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初三数学-二次函数的大题

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(完整版)初三数学二次函数较难题型

(完整版)初三数学二次函数较难题型

一、二次函数解析式及定义型问题（ 顶点式中考要点 ）. 把二次函数的图象向左平移 2 个单位， 再向上平移1 个单位， 所得到的图象对应的二次函数关系式是 y （x 则 b 、 c 的值为 10. 抛物线 y x 2ax 4的顶点在 X 轴上，则 a 值为 11. 已知二次函数y 2（x 3）2，当 X 取 x 1和 x 2时函数值相等，当 X 取 x 1+x 2时函数值为 12. 若二次函数 y ax 2k ，当 X 取 X1 和 X2（ x 1 x 2）时函数值相等 , 则当 X 取 X1+X2时，函数值为 13. 若函数 y a （x 3）2过（２. ９）点，则当 X ＝４时函数值 Y ＝14. 若函数 y （x h ）2 k 的顶点在第二象限则， h 0, k 0 15. 已知二次函数当 x=2 时 Y 有最大值是１ . 且过（３ . ０）点求解析式？17. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为６二、一般式交点式中考要点18. 如果抛物线 y=x 2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是 3, 那么 c 的值等于（ ） （A ） 8 （B ） 14 （C ） 8 或 14（ D ）-8 或 -14 19. 二次函数 y=x 2-（12-k ）x+12, 当 x>1 时， y 随着 x 的增大而增大， 当 x<1 时， y 随着 x 的增大而减小， 则 k 的值应取 （ （A ） 12 （ B ）11 （ C ）10（D ） 9 20. 若 b 0 ，则二次函数 y x 2bx 1的图象的顶点在 （ A ）（ A ）第一象限（ B ）第二象限 （ C ）第三象限（ D ）第四象限 21. 不论 x 为何值 , 函数y=ax 2+bx+c （a ≠ 0） 的值恒大于 0 的条件是 （ ）A.a>0, △ >0B.a>0, △ <01)2则原. 如果函数 y （k3）x k2. （ 08 绍兴）已知点3k 2y 1 ) ，2， 1 ），形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同，这个函数解析式为kx 1 是二次函数 , 则 k 的值是 _ .( 兰州 A ．若 y 1 B ．若 C ．若 x 10 y 2，则 x 1 x 2，则x 2y 2 D ．若 x 1 10） 抛物线 x 1 x 2 x 2 ，则y 1 y 2 y 1 b y 2 c 图像向右平移2 个单位再向下平移3 个单位， 所得图像的解析式为 y 2x 3，A . b=2 C . b=-2 . 抛物线 c=2 ， c=-1 (m 1)x 2ax B. b=2 D. b= -3 c=0，(m 23m 4）x 5以 Y 轴为对称轴则。

初三数学二次函数专题训练(含答案)-

初三数学二次函数专题训练(含答案)-

二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 . 5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a?0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x?4a-时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a?0时，图象的开口a?0时，图象的开口 ，顶点坐标是 . 10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 . 14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C.（-1，5） D.（3，4） 17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ） ① 当a?0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当a?0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax ybx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba（ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ） A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函数2ax y =与xay =（a?0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a?0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x?0 C.x?0 D.x?0或x?027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x y B.2)4(22+-=x y C.2)2(22+-=x y D.2)3(32+-=x y 28.二次函数229k ykx x y ++=（k?0）图象的顶点在（ ） A.y 轴的负半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x?0），2x y -=（x?0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a?0，Δ?0 B.a?0,Δ?0C ．a?0,Δ?0 D.a?0,Δ?0 三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方 向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明. 35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a?b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHEDAH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. （1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值； （2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值； （3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值. 40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标. （2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式. （3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式. 41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1）若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. （2）在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时mm m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1）当AC=BC 时，94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y（2）当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y .（3）当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫⎝⎛+=-m m ，∴ 78-=m .∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m)1(122222φ+=++=m m m图代13-3-21 ∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ， ∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10?0，∴d=m 2+1. （3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====， ∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b?-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b?-1，且b ≠0. 同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x?-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，a bx a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x?-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10.二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a 解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a . 解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b . ∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ acx x a b x x =⋅-=+2121,. 又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a cab . ① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOP OC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 3,6,2,====OC OD OB OCOP OD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y . 当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1，得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2） 当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y . 33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°.∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ·OC.又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1×4=4.∴ OB=2（OB=-2舍去）∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0，2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y . 解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5，∴ CD=5.∴ OD=6.∴D 点坐标为（-6，0）.将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2?x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ·OB=OC 2.∴ x 1·x 2=c 2.又由方程032=+-c x ax 知 ac x x =⋅21，∴a c c =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a?0,x 2?x 1， ∴ aa ac x x AB 54912=-=-=. a AE 25=. 又 ED=OC=c ，∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β，∵P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 45,23，又∵a?0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90°∴PA 和⊙D 相切.35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ）=74（米）.答：cc ＇的长为74米.（2）∵ 4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3） 在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y . ∵ 4519)4.07(45377=+-?0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a?0，b?0.∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号.∴ab=m+2?0，∴m?-2.（2）当m?-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m ?0∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.∵ m?-2，∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04φφm ab m b a∴ a?0，b?0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0），∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2?0，即-（m+1）?0，解得 m?-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m 7)21(484422+-=+-=m m m 当m?-1时，Δ?0，∴m 的取值范围是m?-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k?0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p 解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2），∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+= .111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8，∴ 1821⨯=⨯⨯y AB . 即 8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y .当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x .∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+.38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ·AB=2×（2+6）=16.∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHED AH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB.又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ，∴ △DFB ∽△DHB.∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形.∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH.∴ED ∥FH ，∴FH ED AH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF.又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH.以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点，∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH.∴ FHED AH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y.又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y . ∵点A 不与点E 重合，∴ED=x?0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPB OD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ，由ED 2=EF ·EB 得12622=⨯=x ，∵x?0，∴32=x .∴ 0?x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ）故所求函数关系式为6612+-=x y （0?x ≤32）. 39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2， 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ， 化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ·OC=BC ·AD.∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB .图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21 .1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ，∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45. 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OBOC AB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE . E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4512,516，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b ∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===. ∴交点)31,32(m m M . 此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m x m x . ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422 .013891613891622>=+-+-=m m m m∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3），∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CPMP =+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛53,56. 42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1?0，x 2?0，b?0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ·OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1·x 2=b.∵b?0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y .图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x .∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。

初三二次函数大题

初三二次函数大题

初三数学期末复习：二次函数大题（含答案）1.已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1,4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3,0）．（1）求抛物线的解析式；=3，请求出点P的坐（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD标．（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．3.已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C （0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．4.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．5.如图，抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2，-3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB.（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点；M的坐标；若不存在，请说明理由6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．（1）求二次函数的解析式；（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D 的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值．参考答案1、（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），∴根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），定义抛物线y＝﹣x2+2x+3．令y＝0，﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2，∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，∴CD2+BC2＝BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）存在．y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．①若以CD为底边，则P1D＝P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，解得x 1＝，x 2＝＜1，应舍去，∴x ＝，∴y ＝4﹣x ＝，即点P 1坐标为（，）．②若以CD 为一腰，∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 2与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P 坐标为（，）或（2，3）．2、解：（1）设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，将点(3,0)B 代入得，2(31)40a -⨯+=．解得：1a =-．∴抛物线的解析式为：22(1)423y x x x =--+=-++．（2）过点P 作//PQ y 轴交DB 于点Q ，抛物线的解析式为223y x x =-++(0,3)D ∴．设直线BD 的解析式为y kx n =+，∴303k n n +=⎧⎨=⎩，解得：13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BD 的解析式为3y x =-+．设2(,23)P m m m -++，则(,3)Q m m -+，2223(3)3PQ m m m m m ∴=-++--+=-+．PBD PQD PQB S S S ∆∆∆=+ ，2111339(3)3222222PBD S m PQ PQ m PQ PQ m m ∆∴=+⨯⨯-=⨯==-+ ，3PBD S ∆= ，239322m m ∴-+=．解得：11m =，22m =．∴点P 的坐标为(1,4)或(2,3)．（3）(3,0)B ，(0,3)D ，BD ∴==设(,0)M a ，//MN BD ，AMN ABD ∴∆∆∽，∴MN AM BD AB=，14a +=．)4MN a ∴=+，DM ==，DNM BMD ∆∆ ∽，∴DM MN BD DM=，2DM BD MN ∴= ．29)a a ∴+=+．解得：32a=或3a=（舍去）．∴点M的坐标为3(2，0)．3、解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①，将点A的坐标代入直线L的表达式得：0＝﹣k﹣1，解得：k＝﹣1，故直线L的表达式为：y＝﹣x﹣1②；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，将点N的纵坐标代入y＝﹣x﹣1得：m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，解得：x＝﹣m2+2m+2，故点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，∵﹣1＜0，故MN有最大值，当m＝﹣＝时，MN的最大值为；（3）设点M（m，n），则n＝m2﹣2m﹣3③，点M′（s，﹣s﹣1），①当CD为边时，点C向右平移2个单位得到D，同样点M（M′）向右平移2个单位得到M′（M），即m±2＝s且n＝﹣s﹣1④，联立③④并解得：m＝0（舍去）或1或，故点M的坐标为（1，﹣4）或（，）或（，）；②当CD为对角线时，由中点公式得：（0+2）＝（m+s）且（﹣3﹣3）＝（n﹣s﹣1）⑤，联立③⑤并解得：m＝0（舍去）或﹣1，故点M（1，﹣4）；综上，点M的坐标为（1，﹣4）或（，）或（，）．4、解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx +c （a ≠0），将A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=；（2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，），∴S=S △AOM +S △OBM ﹣S △AOB =×4×（﹣m 2﹣m +4）+×4×（﹣m ）﹣×4×4=﹣m 2﹣2m +8﹣2m ﹣8=﹣m 2﹣4m ，=﹣（m +2）2+4，∵﹣4＜m ＜0，当m=﹣2时，S 有最大值为：S=﹣4+8=4．答：m=﹣2时S 有最大值S=4．（3）设P （x ，x 2+x ﹣4）．当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，且PQ=OB，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=﹣x ，则Q （x ，﹣x ）．由PQ=OB ，得|﹣x ﹣（x 2+x ﹣4）|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=﹣x 得出Q 为（4，﹣4）．由此可得Q （﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．5、解：（1）由23y ax bx =+-，得C(0，-3)，∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B(-1，0).···············································1分把A(2，-3)，B(-1，0)分别代入23y ax bx =+-，得423330.a b a b +-=-⎧⎨--=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为223y x x =--；·················3分（2）如图①，连接AC，作BF⊥AC 交AC 的延长线于点F，∵A(2，-3)，C(0，-3)，∴AF//x 轴.·················4分∴F(-1，-3)，∴BF=3，AF=3.∴∠BAC=45°，设D（0，m），则0D=|m|.∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1 (6)分图①∴|m|=1，∴m=±1，∴1D （0，1），2D （0，-1）；················7分（3）设2(23)M a a a --，，N（1，n）.①以AB 为边，则AB//MN，AB=MN，如图②，过M 作ME 垂直对称轴于点E，AF 垂直x 轴于点F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a-1|=3，∴a=4或a=-2，∴M（4，5）或（-2，5）；··········8分②以AB 为对角线，BN=AM，BN//AM，如图③，则N 在x 轴上，M 与C 重合，∴M（0，-3），·································9分综上所述，存在以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形。

初三中考复习时关于二次函数应用的专题复习30题

初三中考复习时关于二次函数应用的专题复习30题

初三中考复习时关于二次函数应用的专题复习30题 1、徒骇河大桥是我市第一座特大型桥梁，大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息极具时代气息((如图①)．大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB 是抛物线的一部分是抛物线的一部分((如图②)，跨径AB 为100m ，拱高OC 为25m ，抛物线顶点C 到桥面的距离为17m ．(1)请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数关系式；(2)七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比AB 所在直线高出1.96m ，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况，一条高出水面4.6m 的游船是否能够顺利通过大桥？2、某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，，商场一天可获利润y 元．元．①求出y 与x 之间的函数关系式;.②商场经营该商品，每件商品应降价多少元时，可获得最大利润,最大利润是多少?3通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x 取何值时，商场获利润不少于2160元？元？ 3、某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中为常数）元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中为常数），，且进货量为1吨时，销售利润为1.4万元；进货量为2吨时，销售利润为2.6万元．万元．（1）求（万元）与（吨）之间的函数关系式．（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和（万元）与（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？多少？4、北方某水果商店从南方购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查这种水果在北方市场上的销售量（吨）与每吨的销售价（万元）之间的函数关系如下图所示：（1）求出销售量与每吨销售价之间的函数关系式；（2）如果销售利润为（万元），请写出与之间的函数关系式；（3）当每吨销售价为多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加元．求：（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．（2分）分）（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．（3分）分）（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（5分）分）6、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表x(元)15 20 30 … y(件)25 20 10 …若日销售量y 是销售价x 的一次函数（1）求出日销售量y （件）与销售价x(元)的函数关系式；的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？7、右图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景的景 观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）（1）求抛物线的解析式.（2）求两盏景观灯之间的水平距离.8、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价（元）（元）与月份之间满足函数关系，去年的月销售量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份月份1月 5月 销售量销售量3.9万台万台4.3万台万台 （1）、求（万台）与月份之间成一次函数关系式（2）、该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？9、如图，一座抛物线型的拱桥，正常水位时桥下水面宽度AB 为29m ，拱顶离水面4m ，桥下水深2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于16m,求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？10、日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；被国家农业部列为对虾养殖重点区域；被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．贝类产品西施舌是日照特产．贝类产品西施舌是日照特产．沿沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表： （单位：千元/吨）吨）品种品种先期投资先期投资 养殖期间投资养殖期间投资 产值产值 西施舌9 3 30 对虾对虾4 10 20.养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x 吨（1）求x 的取值范围；的取值范围；（2）设这两个品种产出后的总产值为y （千元），试写出y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 等于多少时，y 有最大值？最大值是多少？11、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．12、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，（这里的代销是指厂家先免费提供货源，（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，待货物售出后再进行结算，待货物售出后再进行结算，未售未售出的由厂家负责处理）。

