弹性力学及有限元习题参考答案(赵均海、汪梦甫)汇编
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2
(1,1)
4
(0,0)
5
(1,1)
(0,0)
(1,0)
号
③
2
(1,1)
5
(1,0)
6
(2,0)
④
2
(1,1)
3
(2,1)
6
(2,0)
元
②
1
2
1
2
1
2
cm
1
-1
-1
0
0
-1
1
0
-1
K11
K K 21
K31
1
2
K12
K 22
K32
0
1
-1
1
-1
0
1
0
-1
0
-1
1
K13
K 23 (i 1, j 2, m 3)
（3）主方向：
l（ − ) + + = 0
+ ( − ) + = 0
+ + ( − ) = 0
2 + 2 + 2 = 1
第一主方向：将1 = −46 MPa 及个分量代入上式，有：
101l + 40 = 0
0
0
0
0
5 2
7 17
0
0
0
0
5 12
0
0
17
0 12 2
0
0
0
0
0
17
5
5
0
0
0
0 12 5
34
0 12 5
0
0
2
5
0
34 2 5
5 5
0
0 12 2 17
0
2 12 0
0
5 5
0
17
0
0
2
0
0
（4）求总体荷载列阵
K [ P1x
(2) 计算斜面上的全应力
S2N =XN2 + YN2 + Z N2 =3069.69
SN =55.4Mpa
(3) 正应力
σN =lXN +mYN +nZ N =-5.2Mpa
(4) 切应力
τ2N =S2N -τ2N =3042.4Mpa
τN =55.2Mpa;
习题 1.3
解：（1）应力不变量：
2 − 2 − 2
P1 y
P2 x
P2 y
P3 x
P P4 x
P4 y
P5 x
P5 y
P6 x
P6 y ]T
0பைடு நூலகம்
（5）引入边界条件，求解刚度方程
本题中的几何边界条件为：
P77(5.4)得到：
E
E
， G
（1 ）（1 2）
（
2 1 ）
其中 E 为杨氏弹性模量， 为泊松比，G 为剪切弹性模量。
x 2 x 2
f1(x ,y )
f1(x ,y )
E
E
=
+
x
（1 ）（1 2） （1 ） x
f2(x ,y )
E
E
+
（1 ）（1 2） （1 ） y
y 2 y =
E
E
（ 2Ax 2By C）
+
z 2 z =
（1 ）（1 2） （1 ）
xy xy
E
xy
（
2 1 ）
(2)求各单元的刚度矩阵
从表 1 中可看出，单元①的刚度矩阵为：
1
cj
ci
K mm
5
0
18E
K33
12
35
0 1
5 1
18E 12 6
Kim K13
35 5
1
12
K jm
1
0
18E
6
K 23
5
35
z
z
0
xy
2f
2f2
E
（ 21
)
y
（
2 1 ） x
xy
xz
0 ， yz 0
z
z
xy
2f1
2f2
E
（
)
x
（
2 1 ） xy
x2
xz
2f3
E
x
（
2 1 ） x2
zy
2f3
K33
其中子阵表达式为：
1
1
b
b
c
c
b
c
cr bs
r
s
r
s
r
s
Et
2
2
K rs
(r,s i, j, m)
2
1
1
4(1 )
br cs
cr cs
br bs
2
2
Et
E 1
18E
2
1 1
4(1 )
35
4(1 )
yz yz
E
yz
（
2 1 ）
xz xz
E
xz
（
2 1 ）
由空间问题的平衡微分方程 P76(5.1a)（联系应力分量和体力分量的方程）
xy
x
xz
X 0
x
y
z
yx
y
yz
Y 0
x
y
yx
y
yz
x
y
z
2 f1
2 f2
E
（
)
（
2 1 ） xy
x 2
2 f2
2 f1
E（1 ）
E
（
2B)
（1 ）（1 2） y 2 （1 ）（1 2） xy
Z
2 f3
zx
z
E
2 f3
6
单元定义和有关数据列于表 1 中。在表 1 中
bi y j ym , ci x j xm
b j ym yi , c j xm xi
bm yi y j , c m xi x j
表 1 单元定义与有关数据
i
m
j
△
bi
bj
bm
单
①
1
2
4
(0,1)
34
5
0
0
0
5
0
2 5
18 E 0
