高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教学案

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( )
(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．( )
答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√
[教材衍化]
1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆
否命题是________，是________命题(填“真”或“假”)解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：若x≤y，则x2≤y2假
2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R，则“2－x≥0”是“(x －1)2≤1”的________条件．
解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
[易错纠偏]
(1)命题的条件与结论不明确；
(2)对充分必要条件判断错误．
1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．
答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
2．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；
(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．
解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}，
(1)因为p是q的充分不必要条件，
所以A B，所以a≥2；
(2)因为p是q的必要不充分条件，
所以B A，所以a<2.
答案：(1)a≥2(2)a<2
四种命题的相互关系及真假判断
(1)(2020·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题B．否命题
C．逆否命题D．否定
(2)(2020·温州模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y ＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
【解析】(1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题，故选B.
(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
【答案】(1)B (2)D
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
(2)判断命题真假的2种方法
①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；
说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
1．命题“若a 2>b 2，则a >b ”的否命题是( )
A ．若a 2>b 2，则a ≤b
B ．若a 2≤b 2，则a ≤b
C ．若a ≤b ，则a 2>b 2
D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2
解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p ，则﹁q ”知选B.
2．下列命题中为真命题的是( )
A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题
B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题
C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题
D ．命题“若1x
＞1，则x ＞1”的逆否命题 解析：选B.对于A ，命题“若x ＞1，则x 2
＞1”的否命题为“若
x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2
＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，
x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x
＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x
≤1”，易知为假命题，故选B. 充分条件、必要条件的判断(高频考点)
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学
知识的各个方面．主要命题角度有：
(1)判断指定条件与结论之间的关系；
(2)与命题的真假性相交汇命题．
角度一 判断指定条件与结论之间的关系
(1)(2019·高考浙江卷)设a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)(2018·高考浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)通解：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4
时，取a ＝8，b ＝13
，满足ab ≤4，但a ＋b >4，所以必要性不成立，所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.
优解：在同一坐标系内作出函数b ＝4－a ，b ＝4a
的图象，如图，则不等式a ＋b ≤4与ab ≤4表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及
其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4a
及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a ＋b ≤4成立时，ab ≤4成立，而当ab ≤4成立时，a ＋b ≤4不一定成立．故选A.
(2)若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α.
若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.
【答案】(1)A (2)A
角度二与命题的真假性相交汇命题
(2020·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
B．p：A∩B＝A；q：A B，则p是q的充分不必要条件
C．已知数列{a n}，若p：对于任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上；q：{a n}为等差数列，则p是q的充要条件D．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件
【解析】选项A：当x＝－1时，x2－5x－6＝0，所以x＝－1是x2－5x－6＝0的充分条件，故A错．
选项B：因为A∩B＝A⇒/A B(如A＝B)，
而A B⇒A∩B＝A，从而p⇒/q，q⇒p，
所以p是q的必要不充分条件，故B错．
选项C：因为P n(n，a n)在直线y＝2x＋1上．
所以a n＝2n＋1(n∈N*)，
则a n＋1－a n＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，
又由n的任意性可知数列{a n}是公差为2的等差数列，即p⇒q.
但反之则不成立，如：令a n＝n，则{a n}为等差数列，但点(n，n)不在直线y＝2x＋1上，从而q⇒/p.