初三数学二次函数应用(大题)-题目

初三数学二次函数应用(大题)-题目

专题 二次函数及其应用考点：应用——拱形 题型一 运用解析式1．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是 ．2．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．建立如图所示的直角坐标系，则抛物线的表达式为 ．3．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间近似满足函数关系2(0)y ax x c a =++≠，则水流喷出的最大高度为( )A ．1米B ．32米 C ．2米 D ．138米4．如图，一个涵洞的截面边缘是抛物线形．现测得当水面宽 1.6AB m =时，涵洞顶点与水面的距离是2.4m ．这时，离开水面1.5m 处，涵洞的宽DE 为 ．5．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用216y x bx c =-++表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( )A ．2mB ．4mC ．mD ．6．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O 、B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线21(80)16400y x =--+，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC x ⊥轴．若174AC =米，则水面宽度CD = 米．7．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为m．8．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10m．如果水位以0.25/m h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过h水位达到桥拱最高点O．9．如图，某剧场舞台顶部横剖面拱形可近似地看做抛物线的一部分，其中舞台高度为1.15m，台口高度为13.5m，台口宽度为29m．以ED所在的直线为x轴，过拱顶A且垂直于ED的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求拱形抛物线的函数解析式；m．（2）舞台大幕悬挂在长为20m的横梁MN上，其下沿恰与舞台面接触，求大幕的高度（精确到0.01)题型二车辆通过1．一拱形隧道的轮廓是抛物线如图，拱高6m，跨度20m，（1）建立适当的直角坐标系，求拱形隧道的抛物线关系式（2）拱形隧道下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2．某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6=，有5根AB m=，跨度20OC m支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24/km h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？3．已知某隧道截面拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部宽20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y轴为抛物线的对称轴，求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB BC CD --（其中B 、C 两点在抛物线上，A 、D 两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？ （3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB 不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）考点：应用——文字类 题型一 确定解析式1．某果园有100棵枇杷树．每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，若设增种x 棵枇杷树，投产后果园枇杷的总产量为y 千克，则y 与x 之间的函数关系式为 ．2．顺达旅行社为吸引游客到黄山景区旅游，推出如下收费标准：若某公司准备组织(25)x x >名员工去黄山景区旅游，则公司需支付给顺达旅行社旅游费用y （元)与公司参与本次旅游的员工人数x （人)之间的函数表达式是 ．题型二 性质的运用1．航天飞机从某个时间t 秒开始，其飞行高度为21070021000h t t =-++（单位：英尺），对人而言不低于31000英尺时会感觉到失重，则整个过程中能体会到失重感觉的时间为 秒．2．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h （米)与运动时间t （秒)之间的函数关系式为240(3)409h t =--+，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高103米，则抛出两个小球的间隔时间是( ) A ．1秒 B ．1.5秒 C ．2秒 D ．2.5秒3．一个滑道由滑坡(AB 段）和缓冲带(BC 段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离1y （单位：)m 和滑行时间1t （单位：)s 满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离2y （单位：)m 和在缓冲带上滑行时间2t （单位：)s 满足：2222522y t t =-，滑雪者从A出发在缓冲带BC 上停止，一共用了23s ，则滑坡AB 的长度( )米A ．270B ．280C ．375D ．4504．某市塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式21424y n n =-+-，则企业停产的月份为( ) A ．2月和12月 B ．2月至12月 C ．1月 D ．1月、2月和12月5．随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x （单位：)km ，乘坐地铁的时间1y （单位：)min 是关于x 的一次函数，其关系如下表：（1）求1y 关于x 的函数解析式；（2）李华骑单车的时间2y （单位：)min 也受x 的影响，其关系可以用22111782y x x =-+来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．6．运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度()h m 与它的飞行时间()t s 满足如下函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）； （2）求小球飞行3s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m ？请说明理由．题型三 增长率1．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为(0)x x >，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是 ．题型四 营销利润1．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元经市场调查，该商品每天的销售量y （千克）与售价x （元/千克）满足如下函数关系，部分数据如表：（1）求y 与x 之间的函数表达式．（2）设该商品每天的总利润为W （元)，则当售价x 定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价x 的取值范围是多少？请说明理由．2．公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y （千克）是销售价格x （元/千克）的一次函数，部分数据如表：（1）直接写出y 与之间的函数表达式； （2）求日销售利润为150元时的销售价格；（3）若公司每销售1千克产品需另行支出a 元(010)a <<的费用，当2025x 时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a 的值．3．春节前夕，万果园超市从厂家购进某种礼盒，已知该礼盒每个成本价为32元．经市场调查发现，该礼盒每天的销售量y （个)与销售单价x （元)之间满足一次函数关系．当该款礼盒每个售价为50元时，每天可卖出200个；当该款礼盒每个售价为60元时，每天可卖出100个．（1）求y 与x 之间的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）；（2）若该超市想达到每天不低于240个的销售量，则该礼盒每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？4．某网点销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网点决定提价销售，设销售单价为x 元，每天销售量为y 件．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）当销售单价是多少元时，网店每天获利8960元？（3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a 元(27)a <给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，求a 的值．5．某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资．已知生产每件产品的成本是40元，在销售过程中发现：当销售单价定为120元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x （元)，年销售量为y （万件），年获利为z （万元）．（年获利=年销售额-生产成本-投资） （1）试写出z 与x 之间的函数关系式；（2）请通过计算说明，到第一年年底，当z 取最大值时，销售单价x 定为多少？此时公司是盈利了还是亏损了？6．某超市销售一种文具，进价为5（元/件），售价为6（元/件）时，当天的销售量为100件，在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件，设当天销售单价统一为x （元/件）(6x ，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240（元/件），求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过60%，要使当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．7．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤．x<915x<19次降价后的价格次降价后的价格--120x803x+64400403x-+xx x<之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．设销售该水果第x（天)的利润为y（元)，求y与(115)8．某商场购进一批新型的电脑用于出售给与之合作的企业，每台电脑的成本为3600元，销售单价定为4500元，在该种电脑的试销期间，为了促销，鼓励企业积极购买该新型电脑，商场经理决定一次购买这种电脑不超过10台时，每台按4500元销售；若一次购买该种电脑超过10台时，每多购买一台，所购买的电脑的销售单价均降低50元，但销售单价均不低于3900元．（1）企业一次购买这种电脑多少台时，销售单价恰好为3900元？（2）设某企业一次购买这种电脑x台，商场所获得的利润为y元，求y（元)与x（台)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．若A企业欲购进一批该新型电脑（不超过25台），则A企业一次性购进多少台电脑时，商场获得的利润最大？（3）该商场的销售人员发现：当企业一次购买电脑的台数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获得的利润反而减少这一情况，为使企业一次购买的数量越多，商场所获得的利润越大，商场应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9．2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a 元(a 为常数，且40100)a <<，每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x 万件乙产品时需上交20.5x 万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润1y （万元）、2y （万元）与相应生产件数x （万件）(x 为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？考点：应用——图像类题型一 已知几何图象1．某农场拟用总长为60m 的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长为40)m ，其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm ，总占地面积为2ym ．（1）求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围；（2）当x 为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？2．如图，用长33米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长15米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x米，院墙的面积为S平方米．（1）直接写出S与x的函数关系式；（2）若院墙的面积为143平方米，求x的值；a a<米的门，且面积S的最大值为165平方米，求a的值．（3）若在墙的对面再开一个宽为(3)3．为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为60m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则BC长为15m时，能围成的矩形区域ABCD的面积最大．4．某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．（1）若6a=．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0 6.5<<，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．a5．为了美化校园，学校准备利用一面墙（墙足够长）和20米的篱笆围成一个如图所示的等腰梯形的花圃，设腰长∠=︒，花圃的面积为S平方米．BAB CD x==米，120（1）求S与x的函数关系式．<，求此时AB的长．（2）若梯形ABCD AB BC题型二已知变量间的图象1．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y（元/件）与x（天)之间的关系如图所示，并连续60天均以80元/件的价格出售，第x天该产品的销售量z（件)与x（天)满足关系式=+．z x15（1）第25天，该商家的成本是元，获得的利润是元；（2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式；②求出第几天的利润最大，最大利润是多少？2． 2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克10元．调查发现，每天销售量()y kg 与销售单价x （元)满足如图所示的函数关系（其中1030)x ．（1）写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）当销售单价x 为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？3．某销售商准备采购一批衣服，经调查，用20000元采购A 款服装的件数与用16000元采购B 款服装的件数相等，一件A 款服装进价比一件B 款服装进价多100元．（1）求一件A 、B 款服装的进价分别为多少元？（2）若销售商购进A 、B 款服装共50件，其中A 款的件数不大于B 款的件数，且不少于16件，设购进A 款服装m 件．①求m 的取值范围．②假设购进的A 、B 款的衣服全部售出，据市场调研发现A 款服装售价y 与A 的销售件数m 的关系如图．若B 款服装售价为600元，则当m 为多少时，销售商能获得最大利润，最大利润为多少？4．为提高校园绿化率，美化校园，某示范高中准备购买一批樟树和樱花树，一共100棵，其中樟树不少于10棵．园林部门称樟树成活率为70%，樱花树的成活率为90%，学校要求这批树的成活率不低于80%．樟树的单价y和购1买数量x的函数关系以及樱花树的单价y和购买数量x的函数关系如图所示．2（1）写出y关于x的函数关系式；1（2）请你帮学校作个预算，购买这批树最少需要多少钱？5．绿色植物销售公司打算销售某品种的“赏叶植物”，在针对这种“赏叶植物”进行市场调查后，绘制了以下两张函数图象．其中图象①为一条直线，图象②为一条抛物线，且抛物线顶点为(6,1)，请根据图象解答下列问题：（1）如果公司在3月份销售这种“赏叶植物”，单株获利多少元；（2）请直接写出图象①中直线的解析式；（3）请你求出公司在哪个月销售这种“赏叶植物”，单株获利最大？（备注：单株获利=单株售价-单株成本）题型三 已知二次函数图象1．如图，抛物线215222y x x =-+交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，当ABC ∆纸片上的点C 沿着此抛物线运动时，则ABC ∆纸片随之也跟着水平移动，设纸片上BC 的中点M 坐标为(,)m n ，在此运动过程中，n 与m 的关系式是( )A ．2111()228n m =-- B ．2137()228n m =-+C ．2171()228n m =--D ．21917()228n m =-- 2．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b ，c 的值：（2）如图1，点P 是第一象限抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线l ，交BC 于点H ．当P H C ∆为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E ．已知直线3y kx k =-+与二次函数图象相交于M 、N 两点，求证：无论k 为何值，EMN ∆恒为直角三角形．3．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴负半轴于点C ．（1）则点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ．（2）如图1，过点A 的直线y ax a =+交y 正半轴于点F ，交抛物线于点D ，过点B 作//BE y 轴交AD 于E ，求证：AF DE =．（3）如图2，直线:DE y kx b =+与抛物线只有一个交点D ，与对称轴交于点E ，对称轴上存在点F ，满足DF FE =．若1a =，求点F 坐标．4．如图，抛物线21262y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 为抛物线对称轴上一动点．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）连接OD，CD，求OCD周长的最小值；（3）在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．。

