栈和队列
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设计思路：用栈暂存左括号
应用3 ：表达式求值
设计思路：用栈暂存运算符
应用4：汉诺仪（Hanoi）塔
设计思路：用栈实现递归调用
例 表达式求值
1）问题的提出 假若我们想在计算机上设计一个小计算器（程序）， 其功能为：从键盘上输入一个算术表达式（由运算符操 作数构成的字符串）,在屏目上显示输出表达式的求值结 果。 显然这个小计算器程序应该对你键入的表达式进行求 值。在该程序中如何对键入的表达式求值呢？又如，高 级语言中都有表达式，例赋值语句：变量=表达式；该 语句的执行过程为：先求出表达式的值， 然后将其值赋 给赋值号左边的变量。这个表达式的值是如何求出的？
我们看到：进行运算的算符i是当前扫描过的运算 符中优先级最高者，同时，也是到当前最后被保存的运 算符，由此可见，可以利用两个栈分别保存扫描过程中 遇到的操作数和运算符。
6 算法思想：
设定两栈：操作符栈 OPTR ，操作数栈 OPND 栈初始化：设操作数栈 OPND 为空；操作符栈 OPTR 的栈底 元素为表达式起始符 ‘#’； 依次读入字符：是操作数则入OPND栈，是操作符则要判断： if 操作符 < 栈顶元素，则退栈、计算，结果压入OPND栈； 操作符 = 栈顶元素且不为‘#’，脱括号（弹出左括号）； 操作符 > 栈顶元素，压入OPTR栈。
问：堆栈是什么？它与一般线性表有什么不同？
答：堆栈是一种特殊的线性表，它只能在表的一端 （即栈顶）进行插入和删除运算。 与一般线性表的区别：仅在于运算规则不同。
一般线性表 逻辑结构：一对一 存储结构：顺序表、链表 运算规则：随机存取 堆栈 逻辑结构：一对一 存储结构：顺序栈、链栈 运算规则：后进先出(LIFO)
数据结构课程的内容
受限的线 性表
第三章
3.1 栈（Stack）
1. 定义 2. 逻辑结构 3. 存储结构 4. 运算规则 5. 实现方式
栈和队列
3.2 队列（Queue）
1. 定义 2. 逻辑结构 3. 存储结构 4. 运算规则 5. 实现方式
3.1 栈
1.定义 2.逻辑结构 3.存储结构 4.运算规则 5.实现方式
s
top
99 . . . 3 2 1 0
a3 a2 a1 a0
(栈顶)
(栈底)
链栈示意图
s
top
a4 a3
a2 a1
^
(栈顶)
(栈底)
表和栈的操作区别——对线性表s= (a0,a1,
顺序表V[n]
高地址
…. ,
an-1)
顺序栈S
表尾
高地址
an-1 …… v[i] ai ……
低地址
an an-1 …… ai …… a1 a0
an-1 ai ai-1
e an-1
ai ai-1
a0
STACK_INIT_SIZE
a0
STACK_INIT_SIZE
S.stacksize
e 进栈前
e 进栈后
进栈操作算法 int StackPush( SeqStack *s , DataType x )
{
if ( s -> Top >= MAXStackSize )return 0；
… …
a1 ^ a1 ^
h
h -> Next = p -> Next；
问：为什么要设计堆栈？它有什么独特用途？ 答：
1.
调用函数或子程序非它莫属；
2.
3.Βιβλιοθήκη 递归运算的有力工具；用于保护现场和恢复现场；
4.