从而可知p是q的充分不必要条件，故C错．
选项D：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．故D正确．
【答案】 D
判断充要条件的3种常用方法
(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．
(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A ，B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B ，A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
[提醒] 判断充要条件需注意3点
(1)要分清条件与结论分别是什么．
(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．
(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．
1．(2020·杭州市富阳二中高三开学检测)若a ，b 为实数，则
“ 3a <3b
”是“1|a |>1|b |”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D.根据题意，若“3a <3b ”，则有a <b ，而“1|a |>1|b |
”不一定成立，如a ＝－3，b ＝1；若“1|a |>1|b |
”，则有|a |<|b |，“3a <3b ”不一定成立，如a ＝1，b ＝－3，故“3a <3b
”是“1|a |>1|b |”的既不充分也不必要条件．
2．(2020·“超级全能生”高考浙江省联考)已知函数f (x )＝
sin x ，x ∈[0，2π)，则“f (x )≥0”是“f (x 2)≥0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选B.由f (x )≥0⇒x ∈[0，π]，由f (x 2)≥0⇒x 2∈[0，
π]⇒x ∈[0，π]，
因为[0，π]⊆[0，π]，由集合性质可知为必要不充分条件． 充分条件、必要条件的应用
(1)已知p ：|x ＋1|＞2，q ：x ＞a ，且﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )
A ．a ≤1
B ．a ≤－3
C ．a ≥－1
D ．a ≥1 (2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1
＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则m 的取值范围为________．
【解析】 (1)由|x ＋1|＞2，解得x ＞1或x ＜－3，
因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件，
从而可得(a ，＋∞)是(－∞，－3)∪(1，＋∞)的真子集， 所以a ≥1，故选D.
(2)由x 2
－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，
所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，
由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .
则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.
所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，
即所求m 的取值范围是[0，3]．
【答案】 (1)D (2)[0，3]
(变问法)本例(2)条件不变，若“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，
因为“x ∈﹁P ”是“x ∈﹁S ”的必要不充分条件，
所以P ⇒S 且S ⇒/ P .
所以[－2，10][1－m ，1＋m ]．
所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩
⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10. 所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．
利用充要条件求参数应关注2点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
[提醒] 含有参数的问题，要注意分类讨论．
(2020·金华一模)已知命题p ：实数m 满足m 2＋
12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2
m －1＋y 2
2－m ＝1表示焦点
在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．
解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2
<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.
由x 2
m －1＋y 2
2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，
可得2－m >m －1>0，解得1<m <32
， 即命题q ：1<m <32
. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩
⎪⎨⎪⎧3a ≥14a ≤32， 解得13≤a ≤38
， 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，38. 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，38 [基础题组练]
1．下列命题是真命题的是( )
A ．若1x ＝1y
，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2
解析：选A.由1x ＝1y
得x ＝y ，A 正确；由x 2＝1得x ＝±1，B 错误；
由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，C 错误；由x ＜y 不一定能得到x 2＜y 2，如x ＝－2，y ＝－1，D 错误，故选A.
2．命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是( )
A ．若x ≤0，则x ≤1
B ．若x ≤0，则x ＞1
C ．若x ＞0，则x ≤1
D ．若x ＜0，则x ＜1
解析：选A.依题意，命题“若x ＞1，则x ＞0”的逆否命题是“若x ≤0，则x ≤1”，故选A.
3．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D.特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0；当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0，所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．
4．(2020·金华市东阳二中高三调研)若“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是
( )
A ．[－1，0]
B ．(－1，0)
C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
D ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
解析：选A.由(x －a )[x －(a ＋2)]≤0得a ≤x ≤a ＋2，
要使“0<x <1”是“(x －a )[x －(a ＋2)]≤0”的充分不必要条件，则⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋2≥1a ≤0，所以－1≤a ≤0. 5．(2020·杭州中学高三月考)已知a ，b ∈R ，条件p ：“a >b ”，条件q ：“2a >2b
－1”，则p 是q 的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由条件p：“a>b”，再根据函数y＝2x是增函数，可得2a>2b，所以2a>2b－1，故条件q：“2a>2b－1”成立，故充分性成立．
但由条件q：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p：“a>b”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．故p 是q的充分不必要条件，故选A.
6．已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是( )
A．|a|＋|b|≥4
B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2
D．b<－4
解析：选D.由b<－4可得|a|＋|b|>4，但由|a|＋|b|>4得不到b<－4，如a＝1，b＝5.
7．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不一定成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要
不充分条件，故选B.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sin A ＞sin B”是“a＞b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sin A＞sin B，则
2R sin A＞2R sin B，即a＞b；若a＞b，则a
2R ＞
b
2R
，即sin A＞sin
B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“a＞b”的充要条件，故选C.