九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇

九年级数学二次函数专项训练含答案-精选5篇

九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4 B ．有最小值4 C ．有最大值6 D ．有最小值6 2．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5) 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =--- 4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+ B ．2(4)y x =+ C ．28y x x =+ D ．2164y x =- 5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）A ．22(2)1y x =-+-B ．22(2)1y x =--+C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，①320a b +>，①24b a c ac >++，①a c b >>．正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论：①c ≥−2 ；①当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；①若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3；①当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12． 其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①① 10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =①方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根①若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ①不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________．16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______．17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．（1）若(1,0)A -，则b =______．（2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______．三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式 19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到①ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）①ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得①ACE 与①ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：①抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，①设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，①()()21545y x x x x =-+-=-++．①该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y = ∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x=-=-⨯()3,0C-∴点()2,0D-，连接,BD交对称轴于,MMD MC∴=，此时，MB MC MB MD BD+=+=最小，此时：BD=MBC∴20．解：（1）对于y x=x=0时，y=当y=0时，03x-=，妥得，x=3①A（3，0），B（0，把A（3，0），B（0，2y bx c++得：+=0b cc⎧⎪⎨=⎪⎩解得，bc⎧=⎪⎨⎪=⎩①抛物线的解析式为：2y x x=-（2）抛物线的对称轴为直线12bxa=-==故设P（1，p），Q（m，n）①当BC为菱形对角线时，如图，①B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，①①BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴①在菱形BQCP 中，BC ①PQ①PQ ①x 轴①点P 在x =1上，①点Q 也在x =1上，当x =1时，211y①Q （1，）； ①当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，①BC //PQ ，且BC =PQ①BC //x 轴，①令y =2y 解得，120,2x x ==①(2,C①PQ=BC=22①PB=BC=2①迠P在x轴上，①P(1,0)①Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，①抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，①点A（﹣2，0），点B（8，0），①对称轴为直线x＝3，①①ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，①当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，①点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，①连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，①0＝8k ﹣8，①k ＝1，①直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，①点D （3，﹣5）；（3）存在，①点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），①直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，①①ACE 与①ACD 面积相等，①DE ①AC ，①设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，①﹣5＝﹣4×3+n ，①n ＝7，①DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ①点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝（2x ﹣1）2 B ．y ＝（x +1）2﹣x 2 C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +32．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或33．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ） A ．1,3,5a b c ==-= B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-=5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≠ B ．a≥0C ．a=2D ．a>06．下列函数中①31y x ；①243y x x =-；①1y x=；①225=-+y x ，是二次函数的有（） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A ．a≠0，b≠0，c≠0 B ．a<0，b≠0，c≠0 C ．a>0，b≠0，c≠0 D ．a≠0二、填空题 9．若()2321m m y m x --=+是二次函数，则m 的值为______．10．若22ay x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；①3y x =-；①2431y x x =-+；①2(1)y m x bx c =-++；①y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数． 14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数； ① 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________． 三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？ 22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m x +8． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D 9．4 10．2± 11．0 12．①13． 4，-2 4 14． 1 3215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数18．（1）m （2）m ≠m ≠19．①a≠0；①b=0或-1，a 取全体实数①当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2+bx +c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y14．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B作BF⊥l于点F∴BF＝OE＝∵BF+AE＝OE+AE＝OA＝∴S△ABC＝S△BCD+S△ACD＝CD•BF+CD•AE∴S△ABC＝CD（BF+AE）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C（0，3），则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+12．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知线段DE与线段BC关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求落在对称轴上的点的坐标；（3）如图2，点M为第二象限抛物线上，作MN∥BC交抛物线于点N，直线NB、MC 交于点P，求P点的横坐标．22．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为．（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA′交y轴于点Q，连接AM，AQ，此时△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A，O，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y关于x的二次函数的是（）A．y＝4x B．y＝3x﹣5C．y＝D．y＝2x2+1解：A．根据二次函数的定义，y＝4x是一次函数，不是二次函数，故A不符合题意．B．根据二次函数的定义，y＝3x﹣5不是二次函数，是一次函数，故B不符合题意．C．根据二次函数的定义，y＝是反比例函数，不是二次函数，故C不符合题意．D．根据二次函数的定义，y＝2x2+1是二次函数，故D符合题意．故选：D．2．已知：a＞b＞c，且a+b+c＝0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．解：A、由图知a＞0，﹣＝1，c＞0，即b＜0，∵已知a＞b＞c，故本选项错误；B、由图知a＜0，而已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，必须a＞0，故本选项错误；C、图C中条件满足a＞b＞c，且a+b+c＝0，故本选项正确；D、∵a+b+c＝0，即当x＝1时a+b+c＝0，与图中与x轴的交点不符，故本选项错误．故选：C．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）解：∵二次函数可化为y＝（x﹣3）2+5，∴二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），故选：D．4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故选：D．5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6解：y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，∴当x＜2时，y随着x增大而增大，∴当x＝时有最大值y＝﹣2（﹣2）2+2＝﹣2.5，故选：C．6．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+1解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+1，∵所求抛物线与函数y＝的图象相同且开口方向相反，∴a＝﹣，∴所求的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1．故选：D．7．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1解：当x＝﹣1时，y1＝（x﹣1）2＝（﹣1﹣1）2＝4；当x＝1时，y2＝（x﹣1）2＝（1﹣1）2＝0；当x＝2时，y3＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，所以y2＜y3＜y1．故选：C．8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．4解：根据表格数据可知：抛物线的对称轴是直线x＝＝，∴③错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0有两根为x1＝﹣2，x2＝3；故①正确；从表格可知当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点为（0，6）；∴②正确；从表格可知：当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，故④错误．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对解：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠OBE＝∠OCF＝45°，∵BE＝CF，∴△BOE≌△COF，∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，即∠EOF＝∠BOC＝90°，且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，由垂线段最短可得，当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，△OEF面积取最小值为×2×2＝2，∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，故选：A．10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°解：把（25，0.725），（50，0.06），（60，0.09）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴y＝0.0001x2﹣0.008x+0.21＝0.0001（x﹣40）2+0.05，∵0.0001＞0，∴x＝40时，y最小为0.05，∴燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为40°，故选：B．二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为3．解：∵函数是二次函数，∴m2﹣7＝2且m+3≠0，解得：m＝3．则m的值为3．故答案为：3．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，则点B的横坐标．x B的值为5．解：∵y＝x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴点A，B关于直线x＝2对称，∵点A横坐标为﹣1，∴点B横坐标为5，故答案为：5．13．已知二次函数y＝ax2开口向上，且|2﹣a|＝3，则a＝5．解：∵|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，解得：a＝﹣1或5，又二次函数y＝ax2开口向上，则a＞0，故a＝5．故答案为：5．14．已知抛物线y＝x2﹣3x+1的图象上有一点A（m，n），则m﹣n的最大值是3．解：∵点A（m，n）在抛物线y＝x2﹣3x+1上，∴n＝m2﹣3m+1，∴m﹣n＝﹣m2+4m﹣1＝﹣（m﹣2）2+3，∴当m＝2时，m﹣n有最大值为3，故答案为：3．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，若AB+CD＝3，则c的值为﹣．解：设A（x1，0），B（x2，0），令y＝0，则y＝﹣x2+2x+c＝0，由根与系数的关系得：x1+x2＝2，x1•x2＝﹣c，则AB＝|x1﹣x2|＝＝＝2，令x＝0，则y＝c，∴C（0，c），∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为c，当y＝c时，则﹣x2+2x+c＝c，解得：x＝2，或x＝0，∴D（2，c），∴CD＝2，∵AB+CD＝3，∴2+2＝3，解得：c＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝10，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为142．解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EBF＝90°，∵EF＝10，点G是EF的中点，∴BG＝EF＝10＝5，∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD 面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，∵AB＝12＝CD，BC＝16＝AD，∴AC＝20，S△ACD＝×12×16＝96，∴BH＝＝，∴G'H＝BH﹣5＝﹣5＝，∴S△ACG'＝AC•G'H＝×20×＝46，∴S四边形AG'CD＝S△ACD+S△ACG'＝46+96＝142，即四边形AGCD面积的最小值是142．故答案为：142．三．解答题（共7小题）17．看图回答．（1）当y＝0时，求x的值；（2）当y＞5时，求x的范围；（3）y随x的增大而增大时，求x的范围．解：（1）由图象可知，抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），∴当y＝0时，x的值为﹣1和3；（2）∵抛物线经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，﹣3）得，﹣3＝﹣3a，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3），令y＝5得5＝（x+1）（x﹣3），解得x1＝4，x2＝﹣2，∴当y＞5时，求x的范围是x＞4或x＜﹣2；（3）∵y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向上，顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1，∴y随x的增大而增大时，x的范围是x＞1．18．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1；（2）开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣1）；（3）x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小．19．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5r2+20t，求小球飞行高度达到最高时的飞行时间．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答：小球飞行高度达到最高时的飞行时间为2s．20．“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），。

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。

初三数学09 二次函数-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

初三数学09 二次函数-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)

