物体的动态平衡问题解题技巧

物体的动态平衡问题解题技巧
动态平衡问题解题技巧
一、总论
1、动态平衡问题的产生——当三个平衡力中一个力已知
恒定，另外两个力的大小或方向不断变化，但物体仍然平衡时，就会产生动态平衡问题。

典型关键词包括缓慢转动、缓慢移动等。

2、动态平衡问题的解法——解析法和图解法。

解析法：画好受力分析图后，进行正交分解或斜交分解，列出平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后通过角度变化分析判断力的变化规律。

图解法：画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出
相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。

3、动态平衡问题的分类——包括动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、等腰三角形等。

二、例析
1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定——动态三角形。

例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。

设墙面对球的压力大小为F
N1，球对木板的压力大小为F
N2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。

不计摩擦，在此过程中，F
N1和F
N2的变化规律是？
解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F
N1和F
N2随夹角变化的函数，然后通过函数讨论。

解析】小球受力如图，由平衡条件，有F
N2sinθ-mg=0，F
N1cosθ=F
N2sinθ，联立可解得F
N2=mg/θ，F
N1=sinθ/tanθ。

木板在顺时针放平过程中，θ角一直在增大，可知F
N1和F
N2都一直在减小，因此选B。

解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和F
N1的方向，然后按F
N2方向变化规律转动F
N2，即可看出结果。

解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，F
N1的方向始终水平向右，而F
N2的方向逐渐变得竖直。

根据动态三角形的变化规律，可知F
N1和F
N2都一直在减小。

应边的比例相同，从而推出F
N
和F
T
的大小变化情况。

解析】小球受力如图，初始状态下，小球受到绳的拉力F T0
和半球的支持力
F
N0
构成初始力的三角形ABC。

当绳逐渐向下拉动时，小球受到的支持力和拉力都会发生变化，构成新的力的三角形A′B′C′。

根据几何知识可知，三角形ABC与三角形A′B′C′相似，且AB与A′B′平行，BC与B′C′平行，因此，AB与A′B′的比例等于BC与B′C′的比例。

设小球在B点时，绳对小球的拉力为F
T1
半球对小球的支持力为F
N1
由几何知识可知，B′C′与BC的比例为h/R，因此，F
N1
与F
N0
的比例也为h/R。

而A′B′与AB的比例为F
T1/F
T0
因此，F
T1
与F
T0
的比例也为h/R。

因此，当绳从A向B缓慢拉动时，F
N
和F
T
的大小均随着h的增大而减小，且它们的比例不变。

因此，选C。

应该比较三角形的边长比值，观察力的大小变化规律，才能得出力 F_N、F_f、F_mg_O' 的大小变化规律。

在共点力的合成实验中，如图所示，两只弹簧秤 A、B 用于拉动橡皮条上的节点到位置 O。

将三个力按顺序首尾相接，形成一个闭合三角形。

这三个力与三角形ΔAOO' 的三边始终
平行。

因此，根据几何三角形的相似性，可以得出
F_N=F_T(R+h)/L，其中 mg、R、h 均不变，L 逐渐减小。

由
此可知，F_N 不变，而 F_T 变小。

在装置中，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角
θ=120° 不变。

若将整个装置顺时针缓慢旋转 90°，则在转动过
程中，CA 绳的拉力 F_T1，CB 绳的拉力 F_T2 的大小变化情
况是：F_T1 先变小后变大，F_T2 最终变为零。

这是因为另两
个力的方向夹角保持不变，可以使用正弦定理来计算它们的大小变化。

如图所示，钢筋支架上悬挂一重物G，轻绳通过动滑轮，一端固定在A点，另一端从C点处沿支架缓慢向最高点B靠近。

此时，轻绳的张力可以分解为沿支架方向的分力和垂直支架方向的分力。

沿支架方向的分力大小不变，垂直支架方向的分力大小随着轻绳靠近最高点B而变化。

因此，选项B正确，即先不变后变大。

解法一：对于受力分析，可以分为CN段和NB段两个阶段。

在CN段，可以通过正交分解列方程，得到左右两侧绳与
水平方向夹角相同，且这个夹角保持不变。

在NB段，左右两
侧绳与水平方向夹角也相同，但这个夹角逐渐增大。

通过方程可以得到结果。

解法二：对于滑轮受力分析，可以画出受力分析图，构建力的三角形。

根据夹角变化规律，可以得知这是一个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定。

因此，可以通过图像来看出力的变化规律。

练1：在图1中，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖
直放置的光滑挡板挡住。

现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中，挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持
力FN都会增大。

因此，选B。

练2：在图2中，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙
用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。

现
施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，
BC绳中的拉力FT会越来越小，而AC杆中的支撑力FN不变。

因此，选B。

动，物体与斜面间的动摩擦系数为μ，当水平力F逐渐增
大时，下列说法中正确的是（）
A．当F=mgsinθ/μ时物体开始运动
B．当F=mgsinθ时物体开始运动
C．当F=mgtanθ时物体开始运动
D．当F=mgcosθ时物体开始运动
解析】物体受力分析如图所示，当水平力F逐渐增大时，物体受到的合力始终沿着斜面向下，直到F达到一定值时，
合力大小等于最大静摩擦力μmgcosθ，物体开始运动。

根据最
大静摩擦力的公式Fmax=μmgcosθ，可知当F=μmgcosθ时物体开始运动，选D。

题目：着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ，求力F的取值范围。

解析：物体受力如图所示，将静摩擦力$F_f$和弹力
$F_N$合成为一个力$F_{合}$，则$F_{合}$的方向允许在
$F_N$两侧最大偏角为$\alpha$的范围内，其中
$\tan\alpha=\mu$。

