2022年中考数学真题分类汇编：二次函数压轴题(含答案)

2022年全国各省市中考数学真题汇编
二次函数压轴题1
1.(2022·四川省乐山市)如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于
点A（-1，0）、B（2，0），与y轴交于点C，且tan∠OAC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC=S△BCD，求点P的坐标；
（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC
于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示PQ
OQ
的值，并求
PQ
OQ
的最大值．
2.(2022·浙江省湖州市)如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长
为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y=-x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．
（1）①求点A，B，C的坐标；
②求b，c的值．
（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M （如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值．
3.(2022·湖南省邵阳市)如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两
点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD 沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
4.(2022·湖南省衡阳市)如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线
位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．
（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；
（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W 于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.(2022·江苏省苏州市)如图，二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图
象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．
（1）求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数；
（2）若∠ACO=∠CBD，求m的值；
（3）若在第四象限内二次函数y=-x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
6.(2022·山东省泰安市)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），B（0，-4），
其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求
点M的坐标．
7.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y
轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3
4
．
①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；
②若NP=2BP，令T=1
a2+16
5
c，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b
a ，x1x2=c
a
”．此关系通常被称为“韦达定理”．
8.(2022·湖南省怀化市)如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A
（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．
（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．
（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
9.(2022·甘肃省武威市)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=1
（x+3）（x-a）与x
4
轴交于A，B（4，0）两点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；
（3）连接BD．
①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；
②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值．
10.(2022·云南省)已知抛物线y=-x2-√3x+c经过点（0，2），且与x轴交于A、B两点．设
k是抛物线y=-x2-√3x+c与x轴交点的横坐标，M是抛物线y=-x2-√3x+c上的点，常数m＞0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．