专题09 二次函数一．选择题1．（2022·陕西）已知二次函数223y x x =--的自变量123,,x x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．当110x -<<，212x <<，33x >时，1y ，2y ，3y 三者之间的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<【答案】D【分析】先将抛物线配成顶点式，求出对称轴为1x =，再求出抛物线与x 轴的两个交点坐标为(1,0)-和(3,0)，根据开口向上即可判断．【详解】解： 抛物线2223(1)4y x x x =--=--，∴对称轴1x =，顶点坐标为(1,4)-，当0y =时，2(1)40--=x ，解得1x =-或3x =，∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：(1,0)-，(3,0)，∴当110x -<<，212x <<，33x >时，213y y y <<，故选：D ．【点睛】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解决问题的关键，记住在抛物线的左右函数的增减性不同，确定对称轴的位置是关键，属于中考常考题型．2．（2022·山东潍坊）抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．4-D ．4【答案】B【分析】根据抛物线与x 轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c 的值．【详解】解：∵y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，∴x 2+x +c =0有两个相等的实数根，∴△=1-4c =0，解得：c =14．故选：B ．【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．3．（2022·湖南郴州）关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大【答案】D 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y =（x -1）2+5，∵a =1>0，故抛物线开口向上，故A 错误；顶点坐标为（1，5），故B 错误；该函数有最小值，是小值是5，故C 错误；当1x >时，y 随x 的增大而增大，故D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．4．（2022·山东青岛）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，对称轴为直线1x =-，且经过点(30)-，，则下列结论正确的是（ ）A ．0b >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．30a c +=【答案】D【分析】图象开口向下，得a <0， 对称轴为直线12b x a=-=-，得b =2a ，则b <0，图象经过(30)-，，根据对称性可知，图象经过点(1)0，，故c >0，当x =1时，a +b +c =0，将b =2a 代入，可知3a +c =0．【详解】解：∵图象开口向下，∴a <0，∵对称轴为直线12b x a=-=-，∴b =2a ，∴b <0，故A 不符合题意；根据对称性可知，图象经过(30)-，，∴图象经过点(1)0，，∴c >0，故B 不符合题意；当x =1时，a +b +c =0，故C 不符合题意；将将b =2a 代入，可知3a +c =0，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．5．（2022·黑龙江哈尔滨）抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ）A ．(9,3)-B ．(9,3)--C ．(9,3)D ．(9,3)-【答案】B【分析】根据二次函数的顶点式2()y a x h k =-+可得顶点坐标为(,)h k 即可得到结果．【详解】∵二次函数解析式为22(9)3y x =+- ，∴顶点坐标为(9,3)--；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．6．（2022·浙江湖州）把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( )A ．y=2x -3B ．y=2x +3C ．y=2(3)x +D ．y=2(3)x -【答案】B【分析】根据二次函数图像平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式.【详解】∵抛物线y=x 2向上平移3个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y=x 2+3.故答案为：B.【点睛】本题考查二次函数的平移，熟记平移规律是解题的关键.7．（2022·湖北武汉）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】D 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m ＜0，n ＜0，即可得出一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限．【详解】解：∵抛物线的顶点（-m ，n ）在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0，∴m ＜0，∴一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n 、m 的符号．8．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数2y x =的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度 ④沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数2y x =向右平移2个单位长度得到：()22y x =-，把点(2,0)代入得：()2220y =-=，所以该平移方式符合题意；②将二次函数2y x =向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：()211y x =--，把点(2,0)代入得：()22110y =--=，所以该平移方式符合题意；③将二次函数2y x =向下平移4个单位长度得到：24y x =-，把点(2,0)代入得：2240y =-=，所以该平移方式符合题意；④将二次函数2y x =沿x 轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：24y x =-+，把点(2,0)代入得：2240y =-+=，所以该平移方式符合题意；综上所述：正确的个数为4个；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．9．（2022·湖南岳阳）已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥或0m <B ．m 1≥C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-【答案】A 【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y 轴的交点坐标，再分两种情况：0m >或0m <，根据二次函数的性质求得m 的不同取值范围便可．【详解】解：∵二次函数2243y mx m x =--，∴对称轴为2x m =，抛物线与y 轴的交点为()0,3-，∵点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，∴①当0m >时，对称轴20x m =>，此时，当4x =时，3y ≤-，即2244433m m ⋅-⋅-≤-，解得m 1≥；②当0m <时，对称轴20x m =<，当04x ≤≤时，y 随x 增大而减小，则当04p x ≤≤时，3p y ≤-恒成立；综上，m 的取值范围是：m 1≥或0m <．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．10．（2022·四川宜宾）已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，若以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则a 的取值范围是（ ）A ．13a ≥B ．13a >C ．103a <<D ．103a <≤【答案】A【分析】根据题意，设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．【详解】解： 抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-()222819y ax ax a a x a ∴=--=--顶点坐标为()1,9a -，6AB = ,以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，93a ∴-≤-解得13a ≥故选：A【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．11．（2022·山东威海）如图，二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是( )A ．b ＞0B ．a +b ＞0C ．x ＝2是关于x 的方程ax 2+bx ＝0（a ≠0）的一个根D ．点（x 1，y 1），（x 2，y 2）在二次函数的图像上，当x 1＞x 2＞2时，y 2＜y 1＜0【答案】D【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可．【详解】解：根据图像知，当1x =时，0y a b =+>，故B 选项结论正确，不符合题意，0a < ，0b ∴>，故A 选项结论正确，不符合题意；由题可知二次函数对称轴为12b x a=-=，2b a ∴=-，20a b a a a ∴+=-=->，故B 选项结论正确，不符合题意；根据图像可知2x =是关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 的一个根，故C 选项结论正确，不符合题意，若点()11,x y ，()22,x y 在二次函数的图像上，当122x x >>时，120y y <<，故D 选项结论不正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．12．（2022·广西）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先由反比例函数图象得出b >0，再分当a >0，a <0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数(0)b y b x =≠的图象在第一和第三象限内，∴b >0，若a <0，则-2b a >0，所以二次函数开口向下，对称轴在y 轴右侧，故A 、B 、C 、D 选项全不符合；当a >0，则-2b a<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，故只有C 、D 两选项可能符合题意，由C 、D 两选图象知，c <0，又∵a >0，则-a <0，当c <0,a >0时，一次函数y =cx -a 图象经过第二、第三、第四象限，故只有D 选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．13．（2022·山东潍坊）如图，在▱ABCD 中，∠A =60°，AB =2，AD =1，点E ，F 在▱ABCD 的边上，从点A 同时出发，分别沿A →B →C 和A →D →C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C 时停止，线段EF 扫过区域的面积记为y ，运动时间记为x ，能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分0≤x ≤1，1<x <2，2≤x ≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x ≤1时，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，∵∠A=60°，AE=AF=x，x，∴AG=12由勾股定理得FG，AE×FG2，图象是一段开口向上的抛物线；∴y=12当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=1，2由勾股定理得DH(DF+AE)×DH∴y=12当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI x)，CF×EI x)22，图象是一段开口向下的抛物线；∴y= AB×DH -12观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．14．（2022·辽宁）如图，在Rt ABC 中，90,24ABC AB BC ∠=︒==，动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB 匀速运动，当点P 运动到点B 时，停止运动，过点P 作PQ AB ⊥交AC 于点Q ，将APQ 沿直线PQ 折叠得到A PQ ' ，设动点P 的运动时间为t 秒，A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为S ，则下列图象能大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意易得AP t =，1tan 2A ∠=，则有12PQ t =，进而可分当点P 在AB 中点的左侧时和在AB 中点的右侧时，然后分类求解即可．【详解】解：∵90,24ABC AB BC ∠=︒==，∴1tan 2A ∠=，由题意知：AP t =，∴1tan 2PQ AP A t =⋅∠=，由折叠的性质可得：,90A P AP APQ A PQ ''=∠=∠=︒，当点P 与AB 中点重合时，则有2t =，当点P 在AB 中点的左侧时，即02t ≤<，∴A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为211112224A PQ S A P PQ t t t ''=⋅=⋅= ；当点P 在AB 中点的右侧时，即24t ≤≤，如图所示：由折叠性质可得：,90A P AP t APQ A PQ ''==∠=∠=︒，1tan tan 2A A '∠=∠=，∴4BP t =-，∴24A B t '=-，∴tan 2BD A B A t ''=⋅∠=-，∴A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积为()()2111324442224PBDQ S BD PQ PB t t t t t ⎛⎫=+⋅=+-⋅-=-+- ⎪⎝⎭梯形；综上所述：能反映A PQ ' 与ABC 重叠部分的面积S 与t 之间函数关系的图象只有D 选项；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．15．（2022·贵州铜仁）如图，若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若OAC OCB ∠=∠．则ac 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．12-D ．13-【答案】A 【分析】观察图象，先设11(,0)(<0)A x x ，22(,0)(>0)B x x ，(0,)C c (>0)c ，根据已知条件OAC OCB ∠=∠及OC AB ⊥证明OAC OCB ∽△△，得出21212x x c x x ⋅==-⋅，利用根与系数的关系知12c x x a ⋅=，最后得出答案．【详解】设11(,0)(<0)A x x ，22(,0)(>0)B x x ，(0,)C c (>0)c ，∵二次函数2y ax bx c =++的图象过点(0,)C c ，∴OC c =，∵OAC OCB ∠=∠，OC AB ⊥，∴OAC OCB ∽△△，∴OA OC OC OB=，∴2OC OA OB =⋅，即21212x x c x x ⋅==-⋅，令20ax bx c ++=，根据根与系数的关系知12c x x a ⋅=，∴212c x x c a -=-=，故1ac =- 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠与关于方程20ax bx c ++=(0)a ≠之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·黑龙江牡丹江）若二次函数2y ax =的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点（ ）A ．（2，4）B ．（－2，－4）C ．（－4，2）D ．（4，－2）【答案】A【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P （－2，4）代入2y ax =，得()2421a a =-⇒=，∴二次函数解析式为2y x =．∴所给四点中，只有（2，4）满足2y x =．故选A ．17．（2022·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A ．()221y x =--B ．()223y x =-+ C ．21y x =+ D ．21y x =-【答案】D【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数()211y x =-+的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为()2211121y x x =-++-=-故选D ．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．18．（2022·四川遂宁）如图，D 、E 、F 分别是ABC 三边上的点，其中8BC =，BC 边上的高为6，且DE //BC ，则DEF 面积的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A 【分析】过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于点N ，则AN ⊥DE ，设AN a =，根据∥DE BC ，证明ADE ABC ，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到43DE a =，列出DEF 面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．【详解】如图，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交DE 于点N ，则AN ⊥DE ，设AN a =，DE BC ∥，,ADE B AED C ∴∠=∠∠=∠，ADE ABC ∴ ，DE AN BC AM ∴=，86DE a ∴=，∴43DE a =,2211422(6)4(3)622333DEF S DE MN a a a a a ∴=⋅⋅=⨯⨯-=-+=--+ ，∴当3a =时，S 有最大值，最大值为6，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．19．（2022·四川自贡）已知A(−3，−2)，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥−2；②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④【答案】D【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)，∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)，又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ，∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3，根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；令y=0，则ax2+bx+c=0，设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1x2=ca，∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x22224 ()4b c b aca a a-=--⨯=，根据顶点坐标公式，2424ac ba-=-，∴248ac ba-=-，即248b aca-=，∵四边形ACDB为平行四边形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴8a=42=16，解得a=12，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D ．．【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y 轴上的情况．20．（2022·江苏泰州）已知点()()()1233,,1,,1,y y y --在下列某一函数图像上，且312y y y <<那么这个函数是( )A ．3y x=B ．23y x =C ．3y x =D ．3y x=-【答案】D【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y 1、y 2、y 3的值，比较大小即可得出答案．【详解】解：A ．把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x ，解得y 1=-9，y 2=-3，y 3=3，所以y 1<y 2<y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；B ．把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x 2，解得y 1=27，y 2=3，y 3=3，所以y 1>y 2=y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；C ． 把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =3x ，解得y 1=-1，y 2=-3，y 3=3，所以y 2<y 1<y 3，这与已知条件312y y y <<不符，故选项错误，不符合题意；D ． 把点()()()1233,,1,,1,y y y --代入y =-3x ，解得y 1=1，y 2=3，y 3=-3，所以312y y y <<，这与已知条件312y y y <<相符，故选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．21．（2022·广西贺州）已知二次函数y =2x 2−4x −1在0≤x ≤a 时，y 取得的最大值为15，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y =15时，x 的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数y =2x 2-4x -1=2（x -1）2-3，∴抛物线的对称轴为x =1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x =1的右侧，y 随x 的增大而增大，∵当0≤x ≤a 时，即在对称轴右侧，y 取得最大值为15，∴当x =a 时，y =15，∴2（a -1）2-3=15，解得：a =4或a =-2（舍去），故a 的值为4．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．22．（2022·内蒙古包头）已知实数a ，b 满足1b a -=，则代数式2267a b a +-+的最小值等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【分析】由已知得b =a +1，代入代数式即得a 2-4a +9变形为(a -2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b -a =1，∴b =a +1，∴a 2+2b -6a +7=a 2+2(a +1)-6a +7=a 2-4a +9=(a -2)2+5，∵(a -2)2≥0，∴当a =2时，代数式a 2+2b -6a +7有最小值，最小值为5，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a -2)2+5是解题的关键．23．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为1x =-，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①2b a =；②32a -<<-；③24<0ac b -；④若关于x 的一元二次方程24ax bx c m ++=- (0)a ≠有两个不相等的实数根，则m >4；⑤当x <0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的对称轴为1x =-，∴1,2b x a=-=- ∴2,b a =故①正确；∵函数图象开口向下，对称轴为1x =-，函数最大值为4，∴函数的顶点坐标为（-1，4）当x =-1时，4-+=a b c∴24a a c -+=∴4c a =+，∵二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象与y 轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，∴1<c <2∴1<4+a <2∴32a -<<-，故②正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->∴24<0ac b -，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程24ax bx c m ++=-有两个不相等的实数根，∴044m <-<∴48m <<，故④错误；由图象可得，当x >-1时，y 随x 的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③，共3个，故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．24．（2022·湖北鄂州）如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）的图像顶点为P （1，m ），经过点A （2，1）；有以下结论：①a <0；②abc ＞0；③4a +2b+c ＝1；④x >1时，y 随x 的增大而减小；⑤对于任意实数t ，总有at 2+bt ≤a +b ，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a 、b 、c 的正负即可解答；③将点A 的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a ＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P （1，m ）∴12b a-=，b =-2a ∵a ＜0∴b ＞0∵抛物线与y 轴的交点在正半轴∴c ＞0∴abc ＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A （2，1）∴1＝a ·22+2b +c ，即4a +2b +c ＝1，故③正确；④∵抛物线的顶点为P （1，m ），且开口方向向下∴x >1时，y 随x 的增大而减小，即④正确；⑤∵a ＜0∴at 2+bt -（a +b ）= at 2-2at -a +2a = at 2-2at +a =a （t 2-2t +1）= a （t -1）2≤0∴at 2+bt ≤a +b ，则⑤正确综上，正确的共有4个．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．25．（2022·四川雅安）抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）①当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；②若点（3，y 1），（4，y 2）在其图象上，则y 2＞y 1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣5）2﹣5；④函数图象与x 轴有两个交点，且两交点的距离为6．A ．②③④B ．①②④C ．①③D ．①②③④【答案】B【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x 轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．【详解】解： y ＝（x ﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；故①符合题意；y ＝（x ﹣2）2﹣9的对称轴为2x =，而3242,-<- 21,y y ∴> 故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x +1）2﹣5，故③不符合题意；当0y =时，则()2290,x --= 解得：125,1,x x ==- 而()516,--= 故④符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x 轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．二．填空题26．（2022·辽宁营口）如图1，在四边形ABCD 中，,90,45BC AD D A ∠=︒∠=︒∥，动点P ，Q 同时从点A 出发，点P /s 的速度沿AB 向点B 运动（运动到B 点即停止），点Q 以2cm /s 的速度沿折线AD DC →向终点C 运动，设点Q 的运动时间为(s)x ，APQ 的面积为()2cm y ，若y 与x 之间的函数关系的图像如图2所示，当7(s)2x =时，则y =____________2cm ．【答案】354【分析】根据题意以及函数图像可得出AED APQ ∽，则点Q 在AD 上运动时，APQ 为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时3x =，则26cm AD x ==，当34x <≤时，过点P 作PF AD ⊥于点F ，则此时APQ APF ADQ PQDF S S S S =+- 四边形，分别表示出相关线段可得y 与x 之间的函数解析式，将7(s)2x =代入解析式求解即可．【详解】解：过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，在Rt ADE △中，∵90AED ∠=︒，45EAD ∠=︒，∴AE AD =，∵点P /s ，点Q 的速度为2cm /s ，∴,2AP AQ x =，∴AP AQ 在APQ 和AED 中，∵AE AP AD AQ =45A ∠=︒，∴AED APQ ∽，∴点Q 在AD 上运动时，APQ 为等腰直角三角形，∴AP PQ ==，∴当点Q 在AD 上运动时，21122y AP AQ x =⋅==，由图像可知，当9y =此时面积最大，3x =或3-（负值舍去），∴26cm AD x ==，当34x <≤时，过点P 作PF AD ⊥于点F ，如图：此时APQ APF ADQ PQDF S S S S =+- 四边形，在Rt APQ 中，AP =，45A ∠=︒，∴AF PF x ==，6FD x =-，26QD x =-，∴2111(26)(6)6(26)222APQ S x x x x x =++-⋅--⨯⨯- ，即26y x x =-+，所以当7(s)2x =时，227735(6(cm )224y =-+⨯=，故答案为：354．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．27．（2022·江苏无锡）把二次函数y =x 2+4x +m 的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m 应满足条件：________．【答案】m >3【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m -4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m -3），根据题意得到不等式m -3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y =x 2+4x +m =(x +2)2+m -4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m -4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m -4+1），即（1，m -3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m -3>0，解得：m >3，故答案为：m >3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．28．（2022·福建）已知抛物线22y x x n =+-与x 轴交于A ，B 两点，抛物线22y x x n =--与x 轴交于C ，D 两点，其中n ＞0，若AD ＝2BC ，则n 的值为______．【答案】8【分析】先求出抛物线22y x x n =+-与x 轴的交点，抛物线22y x x n =--与x 轴的交点，然后根据2AD BC =，得出224AD BC =，列出关于n 的方程，解方程即可。

初三数学二次函数测试题及答案

初三数学二次函数测试题及答案

初三数学二次函数测试题及答案初三数学二次函数测试附详细答案一、选择题：（共24分）1.(B)2.(A)3.(D)4.(D)5.(D)6.(B)7.(C)8.(B)二、填空题：（共50分）9.1）开口向上，对称轴是直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；2）与x轴的交点为（﹣3，0），与y轴的交点为（0，3）。

10.a=﹣1，b=4，c=3.11.向左平移1个单位得到。

12.y=﹣2(x+2)2﹣5.13.给定点A（1，3）、点B（-2，-6）和对称轴为y轴，求抛物线的解析式。

14.给定抛物线y=-2x^2+4x+1，求其在x轴上的截距长度。

15.给定抛物线y=x^2+(m-2)x+(m^2-4)的顶点在原点，求m的值。

16.给定抛物线y=-x^2-2x+m的顶点在x轴上方，求m的值。

17.给定二次函数y=(m-1)x^2+2mx+3m-2，求当m等于多少时，函数取得最大值。

18.给定二次函数y=ax^2+bx+c，使得函数值永远为负数的条件是a0.19.如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴分别交于A（-1,0）、点B（3,0）和点C（0,-3），一次函数的图像与抛物线交于B、C两点。

1）求二次函数的解析式；2）当自变量x增大时，两函数的函数值都随之增大；3）当自变量x取何值时，一次函数值大于二次函数值；4）当自变量x取何值时，两函数的函数值的积最小。

20.给定抛物线y=ax^2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，求点M（a，c）在第几象限。

21.给定抛物线y=x^2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，求b的值。

22.某商人将进货价为8元的商品按每件x元出售，每天可销售100件，每涨价1元其销售量就减少10件。

问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大，并求出最大利润。

23.在三角形ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6.在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，使DE在AB上。

初三数学 二次函数较高难度综合题(含详细答案)

初三数学 二次函数较高难度综合题(含详细答案)

绝密★启用前2015-2016学年度二次函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图像如图所示，其对称轴为x =1，有如下结论：① c ＜1 ②2a +b =0 ③2b ＜4a c ④若方程02=++c bx ax 的两个根为1x ，2x ，则1x +2x =2.则结论正确的是【 】A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2．如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．x ＜－1或x ＞53．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）.4．在同一平面直角坐标系内，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋8x ＋b 的图象可能是（ ）5．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（0，y 2）是抛物线上两点，则y 1＜y 2，其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④6．若函数y=mx ²+（m+2）12m+1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ）A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－27．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图，有下列5个结论：①abc ＞0；②b＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m （am ＋b ）（m ≠1的实数）其中正确的结论个数有（ ）-1O x =1y xA 、2个B 、3个C 、4个D 、5个8．已知抛物线2(41)21y x m x m =-++-与x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点（0，12-）的下方，那么m 的取值范围是（ ）A ．1164m << B ．16m < C ．14m > D ．全体实数9．在同一坐标系中，函数2y ax b =+与2y bx ax =+的图象，只可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+k 和函数y=﹣kx 2+4x+4（k 是常数，且k ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下，则a 的值为（ ）A ．1 D 12．抛物线222y x x =-＋-经过平移得到2y x =-，平移方法是（ ）A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位13．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，其对称轴为直线x =−1，给出下列结果：（1）b 2>4ac ；（2）abc ＞0；（3）2a +b =0；（4）a +b +c >0；（5）a −b +c <0．则正确的结论是（ ）A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）（5）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（4）（5）二、填空题（题型注释）14．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a >）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b+c 的值为 ．15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②248b ac a ->-；③4a+c ＜0；④2a －b+l ﹤0．其中正确的结论是（填写序号） ．16．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜0；②a-b+c ＜0；③b+2a ＜0；④abc ＞0．其中所有正确结论的序号是______．A ．②③B ．①②C ．③④D ．①④17． 抛物线a bx ax y 32-+=经过A （1-，0）、C （0，3-）两点，与x 轴交于另一点B 。