将这三个力按顺序首尾相接，形成如图所
示三角形，图中虚线即为$F_{合}$的方向允许的变化范围。

由图可知：$mg\tan(\theta-\alpha)\leq F\leq
mg\tan(\theta+\alpha)$，即：$$mg\leq F\leq
mg\frac{\cos\theta+\mu\sin\theta}{\cos\theta-\mu\sin\theta}$$
在斜面上，一个物体静止着，与斜面间的动摩擦因数为$\mu$，且$\mu<\tan\theta$，求力$F$的取值范围。

我们可以将物体受到的静摩擦力$F_f$和弹力$F_N$合成为一个力$F_{合}$，则$F_{合}$的方向可以在$F_N$两侧最大偏角为$\alpha$的范围内，其中$\tan\alpha=\mu$。

将这三个力按顺序首尾相接，形成一个三角形，如图所示，图中的虚线表示$F_{合}$的方向的变化范围。

由图可知：$mg\tan(\theta-\alpha)\leq F\leq
mg\tan(\theta+\alpha)$，即：$$mg\leq F\leq
mg\frac{\cos\theta+\mu\sin\theta}{\cos\theta-\mu\sin\theta}$$
题目：如图所示，在倾角为$\theta$的固定粗糙斜面上，一个质量为$m$的物体在拉力$F$的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为$\mu$，为使物体加速度大小为$a$，试求力$F$的最小值及其对应的方向。

解析：物体受力如图，将支持力$F_N$和滑动摩擦力
$F_f$合成为一个力$F_{合}$，由$F_f=\mu F_N$可知，
$\tan\alpha=\mu$。

将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四边形，其中$mg$、$ma$不变，$F_{合}$的方
向不变。

当$F$取不同方向时，$F$的大小也不同，当$F$与
$F_{合}$垂直时，$F$取最小值。

由几何关系，得：
$F_{min}=mgsin(\alpha+\theta)+macos\alpha$，解得：
$$F_{min}=mg\frac{\mu\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{1+\mu^2}}+ ma\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$$
在倾角为$\theta$的固定粗糙斜面上，一个质量为$m$的物体在拉力$F$的作用下沿斜面向上做匀加速直线运动，已知物
体与斜面间的动摩擦因数为$\mu$，为使物体加速度大小为$a$，求力$F$的最小值及其对应的方向。

物体受力如图所示，我们可以将支持力$F_N$和滑动摩擦
力$F_f$合成为一个力$F_{合}$，由$F_f=\mu F_N$可知，
$\tan\alpha=\mu$。

将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力
形成一个四边形，其中$mg$、$ma$不变，$F_{合}$的方向不变。

当$F$取不同方向时，$F$的大小也不同，当$F$与
$F_{合}$垂直时，$F$取最小值。

由几何关系，得：
$F_{min}=mgsin(\alpha+\theta)+macos\alpha$，解得：
$$F_{min}=mg\frac{\mu\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{1+\mu^2}}+ ma\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$$
题目：如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度$\omega$转动，盘面上离转轴距离
$2.53$ m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。

物体与盘面间的动摩擦因数为$\mu$（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为$30^\circ$，$g$取$10\text{ m/s}^2$。

则$\omega$的最大值是（选自2017年全国卷Ⅰ）
A．$5\text{ rad/s}$ B．$3\text{ rad/s}$ C．$1.0\text{ rad/s
}$ D．$5\text{ rad/s}$
解析：垂直圆盘向下看，物体受力如图所示，静摩擦力
$F_f$和重力沿圆盘向下的分力$mg\sin30^\circ$的合力即向心
力$ma$。

将这两个力按顺序首尾相接，与它们的合力$ma$形
成闭合三角形，其中$mg\sin30^\circ$保持不变、$ma$大小不变，静摩擦力$F_f\leq\mu mg\cos30^\circ$。

由图易知，当小物体转到最低点时，静摩擦最大，为
$F_{fm}=mg\sin30^\circ+m\omega r\leq\mu mg\cos30^\circ$，解得$\omega\leq\frac{\mu g\cos30^\circ-\sin30^\circ}{r\mu}$。

一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度$\omega$转动，盘面上离转轴距离$2.53$ m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。

物体与盘面间的动摩擦因数为
$\mu$（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为$30^\circ$，$g$取$10\text{ m/s}^2$。

求$\omega$的最大值。

垂直圆盘向下看，物体受力如图所示，我们可以将静摩擦力$F_f$和重力沿圆盘向下的分力$mg\sin30^\circ$的合力即向心力$ma$按顺序首尾相接，与它们的合力$ma$形成一个闭合三角形，其中$mg\sin30^\circ$保持不变、$ma$大小不变，静摩擦力$F_f\leq\mu mg\cos30^\circ$。

由图易知，当小物体转到最低点时，静摩擦最大，为
$F_{fm}=mg\sin30^\circ+m\omega r\leq\mu mg\cos30^\circ$，解得$\omega\leq\frac{\mu g\cos30^\circ-\sin30^\circ}{r\mu}$。

经过计算，我们可以得出角速度为
根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。

因此，加速度等于力除以质量。

在考虑摩擦力的情况下，物体所受合力等于摩擦力减去重力分解在斜面上的分量。

根据牛顿第二定律，物体的加速度等于合力除以物体的质量。

根据三角函数，重力分解在斜面上的分量等于重力乘以sin30°。

因此，物体所受合力等于摩擦力减去重力乘以sin30°。

根据牛顿第二定律，物体的加速度等于合力除以物体的质量。