（1）求c的值；
（2）直接写出T的值；
的值．
（3）求k4
k8+k6+2k4+4k2+16
11.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图
象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
12.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
13.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．
14.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形
的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计
方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
15.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，
与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．
（1）如图①，求射线MF的解析式；
（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；
（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A 在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于点N．求PN
的最大值．
AN
16.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c
经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
17.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过
A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE 的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
18.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、
B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；
（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN 为等腰三角形时，求点N的坐标．
参考答案
1.解：（1）∵A （-1，0），
∴OA =1，
∵∠AOC =90°，
∴tan ∠OAC =OC OA =2，
∴OC =2OA =2，
∴点C （0，-3），
设二次函数的解析式为：y =a （x +1）•（x -2），
∴a •1×（-2）=-2，
∴a =1，
∴y =（x +1）•（x -2）=x 2-x -2；
（2）设点P （a ，a 2-a -2），
如图1，当点P 在第三象限时，作PE ∥AB 交BC 于E ，
∵B （2，0），C （0，-2），
∴直线BC 的解析式为：y =x -2，
∴当y =a 2-a -2时，x =y +2=a 2-a ，
∴PE =a 2-a -a =a 2-2a ，
∴S △PBC =1
2PE •OC ，
∵抛物线的对称轴为直线y =12，CD ∥x 轴，C （0，-2），
∴点D （1，-2），
∴CD =1，
∴S △BCD =12CD ⋅OC ，
∴12PE •OC =12CD •OC ，
∴a 2-2a =1，
∴a1=1+√2（舍去），a2=1-√2，
当x=1-√2时，y=a2-a-2=a-1=-√2，∴P（1-√2，-√2），
如图2，当点P在第一象限时，
作PE⊥x轴于E，交直线BC于F，∴F（a，a-2）
∴PF=（a2-a-2）-（a-2）=a2-2a，
∴S△PBC=1
2PF⋅OB=1
2
CD•OC，
∴a2-2a=1，
∴a1=1+√2，a2=1-√2（舍去），
当a=1+√2时，y=a2-a-2=a2-2a+a-2=1+1+√2-2=√2，∴P（1+√2，√2），
综上所述：P（1+√2，√2）或（1-√2，-√2）；（3）如图3，
作PN⊥AB于N，交BC于M，
∵P（t，t2-t-2），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（t2-t-2）=-t2+2t，
∵PN∥OC，
∴△PQM∽△OQC，
∴PQ OQ =PM OC =−t 2+2t 2
=-12(t −1)2+12， ∴当t =1时，（PQ OQ ）最大=12．
2.解：（1）①四边形OABC 是边长为3的正方形，
∴A （3，0），B （3，3），C （0，3）；
②把A （3，0），C （0，3）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中得：{−9+3b +c =0c =3
， 解得：{b =2c =3
； （2）∵AP ⊥PM ，
∴∠APM =90°，
∴∠APB +∠CPM =90°，
∵∠B =∠APB +∠BAP =90°，
∴∠BAP =∠CPM ，
∵∠B =∠PCM =90°，
∴△MCP ∽△PBA ，
∴PC AB =CM PB ，即3−m 3
=n m ， ∴3n =m （3-m ），
∴n =-13m 2+m =-13（m -32）2+34，
∵-13＜0，
