沪科版八年级数学下册同步教案 第19章四边形 平行四边形第4课时三角形的中位线

第4课时三角形的中位线
【知识与技能】
1.理解三角形中位线的概念,掌握它的性质．
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算.
【过程与方法】
经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力．感悟几何学的推理方法.
【情感态度】
培养学生合情推理意识,形成几何思维分析思路,体会几何学在日常生活中的应用价值.
【教学重点】
掌握和运用三角形中位线的性质.
【教学难点】
三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）.
一、创设情境,导入新课
如图,A、B两点被池塘隔开,现在要测量出A、B两点间的距离 ,但又无法直接去测量,怎么办？这时,在A、B外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果能测量出MN的长度,也就能知道AB的距离了.这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的问题.
【教学说明】通过实例引起学生的思考,激发学生探究的兴趣.
二、合作探究,探索新知
1.已知,直线m1, m2,m3,互相平行,直线AC和直线A1C1分别交直线m1, m2,m3于点A,B,C和A1,B1,C1,且AB=BC,那么A1B1与B1C1相等吗？为什么？
（1）学生先测量长度,总结规律：A1B1= B1C1
（2）进行证明
（3）教师总结：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
【教学说明】让学生先画图,然后进行测量,猜想结论,教师再引导学生进行证明,最后总结结论.
2.如图,点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点.
（1）观察DE与BC的位置有什么关系？大小有什么关系？
（2）猜想：DE∥BC且DE=1
2 BC.
（3）怎样证明？
【分析】所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.
方法1：如图（1）,过点D作DE′∥BC,DE′交AC于点E′,根据以上结论,点E′应与点E重合
∴DE∥BC,
过点D作DF∥AC,DF交BC于点F,则点F为BC的中点
∴四边形DFCE为平行四边形
∴DE∥BC且DE=1
2
BC
方法2：如图（2）,延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得AD ∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF
∥BC,DF=BC,因为DE=1
2
DF,所以DE∥BC且DE=
1
2
BC.
3.三角形中位线定理
三角形两边中点连线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
【教学说明】先让学生画图,然后观察猜想结论,关于中位线定理的证明方法不止一种,教师可以让学生先自主探索,教师在学生探究的时候可以给予适当的提示,然后让学生进行证明,最后教师再引导学生总结中位线定理,教师强调三角形的中位线有位置和大小两个结论.
三、示例讲解,掌握新知
例已知：如图（1）,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【分析】因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连接AC或BD,构造“三角形中位线”的基本图形后,此题便可得证.
证明：连结AC（图（2））,△DAC中,
∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG=1
2
AC（三角形中位线性质）.
同理EF∥AC,EF=1
2 AC.
∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
【教学说明】构建三角形的中位线是重要的作辅助线的方法,教师在讲解时一定要讲清楚为什么这样作辅助线,有什么作用,使学生掌握方法.
四、练习反馈,巩固提高
1.如图所示,EF是△ABC的中位线,若BC=8cm,则EF=_____cm.
2.三角形的三边长分别是3cm,5cm,6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是_____cm.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,则连结两条直角边中点的线段长为_____.
4.如图所示,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=EB,求证：OE∥BC．
第4题第5题
5.如图,点E,F,G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
【答案】1.4 2.7 3.6.5
4.∵AE＝BE,
∴E是AB的中点.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO＝OC,∴EO是△ABC的中位线.
∴OE∥BC
5.连接BD,∵H为AD中点,G为AB中点,
∴GH为△ABD中位线.
∴GH∥BD且GH=1
2 BD.
∵E为CD中点,F为BC中点, ∴FE为△DCB中位线.
∴FE∥BD且FG=1
2 BD,
∴HGEF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
【教学说明】学生独立完成练习,加深巩固所学知识.对于第5题,教师可以引导学生先分析怎样做辅助线,然后再进行解答.
五、师生互动,课堂小结
1.三角形的中位线定理是什么？
2.三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
【教学说明】对于三角形的中位线定理要强调从位置和大小两个方面考虑,要注意区分三角形的中位线与中线.
完成同步练习册中本课时的练习.
本课时所要探究的三角形的中位线定理是学生以前从未接触过的内容.因此,在教学中通过创设有趣的情境问题,激发学生的学习兴趣,注重新旧知识的联系,强调直观与抽象的结合,鼓励学生大胆猜想,大胆探索新颖独特的证明方法和思路,让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程,体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用,同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.通过本节课的学习,应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系,而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.。