2011年中考数学试题含答案

2011年中考数学试题（含答案）
班级：姓名：
全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．全卷满分120分，考试时间共120分钟．
一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．4的平方根是（）A．4 B．2 C．－2 D．2或－2
2．如图1，在数轴上表示到原点的距离为3个单位的点有（）
A．D点B．A点C．A点和D点D．B点和C点
3．下列运算正确的是（）
A．(ab)5＝ab5 B．a8÷a2＝a6 C．(a2)3＝a5 D．(a－b)2＝a2－b2
4．如图2，CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，下列说法正确的是（）
A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补
5．下列说法正确的是（）
A．频数是表示所有对象出现的次数
B．频率是表示每个对象出现的次数
C．所有频率之和等于1
D．频数和频率都不能够反映每个对象出现的频繁程度
6．2008年5月5日，奥运火炬手携带着象征“和平、友谊、进步”的奥运圣火火种，离开海拔5200米的“珠峰大本营”，向山顶攀登．他们在海拔每上升100米，气温就下降0.6°C的低温和缺氧的情况下，于5月8日9时17分，成功登上海拔8844.43米的地球最高点．而此时“珠峰大本营”的温度为－4°C，峰顶的温度为（结果保留整数）（）
A．－26°C B．－22°C C．－18°C D．22°C
7．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
8．已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A、C、D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）
A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25
9．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）
A．y＝2(x－2)2 + 2 B．y＝2(x + 2)2－2C．y＝2(x－2)2－2 D．y＝2(x + 2)2 + 2
10．如图3，已知Rt△ABC≌Rt△DEC，∠E＝30°，D为AB的中点，AC＝1，
若△DEC绕点D顺时针旋转，使ED、CD分别与Rt△ABC的直角边BC相
交于M、N，则当△DMN为等边三角形时，AM的值为（）
A ．3
B ．23
3C ．
3
3D．1
2011年高中阶段学校招生统一考试数学
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
题号二
三
总分总分人
17 18 19 20 21 22 23 24
得分
二、填空题：（每小题3分,共18分）把答案直接填在题中横线上．
11．如图4，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，请你写出其中的一
对全等三角形_________________．
12．计算：cot60°－2－2 + 20080＋
2
3
3＝__________．
13．若A(1x，1y)、B(2x，2y)在函数
1
2
y
x
=
的图象上，则当1x、2x满足
_______________时，1y＞2y.
14．如图5，校园内有一块梯形草坪
ABCD，草坪边缘本有道路通过
甲、乙、丙路口，可是有少数同学为了走捷径，在草坪内走了一条
直“路
”EF，假设走1步路的跨度为
0.5米，结果他们仅仅为了少走
________步路，就踩伤了绿化我们校园的小草（“路”宽忽略不计）.
15．资阳市某学校初中
2008级有四个绿化小组，在植树节这天种下柏树的颗数如下：10，10
，x，8，若这组数据的众数和平均数相等，那么它们的中位数是________颗．
16．如图6，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时时针(短针)
所指的位置．根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻
是______时_______分．
三、解答题：（共72分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分7分）先化简，再求值：（2
1
2
x x
-－2
1
44
x x
-+）÷2
2
2
x x
-，
其中x＝1．
18．（本小题满分7分）
如图7，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点
F．
（1）点D是△ABC的________心；
（2）求证：四边形DECF为菱形．
19．（本小题满分8分）
图4
图2
图5
图1
图7图3
图6
惊闻5月12日四川汶川发生强烈地震后，某地民政局迅速地组织了30吨食物和13吨衣物的救灾物资，准备于当晚用甲、乙两种型号的货车将它们快速地运往灾区.已知甲型货车每辆可装食物5吨和衣物1吨，乙型货车每辆可装食物3吨和衣物2吨，但由于时间仓促，只招募到9名长途驾驶员志愿者.
（1） 3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能否将救灾物资一次性地运往灾区？ （2）要使救灾物资一次性地运往灾区，共有哪几种运货方案？ 20．（本小题满分9分）
大双、小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球，各自设计一种游戏确定谁去.