简化了程序设计的问题。
应用1：数制转换（十转N）
设计思路：用栈暂存低位值
应用2：括号匹配的检验
else
{ s -> Stack[s -> Top] = x； s ->top ++ return } } 1；
出栈操作算法
功能：栈顶元素退栈 int StackPop(SeqStack *S,DataType *d) { if(s->top <= 0) return 0; else { s->top - *d = s->stack(S->top) return 1; } }
> >
>
> >
>
< >
>
< >
>
< <
<
> >
>
> >
> > =
<
> <
<
> <
<
> <
<
> <
<
<
=
>
5
算符优先算法 我们再来分析一下表达式5+4 (1+2)- 6 计算过程：
5+4 (1+2)- 6
后面也许有优先级 更大的算符
从左向右扫描表达式：
遇操作数——保存；
遇运算符号j——与前面的刚扫描过的运算符i比较 若i<j 则保存j，(因此已保存的运算符的优先关系为 1<2<3<4) 若i>j 则说明i是已扫描的运算符中优先级最高者，可进行运算； 若i = j 则i为(,j 为 )，说明括号内的式子已计算完，需要消去括号；
top
D C B A D top C B A D C B A top D C B A
top
低地址L
核心语句： Pop ( ); Pop ( ); Printf( Pop () );
顺序栈中的POP函数 status Pop( ) { if(top=L) { 下溢 } else { y=v[--top]; return(y); } }
1）链式栈可用线性链表 表示； 2）链式栈的栈顶指针就 是链表的头指针； 3）进栈操作就是在该线 性链表第一个元素结点 之前插入一个新结点， 出栈操作就是删除链表 的第一个元素结点。
S
(简称链栈)
Data next
an-1
an-2
栈顶
a0
链式栈图示
栈底
链栈的结构可定义为：
typedef struct SNode
堆栈的顺序存储结构 （简称顺序栈）
S.top n n-1 i-1 i-2 1 0
an－1
ai ai-1
a1 a0
STACK_INIT_SIZE
当栈用顺序结构存储时， 栈的基本操作如建空栈、 进栈、出栈等操作如何实现？
S.base
S.stacksize
初始化算法 void StackInitiate (SeqStack *s ) { s -> Top = 0； }
进栈操作算法
功能：元素e进栈; 进栈操作主要步骤：
1）S是否已满，若栈满，重新分配存储空间；
2）将元素e写入栈顶； 3）修改栈顶指针，使栈顶指针指向栈顶元素的下（后面）一个 位置；
进栈操作图示
S.top S.top n n-1 i-1 i-2 S.base 0 n+1 n n-1 i-1 i-2 S.base S.stacksize 0
{ DataType } LSNode； Data； struct SNode *Next；
进栈操作算法
h h p ①
②
an
an x
①
an-1
an-1
… …
a1 ^ a1 ^
p -> Next = h -> Next； ②
h -> Next = p；
退栈操作算法
h an p an an-1 an-1
例2：一个栈的输入序列是12345，若在入栈的过 程中允许出栈，则栈的输出序列43512可能实现 吗？12345的输出呢？ 答： 43512不可能实现，主要是其中的12顺序不能实现；
12345的输出可以实现，只需压入一个立即弹出一个 即可。
例3：如果一个栈的输入序列为123456，能否得 到435612和135426的出栈序列？
1=2：1的优先级等于2
1>2：1的优先级高于2
由四则运算法则，可得到如下的算符优先关系
表：
注：θ1 θ2 是相邻算 符， θ1在左， θ2在右
算符间的优先关系表
θ1 θ2
+ >
>
* <
/ <
( <
) >
# >
注：θ1 代表栈顶运算符，θ2代表当前扫描读到的 运算符
