湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年高一下学期期中联考数学试卷+答案

2024年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校
期中联考高一数学
考试时间：2024年4月15日下午15：00－17：00；试卷满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数2i
z 13i
+=
+的虚部是（ ） A ．12−
B ．
12
C ．1i 2
−
D ．
1i 2
2．下列关于平面向量的说法，其中正确的是（ ）
A ．若a b ≠ ，则||||a b ≠
B ．若//a b 且||||a b =
，则a b =
C ．若0a b ⋅=
，则0a = 或0b = D ．若a 与b 不共线，则a 与b
都是非零向量
3．已知平面向量(1,2)a =
，(3,4)b − ，则向量a 在向量b 上的投影向量是（ ）
A ．34,2525
−
B ．68,55 −
C ．34,55 −
D ．34,55 −
4．已知
tan 121tan αα−=+，则cos 24πα
+
的值为（ ）
A
． B
．C
D
5．在ABC △中，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得10AP =，若54PA mPB m PC =+−
（m 为常
数），则PD 的长度是（ ） A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
6．若实数x ，y 满足332x
y
+=
，2
1133x
y n −
=+
，则n 的最小值为（ ） A ．2
B ．8
C ．9
D ．12
7．在ABC △中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若ABC △的面积为4，则
2
2
BC PB PC ⋅+
的最小值是（ ） A ．2
B
．C ．4
D
8．已知定义在R 上的函数()y f x =，对任意的1x ，2,4x π
∈+∞
且12x x ≠，都有
()()1212
0f x f x x x −>−，且函数4y f x π
=
+
为奇函数．若锐角ABC △的三个内角为,,A B C ，则（ ）
A ．()()0f A f
B +>
B ．()()0f A f B +<
C ．()()0f A f B +=
D ．()()f A f B +的符号无法确定
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线函数为
()3sin ||62f x x ππϕϕ 
=+<  
，且经过点(2,3)，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的最小正周期12T =
B ．6
π
ϕ=−
C ．函数()y f x =在区间(2,8)上单调递减
D ．函数(2)y f x =+是奇函数
10．已知复数123,,z z z ，则下列结论正确的有（ ） A ．2
211z z = B ．1212z z z z ⋅=⋅
C ．12
12z z z z =⋅
D ．若1213z z z z =，且10z ≠，则23z z =
11．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，其中(0,)θπ∈，1e ，2e
分别是与x 轴，y 轴正方
向同向的单位向量，若向量12OP a xe ye ==+
，则把有序数对(,)x y 叫做向量OP 在夹角为θ的坐标系xOy 中的坐标，记为()(,)a x y θ=
，则下列结论正确的是（ ）
A ．若3(1,2)a π
= ，则||a =
B ．若44,(3,a b ππ
=
=− ，则a b ⊥
C ．若对任意的12,5R e e λλ∈−
最小值为
52，则6
πθ= D ．若对任意的(0,)θπ∈，都有1212e e e e λ−≥−
恒成立，则实数(][),31,λ∈−∞−+∞
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知sin cos θθ−sin 2θ=__________．
13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a B b A c b −=
−，则角A =若I 为
ABC △的内心，且AI
IB IC λ=+
，则λ=__________． 14．已知平面向量,a b
，||2a = ，||3b = ，若存在平面向量c ，||1c = ，使得()()0a c b c −⋅−= ，则||||a b a b −++
的最小值是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量(1,2)a −
，||b =
（1）若//a b
，求b 的坐标；
（2）若(5)()a b a b +⊥−
，求a 与b 夹角的余弦值．
16．（15分）在ABC △中，角A ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2
2
2
b c bc a +−=． （1）求角A 的大小； （2）若2b =，1
sin 7
C =
，求ABC △的面积．
17．（15分）已知向量,cos )m x x ωω= ，(cos ,cos )(0,)n x x x ωωω=−>∈R
，
1()2
f x m n =⋅− ，且()y f x =的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π．
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）若0a >，且函数()y f x =在区间(,2)a a 上单调，求a 的取值范围．
18．（17分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为BC 边上一点，已知2b =，
4c =，2
3
A π=．
（1）若AD 平分BAC ∠，求AD 的长；