∴当m =32时，n 的值最大，最大值是34． 3.解：在直线y =2x +2中，
当x =2时，y =2，
当y =0时，x =-1，
∴点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（0，2），
把点A （-1，0），点B （0，2），点C （3，0）代入y =ax 2+bx +c ，
{a −b +c =0c =29a +3b +c =0
，
解得{a =−23b =43c =2
，
∴抛物线的解析式为y =-23x 2+43x +2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO=DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP=OP=AO=1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB=DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP=OP=OB=2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
4.解：（1）当x=0时，y=-2，
∴C（0，2），
当y=0时，x2-x-2=0，
（x-2）（x+1）=0，
∴x1=2，x2=-1，
∴A（-1，0），B（2，0），
设图象W的解析式为：y=a（x+1）（x-2），
把C（0，2）代入得：-2a=2，
∴a=-1，
∴y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2，
∴图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式为：y=-x2+x+2（-1≤x≤2）；
（2）由图象得直线y=-x+b与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y=-x+b过点C时，与图象W有三个交点，此时b=2；
②当直线y=-x+b与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，如图1，
-x+b=-x2+x+2，
x2-2x+b-2=0，
Δ=（-2）2-4×1×（b-2）=0，
∴b=3，
综上，b的值是2或3；
（3）∵OB=OC=2，∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图2，CN∥OB，△CNM∽△BOC，
∵PN∥y轴，
∴P（1，0）；
如图3，CN ∥OB ，△CNM ∽△BOC ，
当y =2时，x 2-x -2=2，
x 2-x -4=0，
∴x 1=1+√172，x 2=1−√172
， ∴P （1+√172
，0）； 如图4，当∠MCN =90°时，△OBC ∽△CMN ，
∴CN 的解析式为：y =x +2，
∴x +2=x 2-x -2，
∴x 1=1+√5，x 2=1-√5（舍），
∴P （1+√5，0），
综上，点P 的坐标为（1，0）或（1+√17
2，0）或（1+√5，0）．
5.解：（1）当y =0时，-x 2+2mx +2m +1=0，
解方程，得x 1=-1，x 2=2m +1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（-1，0），B（2m+1，0），
当x=0时，y=2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB=OC=2m+1，
∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°；
（2）如图1中，连接AE．
∵y=-x2+2mx+2m+1=-（x-m）2+（m+1）2，
∴D（m，（m+1）2），F（m，0），
∴DF=（m+1）2，OF=m，BF=m+1，
∵A，B关于对称轴对称，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠OBC=45°，
∵∠ACO=∠CBD，∠OCB=∠OBC，
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACE=∠DBF，∵EF∥OC，
∴tan∠ACE=AE
CE =BE
CE
=BF
OF
=m+1，
∴m+1
m
=m+1，
∴m=1或-1，
∵m＞0，
∴m=1；
（3）如图，设PC交x轴于点Q．
当点P 在第四象限时，点Q 总是在点B 的左侧，此时∠CQA ＞∠CBA ，即∠CQA ＞45°， ∵∠ACQ =75°，
∴∠CAO ＜60°，
∴2m +1＜√3， ∴m ＜√3−12
， ∴0＜m ＜√3−12
． 6.解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点B （0，-4），
∴c =-4，
∵对称轴为直线x =1，经过A （-2，0），
∴{−b
2a =14a −2b −4=0， 解得{a =12b =−1
， ∴抛物线的解析式为y =12x 2-x -4；
（2）①如图1中，
设直线AB 的解析式为y =kx +n ，
∵A （-2，0），B （0，-4），
∴{−2k +n =0n =−4
，
解得{k =−2n =−4
， ∴直线AB 的解析式为y =-2x -4，
∵A ，C 关于直线x =1对称，
∴C （4，0），
设N （m ，0），
∵MN ⊥x 轴，
∴M （m ，-2m -4），
∴NC =4-m ，
∵MN =3NC ，
∴2m +4=3（4-m ），
∴m =85， ∴点M （85，-365）；
②如图2中，连接PQ ，MN 交于点E ．设M （t ，-2t -4），则点N （t ，0），