+ * / (
) #
出栈操作图示
S.top
n n-1 i-1 i-2
an-1
ai ai-1 a0
STACK_INIT_SIZE
S.top
n-2 i-1 i-2
an-2
e
ai ai-1
a0
STACK_INIT_SIZE
S.base
0
S.base S.stacksize
0
S.stacksize
出栈操作前
出栈操作后
☞ 堆栈的链式存储结构
栈顶top
a1 a0
表头
低地址
栈底base
写入：v[i]= ai 读出： x= v[i]
压入：PUSH (an+1) 弹出： POP (x)
前提：一定要预设栈顶指针top！
入栈操作——例如用堆栈存放（A，B，C，D） （注意要遵循“后进先出” 原则）
高地址M
低地址L
top A
B top A
top C B A
例
表达式求值 ( 这是栈应用的典型例子 ) 这里，表达式求值的算法是 “算符优先法”。 例如：3*（7 – 2 ） （1）要正确求值，首先了解算术四则运算的规则： a. 从左算到右 b. 先乘除，后加减
c. 先括号内，后括号外
base=NULL;
base=top; top-base=stacksize;
堆栈的顺序存储结构
（简称顺序栈）
利用一维数组定义顺序栈，用指示器top指示当前 栈顶位置 #define MAXStackSize <最大元素数> typedef struct { DataType Stack[ MAXStackSize]； int Top； } SeqStack；
top D C B A
top
核心语句： top=L; Push (A); Push (B); Push (C); Push (D);
顺序栈中的PUSH函数 status Push(ElemType x) { if(top>M){上溢} else v[top++]=x; }
高地址M
出栈操作——例如从栈中取出‘B’ （注意要遵循“后进先出” 原则）
答： 435612中到了12顺序不能实现； 135426可以实现。
例4：设依次进入一个栈的元素序列为c，a，b， d，则可得到出栈的元素序列是： Ａ）a，b，c，d Ｃ）b，c，d，a Ｂ）c，d，a，b Ｄ）a，c，d，b
答： A、D可以（ B、C不行）。
讨论：有无通用的判别原则？ 有。在可能的输出序列中，不存在这样的输入序列 i，j，k，能同时满足 i<j<k 和 Pj<Pk<Pi
例1：一个栈的输入序列为123，若在入栈的过程中 允许出栈，则可能得到的出栈序列是什么？ 答： 可以通过穷举所有可能性来求解：
① 1入1出， 2入2出，3入3出， ② 1入1出， 2、3入3、2出， ③ 1、2入，2出， 3入3出， ④ 1、2入，2、1出，3入3出， ⑤ 1、2、3入，3、2、1出， 合计有5种可能性。 即123； 即132； 即231； 即213； 即321；
补充1：
若入栈动作使地址向高端增长，称为“向上生成”的栈；
若入栈动作使地址向低端增长，称为“向下生成”的栈；
对于向上生成的栈 入栈口诀：堆栈指针top先压后加（v[top++]=x）；
出栈口诀：堆栈指针top先减后弹（y=v[--top]) 。
补充2：栈不存在的条件：
栈为空 的条件 ： 栈满的条件 ：
2） 表达式的构成 操作数+运算符+界符（如括号）
3） 表达式的求值：
例 5+6 (1+2)- 4 按照四则运算法则，上述表达式的计算过程为： 5+6 (1+2)- 4=5+6 3- 4 = 5+18-4= 23-4=19
3 2 1 4
表达式中运算符的运算顺序为：
1
+
2
3
+
4
-
4）算符优先关系表(是提供给计算机用的表) 表达式中任何相邻运算符1、2的优先关系有： 1<2：1的优先级低于2
限定只能在表的一端进行插入和删除运算的 线性表（只能在栈顶操作） 与同线性表相同，仍为一对一关系。 用顺序栈或链栈存储均可，但以顺序栈更常见 只能在栈顶运算，且访问结点时依照后进先出 （LIFO）或先进后出（FILO）的原则。
关键是编写入栈和出栈函数，具体实现依顺 序栈或链栈的不同而不同。