K
5
0
7
35 12 5
0
2 12 7
0
0 10 0
0
0
0 24
0
0
7
0
0
0
7
0
5
0
0
0
5 12 0
0
0
0
0 2
0
7 10 0
0
7
5 5 7
0
0 24 7
0
17
7
1
0
0
18 E
4
K
35 1
6
0
1
6
5
12
1
6
17
12
7
12
0
1
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6
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1
6
1
0
0
5
12
5
12
17
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7
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5
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1
6
0
0
1
1
6
7
12
17
12
1
6
5
12
1
5
12
0
5
12
5
12
0
v
，
y
y
ɛz =
w
2Ax 2By C ，
z
xy
f（
f（x，y )
v
u
1 x，y）
2
x
y
y
x
yz
f（
w
v
3 x，y）
Dx
y
z
y
zx
f（
w
u
3 x，y）
Dy
x
z
y
（2）由 P77 物理方程(5.3a)（广义胡克定律:应变分量与应力分量之间成线性关系）
, 将已知带入，
55 −
0
40
| = 0 ，
0
0−
0
40
0
−30 −
展开，得：
−σ[( − 55)( + 30) − 1600] = 0 ，
化简，整理，得： 3
− 25 2 − 3250σ = 0 ，解得
1 ∶= −46 MPa ,
2 = 0 MPa ,
3 ∶= 71 MPa
ɵ= ɛx + ɛy +ɛz =
f1(x ,y ) f2(x ,y )
2Ax 2By C
+
y
x
x 2 x 2
f1(x ,y )
x
y 2 y 2
f2(x ,y )
y
z 2 z 2（ 2Ax 2By C）
6 2
5
17
17
1
18E 12
18
E
12
12 K K
Kii K11
ij
12
5
35 17 17
35 1
6
12
12 12
1 0
18E
K jj K 22
5
35 0
12
0
1
1
12
1
0
1
5
12
5
12
0
0
1
1
6
5
12
5
12
0
5
12
5
12
0
0
1
6
1
1
6
0
0
1
同理，可求得单元②、③、④的刚度矩阵：
5
12
0
0
18 E
2
K
35 5
12
5
12
5
12
0
1
0
1
xy xy （
f（
f（x，y )
1 x，y）
2
）
y
x
yz yz （
f（
3 x，y）
Dx）
y
zx zx （
f（
3 x，y）
Dy ）
y
由第五章空间问题 Lame 弹性常数与杨氏弹性模量 E、泊松比 、剪切弹性模量 G 的关系
0
12
由对称性可知：
K13 K31T
K21 K12T
T
K23 K32
将上述各子式代入单元①刚度矩阵中，得：
17
12
7
12
1
18 E
1
K
35 5
12
5
12
1
6
7
12
17
12
1
6
5
12
5
12
1
6
5
12
5
E
zy
+
x
y
z
（
2 1 ） x 2 （
2 1 ） y 2
1.2
已知弹性体内的某一点的应力状态为：
=-75Mpa; =0Mpa; =-30Mpa; =50Mpa; ==75Mpa; =80Mpa;
1
1
2
试求方向余弦（2，2，√2 ）的微分面上的全应力SN ,正应力σN ,以及切应力τN 。
2
v=f2 （x,y）+Bz -Dxz-αx-γz+b、
w=f3 （x,y）-z（2Ax+2By+C）+βx+γy+c
式中 A、B、C、D，a，b，c，α，β，γ 是常数
解：（1）由 P16 几何方程(1.23a)得到应变分量的表达式：
ɛx =
f1(x ,y )
u
，
x
x
ɛy =
f2(x ,y )
第二主方向：(l2 ,2 ,2 ) = (，，) ；
第三主方向：(l3 ,3 ,3 ) = (，，) .