大双：A 袋中放着分别标有数字1、2、3的三个小球，B 袋中放着分别标有数字4、5的两个小球，且都已各自搅匀，小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球，若两个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票.
小双：口袋中放着分别标有数字1、2、3的三个小球，且已搅匀，大双、小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票（若积分相同，则重复第二次）．
（1）大双设计的游戏方案对双方是否公平？请你运用列表或树状图说明理由； （2）小双设计的游戏方案对双方是否公平？不必说理． 21．（本小题满分9分）
若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝2k
x 的图象都经过点（1，1）． （1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； （3）利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标． 22．（本小题满分10分）
如图8，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上. （1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；
（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC
约为多少米？（结果可保留根号） 23．（本小题满分10分） 阅读下列材料，按要求解答问题：
如图9－1，在ΔABC 中，∠A ＝2∠B ，且∠A ＝60°．小明通过以下计算：由题意，∠B ＝30°，∠C ＝90°，c ＝2b ，a ＝3b ，得a2－b2＝(3b)2－b2＝2b2＝b·c ．即a2－b2＝ bc ．
于是，小明猜测：对于任意的ΔABC ，当∠A ＝2∠B 时，关系式a2－b2＝bc 都成立．
（1）如图9－2，请你用以上小明的方法，对等腰直角三角形进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程；
（2）如图9－3，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由；
（3）若一个三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A ＝2∠B ，请直接写出这个三角形三边的长，不必说明理由．
24．（本小题满分12分）
如图10，已知点A 的坐标是（－1，0），点B 的坐标是（9，0），以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ，过A 、B 、C 三点作抛物线． （1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，连结BD ，求直线BD 所对应的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使得∠PDB ＝∠CBD?如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
图8
图9-1 图9-2 图9-3 图10
图7
2011年中考数学试题参考答案及评分意见 说 明：
1. 解答题中各步骤所标记分数为考生解答到这一步应得分数的累计分数；
2. 参考答案中的解法只是该题解法中的一种或几种，如果考生的解法和参考答案所给解法不同，请参照本答案中的标准给分；
3. 评卷时要坚持每题评阅到底，当考生的解答在某一步出现错误、影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变问题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误，就不给分；若是几个相对独立的得分点，其中一处错误不影响其他得分点的得分；
4. 给分和扣分都以1分为基本单位；
5. 正式阅卷前应进行试评，在试评中须认真研究参考答案和评分意见，不能随意拔高或降低给分标准，统一标准后须对全部试评的试卷予以复查，以免阅卷前后期评分标准宽严不同. 一、选择题：（每小题3分，共10个小题，满分30分） 1-5. DCBDC ；6-10. AACBB. 二、填空题：（每小题3分，共6个小题，满分18分）
11．答案不唯一，ΔAOB ≌ΔCOD 、ΔAOD ≌ΔCOB 、ΔADB ≌ΔCBD 、ΔABC ≌ΔCDA 之一均可； 12．3434＋(或34＋3)；
13．x1<x2<0或 0<x1<x2； 14．4； 15．10 ； 16．9，12； 三、解答题：（共9个小题，满分72分）
17．原式=[1
(2)
x x -–
2
1(2)x -]×(2)2x x - 3分
=
1(2)
x x -×(2)2x x -–2
1(2)x -×(2)2x x -
=1
2–2(2)x x - 4分 =22(2)
x x --–2(2)
x x -
=1
2x - 5分 当x=1时，
原式=1
21- 6分 = 1 7分
说明：以上步骤可合理省略 . 18．(1) 内. 2分
(2) 证法一：连接CD ， 3分 ∵ DE ∥AC ，DF ∥BC ，
∴ 四边形DECF 为平行四边形， 4分 又∵ 点D 是△ABC 的内心，
∴ CD 平分∠ACB ，即∠FCD ＝∠ECD ， 5分 又∠FDC ＝∠ECD ，∴ ∠FCD ＝∠FDC ∴ FC ＝FD ， 6分 ∴ □DECF 为菱形． 7分 证法二：
过D 分别作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，DI ⊥AC 于I ． 3分 ∵AD 、BD 分别平分∠CAB 、∠ABC ， ∴DI=DG ， DG=DH ．
∴DH=DI ． 4分
∵DE ∥AC ，DF ∥BC ，
∴四边形DECF 为平行四边形， 5分 ∴S□DECF=CE·DH =CF·DI ， ∴CE=CF ． 6分
∴□DECF 为菱形． 7分
19．(1) ∵3×5+6×3=33＞30，3×1+6×2=15＞13， 1分
∴3名驾驶员开甲种货车，6名驾驶员开乙种货车，这样能将救灾物资一次性地运到灾区． 2分
(2) 设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车(9–x)辆， 3分
由题意得：53(9)30,2(9)13.