基本操作有入栈、出栈、读栈顶元素值、建 栈、或判断栈满、栈空等。
―进” ＝压入=PUSH（x) ―出” ＝弹出=POP ( y )
栈 是仅在表尾进行插入、删除操作的线性表。 表尾(即 an 端)称为栈顶 top ; 表头(即 a0 端)称为栈底base 例如： 栈 s= (a0 , a1 , a2 a0 称为栈底元素
, ……….,an-1)
an-1 称为栈顶元素
插入元素到栈顶（即表尾）的操作，称为入栈。
从栈顶（即表尾）删除最后一个元素的操作，称为出栈。
标识栈顶当前位置的变量称为栈顶指示器（栈顶指针）。 强调：插入和删除都只能在表的一端（栈顶）进行！ （a0, a0, ... , ai -1, ai , ai+1, …, an-1 ）
删除
插入
顺序栈示意图
data
应用3 ：表达式求值
设计思路：用栈暂存运算符
应用4：汉诺仪（Hanoi）塔
设计思路：用栈实现递归调用
例 表达式求值
1）问题的提出 假若我们想在计算机上设计一个小计算器（程序）， 其功能为：从键盘上输入一个算术表达式（由运算符操 作数构成的字符串）,在屏目上显示输出表达式的求值结 果。 显然这个小计算器程序应该对你键入的表达式进行求 值。在该程序中如何对键入的表达式求值呢？又如，高 级语言中都有表达式，例赋值语句：变量=表达式；该 语句的执行过程为：先求出表达式的值， 然后将其值赋 给赋值号左边的变量。这个表达式的值是如何求出的？
我们看到：进行运算的算符i是当前扫描过的运算 符中优先级最高者，同时，也是到当前最后被保存的运 算符，由此可见，可以利用两个栈分别保存扫描过程中 遇到的操作数和运算符。
6 算法思想：
设定两栈：操作符栈 OPTR ，操作数栈 OPND 栈初始化：设操作数栈 OPND 为空；操作符栈 OPTR 的栈底 元素为表达式起始符 ‘#’； 依次读入字符：是操作数则入OPND栈，是操作符则要判断： if 操作符 < 栈顶元素，则退栈、计算，结果压入OPND栈； 操作符 = 栈顶元素且不为‘#’，脱括号（弹出左括号）； 操作符 > 栈顶元素，压入OPTR栈。
问：堆栈是什么？它与一般线性表有什么不同？
答：堆栈是一种特殊的线性表，它只能在表的一端 （即栈顶）进行插入和删除运算。 与一般线性表的区别：仅在于运算规则不同。
一般线性表 逻辑结构：一对一 存储结构：顺序表、链表 运算规则：随机存取 堆栈 逻辑结构：一对一 存储结构：顺序栈、链栈 运算规则：后进先出(LIFO)
数据结构课程的内容
受限的线 性表
第三章
3.1 栈（Stack）
1. 定义 2. 逻辑结构 3. 存储结构 4. 运算规则 5. 实现方式
栈和队列
3.2 队列（Queue）
1. 定义 2. 逻辑结构 3. 存储结构 4. 运算规则 5. 实现方式
3.1 栈
1.定义 2.逻辑结构 3.存储结构 4.运算规则 5.实现方式
s
top
99 . . . 3 2 1 0
a3 a2 a1 a0
(栈顶)
(栈底)
链栈示意图
s
top
a4 a3
a2 a1
^
(栈顶)
(栈底)
表和栈的操作区别——对线性表s= (a0,a1,
顺序表V[n]
高地址
…. ,
an-1)
顺序栈S
表尾
高地址
an-1 …… v[i] ai ……
低地址
an an-1 …… ai …… a1 a0
an-1 ai ai-1
e an-1
ai ai-1
a0
STACK_INIT_SIZE
a0
STACK_INIT_SIZE
S.stacksize
e 进栈前
e 进栈后
进栈操作算法 int StackPush( SeqStack *s , DataType x )
{
if ( s -> Top >= MAXStackSize )return 0；
… …
a1 ^ a1 ^
h
h -> Next = p -> Next；
问：为什么要设计堆栈？它有什么独特用途？ 答：
1.
调用函数或子程序非它莫属；
2.
3.Βιβλιοθήκη 递归运算的有力工具；用于保护现场和恢复现场；
4.