∵四边形MPNQ 是正方形，
∴PQ ⊥MN ，NE =EP ，NE =1
2MN ，
∴PQ ∥x 轴，
∴E （t ，-t -2），
∴NE =t +2，
∴ON +EP =ON +NE =t +t +2=2t +2，
∴P （2t +2，-t -2），
∵点P 在抛物线y =12x 2-x -4上，
∴12（2t +2）2-（2t +2）-4=-t -2，
解得t 1=12，t 2=-2，
∵点P在第四象限，
∴t=-2舍去，
∴t=1
2
，
∴点M坐标为（1
2
，-5）．
7.解：（1）当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，
1=1+3+c，
∴c=-3；
（2）①由ax2+bx+c=0得，
x1=−b−√b2−4ac
2a ，x2=−b+√b2−4ac
2a
，
∴AB=x2-x1=√b2−4ac
a
，
∵抛物线的顶点坐标为：（-b
2a ，4ac−b2
4a
），
∴AE=b2−4ac
4a ，OM=b
2a
，
∵∠BAE=90°，
∴tan∠ABE=AE
AB =3 4，
∴b2−4ac
4a ÷√b2−4ac
a
=3
4
，
∴b2-4ac=9；
②∵b2-4ac=9，
∴x2=−b+3
2a
，
∵OP∥MN，
∴NP
BP =OM
OB
，
∴b
2a ：−b+3
2a
=2，
∴b=2，
∴22-4ac=9，
∴c=-5
4a
，
∴T=1
a2+16
5
c=1
a2
-5
4a
⋅16
5
=1
a2
-4
a
=（1
a
-2）2+4，
∴当1
a =2时，T 最小=4， 即a =1
2时，T 最小=4．
8.解：（1）∵抛物线y =ax 2+2x +c 经过点A （-1，0）、B （3，0），
∴{a −2+c =09a +6+c =0， 解得{a =−1c =3
，
∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3， 令x =0，可得y =3， ∴C （0，3），
设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则{b =3
3k +b =0，
∴{k =−1b =3
， ∴直线BC 的解析式为y =-x +3；
（2）如图一中，连接PC ，OP ，PB ．设P （m ，-m 2+2m +3），
∵B （3，0），C （0，3）， ∴OB =OC =3， ∴∠OBC =45°， ∵PF ∥AB ，
∴∠PFE =∠OBC =45°， ∵PE ⊥BC ，
∴△PEF 是等腰直角三角形，
∴PE 的值最大时，△PEF 的周长最大， ∵S △PBC =S △POB +S △POC -S △OBC
=12×3×（-m 2+2m +3）+12×3×m -1
2×3×3 =-3
2m 2+9
2m
=-3
2（m -32）2+9
4， ∵-3
2＜0，
∴m =3
2时，△PBC 的面积最大，面积的最大值为9
4，此时PE 的值最大， ∵1
2×
3√2×PE =9
4， ∴PE =√32
，
∴△PEF 的周长的最大值=√32
+√32
+√62
=√3+√6
2
，此时P （3
2，15
4）；
（3）存在．
理由：如图二中，设M （1，t ），G （m ，-m 2+2m +3）．
当BC 为平行四边形的边时，则有|1-m |=3， 解得m =-2或4，
∴G （-2，-5）或（4，-5），
当BC 为平行四边形的对角线时，1
2（1+m ）=1
2（0+3）， ∴m =2， ∴G （2，3），
综上所述，满足条件的点G 的坐标为（-2，5）或（4，-5）或（2，3）．
9.解：（1）∵抛物线y =1
4（x +3）（x -a ）与x 轴交于A ，B （4，0）两点，
∴1
4（4+3）（4-a ）=0， 解得a =4，
∴y =1
4（x +3）（x -4）=1
4x 2-1
4x -3， 即抛物线的表达式为y =1
4x 2-1
4x -3；
（2）在y =1
4（x +3）（x -4）中，令y =0，得x =-3或4， ∴A （-3，0），OA =3， ∵OC =OB =4， ∴C （0，4）， ∵AE =1，
∴DE =AE •tan ∠CAO =AE ⋅OC
OA =1×43=4
3，OE =OA -AE =3-1=2， ∴E （-2，0）， ∵DE ⊥x 轴， ∴x P =x D =x E =-2，
∴y P =1
4（-2+3）（-2-4）=-32， ∴PE =32，
∴DP =DE +PE =43+32=17
6；
（3）①如下图，连接DG 交AB 于点M ，
∵△BCD 与BFG 关于x 轴对称， ∴DG ⊥AB ，DM =GM ，
设OM =a （a ＞0），则AM =OA -OM =3-a ， MG =MD =AM •tan ∠CAO =4
3（3-a ）， ∴G （-a ，4
3（a -3）），
∵点G （-a ，43（a -3））在抛物线y =1
4（x +3）（x -4）上， ∴1
4（-a +3）（-a -4）=4
3（a -3）， 解得a =4
3或3（舍去）， ∴G （-4
3，-209）；
②如下图，在AB 的下方作∠EAQ =∠DCB ，且AQ =BC ，连接EQ ，CQ ，
∵AE =CD ，
∴△AEQ ≌△CDB （SAS ）， ∴EQ =BD ，
∴当C 、E 、Q 三点共线时，BD +CE =EQ +CE 最小，最小为CQ ， 过点C 作CH ⊥AQ ，垂足为H ， ∵OC ⊥OB ，OC =OB =4， ∴∠CBA =45°，BC =4√2，
∵∠CAH =180°-∠CAB -∠EAQ =180°-∠CAB -∠DCB =∠CBA =45°， AC =√OA 2+OC 2=√32+42=5，AH =CH =√22
AC =5√22
，
HQ =AH +AQ =AH +BC =5√22
