山西省高二下学期期中考试(数学理)

2010-2011学年度第二学期高二期中考试
数学试题（理科）
本试卷满分150分 考试时间120min
命题人：胡巍基 审题人：邓国进
•选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
C .设p,q 为简单命题，若 "p q "为假命题，则
D .命题若
0,则COS 1 ”的逆否命题为真命题。

4.
若 ABC 的三个内角满足
sinA:sinB:sinC 5:11:13，贝U ABC （
）
A . 一定是锐角三角形
B . 一定是直角三角形
C .一定是钝角三角形
D .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5. 函数y xcosx sinx 在下列哪个区间内是增函数（
）
3 3 5
A .（2三）
B . （ ,2 ）
C .（32）
D . （2 ,3 ）
6 .已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
1 3
y
x 3 81x 234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 3
A . 13万件
B . 11万件
C . 9万件
D . 7万件
7.如果命题p （n ）对n = k 成立（n € N*），则它对n = k + 2也成立，若p （n ）对n = 2成立，则下列结论正确 的是（
）.
1.
目要求的。

/ 1、0.5 （）,b 2
做在机读卡上。

0.3
0.5
log 0.30.2，则a,b,c 的大小关系是
C .
be D .
2.
3i (3 i)2
1 .3. A .
i 4
4
,3. i 2
.3. i
4
3. F 面说法正确的是
A .命题“ x R,使得x 0 ”的否定是
x R,使得x 2
1 0 ”。