（2）若D 为BC 边的中点，E ，F 分别为AB 边及AC 边上一点（含端点）．
且AE xAB = ，AF y AC =
，1x y +=
，求DE DF ⋅ 的取值范围． 19．（17分）阅读以下材料并回答问题：①单位根与本原单位根：在复数域，对于正整数n ，满足
10n z −=的所有复数22cos isin ()k k z k Z n n
ππ=
+∈称为n 次单位根，其中，满足对任意小于n 的正整数m ，都有1m z ≠，则称这种复数为n 次本原单位根．例如，4n =时，存在四个4次单位根1±，i ±，
因为1
11=，2
(1)1−=
，因此只有两个4次本原单位根i ±； ②分圆多项式：对于正整数n ，设n 次本原单位根为12,,,m z z z ，则多项式()()()12m x z x z x z −−− 称为n 次分圆多项式，记为()n x Φ；
例如2
4()(i)(i)1x x x x Φ=−+=+；回答以下问题：
（1）直接写出6次单位根，并指出哪些为6次本原单位根（无需证明）；
（2）求出6()x Φ，并计算6321()()()()x x x x ΦΦΦΦ，由此猜想1264321()()()()()()x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ的结果，（将结果表示为1
110()n
n n n n x a x a x
a x a −−Φ=++++ 的形式）
（猜想无需证明）； （3）设所有12次本原单位根在复平面上对应的点为12,,,m A A A ，两个4次本原单位根在复平面上对应
的点为12,B B ，复平面上一点P 所对应的复数z 满足||z =，求1212m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅
的取值
范围．
鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024年春季期中联考
高一数学参考答案
一、二选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A D
C
B
B
B
C
A
AC
BCD
ABD
8．【答案】A
【详解】由题可知，()f x 在区间,4π +∞
上单调递增，且函数4y f x π
=
+
为奇函数，则44f x f
x ππ
−+=−+
，故()2f x f x π =−− ，当0x =时，有44f f ππ =−
，即04f π
=
， 又因为4y f x π
=+ 图象关于原点(0,0)对称，则()f x
图象关于点,04π
对称，所以，(
)f x 在R 上单
调递增．
()(
)()2f A f B f A f B π
+=−−
，而ABC △为锐角∆，故2A B π+>，则2A B π>−，
所以()02f A f B π
−−>
，即()()0A f
B +>，选A ．
11、【答案】ABD
【详解】
3||(1,2)a π
==
，故A 正
确；
(
)()
12123340a b e e ⋅=+⋅−=−−+= ，即a b ⊥ ，故B 正确；
125e e λ−
最小值为52可知15e 在2e cos θ=，可得6πθ=或56π，C 错误；
1212e e e e λ−≥−
两边平方得212cos 22cos λλθθ+−≥−对(0,)θπ∀∈成立，
则2
12(1)cos λλθ−≥−，即2
2(1)cos 10λθλ−−+≤，由于(0,)θπ∀∈，cos (1,1)θ∈−，
故22
2(1)1102(1)(1)10λλλλ −⋅−+≤ −⋅−−+≤ ，解得3λ≤−或1λ≥，综上所述(,3][1,)λ∈−∞−+∞ ，故D 正确 三、填空题
12．
58
13．3
A π
=
；λ=
2分，全对给5分） 14
．【详解】设a OA =
，b OB = ，c OC = ，点C 在单位圆上，点,A B 也在圆上， 则a c CA −= ，b c CB −= ，由()()0a c b c −⋅−=
，可得：CA CB ⊥，
作矩形ACBD ，则||||||a b OA OB BA −=−= ．下证：2222||||||||OA OB OC OD +=+ ． 设AB ，CD 交于点P ，连接OP ，因OA OP PA =+ ，则2222OA OP PA OP PA =++⋅ ，
同理可得：2222OB OP PB OP PB =++⋅
，两式左右分别相加得：
2222222222212222244BA DC OA OB OP PA PB OP BA OP OP
+=++=+=+
=+
2222222OC OD OC OD OC OD +− =+=
+
． 即2
222||||||||a b c OD +=+
，故||OD = ．
又||||||2||||2||2||2||2||a b a b BA OP CD OP PD OP OD −++=+=+=+≥
，故
||||a b a b −++
的最小值是
四、解答题
15．【答案】（1）(2,4)b − 或(2,4)b =−
（2）
1
8
【详解】（1）由题意，设(,2)b a λλλ−
，||b =
，，
2λ∴=±，(2,4)b ∴=− 或(2,4)b =− ．
（2）(5)()a b a b +⊥−
，(5)()0a b a b ∴+⋅−=
，
22
540a a b b ∴−⋅−= ，54
a b ∴⋅= ．
设a 与b 的夹角为θ
，则1cos 8||||
a b
a b θ⋅==
． a ∴ 与b 的夹角θ的余弦值为1
8
．
16．【答案】（1）
3
π
；
（2
）S =
． 【详解】（1）在ABC △中，由余弦定理，2
2
2
2cos a b c bc A =+−，又2
2
2
b c bc a +−=，则1cos 2A =
，而0A π<<，则3
A π
=． （2）由1
sin 7C =
得cos C =，
若cos C =
，那么1113
sin sin()sin cos cos sin 2714
B A
C A C A C =+=+=+×=
， 由正弦定理，
sin sin a b A B =，则sin sin b A
a B
=，
因此2
1sin sin sin 22sin b A C S
ab C B ==
若cos C =
，那么1111sin sin()sin cos cos sin 2714