+4√2=13√22
，
∴CQ =√CH 2+HQ 2=√(5√22
)2+(13√22
)2=√97，
即BD +CE 的最小值为√97．
10.解：（1）把点（0，2）代入抛物线y =-x 2-√3x +c 中得：c =2；
（2）由（1）知：y =-x 2-√3x +2=-（x +√3
2
）2+11
4，
∴顶点的坐标为（-√3
2
，11
4），
∵使S =m 成立的点M 恰好有三个，常数m ＞0，S 为△ABM 的面积， ∴其中一个点M 就是抛物线的顶点， ∴T =-11
4×
2+11
4=-11
4；
（3）当y =0时，-x 2-√3x +2=0， x 2+√3x -2=0，
∵k 是抛物线y =-x 2-√3x +c 与x 轴交点的横坐标，即x =k 是x 2+√3x -2=0的解， ∴k 2+√3k -2=0， ∴k 2=2-√3k ，
∴k 4=（2-√3k ）2=4-4√3k +3k 2=4-4√3k +3（2-√3k ）=10-7√3k ， ∵k 8+k 6+2k 4+4k 2+16
=（10-7√3k ）2+（2-√3k ）（10-7√3k ）+2（10-7√3k ）+4（2-√3k ）+16 =100-140√3k +147k 2+20-24√3k +21k 2+20-14√3k +8-4√3k +16 =164-182√3k +168（2-√3k ） =500-350√3k ， ∴k 4
k 8+k 6+2k 4+4k 2+16
=
10−7√3k
50(10−7√3k) =1
50．
11.解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +2经过点A （-1，0），B （3，0），
∴{a −b +2=0
9a +3b +2=0， 解得：{a =−2
3
b =43
，
∴该二次函数的表达式为y =−23x 2+4
3x +2； （2）存在，理由如下： 如图1，当点P 在BC 上方时， ∵∠PCB =∠ABC ， ∴CP ∥AB ，即CP ∥x 轴，
∴点P 与点C 关于抛物线对称轴对称， ∵y =−23x 2+4
3x +2， ∴抛物线对称轴为直线x =-43
2×(−23
)
=1，
∵C （0，2）， ∴P （2，2）；
当点P 在BC 下方时，设CP 交x 轴于点D （m ，0）， 则OD =m ，DB =3-m ，
∵∠PCB =∠ABC ， ∴CD =BD =3-m ，
在Rt △COD 中，OC 2+OD 2=CD 2， ∴22+m 2=（3-m ）2， 解得：m =5
6， ∴D （5
6，0），
设直线CD 的解析式为y =kx +d ，则{5
6k +d =0
d =2
，
解得：{k =−12
5
d =2，
∴直线CD 的解析式为y =−12
5x +2， 联立，得{y =−12
5
x +2
y =−23
x 2+4
3
x +2
， 解得：{x 1=0
y 1=2（舍去），{x 2=22
5y 2=−
21425
， ∴P （225，-214
25），
综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（22
5，-214
25）；
（3）由（2）知：抛物线y =−2
3x 2+4
3x +2的对称轴为直线x =1， ∴E （1，0），
设Q （t ，−2
3t 2+4
3t +2），且-1＜t ＜3， 设直线AQ 的解析式为y =ex +f ，则{−e +f =0
te +f =−23
t 2+43
t +2
，
解得：{e =−23t +2f =−2
3t +2
， ∴直线AQ 的解析式为y =（−23t +2）x -2
3t +2， 当x =1时，y =-4
3t +4， ∴M （1，-4
3t +4），
同理可得直线BQ 的解析式为y =（-23t -2
3）x +2t +2， 当x =1时，y =4
3t +4
3， ∴N （1，4
3t +43），
∴EM =-43t +4，EN =43t +4
3， ∴EM +EN =-4
3t +4+4
3t +43=16
3， 故EM +EN 的值为定值16
3．
12.（1）解：把O （0，0）代入y =x 2+（m -2）x +m -4得：
m -4=0， 解得m =4，
∴y =x 2+2x =（x +1）2-1，
∴函数图象的顶点A 的坐标为（-1，-1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y =x 2
+（m -2）x +m -4的顶点为（2−m 2
，
−m 2+8m−20
4
），
∵m ＞2， ∴2-m ＜0， ∴2−m 2
＜0，
∵
−m 2+8m−20
4
=-1
4（m -4）2-1≤-1＜0，
∴二次函数y =x 2+（m -2）x +m -4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为（-b
2，4c−b 24
），
当x =0时，B （0，c ）， 将（-b
2，
4c−b 24
）代入y =-x -2得：
4c−b 24
=b
2-2， ∴c =
b 2+2b−8
4
，
∵B （0，c ）在y 轴的负半轴， ∴c ＜0， ∴OB =-c =-b 2+2b−8
4
，
过点A 作AH ⊥OB 于H ，如图：
∵A （-1，-1）， ∴AH =1， 在△AOB 中， S △AOB =1
2OB •AH =1
2×（-b 2+2b−8
4
）×1=-18b 2-14b +1=-18（b +1）2+9
8
， ∵-1
8＜0，
∴当b =-1时，此时c ＜0，S △AOB 取最大值，最大值为9
8， 答：△AOB 面积的最大值是9
8．
13.解：（1）把A （1，0）代入y =a （x +1）2-4得：
a （1+1）2-4=0， 解得a =1，
