(完整版)北师大版五年级数学下册知识点总结

北师大版五年级数学下册概念与公式整理版
一、分数乘法、分数除法
1. 分数乘法的意义：求几个相同分数的和的简便运算
2. 分数除法的意义：已知两个乘数的积和其中一个乘数，求另一个乘数的运算。

如：25÷5=? 已知两个乘数（因数）的积是25，其中的一个因数是5，求另一因数是多少？
3. 分数乘法的运算法则：
1）分数与整数相乘：分子和整数相乘，分母不变；
2）分数与分数相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的可以先约分。

4. 分数除法的运算法则：
1）一个数除以一个整数（0除外）等于这个数乘以这个整数的倒数；
2）一个数除以一个分数等于这个数乘以这个分数的倒数；
3）除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数；
4）当除数<1时，商大于被除数；（商就是得数）
5）当除数=1时，商等于被除数；
6）当除数>1时，商小于被除数。

5. 分数除法的意义：如果两个数的乘积是1，那么这两个数叫做互为倒数，其中一个数叫做
另一个数的倒数。

6. 注意：1的倒数是1，而0没有倒数。

7. 分数乘整数的意义：与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。

如：12×5表示求5个12的和是多少，或者表示12
的5倍是多少。

8. 一个数乘分数的意义：就是求这个数的几分之几是多少。

如：4×13表示求4的13是多少。

3×13表示3的13
是多少。

9. 分数乘、除法的实际问题
1）求一个数的几分之几是多少，用乘法。

2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，也可以用解方程。

10. 原价×折扣=现价；现价÷原价=折扣；现价÷折扣=原价。

11. 找单位“1”的方法： ①总数量是单位“1”；
例如：小红看完整本书的12
，那么单位“1”是整本书的页码。

②原价就是单位“1”；
例如：笔记本电脑原价是3000元，现在降价了12，那么单位“1”是原价3000元。

③分数比率之前的“的”字前面的量是单位“1”； 例如：全校男生的人数是女生人数的12
，那么单位“1”是女生人数。

④一个东西比另一个东西多几分之几中“比”后面的东西是单位“1”。

例如：商店卖的苹果比橘子多12
，那么单位“1”是橘子数量。

总结：单位“1”在总数、原价、的前面、比后面。

12. 分数应用题的解题方法：（分率就是几分之几）
●题型1：商店卖出的苹果6千克，卖出的苹果比橘子多1
2
，求卖出橘子多少千克？
【解题思路】
第一步：找单位“1”
该题中：单位“1”是“比”字后面的东西——橘子数量。

第二步：判断单位“1”已知还是未知？已知用乘，未知用除。

如果单位“1”已知，就用乘法解，用单位“1”的量乘以谁的分率就算谁的具
体量。

如果单位“1”未知，说明题目是求单位“1”的量。

要用除法或者列X方程计
算单位“1”的量，用已知量除以它对应的分率。

该题中：单位“1”橘子数量未知，是题目要求出的数量，用除法，把已知量苹果
作为被除数。

第三步：某物比单位“1”多几分之几就写：（1＋分数），；
某物比单位“1”少几分之几就写：（1－分数），或说减少了几分之几。

该题中：苹果比橘子多1
2
，也就是苹果是橘子的
1
(1)
2
+，根据前一步所得的被除
数是苹果数量6千克，因此最后列式为：
1
6(1)4
2
÷+=。

注意：
1
2
11
+
22
1
+
2
⎧
⎪
⎪
⎪⎛⎫
⎨ ⎪
⎝⎭
⎪
⎪⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
⎩
苹果比橘子增加了
苹果比橘子多等同于苹果是橘子的1
苹果增加到橘子的1
同学们可以用具体数字带进去理解，例如：苹果为3千克，橘子为2千克。

●题型2：商店卖出苹果6千克，卖出橘子4千克，问卖出的苹果是橘子的几分之几？
【解题思路】
第一步：求分率的应用题，我们同样要找单位“1”。

该题问卖出的苹果是橘子的几分之几？单位“1”是橘子。

第二步：单位“1”的量做除数，求谁的分率就用谁的具体量除以单位“1”的量。

该题单位“1”是橘子，因此橘子做除数，苹果做被除数来除以单位“1”，因此最终
得出：
3 64
2÷=。

●题型3：求平均数的应用题，求谁的量就把谁做除数。

例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每天烧多少吨？
求每天，天就作为除数，把5天做除数，即10÷5=2（吨）；
例：一堆煤，5天烧了10吨，求平均每吨烧多少天？
求每吨，吨就做除数，即5÷10=0.5（天）。

注意：得数的单位应该与被除数的单位一致。

注意：以上11、12、13项请结合题目理解！！！
二、分数的混合运算
1. 分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同，都是先算乘除法，再算加减法，有括号
的先算括号里面的，再算括号外面的。

【整数的运算律在分数运算中同样适用】
2. 运算定律：
1）乘法分配律：c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)(←（请特别注意这个公式！）
2）乘法结合律：)(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯
3）乘法交换律：a b b a ⨯=⨯ 运用运算定律可对分数的混合运算进行简便运算。

3. 分数与整数相乘，分母不变，分子和整数相乘的积作分子。

分数与分数相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘，能约分的先约分。

4. 一个数乘一个真分数，所得的积一定小于原来的数；
一个数乘一个等于1的数，所得的积等于原来的数；
一个数乘一个大于1的假分数，所得积一定大于原来的数。

三、长方体的认识、表面积、体积和容积
1. 两个面相交的边叫做棱。

三条棱相交的点叫做顶点。

相交于一个顶点的三条棱的长度分别
叫做长方体的长、宽、高
2. 长方体有6个面，每个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的
面的面积相等。