初三数学-二次函数单元测试题及答案

初三数学-二次函数单元测试题及答案

一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2 =2 C. x=-4 D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，准确的是( )A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y1<y2<y3B. y2<y3<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )A.B.C.D.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；20.在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.21.(1)求二次函数解析式；22.(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.23.21.已知：如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点.(1)求抛物线的解析式； (2)求△MCB 的面积S △MCB .22.某商店销售一种商品，每件的进价为元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就能够多售出200件.请你分析，销售单价多少时，能够获利最大.23，如图，已知抛物线21(0)2y x mx n n =++≠与直线y =x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA ＝OB ，BC ∥x 轴．(1)求抛物线的解析式．(2)设D 、E 是线段AB 上异于A 、B 的两个动点(点E 在点D 的上方)，DE ＝2，过D 、E 两点分别作y 轴的平行线，交抛物线于F 、G ，若设D 点的横坐标为x ，四边形DEGF 的面积为y ，求x 与y 之间的关系式，写出自变量x 的取值范围，并回答x 为何值时，y 有最大值．答案与解析： 一、选择题1.考点：二次函数概念.选A.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k 的形式，顶点坐标即为(h ，k)，y=x 2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3. 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：能够直接由顶点式形式求出顶点坐标实行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x 轴上，答案选C.4. 考点：数形结合，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：二次函数的图象特征. 解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C. 6. 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征. 解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D. 7. 考点：二次函数的图象特征.解析：因为二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9. 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.10. 考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.二、填空题11. 考点：二次函数性质.解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1. 12.考点：利用配方法变形二次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13. 考点：二次函数与一元二次方程关系.解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14. 考点：求二次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15. 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，及△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16. 考点：二次函数的性质，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.17. 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18. 考点：二次函数的概念性质，求值.答案：.三、解答题19.考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20. 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8∴x1x2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0∴k=5 ∴y=x2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为：y=(x-2)2-9且x=0时y=-5∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME⊥y轴于点E，则可得S△MCB=15.22. 思路点拨：通过阅读，我们能够知道，商品的利润和售价、销售量相关系，它们之间表现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量.要想获得最大利润，并不是单独提升单个商品的利润或仅大幅提升销售量就能够的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大.因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全能够找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是元了.单个的商品的利润是这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y元.利用上面的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润.解：设销售单价为降价x 元.顶点坐标为，.即当每件商品降价元，即售价为时，可取得最大利润元 23，(1)∵抛物线212y x mx n =++与y 轴交于点C ，∴C(0，n ) ∵BC ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为n ，∵B 、A 在y =x 上，且OA =OB ∴B (n ，n )，A (-n ，-n )，∴221212n mn n n n mn n n⎧++=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩ 解得n =0(舍去)，n =-2；m =1，∴所求解析式为：2122y x x =+-；(2)作DH ⊥EG 于H ，∵D 、E 在直线y =x 上，∴∠EDH =45°，∴DH =EH ，∵DE 2∴DH =EH =1，∵D (x ，x ) ∴E (x +1，x +1)，∴F 的纵坐标：2122x x +-，G 的纵坐标：21(1)(1)22x x +++-，∴DF =x -(2122x x +-)=2-212x ，EG =(x +1)- [21(1)(1)22x x +++-]=2－21(1)2x +， ∴22111[22(1)]1222y x x =-+-+⨯，2132y x x =--+，213()324y x =-++， ∴x 的取值范围是-2<x <1 当x =-12时，y 最大值=334．~。

九年级数学上册初三：二次函数专题训练(含答案)

九年级数学上册初三：二次函数专题训练(含答案)