（4）主切应力：（1 ≠ 2 ≠ 3 ）
习题 8.6
图 8.20 为一受集中力 P 作用的结构，设 E 为常量， v
题计算，采用三角形单元，求出节点位移。
解：（1）定义单元
1
， t 1 。试按平面应力问
5
12
1
6
1
0
1
6
5
12
7
12
17
12
5
12
5
12
5
12
5
12
5
12
1
0
0
5
12
5
12
5
12
5
12
5
12
0
1
6
0
1
6
1
0
1
（3）总体刚度矩阵为：
7 12 5
17
7 17
2
5
12 2
34
0
5
0
46 = 0
}
40 + 16n = 0
2 + 2 + 2 = 1
⇒
21l + 8n = 0
} ,
46 = 0
2
2
(1,1)
4
(0,0)
5
(1,1)
(0,0)
(1,0)
号
③
2
(1,1)
5
(1,0)
6
(2,0)
④
2
(1,1)
3
(2,1)
6
(2,0)
元
②
1
2
1
2
1
2
cm
1
-1
-1
0
0
-1
1
0
-1
K11
K K 21
K31
1
2
K12
K 22
K32
0
1
-1
1
-1
0
1
0
-1
0
-1
1
K13
K 23 (i 1, j 2, m 3)
（3）主方向：
l（ − ) + + = 0
+ ( − ) + = 0
+ + ( − ) = 0
2 + 2 + 2 = 1
第一主方向：将1 = −46 MPa 及个分量代入上式，有：
101l + 40 = 0
0
0
0
0
5 2
7 17
0
0
0
0
5 12
0
0
17
0 12 2
0
0
0
0
0
17
5
5
0
0
0
0 12 5
34
0 12 5
0
0
2
5
0
34 2 5
5 5
0
0 12 2 17
0
2 12 0
0
5 5
0
17
0
0
2
0
0
（4）求总体荷载列阵
K [ P1x
(2) 计算斜面上的全应力
S2N =XN2 + YN2 + Z N2 =3069.69
SN =55.4Mpa
(3) 正应力
σN =lXN +mYN +nZ N =-5.2Mpa
(4) 切应力
τ2N =S2N -τ2N =3042.4Mpa
τN =55.2Mpa;
习题 1.3
解：（1）应力不变量：
2 − 2 − 2
P1 y
P2 x
P2 y
P3 x
P P4 x
P4 y
P5 x
P5 y
P6 x
P6 y ]T
0பைடு நூலகம்
（5）引入边界条件，求解刚度方程
本题中的几何边界条件为：
P77(5.4)得到：
E
E
， G
（1 ）（1 2）
（
2 1 ）
其中 E 为杨氏弹性模量， 为泊松比，G 为剪切弹性模量。
x 2 x 2
f1(x ,y )
f1(x ,y )
E
E
=
+
x
（1 ）（1 2） （1 ） x
f2(x ,y )
E
E
+
（1 ）（1 2） （1 ） y
y 2 y =
E
E
（ 2Ax 2By C）
+
z 2 z =
（1 ）（1 2） （1 ）
xy xy
E
xy
（
2 1 ）
(2)求各单元的刚度矩阵
从表 1 中可看出，单元①的刚度矩阵为：
1
cj
ci
K mm
5
0
18E
K33
12
35
0 1
5 1
18E 12 6
Kim K13
35 5
1
12
K jm
1
0
18E
6
K 23
5
35
z
z
0
xy
2f
2f2
E
（ 21
)
y
（
2 1 ） x
xy
xz
0 ， yz 0
z
z
xy
2f1
2f2
E
（
)
x
（
2 1 ） xy
x2
xz
2f3
E
x
（
2 1 ） x2
zy
2f3
K33
其中子阵表达式为：
1
1
b
b
c
c
b
c
cr bs
r
s
r
s
r
s
Et
2
2
K rs
(r,s i, j, m)
2
1
1
4(1 )
br cs
cr cs
br bs
2
2
Et
E 1
18E
2
1 1
4(1 )
35
4(1 )
yz yz
E
yz
（
2 1 ）
xz xz
E
xz
（
2 1 ）
由空间问题的平衡微分方程 P76(5.1a)（联系应力分量和体力分量的方程）
xy
x
xz
X 0
x
y
z
yx
y
yz
Y 0
x
y
yx
y
yz
x
y
z
2 f1
2 f2
E
（
)
（
2 1 ） xy
x 2
2 f2
2 f1
E（1 ）
E
（
2B)
（1 ）（1 2） y 2 （1 ）（1 2） xy
Z
2 f3
zx
z
E
2 f3
6
单元定义和有关数据列于表 1 中。在表 1 中
bi y j ym , ci x j xm
b j ym yi , c j xm xi
