大学高等数学上册：4-1单调性与极值

y
(非严格意义的) 注意
闭区间[a, b]上上述结论不一定成立． o a
bx
y
y
oa
bx o a
bx
1．闭区间上连续函数的最值
闭区间[a, b]上连续函数f (x) 的最大最小值 M，m 的求法． (1) 求出f (x) 在(a, b) 内的所有临界点：x1, x2 , , xn. (2) 求出函数值 f ( x 1), f ( x 2), , f ( x n) 及 f (a)，f (b)． (3) 比较以上这些函数值的大小即可得：
令 f ( x) 0 得驻点x = －1, 0, 1. f ( x) 6( x2 1)(5 x2 1)
x ( ,1) 1 (1,0) 0 (0, 1) 1
(1, )
f ( x) －
0
－
0
+
0
+
f ( x)
0
+
0
f (x)
非极值
极小值 f (0) = 0
非极值
三、最值
最值是整体概念而极值是局部概念. 结论：若f (x) 在 (a, b) 内有最值点 x0，则 x0 必是极值点.
例如
y x3
y x
x = 0 是驻点但非极值点 x = 0 是极小值点但 y (0) 不存在
结论：极值点必是临界点
极值点的必要条件
问题：如何判别临界点是否为极值点？
3．极值点的充分条件
y x2
y x3
y 3 x2
(1)一阶充分条件：
设 x0 是f ( x )的临界点， f ( x )在某N ( x0 )内连续，在
f ( x )的驻点．
(4) 函数的单调性是一个区间上的性质，不能用一点
而应该用一个区间上导数的符号来判断． 所以对函数需要求单调区间．
【例1】求 f ( x) x 3 3x C 的单调区间．
令
【解】f ( x) 3x2 3 0 x 1
x (, 1) (1,1) (1, )
f (x)
f (a) = f (b) = 0, 且在(a, b) 内任一点 x 处有
f ( x) (1 x2 ) f ( x) f ( x) 0
证明在[a, b]上 f ( x) 0 ．
【证明】 由已知可得f (x) 在[a, b]上有最大最小值 M，m
[反证法]倘若 f ( x) 0
【例4】证明：当x > 1 时，e x e x2 1 2 【证明】 设 f ( x) e x e ( x2 1) 则
2
显然f ( x ) 在 [1, ) 上连续且可导．
f (1) 0
f ( x) e x ex 则 f (1) 0
f ( x) 在 [1, )上连续且可导，在 [1, )上有
时，有
f (x) x x0
0 (保号性)
x N ( x0 ) f ( x) 0
x0 是极小值点
x N ( x0 ) f ( x) 0
注意 二阶充分条件
①不可导点不能用；② f (x) 0的点不能用．
【例2】求 f ( x) ( x2 1)3 1的极值． 【解】 f ( x) 3( x2 1)2 2 x 6 x( x2 1)2
单调性的三个应用： 1. 证明不等式； 2. 判断方程根的个数； 3. 判断极值点．
【例3】证明：当 x 0时，arctan x x
思路：先将不等式改写成 f ( x) f ( x0 )或 f ( x) f ( x0 ) 的形式， 然后证明f ( x )的单调性即可．
【证明】arctan x x 改写成 arctan x x 0 arctan0 0
x (, 1) 1 (1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, )
f (x) － f (x)
不存在 ＋
极小值 f (-1) = 0
0
－ 不存在 ＋
极大值 f (0) = 1
极小值 f (1) = 0
(2) 二阶充分条件：
设 x0 是f ( x )的驻点，即 f ( x0 ) 0 ，且 f ( x0 ) 存在．
f ( x) e x e 0 所以 f ( x) 单调递增 x 1, f ( x) f (1) 0
从而f ( x ) 在 [1, )上单调递增 x 1, f ( x) f (1) 0
即 e x e x2 1 2
【例5】判断方程 x 3 3x C 0 实数根的个数． 思路：若f ( x ) 在( a , b ) 内严格单调，则方程f ( x ) = 0 在( a , b ) 内至多有一个实根．
第4章 导数的应用
利用导数研究函数
——单调、极值、凸性、拐点
最值问题 平面曲线的曲率 相关变化率 导数在经济学中的应用（移后）
§4.1 函数的单调性 极值与最值
单调性 极值与最值
一、函数的单调性
定义：x1, x2 (a, b), 当 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 称f ( x ) 在( a , b ) 内单调递增，记作f ( x ) ．
x1 , x2 (a, b), 当 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 称f ( x ) 在( a , b ) 内单调递减，记作f ( x ) ．
y y f (x) B
yA y f (x)
A
B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理：设f ( x ) 在[ a, b ]上连续，在 ( a, b ) 内可导， (1)若 x (a,b), f (x) 0 , 则f ( x ) 在[ a , b ]上单调递增. (2)若 x (a,b), f (x) 0 , 则f ( x ) 在[ a , b ]上单调递减.