1．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴于A (1，0)、B 两点，交y 轴于C (0，3)(1) 求抛物线的解析式(2) 直线y ＝kx ＋4交y 轴与E ，交抛物线于P 、Q ．若EQ ＝PE ，求k(3) 将直线AC 向右平移，平移后的直线交y 轴于点M ，交抛物线于点N ．若AN ＝CM ，求点N 的坐标解：(1) y ＝x 2－4x ＋3(2) E (0，4)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)∵EQ ＝PE∴x 1＋x 2＝0 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=4342kx y x x y ，整理得x 2－(k ＋4)x －1＝0，∴x 1＋x 2＝k ＋4＝0，k ＝－4 (3) 过点C 作CG ⊥MN 于G ，AH ⊥MN 于H∵MN ∥AC∴CG ＝AH∵AN ＝CM∴Rt △CMG ≌Rt △ANH （HL ）∴∠CMG ＝∠ANH延长NA 交y 轴于点P∴∠P AC ＝∠ANH ，∠PCA ＝∠CMG∴∠P AC ＝∠PCA∴PC ＝P A设P (0，m )，则PC ＝3－m ＝P A ，在Rt △AOP 中，12＋m 2＝(3－m )2，m ＝34 ∴P (0，34) ∴直线P A 的解析式为3434+-=x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=3434342x x y x y ，解得x 1＝35，x 2＝1 由图可知，点N 在点A 的右侧∴x ＝35，∴N (9835-，)2．已知抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 与x 轴交于A (－1，0)、B (3，0)两点，一次函数y ＝kx ＋b 的图象l 经过抛物线上的点C (m ，n )(1) 求抛物线的解析式(2) 若m ＝3，直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的值(3) 若k ＝－2m ＋2，直线l 与抛物线的对称轴相交于点D ，点P 在对称轴上．当PD ＝PC 时，求点P 的坐标解：(1)y ＝x 2＋2x ＋3(2)l ：y ＝kx －3k联立⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=kkx y x x y 3322∴△＝(k －2)2＋4(3k ＋3)＝0解得k ＝－4 (3)过点C 作CH ⊥DP 于点H∵k ＝－2m ＋2直线l 过点C (m ，n )∴n ＝－m 2＋2m ＋3∴b ＝m 2＋3∴l ：y ＝(－2m ＋2)x ＋m 2＋3点D 时直线l 与抛物线对称轴的交点当x ＝1时，y ＝－2m ＋2＋m 2＋3＝8－n∴D (1，8－n )设点P (1，p )，则PD ＝8－n －p ，H ＝m －1，PH ＝p －n在Rt △PCH 中，PC ＝PD ＝8－n －p∴(8－n －p )2＝(p －n )2＋(m －1)2即(8－2n )(8－2p )＝m 2－2m ＋1 ∵n ＝－m 2＋2m ＋3∴2(4－n )(8－2p )＝4－n∴2(8－2p )＝1∴P ＝415 ∴P (1，415)3．已知二次函数y ＝x 2＋bx －3（b 为常数）的图象经过点A (－1，0)(1) 若直线y ＝3x ＋n 与该抛物线交于点A 和点B ，求点B 的坐标(2) P (m ，t )为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为Q① 当点Q 落在该抛物线上时，求m 的值② 当点Q 落在第二象限内，QA 的平方取得最小值时，求m 的值解：(1) B (6，21)(2) 将P (m ，t )、Q (－m ，－t )代入y ＝x 2－2x －3中，得⎪⎩⎪⎨⎧-+=---=323222m m t m m t ，解得3±=m (2) ∵Q (－m ，－t )在第二象限∴－m ＜0，－t ＞0，得m ＞0，t ＜0∵抛物线的顶点为(1，－4)∴－4＜t ＜0将P (m ，t )代入中，得t ＝m 2－2m －3∵Q (－m ，－t )、A (－1，0)∴QA 2＝(－m ＋1)2＋(－t )2＝t 2＋t ＋4＝415)21(2++t 当21-=t 时，QA 2最小此时m 2－2m －3＝21-，解得2142±=m ∴2142+=m 4．已知直线y ＝x ＋m 与抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2＋2m 相交于A 、B 两点（A 在B 的左边） (1) 若m ＝－1① 求A 、B 两点的坐标② 点M 是抛物线上A 、B 之间的动点（不与A 、B 重合），MN ⊥x 轴，交直线y ＝x ＋m 于N ．求当线段MN 取最大值时，点M 的坐标)解：(1)A (－1，－2)、B (0，－1)(2)设M (t ，t 2＋2t －1)则N (t ，t －1)∴MN ＝－t 2－t ＝－(t ＋21)2＋41 当t ＝－21时，MN ＝MNmax ∴P (－21，47)5．已知二次函数y ＝ax 2＋bx －4a ＋2b(1) 二次函数图象过定点P ，则点P 的坐标为___________(2) 已知点A 的坐标为(0，1)，连接AP ，将线段AP 绕点P 旋转90°得到线段BP ．若点B 二次函数的图象上，求a 与b 的数量关系(3) 已知二次函数图象与一次函数y ＝bx －3b 的图象交于点)22(--b ab a ，，求二次函数的解析式解：(1)(-2，0)(2) ①若逆时针旋转时，B 1 (－3，2)代入解析式中2=a (－3)2＋b (－3)－4a ＋2b∴9a －3b －4a ＋2b ＝2∴5a －b ＝2 (a ≠0)②若顺时针旋转时，B 2 (－1，－2)代入解析式中－2＝a (－1)2＋b (－1)－4a ＋2b∴－3a ＋b ＝2（a ≠0）(3)将2,2a b b a -⎛⎫-⎪⎝⎭分别代入y ＝bx －3b 和y ＝ax 2＋bx －4a ＋2b 中 分别得到①2ab ＝2a －b 2②ab ＝2a ∵ab ＝2a ，a ≠0∴b ＝2 ③③代入①中∴a ＝－2∴ y ＝－2x 2＋2x ＋126．已知抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，其对称轴为x ＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E (5，0)，与y 轴交于点D (0，－2)(1) 求抛物线l 2的函数表达式(2) P 为直线x ＝1上一点，连接P A 、PC ．当P A ＝PC 时，求点P 的坐标(3) M 位抛物线l 2上一动点，过M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ．求点M 从点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值解：(1)y ＝21x 2﹣2x ﹣25(2)设P 点坐标为(1，y )，由(1）可得C 点坐标为(0，3) ∴PC 2＝12+(y ﹣3)2＝y 2﹣6y +10，P A 2＝[1﹣(﹣1)]2+y 2＝y 2+4∵PC ＝P A∴y 2﹣6y +10＝y 2+4，解得y ＝1∴P 点坐标为(1，1)(3)由题意可设M (x ，21x 2﹣2x ﹣25) ∵MN ∥y 轴，则N (x ，﹣x 2+2x +3)，21x 2﹣2x ﹣25 令﹣x 2+2x +3＝21x 2﹣2x ﹣25，可解得x ＝﹣1或x ＝311 ①当﹣1＜x ≤311时 MN ＝(﹣x 2+2x +3)﹣(21x 2﹣2x ﹣25)＝﹣23x 2+4x +211＝﹣23(x ﹣34)2+649 显然﹣1＜34≤311∴当x ＝34时，MN 有最大值649 ②当311＜x ≤5时 MN ＝(21x 2﹣2x ﹣25)﹣(﹣x 2+2x +3)＝23x 2﹣4x ﹣211＝23(x ﹣34)2﹣649 显然当x ＞34时，MN 随x 的增大而增大 ∴当x ＝5时，MN 有最大值，23×(5﹣34)2﹣649＝127．如图，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），AB ＝4，与y 轴交于点C ，OC ＝OA ，点D 为抛物线的顶点(1) 求抛物线的解析式(2) 点M (m ，0)为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，可得矩形PQNM ．如图，点P 在点Q 左边，当矩形PQNM 的周长最大时，求m 的值，并求出此时的△AEM 的面积(3) 已知H (0，－1)，点G 在抛物线上，连HG ，直线HG ⊥CF ，垂足为F ．若BF ＝BC ，求点G 的坐标解：(1) ∴y ＝－x 2－2x ＋3 (2) 直线AC 的解析式为y ＝x ＋3∵M (m ，0)∴N (－m －2，0)∴MN ＝－m －2－m ＝－2m －2∵P (m ，－m 2－2m ＋3)∴PM ＝－m 2－2m ＋3∴C 矩形PQNM ＝2(PM ＋MN )＝－2m 2－8m ＋2＝－2(m ＋2)2＋10当m ＝－2时，C 矩形PQNM 有最大值为10此时，E (－2，1)∴S △AEM ＝21×1×1＝21 (3) 延长FH 、CB 交于点P∵BF ＝BC∴B 为CP 的中点（实质为斜边中线的逆用）∴P (2，－3)直线HP 的解析式为y ＝－x －1联立⎪⎩⎪⎨⎧+--=--=3212x x y x y ，解得)(2171217121舍去，+-=--=x x ∴G (21172171---，)1．已知，抛物线C 1：y ＝x 2－mx ＋m 2＋1的顶点为P(1) ① 抛物线C 1的顶点坐标为_____________(用含m 的式子表示)② 抛物线C 1的顶点始终在某条抛物线上运动，这条抛物线的解析式为_____________(2) 直线y ＝x ＋m 与抛物线C 1交于点M ，求点M 的坐标(3) ① 将m ＝2时，抛物线C 1的解析式为_____________② 将该抛物线向下平移5个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线C 2，抛物线C 2与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧) ，直线y ＝kx －3k ＋4与抛物线C 2交于E 、F 两点，求△BEF 的面积的最小值解：(1) ①P (143212+m m ，) ② y ＝3x 2＋1(2) 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=mx y m mx x y 122，整理得x 2－(1＋m )x ＋m 2＋1－m ＝0 ∵△＝(1＋m )2－4(m 2＋1－m )＝－3(m －1)2≥0∴m ＝1方程可化为x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1∴M (1，2)(3) ① y ＝x 2－2x ＋5② C 2的解析式为y ＝(x －2)2－1直线y ＝kx －3k ＋4过定点Q (3，4)∴BQ ∥y 轴∴S △BEF ＝21×BQ ×|x E －x F |＝2|x E －x F | 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=34432x x y k kx y ，整理得x 2－(4＋k )x ＋3k －1＝0 ∴x E ＋x F ＝k ＋4，x E x F ＝3k －1∴|x E －x F |＝16)2()13(4)4(4)(222+-=--+=-+k k k x x x x F E F E当k ＝2时，有最小值为4，S △BEF 有最小值为8说明：最后一问还是m ＝22．如图，地物线y ＝ax 2－2ax －3与x 轴交于点A (﹣1，0）与点B ，顶点为P ，直线l ：y ＝kx ＋6经过抛物线上一点C (m ，n )(1) 求抛物线的解析式(2) 若k ＝2m ，直线l 与抛物线交于另一点M ，过点M 作抛物线的对称轴的垂线，垂足为点G ，连接CG ，CG ＝MG ，求m 的值(3) 若k ＝m －4，直线与抛物线交于另一点D ，△PCD 的面积为6，求m 的值解：(1)y ＝x 2－2x －3(2)由(1)得n ＝m 2－2m －3，n ＝2m 2＋b∴b ＝－m 2－2m －3∴l ：y ＝2mx －m 2－2m －3联立⎪⎩⎪⎨⎧---=--=3223222m m mx y x x y 得x M ＝m ＋2，y M ＝m 2＋2m －3 ∵CG ＝MG 抛物线对称轴为x ＝1∴(m ＋2－1)2＝(1－m )2＋(m 2＋2m －3－m 2＋2m ＋3)2解得m ＝0或41 (3)同(2)可得直线l 的解析式为y ＝(m －4)x ＋2m －3联立⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=32)4(322m x m y x x y 得x D ＝－2 设抛物线的对称轴与CD 交于点Q∴Q (1，3m －7)∵P (1，－4) ∴21|3m －7＋4|·|m ＋2|＝6 ∴m ＝－3或23．如图1，抛物线y ＝ax 2－2x －3与x 轴交于点A 、B (3，0)，交y 轴于点C(1) 求a 的值(2) 过点B 的直线l 与(1)中的抛物线有且只有一个公共点，则直线l 的解析式为(3) 如图2，已知F (0，－7)，过点F 的直线m ：y =kx －7与抛物线y ＝x 2－2x －3交于M 、N 两点，当S △CMN =4时，求k 的值解：(1)a ＝1(2)x ＝3或y ＝4x －12(3)联立⎪⎩⎪⎨⎧-=--=7322kx y x x y 化简得：x 2－(2＋k )x ＋4＝0 ∴x M ＋x N ＝k ＋2，x M ·x N ＝4∵S △CMN ＝|S △CFN －S △CFM |＝21CF |x M －x N |＝4 ∴21×4×N M N M x x x x 42)(-+＝4 ∴(k ＋2)2＝20∴k ＝－2+25或－2－254．如图1，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋3a （a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C(1) 填空：A 点坐标是__________B 点坐标是__________(2) 当a ＝1时，如图1，将直线BC 沿y 轴向上平移交抛物线于M 、N ，交y 轴于点P ，求证：PM －PN 是定值(3) 当41=a 时，如图2，直线y ＝kx －3k ＋4与抛物线交E 、F 两点，求△BEF 的面积的最小值解：(1)A(1，0)，B(3，0)(2)证明：作NF ⊥y 轴由F ，ME ⊥y 轴于Ea ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3 ∴BC ：y ＝﹣x +3，设直线BC 平移后的解析式为y ＝﹣x +k易知△NPF ，△MEP 是等腰Rt △∴PN ＝2NF ，PM ＝2EM ，设N （x 1，y 1），M （x 2，y 2）联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=kx y x x y 342，化简得x 2﹣3x +3﹣k ＝0∴x 1+x 2＝3 ∵PM ﹣PN ＝2(EM ﹣FN)＝2[x 2﹣(﹣x 1)]＝2(x 1+x 2)＝32为定值(3)过点B 作BM ⊥AB 交EF 于M当a ＝41，抛物线的解析式为y ＝41x 2﹣x +43 ∵B (3，0)∴M (3，4)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， 联立⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=4343412k kx y x x y 化简得x 2﹣(4+4k )x +12k ﹣13＝0∴x 1+x 2＝4+4k ，x 1x 2＝12k ﹣13∵S △EFB ＝21•BM •[(x 2﹣3)+(3﹣x 1)]＝2(x 2﹣x 1) ＝264)21(16268161624x 2221221+-=+-=-+k k k x x x ）（ ∴当k ＝21时，S △EFB min ＝161．如图，抛物线y ＝－41x 2＋3x 与x 轴相交于点D ，直线y ＝(3－m ) x ＋m 2与y 轴相交于点B ，与抛物线有公共点A(1) 求证：直线AB 与抛物线只有唯一的公共点(2) 过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，当∠ADF ＝60°时，求AF 的长(3) 如图2，E 为抛物线的顶点，BE 交抛物线于点H ．当H 为BE 的中点时，求m 的值解：(1)﹣14x 2＋3x ＝(3﹣m ) x ＋m 2 化简得x 2﹣4m x ＋4m 2＝0 ∴△＝0∴直线与抛物线只有唯一的公共点(2)由(1)知，点A 的横坐标为2m 当x ＝2m 时，y ＝﹣14 (2m )2＋6m ＝6m －m 2∴AF ＝6m －m 2，OF ＝2m ∵D （12，0），∴FD ＝12－2m ∵∠ADF ＝60°，∴AF ＝3FD 即，3(12－2m )＝6m －m 2 m 2－6m －23m ＋123＝0 （m －6）（m －23）＝0 m 1＝6，m 2＝2 3当m ＝6时，A （12，0）(舍)∴m ＝2 3 (3)点E （6，9），B （0，m 2） ∴BE ：y ＝9－m 26x ＋m 2联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=22269341m x m y x x y 化简得﹣14 x 2＋3x ＝692m -x ＋m 2 即41x 2＋692m -x ＋m 2＝0 ∵x ＝6是方程的一个根，设另一根为n ，则6n ＝4 m 2 ∴n ＝32m 2，即点H 的横坐标为32m 2 当H 为BE 的中点时，点E 的横坐标是H 的横坐标的2倍 ∴32m 2＝9∴ m ＝±2232．如图，将函数y ＝x 2－2x (x ≥0)的图象沿y 轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数y ＝x 2－2|x |的图象 (1) 观察思考：函数图象与x 轴有_____个交点，所以对应的方程x 2－2|x |＝0有_____个实数根；方程x 2－2|x |＝2有_____个实数根；关于x 的方程x 2－2|x |＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是_____ 拓展探究：① 如图2，将直线y ＝x ＋1向下平移b 个单位，与y ＝x 2－2|x |的图象有三个交点，求b 的值 ② 如图3，将直线y ＝kx (k ＞0)绕着原点旋转，与y ＝x 2－2|x |的图象交于A 、B 两点(A 左B 右)，直线x ＝1上有一点P ，在直线y ＝kx (k ＞0)旋转的过程中，是否存在某一时刻，△P AB 是一个以AB 为斜边的等腰直角三角形(点P 、A 、B 按顺时针方向排列)．若存在，请求出k 值；若不存在，请说明理由解：(1)3，3，2，﹣1＜a ＜0(2)①设平移后的直线的解析式为y ＝x ＋1－b当直线y ＝x +1﹣b 经过原点或与抛物线y ＝x 2+2x 只有一个交点时，与y ＝x 2﹣2|x |的图象有三个交点∴1﹣b ＝0，b ＝1由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=x x y b x y 212∴x 2+x ﹣1+b ＝0，由题意△＝0∴1﹣4(﹣1+b)＝0∴b ＝45∴b ＝1或45 (3)中，作BE ⊥直线x ＝1于E ，AF ⊥直线x ＝1于F ∵∠AFP ＝∠PEB ＝∠APB ＝90°∴∠APF +∠P AF ＝90°，∠APF +∠BPE ＝90° ∴∠P AF ＝∠BPE ∵P A ＝PB ∴△P AF ≌△BPE ∴AF ＝PE ，PF ＝BE由⎪⎩⎪⎨⎧+==x x y kxy 22解得⎩⎨⎧==0011y x 或⎩⎨⎧-=-=)2(222k k y k x ∴A [k ﹣2，k （k ﹣2）] 由⎪⎩⎪⎨⎧-==x x y kxy 22解得⎩⎨⎧==0011y x 或⎩⎨⎧+=+=)2(222k k y k x ∴B [k +2，k(k +2)]∴BE ＝PF ＝k +1，AF ＝PE ＝3﹣k ∴P(1，k 2﹣3k ﹣1)∴k 2+2k ﹣(k 2﹣3k ﹣1)＝3﹣k ∴k ＝313．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与直线y ＝x ＋1相交于A (－1，0)、B (4，m )两点，且抛物线经过点C (5，0) (1) 求抛物线的解析式(2) 点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、点B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E① 当PE ＝2ED 时，求P 点坐标② 是否存在点P 使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)y ＝﹣x 2＋4x ＋5(2)①设P (x ，﹣x 2＋4x ＋5)，则E (x ，x ＋1)，D (x ，0) 则PE ＝|﹣x 2＋4x ＋5﹣(x ＋1)|＝|﹣x 2＋3x ＋4|，DE ＝|x ＋1| ∵PE ＝2ED∴|﹣x 2＋3x ＋4|＝2|x ＋1|当﹣x 2＋3x ＋4＝2(x ＋1)时，解得x ＝﹣1(舍)或x ＝2 ∴P (2，9)当﹣x 2＋3x ＋4＝﹣2(x ＋1)时，解得x ＝﹣1(舍)或x ＝6 ∴P (6，﹣7) ∴P (2，9)或(6，﹣7)②设P (x ，﹣x 2＋4x ＋5)，则E (x ，x ＋1)，且B (4，5)，C (5，0)BE ＝2)51()4(22=-++-x x |x －4|，CE ＝2682)1()5(222+-=++-x x x x BC ＝26)05()54(22=++-当△BEC 为等腰三角形时，则有BE ＝CE 、BE ＝BC 或CE ＝BC 三种情况： 当BE ＝CE 时，则2|x －4|＝26822+-x x ，解得x ＝43，此时P 点坐标为(43，16119) 当BE ＝BC 时，则2|x ﹣4|＝26，解得x ＝4+13或x ＝4﹣13 此时P 点坐标为(4+13，﹣413﹣8)或(4﹣13，413﹣8) 当CE ＝BC 时，则26822+-x x ＝26，解得x ＝0或x ＝4(舍) 此时P 点坐标为(0，5)综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(43，16119)或(4+13，﹣413﹣8)或(4﹣13，413﹣8)或(0，5)4．如图，抛物线与x 轴交于点A 、B (3，0)，与y 轴交于点C ，其顶点D 的坐标为(1，－4)，P 为抛物线上x 轴下方一点 (1) 求抛物线的解析式(2) 若∠PCB ＝∠ACB ，求点P 的坐标(3) 过点P 的直线交抛物线于点E ，F 为抛物线上点E 的对称点，直线EP 、FP 分别交对称轴于点M 、N ，试探究DM 与DN 的数量关系，并说明理由解：(1) y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3(2)过点B 作BM ⊥AB 交CP 延长线于点M则△ABC ≌△MBC (SAS ) ∴BM ＝AB ＝4 ∴M (3，－4)∴y CM ＝－31x －3由⎪⎩⎪⎨⎧--=--=323312x x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==9323511y x 或⎩⎨⎧-==3022y x (舍)∴P (35，－932)(3) 设y EP ＝kx ＋b ，则M (1，k ＋b )由⎪⎩⎪⎨⎧--=+=322x x y bkx y 得x 2－(2＋k )x －3－b ＝0∴x E ＋x p ＝2＋k ① x E ·x P ＝－3－b ② 设y FP ＝mx ＋n , 则N (1, m ＋n )同理得x F ＋x P ＝2＋m ③，x F ·x P ＝－3－n ④ ∵点E 、F 关于x ＝1对称 ∴x E ＋x F ＝2 ①＋③得x P ＝22mk ++ ②＋④得x P ＝26nb --- ∴2＋k ＋m ＝－6－b －n 即k ＋m ＋4＝－4－m －n又DM ＝k ＋m ＋4，DN ＝－4－m －n ∴DM ＝DN1．如图，抛物线与x 轴交于点A ，B (3，0)，与y 轴交于点C ，其顶点D 的坐标为(1，－4)，P 为抛物线上x 轴下方一点 (1) 求抛物线的解析式(2) 若∠PCB ＝∠ACB ，求点P 的坐标 (3) 若直线y ＝21x ＋a 与抛物线交于M ，N 两点，问：是否存在a 的值，使得∠MON =90°，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由解：(1)y ＝x 2-2x -3(2)过点B 作BM ⊥AB 交CP 延长线于点M易证△ABC ≌△MBC (SAS ) ∴BM ＝AB ＝4M (3，－4)∴y CM ＝331--x联立⎪⎩⎪⎨⎧--=--=323312x x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==9323511y x 或⎩⎨⎧-==3022y x (舍)∴P (35，932-) (3)假设a 存在，联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=32212x x y a x y 整理得2x 2－5x －6－2a =0 ∴x 1＋x 2＝25，x 1x 2＝－a －3 又∵y 1＝21x 1＋a ，y 2＝21x 2＋a ∴y 1y 2＝a 2＋a －43 ∵∠MON ＝90°∴OM 2＋ON 2＝MN 2∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴－a －3＋a 2＋a －43＝0解得a ＝215或－215∴存在a ＝215或－215使得∠MON ＝90°2．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (4，5)、C (0，－3)，其顶点为B (1) 求抛物线的解析式(2) P 在抛物线上，若∠BAP ＝45°，求P 点坐标(3) 过A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过D (0，3)作直线，交抛物线于E 、F ．若E 、F 到AH 的距离之和为7，求直线EF 的解析式解：(1)y =x 2－2x －3(2)作BH ⊥AP 于H 点∵y ＝x 2－2x ﹣3＝(x ﹣1)2﹣4∴点B 的坐标为(1，﹣4)设H (m ，n ) AH 2＝(m ﹣4)2＋(n ﹣5)2，BH 2＝(m ﹣1)2＋(n ＋4)2，AB 2＝(1﹣4)2＋(﹣4﹣5)2＝90 ∵∠BAP ＝45°∴△ABH 为等腰直角三角形 ∴(m ﹣4)2＋(n ﹣5)2＝(m ﹣1)2＋(n ＋4)2∴m ＝4﹣3n∵(m ﹣4)2＋(n ﹣5)2＋(m ﹣1)2＋(n ＋4)2＝90∴n 2﹣n ﹣2＝0，解得n 1＝﹣1，n 2＝2 当n ＝﹣1时，m ＝7，此时H (7，﹣1)∴AH ：y ＝﹣2x ＋13 联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=321322x x y x y 得⎩⎨⎧==54y x 或⎩⎨⎧=-=214y x ，此时P (﹣4，21)当n ＝2，m ＝﹣2，此时H (﹣2，2)∴AH ：y ＝21x ＋3 联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=323212x x y x y 得⎩⎨⎧==5411y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=492322y x ，此时P (﹣23，49)∴P (﹣23，49)，(﹣4，21)(3)设EF ：y ＝kx ＋3设E 、F 点的横坐标分别为x 1、x 2 ∵x 1、x 2为方程x 2﹣2x ﹣3＝kx ＋3的两根方程整理得x 2﹣(k ＋2)x ﹣6＝0∴x 1＋x 2＝k ＋2，x 1•x 2＝﹣6 作EM ⊥MH 于M ，FN ⊥MH 于N当E 、F 点分别在直线MH 的左侧，则EM ＝4﹣x 1，FN ＝4﹣x 2 ∴4﹣x 1＋4﹣x 2＝7，即x 1＋x 2＝1 ∴k ＋2＝1，解得k ＝﹣1 ∴EF ：y ＝﹣x ＋3当E 、F 点分别在直线MH 的两侧(E 点在右侧)，则EM ＝x 1﹣4，FN ＝4﹣x 2 ∴x 1﹣4＋4﹣x 2＝7，即x 1﹣x 2＝7 ∴(x 1﹣x 2)2＝49，即(x 1＋x 2)2﹣4x 1x 2＝49 ∴(k ＋2)2＋24＝49，解得k 1＝﹣7(舍)，k 2＝3 ∴EF ：y ＝3x ＋3∴EF ：y ＝﹣x ＋3或y ＝3x ＋33．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++-=221与x 轴交于A ，B 两点(A 左B 右)，与y 轴交于点C (0，2)，已知此抛物线的对称轴为直线23-=x (1) 求此抛物线的解析式(2) 如图1：已知P 为抛物线第二象限上的一点，是否存在这样的点P 使S △ACP ＝4，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由(3) 如图2：连AB ，BC ，点Q 为抛物线第四象限上的一点，若∠QAB ＝∠BCO ，求点Q 的坐标3．已知抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C (1) 求A 、B 、C 三点的坐标(2) 经过A 、B 两点作⊙M ，交抛物线于点D （点D 在对称轴右侧）．若∠DMB ＝90°，求点M 的坐标(3) 如图1，点Q 是抛物线对称轴上，纵坐标为415的点，点E 是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q 为圆心，QE 为半径作圆交抛物线于点F （点F 在对称轴的右侧），求证：直线EF 抛物线有唯一公共点解：(1)A (－1，0)、B (3，0)、C (0，－3)(2)设抛物线的对称轴直线x ＝1与x 轴交于点N ，过点D 作DH ⊥直线x ＝1于点H ∴∠DHM ＝∠DMB ＝∠BNM ＝90°∴∠DMH ＝∠MBN 又∵BM ＝DM ∴△BNM ≌△MHD ∴BN ＝HM ＝2，设MN ＝DH ＝x ∴点D 的坐标为D (1＋x ，2＋x )又∵点D 在抛物线上 ∴(1＋x )2－2(1＋x )－3＝2＋x 整理得：x 2－x －6＝0解得：x 1＝3，x 2＝－2(舍)∴x ＝3∴M (1，3)(3)过点F 作FH ⊥QE 于点H ，连接FQ 设F (a ，a 2－2a －3)，E (1，n )则QE ＝QF ＝－415－n HQ ＝a 2－2a －3－(－415)＝(a －1)2－41，HF ＝a -1在Rt △HQF 中，由勾股定理得［(a －1)2－41］2＋(a －1)2＝(－415－n )2 ∵QE ＝－415－n ，QE ＞0∴(a －1)2＋41＝－415－n ∴n ＝－(a －1)2－4∴E [1，－(a －1)2－4] 设EF ：y ＝kx ＋b ，把点E [1，－(a －1)2－4]，F (a ，a 2－2a －3)分别代入y ＝kx ＋b得：⎪⎩⎪⎨⎧--=+---=+4)1(4)1(22a b ak a b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3)1(22a b a k 则直线EF 与抛物线的交点坐标即为上述方程组的解 消y 得：x 2－2ax ＋a 2＝0 △＝4a 2－4a 2＝0∴直线EF 与抛物线只有唯一一个公共点4．已知抛物线C 1：y ＝x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2与y 轴交于点C ，顶点为点D(1) 若不论m 为何值，抛物线C 1的顶点D 均在某一函数的图形上，直接写出此函数的解析式 (2) 若抛物线C 1与x 轴的交点分别为M 、N （点M 在点N 的左边），设△MNC 的外接圆与y 轴的另一个交点为点Q ，求点Q 的坐标(3) 当m ＝1时，将抛物线C 1向下平移n (n ＞0)个单位，得到抛物线C 2，直线DC 与抛物线C 2交于A 、B 两点．若AD ＋CB ＝DC ，求n 的值解：(1) 41+=x y (2) 设△MNC 的圆心E (t m ，21--)，则EF ＝t ，∵EN ＝2M N x x - ∴EN 2＝41(x N －x M )2＝m ＋41∴FN 2＝EF 2＋EN 2＝t 2＋m ＋41＝r 2 又r 2＝FC 2＝(m ＋21)2＋(t －m 2)2∴t 2＋m ＋41＝(m ＋21)2＋(t －m 2)2，解得212+=m t∴OQ ＝2t －OC ＝m 2＋1－m 2∴Q (0，1)(3) 当m ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2＋3x ＋1∴D (4523--，)，C (0，1) ∴直线CD 的解析式为123+=x y ，抛物线C 2的解析式为y ＝x 2＋3x ＋1－n 联立⎪⎩⎪⎨⎧+=-++=123132x y nx x y ，整理得0232=-+n x x ∴x A ＋x B ＝23，x A x B ＝－n ∵AD ＋BC ＝DC ∴AB ＝2CD ＝2133∴(x B －x A )2＝4(x C －x D )2得9449=+n ，解得1627=n5．抛物线2812++-=bx x y (b ＞0)与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C ，直线y ＝kx 与抛物线交于M 、N 两点(M 在y 轴右边，k ＞0)，点C (0，2)，点AO ＝2CO (1) 求此抛物线的解析式(2) 若△AMN 的面积为216时，求k 的值(3) 己知直线l ：y ＝t (t ＞2)，是否存在这样的t 的值，无论k 取何值，以MN 为直径的圆总与直线l 相切？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由解：(1) y ＝－81x 2＋2 (2)连AM 、AN ，则 S △AMN ＝S △AOM ＋S △AON＝2k (x M －x N )联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==2812x y kx y 得x 2＋8kx －16＝0 ∴x M ＋x N ＝－8k ，x M x N ＝－16 x M －x N ＝812+k∴16k 12+k ＝162解得k ＝1(3)∵MO ＝2222)281(MM N M x x y y ++-=+＝2221）（--M x ＝81x M ＋2＝4－y M 同理NO ＝4－y N ∴MN ＝8－(y M ＋y N )即r ＝4－2NM y y + 设圆心为G ，则y G ＝2N M y y +∴G 到l 的距离为d ＝t －2N M yy + 要使直线l 与⊙相切，则d ＝r ，∴t ＝4。