x x x x +-≥⎧⎨
+-≥⎩ 5分
解得：1.5≤x ≤5 6分
注意到x 为正整数，∴x=2，3，4，5 7分 ∴安排甲、乙两种货车方案共有下表4种：
方 案 方案一 方案二 方案三 方案四 甲种货车
2
3
4
5
乙种货车 7 6 5 4
8分
说明：若分别用“1、8”，“2、7”等方案去尝试，得出正确结果，有过程也给全分. 20．(1) 大双的设计游戏方案不公平． 1分
可能出现的所有结果列表如下：
1 2
3 4 4 8 12 5
5
10
15
或列树状图如下：
4分
∴P(大双得到门票)= P(积为偶数)=46=2
3，
P(小双得到门票)= P(积为奇数)=1
3， 6分 ∵23≠1
3，∴大双的设计方案不公平． 7分 (2) 小双的设计方案不公平． 9分
参考：可能出现的所有结果列树状图如下：
21．(1) ∵反比例函数y=2k
x 的图象经过点(1，1)， ∴1=2k
1分 解得k=2， 2分
∴反比例函数的解析式为y=1
x ．
3分
(2) 解方程组211.y x y x =-⎧⎪⎨
=⎪⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，；122.x y ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩， 5分 ∵点A 在第三象限，且同时在两个函数图象上，
∴A(12-
，–2)． 6分
(3) P1(32，–2)，P2(5
2-
，–2)，P3(52，2)．(每个点各1分) 9分 22. (1) 在Rt △BPQ 中，PQ=10米，∠B=30°， 则BQ=cot30°×PQ ＝103,2分 又在Rt △APQ 中，∠PAB=45°， 则AQ=tan45°×PQ=10，
即：AB=(103+10)(米)； 5分 (2) 过A 作AE ⊥BC 于E ，
在Rt △ABE 中，∠B=30°，AB=103+10，
∴ AE=sin30°×AB=12（103+10）=53+5， 7分
∵∠CAD=75°，∠B=30°， ∴ ∠C=45°， 8分
在Rt △CAE 中，sin45°＝AE
AC ，
∴AC=2（53+5）=(56+52)(米) 10分 23. (1) 由题意，得∠A=90°，c=b ，a=2b ， ∴a2–b2=(2b)2–b2=b2=bc ． 3分
(2) 小明的猜想是正确的． 4分
理由如下：如图3，延长BA 至点D ，使AD=AC=b ，连结CD ， 5分
则ΔACD 为等腰三角形．
∴∠BAC=2∠ACD ，又∠BAC=2∠B ，∴∠B=∠ACD=∠D ，∴ΔCBD 为等腰三角形，即CD=CB=a ， 6分
大双
积 小双 图9-3
图8
图10答案图
2
图10答案图1
又∠D ＝∠D ，∴ΔACD ∽ΔCBD ， 7分 ∴AD CD CD BD =．即b a
a b c =
+．∴a2=b2＋bc ．∴a2–b2= bc 8分
(3) a=12，b=8，c=10．10分
24．(1) ∵以AB 为直径作⊙O′，交y 轴的负半轴于点C ， ∴∠OCA+∠OCB=90°， 又∵∠OCB+∠OBC=90°， ∴∠OCA=∠OBC ，
又∵∠AOC= ∠COB=90°， ∴ΔAOC ∽ ΔCOB ， 1分 ∴
OA OC
OC OB =． 又∵A(–1，0)，B(9，0)， ∴19OC OC
=
，解得OC=3(负值舍去)． ∴C(0，–3)，
3分
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x –9)，
∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=1
3，
∴二次函数的解析式为y=13(x+1)(x –9)，即y=13x2–8
3x –3． 4分 (2) ∵AB 为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)， ∴OO′=4，O′(4，0)， 5分
∵点E 是AC 延长线上一点，∠BCE 的平分线CD 交⊙O′于点D ，
∴∠BCD=12∠BCE=1
2×90°=45°，
连结O′D 交BC 于点M ，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=12AB=5． ∴D(4，–5)． 6分
∴设直线BD 的解析式为y=kx+b （k≠0） ∴90,4 5.
