3.4极大线性无关组
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称为这个向量组的秩, 记作 r(1,2 , , s )
2 4 2
例如：
向量组
1
-1 3
,
2
-2 5
,
3
-1 4
的
1
4
-1
秩为2。
2. 矩阵的秩
2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
（2）用非零常数k乘以A的第i行
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
证：设矩阵A经过初等行变换变为B，
即存在有限个初等矩阵 P1, P2 , , PS 使得 P1P2 PS A B 令 P P1P2 PS 则 PA B
把 Amn 按列分块，设 Amn (1, 2 , , n ) 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1,2 , ,r ,
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1m xm b1 a2m xm b2 有解,
anm xm bn
或者，令
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1m
a2m
(1
,
2
,
anm
,m )
得方程组 Ax 有解.
x1
x
等价向量组的基本性质
定理：设 1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果 (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
证略.
推论1：如果向量组 1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示，并且 1,2 , , s 线性无关，那么 s t
取前面n个方程
a11k1 + a12k2 +
a21k1
+
a22 k2
+
an,1k1 + an,2k2 +
+ a1mkm = 0 + a2mkm = 0
+ an,mkm = 0
写成向量形式就是
a11 a12
k1
a21
+
k2
a22
an,1
an,2
a1m
kn
a2m
定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。
1 1 3 1
例如：矩阵
A
0
0
2 0
-1 0
4 5
的行向量组是
0
0
0
0
1
(1,1, 3,1)
2 (0, 2, -1, 4)
3 (0, 0, 0, 5)
4 (0, 0, 0, 0)
可以证明，1,2 ,3 是A的行向量组的一个极大无关组，
推论3： n个n维向量线性无关
a11 a12
令
A
a21
a22
a1n
a2n
(1
,
2
,
,n )
an1
an2
ann
得方程组 Ax 0 只有零解.
| A | 0.
即 它们所构成方阵的行列式不为零.
克莱姆法则:若系数行列式 | A | 0 Ax 0有唯一解,
即零解.
例4 证明:若向量组1,2,...,m中有一部分向量线性相关,
而Rn中任意向量都可用e1 = (1,0,0,…,0), e2 = (0,1,0,…，0), ……, en = (0,0,…,1)线性表示， 因此e1, e2 , ……, en 就是R n的一个最大无关组。
注: 以后称Rn为n维欧几里得空间，且称它 的一个最大无关组为Rn的一组基。
极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
所以向量组 1, 2 , 3 , 4 的秩是3，
所以矩阵A的列秩是3。
? 问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩
引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列）
（列）
1
证：把
Amn 按行分块，设
Amn
2
（1）对换矩阵A的两行
m
A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。
因为，由 k11 k22 k33 0
即 k1(1,1, 3,1) k2(0, 2, -1,4) k3(0,0,0,5) (k1, k1 2k2 , 3k1 - k2 , k1 4k2 5k3 ) (0,0,0,0)
可知 k1 k2 k3 0, 即 1,2 ,3 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关， 1,2 ,3 ,4 线性相关。
一部分组都是线性无关的.
对一向量组, 如部分相关, 则整体相关, 如整体无关, 则任一部分必无关.
例5 设向量组1,2,3线性无关, 又1=1+2+23, 2=1-2, 3=1+3, 证明1,2,3线性相关.
证 : 设 x11+x22+x33=0 即 x1(1+2+23)+x2(1-2)+x3(1+3)=0,
则不用计算可知 1 (1, 0, 0, 2, 4) 2 (0, 1, 0, 0, 1) 3 (0, 0, 1, 8, 1) 线性无关;
第3.4节 向量组的极大 线性无关组
一、等价向量组
定义1：如果向量组 A : 1,2 , ,m 中的每一个向量 i (i 1, 2, , t )都可以由向量组 B : 1, 2 , , s
则该向量组线性相关.
证 不妨设1,2,...,r线性相关(r<m), 于是有不全为零的数
k1,k2,...,kr使
k11+k22+...+krr=0,
从而有
k11+k22+...+krr+0r+1+...+0m=0,
这就证明了1,2,...,s线性相关.
例4的等价命题是: 若向量组1,2,...,m线性无关, 则其任
（2）再证B的列向量组中任一向量 P j 可由向量组 P1, P2 , , Pr 线性表示。
1,2 , ,r 是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量 j 都存在数 l1, l2 , , lr 使得 j l11 l22 lrr
等号两边左乘P
有 P j l1P1 l2P2 lr Pr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
an,m
这即是说对于上述不全为0的数k1，k2，…，km有
k11 k22 kmm 0
即1, 2 ,,m线性相关.
