函数的概念(二)人教版高中必修第一册

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规律方法 用区间表示数集的方法： (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号.
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【训练1】 (1)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________. (2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________.
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拓展深化 [微判断] 1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.( √ ) 2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.( × )
提示 两个函数的定义域、值域相同，而对应关系不一定相同. 3.函数y＝1＋x2的值域为(1，＋∞).( × )
提示 y＝1＋x2的值域为[1，＋∞).
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(2)试判断函数 y＝ x－1· x＋1与函数 y＝ （x＋1）（x－1）是否为同一函数， 并说明理由. 解 不相同.对于函数 y＝ x－1· x＋1，由xx－＋11≥≥00，，解得 x≥1，故定义域为{x|x≥1}， 对于函数 y＝ （x＋1）（x－1），由(x＋1)(x－1)≥0 解得 x≥1 或 x≤－1，故定义域为 {x|x≥1 或 x≤－1}，显然两个函数定义域不同，故不是同一函数.
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问题2 还可以用其他形式表示列车的运行速度的范围吗？ 提示 还可以用区间表示为(200，350)，这就是我们今天要学习的知识.
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1. 区间 注意区间端点的开闭 设a，b∈R，且a<b，规定如下：
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
解析 对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，
定义域与对应关系都相同.
答案 C
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解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数Βιβλιοθήκη Baidu②f(x)与g(x)的对应关系不同， 不是同一函数；③f(x)＝|x＋3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一函数；④f(x)与 g(x)的定义域不同，不是同一函数；⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系皆相同，故 是同一函数. 答案 ⑤
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解析 (1){x|x≥0且x≠2}＝[0，2)∪(2，＋∞). (2)由2a＋1>a，得a>－1，则a的取值范围为(－1，＋∞). 答案 (1)[0，2)∪(2，＋∞) (2)(－1，＋∞)
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题型二 同一函数的判断
【例2】 (1)下列各组函数：
①f(x)＝x2－x x，g(x)＝x－1；②f(x)＝
{x|x≥a} {x|x>a}
名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间
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符号 _[_a_，__b_] __ _(_a_，__b_)__ __[a_，__b_)__ __(_a_，__b_] _ [a，＋∞) (a，＋∞)
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数轴表示
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{x|x≤a} {x|x<a}
R
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(－∞，a] (－∞，a) (－∞，＋∞)
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【训练2】 (1)下列各组函数是同一函数的是( )
A.y＝1，y＝xx
B.y＝ x－2· x＋2，y＝ x2－4
C.y＝|x|，y＝( x)2
3
D.y＝x，y＝ x3
(2)下列各组函数是同一函数的是________(填序号).
①f(x)＝ －2x3与 g(x)＝x －2x；②f(x)＝x0 与 g(x)＝x10；③f(x)＝x2－2x－1 与 g(t)
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[微训练] 1.下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x
x<2
2≤x≤3
x>3
y
－1
0
1
A.{y|－1≤y≤1}
B.R
C.{y|2≤y≤3}
D.{－1，0，1}
解析 由表格知，对应的y的值为－1，0，1，故选D.
答案 D
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2.区间[1，2)表示的集合为________. 解析 根据区间的定义，可表示为{x|1≤x<2}. 答案 {x|1≤x<2}
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一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理素养. 2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用
端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端 点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.
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二、素养训练 1.函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为( )
A.(5，9)
B.[5，9]
C.{5，7，9}
D.{5，6，7，8，9}
解析 由题意知，函数的定义域为{2，3，4}，依次代入y＝2x＋1得y＝5，7，
9，所以函数的值域为{5，7，9}.故选C.
答案 C
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2.已知四组函数：
3
①f(x)＝x，g(x)＝( x)2；②f(x)＝x，g(x)＝ x3；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；
④f(x)＝x2＋3x－1，g(t)＝t2＋3t－1.
其中是同一函数的是( )
A.没有
B.仅有②
C.有②④
D.有②③④
3.已知函数f(x)＝2x－3，x∈A的值域为{－1，1，3}，则定义域A为________. 解析 函数f(x)＝2x－3的值域为{－1，1，3}，令f(x)分别等于－1，1，3，求 出对应的x分别为1，2，3，则由x组成的集合{1，2，3}，即为定义域A. 答案 {1，2，3}
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(4)(换元法)设 t＝ x－1，则 t≥0，且 x＝t2＋1，所以 y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185， 由 t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为185，＋∞.