9．设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A.依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x ＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )
A．p：x＝1，q：x2＝x
B．p：|a|>|b|，q：a2>b2
C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab
D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d
解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1⇒/ x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的
性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是a<b，c>d，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a ＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D.
11．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；
逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.
答案：2
12．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案：m＝－2
13已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
因为β：|x－1|<1，所以0<x<2，
所以β可看作集合B＝{x|0<x<2}．
又因为α是β的必要不充分条件．
所以B A，所以a≤0.
答案：(－∞，0]
14．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的________条件(只填充分不必要、必要不充分、充分必要，既不充分也不必要)．
解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；又直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
15．若命题“ax 2
－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0
时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.
答案：[－3，0]
16．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为________．
解析：法一：由⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， 所以綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}，
设A ＝{x |x >10或x <－2}．
1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，
所以綈q 对应的集合为{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}，
设B ＝{x |x >m ＋1或x <1－m ，m >0}．
因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件，所以B A ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，
且不能同时取得等号．
解得m ≥9，所以实数m 的取值范围为[9，＋∞)．
法二：因为﹁p 是﹁q 的必要而不充分条件，
所以q 是p 的必要而不充分条件．
即p 是q 的充分而不必要条件，
因为q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，
设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，
又由⎪
⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， 所以p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}，
设N ＝{x |－2≤x ≤10}．
由p 是q 的充分而不必要条件知N M ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，
且不能同时取等号，解得m ≥9.
所以实数m 的取值范围为[9，＋∞)．
答案：[9，＋∞)
17．给出下列命题：
①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件；
②“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件；
③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2
ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；
④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a·b ＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)
解析：①因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；②“x ＜0”不能推出“ln(x ＋1)＜0”，但“ln(x ＋1)＜0”可以推出“x ＜0”，所以“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正确；③f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos 2ax ，若其最小正
周期为π，则2π2|a |
＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a·b ＜0”，但由“a·b ＜0”，得“平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角”，所以“a·b ＜0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
答案：①②
[综合题组练]
1．设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为⎪
⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇔－π12＜θ－π12＜π12⇔0＜θ＜
π6， sin θ＜12⇔θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6⎝
⎛⎭⎪⎫2k π－7π6，2k π＋π6，k ∈Z ， 所以“⎪⎪⎪⎪
⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．
解析：因为A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，
所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.
答案：m ＞2
3．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．
(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：
因为a ＋b <0，所以a <－b ，b <－a .
又因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f (a )<f (－b )，
f (b )<f (－a )，因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，所以否命题为真命题．
(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0.
真命题，可通过证明原命题为真来证明它．
因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a ，
因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，
所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，
故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．
4．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2
－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解：因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，
所以m ≠0.
又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，
所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16（1－m ）≥0，Δ2＝16m 2－4（4m 2－4m －5）≥0， 解得m ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数，
故其根的和与积也为整数，
所以⎩⎪⎨⎪⎧4m
∈Z ，
4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z . 所以m 为4的约数．
又因为m ∈错误!，
所以m ＝－1或1.
当m ＝－1时，第一个方程x 2
＋4x －4＝0的根为非整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.
5．已知p ：x 2－7x ＋12≤0，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.
(1)是否存在实数a ，使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)是否存在实数a ，使p 是q 的充要条件，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．
解：因为p ：3≤x ≤4，q ：a ≤x ≤a ＋1.
(1)因为﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，
所以﹁p ⇒﹁q ，且﹁q ⇒/﹁p ，所以q ⇒p ，且p ⇒/ q ， 即q 是p 的充分不必要条件，
故{x |a ≤x ≤a ＋1}{x |3≤x ≤4}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a >3，a ＋1≤4或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1<4，无解， 所以不存在实数a ，使﹁p 是﹁q 的充分不必要条件．
(2)若p 是q 的充要条件，则{x |a ≤x ≤a ＋1}＝{x |3≤x ≤4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＋1＝4，
解得a ＝3.
故存在实数a ＝3，使p 是q 的充要条件．。