B .实数x
y 是x 2 y 2成立的充要条件。

“ p q ”也为假命题。

A . p（ n）对一切正整数n都成立
B . p( n)对任何正偶数n都成立
C. p(n)对任何正奇数n都成立
D . p(n)对所有大于1的正整数n都成立&汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程
t的函数，其图像可能是( )
第U卷(非选择题，共90分)注意事项: s看作时间
9•下面给出了关于复数的三种类比推理：
①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；
②由向量a的性质|a|2 a2可以类比复数的性质|z|2 z2；
③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是(
A .①③①②C.② D .③
10 .直线y kx 1与曲线y x3ax b相切于点A(1,3),则b的值为( )
11.满足条件| z+i | +| z- i|=4 的复数
A .一条直线
B .两条直线
12.设集合A
A. B.1,x R
C.5 D .5
产面上对应点的轨迹
是
(
C. 圆
D.椭圆
x x
b2,x R.若A
c.a b3 D.a
).
).
B ,则实数a,b必满足
第n 卷全部是非选择题，必须在答题纸非选择题答题区域内，用黑色字迹钢笔或签字笔作答，不能答 在试卷上，否则答案无效。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
减函数”.当它们构成三段论时，其“小前提”是 _____________ （填序号）.
2 1
14 •抛物线y 4x 2在点P — ,1的切线方程是 ____________________
2
15.已知f （x ）为一次函数，且 f
（x ）
1
x 2 o f(t)dt ，贝y f(x) = _________
16. 观察下列各数对
(1, 1) (1 , 2) (2, 1) (1, 3) (2, 2) (3, 1) (1, 4) ( 2, 3) ( 3, 2) ( 4, 1) (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1)
则第60个数对是 三、解答题（本大题共 6小题,共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 .(本题满分12分)k* S5*u
在各项为正的数列｛a n ｝中，数列的前n 项和S n 满足&
(1)求 a 1, a 2, a 3；
（2）由（1）猜想数列｛a n ｝的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 18. （本题满分12分）
19. （本题满分12分）
ABC 的三个内角A, B,C 成等差数列，求证:
20. （本题满分12分）
13.设有三个命题:
“① 0V - V 1 •②函数
2
f(x) = log 1 x 是减函数.③当
2
0 V a v 1 时，函数 f ( X)
log a x 是
已知复数z 满足：z
1 3i
乙求
2 2
(1 i) (3 4i)
2z
的值.
AMPN
A
B
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园
要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB| = 3米，|AD| = 2米.
(I )要使矩形AMPN勺面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(II )若AN的长不小于4米，试求矩形AMPN勺面积的
最小值以及取得最小值时AN的长度.
21. (本小题满分12分)k*s5*u
1 2
已知函数f (x) (a )x In X . ( a R)
(I)当a 1时，求f(x)在区间［1, e］上的最大值和最小值；
(n)求f (x)的极值
22. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲
设函数fx 2|x 1| |x 2| .
(I)求不等式f(x) 4的解集；
(n)若不等式f x m 2的解集是非空的集合，求实数m的取值范围.
2010-2011学年度第二学期高二期中考试
数学答题纸(理科)
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14. _
13
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16. _ ___________________ 15
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14. _
三．解答题：本大题共6小题，满分70 分．17. 解：k*s5*u
18. 解：
21.
19..解：
20.
21.2010-2011学年度第二学期高二期中考试数学参考答案与评分标准（理科）
一、选择题
BDDCB CBACA DD k*s5*u
二、填空
13.①14. 4x y 1 0 15. f(x) x 1 16. (5, 7)
三、解答题
17. --------------------------------------------------------------------------------------- 解：.解：(1) a1= 1, a2= 2 —1, a3= 3 —2 ; ---------------------------------- 3分
(2)a*= n 一■■-v n —1 ； ------------------------------------ 5 分
证明：①当n 1时已证; ------------------------------------ 6 分
②假设n = k成立，即a k= i k—•. k—1 .
1 1
那么n= k+ 1 时，S<+1 = S k+ a k+1 = a k 汁 -
2 a k 1
所以 1 + ( ■. 2 —1) + ( -73 —- 2 ) +…+ ( ■- k —k 1 ) + a k+1 =—
2 22.
1
a k 1= 2 a k a k
1
a k 1
1 a k 1
x 2
解得a k 1= ■ k +1— k ，即n = k + 1时也成立. 由①②知，猜想a n = .. n — . n —1正确. 12 分 18.解：设 z a bi,(a,b R)，而 z 3i 乙即 a 2 b 2 1 3i a bi 0 •、a 2 b 3 b 2 a 1 °4分
4,z 4 3i (1 2 i) (3 2z 4i)2 2i( 7 24i) 2( 4 3i) 24 7i 3 4i 12分 19.证明: 要证原式, 只要证 3,即一 a c ~b 即只要证 c 2 a 2 b 2 ac,
而AC 2B,B 60°由余弦定理, 2 2 ,2 . a c b 有 cosB=— 2ac 整理得c 2 a 2 b 2 ac, 10分 于是结论成立，即 20.解：设AN x (X 2)， 1 3 b c a b c
••• 1DNI IDCl , • | AM |AN| |AM| 12 分 3x x 2 …S AMPN AN AM
(I ) 由 S AMPN 32得 x 3x 2 3x[
2
32.
x 2 32x 64 2 ,••• 3x 2 8亠
2 x 或
3 (n)由条件AN 的长不小于4,所以 解得 0，即（3x 8）（x 8） 0. 8 x 8，即AN 长的取值范围是（2,—）U （8,+ 3 ). 2 2 3x 3(x 2) 12(x 2) 12 y
x 2 3(x 2) 二 12 > 2 3(x 2) 12 12
x 2 ■ x 2 24 .
当且仅当3（x 2） 12 ，即x
x 2 3x 2
答：（略）
21.解：（I ）当 a 1 时，f(x) ln
-取得最小值，且最小值为 24平方米. 2
11分
12分
0,.・. f(x)在区间［1 , e］上为增函数,
的取值范围是(，1)U(5,). 10分
0,.・. f(x)在区间［1 , e ］上为增函数, 的取值范围是(，1)U(5,). 10分
max (x) f(e) 1 ，f min (x) f(1) 1 (n) f (x) (2a 1)x 1 (2a 说 1 (x>0) x x ①当2a 1 0，即 f (x) 0, 所以, f (x)在(0, +s)是单调递增函数 故f(x)无极值点。

②当2a 1 0 ,即 1 12a ，x2 1 12a (舍去)
22.解：(I) f x
3x, (x x 4,( 2 3x, (x 1)
2) x 1)，令 4 或 3x 4，得 x 0， 以，不等式f(x) 4的解集是｛x | x 0或x (n) f (x)在(，1］上递减，［1,)递增，所以，f x f (1) 3 , 由于不等式f x m 2的解集是非空的集合， 所以|m 2| 3，解之，m 或m 5，即实数。