#
定理：如果一组n维向量1,2,...,m线性无关, 那么把这些
向量各任意添加t个分量所得到的新向量组也是线性无关;
比如向量 1 (1, 0, 0) 2 (0, 1, 0) 3 (0, 0, 1) 线性无关;
注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示
2 4 2
例如：在向量组 1
-1 3
,
2
-2 5
,
3
-1
4
中，
1
4
-1
首先 1,2 线性无关， 又 1,2 ,3 线性相关，
x2
xm
定义： 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不全为零实数 k1 , k2 ,, km ,使得 k11 k22 kmm 0
称向量组A 线性相关 ,否则称向量组A 线性无关.
线性相关 存在一不全为0的 x1, x2 , xm ,
使得 x11 x22 xmm 0
a11
线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。
即
i ki1 1 ki2 2 kis s i 1,2,, m 1 i li11 li2 2 lim m i 1,2,, s 2
自反性：一个向量组与其自身等价； 对称性：若向量组 A与 B 等价，则 B 和 A 等价； 传递性： A与 B 等价, B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。 数学上一般将具有上述三种性质称为等价关系；
k1
a21
+
k2
a22
+
an+1,1
an+1,2
a1m
+
kn
a2m
=
0
an+1,m
变成方程组
a11k1 + a12k2 +
a21k1 + a22k2 +
an+1,1k1 + an+1,2k2 +
+ a1mkm = 0 + a2mkm = 0
+ an+1,mkm = 0
推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。
二、向量组的极大线性无关组
定义2: 对向量组A，如果在A中有r个向量 1,2 , ,r
满足：
（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）
那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。
简称极大无关组。
设数 k1, k2 , , kr
使得 k1P1 k2P2 kr Pr 0 成立
P(k11 k22 krr ) 0
因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。
P-1P(k11 k22 krr ) P -10 k11 k22 krr 0 又 1,2 , ,r 线性无关 k1 k2 k3 0 P1, P2 , , Pr 线性无关。
所以 1,2 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
例1 全体n维实向量构成的集合记为Rn，求Rn的 一个最大无关组。 解: 因为n个单位坐标向量e1 = (1,0,0,…,0), e2 = (0,1,0,…，0), ……, en = (0,0,…,1)是线性无关的，
由(1)(2)可知 P1, P2 , , Pr 是B的列向量组的一个极大
无关组。 所以，B的列秩＝r＝A的列秩
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证：任何矩阵A都可经过初等变换变为
Er 0
而它的行秩为r，列秩也为r。
0
0
形式，
又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩＝r＝A的列秩
又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以：
向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得
定理： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
1. 向量组的秩
定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数
a12
a1m 0
x1
a21
x2
a22
xm
a2m
0
an1
an2
anm 0
根据向量相等的条件， 得方程组
a11 x1 a12 x 2 a21 x1 a22 x2 an1 x1 an2 x2
a1m xm 0 a2m xm 0 有非零解,
(x1+x2+x3)1+(x1-x2)2+(2x1+x3)3=0
由于1,2,3线性无关, 必有
x1
x2 x1 -
x2
x3
0
0,
1 系数行列式 A 1
1 -1
1 0 0
2x1 x3 0
201
所以此方程有非0解, 因此1,2,3线性相关.
例6 : 设两组向量 A :1, 2 ,,m和B : 1, 2 ,, m
a1 j
其中 j
a2
j
,
anj
a1 j a2 j
j
anj
an1, j
( j 1, 2, , m)
证若A线性无关, 则B一定线性无关.
证明 : 反证法 (假设B线性有关, 则A一定线性有关)
假设B线性有关, 即存在不全为0的k1,k2,,kn使得
a11 a12
（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）
则 PA P(1,2 , ,n ) ( P1, P2 , , Pn ) B
下面证明A的列向量组的极大无关组 1,2 , ,r 经过初等行变换变为 P1, P2 , , Pr
是矩阵B的列向量组的极大无关组。
（1）先证 P1, P2 , , Pr 线性无关。
anm xm 0
或者，令
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1m
a2m
(1
,
2
,
anm
,m )
x1
x
x2
xm
得方程组 Ax 0 有非零解. 定理3
同理， 线性无关 Ax 0 只有零解. 推论1
推论2： m>n时， m 个n维向量必线性相关. （注：m个未知数，却只有n个方程）
定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA，或秩A。
所以向量组 1,2 ,3 ,4 的秩为3，
所以矩阵A的行秩为3。
矩阵A的列向量组是
1 1 3 1
1
0 0
,
2
2 0
,
3
-1 0
,
4
4
5
0
0
0
0
可以验证 1, 2 , 4 线性无关，
而
3
7 2
1
-
1 2
2
04
所以向量组 1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组是 1, 2 , 4
2 4 2
例如：
向量组
1
-1 3
,
2
-2 5
,
3
-1 4
的
1
4
-1
秩为2。
2. 矩阵的秩
2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
（2）用非零常数k乘以A的第i行
引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。
（列）
（行）
证：设矩阵A经过初等行变换变为B，
即存在有限个初等矩阵 P1, P2 , , PS 使得 P1P2 PS A B 令 P P1P2 PS 则 PA B
把 Amn 按列分块，设 Amn (1, 2 , , n ) 不妨设A的列向量组的极大无关组为 1,2 , ,r ,
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1m xm b1 a2m xm b2 有解,
anm xm bn
或者，令
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1m
a2m
(1
,
2
,
anm
,m )
得方程组 Ax 有解.