初三数学二次函数练习题

初三数学二次函数练习题

初三数学二次函数练习题一、选择题1. 已知二次函数的图象开口向上，则其二次项系数（）A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 无法确定2. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象上存在一点P，使得该函数在点P处的切线斜率为0，则点P的横坐标为（）A. b/2aB. b/2aC. a/2bD. b/2c3. 已知二次函数y=x^22x3，则它的顶点坐标为（）A. (1, 4)B. (1, 4)C. (1, 4)D. (1, 4)4. 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，若A、B两点坐标分别为（1，0）和（3，0），则对称轴的方程为（）A. x=1B. x=3C. x=1D. x=3二、填空题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（1，2），则该二次函数的解析式为________。

2. 二次函数y=x^24x+3的图象与y轴的交点坐标为________。

3. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（1，2）和（1，6），则该二次函数的解析式为________。

4. 已知二次函数y=x^22x3的图象与x轴相交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为（1，0）和（3，0），则该二次函数的对称轴方程为________。

三、解答题1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（2，3），又知该函数图象与x轴相交于A、B两点，A、B两点坐标分别为（1，0）和（3，0），求该二次函数的解析式。

2. 设二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（0，1）、（1，2）和（1，6），求该二次函数的解析式。

3. 已知二次函数y=x^24x+3的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长度。

4. 设二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且顶点坐标为（1，4），又知该函数图象与y轴相交于点（0，3），求该二次函数的解析式。

四、应用题1. 一抛物线形拱桥的跨度为8米，拱桥的最高点距水面4米，水面与桥的连接处为抛物线的对称轴。

初三数学二次函数测试题及答案

初三数学二次函数测试题及答案

初三数学二次函数测试题及答案初三数学二次函数测试附详细答案一、选择题：（共24分）1.（3分）与抛物线y=﹣x²+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（D）。

2.（3分）二次函数y=x²+bx+c的图象上有两点（3，﹣8）和（﹣5，﹣8），则此抛物线的对称轴是（B）。

3.（3分）抛物线y=x²﹣mx﹣m²+1的图象过原点，则m为（±1）。

4.（3分）把二次函数y=x²﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（A）。

5.（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）²﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（B）。

6.（3分）（2008•长春）二次函数y=kx²﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（k＜3且k≠0）。

7.（3分）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则abc，b²﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（2个）。

8.（3分）（2008•长春）已知反比例函数y=k/x的图象如图所示，则二次函数y=2kx²﹣x+k²的图象大致为（B）。

二、填空题：（共50分）9．（10分）已知抛物线y=x²+4x+3，请回答以下问题：1）它的开口向右，对称轴是直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；（2）图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），与y轴的交点为（0，3）．10．（6分）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a>0，b0.11．（4分）抛物线y=6（x+1）²﹣2可由抛物线y=6x²﹣2向左平移1个单位得到．12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为y=2(x+2)²﹣5.13.对称轴为y轴且过点A（1，3）、点B（-2，-6）的抛物线的解析式为 y = (3/5)x^2 - (6/5)x14.抛物线 y = -2x^2 + 4x + 1 在x轴上截得的线段长度是1/215.抛物线 y = x^2 + (m-2)x + (m^2-4) 的顶点在原点，则 m = 216.已知抛物线 y = -x^2 - 2x + m 的顶点在x轴上方，则 m。

初中数学二次函数经典测试题及答案解析

初中数学二次函数经典测试题及答案解析

初中数学二次函数经典测试题及答案解析一、选择题1．已知二次函数223(0)y ax ax a a =--≠，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是( )A ．该图象的顶点坐标为()1,4a -B ．该图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-C ．若该图象经过点()2,5-，则一定经过点()4,5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：y=a （x 2-2x-3） =a （x-3）（x+1） 令y=0， ∴x=3或x=-1，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0）与（-1，0），故B 成立； ∴抛物线的对称轴为：x=1， 令x=1代入y=ax 2-2ax-3a ， ∴y=a-2a-3a=-4a ，∴顶点坐标为（1，-4a ），故A 成立； 由于点（-2，5）与（4，5）关于直线x=1对称，∴若该图象经过点（-2，5），则一定经过点（4，5），故C 成立；当x ＞1，a ＞0时，y 随着x 的增大而增大，当x ＞1，a ＜0时，y 随着x 的增大而减少，故D 不一定成立； 故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．2．如图，二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-，其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案. 【详解】由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2ba＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣1a ，把﹣1a代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1． 所以答案为：D ． 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.4．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3yx的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方．∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ． 【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．5．在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点（x 1，m ）、（x 2，m ）、（x 3，m ），则x 1+x 2+x 3的结果是（ ）A ．3122m -+B ．0C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．【详解】解：如图，在抛物线y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0）和直线y ＝﹣12x 的图象上有三点A （x 1，m ）、B （x 2，m ）、C （x 3，m ）， ∵y ＝a （x ﹣m ﹣1）2+c （a≠0） ∴抛物线的对称轴为直线x ＝m+1，∴232x x +＝m+1， ∴x 2+x 3＝2m+2，∵A （x 1，m ）在直线y ＝﹣12x 上， ∴m ＝﹣12x 1， ∴x 1＝﹣2m ，∴x 1+x 2+x 3＝﹣2m+2m+2＝2， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．6．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC--运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项． 【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2， 解得，AB=5cm ． 下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ． 故选：B ． 【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.7．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．【详解】 ∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．故选C. 【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.8．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C 【解析】 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知. 【详解】解：如图1所示，当t 等于0时， ∵2(1)4y x =--， ∴顶点坐标为(1,4)-， 当0x =时，3y =-， ∴(0,3)A -， 当4x =时，5y =， ∴(4,5)C ， ∴当0m =时，(4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-； 如图2所示，当1m =时， 此时最小值为4-，最大值为1． 综上所述：01m ≤≤， 故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．9．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a B ．bC ．cD ．d【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决． 【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0）， ∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点， ∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0， 故选：D ． 【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选B．考点：二次函数图象与系数的关系12．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m 的取值范围是本题的关键．13．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10．故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．14．若A （－4，1y ），B （－3，2y ），C （1，3y ）为二次函数y =x 2+4x －m 的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．1y ＜2y ＜3yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜1y ＜3yD ．1y ＜3y ＜2y【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．【详解】解：y 1=（-4）2+4×（-4）m -=16-16m - =m -，y 2=（-3）2+4×（-3）m - =9-12m - =3m --，y 3=12+4×m - 1=1+4m - =5m -，∵-3m -＜m -＜5m -，∴y 2＜y 1＜y 3．故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m 的影响．15．一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a ＜0，b ＞0，再由反比例函数图像性质得出c ＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：2b x a=-＞0，即在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，从而可得答案.解：∵一次函数y=ax+b 图像过一、二、四，∴a ＜0，b ＞0，又∵反比例 函数y=c x 图像经过二、四象限， ∴c ＜0，∴二次函数对称轴：2b x a=-＞0， ∴二次函数y=ax 2+bx+c 图像开口向下，对称轴在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交， 故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标等确定出a 、b 、c 的情况是解题的关键．16．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．【详解】抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣212a +＝﹣a ﹣12， 纵坐标为：y ＝()()224214a a a --+＝﹣2a ﹣14， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +34， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D ．【点睛】 本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．17．若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象于x 轴的交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，对于以下说法：①b 2﹣4ac ＞0②x ＝x 0是方程ax 2+bx +c ＝y 0的解③x 1＜x 0＜x 2④a （x 0﹣x 1）（x 0﹣x 2）＜0其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②④C ．①②③D ．②③【答案】B【分析】①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b2-4ac＞0，①正确；②由点M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x1＜x0＜x2；当a＜0时得出x0＜x1或x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x0，y0）在x轴下方即可得出y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确．【详解】①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，①正确；②∵图象上有一点M（x0，y0），∴a+bx0+c=y0，∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x1＜x0＜x2；当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，∴y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确；故选B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤【答案】D【分析】根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．【详解】由图象可知，a ＜0，c=1，对称轴：x=b12a-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；②由图可知：当x=−1时，y ＞1，∴a −b+c ＞1，正确；③abc=2a 2＞0，正确；④由图可知：当x=−3时，y ＜0，∴9a −3b+c ＜0，正确；⑤c−a=1−a ＞1，正确；∴①②③④⑤正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．19．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断．【详解】解：A.由一次函数图像可知a＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴32a-<应在y轴左侧，故此选项错误；B. 由一次函数图像可知a＜0，而由二次函数图像开口方向可知a＞0，故此选项错误；C. 由一次函数图像可知a＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴32a->在y轴右侧，故此选项正确；D. 由一次函数图像可知a＞0，而由二次函数图像开口方向可知a＜0，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．20．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y＝ax+hk的图象经第几象限（）A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质可得a＜0，h＜0，k＞0，以此判断一次函数的图象所经过的象限即可．【详解】解：由函数图象可知，y＝a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0，∴直线y＝ax+hk中的a＜0，hk＜0，∴直线y＝ax+hk经过第二、三、四象限，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象的问题，掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关键．。