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规律方法 求函数值域的常用方法 (1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求 出函数的值域. (2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则 可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值的 求法. (3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的 函数，从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域. (4)分离常数法：此方法主要是针对分式函数，即将分式函数转化为“反比例函 数”的形式，便于求值域.
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规律方法 判断两个函数为同一函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与 值域都相同，也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没 有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形.
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2.同一个函数 函数的三要素完全相同
(1)前提条件：①定义域__相__同__；②对应关系_相__同___. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为___R__，值域是__R__. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是__R__， 当 a>0 时，值域___4_a_c_4－_a_b_2_，__＋__∞___， 当 a<0 时，值域为__－__∞__，__4_a_c4_－a__b_2____.
(3)(分离常数法)∵y＝x＋x 1＝1－x＋1 1，且定义域为{x|x≠－1}，∴x＋1 1≠0，即 y≠1. ∴函数 y＝x＋x 1的值域为{y|y∈R，且 y≠1}. (4)(换元法)令 t＝ 1－x(t≥0)，则 x＝1－t2，则 y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)，
结合图象可得函数的值域为(－∞，4].
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[微思考] 1.函数的值域与定义域、对应关系是相互独立的吗？
提示 不是.函数的值域是由定义域和对应关系共同确定的，只要函数的定义 域及其对应关系确定，函数的值域也就随之确定. 2.区间与集合有什么联系？ 提示 区间实际上是一种特殊的数集(连续的)的符号表示，是集合的另一种表 达方式.集合和区间都是表示取值范围的方法，至于选用哪种方法，原则上应 与原题的表达方式一致.
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3.同一函数的概念的理解 (1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确 定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这 两个函数才是同一个函数. (2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对 应关系不一定相同.
第二课时 函数的概念(二)
课标要求
素养要求
1.通过对区间概念的理解及判断两个函数为同一 1.会判断两个函数是否为同一函数.
函数，提升数学抽象素养. 2.能正确使用区间表示数集.
2.通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理、 3.会求一些简单函数的值域.
数学运算素养.
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新知探究
设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的 “中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在 200公里/时与350公里/时之间. 问题1 如何表示列车的运行速度的范围？ 提示 我们已学习不等式、集合知识，所以用不等式可表示为200<v<350，用集合 可表示为{v|200<v<350}.
答案 (1)D (2)②③
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题型三 求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝ x－1； (2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1.
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解 (1)(直接法)∵ x≥0，∴ x－1≥－1，∴y＝ x－1 的值域为[－1，＋∞). (2)(观察法)∵x∈{－2，－1，0，1，2，3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11，6，3， 2，∴y＝x2－2x＋3的值域为{2，3，6，11}. (3)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2（x－x－3） 3 ＋7＝2＋x－7 3，显然x－7 3≠0，所以 y≠2，故函数 的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
xx，g(x)＝
x； x
③f(x)＝ （x＋3）2，g(x)＝x＋3；④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数 g(x)＝
80x(0≤x≤5).
其中表示同一函数的是________(填序号).
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题型一 区间的应用 【例1】 把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1 或 2≤x≤4}. 解 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)；(2){x|x<0}＝(－∞，0)；(3){x|－1<x<1}＝ (－1，1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4].
＝t2－2t－1.
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解析 (1)A，B，C中的两函数定义域均不相同，故选D. (2)①f(x)＝－x －2x，g(x)＝x －2x，对应关系不同，故 f(x)与 g(x)不是同一函数； ②f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝x10＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函 数；③f(x)＝x2－2x－1 与 g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函 数.
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【训练3】 求下列函数的值域： (1)y＝ 16－x2； (2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)； (3)y＝x＋x 1； (4)y＝2x＋4 1－x.
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解 (1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤ 16－x2≤4，即函数 y＝ 16－x2的值域为[0，4]. (2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，因为1≤x≤5，由函数图象可知y∈[2，11].