k b k b +=⎧⎨
+=-⎩ 7分
解得1,
9.k b =⎧⎨
=-⎩
∴直线BD 的解析式为y=x –9. 8分
(3) 假设在抛物线上存在点P ，使得∠PDB=∠CBD ，
解法一：设射线DP 交⊙O′于点Q ，则BQ CD =．
分两种情况(如答案图1所示)：
①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)． ∴把点C 、D 绕点O′逆时针旋转90°，使点D 与点B 重合，则点C 与点Q1重合， 因此，点Q1(7，–4)符合BQ CD =， ∵D(4，–5)，Q1(7，–4)，
∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=13x –193．
9分
解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩，得11941229416x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，；2294122941.6x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，
∴点P1坐标为(9412+，29416-+)，[坐标为(9412-，2941
6--)不符合题意，舍去]．
10分
②∵Q1(7，–4)，
∴点Q1关于x 轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合BQ CD =． ∵D(4，–5)，Q2(7，4)．
∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x –17． 11分
解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨
=--⎪⎩，得
1138x y =⎧⎨=-⎩，；221425.x y =⎧⎨=⎩， ∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．
12分 ∴符合条件的点P 有两个：P1(9412+，2941
6-+)，P2(14，25)．
解法二：分两种情况(如答案图2所示)： ①当DP1∥CB 时，能使∠PDB=∠CBD ． ∵B(9，0)，C(0，–3)．
图10
答案
∴用待定系数法可求出直线BC 解析式为y=1
3x –3． 又∵DP1∥CB ，∴设直线DP1的解析式为y=1
3x+n ．
把D(4，–5)代入可求n= –19
3，
∴直线DP1解析式为y=13x –19
3． 9分
解方程组21193318 3.33y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩，得11941229416x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，；
2294122941.6x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，
∴点P1坐标为(9412+，29416-+)，[坐标为(9412-，2941
6--)不符合题意，舍去]．
10分
②在线段O′B 上取一点N ，使BN=DM 时，得ΔNBD ≌ΔMDB(SAS)，∴∠NDB=∠CBD ．
由①知，直线BC 解析式为y=1
3x –3．
取x=4，得y= –53，∴M(4，–53)，∴O′N=O′M=53，∴N(17
3，0)， 又∵D(4，–5)，
∴直线DN 解析式为y=3x –17． 11分
解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨
=--⎪⎩，得
1138x y =⎧⎨=-⎩，；221425.x y =⎧⎨=⎩， ∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．
12分 ∴符合条件的点P 有两个：P1(9412+，2941
6-+)，P2(14，25)．
解法三：分两种情况(如答案图3所示)： ①求点P1坐标同解法二． 10分
②过C 点作BD 的平行线,交圆O′于G, 此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD ． 由(2)题知直线BD 的解析式为y=x –9,
又∵ C （0，–3）
∴可求得CG 的解析式为y=x –3, 设G （m,m –3），作GH ⊥x 轴交与x 轴与H ，
连结O′G,在Rt △O′GH 中，利用勾股定理可得，m=７， 由D （4，–5）与G(7，4)可得， DG 的解析式为317y x =-，
11分
解方程组231718 3.33y x y x x =-⎧⎪⎨
=--⎪⎩，得
1138x y =⎧⎨=-⎩，；221425.x y =⎧⎨=⎩， ∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]． 12分 ∴符合条件的点P 有两个：P1(9412+，29416-+)，P2(14，25)．
说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此步骤给分.。