初三数学二次函数大题练习题

初三数学二次函数大题练习题

初三数学二次函数大题练习题1. 下列二次函数中，哪个函数的图像是一个开口朝下的抛物线？A. f(x) = x^2 + 2x + 1B. f(x) = -x^2 + 2x + 1C. f(x) = x^2 - 2x + 1D. f(x) = -x^2 - 2x + 1解析：开口朝下的抛物线表现为二次函数的a系数为负数。

观察选项中的a系数即可得出答案。

因此，选项 B 和 D 的函数图像是一个开口朝下的抛物线。

2. 已知二次函数f(x) = 2x^2 + 4x - 3，求其顶点的坐标和对称轴的方程。

解析：对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，顶点的横坐标为 x = -b/(2a)。

带入题目中的函数可得：x = -4/(2*2) = -1。

将 x = -1 代入函数f(x)中求解纵坐标：f(-1) = 2*(-1)^2 + 4*(-1) - 3 = -3。

因此，顶点的坐标为 (-1, -3)。

对称轴的方程为 x = -1，即二次函数的图像与直线 x = -1 对称。

3. 已知二次函数f(x)图像的顶点为 (2, 5)。

求该二次函数的解析式。

解析：二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c。

已知顶点为 (2, 5)，代入顶点坐标可得以下方程组：5 = a*2^2 + b*2 + c ——(1)0 = a*4 + b*2 ——(2)由于顶点在抛物线上，这意味着对称轴必须经过顶点，因此对称轴的方程为 x = 2。

对称轴方程的系数 b 必为零，代入方程组(2)可解得 b = 0。

将 b = 0 代入方程组(1)中可解得 c = 5 - a*4。

将 b = 0 和 c = 5 - a*4 代入一般形式的二次函数中，得到解析式 f(x) = ax^2 + 5 - a*4。

由于任意二次函数与其关于顶点对称的函数图像相同，解析式可以化简为 f(x) = ax^2 + 5。

4. 已知二次函数f(x) = x^2 + bx + 1 的图像过点 (2, 4)。

初三数学二次函数的试卷

初三数学二次函数的试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）。

A. y = 3x - 4B. y = x^2 + 2x + 1C. y = 2x^3 + 3xD. y = 4x^2 - 6x + 92. 二次函数y = ax^2 + bx + c（a≠0）的图像开口向上，当x=2时，y的值为负数，则a的取值范围是（）。

A. a > 0B. a < 0C. a > 1D. a < 13. 已知二次函数y = x^2 - 4x + 3，若该函数图像的顶点坐标为（2，-1），则a、b、c的值分别为（）。

A. a = 1, b = -4, c = 3B. a = 1, b = -2, c = 1C. a = 1, b = -4, c = -1D. a = 1, b = 2, c = 14. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的图像与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），则该函数图像的对称轴是（）。

A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 45. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1，4）和（2，-1），且顶点坐标为（1，-2），则a、b、c的值分别为（）。

A. a = 1, b = -4, c = 3B. a = -1, b = 4, c = 3C. a = -1, b = 4, c = -3D. a = 1, b = -4, c = -36. 二次函数y = 2x^2 - 3x + 1的图像的顶点坐标为（）。

A. (1, 0)B. (0, 1)C. (3/2, -1/8)D. (1/2, 1/8)7. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图像的对称轴是（）。

A. x = -1B. x = 1C. x = -3D. x = 38. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向下，且顶点坐标为（-2，3），则a、b、c的值分别为（）。

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案

二次函数测试题及答案【篇一：初中二次函数测试题及答案】题：1. 抛物线y?(x?2)2?3的对称轴是（）c. 直线x?c2. 二次函数y?ax2?bx?c的图象如右图，则点m(b,)a在（） a. 第一象限 b. 第二象限 c. 第三象限 d. 第四象限 3. 已知二次函数y?ax2?bx?c，且a?0，a?b?c?0，则一定有（） a. b2?4ac?0b. b2?4ac?0c. b2?4ac?0d. b2?4ac≤0a. 直线x??3b. 直线x?3d. 直线4. 把抛物线y?x2?bx?c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y?x2?3x?5，则有（）a. b?3，c?7 c. b?3，c?3b. b??9，c??15 d. b??9，c?215. 已知反比例函数y?k的图象如右图所示，则二次函数xy?2kx2?x?k2的图象大致为（） x6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y?ax2?(a?c)x?c与一次函数y?ax?c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）1d7. 抛物线y?x2?2x?3的对称轴是直线（）a. x??2b. x?2c. x??1d. x?1 8. 二次函数y?(x?1)2?2的最小值是（）a. ?2d. 1b. 2c. ?19. 二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，若m?4a?2b?cn?a?b?c，p?4a?b，则（） a. m?0，n?0，p?0 b. m?0，n?0，p?0 c. m?0，n?0，p?0 d. m?0，n?0，p?0 二、填空题：10. 将二次函数y?x2?2x?3配方成y?(x?h)2?k的形式，则y=______________________. 11. 已知抛物线y?ax2?bx?c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2?bx?c?0的根的情况是______________________.12. 已知抛物线y?ax2?x?c与x轴交点的横坐标为?1，则a?c=_________. 13. 请你写出函数y?(x?1)2与y?x2?1具有的一个共同性质：_______________.14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x?4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.216. 如图，抛物线的对称轴是x?1，与x轴交于a、b两点，若b点坐标是(,0)，则a点的坐标是________________.三、解答题：1. 已知函数y?x2?bx?1的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当x?0时，求使y≥2的x的取值范围.2. 如右图，抛物线y??x?5x?n经过点a(1,0)，与y轴交于点b.（1）求抛物线的解析式；（2）p是y轴正半轴上一点，且△pab是以ab为腰的等腰三角形，试求点p的坐标.23. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间（t月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；3（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？提高题1. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面ab的宽为20m，如果水位上升3m时，水面cd的宽是10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）. 货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在cd处，当水位达到桥拱最高点o时，禁止车辆通行）. 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？2. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套. 经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出. 在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）.（1）用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y与x之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；b24ac?b2（4）请把（2）中所求的二次函数配方成y?(x?)?的形式，并据此说明：2a4a当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？4参考答案一、选择题：二、填空题： 1. y?(x?1)?222. 有两个不相等的实数根3. 14. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5. y?128181818x?x?3或y??x2?x?3或y?x2?x?1或y??x2?x?1 5555777726. y??x?2x?1等（只须a?0，c?0）7. (2?3,0)8. x?3，1?x?5，1，4 三、解答题：1. 解：（1）∵函数y?x?bx?1的图象经过点（3，2），∴9?3b?1?2. 解得b??2.∴函数解析式为y?x?2x?1.（2）当x?3时，y?2.根据图象知当x≥3时，y≥2.∴当x?0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.2. 解：（1）由题意得?1?5?n?0. ∴n??4. ∴抛物线的解析式为y??x?5x?4.（2）∵点a的坐标为（1，0），点b的坐标为(0,?4).∴oa=1，ob=4.222在rt△oab中，ab?oa2?ob2?，且点p在y轴正半轴上.①当pb=pa时，pb?. ∴op?pb?ob??4.5【篇二：初三数学二次函数单元测试题及答案】试时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )a.b.c. d. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) a. (1，-4) b.(-1，2) c. (1，2) d.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( ) a. 第一象限 b. 第二象限 c. x轴上d. y轴上4.抛物线的对称轴是( ) a. x=-2 b.x=2 c. x=-4 d. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) a. ab0，c0 b. ab0，c0 c. ab0，c0 d. ab0，c06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )a. 一b. 二c. 三d. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象交x轴于点a(m，0)和点b，且m4，那么ab的长是( )a. 4+mb. mc. 2m-8d. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是()9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是抛物线上的点，p3(x3，y3)是直线上的点，且-1x1x2，x3-1，则y1，y2，y3的大小关系是( )a. y1y2y3b. y2y3y1c. y3y1y2d. y2y1y310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )a.c. b.d.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于a、b两点，则ab的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过a(-1，0)，b(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于a、b两点，交y轴于c点，且△abc是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19.若二次函数的图象的对称轴方程是0)(1)求此二次函数图象上点a关于对称轴对称的点a′的坐标；，并且图象过a(0，-4)和b(4，(2)求此二次函数的解析式；20. 在直角坐标平面内，点 o为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点a(x1，0)、b(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为c，顶点为p，求△poc的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于a、b两点，其中a点坐标为(-1，0)，点c(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，m为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△mcb的面积s△mcb.22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.答案与解析：一、选择题1.考点：二次函数概念.选a.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选c.3.考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选c.4.考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选b.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选c.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，【篇三：二次函数单元测试题及答案(用)】时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )a.b.c. d.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )a. (1，-4)b.(-1，2)c. (1，2)d.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )a. 第一象限b. 第二象限c. x轴上d. y轴上4. 抛物线的对称轴是( )a. x=-2b.x=2c. x=-4d. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )a. ab0，c0b. ab0，c0c. ab0，c0d. ab0，c06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )a. 一b. 二c. 三d. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点p的横坐标是4，图象交x轴于点a(m，0)和点b，且m4，那么ab的长是( )a. 4+mb. mc. 2m-8d. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是抛物线上的点，p3(x3，y3)是直线上的点，且-1x1x2，x3-1，则y1，y2，y3的大小关系是( )a. y1y2y3b. y2y3y1c. y3y1y2d. y2y1y310.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )a.c. b.d.二、填空题(每题4分，共32分)11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于a、b两点，则ab的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过a(-1，0)，b(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于a、b两点，交y 轴于c点，且△abc是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19.若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过a(0，-4)和b(4，0)(1)求此二次函数图象上点a关于对称轴对称的点a′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；20. 在直角坐标平面内，点 o为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点a(x1，0)、b(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函数解析式；(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为c，顶点为p，求△poc的面积.21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于a、b两点，其中a点坐标为(-1，0)，点c(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，m为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△mcb的面积s△mcb.答案与解析：一、选择题1.考点：二次函数概念.选a.2.考点：求二次函数的顶点坐标.解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选c.3.考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选c.4.考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选b.5.考点：二次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选c.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，。

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72
x =
B(0,4) A(6,0)
E
F
x
y
O
二次函数与四边形
一．二次函数与四边形的形状
例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线的函数表达式； （2）P 是线段上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段长度的最大值；
（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
例1.解：（1）令0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；
将C 点的横坐标2代入2
23y x x =--得3，∴C （2，-3）∴直线的函数解析式是1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，1）， E （2
(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，2
2
(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =
时，的最大值=94
（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-，
练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线7
2
x =
的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为
对角线的平行四边形．求平行四边形的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
①当平行四边形的面积为24时，请判断平行四边形是否为菱形？
②是否存在点E ，使平行四边形为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
A
练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是7
2
x =
，可设解析式27
(2
y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得
227(6)0,27(0) 4.
2
a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725(326
y x =
--，顶点为725
(,).26-
（2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
22725
(326
y x =--，
∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到的距离．∵是OEAF Y 的对角线， ∴2
172264(2522
OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+V ．
因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ①
根据题意，当S = 24时，即2
74()25242
x --+=．
化简，得2
71
().2
4
x -=
解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足 = ，所以OEAF Y 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足 = ，所以OEAF Y 不是菱形． ② 当⊥，且 = 时，OEAF Y 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF Y 为正方形
x
练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为
(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．
（1）求抛物线2l 的函数关系式；
（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30o
的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为
2(3)4y a x =--．
又Q 点(10)A ，在抛物线2
(3)4y a x =--上，2
(13)40a ∴--=，解得1a =．
∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）．
（2）P Q 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．
设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为2
65m m -+，4OD =Q ，22654m m ∴-+=，即
2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解
得3m =．当2652m m -+=-时，解
得3m =．∴当点P
运动到(3
或(3+
或(32)--
或(32)+-时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．
（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则
90AMB ∠=o ，30BAM ∠=o Q （或30ABM ∠=o ），
11
4222
BM AB ∴==⨯=．
过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=o
．
11
2122
EB BM ∴==⨯=
，EM =4OE =．
∴点M 的坐标为(43)-，
． 但是，当4x =时，2
46451624533y =-⨯+=-+=-≠-．
∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．
练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是
(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，
． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于
C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的
面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出
此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，
关于原点的对称点分别为(40)D ，
，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是 2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪
++=⎨⎪=-⎩
，，．
解得1
68a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．
所以所求抛物线的解析式是2
68y x x =-+-．
（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．
过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．
当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．
所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2
(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．
所以，所求关系式是2
4148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781
444
S t ⎛
⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =
时，S 有最大值814
． 提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．
所以OD ON =．所以2
2
2
2
OD ON OH NH ==+．
所以2
2
420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）．
所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时2t =
．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

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