎰⎰=<<===ab ba e ee exbaybaxdxD dx e C dy e B xdx A A y b a b y a y x y ln )()()(ln )()0(ln ,ln ,ln 4ln ln ln ln 面积为轴所围成的平面图形的及、曲线dyy y D dx x x C dyy yB dx x x A A x y x y )43()()34()()43()()34()(4,35144123121422⎰⎰⎰⎰------------=-== 积所围成的平面图形的面、曲线 dx x x D dx x x C dxx x B dx x x A A y x x y )32()()23()()32()()23()(3,262112112222222222222--------==+=⎰⎰⎰⎰---- 面部分的面积所围成的平面图形上半、求曲线 41)(31)(21)(1)(72 积是所围成的平面图形的面和、曲线D C B A x y x y ==23)(3)(21)(1)(833 积为所围成的平面图形的面和、曲线D C B A x y x y ==积为所确定的平面图形的面及、由不等式2932≤≤≤x x y x34)(320)(1217)(1273)( D C B A3)(1)(0)(22)(0,cos ,sin 10 积是所围成的平面图形的面及、曲线D C B A x x x y x y π====324)(21)(1)(324)(20sin sin 1132-+====πππ 积为所围成的平面图形的面及和、曲线D C B A x x y x y625)(29)(6)(4)(223122 积所围成的平面图形的面与直线、曲线D C B A A y x x y ==+-=1213)(49)(94)(421)()()1(2)4,0(42132002 的平面图形的面积所围成与曲线处的切线上点、曲线D C B A A x y T M M x x y =-=+-=11)()11(2)(1)(1)(0,1ln 14+-+-=====eD e C e e B e e A A y e x ex x y 积所围成的平面图形的面及与直线、曲线15、积为所围成的平面图形的面与直线抛物线x y x x y =-=)2(____________．dt mt k D dt mt k C dt ktm B dt kt f A T t t kt x m TTTT⎰⎰⎰⎰⋅===0520320333)(18)(6)()(0.,16 所做的功为到则从其路程线运动的物体由静止开始作直、一质量为4)(41)(3)( 2)(02)1(1732πππ 旋转体的体积为轴旋转所得的所围成的平面图形绕和直线、由曲线D C B A x x x y =-=6)(4)(3)(2)(10,182ππππ 轴旋转而成旋转体体积所围成的平面图形绕及、由D C B A V y x y x y ====5)(103)(2)()()(1922ππππ 的体积体轴旋转一周所成的旋转所围成的平面图形绕与、由曲线D C B A V y x y x y ===轴旋转成的所围平面图形绕与直线、由曲线oy y x x y 3)1(1202=--= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+-+----+----=12202122122021220212202)11(3)11()()11(3)()11(3)()11(3)()(23232323232323dyy dy y dy y D dyy dy y C dyy dy y B dyy dy y A V πππππππππ 立体的体积3)(1)()1(31)(157)()(22122ππππ 旋转体的体积轴旋转所得的所围成的平面图形绕及、由曲线D C B A V x x x y x y --=-==)1(41)()1(41)()1(41)()2(41)(1ln 21412222222-+-+===-=e D e C e B e A s e x x x x y 长之间的一段曲线弧的弧至自、曲线)1(2)(2)(22)()5(2)(20,c o s ,s i n232222---===⎪⎩⎪⎨⎧==πππππe D e C eB e A s t t t e y t e x tt 之间的一段弧的弧长至自曲线、[]⎰⎰+-+===⎩⎨⎧-=+=πππ022cos )sin (1)()cos (sin 1)(0),cos (sin ,sin (cos 24tdtat t at B dt t t t a A s t t t t t a y t t t a x 一段弧的弧长到从、曲线⎰⎰+ππ2)()sin (1)(atdt D dt t at C 25、求由曲线及直线所围成的平面图形的面积y x y x x x ==-==312,,.26求由曲线及直线所围成的平面图形的面积y x y x x x e ==+==ln ,,.1127、求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积y x y x 224==-.28、求由抛物线与抛物线所围成的平面图形的面积y x y x 2223==-.29、求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积y x x y x =-=().4230、求抛物线与直线所围成的平面图形的面积y x x y x =-=().4231、.9)0(,22为所围成的平面图形的面与使曲线为何值时求x y a ax y a =>= [].,1.2,0,,3222积相等能使图中两阴影部分面为何值时问相交与曲线直线上抛物线是区间、如图a x y ax y x y =+==第五至九章33、[].,),1,0(1,0,,2使图中两阴影面积相等为何值时问上的抛物线是如图t t x y ∈=（32题图） （33题图）34、.4)1,1(23围成的平面图形的面积处切线与抛物线上点试求x x y x y +-==35、求由曲线所围成的平面图形的面积y x y x y x ===222,,.3140)(18)(15250)(36)(,20,20363 力所作的功则到把弹簧从拉伸一个非线性弹簧、力D C B A W x x x x F ===-=旋转直线轴所围成的平面图形绕及、求由曲线22,1,37-====y x x x x y而成的旋转.体的体积38、求曲线上相应于的一段弧的长度y e e x b xx =+≤≤-120().⎰⎰⎰⎰⋅⋅====2.0021.19.,022.0021.19.02212)(12)(12)(12)(,1.19.01239xdx x D xdx x C dx x B dx x A W x x xF 它所做的功推到把一物体从、一变力轴旋转轴及绕绕所围成的平面图形分别和、求由曲线y x x y x y 340==而成的旋转.体的体积轴旋转所围成的平面图形的绕及、求由曲线x x x x y x y 40,,sin 41π====而成的旋转.体的体积轴旋转轴所成的平面图形绕及、求由曲线x x x x xy 1,0,11422==+=而成的旋转.体的体积第七章 微分方程1、求微分方程''+=y y e x 的一条积分曲线，使其在点(,)01处与直线y x =+121相切。
中国地质大学(北京)《高等数学(二)》期末考试拓展学习(三)
地大《高等数学(二)》（三）第二章 多元函数微分法及其应用（二）例1 求曲线x t y t 2 z t 3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程解 因为x t1 y t2t z t3t 2而点(111)所对应的参数t1所以T (1 2 3)于是 切线方程为312111-=-=-z y x法平面方程为 (x1)2(y 1)3(z 1)0 即x 2y 3z 6例2 求曲线x2y 2z 26 x y z 0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程解 为求切向量将所给方程的两边对x 求导数得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x解方程组得z y x z dx dy --= zy y x dx dz --= 在点(1 2 1)处0=dxdy 1-=dxdz从而T (1 0 1)所求切线方程为110211--=+=-z y x法平面方程为 (x1)0(y2)(z1)0 即x z 0例3 求球面x 2y 2z 214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式解 F (x y z ) x 2y 2z 214 F x2x F y2y F z2z F x (1 2 3)2 F y (12 3)4 F z (123)6法向量为n(24 6)或n (1 2 3)所求切平面方程为 2(x1)4(y2)6(z 3)0 即x 2y 3z 140法线方程为332211-=-=-z y x例4 求函数z xe 2y 在点P (1 0)沿从点P (1 0)到点Q (2 1)的方向的方向导数解 这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ 的方向 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e因为函数可微分且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂l z对于三元函数f (x y z )来说它在空间一点P 0(x 0 y 0 z 0)沿e l (coscos cos )的方向导数为),,(000z y x lf∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()cos ,cos ,cos (lim 0000000-+++=+→γβα如果函数f (x y z )在点(x 0 y 0z 0)可微分则函数在该点沿着方向e l (cos。