有12条棱，12条棱可以分为三组：4条长，4条宽，4条高，长、宽、高分
别相等。

有8个顶点，每个顶点处由3条棱组成，长、宽、高各一条。

3. 正方体有6个面，每个面都相等，都是正方形。

有12条棱，12条棱长度相等，叫做正方
体的棱长。

有8个顶点。

正方体是特殊的长方体。

3. a 3读作“a 的立方”表示3个a 相乘，（即a ×a ×a ）
4. 长方体的棱长和 =（长+宽+高）×4；正方体的棱长和 ＝棱长×12
5. 长方体6个面的面积之和叫做长方体的表面积。

长方体上表面或下表面的面积＝长×宽，用字母表示为：
底面积S = a×b
长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2 +宽×高×2，用字母表示为：
表面积S = a×b×2+ a×h×2 +b×h×2
5. 正方体的6个面的面积之和叫做正方体的表面积。

正方体每个面的面积＝棱长×棱长。

表面积等于所有面的总和，有 6个相同的面，所以正
方体的表面积＝6×每个面的面积=6×棱长×棱长，用字母表示为：
S = 6×a 2
6. 正方体露在外面的面积＝一个面的面积×露在外面的面的个数。

把正方体放在桌面上，最
多可以看见三个面。

7. 物体所占空间的大小，称物体的体积。

常用的体积单位有立方米，立方分米，立方厘米。

8. 容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积。

常用的容积单位有升和毫升。

9. 计算物体的体积用体积单位，计算液体、气体的体积一般用容积单位。

10.单位换算：
1立方米＝1000立方分米 1立方米=1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米 1立方分米＝1升
1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
11. 相邻的的体积单位之间的互化。

进率表示单位之间差10的多少倍。

低级单位 高级单位
12. 测量不规则形状的物体的体积时，可以将不规则物体放入盛有水的容器中，上升的水的
体积或者溢出的水的体积就是这个物体的体积。

13. 一般来说，一个物体的体积比它的容积大（想想为什么？）。

四、百分数
1. 百分数表示一个数是另一个数的百分之几。

100
22写作22％，读作：百分之二十二。

2. 求一个数的几分之几（或百分之几）是多少，用乘法计算； 已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。

3. 百分数也叫百分比、百分率。

4. 生活中的“率”：
及格率＝及格的人数÷总人数 成活率＝成活的棵数÷种植的总棵数 出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量 合格率＝合格的产品数÷产品总数 出勤率＝出勤人数÷总人数
命中率＝命中次数÷总次数
优秀率＝优秀人数÷总人数
发芽率＝发芽的种子数÷种子总数
5. 小数化成百分数：先把小数点向右(→)移动两位，再在后面添上％（0.20→20→20%）。

6. 分数化成百分数：先把分数化成小数（除不尽时保留三位小数），再把小数化成百分数。

7. 百分数化成小数：先去掉％，再把小数点向左(←)移动两位（20%→20→0.20→0.2）。

8. 百分数化成分数：先把百分数化成分母是100的分数，然后约分、化简；或者先把百分数
化成小数，再化成分数。

÷进率
×进率
五、统计
1. 条形统计图能清楚地看出每个项目的数量，并且方便进行比较。

2. 扇形统计图能清楚地看出各部分分别占总量的百分之几。

3. 折线统计图能清楚地看出数量的变化情况。

4. 一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数。

5. 把一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数叫这组数据的中位数。

当一组数据的
6.
长方体和正方体公式大总结
（1）长方体公式：
●长方体棱长之和＝（长＋宽＋高）×4
逆运用：长= 长方体棱长之和÷4－宽－高
长方体的高= 长方体棱长之和÷4－长－宽
●相交于一个顶点的三条棱的和= 长＋宽＋高÷4 = 长方体棱长之和÷4
●底面积（占地面积、上面积）＝长×宽
✧左（右）面积＝宽×高；前（后）面积＝长×高
✧表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
✧没盖长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
或＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2－长×宽
●长方体或正方体侧面面积（就是周围四个面的面积）= 底面周长×高
或=（长×高＋宽×高）×2
●求通气管、烟囱或粉刷柱子是计算四个面的面积
●体积（容积）＝长×宽×高，用公式表示是：V=a×b×h
逆运用：高＝长方体体积（容积）÷长÷宽= 长方体体积（容积）÷（长×宽）或高＝长方体体积（容积）÷底面积
●长方体的体积= 一个侧面积×长= 一个横截面面积×高（请画图理解！）
（2）正方体公式：正方体是特殊的长方体，其各个边长相等，统称棱长。

●正方体的棱长和＝棱长×12
逆运用：棱长＝棱长和÷12
●表面积＝棱长×棱长×6 = 任意一个面积×6，用公式表示S＝6a2
逆运用：正方体一个面的面积＝棱长×棱长＝正方体表面积÷6
●无盖的正方体的表面积＝棱长×棱长×5
体积（容积）＝棱长×棱长×棱长，用公式表示：V= a ×a×a = a3
●求小正方体的数量= 每排的个数×排数×层数
●至少要8块棱长为1厘米的小长方体拼成一个大正方体。

●一个正方体棱长扩大ａ倍，棱长之和扩大ａ×ａ倍，表面积扩大ａ×ａ倍，体积扩大ａ
×ａ×ａ倍。

（3）长方体和正方体都可以用公式（底面积×高）来计算。

用公式表示：V=S×h
（4）不规则物体的体积= 容器底面长×容器底面宽×上升的水的高度
= 容器底面积×上升的水的高度
逆运用：上升的水的高度= 不规则物体的体积÷容器底面长÷容器底面宽
= 不规则物体的体积÷容器底面积
所有公式请各位同学务必要：画图理解→背诵→熟练运用！！！。