立体几何专题——外接球与内切球45习题

)
A． 2 2
3
B． 8 2
3
C． 2 2
D． 2
41.在直三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AB = 2 ， AC = 3 ， BAC = 30 ， AA1 = 5 ，则其外接球的体积
是(
)
A． 6
B． 9
2
C． 8 2
3
D． 13
2
42.四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 上，且 AB = AC = BC = BD = CD = 4 ， AD = 2 6 ，则球 O 的
外接球与内切球问题
1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是
．
2.已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的共顶点的三条棱长度之比为 1：1：2，且其外接球的表面
积为16 ，则该长方体的全面积为
．
3.半径为 2 的球 O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为
表面积为 ( )
A． 70
3
B． 80
3
C． 30
D． 40
43.正方体 ABCD − A1B1C1D1 棱长为 2， M 为 CD1 中点，则四面体 ABDM 外接球的体积为 ．
44.已知在正四面体 ABCD 中，点 E 在棱 AC 上，F 为棱 AD 的中点．若 BE + EF 的最小值为 42 ， 则该四面体外接球的表面积是 ．
的外接球为球 O ，过 E 点作球 O 的截面 ， 截球 O 所得截面积的最小值为 ( )
A． 4
B． 3
C． 2
D．
40.已知 P ， A ， B ， C ， D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形， AD / /BC ，
AB = DC = AD =1， BC = PA = 2 ， PA ⊥ 平面 ABCD ，则球 O 的体积为 (
VAB ⊥ 侧面VAC ，则此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为 ( )
A． 2 72
B． 6 36
C． 3 9
D． 6 9
13. 已 知 S, A, B,C 是 球 O 上 的 点 SA ⊥ 平面ABC ， AB ⊥ BC , SA = AB = 1 ， BC = 2 ,则球 O 的表面积等于________________．
AB = AC = BC = CD = BE = 1 DE = 2 ，则此四棱锥外接球的表面积等于 (
)
2
A． 32
3
B． 40
3
C． 124
9
D． 52
3
22.已知在三棱锥 A − BCD 中， ABC 是正三角形， DCA = BCD = ， AB = 3 ， CD = 2 ，则此
2
3
三棱锥外接球的体积等于 ( )
11.已知球 O 是三棱锥 P − ABC 的外接球， AB = BC = CA =1，PA = 2 ，则当点
P 到平面 ABC 的距离取最大值时，球 O 的表面积是 ( )
A． 16
3
B．16
C． 32 3
27
D． 16
3
12.在三棱锥V − ABC 中，ABC 是等边三角形，顶点V 在底面 ABC 的投影是底面的中心，侧面
3
接球的体积为 ． 35.已知一个圆锥的底面半径为 2，高为 3，其体积大小等于某球的表面积大小，则此球的体
积是 ( )
A． 4 3
B． 8 3
3
C． 4
D． 4
3
36.阳马，中国古代算数中的一种几何体，它是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱
锥．已知在阳马 P − ABCD 中， PD ⊥ 平面 ABCD ， PD = 3 ，且阳马 P − ABCD 的体积为 9，则阳
3
接球的体积为 ( )
A． 500
3
B．100
C． 490
3
D． 500
4
29.在棱长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，平面 ⊥ B1D ，则以平面 截正方体所得的截面面
积最大时的截面为底面，以 B1 为顶点的锥体的外接球的表面积为 ( )
A．12
B． ? 25
3
C． ? 20
大值为 ( )
A． 12 3 B． 32 C． 32 3 D． 64
3
3
3
3
27.四面体 ABCD 中， ABD 和 CBD 均为正三角形，且它们所在平面互相垂直，已知 AB = 2 ，
则四面体 ABCD 外接球的表面积为 ( )
A．12
B． 16
3
C． 20
3
D．16
28.在正四棱锥 P − ABCD 中， 2PA = 5AB ，若四棱锥 P − ABCD 的体积为 256 ，则该四棱锥外
B．16 3 2π D．16π
20.在三棱锥 A − BCD 中，BCD 是边长为 3 的等边三角形，BAC = ，
3
二面角 A − BC − D 的大小为 ，且 cos = − 1 ，则三棱锥 A − BCD 体积的
3
最大值为 ( )
A． 3 6
4
B． 6
4
C． 3
2
D． 3
6
21. 已 知 四 棱 锥 A − BCDE 中 ， 侧 面 ABC ⊥ 底 面 BCDE ， BC / /DE ， 且
B． 32
)
C． 25
D．16
5
38.已知四面体 A − BCD 中，ABC 和 BCD 都是边长为 3 的正三角形，则当四面体的体积最大
时，其外接球的表面积是 ( )
A． 4
B． 5
C． 6
D． 9
39.正三棱锥 P − ABC 中， PA = 4 ， AB = 4 2 ，点 E 在棱 PA 上，且 PE = 3EA ，正三棱锥 P − ABC
AA1＝3，则 V 的最大值是( )
A．4π
B．92π
C．6π
D．332π
7.已知直三棱柱
的底面为直角三角形，且两直角边
长分别为 1 和 ，此三棱柱的高为 体积为
，则该三棱柱的外接球的
A． B．
C．
D．
8.在三棱锥 A − BCD 中， AB = AC ， DB = DC ， AB + DB = 4 ， AB ⊥ BD ，则三棱锥 A − BCD 外接 球的体积的最小值为_____．
3
D． 6
