概率论与数理统计教程(茆诗松)

2004年7月第1版
2008年4月第10次印刷
第一章随机事件与概率
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.
1.1.2 样本空间
随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表
示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.
1.1.3 随机事件
随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.
1.1.7 事件域
定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：
(1)；
(2)若，则对立事件；
(3)若，则可列并.
则称为一个事件域，又称为代数.
在概率论中，又称为可测空间.
1.2 概率的定义及其确定方法
1.2.1 概率的公理化定义
定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：
(1)非负性公理若，则；
(2)正则性公理；
(3)可列可加性公理若互不相容，有
则称为事件的概率，称三元素为概率空间.
第二章随机变量及其分布
2.1 随机变量及其分布
2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.
2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称
为随机变量的分布函数.且称服从，记为.
2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有
则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.
密度函数的基本性质
(1)非负性；
(2)正则性.
第三章多维随机变量及其分布
3.1 多维随机变量及其联合分布
3.1.1 多维随机变量
定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称
为维(或元)随机变量或随机向量.
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率
称为维随机变量的联合分布函数.
3.4 多维随机变量的特征数
3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵
定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称
为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称
为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.
例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数
定义的分布称为元正态分布，记为.
第四章大数定律与中心极限定理
4.1 特征函数
4.1.1 特征函数的定义
定义4.1.1 设是一个随机变量，称
为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则
4.2 大数定律
4.2.1伯努利大数定律
定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有
4.2.2 常用的几个大数定律
4.3 随机变量序列的两种收敛性
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有
则称依概率收敛于，记作.
4.4 中心极限定理
4.4.2 独立同分布下的中心极限定理
定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记
则对任意实数有
第五章统计量及其分布
第六章参数估计
第七章假设检验
第八章方差分析与回归分析。