高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2

同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用 于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两 条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上， 故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7， 则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2， 解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半 径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题 例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解 方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、 弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公 式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦 长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，
故(y－x)min＝－2－ 6. (3)x2＋y2 是圆上点与原点距离的平方，为此，连接 OC，与
圆交于 B 点，并延长 OC 交圆于 C′.
则(x2＋y2)max＝OC′2＝2＋ 32＝7＋4 3， (x2＋y2)min＝OB2＝2－ 32＝7－4 3.
4．2.3 直线与圆的方程的应用
1．已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则 圆 C 的方程为( C )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1 解析：半径相等，找圆心的对称点即可．
2．一个以原点为圆心的圆与圆 x2＋y2＋8x－4y＝0 关于直 线 l 对称，则直线 l 的方程为__2_x－__y_＋__5_＝__0_.
投射到 x 轴所得的影长为___3___. 解析：设过点(7,5)且与圆相切的直线方程为 y－5＝k(x－7)，
即 kx－y＋5－7k＝0，
由圆心到切线的距离得－1＋k2＋5－17k＝1，
得 k＝34或 k＝152，
∴两条切线方程分别为34x－y＋5－241＝0，152x－y＋5－1325＝
0.令 y＝0，解得 x1＝13，x2＝－5，投影长为x1－x2＝136.
解析：圆半径为 2，圆心(0,0)到直线 12x－5y＋c＝0 的距离 小于 1，1|c3|<1，c 的取值范围是(－13,13)．
设光线 l 所在直线的方程为 y－3＝k(x＋3)． 依题意，它是圆 C′的切线，从而点 C′到直线 l 的距离为
1，即|51k＋＋5k2|＝1，解得 k＝－34或 k＝－43.
∴光线 l 所在直线的方程为 y－3＝－34 (x＋3)或 y－3＝－43 (x＋3)，即 3x＋4y－3＝0 或 4x＋3y＋3＝0.
重点 圆的切线与弦长
1．切线： (1)过圆 x2＋y2＝R2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：xx0＋ yy0 ＝R2，过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是： (x－a)(x0－a)＋(y－a)(y0－a)＝R2，一般地，求圆的切线方程应抓 住圆心到直线的距离等于半径；
最值问题 例 3：已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)xy的最大值和最小值； (2)y－x 的最小值； (3)x2＋y2 的最大值和最小值． 思维突破：方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心， 以 3为半径的圆.xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y －x 可看作直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，x2＋y2 是圆上一点与 原点距离的平方，可借助平面几何的知识，利用数形结合求解．
3－1.已知实数 x、y 满足 x2＋y2＋4x＋3＝0，求yx－ －21的值域． 解：方程 x2＋y2＋4x＋3＝0 可化为(x＋2)2＋y2＝1，其表示 以 C(－2,0)为圆心，1 为半径的圆． 设yx－ －21＝k，其几何意义为：圆 C 上的点 P(x，y)与点 Q(1,2)
连线的斜率． 将yx－ －21＝k 变形为 PQ：kx－y－k＋2＝0，
(2)从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程， 再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于 半径)来求；
(3)过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：当过两切点 的切线有交点时，先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的 圆，该圆与已知圆的公共弦所在直线方程就是过两切点的直线 方程．当过两切点的切线平行时，切点弦就是已知圆的直径．
∴k·0－0k＋2＋31k－32＝3，解得 k＝－34. ∴此直线方程为 y＋32＝－34x＋3，
即 3x＋4y＋15＝0. 当斜率 k 不存在时，过点 P 的直线方程为 x＝－3， 代入 x2＋y2＝25，得 y1＝4，y2＝－4. 弦长为|y1－y2|＝8，符合题意． ∴所求直线方程为 x＋3＝0 或 3x＋4y＋15＝0.
解析：直线 l 是原点和(－4,2)连线的垂直平分线． 3．已知 A 点是圆 x2＋y2－2ax＋4y－6＝0 上任一点，A 点 关于直线 x＋2y＋1＝0 的对称点也在圆上，那么实数 a 等于__3. 解析：直线 x＋2y＋1＝0 过圆心． 4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有 公共点，则实数 m 的取值范围是_(_－__∞_，__0_)_∪__(_1_0_，__＋__∞_)__．
则圆心到直线 PQ 的距离 d＝|－2kk－2＋k＋1 2|≤1，
解得3－4
3≤k≤3＋4
3 .
∴பைடு நூலகம்
yx－ －21的值域为3－4
3，3＋4
3 .
例 4：已知直线 l：y＝x＋b 与曲线 C：y＝ 1－x2有两个公 共点，求 b 的取值范围．
错因剖析：忽略了曲线 C：y＝ 1－x2表示一个半圆，而没 有考虑变量的取值范围．
正解：如图 3，曲线 C：y＝ 1－x2表示一个半圆，直线与 半圆有两个交点，b 为直线在 y 轴上的截距，
显然 1≤b＜ 2.
图3
4－1.(2010 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋ y2＝4 上有且仅有四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则 实数 c 的取值范围是__(－__1_3_,_1_3_)．
切线问题 例 2：如图 1，自点 A(－3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线 m 所在直线与圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 相切，求光线 l 与 m 所在直线的方程．
图1
解：圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 的标准方程为(x－2)2＋(y －2)2＝1，圆 C 关于 x 轴的对称圆 C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2 ＝1.
涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性 质，利用数形结合求解，一般地：
(1)形如 u＝xy－ －ab形式的最值问题，可转化为动直线斜率的 最值问题．
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化圆心已定 的动圆半径的最值问题．
解：(1)如图 2. 方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心，以 3为半径 的圆．
图2 设yx＝k，即 y＝kx，
圆心(2,0)到直线 y＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，这时 斜率取得最大、最小值．
|2k－0| 由 k2＋1＝ 3，解得 k2＝3. ∴kmax＝ 3，kmin＝－ 3. (也可利用平面几何知识：OC＝2，OP＝ 3，∠POC＝60°， 直线 OP 的倾斜角为 60°，直线 OP′的倾斜角为 120°) (2)设 y－x＝b，则 y＝x＋b，当且仅当直线 y＝x＋b 与圆切 于第四象限时，纵轴截距 b 取最小值．