x1
x
等价向量组的基本性质
定理：设 1,2 , , s 与 1, 2 , , t 是两个向量组，如果 (1) 向量组1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示；
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
证略.
推论1：如果向量组 1,2 , , s 可以由向量组 1, 2 , , t 线性表示，并且 1,2 , , s 线性无关，那么 s t
取前面n个方程
a11k1 + a12k2 +
a21k1
+
a22 k2
+
an,1k1 + an,2k2 +
+ a1mkm = 0 + a2mkm = 0
+ an,mkm = 0
写成向量形式就是
a11 a12
k1
a21
+
k2
a22
an,1
an,2
a1m
kn
a2m
定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。
1 1 3 1
例如：矩阵
A
0
0
2 0
-1 0
4 5
的行向量组是
0
0
0
0
1
(1,1, 3,1)
2 (0, 2, -1, 4)
3 (0, 0, 0, 5)
4 (0, 0, 0, 0)
可以证明，1,2 ,3 是A的行向量组的一个极大无关组，
推论3： n个n维向量线性无关
a11 a12
令
A
a21
a22
a1n
a2n
(1
,
2
,
,n )
an1
an2
ann
得方程组 Ax 0 只有零解.
| A | 0.
即 它们所构成方阵的行列式不为零.
克莱姆法则:若系数行列式 | A | 0 Ax 0有唯一解,
即零解.
例4 证明:若向量组1,2,...,m中有一部分向量线性相关,
而Rn中任意向量都可用e1 = (1,0,0,…,0), e2 = (0,1,0,…，0), ……, en = (0,0,…,1)线性表示， 因此e1, e2 , ……, en 就是R n的一个最大无关组。
注: 以后称Rn为n维欧几里得空间，且称它 的一个最大无关组为Rn的一组基。
极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。
所以向量组 1, 2 , 3 , 4 的秩是3，
所以矩阵A的列秩是3。
? 问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩
引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
（列）
（列）
1
证：把
Amn 按行分块，设
Amn
2
（1）对换矩阵A的两行
m
A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。
因为，由 k11 k22 k33 0
即 k1(1,1, 3,1) k2(0, 2, -1,4) k3(0,0,0,5) (k1, k1 2k2 , 3k1 - k2 , k1 4k2 5k3 ) (0,0,0,0)
可知 k1 k2 k3 0, 即 1,2 ,3 线性无关； 而 4 为零向量，包含零向量的向量组线性相关， 1,2 ,3 ,4 线性相关。
一部分组都是线性无关的.
对一向量组, 如部分相关, 则整体相关, 如整体无关, 则任一部分必无关.
例5 设向量组1,2,3线性无关, 又1=1+2+23, 2=1-2, 3=1+3, 证明1,2,3线性相关.
证 : 设 x11+x22+x33=0 即 x1(1+2+23)+x2(1-2)+x3(1+3)=0,
则不用计算可知 1 (1, 0, 0, 2, 4) 2 (0, 1, 0, 0, 1) 3 (0, 0, 1, 8, 1) 线性无关;
第3.4节 向量组的极大 线性无关组
一、等价向量组
定义1：如果向量组 A : 1,2 , ,m 中的每一个向量 i (i 1, 2, , t )都可以由向量组 B : 1, 2 , , s
则该向量组线性相关.
证 不妨设1,2,...,r线性相关(r<m), 于是有不全为零的数
k1,k2,...,kr使
k11+k22+...+krr=0,
从而有
k11+k22+...+krr+0r+1+...+0m=0,
这就证明了1,2,...,s线性相关.
例4的等价命题是: 若向量组1,2,...,m线性无关, 则其任
（2）再证B的列向量组中任一向量 P j 可由向量组 P1, P2 , , Pr 线性表示。
1,2 , ,r 是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量 j 都存在数 l1, l2 , , lr 使得 j l11 l22 lrr
等号两边左乘P
有 P j l1P1 l2P2 lr Pr
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
an,m
这即是说对于上述不全为0的数k1，k2，…，km有
k11 k22 kmm 0
即1, 2 ,,m线性相关.