简化了程序设计的问题。
应用1：数制转换（十转N）
设计思路：用栈暂存低位值
应用2：括号匹配的检验
else
{ s -> Stack[s -> Top] = x； s ->top ++ return } } 1；
出栈操作算法
功能：栈顶元素退栈 int StackPop(SeqStack *S,DataType *d) { if(s->top <= 0) return 0; else { s->top - *d = s->stack(S->top) return 1; } }
> >
>
> >
>
< >
>
< >
>
< <
<
> >
>
> >
> > =
<
> <
<
> <
<
> <
<
> <
<
<
=
>
5
算符优先算法 我们再来分析一下表达式5+4 (1+2)- 6 计算过程：
5+4 (1+2)- 6
后面也许有优先级 更大的算符
从左向右扫描表达式：
遇操作数——保存；
遇运算符号j——与前面的刚扫描过的运算符i比较 若i<j 则保存j，(因此已保存的运算符的优先关系为 1<2<3<4) 若i>j 则说明i是已扫描的运算符中优先级最高者，可进行运算； 若i = j 则i为(,j 为 )，说明括号内的式子已计算完，需要消去括号；
top
D C B A D top C B A D C B A top D C B A
top
低地址L
核心语句： Pop ( ); Pop ( ); Printf( Pop () );
顺序栈中的POP函数 status Pop( ) { if(top=L) { 下溢 } else { y=v[--top]; return(y); } }
1）链式栈可用线性链表 表示； 2）链式栈的栈顶指针就 是链表的头指针； 3）进栈操作就是在该线 性链表第一个元素结点 之前插入一个新结点， 出栈操作就是删除链表 的第一个元素结点。
S
(简称链栈)
Data next
an-1
an-2
栈顶
a0
链式栈图示
栈底
链栈的结构可定义为：
typedef struct SNode
堆栈的顺序存储结构 （简称顺序栈）
S.top n n-1 i-1 i-2 1 0
an－1
ai ai-1
a1 a0
STACK_INIT_SIZE
当栈用顺序结构存储时， 栈的基本操作如建空栈、 进栈、出栈等操作如何实现？
S.base
S.stacksize
初始化算法 void StackInitiate (SeqStack *s ) { s -> Top = 0； }
进栈操作算法
功能：元素e进栈; 进栈操作主要步骤：
1）S是否已满，若栈满，重新分配存储空间；
2）将元素e写入栈顶； 3）修改栈顶指针，使栈顶指针指向栈顶元素的下（后面）一个 位置；
进栈操作图示
S.top S.top n n-1 i-1 i-2 S.base 0 n+1 n n-1 i-1 i-2 S.base S.stacksize 0
{ DataType } LSNode； Data； struct SNode *Next；
进栈操作算法
h h p ①
②
an
an x
①
an-1
an-1
… …
a1 ^ a1 ^
p -> Next = h -> Next； ②
h -> Next = p；
退栈操作算法
h an p an an-1 an-1
例2：一个栈的输入序列是12345，若在入栈的过 程中允许出栈，则栈的输出序列43512可能实现 吗？12345的输出呢？ 答： 43512不可能实现，主要是其中的12顺序不能实现；
12345的输出可以实现，只需压入一个立即弹出一个 即可。
例3：如果一个栈的输入序列为123456，能否得 到435612和135426的出栈序列？
1=2：1的优先级等于2
1>2：1的优先级高于2
由四则运算法则，可得到如下的算符优先关系
表：
注：θ1 θ2 是相邻算 符， θ1在左， θ2在右
算符间的优先关系表
θ1 θ2
+ >
>
* <
/ <
( <
) >
# >
注：θ1 代表栈顶运算符，θ2代表当前扫描读到的 运算符
+ * / (
) #
出栈操作图示
S.top
n n-1 i-1 i-2
an-1
ai ai-1 a0
STACK_INIT_SIZE
S.top
n-2 i-1 i-2
an-2
e
ai ai-1
a0
STACK_INIT_SIZE
S.base
0
S.base S.stacksize
0
S.stacksize
出栈操作前
出栈操作后