bm yi y j , c m xi x j
表 1 单元定义与有关数据
i
m
j
△
bi
bj
bm
单
①
1
2
4
(0,1)
34
5
0
0
0
5
0
2 5
18 E 0
K
5
0
7
35 12 5
0
2 12 7
0
0 10 0
0
0
0 24
0
0
7
0
0
0
7
0
5
0
0
0
5 12 0
0
0
0
0 2
0
7 10 0
0
7
5 5 7
0
0 24 7
0
17
7
1
0
0
18 E
4
K
35 1
6
0
1
6
5
12
1
6
17
12
7
12
0
1
1
6
1
1
6
1
0
0
5
12
5
12
17
12
7
12
5
12
1
6
0
0
1
1
6
7
12
17
12
1
6
5
12
1
5
12
0
5
12
5
12
0
v
，
y
y
ɛz =
w
2Ax 2By C ，
z
xy
f（
f（x，y )
v
u
1 x，y）
2
x
y
y
x
yz
f（
w
v
3 x，y）
Dx
y
z
y
zx
f（
w
u
3 x，y）
Dy
x
z
y
（2）由 P77 物理方程(5.3a)（广义胡克定律:应变分量与应力分量之间成线性关系）
, 将已知带入，
55 −
0
40
| = 0 ，
0
0−
0
40
0
−30 −
展开，得：
−σ[( − 55)( + 30) − 1600] = 0 ，
化简，整理，得： 3
− 25 2 − 3250σ = 0 ，解得
1 ∶= −46 MPa ,
2 = 0 MPa ,
3 ∶= 71 MPa
ɵ= ɛx + ɛy +ɛz =
f1(x ,y ) f2(x ,y )
2Ax 2By C
+
y
x
x 2 x 2
f1(x ,y )
x
y 2 y 2
f2(x ,y )
y
z 2 z 2（ 2Ax 2By C）
6 2
5
17
17
1
18E 12
18
E
12
12 K K
Kii K11
ij
12
5
35 17 17
35 1
6
12
12 12
1 0
18E
K jj K 22
5
35 0
12
0
1
1
12
1
0
1
5
12
5
12
0
0
1
1
6
5
12
5
12
0
5
12
5
12
0
0
1
6
1
1
6
0
0
1
同理，可求得单元②、③、④的刚度矩阵：
5
12
0
0
18 E
2
K
35 5
12
5
12
5
12
0
1
0
1
xy xy （
f（
f（x，y )
1 x，y）
2
）
y
x
yz yz （
f（
3 x，y）
Dx）
y
zx zx （
f（
3 x，y）
Dy ）
y
由第五章空间问题 Lame 弹性常数与杨氏弹性模量 E、泊松比 、剪切弹性模量 G 的关系
0
12
由对称性可知：
K13 K31T
K21 K12T
T
K23 K32
将上述各子式代入单元①刚度矩阵中，得：
17
12
7
12
1
18 E
1
K
35 5
12
5
12
1
6
7
12
17
12
1
6
5
12
5
12
1
6
5
12
5
E
zy
+
x
y
z
（
2 1 ） x 2 （
2 1 ） y 2
1.2
已知弹性体内的某一点的应力状态为：
=-75Mpa; =0Mpa; =-30Mpa; =50Mpa; ==75Mpa; =80Mpa;
1
1
2
试求方向余弦（2，2，√2 ）的微分面上的全应力SN ,正应力σN ,以及切应力τN 。
2
v=f2 （x,y）+Bz -Dxz-αx-γz+b、
w=f3 （x,y）-z（2Ax+2By+C）+βx+γy+c
式中 A、B、C、D，a，b，c，α，β，γ 是常数
解：（1）由 P16 几何方程(1.23a)得到应变分量的表达式：
ɛx =
f1(x ,y )
u
，
x
x
ɛy =
f2(x ,y )
第二主方向：(l2 ,2 ,2 ) = (，，) ；
第三主方向：(l3 ,3 ,3 ) = (，，) .
（4）主切应力：（1 ≠ 2 ≠ 3 ）
习题 8.6
图 8.20 为一受集中力 P 作用的结构，设 E 为常量， v
题计算，采用三角形单元，求出节点位移。
解：（1）定义单元
1
， t 1 。试按平面应力问
5
12
1
6
1
0
1
6
5
12
7
12
17
12
5
12
5
12
5
12
5
12
5
12
1
0
0
5
12
5
12
5
12
5
12
5
12
0
1
6
0
1
6
1
0
1
（3）总体刚度矩阵为：
7 12 5
17
7 17
2
5
12 2
34
0
5
0
46 = 0
}
40 + 16n = 0
2 + 2 + 2 = 1
⇒
21l + 8n = 0
} ,
46 = 0
2
2