∴y =（x +1）2-4=x 2+2x -3；
答：抛物线L 1的函数表达式为y =x 2+2x -3；
（2）抛物线L 1：y =（x +1）2-4的顶点为（-1，-4），
将抛物线L 1向上平移m （m ＞0）个单位得到抛物线L 2，则抛物线L 2的顶点为（-1，-4+m ）， 而（-1，-4+m ）关于原点的对称点为（1，4-m ）， 把（1，4-m ）代入y =x 2+2x -3得： 12+2×1-3=4-m ， 解得m =4， 答：m 的值为4；
（3）把抛物线L 1向右平移n （n ＞0）个单位得到抛物线L 3，抛物线L 3解析式为y =（x -n +1）
2
-4，
∵点P （8-t ，s ），Q （t -4，r ）都在抛物线L 3上， ∴s =（8-t -n +1）2-4=（9-t -n ）2-4， r =（t -4-n +1）2-4=（t -n -3）2-4，
∵当t ＞6时，s ＞r ， ∴s -r ＞0，
∴[（9-t -n ）2-4]-[（t -n -3）2-4]＞0， 整理变形得：（9-t -n ）2-（t -n -3）2＞0， （9-t -n +t -n -3）（9-t -n -t +n +3）＞0， （6-2n ）（12-2t ）＞0， ∵t ＞6， ∴12-2t ＜0， ∴6-2n ＜0， 解得n ＞3，
∴n 的取值范围是n ＞3．
14.解：（1）由题意可得：A （-6，2），D （6，2），
又∵E （0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y =ax 2+8，将A （-6，2）代入， （-6）2a +8=2， 解得：a =-1
6，
∴抛物线对应的函数表达式为y =-1
6x 2+8；
（2）（ⅰ）∵点P 1的横坐标为m （0＜m ≤6），且四边形P 1P 2P 3P 4为矩形，点P 2，P 3在抛物线AED 上，
∴P 2的坐标为（m ，-1
6m 2+8）， ∴P 1P 2=P 3P 4=MN =-16m 2+8，P 2P 3=2m ，
∴l =3（-1
6m 2+8）+2m =-1
2m 2+2m +24=-1
2（m -2）2+26， ∵-1
2＜0，
∴当m =2时，l 有最大值为26，
即栅栏总长l 与m 之间的函数表达式为l =-1
2m 2+2m +24，l 的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P 2P 1=n ，则P 2P 3=18-3n ，
∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为（18-3n ）n =-3n 2+18n =-3（n -3）2+27， ∵-3＜0，
∴当n =3时，矩形面积有最大值为27， 此时P 2P 1=3，P 2P 3=9，
令-1
6x 2+8=3， 解得：x =±√30，
∴此时P 1的横坐标的取值范围为-√30+9≤P 1横坐标≤√30， 方案二：设P 2P 1=n ，则P 2P 3=
18−2n 2
=9-n ，
∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为（9-n ）n =-n 2+n =-（n -9
2）2+81
4， ∵-1＜0，
∴当n =9
2时，矩形面积有最大值为81
4， 此时P 2P 1=9
2，P 2P 3=9
2， 令-1
6x 2+8=92， 解得：x =±√21，
∴此时P 1的横坐标的取值范围为-√21+9
2≤P 1横坐标≤√21．
15.解：（1）∵点F 与直线上的点G （5，-3）关于x 轴对称，
∴F （5，3），
∵直线y =-x +2与x 轴交于点M ， ∴M （2，0），
设直线MF 的解析式为y =kx +b ， 则有{2k +b =05k +b =3，
解得{k =1b =−2
，
∴射线MF 的解析式为y =x -2（x ≥2）；
（2）如图①中，设折线EMF 与抛物线的交点为P ，Q ．
=2，点M（2，0），
∵抛物线的对称轴x=-4
−2
∴点M值抛物线的对称轴上，
∵直线EM的解析式为y=-x+2，直线MF的解析式为y=x-2，∴直线EM，直线MF关于直线x=2对称，
∴P，Q关于直线x=2对称，
，
∴2=x1+x2
2
∴x1+x2=4；
（3）如图②中，过点P作PT∥AB交直线ME于点T．
∵C（0，5），
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，
∴A（-1，0），B（5，0），
设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），
∵PT∥AM，
∴PN AN =PT AM =13（t -（t 2-4t -3）=-13（t -52）2+3712，
∵-13＜0，
∴PN AN 有最大值，最大值为3712． 16.解：（1）把A （-1，0）和点B （0，3）代入y =-x 2+bx +c ，
得{−1−b +c =0c =3
， 解得：{b =2c =3
， ∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；
（2）∵y =-（x -1）2+4，
∴C （1，4），抛物线的对称轴为直线x =1，
如图，设CD =t ，则D （1，4-t ），
∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，
∴∠PDC =90°，DP =DC =t ，
∴P （1+t ，4-t ），
把P （1+t ，4-t ）代入y =-x 2+2x +4得：
-（1+t ）2+2（1+t ）+3=4-t ，
整理得t 2-t =0，
解得：t 1=0（舍去），t 2=1，
∴P （2，3）；