☞ 堆栈的链式存储结构
栈顶top
a1 a0
表头
低地址
栈底base
写入：v[i]= ai 读出： x= v[i]
压入：PUSH (an+1) 弹出： POP (x)
前提：一定要预设栈顶指针top！
入栈操作——例如用堆栈存放（A，B，C，D） （注意要遵循“后进先出” 原则）
高地址M
低地址L
top A
B top A
top C B A
例
表达式求值 ( 这是栈应用的典型例子 ) 这里，表达式求值的算法是 “算符优先法”。 例如：3*（7 – 2 ） （1）要正确求值，首先了解算术四则运算的规则： a. 从左算到右 b. 先乘除，后加减
c. 先括号内，后括号外
base=NULL;
base=top; top-base=stacksize;
堆栈的顺序存储结构
（简称顺序栈）
利用一维数组定义顺序栈，用指示器top指示当前 栈顶位置 #define MAXStackSize <最大元素数> typedef struct { DataType Stack[ MAXStackSize]； int Top； } SeqStack；
top D C B A
top
核心语句： top=L; Push (A); Push (B); Push (C); Push (D);
顺序栈中的PUSH函数 status Push(ElemType x) { if(top>M){上溢} else v[top++]=x; }
高地址M
出栈操作——例如从栈中取出‘B’ （注意要遵循“后进先出” 原则）
答： 435612中到了12顺序不能实现； 135426可以实现。
例4：设依次进入一个栈的元素序列为c，a，b， d，则可得到出栈的元素序列是： Ａ）a，b，c，d Ｃ）b，c，d，a Ｂ）c，d，a，b Ｄ）a，c，d，b
答： A、D可以（ B、C不行）。
讨论：有无通用的判别原则？ 有。在可能的输出序列中，不存在这样的输入序列 i，j，k，能同时满足 i<j<k 和 Pj<Pk<Pi
例1：一个栈的输入序列为123，若在入栈的过程中 允许出栈，则可能得到的出栈序列是什么？ 答： 可以通过穷举所有可能性来求解：
① 1入1出， 2入2出，3入3出， ② 1入1出， 2、3入3、2出， ③ 1、2入，2出， 3入3出， ④ 1、2入，2、1出，3入3出， ⑤ 1、2、3入，3、2、1出， 合计有5种可能性。 即123； 即132； 即231； 即213； 即321；
补充1：
若入栈动作使地址向高端增长，称为“向上生成”的栈；
若入栈动作使地址向低端增长，称为“向下生成”的栈；
对于向上生成的栈 入栈口诀：堆栈指针top先压后加（v[top++]=x）；
出栈口诀：堆栈指针top先减后弹（y=v[--top]) 。
补充2：栈不存在的条件：
栈为空 的条件 ： 栈满的条件 ：
2） 表达式的构成 操作数+运算符+界符（如括号）
3） 表达式的求值：
例 5+6 (1+2)- 4 按照四则运算法则，上述表达式的计算过程为： 5+6 (1+2)- 4=5+6 3- 4 = 5+18-4= 23-4=19
3 2 1 4
表达式中运算符的运算顺序为：
1
+
2
3
+
4
-
4）算符优先关系表(是提供给计算机用的表) 表达式中任何相邻运算符1、2的优先关系有： 1<2：1的优先级低于2
限定只能在表的一端进行插入和删除运算的 线性表（只能在栈顶操作） 与同线性表相同，仍为一对一关系。 用顺序栈或链栈存储均可，但以顺序栈更常见 只能在栈顶运算，且访问结点时依照后进先出 （LIFO）或先进后出（FILO）的原则。
关键是编写入栈和出栈函数，具体实现依顺 序栈或链栈的不同而不同。
基本操作有入栈、出栈、读栈顶元素值、建 栈、或判断栈满、栈空等。
―进” ＝压入=PUSH（x) ―出” ＝弹出=POP ( y )
栈 是仅在表尾进行插入、删除操作的线性表。 表尾(即 an 端)称为栈顶 top ; 表头(即 a0 端)称为栈底base 例如： 栈 s= (a0 , a1 , a2 a0 称为栈底元素
, ……….,an-1)
an-1 称为栈顶元素
插入元素到栈顶（即表尾）的操作，称为入栈。
从栈顶（即表尾）删除最后一个元素的操作，称为出栈。
标识栈顶当前位置的变量称为栈顶指示器（栈顶指针）。 强调：插入和删除都只能在表的一端（栈顶）进行！ （a0, a0, ... , ai -1, ai , ai+1, …, an-1 ）
删除
插入
顺序栈示意图
data