#
定理：如果一组n维向量1,2,...,m线性无关, 那么把这些
向量各任意添加t个分量所得到的新向量组也是线性无关;
比如向量 1 (1, 0, 0) 2 (0, 1, 0) 3 (0, 0, 1) 线性无关;
注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示
2 4 2
例如：在向量组 1
-1 3
,
2
-2 5
,
3
-1
4
中，
1
4
-1
首先 1,2 线性无关， 又 1,2 ,3 线性相关，
x2
xm
定义： 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不全为零实数 k1 , k2 ,, km ,使得 k11 k22 kmm 0
称向量组A 线性相关 ,否则称向量组A 线性无关.
线性相关 存在一不全为0的 x1, x2 , xm ,
使得 x11 x22 xmm 0
a11
线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。
即
i ki1 1 ki2 2 kis s i 1,2,, m 1 i li11 li2 2 lim m i 1,2,, s 2
自反性：一个向量组与其自身等价； 对称性：若向量组 A与 B 等价，则 B 和 A 等价； 传递性： A与 B 等价, B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。 数学上一般将具有上述三种性质称为等价关系；
k1
a21
+
k2
a22
+
an+1,1
an+1,2
a1m
+
kn
a2m
=
0
an+1,m
变成方程组
a11k1 + a12k2 +
a21k1 + a22k2 +
an+1,1k1 + an+1,2k2 +
+ a1mkm = 0 + a2mkm = 0
+ an+1,mkm = 0
推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。
二、向量组的极大线性无关组
定义2: 对向量组A，如果在A中有r个向量 1,2 , ,r
满足：
（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）
那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。
简称极大无关组。
设数 k1, k2 , , kr
使得 k1P1 k2P2 kr Pr 0 成立
P(k11 k22 krr ) 0
因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。
P-1P(k11 k22 krr ) P -10 k11 k22 krr 0 又 1,2 , ,r 线性无关 k1 k2 k3 0 P1, P2 , , Pr 线性无关。
所以 1,2 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。
注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
例1 全体n维实向量构成的集合记为Rn，求Rn的 一个最大无关组。 解: 因为n个单位坐标向量e1 = (1,0,0,…,0), e2 = (0,1,0,…，0), ……, en = (0,0,…,1)是线性无关的，
由(1)(2)可知 P1, P2 , , Pr 是B的列向量组的一个极大
无关组。 所以，B的列秩＝r＝A的列秩
综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证：任何矩阵A都可经过初等变换变为
Er 0
而它的行秩为r，列秩也为r。
0
0
形式，
又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩＝r＝A的列秩
又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以：
向量组的任意两个极大无关组都是等价的。
由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得
定理： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
1. 向量组的秩
定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数
a12
a1m 0
x1
a21
x2
a22
xm
a2m
0
an1
an2
anm 0
根据向量相等的条件， 得方程组
a11 x1 a12 x 2 a21 x1 a22 x2 an1 x1 an2 x2
a1m xm 0 a2m xm 0 有非零解,
(x1+x2+x3)1+(x1-x2)2+(2x1+x3)3=0
由于1,2,3线性无关, 必有
x1
x2 x1 -
x2
x3
0
0,
1 系数行列式 A 1
1 -1
1 0 0
2x1 x3 0
201
所以此方程有非0解, 因此1,2,3线性相关.
例6 : 设两组向量 A :1, 2 ,,m和B : 1, 2 ,, m
a1 j
其中 j
a2
j
,
anj
a1 j a2 j
j
anj
an1, j
( j 1, 2, , m)
证若A线性无关, 则B一定线性无关.
证明 : 反证法 (假设B线性有关, 则A一定线性有关)
假设B线性有关, 即存在不全为0的k1,k2,,kn使得
a11 a12
（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）
则 PA P(1,2 , ,n ) ( P1, P2 , , Pn ) B
下面证明A的列向量组的极大无关组 1,2 , ,r 经过初等行变换变为 P1, P2 , , Pr
是矩阵B的列向量组的极大无关组。
（1）先证 P1, P2 , , Pr 线性无关。
anm xm 0
或者，令
a11 a12
A
a21
a22
an1
an2
a1m
a2m
(1
,
2
,
anm
,m )
x1
x
x2
xm
得方程组 Ax 0 有非零解. 定理3
同理， 线性无关 Ax 0 只有零解. 推论1
推论2： m>n时， m 个n维向量必线性相关. （注：m个未知数，却只有n个方程）
定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA，或秩A。
所以向量组 1,2 ,3 ,4 的秩为3，
所以矩阵A的行秩为3。
矩阵A的列向量组是
1 1 3 1
1
0 0
,
2
2 0
,
3
-1 0
,
4
4
5
0
0
0
0
可以验证 1, 2 , 4 线性无关，
而
3
7 2
1
-
1 2
2
04
所以向量组 1, 2 , 3 , 4 的一个极大无关组是 1, 2 , 4