（3）∵P 点坐标为（2，3），顶点C 坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，
∴E 点坐标为（1，-1），
∴点E 关于y 轴的对称点F （-1，-1），
连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF 的值最小，
设直线PF 的解析式为y =kx +n ，
∴{2k +n =3−k +n =−1
， 解得：{k =43n =13
， ∴直线PF 的解析式为y =43x +13，
∴点M 的坐标为（0，13）．
17.解：（1）把A （-2，0），B （0，4）两点代入抛物线y =ax 2+x +c 中得：{4a −2+c =0c =4
解得：{a =−12c =4
； （2）由（2）知：抛物线解析式为：y =-12x 2+x +4，
设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，
则{−2k +b =0b =4，解得：{k =2b =4
， ∴AB 的解析式为：y =2x +4，
设直线DE 的解析式为：y =mx ，
∴2x +4=mx ，
∴x =4m−2，
当x =3时，y =3m ，
∴E （3，3m ），
∵△BDO 与△OCE 的面积相等，CE ⊥OC ，
∴12•3•（-3m ）=12•4•42−m ，
∴9m 2-18m -16=0，
∴（3m +2）（3m -8）=0，
∴m 1=-23，m 2=83（舍），
∴直线DE 的解析式为：y =-23x ；
（3）存在，
B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形有两种情况：
设P （t ，-12t 2+t +4），
①如图1，过点P 作PH ⊥y 轴于H ，
∵四边形BPGF 是矩形，
∴BP =FG ，∠PBF =∠BFG =90°，
∴∠CFG +∠BFO =∠BFO +∠OBF =∠CFG +∠CGF =∠OBF +∠PBH =90°， ∴∠PBH =∠OFB =∠CGF ，
∵∠PHB =∠FCG =90°，
∴△PHB ≌△FCG （AAS ），
∴PH =CF ，
∴CF =PH =t ，OF =3-t ，
∵∠PBH =∠OFB ，
∴PH BH =OB OF ，即t −12t 2+t+4−4=4
3−t ，
解得：t 1=0（舍），t 2=1，
∴F （2，0）；
②如图2，过点G 作GN ⊥y 轴于N ，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，
同①可得：NG =FM =3，OF =t -3，
∵∠OFB =∠FPM ，
∴tan ∠OFB =tan ∠FPM ， ∴OB OF =FM PM ，即4t−3=3
−12t 2+t+4，
解得：t 1=1+√2014，t 2=1−√2014
（舍）， ∴F （√201−114
，0）； 综上，点F 的坐标为（2，0）或（√201−11
4，0）．
18.解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A （-1，0），点C （0，-3）． ∴{1−b +c =0c =−3
， ∴{b =−2c =−3
， ∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3；
（2）如图，设D 1为D 关于直线AB 的对称点，D 2为D 关于ZX 直线BC 的对称点，连接D 1E ，D 2F ，D 1D 2．
由对称性可知DE =D 1E ，DF =D 2F ，△DEF 的周长=D 1E +EF +D 2F ，
∴当D 1，E ．F ．D 2共线时，△DEF 的周长最小，最小值为D 1D 2的长， 令y =0，则x 2-2x -3=0，
解得x =-1或3，
∴B （3，0），
∴OB =OC =3，
∴△BOC 是等腰直角三角形，
∵BC 垂直平分DD 2，且D （-2，0），
∴D 2（1，-3），
∵D ，D 1关于x 轴的长，
∴D 1（0，2），
∴D 1D 2=√D 2C 2+D 1C 2=√52+12=√26，
∴△DEF 的周长的最小值为√26．
（3）∵M 到x 轴距离为d ，AB =4，连接BM ．
∴S △ABM =2d ，
又∵S △AMN =2d ，
∴S △ABM =S △AMN ，
∴B ，N 到AM 的距离相等，
∵B ，N 在AM 的同侧，
∴AM ∥BN ，
设直线BN 的解析式为y =kx +m ，
则有{m =−33k +m =0
，
∴{k =1m =−3
， ∴直线BC 的解析式为y =x -3，
∴设直线AM 的解析式为y =x +n ，
∵A （-1，0），
∴直线AM 的解析式为y =x +1，
由{y =x +1y =x 2−2x −3
，解得{x =1y =0或{x =4y =5， ∴M （4，5），
∵点N 在射线BC 上，
∴设N （t ，t -3），
过点M 作x 轴的平行线l ，过点N 作y 轴的平行线交x 轴于点P ，交直线l 于点Q ．
∵A （-1，0），M （4，5），N （t ，t -3），
∴AM =5√2，AN =√(t +1)2+(t −3)2，MN =√(t −4)2+(t −8)2，
∵△AMN 是等腰三角形，
当AM =AN 时，5√2=√(t +1)2+(t −3)2，
解得t =1±√21，
当AM =MN 时，5√2=√(t −4)2+(t −8)2，
解得t =6±√21，
当AN =MN 时，√(t +1)2+(t −3)2=√(t −4)2+(t −8)2，
解得t =7
2，
∵N 在第一象限，
∴t ＞3，
∴t 的值为72，1+√21，6+√21， ∴点N 的坐标为（72，12）或（1+√21，-2+√21）或（6+√21，3+√21）．。