30.已知四棱锥 P − ABCD 的底面 ABCD 是矩形，其中 AD =1 ， AB = 2 ，平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，
PA = PD ，且直线 PB 与 CD 所成角的余弦值为 2 5 ，则四棱锥 P − ABCD 的外接球表面积为 ( )
5
A． 16
3
B． 76
3
C． 64
BC = 4 3 ，三棱锥 A − PBC 的外接球表面积为 64 ，则该圆锥的体积为 ． 19.已知 P，A，B，C，D 是球 O 的球面上的五个点，四边形 ABCD 为梯形，AD∥BC，AB＝ CD＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面 ABCD，则球 O 的体积为( )
A．64 3 2π C．16 2π
A． 32
3
B． 40
3
C． 52
3
D． 64
3
23.已知 ABC 的三个顶点均在球心为 O 的球面上，若 AC = BC = 2 ， AB = 2 3 ，球心 O 到平面
ABC 的距离为 5 ，则该球的体积为 ( )
A． 24
B． 32
C． 100
3
D． 36
24.在正四棱锥 P − ABCD 中， 2PA = 5AB ，若四棱锥 P − ABCD 的体积为 256 ，则该四棱锥外
2
若三棱锥 P − ABC 体积的最大值为 3，则其外接球的半径为 ( )
A．2
B．3
C．4
D．5
16.球 O 的两个相互垂直的截面圆 O1 与 O2 的公共弦 AB 的长度为 2，若△ O1AB 是直角三角形，
△ O2 AB 是等边三角形，则球 O 的表面积为 (
)
A． 9
B．12
C．16
D． 20
马 P − ABCD 外接球表面积的最小值是 ( )
A． 9 3
2
B． 9 3
C． 27
D． 27 3
37.已知 ABC 中， AB = BC = 4 ， ABC = 90 ，平面 ABC 外一点 P 满足 PA = PB = PC = 2 6 ，则
三棱锥 P − ABC 的外接球的表面积是 (
A． 36
3
接球的体积为 ．
25.已知正四面体 ABCD 的棱长为 4，点 E 在棱 AB 上，且 BE = 3AE ，过 E 作
四面体 ABCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为 ( )
A． 10
3
B． 3
C．
3
D． 3
4
26.已知 A 、 B 、 C 、 D 四点都在表面积为100 的球 O 的表面上， 若 BC = 4 3 ， BAC =120 ，则球 O 内接三棱锥 A − BCD 的体积的最
9.设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ABC 为等边三角形且其面积为
9 3，则三棱锥 D－ABC 体积的最大值为( )
A．12 3
B．18 3
C．24 3
D．54 3
1
10.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB⊥底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD 的交点．若 PB＝1，∠APB＝π3，则三棱锥 P－AOB 的外接球的体积是________．
17.在三棱锥 P − ABC 中，已知 PA = AB = AC = 2 ，PAB = ，BAC = 2 ，D 是线段 BC 上的点，
2
3
BD = 2DC ， AD ⊥ PB ．若三棱锥 P − ABC 的各顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的半径为 ( )
A．1
B． 2
C． 3
Hale Waihona Puke D． 518.设圆锥的顶点为 A ， BC 为圆锥底面圆 O 的直径，点 P 为圆 O 上的一点（异于 B ， C) ，若
．
4.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝2，AC＝ 3 ，∠BAC＝30°，AA1＝ 5 ，则其外接球
体积是
．
5.已知正三棱锥 S—ABC 的侧棱长为 4 3 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积
是
．
6.在封闭的直三棱柱 ABC－A1B1C1 内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，
3
D． 19
3
31.已知正方形 ABCD 的边长为 4，CD 边的中点为 E ，现将 ADE 和 BCE 分别沿 AE ，BE 折起，
使得 C ， D 两点重合为一点记为 P ，则四面体 P − ABE 外接球的表面积是 ．
32.已知边长为 1 的正 ABC 的三点都在球 O 的球面上， AO 的延长线
45.由正三棱锥 P − ABC 截得的三棱台 ABC − A1B1C1 的高为 3 ， AB = 6 ， A1B1 = 3 ．若三棱台 ABC − A1B1C1 的各顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 ．
6
14.如图所示，在棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，边长为 2 ，
PD = 2 ， PA = PC = 2 ．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为
(
)
A． 2 B． 2 +1 C．2 D． 2 −1
2
15.已知三棱锥 P − ABC 的四个顶点均在同一个确定的球面上，且 BA = BC = 6 ， ABC = ，
与球面的交点为 S ，若三棱锥 S − ABC 的体积为 2 ，则球 O 的体积
6
为．
33.已知三棱锥 A − BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，且 AB ⊥ 平面
BCD ， AB = 2 3 ， AC = AD = 4 ， CD = 2 2 ，则球 O 的表面积为
34.在正四棱锥 P − ABCD 中， 2PA = 5AB ，若四棱锥 P − ABCD 的体积为 256 ，则该四棱锥外