B A
C A C A C =+=++×=− （舍）
，因此S =
． 注：也可以通过角的大小关系，由1
sin sin 7C
A =<，得到C A <
，故直接判断出cos C =，若无判断且无讨论扣3分．
17．【答案】（1）()sin 216f x x π
=−
−
（2）50,
,6312πππ
【详解】（1
）
2
11
()cos cos2cos21sin21
226
f x x x x x x x
π
ωωωωωω
=−−
=−−
=−−
，
由()
f x的图象上相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，有
2
2
T
π
π
ω
==，得1
ω=，
故()sin21
6
f x x
π
=−−
，
（2）方法一：()sin21
6
f x x
π
=−−
，由于(,2)
x a a
∈，则22,4
666
x a a
πππ
−∈−−
，
又2
2
T
a a
−<得到0,
2
a
π
∈
，
故
5
2,
666
a
πππ
−∈−
，则2,4,
6622
a a
ππππ
−−⊆−
或
3
2,4,
6622
a a
ππππ
−−⊆
．
解得0,
6
a
π
∈
或
5
,
312
a
π
π
∈
，所以a的取值范围
5
0,,
6312
πππ
．
方法二：()sin21
6
f x x
π
=−−
，令2()
262
k x k k
πππ
ππ
−+≤−≤+∈Z，
解得单调区间为()
622
k k
x k
πππ
∈−+∈
Z，
故(,2),()
6232
k k
a a k
ππππ
⊆−++∈
Z，62
2
32
k
a
k
a
ππ
ππ
≥−+
≤+
，
6264
k k
a
ππππ
−+≤≤+，()
k∈Z
由于
6264
k k
ππππ
−+≤+，故0
k=或1
k=．
当0
k=时0,
6
a
π
∈
，当1
k=时，
5
,
312
a
π
π
∈
，
所以a的取值范围
5
0,,
6312
πππ
注：两个区间漏写一个扣3分
18．【答案】（1）
4
3
；（2）[3,3]
−．
【详解】（1）在ABC △中，ABC
ABD ADC S S S =+△△△， 因此
1211sin sin sin 232323
AB AC AB AD AD AC ππ
π⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 即4
3
bc AD b c =
=+． （2）由D 为BC 中点得：1122
AD AB AC =
+
， 故1111()()2222DE DF DA AE DA AF x AB AC AB y AC
⋅=+⋅+=−−⋅−+−
2211111112222224x AB y AC x y AB AC  =−−−−+−−+⋅ 

1111111164(4)2222222x y xy x y  
=⋅−−+⋅−−+−⋅−−+    
2
2
113463423444xy x y y y
=−−+=+−=+−
又[0,1]y ∈，2
113444DE DF y
⋅=+−
在[0,1]上单调递增； 因此1y =时，max ()3DE DF ⋅= ；0y =时，min ()3DE DF ⋅=−
．
即[3,3]DE DF ⋅∈−
．
19、【解析】（1）6
10z −=
的解为cos isin
(0,1,2,3,4,5)33
k k z k ππ
=+=， 故6
次单位根为11111,1,
2222−+−+−，6
次本原单位根为12+
和12−． （6次单位根3分，有漏写酌情扣1-2分，有错误0分，6次本原单位根1个1分） （2
）2611()122x x x x x  Φ=−
−+=−+  
又2311()122x x x x x

Φ=+
−+=++ 

；2()1x x Φ=+
，1()1x x Φ=−， 因此()()()()
223
366321()()()()(1)(1)11111x x x x x x x x x x x
x x ΦΦΦΦ=+−++−+=
+−=−，
猜想121264321()()()()()()1x x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ=−．
（3）方法一：设12次单位根分别为0111,,z z z ，其中
cos isin 66
k k k z ππ
=+， 则不难发现：15711,,,z z z z 为12次本原单位根，3z 和9z 为4次本原单位根，其余的根分别为1，2，3，6次本原单位根，因此()()()1212643211211()()()()()()1z z z z z z z z z z z z z ΦΦΦΦΦΦ=−−−=− ，
12121311124()()m PA PA PA PB PB z z z z z z z z ⋅⋅⋅=−⋅−−=ΦΦ
．
又126126432112466321()()()()()()1()()1()()()()1
z z z z z z z z z z z z z z z ΦΦΦΦΦΦ−ΦΦ===+ΦΦΦΦ−，
又666111z z z −≤+≤+，且6
6||8z z ==，故61[7,9]z +∈，
即[]12127,9m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅∈
．
（若直接使用第二问的猜想121264321()()()()()()1x x x x x x x ΦΦΦΦΦΦ=−扣2分） 方法二：求出四个12
次本原单位根分别为1
1i 2z =+
，21i 2z +
，31
i 2
z −
，4
1
i 2
z =−， 两个4次本原单位根分别为5i z =，6i z =−，
123412123456PA PA PA PA PB PB z z z z z z z z z z z z ⋅⋅⋅⋅⋅=−⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−
()()()()()()61234561z z z z z z z z z z z z z =−−−−−−=
+ 又666111z z z −≤+≤+，且66||8z z ==
，故[]617,9z +∈． 即1212[7,9]m PA PA PA PB PB ⋅⋅⋅∈
．。