函数的性质与应用综合练习题

函数的性质与应用综合练习题
1. 利用函数的性质解决问题
在数学中，函数的性质是我们解决问题的有力工具。

考虑以下综合
练习题，通过运用函数性质，我们能更有效地解决问题。

问题一：
某物体自由落体的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系可以用函数h(t) = 5t^2表示。

求物体从自由落体开始下落3秒后的高度。

解答：
根据给定的函数h(t) = 5t^2，我们可以计算出物体下落3秒后的高度。

将t = 3代入函数中，得到h(3) = 5(3^2) = 45。

因此，物体从自由
落体开始下落3秒后的高度为45米。

问题二：
某公司产品销售量与广告投入之间的关系可以用函数S(x) = 50x + 1000表示，其中x表示广告投入金额（万元），S(x)表示销售量（件）。

如果该公司希望销售量达到5000件，需要投入多少万元的广
告费用？
解答：
根据给定的函数S(x) = 50x + 1000，我们可以计算出需要投入多少
万元的广告费用才能使销售量达到5000件。

将S(x) = 5000代入函数中，
得到5000 = 50x + 1000。

解这个方程，得到x = (5000 - 1000) / 50 = 80。

因此，该公司需要投入80万元的广告费用才能使销售量达到5000件。

2. 利用函数的应用解决实际问题
函数的应用不仅存在于数学领域，还可以帮助我们解决实际问题。

考虑以下综合练习题，通过运用函数的应用，我们能更好地解决实际
问题。

问题三：
某商品的单价与销售量之间的关系可以用函数P(x) = 100 - 0.01x表示，其中x表示销售量（件），P(x)表示单价（元）。

某商家希望获得
最大的销售利润，请问应该销售多少件商品？
解答：
根据给定的函数P(x) = 100 - 0.01x，我们可以找到使销售利润最大
化的销售量。

销售利润可以通过销售量和单价之间的乘积来计算，记
为L(x) = x * P(x)。

我们需要找到使L(x)取得最大值的x。

对函数L(x)
进行求导，得到L'(x) = P(x) + x * P'(x)。

令L'(x) = 0，解这个方程可以
得到一个临界点。

通过求二阶导数，判断该临界点是极大值点还是极
小值点。

通过计算可以得到x = 5000，即销售5000件商品时能获得最
大的销售利润。

问题四：
某房屋的租金与房屋面积之间的关系可以用函数R(x) = 20x + 2000
表示，其中x表示房屋面积（平方米），R(x)表示租金（元/月）。

某
租户希望租金不超过5000元/月，请问他可以租到多大面积的房屋？
解答：
根据给定的函数R(x) = 20x + 2000，我们可以计算出租户可以租到
的最大面积。

将R(x) = 5000代入函数中，得到5000 = 20x + 2000。

解
这个方程，得到x = (5000 - 2000) / 20 = 150。

因此，租户可以租到面积
为150平方米以内的房屋。

通过以上综合练习题，我们可以看到函数的性质和应用在解决问题
时的重要性。

无论是数学领域还是实际问题，函数都起着重要的作用，帮助我们更好地理解和解决问题。

在学习和应用函数时，深入理解其
性质和灵活运用是非常重要的。

希望同学们能通过这些练习题，加深
对函数的理解和运用能力。