M max f (x 1), f (x 2), , f (x n), f (a), f (b) m min f (x 1), f (x 2), , f (x n), f (a), f (b)
【例1】求f ( x) 2x3 3x2 12x 14 在[－1, 4] 上的最值． 【解】 f ( x) 6x2 6x 12 6( x 1)( x 2)
N ( x0 ) 内可导．
① N ( x0 )内 f ( x) 0, N ( x0 ) 内f ( x) 0, 则x0是极小值点．
② N ( x0 )内 f ( x) 0, N ( x0 ) 内f ( x) 0, 则x0是极大值点．
③ N ( x0 )和 N ( x0 ) 内 f ( x) 不变号，则 x0不是极值点．
f (x) = 0 在 , ln k 内至多有1个实根．
故k > 0 时， f (x) = 0 至多有2个实根． 综合得： f (x) = 0 至多有2个实根．
注：本题也可用 Rolle 定理证．(反正法）
二、函数的极值
1．极值的定义
定义：设f ( x ) 在 x0的某邻域 N ( x0 )内有定义，且
注意 f ( x0 ) 存在与否和结论无关．
y
y
o
x0
xo
x0
x
(是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
x0
x
(不是极值点情形)
【例1】求 f ( x) ( x2 1)2 3 的极值．
【解】 f ( x) 2 ( x2 1) 1 3 2 x 4 x
3
33 x2 1
驻点 x = 0 ，不可导点 x 1 ．
x N ( x0 ) 有 f ( x) f ( x0 ) (或 f ( x) f ( x0 ) )
则称 f ( x0 )为f ( x ) 的极大值(或极小值)．
极大值与极小值统称为极值，取得极值的点称为极值点．
注意
y
(1)极值是局部概念，
y f (x)
最值是整体概念；
(2)端点不是极值点； a x1 o x2
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
注意
(1) 定理的条件仅是一个充分条件． (2) 对于无穷区间，定理也成立．
(3) 如果 x0 a,b f (x0) 0，而取等号的点是孤立点
的话，则结果仍成立．
所以对f ( x ) = arctan x－ x , 只要证明f ( x ) 在 x 0时
x 0,
f(x)在(, 0上] 连续
f
(x)
1 1 x2
1
x2 1 x2
0
f (x)在 (, 0] 上单调递减
x 0, f ( x) arctan x x f (0) 0
即 x 0 时，arctan x x 重点f (x)≥f (0) = 0
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 ,应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
2 3
,
f (x)
f (x)
单调递增区间
,
0
,
2 3
,
,
单调递减区间
0,
2 3
驻点和不可导点统称为临界点
临界点 {驻点，不可导点}
求单调区间的步骤： 1．确定f ( x )的定义域； 2. 求出f ( x )的临界点； 3. 以临界点为分界点将定义域分成若干个区间，确定每
个区间上 f ( x) 的符号； 4．根据 f ( x)的符号确定f ( x )的单调区间．
(3)极小值可能比极大值大；
x3
x4 x5 b
x
(4)除非特别说明，一般均指严格意义下的极值．
2．极值点的必要条件
定理：可微函数的极值点必是驻点．即
若f ( x ) 在极值点 x0 处可导，则 f ( x0 ) 0 几何解释：曲线若在极值点处有切线，则必是水平切线．
注意
函数的驻点不一定是极值点, 反之极值点也不一定是驻点．
在该点的邻域内没有其他使导数为零的点
例如
1. f x x 3 f x 3x2 0 f 0 0 f ( x )
允许个别点处导数为零
2. f x x sin x f x 1 cos x 0 f 2k 1 0，k 为自然数
而f ( x )
称使 f x 0 的点为
2+C = 0或－2+C = 0 C 2
－1
1
－2+C
x 有2 个实根． 2+C < 0或－2+C > 0 C 2 有1个实根．
【例6】证明 y e x k x 与 y = c 至多有 2 个交点． 分析：即证方程 e x k x c 至多有2 个实根 【证明】(用单调性) 设 f ( x) e x k x c ，则
＋
－
＋
f (x)
单调递增区间 ,1,1,
单调递减区间 (－1, 1)
驻点是可能改变函数单调性的转折点．除此还 可能是不可导点．
【例2】求 y 3 x2 e x的单调区间．
【解】y
2 3
x
1 3
x
2 3
ex
1
x3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 3
x
ex
驻点 x 2 , 不可导点 x = 0
3
x
, 0
0,
2 3
f (x) ex k 当k 0时， f ( x) 0 f ( x) f (x)=0至多有一个实根． 当k > 0 时，令 f ( x) 0 得 x = lnk
若x > lnk f ( x) 0 f ( x)
f (x) = 0 在 ln k, 内至多有1个实根．
若x < lnk f ( x) 0 f ( x)
【解】设 f ( x) x 3 3x C , 已求得f ( x ) 的单调区间
x (－∞,－1) －1 (－1, 1) 1 (1, + ∞)
f(x)
2+C
－2 + C
f ( x ) 在,1, 1,1, 1,内各至多有一个根．
2+C
y
讨论：2+C > 0且－2+C < 0 C 2
有3 个实根．
① f (x0 ) 0 ，则x0是极小值点．
② f (x0 ) 0 ，则x0是极大值点．
③ f (x0) 0 ，无法判断．
证明① lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) x x0
lim x x0
f (x) x x0
f ( x0 ) 0
N ( x0 )
当 x N ( x0 )
令 f ( x) 0 得驻点 x = 1, x = －2，其中 21,4
f (－1) = 27, f (1) = 7, f (4) = 142
所以f (x)在[－1, 4] 上的最大值为f (4) = 142 ，最小值为f (1) = 7
【例2】设 f (x) 在[a, b]上具有连续的二阶导数,